Medidas e Incertezas

Introdução:

Toda medida está sujeita a incertezas que podem ser devidas ao processo de

medição, aos equipamentos utilizados, a influência de variáveis que não estão sendo

medidas, e também, ao operador. É importante expressar o resultado de uma medição de

forma que outras pessoas o entendam e saibam com que confiança o resultado foi obtido.

O parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão de

valores atribuídos à grandeza submetida à medição, é chamado de incerteza da medição.

A forma mais comum de expressar o resultado de uma medição é a seguinte:

(valor da grandeza ± incerteza da medição) [unidade]. Esta incerteza pode ser avaliada por meio de uma análise estatística de uma série de

medidas. Considere que uma medição foi repetida n vezes nas mesmas condições, obtendo-

se x1, x2,...,xn. Nesse caso, estabeleceu-se que a melhor estimativa para a medida é dada

pela média aritmética x dos valores obtidos, ou seja,

n

i

ixn

x1

1 (1)

e a incerteza padrão da medida é identificada com o desvio padrão u da media das

observações, dado por:

n

i

i xxnn

u1

2)()1(

1. (2)

A incerteza de uma medição pode ser avaliada através de meios não estatísticos, por

não se dispor de observações repetidas. Essa avaliação baseia-se, normalmente, no bom

senso do operador que, a fim de se estabelecer uma incerteza para a medição, deve utilizar

toda a informação disponível, por exemplo: dados de medições anteriores, conhecimento

acumulado sobre os instrumentos e materiais utilizados, especificações do fabricante e

dados de calibração dos instrumentos. Portanto, essa avaliação é bastante subjetiva.

Em algumas situações, é comum adotar como incerteza de uma medição a metade

da menor divisão do instrumento de medida utilizado.

Regra de propagação de incerteza Nem sempre é possível fazer uma medição direta de uma grandeza. Muitas vezes, o

valor de uma grandeza é determinado por meio de medições de outras grandezas

relacionadas a ela. Neste caso, diz-se que a medição é indireta.

Considere uma grandeza Y, que não pode ser medida diretamente, e é uma função f

de outras grandezas X1, X2,...,Xn, ou seja,

),...,,( 21 nXXXfY

Sejam )( 11 xux , ),...,( 22 xux )( nn xux , os resultados das medições das grandezas

X1, X2,...,Xn. O resultado y da medição da grandeza Y é dado por:

),...,,( 21 nxxxfy .

A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida desta forma, ou seja, por

meio de uma medição indireta, é chamada de incerteza padrão combinada cu e é

determinada por:

)()( 2

1

2

2

i

N

i i

c xux

fyu

(3)

Objetivos

Realizar diferentes medições com as respectivas incertezas.

Materiais:

Paquímetro, micrômetro; régua centimetrada, duas esferas, aro de metal, folhas de papel

A4.

Procedimentos:

Com o auxílio do micrômetro, meça o diâmetro de cada esfera com as respectivas

incertezas. Em caso de dificuldade de manuseio ou leitura, peça auxílio ao professor.

Esfera 1: (_________±_____) mm

Esfera 2: (_________±_____) mm

Em seguida, empilhe 5 ou mais folhas de papel e meça, utilizando o micrômetro ou o

paquímetro, a espessura de uma folha de papel com a respectiva incerteza.

Espessura da folha de papel: (_________±_____)

Utilizando o paquímetro, determine as dimensões do aro de metal com as respectivas

incertezas:

Diâmetro interno: (_________±_____)

Diâmetro Externo: (__________±_____)

Altura: (_________±_____).

Calcule o volume do aro com a sua devida incerteza. Utilize a equação de propagação de

erro (3). Dado: Volume do cilindro: hRV 2 , onde R é o raio da circunferência da base e h é a altura do

cilindro.

Tempo de resposta:

Peça a um colega que suspenda a régua centimetrada na vertical e mantenha a

mesma entre o seu dedo polegar e indicador na posição 0 cm. Em seguida, seu colega

deverá abandonar a régua sem avisa-lo e você deverá segurar a régua anotando em qual

posição da mesma seu dedo permaneceu. Repita este procedimento ao menos 5 vezes,

preencha a tabela abaixo e calcule a posição média com o respectivo desvio padrão.

(equação 2).

Medida y (posição) y (posição

média) yy

Posição média com o desvio padrão

1

2

3

4

5

Para determinação do seu tempo de reação, lembre-se que a régua sofre uma queda

livre após ser abandonada. O deslocamento vertical ( y ) neste tipo de movimento é descrito

pela seguinte equação:

2

2gttvy o ,

onde ov é a velocidade inicial, t é o tempo e g é a aceleração da gravidade. Utilizando esta

expressão e sabendo-se que a régua parte do repouso, calcule o seu tempo de reação. (não

é necessário determinar a incerteza).