mecânica estatística
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PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 29/09/2005 12:17 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
Capítulo 24 - Mecânica Estatística
Problemas
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos 25. (a) Calcule Erms utilizando a distribuição de energias dada pela equação
kTEeEkT
NEn /2/12/3)(
12)( −=π
(b) Por que temos Erms ≠ ½ mvrms2, onde
MRTvrms
3=
(Pág. 216) Solução. (a) A energia média quadrática é dada por:
∫∞
==0
222 )(1 dEEnEN
EErms
∫∞ −=
0
/2/12/3
22
)(121 dEeE
kTNE
NE kTE
rms π
∫∞ −=0
/2/52/3
2
)(2 dEeEkT
E kTErms π
(1)
Nas equações acima, N é o número de moléculas, k é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta, E é a energia, M é a massa molar, R é a constante universal dos gases, Erms é a energia média quadrática e vrms é a velocidade média quadrática. A integral de (1) pode ser resolvida a partir de uma mudança na variável de integração. Seja E = x2. Isso implica em E5/2 = x5 e dE = 2 x dx. Chamando-se temporariamente 1/kT = a e substituindo-se essas relações em (1), tem-se:
∫∫∞ −∞ − ==
0
62/30
52/3
2 22
)(42
)(2 dxex
kTdxxex
kTE axax
rms ππ (2)
A integral 16 apresentada na pag. A-274, equação (3), pode ser utilizada para resolver a integral de (2).
aa
ndxex nnaxn π
∫∞
+− −⋅⋅
=0 1
2
2)12(5312
(3)
Aplicando-se a integral de (3) em (2):
aakTaakT
Erms11
)(415
2531
)(4
32/3342/32 =
⋅⋅=
ππ
(4)
Substituindo-se o valor de a = 1/kT em (4):
22/132/3
2 )(4
15)()()(4
15 kTkTkTkT
Erms ==
kTErms 415
=
(b) O valor de ½ mvrms2 é dado por:
kTNRT
MRTmmv
Arms 2
3233
21
21 2 ===
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onde foram utilizadas as identidades NA = M/m e k = R/NA, onde NA é o número de Avogadro e m é a massa de cada molécula. Como se pode notar, o termo ½ mvrms
2 corresponde à energia interna por molécula, Eint = 3/2 kT, que corresponde à energia interna total dividida pelo número de moléculas.
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
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Isto corresponde a uma média aritmética da energia. O termo Erms corresponde a uma média quadrática da energia, que é sempre maior do que a correspondente média aritmética.
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