MYCHEL GONÇALVES SILVA

MEDIDA DE ÍNDICE DE REFRAÇÃO DE VIDROS ATRAVÉS DO ÂNGULO DE BREWSTER

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

INSTITUTO DE FÍSICA

2008

2

MYCHEL GONÇALVES SILVA

Medida de Índice de refração de vidros através do ângulo de

Brewster

Monografia apresentada ao Instituto

de Física da Universidade Federal de

Uberlândia para obtenção do grau de

Bacharel em Física.

Área de concentração:

Óptica

Orientador: Prof. Dr.

Djalmir Nestor Messias

Uberlândia

2009

3

AGRADECIMENTOS

Ao Instituto de Física por permitir a realização do curso de graduação em Física e

Materiais.

Ao Prof. Dr. Djalmir Nestor Messias, pela dedicação, empenho, e principalmente

paciência durante todo o trabalho.

Ao Prof. Dr. Noelio Oliveira Dantas por disponibilizar o laboratório de Novos

Materiais Isolantes e Semicondutores.

4

SILVA,M.G.Medida de Índice de refração de vidros através do ângulo de Brewster. 2009. XX folhas. Monografia de conclusão de curso – Universidade

Federal de Uberlândia – Uberlândia.

Na procura por materiais para aplicação em novas tecnologias, como a fabricação

de dispositivos óticos, as técnicas de caracterizações são responsáveis por

determinar as propriedades física com possíveis aplicações. Neste trabalho

determinamos o índice de refração de matrizes vítreas O índice de refração é

medido por diferentes técnicas, sendo a interferometria a mais utilizada. Nesse

trabalho, medimos os índices de refração para matrizes vítreas dopadas com

diferentes concentrações de íons terras raras. O aparato experimental foi montado

para que fosse possível medir o ângulo de Brewster de um feixe de luz refletido na

superfície das amostras vítreas, determinando através desse ângulo, o índice de

refração e relacionar com as concentrações de dopantes. Os resultados apontam

que a técnica possui menor precisão comparado as técnicas de interferometria

(CARROLL;HENRY,2002), e nada pode se afirmar sobre a influencia dos dopantes

sobre o índice de refração. Logo, essa técnica não é apropriada para o uso em

laboratórios de pesquisa, sendo indicada para laboratórios de ensino de física.

5

Palavras-Chave: índice de refração. Ângulo de Brewster. Caracterização vítrea.

6

SILVA,M.G. Measure the refractive index of glass through the Brewster angle. 2009. XX folhas. Monografia de conclusão de curso – Universidade Federal de

Uberlândia – Uberlândia.

In search of materials for application in new technologies, such as the manufacture of

optical devices, methods of characterization are responsible for determining the

physical properties with possible applications. In this paper we determine the

refractive index of glass matrix index of refraction is measured by different

techniques, interferometry is the most used. In this study, we measured the refractive

indices for glass matrix doped with different concentrations of rare earth ions. The

experimental apparatus was set up so that we could measure the Brewster angle of a

light beam reflected on the surface of vitreous samples, determined by this angle, the

refractive index and relate to the concentration of dopants. The results show that the

technique has lower accuracy compared to the techniques of interferometry

(CARROLL, HENRY, 2002), and nothing can be said about the influence of doping

on the refractive index. Therefore, this technique is not suitable for use in research

laboratories, and is recommended for laboratories of physics education.

Keywords: refractive index. Brewster angle. Characterization temperature.

7

Sumário

Capitulo I - Dispersão e Absorção......................................................................7

1.1. Modelo de Drude-Lorentz.......................................................................8

1.1.1. Origem do índice de refrão complexo...................................................12

Capitulo II - Campo elétrico incidindo em um dielétrico.................................16

1.2. Definição do Ângulo de Brewster..........................................................19

Capitulo III - Montagem Experimental...............................................................22

1.3. Descrição da amostras.........................................................................22

1.4. Aparato experimental............................................................................23

1.5. Correção dos valores experimentais.....................................................24

Capitulo IV – Resultados e Discussões............................................................27

4.1. Conclusão.....................................................................................

.........31

Referências Bibliográficas.................................................................................31

Apêndice A – Roteiro para laboratório de ensino............................................34

8

CAPITULO I

DISPERSÃO E ABSORÇÃO

Uma onda eletromagnética ao incidir sobre um meio dielétrico, seja ele sólido,

liquido, ou gasoso, ira interagir com a rede de átomos que constituem o material.

Dependendo da energia do fóton, o meio material irá absorve-lo ocorrendo

transferência de energia para os seus constituintes (átomos, moléculas, elétrons

livres). A energia transferida para os átomos do material pode ser convertida por

exemplo em forma de energia cinética vibracional e ou translacional, essa reação

depende da freqüência da onda eletromagnética incidente, descrito por:

(1)

Dois efeitos podem ocorrer devido essa interação, o primeiro deles é a

dispersão, ou espalhamento, onde a onda incidente muda de direção sem alterar

sua energia. Se a energia do fóton se igualar com a energia de transição entre um

estado fundamental e algum estado excitado, o material absorve a energia, fazendo

9

com que suas moléculas vão para um estado de mais alta energia (estado excitado),

de onde elas podem decair radiativamente emitindo um fóton ,ou emitir fônons para

rede, esse efeito é chamado de absorção.

O fenômeno da dispersão ocorre quando o índice de refração do material

depende da freqüência. Sendo assim, considere um material dielétrico, com

densidade de carga zero, onde uma onda eletromagnética monocromática incide

sobre ele. As cargas positivas e negativas serão orientadas criando momentos de

dipolos, que por sua vez criam um campo elétrico interno resultante devido ao

somatório de todos os momentos de dipolo do material. Para os materiais

isotrópicos, o grau de polarização de suas moléculas é descrito pelo vetor

polarização elétrica:

(2)

Figura 1- Molécula alinhada na direção do campo externo, criando um o

momento de dipolo (HECH,2002)

onde é o campo elétrico no interior do material, e χ(E) é a

susceptibilidade elétrica do material, que pode ser escrito:

(3)

10

1.1. Modelo de Drude-Lorentz

Para a compreensão dos efeitos de absorção e dispersão, vamos

utilizar o modelo de oscilação de Drude-Lorentz, que considera o meio material

como um oscilador harmônico amortecido forçado, onde seus constituintes (elétrons,

moléculas, íons) são cargas pontuais ligadas entre si por molas e o campo elétrico

oscilante produz uma força F(t) sobre os elétrons. Como o núcleo atômico é muito

mais massivo que os elétrons, será considerado o núcleo parado ante ao movimento

de oscilação dos elétrons em torno dele. Nesse modelo o campo magnético è

desprezado, pois o seu módulo é muito menor que o modulo do campo elétrico.

Figura 2- Modelo massa – demonstra a interação entre um elétron é um

campo externo .(GRIFFITHS,1999)

Escrevendo então as forças sobre o elétron:

(4)

é a constante da mola associado ao elétron j, e é o seu

deslocamento do equilíbrio.

11

O elétron estará sujeito também a alguma forma de amortecimento,

que seria responsável pela absorção e dissipação de energia. Nesse caso,

usaremos um termo de absorção proporcional a velocidade:

(5)

é o parâmetro amortecimento para um elétron j do sistema.

A força elétrica devido a uma onda monocromática aplicada sobre o

elétron é escrita como:

(6)

Fazendo o somatório das forças:

(7)

Onde m é a massa associada ao elétron.

Dividindo ambos os lados da equação (7) por m, temos:

(8)

Onde escrevemos o termo de oscilação natural do sistema:

; (9)

A solução transiente da equação diferencial (8) se anula ao passar de um certo

tempo, nos interessando somente a solução particular:

(10)

Sendo X0 a posição inicial. Substituindo a solução na equação diferencial

obtemos a equação de posição do movimento

12

(11)

Figura 3- Modelo do sistema massa-mola exposto ao campo , o elétron pode

vibrar igualmente em todas as direções. (HECH,2002)

Podemos calcular o momento de dipolo induzido, na forma:

(12)

Para descrevermos a relação entre a freqüência e a permissividade elétrica

do material, considere um material com N elétrons por unidade de volume, onde a

polarização (complexa) é dada pela soma dos momentos de dipolo por unidade de

volume:

(13)

Onde é a fração de elétrons com a freqüência natural ω0,

13

Comparando a equação (13) com a equação que descreve o grau de

polarização elétrica do meio (2), chegamos a conclusão que a susceptibilidade

elétrica (complexa) do material pode ser escrita como:

(14)

Utilizando a equação (3), substituindo na equação acima:

(15)

Escrevemos então a relação:

(16)

A equação (16) nos mostra a dependência da susceptibilidade elétrica

do material em função da freqüência da onda que incide sobre ele. Na situação onde

é muito maior que o termo de amortecimento , a permissividade elétrica

torna-se real.

Sob essas circunstância, o fenômeno da ressonância ocorre quando

uma das freqüências da onda incidente for igual a freqüência natural, ,

fazendo com que a relação seja totalmente imaginária. Logo, o termo que

domina a amplitude de oscilação na equação (11) é o termo de amortecimento ,

responsável pela absorção da onda no meio. Então, quando a onda incidente tem

freqüência próxima da freqüência natural, ou seja em ressonância, a maior parte da

energia será absorvida.

1.1.1. Origem do índice de refração complexo

14

Para escrevermos a equação que relaciona o índice de refração com a

freqüência da onda incidente, chamada de equação de dispersão, usaremos a

seguinte relação:

(17)

Onde considerando um meio fracamente magnético foi tomado μ≈μ0 ,

Substituindo a relação (17) na equação (16), escrevemos o índice de

refração:

(18)

Expandindo a relação acima e considerando o primeiro termo:

(19)

Escrevendo então o índice de refração complexo em suas partes imaginárias

e reais:

(20)

Analisando a parte real da equação acima para uma freqüência

incidente muito diferente da freqüência natural, podendo assim desprezar o termo de

amortecimento :

(21)

Para freqüências abaixo da freqüência de ressonância ,

expandimos o denominador do somatório em série de Taylor:

15

(21)

Substituindo a relação :

(22)

Reescrevendo em função de parâmetros:

(23)

Esta equação foi obtida por Augustin-Louis Cauchy, onde o termo A é o

coeficiente de refração, e B o coeficiente de dispersão.Esta relação conhecido como

fórmula de Cauchy é valida para a região do visível.

Figura 4- Relação do índice de refração com o comprimento de onda.

(HECH,2002)

Podemos definir agora o coeficiente de absorção:

16

(24)

Representamos abaixo o comportamento do índice de refração e o

coeficiente de absorção próximo a freqüência de ressonância.

Figura 5 -Relação do coeficiente de absorção e índice de refração em função

da freqüência, sendo a freqüência de ressonância. (GRIFFITHS,1999)

A figura 5 demonstra a diminuição da amplitude do campo eletromagnético,

em função da freqüência do campo. Na região central, o coeficiente de absorção

aumenta rapidamente, e quando a freqüência de oscilação se iguala a freqüência

natural, , ocorre o fenômeno da ressonância, fazendo com que a absorção

de energia da onda incidente pelo sistema seja máxima.

A região anterior a freqüência e posterior a freqüência o índice de

refração cresce com a freqüência como esperado, porem, na região intermediaria

o índice de refração decai rapidamente; esta região é chamada de

dispersão anômala.

17

CAPITULO II

CAMPO ELÉTRICO INCIDINDO EM UM DIELÉTRICO

De forma a compreendermos a influência do índice de refração do meio

sobre os campos elétrico e magnético, vamos descrever a propagação de uma onda

eletromagnética proveniente de um meio dielétrico incidindo sobre um meio

dielétrico, partimos das equações de Maxwell sujeitas a condições de contorno entre

as duas interfaces, que podem ser descritas como:

(25.a)

(25.b)

(25.c)

(25.d)

Onde σ e Jl é respectivamente a densidade superficial de cargas, e a

densidade de corrente na superfície entre os meios 1 e 2, é o vetor normal a

18

superfície da interface, que aponta no sentido do meio 1 para o meio 2, é um

vetor tangente a interface.

Analisando o caso particular onde o campo elétrico esta paralelo ao

plano de incidência, incidindo com um ângulo qualquer, como mostrado na figura

6:

Figura 6 -Campo eletromagnético incidindo na interface entre os meios

dielétricos 1 e 2, com o vetor campo elétrico paralelo ao plano de incidência.

(GRIFFITHS,1999)

Escrevemos então os campos elétricos e magnéticos na forma:

Campo Incidente: (26.a)

(26.b)

Campo Refletido:

(27.a)

(27.b)

19

Campo Transmitido: (28.a)

(28.b)

Então, considerando o meio dielétrico com densidade de cargas e

correntes na interface iguais a zero, e utilizando a Lei de Snell (

,a condição de contorno (25.a) fornece:

(29)

Onde

(30)

Da condição de contorno (25.c), temos:

(31)

Onde

(32)

Escrevendo o sistema de equações:

A solução para cada termo fica:

(33.a) (33.b)

As relações acima são chamadas de equação de Fresnel para o campo

eletromagnético incidente paralelo ao plano de incidência. Da equação (33.a)

podemos observar que dependendo da relação entre os termos β e α, a polarização

20

do campo refletido muda em relação ao campo incidente. Se , o campo

refletido terá uma diferença de fase de 180º em relação ao campo incidente. Da

equação (33.b) pode-se dizer que o campo transmitido esta sempre em fase com o

campo incidente.

2.1.Definição do Ângulo de Brewster

Quando tivermos , a equação (33.a) vai a zero, fazendo com não haja

luz refletida, sendo totalmente transmitida. Igualando os parâmetros β e α:

(34)

Substituindo a expressão acima por:

(35)

Obtemos a relação:

(36)

O ângulo é chamado de ângulo de Brewster, descoberto por Sir

David Brewster (1781-1868), que também foi o inventor do caleidoscópio.

Toda a analise foi feita para uma luz incidente polarizada, porem, se

incidirmos um feixe de luz não polarizada sobre um dielétrico (um vidro por exemplo)

21

com ângulo igual ao ângulo de Brewster, a luz refletida estará totalmente polarizada

perpendicularmente ao plano de incidência, funcionando como um polarizador de

luz.

Em nosso dia a dia esse efeito é observado utilizando um polaróide e

um meio que reflita luz, como uma poça de água. Observemos a figura 7:

Figura 7 -Poça de água refletindo a luz parcialmente polarizada, em (a) temos

a imagem vista ao posicionarmos um polaróide com eixo de transmissão paralelo em

relação chão, em (b) o eixo de transmissão do polaróide esta perpendicular em

relação chão. (HECH,2002)

A relação entre a intensidade de campo refletido e a intensidade de

campo incidente, é chamado de coeficiente de reflexão (refletância). No caso do

campo elétrico paralelo ao plano de incidência.

(37)

Na figura 8 temos a relação entre o coeficiente de reflexão e ângulo de

incidência para um campo incidente proveniente de um meio com índice de refração

incidindo em um meio dielétrico com índice de refração em função

do ângulo de incidência.

22

Figura 8 -Relação entre a refletância e o ângulo incidente. (HECH,2002)

Nesse exemplo, a função refletância apresenta um ponto de mínimo,

onde é zero, ou seja, existe feixe refletindo, caracterizando o ângulo de Brewster,

que nesse caso está próximo de 56º.

23

CAPITULO III

MONTAGEM EXPERIMENTAL

3.1.Descrição das amostras

Foi visto anteriormente que, através do ângulo de Brewster, é possível obter

uma relação entre os índices de refração dos meios dielétricos. O experimento

realizado teve como objetivo, medir o ângulo de Brewster para diferentes matrizes

vítreas.Elas tem como base o composto formador o óxido de boro ( ) e outra

com o composto pentóxido de fósforo ( ), chamadas de matriz BAN e PAN

respectivamente. (MARTINS,2009)

Como dopantes para as amostras, foi utilizado concentrações crescentes

variando de 0,5 à 5,0 (em peso%) de óxido de neodímio ( e de óxido de

praseodímio .(MARTINS,2009)

24

Figura 9- Amostras com dopagens crescentes de e de .(MARTINS,2009)

3.2.Aparato Experimental

Para medir o ângulo de Brewster das amostras, foi utilizado um goniômetro,

com um fotodetector acoplado ao seu braço. O laser utilizado foi o de HeNe com

comprimento de onda de 632 nm. O feixe é modulado utilizando um chopper, e na

frente deste é colocado um polarizador, para que obtivéssemos o máximo do feixe

polarizado paralelamente ao plano de incidência. Como a intensidade do feixe

refletido próximo ao ângulo de Brewster é muito pequena, um Lock-in foi utilizado

para amplificar o sinal e eliminar o ruído. Na figura 10 abaixo, esta demonstrado

esquematicamente a montagem experimental.

25

Figura 10- Diagrama da montagem experimental para medir o ângulo de Brewster

Através dos ângulos de Brewster obtidos e considerando um dos meios

dielétricos com índice de refração próximo da unidade, , o índice de refração

dos vidros é obtido:

(38)

3.3.Correção dos valores experimentais

A medida do ângulo de Brewster é muito influenciada pela espessura da

amostra, é necessário realizar uma correção nos dados obtido.

26

Figura 11 Diagrama da reflexão por uma mostra de espessura d

Na figura 11 acima, θ é o ângulo entre o feixe incidente e o feixe refletido,

é o ângulo medido através do goniômetro se a superfície da amostra estivesse sobre

o eixo :

(39)

é a medida do ângulo entre o feixe incidente e o feixe refletido, medida

utilizando o goniômetro:

(40)

Nessa representação esquemática do processo de medição utilizando um

goniômetro com o fotodetector, o feixe incide na superfície da amostra vindo pela

27

direita, sendo refletido sob um ângulo de , e o valor medido pelo goniômetro é de

.

O feixe em pontilhado esta representando um feixe refletido pela amostra se a

superfície estivesse exatamente sobre o eixo do goniômetro. Nessa posição, o

ângulo de reflexão seria novamente , e o valor medido pelo goniômetro de .

Dessa forma, observamos que a espessura d da amostra, induz uma variação na

medida real e a medida observada:

(41)

Analisando a relação entre os ângulos:

Seja R o a distancia entre o eixo de rotação e o fotodetector, podemos

desenhar o triangulo:

Figura 12- Triangulo retirado de parte da figura 11

Usando a lei dos senos:

28

Obtemos então a variação do ângulo, e podemos fazer a correção dos dados:

(42)

CAPITULO IV

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Inicialmente foi feito uma medida da amostra de vidro PAN de 0,75mm de

espessura, que serviu de referência, comparando o resultado do Índice de refração

obtido, com os dados da literatura (MARTINS,2009). O valor de R é 12,6cm:

Tabela 1- Relação entre a intensidade medida e os ângulos de reflexão para amostra vítrea pura PAN

Θº Θº corrigido* Tensão (mV) º (mV)25 25,137 44,6 0,01 0,00530 30,150 42,4 0,01 0,00535 35,105 29,9 0,01 0,00550 50,257 8,98 0,01 0,05

29

55 55,288 1,01 0,01 0,0555,5 55,400 0,725 0,01 0,00556 56,282 0,519 0,01 0,005

56,085 56,298 0,502 0,01 0,00556,17 56,45 0,494 0,01 0,00556,25 56,533 0,478 0,01 0,00556,335 56,523 0,495 0,01 0,00556,417 56,705 0,49 0,01 0,005

58 58,291 0,782 0,01 0,00563 63,452 8,751 0,01 0,00568 68,300 19,856 0,01 0,005

*correção utilizando a equação (42)

Na tabela 1 acima, temos os valores corrigidos para os ângulos θ, e os

valores de tensão (proporcionais a intensidade luminosa). Representando os valores

em um gráfico:

20 30 40 50 60 70

0

10

20

30

40

50 Matriz PAN pura Polynomial Fit of Data6_B

Tens

ão[m

v]

θ

Figura 13 Gráfico de intensidade pelo ângulo de reflexão para amostra de referencia PAN (pura)

O ponto onde a tensão apresenta um valor mínimo, é a posição angular

para o qual o feixe refletido é zero, esse é o ângulo de Brewster, que esta localizado

em θ=56,54o±0,01o. Calculando o valor do índice de refração através da relação:

O erro da medida do Índice de refração é escrito como:

30

O valor final do índice de refração 1,51±0,02 , esta dentro do intervalo de

variação do índice de refração para amostra vítrea PAN encontrado na literatura e

que foram medidos via interferometria (MARTINS,2009):

Tabela 2- Valores do índice de refração para as matrizes Fosfato e Borato.(MARTINS,2009)

P A N

P A N + 0 ,05% C o2O 3

P A N + 1 ,5% N d2O 3

P A N + 2 ,5N d2O 3

P A N + 4 ,0N d2O 3

P A N + 0 ,5P r6O 11

P A N + 2 ,0% P r6O 11

P A N + 4 ,5% P r5O 11B A N

B A N + 4 ,0% N d2O 3

B A N + 3 ,5% P r6O 11

1,48

1,49

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

Indi

ce d

e R

efra

çao

Figura 14 - Valores dos índices de refração para matrizes vítreas puras BAN e PAN, e também as matrizes vítreas com algumas dopagens.

31

No gráfico da figura 14, observamos que na media, o valor do índice de

refração pouco varia, ficando em torno de 1,51±0,02.Porem, esta claro que o gráfico

não demonstra uma tendência para um crescimento ou decrescimento do índice de

refração em função da concentração das amostras, devido a precisão das medidas.

Existe uma relação linear entre a concentração de dopantes em uma matriz

vítrea e seu índice de refração (GUNTER;CLOSS,1975), a tabela 5 demonstra a

variação da uma matriz vítrea CaF2 dopada com concentrações crescentes de Nd, à

uma temperatura de 25º C e para diferentes comprimentos de onda. Observamos

que uma variação na segunda casa decimal no índice de refração ocorre somente

para uma variação da ordem de 103 % na concentração de dopantes.

Tabela 1 índice de refração para Nd:CaF2 à 25o C ((GUNTER;CLOSS,1975)

A precisão das medidas realizadas medindo o ângulo de Brewster é de 0,02,

fazendo com que para as variações no índice de refração devido as dopagens por

Nd não fossem detectadas.

32

4.1.Conclusão

Outras técnicas de medidas de índice de refração, como por exemplo a

técnica de interferometria (CARROLL;HENRY,2002), apresentam resultados com

precisão em torno de 10-5 e 10-6, dependendo da montagem e do tipo de amostra

utilizadas. Dessa maneira, a técnica de medida de índice de refração através da

medida do ângulo de Brewster, mostrou-se imprópria para a caracterização de

materiais em laboratórios de pesquisa, devido sua pequena precisão. Por outro lado,

o experimento seria melhor aplicado em laboratórios de ensino de física, pois

explora o conceito físico de polarização, e a relação do campo eletromagnético entre

dois meios com índice de refração diferentes, além de apresentar uma montagem

com pequeno nível de dificuldade.

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