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MecânicaeOndas

Ondasestacionáriasemcordasvibrantes ObjectivoEstudodasondasestacionáriasemcordasvibrantes.Estudodavariaçãodafrequênciaderessonânciadaondacomatensãoeocomprimentodacorda.Determinaçãodavelocidadedepropagaçãodaonda.Excitaçãodeharmónicas.

1. IntroduçãoteóricaPara produzirmos uma ondamecânica precisamos de uma fonte de perturbação dummeiomaterial.Umaondamecânicaconsisteassimnotransportedeenergiadeumpontopara o outro domeiomaterial, sem que haja transporte dematéria. O transporte deenergiaérealizadopelainteracçãodaspartículasdomeiocomassuasvizinhas.Nestetrabalhovamosestudaraondasestacionárias,unidimensionaisquesepropagamnumacordaelástica,esticadaefixanassuasextremidades.A função matemática que descreve a oscilação duma corda elástica, uniforme, dedensidadelinear𝜌esubmetidaaumatensão𝑇! ,muitosuperioràforçadegravidade,édaforma𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin(!!

!𝑥 − !!

! 𝑡) =𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔 𝑡)(1)

𝑥 e𝑡são as variáveis para a posição e tempo, respectivamente, T é o período,𝜆ocomprimentodeonda(c.d.o),𝑘 = 2𝜋

𝜆éonúmerodeondae𝜔 = 2𝜋𝑇éa frequência

angular.Estaondapropaga-secomvelocidade

v = !!= !

!= !!

!(2)

Se uma onda harmónica for introduzida numa corda cujas extremidades distam de𝐿,ficará confinada a propagar-se numa região limitada do espaço. Ao chegar a uma dasextremidadesaondaéreflectidaeinterferecomaporçãodaondaqueviajaparaaquelaextremidade.Dasobreposiçãodestasduasondasquesepropagamnamesmadirecção,masemsentidosopostos,surgeemgeralumpadrãoirregular,variávelnoespaçoenotempo.Contudo,seacordavibrarcomumafrequênciaadequada,épossívelobterumaonda estacionária, i.e., uma onda em que cada um dos pontos da corda tem umaamplitudeconstante.Consideremosumaondaharmónica,quesepropaganumacorda,paraadireita,comavelocidadev.Descritapelaequação𝑦! 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔 𝑡)(3)

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Consideremosagoraumaoutraondaharmónica, idêntica,quesepropaganacordaemsentidocontrário,descritapor𝑦! 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔 𝑡)(4)Aondaresultanteserá,peloprincípiodasobreposição,asomadaquelasduasondas,i.e.,𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦! 𝑥, 𝑡 + 𝑦!(𝑥, 𝑡)(5)ouseja𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 sin(𝑘 𝑥)cos (𝜔 𝑡)(6)A onda descrita pela equação (6) designa-se por onda estacionária e tem duascaracterísticasinteressantes:1. Cada posição𝑥! da corda oscila verticalmente, ao longo do tempo, de formasinusoidal,deacordocomaequação𝑦 𝑥!, 𝑡 = 2𝐴 sin(𝑘 𝑥!) cos (𝜔 𝑡)(7)2. Num determinado instante de tempo,𝑡!,(por exemplo capturado através de umafotografia instantânea da corda), esta apresenta a forma espacial de uma sinusóidedescritapor

𝑦 𝑥, 𝑡! = 2𝐴 cos 𝜔 𝑡! sin(𝑘 𝑥)(8)Se tirarmos fotografias sucessivas das oscilações da corda e sobrepusermos todas asimagens,obtemosumafiguracomoaspectosemelhanteaorepresentadonafigura1.

Fig.1Representaçãoesquemáticadeumdosmodosdevibraçãodeumacordacomasextremidades fixas. No momento inicial a corda tem o comprimento dado peloafastamentoentreasduasextremidadesdesuporte.A equação (6)mostra que nas posições𝑥! onde se verifica a relação𝑘𝑥! = 𝜋𝑛, 𝑛 =

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0,1,2,3, . . . ,as amplitudesdeoscilação sãonulas, ou sejaospontos 𝑥! =!!𝑛 sãoos

nodos da corda. Se a distância entre os dois extremos (fixos) da corda for𝐿então osc.d.o.’s𝜆!,devemverificaracondição𝜆! =

!!!(9)

Estaequaçãmostraqueexistem𝑛 (= 1, 2,3,… )modosdevibraçãodacordacompatíveiscom a distância𝐿entre os pontos de fixação das extremidades da corda. A partir dasequações(2)e(9)obtemosasfrequênciasdeoscilação𝑓! =

!!!!= 𝑛 !

!!(10)

ouainda

𝑓! =!!!

!!!= 𝑛 𝑓!(11)

Verifica-se assim que, dependendo da tensão𝑇! aplicada à corda, da sua densidadelinear𝜌, e do seu comprimento em repouso,𝐿, poderão ser observados modos devibração de acordo com a expressão (11) para valores𝑛 = 1,2,3,4…Estesmodos devibração podem ser excitados externamente e correspondem a situações em que aamplitudedeoscilaçãoémáxima.As frequênciasque lhes correspondemdesignam-sepor frequênciasderessonância.Omodode frequênciamaisbaixo(n=1)designa-sepormodofundamentalderessonância.Paracadac.d.o. 𝜆!,ospontos𝑥! cujaamplitudedeoscilaçãoémáxima,designadosporanti-nodos,estãosituadosameiocaminhoentredoisnodosconsecutivosouseja

𝑥! = (2𝑙 + 1) !!!(𝑙 = 0, 1,… . , 𝑛 − 1)

Oquemostraqueaharmónicadeordem𝑛terá𝑛anti-nodos.2.Trabalhoexperimental

AmontagemautilizarnestetrabalhoestáilustradanaFig.2.epermiteajustaratensãoeo tipodeexcitaçãoaque se sujeitamcordasmetálicas semelhantesàsutilizadasemguitarras. As cordas sãomontadas num banco onde a tensão é controlada através docorrectoposicionamentodeumpesonumadasextremidadesda corda (naFig.3podever-seessepesonocantoinferiordireito).A corda pode ser submetida a vários tipos de força excitadora (por exemplo: forçamecânica,aplicadapelo toquedeumobjecto; forçamagnética,aplicadaatravésdeumdispositivo de excitação). A vibração da corda é detectada comum sensormagnético,constituídoporumapequenabobineposicionadanoutropontodobancodamontagem.Comoacordaseencontrafixanasduasextremidades,asondasquesepodemobservardesignam-seporondasestacionáriasepermanecemenquantoduraraforçaexcitadora.

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Fig.2Fotodamontagemdotrabalhodacordavibrante

Fig.3EsquemadamontagemdesuporteeexcitaçãodacordavibranteAvibraçãoqueocorrenacordapodeseresquematizadacomoseapresentanaFig.3.2.1Materialparaotrabalhoexperimental:

1.Basede fixação, incluindoumaescalagraduadaeumaparelhode força, constituídoporumbraçoeumparafusodeajustedatensãonacorda.2.Doissuportesdefixação3.Cordadeguitarracomdensidadelinearnominalρ=1,84g/m.4.Duasbobinas:- “DRIVER” (dispositivodeexcitação), quepermite induziroscilaçõesna corda e excitar os seus modos de vibração;- “DETECTOR” (sensor), que permitedetectaraamplitudedosmodosdevibração.5.Massadevalor 𝑚 = 1 𝑘𝑔.6.Geradordesinais.7.Osciloscópio.2.2Montagemexperimental1)Acordadeveserinstaladasobreabasedaexperiência,ficandopresanumdosladosaocilindrocujaposiçãoécontroladapeloparafusodeajuste(ladoesquerdodabase,nafig.4)edooutroladoaobraçoondesesuspendeamassa.2)Acordaficaapoiadaemdoissuportescolocadossobreaescalagraduadadabase,os

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quaisdevemdistar𝐿 = 60 𝑐𝑚(suportedaesquerdanaposição 𝑥 = 10 𝑐𝑚;suportedadireitanaposição𝑥 = 70 𝑐𝑚;verfig.4).

Fig.4Esquemadamontagemexperimental,incluindoligaçõeseléctricas

Fig. 5 Aparelho de força para ajuste da tensão da corda. A tensão aplicada à corda𝑇! = 𝑚𝑔𝑝,éfunçãodaposição,𝑝,damassa3) A massa𝑚deve ser colocada numa das posições𝑝 = 1, 2, 3, 4, 5do braço da base(Fig. 4), consoante a tensão𝑇! = 𝑚𝑔𝑝, a que sepretende sujeitar a corda (ver Fig. 5)co(𝑔 = 9,8 𝑚𝑠!!)4)Osinaldogeradordesinaisdevealimentaro“DRIVER”eserintroduzidonocanal1doosciloscópio(verfig.4).Osinaldo“DETECTOR”deveserintroduzidonocanal2doosciloscópio.2.1 Determinação da frequência do modo fundamental e da velocidade depropagaçãoemfunçãodatensãoaplicadaàcordaParamedira frequênciadomodo fundamentalderessonânciadacorda,emfunçãodatensãoaplicada𝑇 ! ,eparaumcomprimento𝐿 = 60 𝑐𝑚,procedadoseguintemodo:1) Suspenda a massa na posição𝑝 = 5, correspondente à maior tensão aplicada àcorda.Ajusteoparafusodeformaqueobraçodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.

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2) Coloque as 2 bobinas sobre o suporte. Posicione o “DRIVER” a5 𝑐𝑚de um dossuporteseo“DETECTOR”nopontomédiodacordaentreosapoios.3)Ligueogeradordesinaiseoosciloscópio.Seleccioneogeradordesinaisparaondassinusoidais com uma frequência próxima da que seria esperada teoricamente paraaquelatensãoaplicada(consultarcoluna2doQuadro1.Ajusteaescaladoosciloscópioentre0,1– 0,5 𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜no canal 1 e entre10– 50 𝑚𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜no canal 2. Coloque oosciloscópioemmodoX-Y.

Fig.6Imagensdogeradoredoosciloscópioutilizadosnotrabalho.OosciloscópiomostraumafiguradeLissajous,obtidaemmodoX-Yquandoossinaiseléctricosdoscanais1e2têmamesmafrequência.4) Coloque a corda em vibração dedilhando-a suavemente no ponto médio, junto aodetector. Ajuste lentamente a frequência do gerador, aumentando-a ou diminuindo-a,atéobservarumafigurasemelhanteaumaelipsenoosciloscópio(verFig.6).Confirmequeparafrequênciasmenoresqueessanãoencontraoutrasituaçãosemelhante.5)ColoqueoosciloscópioemmodoTEMPOeconfirmeoaumentodaamplitudedosinaldo“DETECTOR”(canal2),correspondenteàsituaçãoderessonância,i.e,determinequalafrequênciaquemaximizaaamplitudedeoscilaçãodacorda.6)Registeasfrequênciasmedidasnogeradornacoluna3doQuadro1.7) Calcule a velocidade de propagação, correspondente ao modo fundamental deressonância.8)Repitaoprocedimento4)-7)paraasoutrasposições𝑝 = 4, 3, 2, 1damassa,nobraçodabase.9) Use o computador que está junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgráficodafunção𝑓!(𝑇!)comoconjuntodepontosexperimentais.Ajusteumafunçãodotipo“power”(potência)aessespontosexperimentais,eutilizeosparâmetrosdeajusteparaestimaradensidadelineardacorda.2.2DeterminaçãodafrequênciadevibraçãodomodofundamentalderessonânciaemfunçãodocomprimentodacordaPretende medir-se a frequência do modo fundamental de ressonância da corda, em

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funçãodatensãoaplicadamínima(𝑇𝑒 = 𝑚𝑔;massanaposição1),paracincovaloresdocomprimento𝐿 dacorda.1) Suspenda a massa na posição𝑝 = 1, correspondente à menor tensão aplicada àcorda.Ajusteoparafusodeformaqueobraçodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.2)Mova5 𝑐𝑚osuportedefixaçãodadireita,queseencontrajuntodobraçodabase,daposição𝑥 = 70 𝑐𝑚paraaposição𝑥 = 65 𝑐𝑚.3)Reposicioneas2bobinassobreosuporte.Mantenhao“DRIVER”a5cmdeumdossuportesecoloqueo“DETECTOR”nopontomédiodacordaentreosapoios.4) Sigaoprocedimentodescritonospontos4)-6)daparte2.1do trabalho.Repetir asmediçõesparanovasposiçõesdosuportedadireita(movendo-ode5 𝑐𝑚em5 𝑐𝑚,atéàposição 𝑥 = 50 𝑐𝑚) e do “DETECTOR” (sempre colocado no ponto médio da cordaentreosapoios).5) Use o computador que está junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgráficoda função𝑓! 𝐿 , comoconjuntodepontosexperimentaiseajusteuma funçãodo tipo “power” (potência) a esses pontos experimentais, e utilize os parâmetros deajusteparaestimaradensidadelineardacorda.2.3Determinaçãodasfrequênciasdevibraçãodemodossuperiores(harmónicas)Pretende-semedir as frequências dosmodos superiores (harmónicas) de vibração dacorda, com tensão aplicada mínima ( 𝑇𝑒 = 𝑚𝑔 ; massa na posição 1) para umcomprimento𝐿 = 60 𝑐𝑚.1)Calculeasfrequênciasda2ª,3ªe4ªharmónicasanotandooseuvalornacoluna1doQuadro3.Calculeosc.d.o.’scorrespondenteseanote-osnacoluna2domesmoQuadro.2)Coloqueosuportedefixaçãodadireitanaposição𝑥 = 70 𝑐𝑚.3) Coloque o “DRIVER” numa posição correspondente a (10+𝜆!/4)e o “DETECTOR”

numaposiçãocorrespondentea(10 + 𝐿 − !!!).

4) Esboce a forma de onda correspondente à oscilação da corda entre os pontos deapoio,nestecaso.5)Repita ospontos anteriores,movendoo “DRIVER”para𝜆!/4e o “DETECTOR”para(10 + 𝐿 − 𝜆!/4)ereajustandoafrequênciadogerador,deformaaexcitaredetectarasharmónicasdeordem3e4devibraçãodacorda.Paracadaharmónicaesboceaformadeondacorrespondenteàoscilaçãodacordaentreospontosdeapoio.