medidas e incertezas o que é medição? É um processo empírico que objetiva a designação de...
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MEDIDAS E INCERTEZAS
O Que é Medição?
É um processo empírico que objetiva a designação de números a propriedades de objetos ou a eventos do mundo real de forma a descrevê-los quantitativamente.
Outra forma de explicar este processo é comparar a quantidade, ou variável desconhecida, com um padrão definido para este tipo de quantidade, implicando então num certo tipo de escala.
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Tipos de medidas
Medida NominalQuando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (Ex. duas cores, acidez de dois líquidos)
Medida OrdinalQuando é necessário ter informação a tamanhos relativos (Ex. Classificação por peso e altura de uma turma)
Medida em IntervalosQuando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (Ex. no caso anterior usar a escala de metros e quilogramas)
Medidas NormalizadasDefine-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (Ex. O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máximo medido).
Medidas CardinaisO ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de Medidas, o “ SI ”.
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SISTEMA
INTERNACIONAL
DE UNIDADES
SI
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O Processo de Medida
Operador: - Conhecimento do processo de medida
- Escolha adequada do instrumento
- Domínio do instrumento de medida
O Conceito de Medida
Os erros das medidas não podem ser completamente eliminados, conseqüentemente, não é possível conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza. Por este motivo o valor de uma medida é representado por um intervalo de valores.
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Expressão da Medida de uma Grandeza Quando Apenas uma Medida é Efetuada.
Quando é efetuada apenas uma medida de uma grandeza a expressão da medida é condicionada à resolução do instrumento de medida. Como não é possível encontrar o valor verdadeiro de uma medida, ele é delimitado por um valor máximo e um mínimo, apontados pelo instrumento de medida.
xmín xmáx
Define-se:
- Precisão do instrumento (função do intervalo de confiança [xmín:xmáx]):
p = xmáx - xmín (1.1)
- Incerteza da medida:
22mínmáx xxp
x
(1.2)
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Existe uma probabilidade muito grande de que o valor verdadeiro esteja entre xmín e xmáx.
xmín < xverdadeiro < xmáx . (1.3)
xmín xmáx
xx
Como o valor verdadeiro não é conhecido então, faz-se uma estimativa da medida por meio do valor médio do intervalo, ,e da incerteza do instrumento :
xverdadeirox xxx
xxx
x
Intervalo de confiança
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cm
Exercício 1 Exercício 2
Objeto a ser medido
Exemplo: Medir o comprimento de uma peça retangular:
5222
2025
2
522
2025
2
2
,mm
m
,mm
confiançadeIntervaloIncerteza
mínmáx
mínmáx
Observa-se que a medida “m” está no intervalo: 20 cm m 25 cm ;
m
O intervalo [20cm:25cm] é conhecido como “Intervalo de confiança”. Ele é, no mínimo, igual à precisão do equipamento. Neste caso, 5 unidades. Com este intervalo, determina-se a “Incerteza” e o valor médio do intervalo de confiança “ “.m
cm),,(m
mm
52522
Valor da medida
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1.2. EXPRESSÃO DAS MEDIDAS QUANDO VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS
n
xx
n
1ii
1.2.2. Desvio PadrãoO desvio padrão é a mais importante e mais útil medida da variação
dos valores de uma amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele considera todos os valores da amostra. O desvio padrão é um estimador das incertezas das medidas.
1.2.1. Média AritméticaA média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as
mensurações numéricas descritivas (TRIOLA, 1999, p. 31). Durante todo este trabalho ela será designada simplesmente por “média”.
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1n1n
)xx(s
n
1i
2i
n
1i
2i
a- Desvio Padrão Amostral
É utilizado quando se analisa uma amostra de uma população.
xx ii
sendo i, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é expresso por:
b- Desvio Padrão Populacional
É utilizado quando todos os elementos de um conjunto participam da análise (população).
nn
)xx(n
1i
2i
n
1i
2i
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c- Desvio Padrão do Valor Médio.
Quando houver uma distribuição normal, o desvio padrão do valor médio, que também é denominado por erro-padrão da média ( TRIOLA, 1999, p. 129), é definido por:
)1()1(
)(1
2
1
2
nnnn
xxn
ii
n
ii
x
Atenção: Normalmente as calculadoras eletrônicas, bem como alguns “softwares”, disponibilizam para o usuário o cálculo de “s” (desvio padrão amostral) e o de “” (desvio padrão populacional). Cabe ao usuário determinar o desvio padrão do valor médio, a partir destes.
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1.2.3. Valor da medida
A expressão do valor da medida, conforme cada caso, é dada por:
,xxouxx,sxx x
Normalmente, o desvio padrão, que nós devemos utilizar nas nossas práticas é o do valor médio:
x
então,
xxx
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1.3. Exemplos
1.3.1. Determinar a altura média dos alunos da classe, considerando uma amostra de 5 alunos, escolhidos aleatoriamente:
1.3.2. Problemas Propostos
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Algarismos Significativos
São todos os algarismos obtidos no processo de medida.Os zeros incluídos para localizar o ponto decimal não são significativos (zeros à esquerda).
Ex.:1945,1 (5 algarismos significativos)
Em geral, a Incerteza deve conter apenas UM (1) algarismo significativo.
Logo: A incerteza deve ser arredondada após a sua determinação.
0,00034 (2 algarismos significativos)1000 (4 algarismos significativos)
2 x 105 (1 algarismo significativo)
4,189 x 10-7 (4 algarismos significativos)
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Mudanças de Unidade
- Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos significativos
- A notação em potência de dez evita este problema
46 cm 46 x 101 mm
Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos
Ex.:46 cm 0,46 m (Está correto)46 cm 460 mm (está errado pois aumentou o número de algarismos significativos)
- A notação científica também soluciona este problema
46 cm x 102 mm
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Critérios de Arredondamento
O critério de arredondamento a ser utilizado é o mesmo empregado por calculadoras científicas e programas afins.
Se o número à direita do ponto de arredondamento é:
0, 1, 2, 3, 4 Simplesmente elimina-se a parte a direita
Ex.: dado o número 0,563729452
Arredondando para 8 casas depois da vírgula = 0,56372945Arredondando para 4 casas depois da vírgula = 0,5637Arredondando para 2 casas depois da vírgula = 0,56
5, 6, 7, 8, 9 Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita.
Ex.: dado o número 0,563729452
Arredondando para 7 casas depois da vírgula = 0,5637295Arredondando para 5 casas depois da vírgula = 0,56373Arredondando para 1 casa depois da vírgula = 0,6 Exercícios
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Usando o Arredondamento para Representar Medidas
Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior fica:
- Medida Anterior
Opção 2 A mais simples (a que nós empregamos)
Tensão = (0,126446 + 0,0005885) V
Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo
Tensão = (0,126446 + 0,0006) V
Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula existem na incerteza (4 neste caso)
Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário
Então:
Tensão = (0,1264 + 0,0006) V (Resultado Final)
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas.
Razão: cada arredondamento introduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.
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Operações Matemáticas com Medidas
Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação.
Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas.
Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da operação.
Ex.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme:
A = a + a B = b + b
Adição
( )2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max MinA B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
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14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 19,8
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 19,2
19,819,5
Max MinA B
Max
Min
A B
19,2
19,5 0,32
Exemplo de adição: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A + B =__________
Cálculos via Excel
Via programa do site
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(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
( )2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max MinA B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,2 9,2
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,4 8,6
9,2 8,68,9
2
Max MinA B
Max
Min
A B
8,9 0,3
Subtração: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A – B =____________
Cálculos via Excel
Via programa do site
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Multiplicação: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A x B =____________
( )2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max MinA B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
Cálculos via Excel
Via programa do site
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 77,76
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 72,8
77,75,26
Max MinA B
Max
Min
A B
76 72,875,26 2,48 75 2
2
A x B
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Divisão: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A : B =______________
(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
a a Max MinA a
B b b b
a aMax
b b
a aMin
b b
(apenas as 5 primeiras casas decimais)
14,2 0,2 14,2
5,3 0,1 5,3 2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 14,42,76923
5,3 0,1 5,2
Menor valor que a operação pode assumir
14,
Max MinA
B
Max
Min
(apenas as 5 primeiras casas decimais)2 0,2 14,0
2,59259 5,3 0,1 5,4
2,76923 2,592592,67924 2,67924 0,08832=2,68 0,09
2
A
B
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Exponenciação: B = 5,3 + 0,1
B3 =________________
33 3
3
3
2Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max MinB b b b
Max b b
Min b b
3 33
3 3
3 3
5,3 0,1 5,32
Maior valor que a operação pode assumir
5,3 0,1 5,4 157,464
Menor valor que a operação pode assumir
5,3 0,1 5,2 140,608
157,464 140,608148,877 148,877 8,428=149 8
2
Max MinB
Max
Min
B
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ExercícioExercício:Um paralelepípedo retângulo, de base quadrada, possui massa m
= (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A = (54,80 ± 0,01)mm e a altura h = (34,20 ± 0,02)mm .
Determine:
Área da base:SBase =_____________
Volume:V = _______________
Densidade: = _____________
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Fim