Mecanica e Ondas

fascıculo 19

Copyright c© 2008 Mario J. PinheiroAll rights reserved

May 15, 2011

Contents

20 Oscilacoes amortecidas 51020.1 O factor Q de um oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51620.2 Oscilacoes forcadas: ressonancia e impedancia mecanica . . . . . 51920.3 Ressonancia da amplitude. Ressonancia da velocidade . . . . . . 52120.4 Ressonancia da velocidade. Impedancia mecanica . . . . . . . . . 52320.5 Aspecto energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52520.6 Absorcao de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52620.7 Oscilacoes acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

21 Conceito de onda 53821.1 Equacao das cordas vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54121.2 Intensidade de uma onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54221.3 Modos normais de vibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54321.4 Natureza das ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasmas e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

509

“Everyone has been made for some particular work, and the desirefor that work has been put in every heart.”

- Rumi, poeta afegao (1207-1273)

“Advance, and never halt, for advancing is perfection. Advance anddo not fear the thorns in the path, for they draw only corrupt blood.”

- Kahlil Gibran (1883-1931), grande poeta Libanes.

20 Oscilacoes amortecidas

Na ausencia de atritos a amplitude da oscilacao e constante no tempo. Porem,na pratica, observamos que as oscilacoes reais param ao fim de certo tempo,sao amortecidas devido a accao de forcas de atrito associadas a fenomenosirreversıveis que dissipam a cada oscilacao uma fraccao da energia do osciladorpara a transformar, por exemplo, em calor. Este e o caso do atrito entre doissolidos presente em mecanismos tais como eixos, parafusos, ...

Apesar da forca de atrito entre pecas solidas se encontrar presente em todas asarticulacoes mecanicas, o tipo de forca que se manifesta numa grande variedadede sistemas mecanicos e a forca de atrito do tipo fluido viscoso que aje no sentidocontrario a velocidade (Fig. 1):

−→F = −b−→v , (20.1)

onde b e uma constante positiva que depende das propriedades do fluido e ge-ometria do objecto. A equacao do movimento e dada por

m−→a = md2xdt2 =

∑i

−→F ext

i

md2xdt2 = −kx− bv.

(20.2)

A equacao caracterıstica da Eq. 20.2 e

α2 + 2λα + ω2o = 0, (20.3)

onde 2λ = bm e ω2

o = km . O seu descriminante reduzido e:

∆ = λ2 − ω2o . (20.4)

Existem tres solucoes possıveis da Eq. 20.2:

• ∆ > 0 ou λ > ωo - regime aperiodico: o atrito fluido e importante.

510

Figure 1: Sistema massa-mola com amortecimento.

As duas solucoes da caracterıstica sao reais e negativas:

α1 = −λ +√

λ2 − ω2o

α2 = −λ−√

λ2 − ω2o

(20.5)

A solucao geral e do tipo

x(t) = A1e−( γ

2 +β)t + A2e−( γ

2−β)t, (20.6)

onde

β2 =γ2

4− ω2

o . (20.7)

• ∆ < 0 ou λ < ωo - movimento oscilatorio amortecido: o atrito fluidoe fraco.

As raızes da equacao caracterıstica sao:

α1 = −λ + iω′ α2 = −λ− iω′, (20.8)

onde i representa o numero imaginario, i =√−1.

A solucao desta equacao e do tipo:

x = Aoe− b

2m t cos(ω′t + δ)x = A(t) cos(ω′t + δ)

(20.9)

511

Figure 2: Grafico do deslocamento x versus tempo. Quanto maior for b, maior oamortecimento, e mais rapidamente decresce a amplitude (mostrada com curvasa tracejado), enquanto que T aumenta, sendo To o perıodo na ausencia de atrito.

onde

ω′2 =k

m− b2

4m2(20.10)

e, portanto,

ω′2 < ω2o =

k

m(20.11)

A Fig. 2 mostra o grafico da funcao para dois valores distintos do coeficiente deatrito b.

A amplitude decresce com o tempo:

E = 12kA2

E(t) = 12kA2

oe− b

m t

E(t) = Eoe− b

m t = Eoe−γt

(20.12)

γ = bm e o seu inverso τ = 1/γ chama-se constante de amortecimento e

mede quanto tempo o oscilador perde 1/e do valor da sua energia inicial.

Chama-se factor de qualidade Q de um oscilador harmonico submetido a umamortecimento viscoso, ao produto:

Q = ωτ. (20.13)

Pode-se igualmente definir Q como o racio da energia dissipada em cada os-cilacao, sobre a energia total do oscilador:

Q = 2πenergia− do− oscilador

energia− dissipada− por − periodo. (20.14)

512

Figure 3: Oscilador acustico.

Exemplo 1: Oscilador acustico.

Um vaso de volume V encontra-se obstruıdo por um embolo de seccao S ede massa m, podendo-se mover no interior do colo de comprimento l do tubocilindrico (Fig. 3). No equilıbrio, a posicao do embolo esta em x = 0 e a pressaono interior do vaso e P , sendo Po a pressao no exterior, e as duas sao iguais noequilıbrio, P = Po.

QuadroNegro 1

513

Aplicacao numerica : S = 1 cm2, Po = 105 Pa, ρo = 10−3 g/cm3, l = 1 cm,Vo = 1 l, ω = 1.2 rad/s, ou ν ' 200 Hz.

Exemplo 2: Movimento de rolar 1 de um navio.

O movimento de “roulis”, brusco ou lento, provoca sempre problemas a bordo:carga solta, acidentes humanos, enjoo, ...Em geral, os navios possuem sistemasestabilizadores que contrariam o movimento. Pequenas quilhas laterais ou esta-bilisadores activos, tais como hidrofolios anti-roulis comandadas por uma centralde estabilisacao contrariam o movimento. Assimile um navio a um meio-cilindrohomogeneo de raio R, comprimento L e densidade volumica ρ. O momento deinercia el relacao ao eixo XX’ mostra-se que e Ix = 1

2MR2. Quando o navio estaem equilıbrio, o peso M−→g aplicado no ponto Go e a impulsao de Arquimedes−→Π aplicada em G′ - por baixo de G - para que resulte equilıbrio do navio, saoiguais e directamente opostos. Quando o navio se inclina de um angulo θ, ovolume de agua deslocado e

−→Π permanecem invariaveis, enquanto que o o ponto

de aplicacao do peso desloca-se de Go para G. O navio fica sujeito a um binarioque tende a traze-lo de volta ao equilıbrio e o navio e estavel. Determine operıodo das oscilacoes do navio devido a este tipo de movimento.

O torque que tende a trazer o navio para o equilıbrio e dado por

−→τ = [−→r ×M−→g ]. (20.15)

τ = Mgd sin θ ≈ MgdθdLdt = Ixα = −Mgdθ

θ + MgdIx

θ = 0.(20.16)

onde d = OG e sendo o perıodo dado por

T = 2π

√Ix

Mgd(20.17)

Aplicacao numerica: L = 100 m, R = 6 m, ρ = 0.43 g/cm3, g = 9.8 m/s2.

⇒ T = 5.33s. (20.18)

Finalmente, outro tipo de oscilacao possıvel corresponde ao seguinte valor dodiscriminante reduzido:

• ∆ = 0 ou λ = ωo - movimento aperiodico crıtico.

A raiz dupla da caracterıstica e α = −λ e a solucao geral e do tipo:

x(t) = (A + Bt)e−γt2 . (20.19)

1Em frances, diz-se “roulis” e em ingles, “roll”.

514

G'

G0

G

Mg

Π

θ

θ

Ο

Movimento de “roulis”

Obras vivas

Plano diametral

Navio adornado

Navio aprumado

Figure 4: Movimento de “roulis” de um navio. Seccao do plano transversal.

515

Sejakm − b2

4m2 = 0⇒ bc = 2

√km.

(20.20)

bc e o factor de amortecimento crıtico que corresponde ao caso limite parao qual o movimento muda de oscilante para aperiodico.

Recordamos que a frequencia de oscilacao do sistema massa-mola com atrito edada por

ω′2 = ω2o −

γ2

4. (20.21)

Se b > bc, ω′2 < 0, o que significa que nao ha oscilacao.

No caso do amortecimento crıtico, temos b = bc = 2√

mk.

O amortecimento crıtico e importante no sistemas mecanicos. Uma forca con-stante aplicada subitamente a um sistema que se encontra inicialmente em re-pouso resulta numa nova posicao de equilıbrio sem oscilacao ou solavanco. Logoque se pretende um regresso rapido a posicao de equilıbrio, tem-se que ser es-colhido este regime crıtico. O que acontece, por exemplo, com os amortecedoresdos automoveis, os instrumentos de medida das balancas, os galvanometros.

Note tambem que:E = 1

2mv2 + 12kx2

dEdt = mv dv

dt + kxdxdt

= v(ma + kx)= −bv2

(20.22)

Em resumo:

Se b = 0, nao existe amortecimento, dE/dt = 0, isto e, E = Const..

Se b 6= 0, E decresce com o tempo.

20.1 O factor Q de um oscilador

Vimos anteriormente que a energia media do oscilador decai exponencialmentecom o tempo:

< E >= 12mω2

oA2e−γt

= Eoe−γt (20.23)

E costume definir o tempo de decaimento τ o intervalo de tempo ao fim do quala energia media decai uma fraccao 1/e do seu valor inicial,

τ = 1γ (a)

d<E>dt = −γ < E > (b)

(20.24)

γ representa a taxa de decrescimo relativo da energia media por unidade detempo. Da Eq. 20.24-(b) obtem-se

∆ < E >= −d < E >

dtτ = γ < E > τ (20.25)

516

Define-se o factor de merito (ou factor “Q” 2) do oscilador, a grandeza semdimensoes:

Q = 2π

(Energia− armazenada− no− oscilador

Energia− dissipada− por − ciclo

). (20.26)

O factor “Q” pode-se ainda escrever na forma:

Q = 2π< E >

∆ < E >=

2π

γτ=

ωo

γ. (20.27)

Exemplo 3: Um diapasao musical vibra a frequencia de 440 Hz. Um medidorde nıvel de som indica que a intensidade de som decresce de um factor 5 em 4s. Qual e o factor de qualidade do diapasao?

A intensidade do som provindo do diapasao e proporcional a energia do os-cilador. A energia do oscilador decresce como

E(t) = Eoe−γt, (20.28)

onde τ = 1γ = m

b .Eoe−γ4

Eoe−γ0 = 15 = e−γ4

∴ 4γ = ln 5 = 1.6γ = 0.4s−1.

(20.29)

e o factor de qualidade e

Q =ω′

γ=

2π4400.4

≈ 7000. (20.30)

As perdas de energia devem-se principalmente ao aquecimento do metal quandoeste dobra, ao atrito do ar e a perda de energia no “pivot” do diapasao.

Exemplo 4: Os motores de detonacao pulsado, “pulsejet”, despertam actual-mente grande interesse em propulsao aeronautica. Foram usados na WWII pelosalemaes com a designacao V-1 “buzz-bomb” (Fig. 5). Paul Schmidt, consider-ado por muitos como o seu inventor, considerava-o um motor de ressonanciaacustico, no sentido em que todos os estagios do ciclo mecanico sao realizadospor ondas estacionarias geradas pela explosao da mistura ar-combustıvel. Ocomportamento das ondas estacionarias e determinado pela geometria e as pro-priedades acusticas e mecanicas do motor. Cabe ao engenheiro a “afinacao do“pulsejet”, tal como se se tratasse de um orgao de igreja.

O “pulsejet” produz impulso quando o combustıvel (ex: gasolina, metanol,...) einflamado aproximadamente a frequencia de resonancia do motor. Usualmente,a configuracao do motor e tal que o ar e introduzido atraves das valvulas naparte frontal do motor, sendo aquecido por injeccao de combustıvel. Os gasesqueimados sao expelidos e o aumento de pressao obriga as valvulas de entrada

2Factor “Q” para “qualidade”.

517

Figure 5: Pulse jet.

a fecharem-se e os gases produzidos a expandirem-se atraves da conduta deejeccao. Com os gases expelidos ocorre uma queda de pressao na camara decombustao, permitindo uma nova abertura da valvula dianteira, e repetindo-seo ciclo. A funcao da valvula de abertura e a de impedir a reversao do fluxo, oque anularia o movimento unidirecional. Porem, a reversao do fluxo pode serigualmente impedida por meio de uma concepcao apropriada do funcionamentodas valvulas e da area de injeccao. O “factor de qualidade” do ressoador e departicular importancia, assim como a fısica dos fenomenos ondulatorios asso-ciados. A maioria das vezes os engenheiros se limitam a correccoes ad-hoc domotor.

Exemplo 5: o Efeito “Pogo” Os motores de foguetao estao todos sujeitosa fluctuacoes de impulso, devido ao processo de injeccao de combustıvel, suaexplosao e expansao na camara de exaustao, que nao e perfeitamente uniforme.Este processo repetitivo gera um movimento oscilatorio caracterizado por umadada frequencia. Se esta frequencia coincidir com a frequencia de oscilacoes lon-gitudinais do foguetao, este vibrara perigosamente na longitudinal, constituindoo tal efeito “Pogo” (o mesmo nome do brinquedo). Na astronautica conta-se ocaso da descolagem do Apollo 6 que comecou de imediato com problemas. Logoapos a queima do foguetao do primeiro andar, o veıculo iniciou um perıodo de30 s com severas oscilacoes longitudinais, como se fosse um diapasao.

518

20.2 Oscilacoes forcadas: ressonancia e impedancia mecanica

Vimos que os fenomenos dissipativos reduzem as amplitudes das oscilacoes. Es-tudaremos em seguida as condicoes em que se podem entreter as oscilacoes comaplitude constante- o fenomenos das oscilacoes forcadas.

Consideremos um sistema submetido a uma forca

f(t) = fo cos ωt. (20.31)

A equacao do movimento e

md2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = fo cos ωt. (20.32)

A solucao geral desta equacao e a soma de um integral geral da equacao sem se-gundo membro, x1(t), e de um integral particular x2(t) da equacao com segundomembro:

x(t) = x1(t) + xo cos(ωt + δ), (20.33)

onde δ representa o angulo de fase de x com F . O esquema representativo destesistema mecanico encontra-se representado na Fig. 6.

No inıcio do movimento a expressao x(t) e complicada pois representa o regimetransitorio. Ao fim de um certo tempo a solucao x1(t) tende para zero e, nofinal, resta somente a solucao x2(t) que define o regime permanente.

As oscilacoes permanentes

x2(t) = xo cos(ωt + δ) (20.34)

sao designadas de oscilacoes forcadas: a sua pulsacao e a da forca aplicada ee independente das caracterısticas do sistema oscilante.

20.2.1 Pesquisa do sistema oscilante

Associemos a equacao do movimento anterior a equacao diferencial:

md2z

dt2+ b

dz

dt+ kz = foe

iωt, (20.35)

onde z e uma quantidade complexa. Vamos procurar uma solucao da forma

z = xoeiδeiωt = xeiωt (20.36)

ondex = xoe

iδ, (20.37)

e i =√−1 e o numero imaginario puro. Temos sucessivamente

z = xeiωt (a)dzdt = iωxeiωt = iωz (b)

d2zdt2 = −ω2z (c)

(20.38)

519

k

b

x

m f(t)

Figure 6: Representacao grafica do sistema massa mola forcado e com atrito.

520

de onde resulta(−mω2 + ibω + k)x = fo (a)

x = fo

(k−mω2)+iωb (b)(20.39)

Podemos desenvolver um pouco mais o calculo:

xoeiδ = x = fo[(k−mω2)−ibω]

(k−mω2)2+(bω)2 (a)

= fo(k−mω2)(k−mω2)2+(bω)2 − i fobω

(k−mω2)2+(bω)2 (b)∴ tan δ = − ωh

k−mω2 (c)xo = fo√

(k−mω2)2+(bω)2(d)

(20.40)

A fase δ diz-nos que o deslocamento atinge o seu valor maximo para um dadoangulo δ antes da forca.

Este regime e uma oscilacao sinusoidal de pulsacao (ou frequencia angular) igual

a pulsacao excitatriz ω, diferente da pulsacao propria do oscilador ωo =√

km .

Diz-se que o movimento e uma oscilacao forcada por um excitador externo.

20.3 Ressonancia da amplitude. Ressonancia da veloci-dade

Consideremos agora o denominador da Eq. 20.40-(d) na forma

xo = foA−1/2 (20.41)

e procuremos os valores de ω que correspondem ao maximo dessa funcao:

A = (k −mω2)2 + (bω)2

∴ dAdω2 = 2(k −mω2)(−m) + b2 = 0−2mk + 2m2ω2 + b2 = 0

∴ ω2m = 2mk−b2

2m2 = km − b2

2m2 .

(20.42)

Verificamos assim que o maximo da amplitude do movimento oscilatorio ocorrepara uma pulsacao ωm:

ωm =√

ω2o − 2λ2, (20.43)

para a qual diz-se que ha ressonancia entre o oscilador e a forca excitadora.

λ ≡ b2m . ωo ≡

√km e a frequencia natural do sistema na ausencia de atrito e da

forca aplicada.

Para que ωm tenha sentido e preciso que λ < ωo√2, o que corresponde a presenca

de pequenos atritos. Neste caso, xo atinge um maximo e ocorre ressonancia daamplitude. A medida que λ decresce, ωm aumenta provocando o aumento dexo.

Pelo contrario, quando λ > ωo√2, ωm nao e definida e nao ocorre ressonancia.

xo decresce quando ω cresce. Estas observacoes encontram-se condensadas naforma do grafico de Xo = Xo(ω):

521

QuadroNegro 2 - Amplitude versus ω no oscilador forcado.

O avanco de fase δ da oscilacao sobre a forca excitadora e funcao de ω:

tan δ =ωb

mω2 − k=

2ωλ

ω2 − ω2o

. (20.44)

A sua derivada e a seguinte:

(1 + tan2 δ) dδdω = b(mω2−k)−ωb2mω

(mω2−k)2 = bmω2−bk−2mbω2

(mω2−k)2

= − b(k+mω2)(mω2−k)2 .

(20.45)

Com o calculo anterior podemos tracar o grafico de δ(ω), tal como esta repre-sentado em baixo:

QuadroNegro 3 - Grafico de δ = δ(ω).

522

Repare que o deslocamento esta sempre em atraso (de um angulo δ) em relacaoa forca aplicada.

Como se pode concluir do grafico de δ, temos as seguintes situacoes extremas:

• Frequencia de excitacao fraca, ω ¿ ωo, δ → 0.

A resposta a baixa frequencia esta em fase com a forca aplicada. Atendendo aque

xo = fo√m2(ω2

o−ω2)2+(2λω)2

∴ xo → fo

mω2o

= fo

k .(20.46)

Conclusao: a forca elastica controla a resposta do sistema.

• Resposta a frequencia de ressonancia, ω = ωo.

tan δ = ∞⇒ δ = −π2

xo = fo

2mλω = fo

2m b2m ω

= fo

bω . (20.47)

Quanto menor for o atrito, maior sera a amplitude do movimento e maior serao tempo de relaxacao do movimento,

τ =m

b. (20.48)

A resposta maxima e obtida para um angulo de δ = −π/2, quando o desloca-mento tem um atraso de π/2 sobre a forca.

A potencia absorvida pelo oscilador nao depende directamente da fase entre aforca aplicada e o deslocamento, mas entre a forca aplicada e a velocidade.

• Excitacao a alta frequencia, ω À ωo:

δ → −π

xo → fo

mω2 .(20.49)

Neste limite, a resposta diminui como 1/ω2: a inercia da massa controla aresposta as altas frequencias.

20.4 Ressonancia da velocidade. Impedancia mecanica

x e a parte real de z = xeiωt (isto e, x = <z) e v e a parte real de dzdt = iωz.

Vamos agora escreverdz

dt= veiωt ⇒ v = iωx. (20.50)

523

Portanto, temos igualmente

z =v

iωeiωt, (20.51)

donde se obtem aindadzdt = veiωt

d2zdt2 = iωveiωt.

(20.52)

Introduzindo estas derivadas sucessivas na equacao diferencial 20.52, obtem-sefinalmente

(imω + b +k

iω)v = fo. (20.53)

Ora, chama-se impedancia mecanica a expressao:

Z = b + i

(mω − k

ω

). (20.54)

Mostra-se em particular que a amplitude da velocidade das oscilacoes e dadapela expressao:

vo =fo√

b2 + (mω − kω )2

=fo√

b2 + mk(

ωωo− ωo

ω

)2. (20.55)

Qual e o comportamento desta funcao de ω em torno de ωo?

QuadroNegro 4 - Grafico de vo = vo(ω).

524

Conclui-se que, para qualquer λ, a amplitude da velocidade exibe um maximopara ω = ωo; diz-se que ha ressonancia da velocidade. Quanto menor for oatrito λ, mais agudo sera o maximo da amplitude da velocidade.

20.5 Aspecto energetico

Sabemos que

K = 12mv2 U = 1

2kx2

x = xo cos(ωt + δ) v = dxdt = −v0 sin(ωt + δ)

(20.56)

donde se obtem sem dificuldade

K = 12mv2

o sin2(ωt + δ) U = 12kx2

o cos2(ωt + δ). (20.57)

Como vimos na Seccao dedicada ao movimento harmonico simples, os valoresmedios de K, e U sao:

< K >= 14mv2

o < U >= 14kx2

o. (20.58)

Multipliquemos por dx/dt os dois membros da equacao diferencial do movi-mento. Tem-se

md2xdt2

dxdt + b(dx

dt )2 + kxdxdt = fo cosωtdx

dtddt [

12m(dx

dt )2] + b(dxdt )2 + d

dt (12kx2) = fo cos ωtdx

dt .⇒ d

dt (K + U) = fo cos ωtdxdt − b(dx

dt )2.(20.59)

Procuremos o valor medio dos dois membros sobre um perıodo T :

1T

∫ T

0

dE

dtdt = − 1

Tfovo

∫ T

0

sin(ωt + δ) cos ωtdt− 1T

∫ T

0

bv2o sin2(ωt + δ)dt

(20.60)Ora, E e uma funcao periodica:

E(t = 0) = E(t = T ). (20.61)

Resta-nos assim:

−fovo

∫ T

0

sin(ωt + δ) cos ωtdt = hv2o

∫ T

0

sin2(ωt + δ)dt. (20.62)

Podemos aqui usar a conhecida relacao trigonometrica:

sin A cos B =12(sin(A−B) + sin(A + B)), (20.63)

ou seja,sin(ωt + δ) cos ωt = 1

2 [sin δ + sin(2ωt + δ)]⇒ −fovo

12 sin(δ)T = bv2

o12

∫ T

0[1− cos(ωt + δ)]dt

= bv2o

2 [T − sin 2(ωt+δ)2ω ]T0

= bv2o

2 [T − 12ω (sin 2(2π + δ))− sin 2δ]T0

⇒ − 12fovo sin δ = 1

2bv2o .

(20.64)

525

Da Tabela da funcao δ podemos verificar que sin δ < 0. O resultado anteriorleva-nos a concluir que a potencia media fornecida pela forca f e dissipada nosfenomenos de atrito de coeficiente b.

20.6 Absorcao de potencia

Repare que o deslocamento e dado por:

x(t) = xo cos(ωt + δ) = xo cos(

ωt + arctan2ωλ

ω2 − ω2o

). (20.65)

Podemos assim obter a potencia media:

P =< fx >= −foxo < cos ωt sin(ωt + δ) > . (20.66)

Atendendo a que:

cosα sin β =12[sin(α + β)− sin(α− β)], (20.67)

o valor medio do ultimo termo da Eq. precedente tem como resultado

< cos ωt sin(ωt + δ) >=12

< sin(2ωt + δ)− sin(−δ) >=12

sin δ, (20.68)

porque< sin ωt cosωt >= 0. (20.69)

Ora ja vimos que

sin δ =fo

xom

−2ωλ√(ω2

o − ω2)2 + (2λω)2, (20.70)

e inserindo esta expressao na formula da potencia media, obtemos finalmente

P =12

f2o

m

2ω2λ

(ω2o − ω2)2 + (2λω)2

. (20.71)

Na ressonancia tem-se ω = ωo e a potencia media absorvida e

Po =12

f2o

m

2ω2oλ

(2λωo)2=

14

f2o

mλ=

12

f2o

b=

12

f2o

mτ. (20.72)

A potencia media absorvida fica reduzida a metade do seu valor no ponto deressonancia quando ω varia de ±(∆ω)1/2, tal que (Fig. 7):

ωτ = ω2

o − ω2 = (ωo + ω)(ωo − ω) ' 2ωo(∆ω)1/2.⇒ 2(∆ω)1/2 ≈ 1

τ

(20.73)

526

P

ωω0

1/2

2(∆ω)1/2

ω

Figure 7: Potencia em funcao da frequencia para um oscilador harmonicoamortecido.

527

Figure 8: A ponte de “Tacoma Narrows” no dia em foi destruıda pelo fenomenode ressonancia.

Como ja referimos, o factor de qualidade define-se pela expressao:

Q = 2πenergia− armazenada

perda− de− energia− por − periodo=

2πE

P/ν=

E

P/ω. (20.74)

Concluımos assim que

Q ≈ E

E/(ωoτ)≈ ωoτ =

ωo

2(∆ω)1/2=

frequencia de ressonancialargura total a meia altura da potencia

.

(20.75)O factor de qualidade Q mede a fineza da sintonia.

• Sismo: Q = 250÷ 1400

• Corda de piano: Q = 103.

• ...

Na Fig. 8 mostra-se uma serie de fotografias tiradas em Julho de 1940 na Pontede “Tacoma Narrows” no dia em que colapsou. A ponte tinha cerca de 1600metros de comprimento. Bastou que o vento soprasse a 70 km/h para quea ponte comecasse a vibrar. A ponte foi destruıda devido ao fenomeno deressonancia.

528

Exemplo 6: Decaimento da nota de um saxofone: Se um saxofone tıpico possuium factor de qualidade Q = 10, quanto tempo levara uma nota de 100-Hz tocadapor um saxofone a desvanecer-se?

Um factor Q = 10 significa que e preciso 10 ciclos para que a vibracao decaia.Dez ciclos a frequencia angular (ou pulsacao) de 100 Hz corresponde, de acordocom Q ≈ ωoτ a um tempo de relaxacao de 0.1 segundos, o que e curto. A notaemitida por um saxofone nao reverbera como acontece com as notas emitidaspor um piano ou guitarra electrica.

Exemplo 7: Q de um receptor de radio. Um receptor de ondas hertzianas nabanda FM precisa de ser sintonizado com uma largura de banda de 0.1 MHzpara um sinal de frequencia de 100 MHz. Determine o Q do aparelho.

Use aqui Q = ωo

2(∆ω)1/2= 100

0.1 = 1000. Este valor e muito superior ao que eencontra na maioria dos sistemas mecanicos.

Exemplo 8: O factor de qualidade Q de um alti-falante estereo deve ser porum lado baixo, pois de outro modo continuaria a vibrar mesmo apos o final danota musical registada e, por outro lado, sendo baixo, maior sera a gama defrequencias que ele pode reproduzir (relacionado com o factor 2(∆ω)1/2).

20.7 Oscilacoes acopladas

Consideremos um sistema de dois pendulos acoplados com o mesmo compri-mento l e massa m, ligados por uma mola de constante elastica k e sujeitos aoscilar no plano vertical definido pelas suas posicoes de equilıbrio (Fig. 9). Osistema tem dois graus de liberdade.

Sejam x1 e x2 os deslocamentos das duas partıculas suspensas em relacao aposicao de equilıbrio e que por hipotese sejam suficientemente pequenos paraque se possam confundir os arcos com as cordas, x1 ≈ lθ1 e x2 ≈ lθ2. Amola deforma-se com o alongamento x2 − x1, supostamente positiva, tal comose apresenta na Fig. 9 e donde se pode concluir que tera que resultar a forcak(x2 − x1) para a direita agindo sobre a partıcula 1 e −k(x2 − x1) (para aesquerda) agindo sobre a partıcula 2. As duas massas encontram-ser igualmentesujeitas as forcas gravıticas com as componentes tangenciais respectivas:

−mg sin θ1 ≈ −mgθ1 = −mg x1l = −ω2

ox1

−mg sin θ2 ≈ −mgθ2 = −mg x2l = −ω2

ox2(20.76)

onde ωo =√

gl . Desprezando qualquer tipo de amortecimento, obtemos as

equacoes do movimento das duas massas:

mx1 = −mω2ox1 + k(x2 − x1) (a)

mx2 = −mω2ox2 − k(x2 − x1) (b) (20.77)

onde definimos uma nova variavel com o proposito de simplificar a escrita:

K =k

m. (20.78)

529

Dividindo as Eqs. 20.77 por m, obtemos as equacoes do movimento na forma

x1 + ω2ox1 = K(x2 − x1);

x2 + ω2ox2 = K(x2 − x1).

(20.79)

Neste caso, podemos desacoplar as duas equacoes. Somando membro a membro,obtemos primeiro

(x1 + x2) + ω2o(x1 + x2) = 0. (20.80)

Subtraindo as mesmas Eqs. 20.79, obtemos por sua vez

(x1 − x2) + ω2o(x1 − x2) = −2K(x1 − x2). (20.81)

Repare agora que se escolhermos um novo tipo de variaveis, tais como,

q1 = 12 (x1 + x2);

q2 = 12 (x1 − x2),

(20.82)

as Eqs. 20.80 e 20.81 apresentam-se na forma desacoplada:

q1 + ω2oq1 = 0 (a)

q2 + ω22q2 = 0 (b) (20.83)

onde foi introduzido o parametro:

ω2 =√

ω2o + 2K. (20.84)

As solucoes matematicas das Eqs. 20.83 sao as seguintes:

q1(t) = A1 cos(ωot + δ1) (a)q2(t) = A2 cos(ω2t + δ2) (b) (20.85)

E facil confirmar que x1 e x2 sao ambos dados em funcao destas variaveis q’s:

x1(t) = q1(t) + q2(t);x2(t) = q1(t)− q2(t).

(20.86)

As coordenadas q1 e q2, como verificamos, oscilam harmonicamente e chamam-se coordenadas normais. Com elas o sistema fica desacoplado e podemosver sem dificuldade que q1 corresponde ao deslocamento do centro de massa,enquanto que 2q2 = x1−x2 corresponde ao deslocamento relativo entre as duaspartıculas.

Se escolhermos apropriadamente as condicoes iniciais, tais como:

A2 = 0 Corresponde a q1(t) = A1 cos(ωot+δ1) = x1(t) = x2(t). O deslocamentodos dois pendulos sao iguais, e o chamado modo simetrico e como a molanao e deformada, tudo se passa como se ela nao existisse e cada pendulooscila com a sua frequencia livre ωo (Fig. 9-(b)).

530

Figure 9: (a) Sistema de dois pendulos acoplados; (b) modo simetrico; (c) modoantissimetrico.

531

A1 = 0 Corresponde a q2(t) = x1(t) = A2 cos(ω2t + δ2) = −x2(t). O desloca-mento dos dois pendulos sao iguais e contrarios sendo chamado de modoassimetrico. Como a forca restauradora da mola aparece, a frequenciade oscilacao e mais elevada, ω2 > ωo (Fig. 9-(c)).

As condicoes iniciais para o modo simetrico correspondem ao mesmo desloca-mento inicial e a mesma velocidade inicial:

x10 = x20

x10 = x20(20.87)

No modo antisimetrico temos deslocamentos e velocidades iniciais contrarias:

x10 = −x20

x10 = −x20(20.88)

Em particular podemos analisar o que se passa se deslocarmos apenas um dospendulos da posicao de equilıbrio, deixando o outro no repouso:

x10 = a; x20 = 0; x10 = x20 = 0. (20.89)

As condicoes iniciais para as coordenadas normais sao:

q10 = q20 =a

2; q10 = q20 = 0 (20.90)

Como se pode ver rapidamente, as solucoes gerais dao

δ1 = δ2 = 0; A1 = A2 = a2 . (20.91)

ou seja, obtemos como solucao duas superposicoes de mesma amplitude efrequencia diferentes:

x1(t) = a2 [cos(ωot) + cos(ω2t)] (a)

x2(t) = a2 [cos(ωot)− cos(ω2t)] (b) (20.92)

Se definirmos uma frequencia angular media:

ω ≡ 12(ωo + ω2) (20.93)

e as diferencas de frequencias

∆ω ≡ ωo − ω2 (20.94)

podemos reescrever as Eqs. 20.92 na forma:

x1(t) = a cos(∆ω2 t) cos(ωt)

x2(t) = a sin(∆ω2 t) sin(ωt)

(20.95)

Usamos aqui as relacoes trigonometricas:

cos(A) + cos(B) = 2 cos A+B2 cos A−B

2 ,cos(A)− cos(B) = 2 sin A+B

2 sin A−B2 .

(20.96)

532

Figure 10: Fenomeno de batimentos.

No caso limite do acoplamento fraco, quando a forca restauradora e pequena,verifica-se

K ¿ ω2o ; ∆ω ¿ ω. (20.97)

As solucoes correspondem ao fenomeno de batimentos, onde x1 e moduladopor cos ∆ω

2 t e x2 e modulado por sin(∆ω2 t) (Fig. 10).

Exemplo 9: Osciladores acoplados longitudinais: Duas massas iguais estaoligadas por meio de molas entre si e a duas extremidades fixas, segundo a mesmadireccao (como mostra a Fig. 11). As molas que ligam as massas as extremidadestem constante de restituicao k e a mola que liga as duas massas tem constantek′.

a) Escreva o lagrangeano do sistema: [Sugestao: escolha como coordenadasgeneralizadas os deslocamentos das massas em relacao as suas posicoes deequilıbrio.]

K = 12m1x

21 + 1

2m2x22

U = 12kx2

1 + 12k′(x1 − x2)2 + 1

2kx22

L = K − U = 12m1x

21 + 1

2m2x22 − 1

2kx21 − 1

2k′(x1 − x2)2 − 12kx2

2

(20.98)

b) Determine as equacoes do movimento.

Atendendo a que se tem duas coordenadas generalizadas, temos que usar duasequacoes de Euler-Lagrange:

ddt

∂L∂x1

− ∂L∂x1

= 0ddt

∂L∂x2

− ∂L∂x2

= 0(20.99)

533

Figure 11: Duas massas unidas por tres molas elasticas a duas paredes fixas.

donde resultam as duas equacoes do movimento:

m1x1 + kx1 + k′(x1 − x2) = 0;m2x2 + kx2 − k′(x1 − x2) = 0.

(20.100)

Podemos escreve-las na forma de um sistema de duas equacoes diferenciais:

x1 + k+k′m1

x1 − k′m1

x2 = 0x2 + k+k′

m2x2 − k′

m2x1 = 0.

(20.101)

Vamos supor que o movimento e periodico, com solucoes do tipo

x1 = A sin(ωt + φ); x1 = −ω2A sin(ωt + φ)x2 = B sin(ωt + φ); x2 = −ω2B sin(ωt + φ) (20.102)

Substituindo nas equacoes do movimento, tem-se−ω2A + k+k′

m1A− k′

m1B = 0

−ω2B + k+k′m2

B − k′m2

A = 0(20.103)

que podemos ainda colocar na forma

(k+k′m1

− ω2)A +− k′m1

B = 0− k′

m2A + (−ω2 + k+k′

m2)B = 0

(20.104)

Usando a Regra de Cramer, calcula-se o determinante do sistema:[

(k+k′m1

− ω2)− k′m1

− k′m2

+ (−ω2 + k+k′m2

)

]= 0. (20.105)

cujo desenvolvimento lava-nos a uma equacao quartica em ω, ou quadratica emω2:

ω4 −(

k + k′

µ

)ω2 +

1m1m2

[(k + k′)2 − k′2] = 0 (20.106)

onde introduzimos a massa reduzida a fim de simplificar a escrita da equacao.Consideremos em particular o caso de massas iguais, m1 = m2 = m e µ =m/2. Usando a formula de resolucao, ecnotramos apos alguma algebra as duassolucoes:

ω1 =√

km

ω2 =√

2k′+km

(20.107)

534

K K

k

kθ

1θ

2

a

Figure 12: Uma mola une dois rotores iguais montados sobre dois veios.

Exemplo 10: Uma mola une dois rotores iguais montados em dois veios circu-lares identicos, tal como mostra a Fig. 12.

a) Obtenha o Lagrangiano.

b) Obtenha as equacoes do movimento.

c) Assumindo k = 5 N/m, K = 90, Ic = 1 e a = 2, determine as frequenciasnaturais do sistema.

Solucao:

a) Designemos por θ1 e θ2 os deslocamentos angulares dos rotores. As energiascinetica e potencial sao dadas por:

K = 12Icθ

21 + 1

2Icθ22 (a)

U = 12Kθ2

1 + 12Kθ2

2 + 12ka2(θ1 − θ2)2 (b)

(20.108)

535

O ultimo termo da Eq. 20.108-(b) resulta de que

Uel =12k(s1 − s2)2 =

12ka2(θ1 − θ2)2. (20.109)

Logo, o Lagrangeano do sistema e

L = K − U =12Icθ

21 +

12Icθ

22 −

12Kθ2

1 +12Kθ2

2 +12ka2(θ1 − θ2)2 (20.110)

b) Calcula-se agora sistematicamente as derivadas que aparecem na Eq. deEuler-Lagrange:

∂L∂θ1

= Kθ1 + ka2(θ1 − θ2)∂L∂θ1

= Icθ1

ddt

∂L∂θ1

= Icθ1.

(20.111)

donde resulta a equacao de Euler-Lagrange para o primeiro rotor:

Icθ1 + Kθ1 + ka2(θ1 − θ2) = 0, (20.112)

e, de forma semelhante, temos tambem a equacao do movimento para o segundorotor:

Icθ2 + Kθ2 + ka2(θ2 − θ1) = 0, (20.113)

O ultimo termo de ambas as equacoes faz com que ambas estejam acopladas.

c) Supondo que o movimento e harmonico, composto possivelmente por variasfrequencias e amplitudes, pomos

θ1 = A sin(ωt + ψ)θ2 = B sin(ωt + ψ) (20.114)

e substituimos em ambas as Eqs. 20.112-20.113. Deveremos obter o sistema deduas equacoes algebricas:

A(−Icω2 + K + ka2) + B(−ka2) = 0

A(−ka2) + (−Icω2 + K + ka2) = 0 (20.115)

As duas solucoes no equilıbrio sao A = B = 0 que nao interessam. Esta equacoessao compatıveis se o determinante do sistema e nulo:

[ −Icω2 + C −ka2

−ka2 −Icω2 + C

], (20.116)

cujas raızes sao:ω1 =

√C−ka2

Ic

ω2 =√

C+ka2

Ic

(20.117)

Exemplo 11: Um corpo de 2 kg oscila preso a certa mola com a constante deforca k = 400 N/m. A constante de amortecimento tem o valor b = 2.00 kg/s.

536

O sistema e excitado por uma forca sinusoidal cujo valor maximo e de 10 N ea frequencia angular ω = 10 rad/s. (a) Qual a amplitude da oscilacao? (b) Sea frequencia de excitacao variar, em que frequencia ocorrera a ressonancia? (c)Qual a amplitude das oscilacoes a frequencia de ressonancia? (d) Qual a largura∆ω da curva de ressonancia.

Os dados numericos sao os seguintes:

m = 2kgk = 400N/mb = 2.00kg/sFo = 10N

ω = 10rad/s

(20.118)

A equacao do movimento e a seguinte:∑

Fx = max = md2xdt2 = −kx− bv + Fo cosωt

∴ md2xdt2 + bdx

dt + mω2ox = Fo cosωt

(20.119)

A solucao e do tipo:x = xtrans + xperm

xperm = A cos(ωt− δ)A = Fo√

m2(ω2o−ω2)2+b2ω2

tan δ = bωm(ω2

o−ω2)

(20.120)

QuadroNegro 6

537

21 Conceito de onda

Todos temos familiaridade com o fenomeno ondulatorio. As ondas electro-magneticas emitidas por uma estacao radiodifusora; as ondas radiais que seproduzem quando cai uma pedra num lago; ou quando as cordas de um pianosao percutidas, vibram produzindo uma onda sonora que se espalha pela salade concerto. Todos estes fenomenos tem em comum duas propriedades impor-tantes: i) a energia propaga-se de um ponto do espaco para outro; ii) o meionao sofre nenhum deslocamento permanente em consequencia da perturbacao.O que veremos a seguir e que, apesar do fenomeno ondulatorio poder ser denatureza diferente, todos eles sao governados pela mesma equacao, a equacaoda onda. Portanto, uma onda e qualquer sinal que se transmite de um pontoa outro de um meio com velocidade definida. As ondas podem ser transversais(ex: onda electromagneticas) ou longitudinais (ex: ondas sonoras).

Vamos abordar o caso mais simples da propagacao de uma onda a 1 dimensao(onda unidimensional). Esta perturbacao, que representaremos aqui pela funcaoφ, propaga-se ao longo do eixo Ox com velocidade v. Nao precisamos de definirexactamente que perturbacao e essa; podera ser uma onda electrica fluctuanteE(x, t) ou ondas transversais numa corda com amplitude y(x, t). Como a per-turbacao move-se, teremos que considerar a sua dependencia em x e t. Noinstante inicial t = 0, φ sera uma funcao de x que designaremos por f(x) e aqual chamaremos perfil de onda. Vamos supor que o perfil de onda nao sealtera. No instante t = 0 podemos imaginar que tiramos uma “fotografia” daonda e a curva obtida seria φ = f(x). Como a onda nao se deforma, se tirarmosuma nova “fotografia” posteriormente no instante t veremos o mesmo perfil deonda, simplesmente ela se tera deslocado de vt. Suponhamos agora que deslo-camos a origem para este ponto x = vt e as abscissas medidas a partir daqui saochamadas por X. E claro que a transformacao de Galileu permite-nos escrever:x = X + vt e a equacao que descreve o perfil de onda na nova origem passa aser

φ = f(X), (21.121)

ou seja, referindo-a a origem inicial:

φ = f(x− vt). (21.122)

Se a onda se propaga no sentido negativo do eixo dos Ox a velocidade deverater o sinal contrario e podemos inferir logo que a forma geral de uma ondaprogressiva que se desloca nos dois sentidos do eixo Ox (onda unidimensional)com velocidade constante v e do tipo:

y(x, t) = f(x− vt) + g(x + vt), (21.123)

onde f e g representam funcoes arbitrarias de x e t.

A forma mais simples de representacao de uma onda e a chamada ondaharmonica, que se apresenta com a forma matematica:

f(x′) = A cos(kx′ + δ), (21.124)

538

onde f(x′) representa uma perturbacao num ponto x′, que corresponde a umreferencial que acompanha a onda. Se quisermos passar para um referencial queesta fixo no espaco, teremos que aplicar as transformacoes de Galileu, para umaonda progressiva que se desloca para a direita sera x′ = x − vt, e a amplitudeda onda neste referencial fixo passara a ser

y(x, t) = A cos[k(x− vt) + δ]. (21.125)

Mas da relacao de dispersao 3, obtem-se

ω = kv = 2πν =2π

τ. (21.126)

Substituindo a Eq. 21.126 na Eq. 21.125, obtemos a forma geral da ondaplana monocromatica:

y(x, t) = A cos(kx− ωt + δ). (21.127)

O argumento do coseno e chamado a fase da onda:

ϕ(x, t) = kx− ωt + δ, (21.128)

enquanto que δ e chamada a constante de fase. Se acompanharmos o deslo-camento da onda com o tempo de modo a que a fase ϕ se mantenha constante,temos necessariamente

dϕ

dt= k

dx

dt− ω = 0. (21.129)

Obtem-se daqui finalmente a velocidade de fase da onda, −→v :

dx

dt=

ω

k= v = νλ. (21.130)

A frequencia ν = 1/τ da o numero de oscilacoes por unidade de tempo, eσ = 1/λ da o numero de comprimentos de onda por unidade de comprimento,designando-se por numero de onda.

Podemos generalizar a Eq. 21.125 de modo a lidar com ondas planas a 3 di-mensoes. Uma onda plana e uma onda que exibe a mesma perturbacao numplano perpendicular a direccao do movimento. Esse plano chama-se de frentede onda. Se a direccao de propagacao e feita ao longo dos eixos Ox, Oy e Oz,entao a equacao da frente de onda e dada por:

lx + my + nz = constante, (21.131)

onde l, m e n sao os cossenos directores 4.3Uma relacao de dispersao contem uma relacao funcional entre energia e quantidade de

movimento.4Recordamos que um vector

−→V = Vx

−→u x + Vy−→u y + Vz

−→u z definido em coordenadas carte-

sianas, se chamarmos por α, β e γ os angulos que o vector−→V faz com os eixos Ox, Oy e Oz,

respectivamente, entao Vx = V cos α, Vy = V cos β e Vz = V cos γ. Os cossenos directores saoas quantidades cos α, cos β e cos γ.

539

A equacao de ondas unidimensional e uma das equacoes mais fundamentais dafısica e tem a forma:

1v2

∂2y

∂t− ∂2y

∂x2= 0. (21.132)

Esta e uma equacao as derivadas parciais, linear e de segunda ordem. E umadas equacoes diferenciais mais importante da matematica porque descreve todoo tipo de fenomeno ondulatorio no qual a velocidade e constante. A eq. 21.132pode-se escrever a tres dimensoes na forma:

−→∇2φ ≡ ∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2+

∂2φ

∂z2=

1v2

∂2φ

∂t2. (21.133)

A equacao de ondas e linear no sentido em que se φ1 e φ2 sao duas solucoesquaisquer da Eq. 21.132, entao a1φ1 + a2φ2 e tambem uma solucao (sendo a1

e a2 duas constantes arbitrarias). Este e um exemplo particular do princıpioda sobreposicao que diz que quando a equacao relevante e linear, podemossomar qualquer numero de solucoes individuais para formar novas funcoes quesao elas proprias solucoes.

Exemplo 12: Uma aplicacao particular do princıpio da sobreposicao resultaquando somamos (sobrepomos) duas ondas harmonicas que se propagam emsentidos diferentes ao longo do eixo Ox, tendo a mesma frequencia e a mesmaamplitude:

φ = a cos(ωt− kx) + a cos(ωt + kx)φ = 2a cos kx cosωt

(21.134)

Esta e uma onda estacionaria, devendo o seu nome ao facto que o perfil naose altera, a onda anula-se nos pontos onde cos kx = 0, isto e, para x = (n+ 1

2 )π,n = 0,±1,±2, .... Estes pontos chamam-se nos, e os pontos intermedios, ondea amplitude da onda atinge o valo maximo chama-se ventres.

A tres dimensoes terıamos as ondas harmonicas representadas na forma:

φ = 2a cos2π

λ(lx + my + nz) cos

2π

λ(vt). (21.135)

Neste caso, a onda anula-se nos planos nodais:

2πλ (lx + my + nz) = (n + 1

2 )πlx + my + nz = (n + 1

2 )λ2 , n = 0,±1,±2, ...

(21.136)

A Tabela 1 apresenta resumidamente e para facilidade de consulta os resultadosanteriores.

21.0.1 Equacao do telegrafista F

Quando o movimento ondulatorio se realiza na presenca de alguma forca dis-sipativa, uma forca de fricao por exemplo, esta forca podera ser representada

540

Table 1: Ondas progressivas e estacionarias.Dimensao Onda progressiva Onda estacionaria

1-dim, Equacao ∂2φ∂x2 = 1

v2∂2φ∂t2

∂2φ∂x2 = 1

v2∂2φ∂t2

Solucao φ = f(ωt− kx) + g(ωt + kx) φ = a cos kx cos ωt

3-dim, simetria esferica ∂2φ∂r2 + 2

r∂φ∂r = 1

v2∂2φ∂t2

Solucao φ = 1r f(ωt−−→k · −→r ) + 1

r g(ωt−−→k · −→r )

na equacao de onda, Eq. 21.132, por um novo termo proporcional a velocidadeda vibracao da forma k ∂φ

∂t . A equacao de onda modificada e conhecida como aequacao do telegrafista:

∇2φ =1v2

[∂2φ

∂t2+ k

∂φ

∂t

](21.137)

e desempenha um papel importante no estudo das linhas de transmissao.

21.1 Equacao das cordas vibrantes

Seja µ a densidade linear de massa da corda. Um elemento infinitesimal decomprimento ∆x tem a massa ∆m = µ∆x.

Vamos considerar um deslocamento transversal de pequena magnitude de umponto x da corda da sua posicao de equilıbrio e designar a sua nova posicao pory(x, t). Nesta aproximacao vamos considerar praticamente constante o compri-mento da corda assim como as tensoes exercidas sobre ela em dois pontos xe x + ∆x. As forcas exercidas serao assim devidas unicamente a variacao dadireccao da tensao, introduzindo uma forca restauradora ao longo de Oy.

Ve-se na Fig. ?? (ou QN% 7) que no ponto x+∆x a componente em y da tensaoe

T sin θ ≈ T tan θ = T∂y

∂x. (21.138)

O angulo θ e o angulo entre a tangente a corda e o eixo Ox e usamos a aprox-imacao sin θ ≈ tan θ valida para pequenos angulos θ ¿ 1. Recordamos quetan θ = ∂y/∂x.

A forca vertical resultante que actua sobre o elemento ∆x da corda e dada por

T∂y

∂x(x + ∆x, t)− T

∂y

∂x(x, t) = T∆x[

∂y∂x (x + ∆x, t)− ∂y

∂x (x, t)∆x

]. (21.139)

Podemos agora usar uma expansao em serie de Taylor:

f(x) = f(xo)+(x−xo)(∂f

∂x)o +

12!

(x−xo)2(∂2f

∂x2)o + ...+

1n!

(x−xo)n(∂nf

∂x2)o + ...

(21.140)

541

que, neste caso, se ∆x ¿ 1, podemos escrever (tente fazer)

∂y

∂x(x + ∆x) ≈ (

∂y

∂x)(x, t) + ∆x(

∂2y

∂x2) (21.141)

Substituindo a Eq. 21.141 na Eq. 21.139, obtemos

QuadroNegro 7

Chegamos finalmente a equacao das cordas vibrantes unidimensional

µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2(21.142)

onde a velocidade de propagacao da onda transversal e

v =

√T

µ. (21.143)

Exemplo 13: A impedancia de uma corda vibrante e Z = F/µ =√

µF [kg/s].

21.2 Intensidade de uma onda

Uma onda progressiva transporta energia, podendo em particular ser transmi-tida a uma partıcula colocada na extremidade da corda. A forca transversal

542

actuando sobre um elemento da corda no ponto x e dada por

Fy = −T∂y

∂x(x, t). (21.144)

O trabalho realizado sobre o elemento da corda por unidade de tempo e dadopelo produto da forca pela velocidade:

P (x, t) = Fy∂y

∂t= −T

∂y

∂x

∂y

∂t. (21.145)

Para uma onda harmonica temos∂y∂x = −kA sin ϕ∂y∂t = ωA sin ϕ

(21.146)

A potencia e dada por

P (x, t) = ωkTA2 sin2(kx− ωt + δ). (21.147)

A media sobre um perıodo chamamos intensidade I da onda. Ela e facilmenteobtida fazendo a media temporal do termo sinusoidal ao quadrado, que ja vimosem fascıculo anterior valer 1/2:

I =< P >= P =12ωkTA2. (21.148)

Como ja vimos, T = µv2 e ω = kv, e a intensidade da onda tambem se podeescrever

I = P =12µvω2A2. (21.149)

A intensidade da onda exprime-se em unidades W/m2, e proporcional aoquadrado da amplitude (A2), a velocidade da onda v e ao quadrado da frequencia(f2).

21.3 Modos normais de vibracao

Consideremos agora uma corda vibrante de comprimento finito l com as ex-tremidades presas. Vamos procurar os modos normais de vibracao da corda,isto e, o modo de oscilacao em que todos os elementos da corda oscilam com amesma frequencia ω e a mesma constante de fase δ, embora cada ponto x possanaturalmente deslocar-se com amplitude A(x) diferente de ponto para ponto.Isto e, consideremos uma onda estacionaria:

y(x, t) = A(x) cos(ωt + δ) (21.150)

Verifica-se rapidamente que

1v2

∂2y∂t2 = −ω2

v2 A(x) cos(ωt + δ)∂2y∂t2 = d2A

dx2 cos(ωt + δ)(21.151)

543

ou sejad2A

dx2+ k2A(x) = 0 (21.152)

cuja solucao geral e da forma

A(x) = a cos(kx) + b sin(kx) (21.153)

A condicao de que as duas extremidades permanecam fixas e dada pela condicaode contorno:

y(0, t) = y(l, t) = 0, ∀t. (21.154)

Esta relacao implica que temos que ter tambem

A(0) = a = 0A(l) = b sin(kl) = 0 (21.155)

Atendendo a que b 6= 0 forcosamente (de outro modo seria tudo nulo), con-cluımos que esta condicao so pode ser satisfeita para valores discretos da variavelk:

kn =nπ

l(21.156)

onde n = 1, 2, 3, .... As frequencias dos modos normais de vibracao sao

ωn = knv =nπ

lv (21.157)

e a expressao dos modos normais de vibracao e dada por

yn(x, t) = bn sin(knx) cos(ωnt + δn). (21.158)

O comprimento de onda associado λn associado ao modo n e

λn =2π

kn=

2l

n. (21.159)

A frequencia νn do modo n e

νn =ωn

2π= n

v

2l= nν1 (21.160)

onde ν1 = v2l = 1

2l

√Tµ e a frequencia do modo fundamental. As frequencias da

corda vibrante sao multiplos inteiros da frequencia ν1 do modo fundamental.Para tocar a nota fundamental temos que dedilhar a corda no meio. A segundaharmonica e produzida quando dedilhamos a corda com ela presa no meio; aterceira harmonica e produzida quando dedilhamos a corda com ela presa a umterco do seu comprimento, e por aı adiante.

Os sons tambem podem ser produzidos por uma corda vibrante por meio dasua friccao usando-se um arco feito de madeira, com um feixe de filamentos(geralmente feitos de crina de cavalo) que sao fixados as suas extremidades

544

Figure 13: (a) Modos de vibracao de uma corda vibrante. (b) Escala harmonicaem notacao musical.

sob tensao. Tocam-se assim os seguintes instrumentos: o violino, a viola, ovioloncelo, o contrabaixo, a viola da gamba e a rabeca.

A producao de sons pode igualmente ser feita por percussao com baquetas,martelos ou com o proprio arco. A intensidade das notas e controlada pelaforca da percussao. No piano usa-se um teclado com 88 teclas, e cada notapossui um martelo.

Mais raramente produzem-se os sons nas cordas por movimento do ar. E o casoda harpa eolica.

As cordas vibrantes sao material que dao sonoridade a instrumentos de corda,tais como a guitarra, o cello, ou o piano.

Exemplo 14: Duas ondas transversais de mesma frequencia ν = 100 s−1 saoproduzidas num fio de aco de 1 mm de diametro e densidade ρ = 8 g/cm3,submetido a uma tensao T = 500 N. As ondas sao dadas por

y1 = A cos(kx− ωt + π6 )

y2 = 2A sin(ωt− kx).

onde A = 2 mm. (a) Escreva a expressao da onda harmonica progressiva resul-tante da superposicao das duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resultante.

545

(c) Se fizermos variar a diferenca de fase entre as duas ondas, qual e a razaoentre os valores maximo e mınimo possıveis da intensidade da resultante?

Os dados que temos permitem obter:

ν = 100s−1s = 100Hz.ω = 2πν = 628rad/s.

µ = ρA = ρπ(D2 )2

µ = 2π10−3kg/m

∴ v =√

Tµ =

√500

2π10−3 = 282.1m/s

⇒ k = ωv = 628

282.1 = 2.23m−1.

E conveniente usarmos numeros complexos z = Aei(ωt+δ). A parte real donumero complexo e dada por

y(t) = <z(t) = <[Aei(ωt−kx+δ)] = A cos(ωt− kx + δ) (21.161)

A superposicao dos dois movimentos consiste no seu somatorio. Iremos somaras quantidades complexas respectivas:

y = y1 + y2

⇒ z = z1 + z2 = Aei(kx−ωt+ π6 ) + 2Aei(ωt−kx) (21.162)

Podemos verificar em tabelas trigonometricas os seguintes resultados:

sin θ = cos(θ + π2 )

cos π6 =

√3

2sin π

6 = 12

eiφ = cos φ + i sin φ Identidade de Euler

(21.163)

Para o calculo que se segue e muito importante referir o seguinte. Um numerocomplexo pode-se colocar na forma trigonometrica.

Forma trigonometrica do numero complexo:

z = x + iy = r(cos φ + i sin φ) = reiφ (a)r =| z |=

√x2 + y2 (b)

φ = Argz = arctan( yx ) (c)

(21.164)

O x representa a abscissa no eixo real e y representa a ordenada no eixo ima-ginario vertical, r e o raio vector e θ a orientacao relativamente ao eixo Ox.

Em representacao complexa uma onda exprime-se na forma

y = yo exp i(ωt± kx), (21.165)

representando uma onda propagando-se na direccao do eixo positivo do eixo Oxquando se escolhe o sinal − ou propagando-se em sentido inverso so for tomadoo sinal +.

546

Uma onda e representada por uma funcao real, mas uma representacao complexaapresenta geralmente uma conveniencia matematica. Se tomarmos a parte realda Eq. 19.164a, obtem-se:

y = yo<exp i(ωt± kx). (21.166)

Com estes dados podemos reescrever as duas Eqs. ?? numa forma mais conve-niente:

y = A cos(kx− ωt + π6 ) + 2A sin[−(kx− ωt)]

y = A cos(kx− ωt + π6 ) + 2A cos(kx− ωt + π

2 )z = Aei(kx−ωt+ π

6 ) + 2Aei(kx−ωt+ π2 )

z = Aei(kx−ωt)[ei π6 + 2ei( π

2 )]z = Aei(kx−ωt)[

√3

2 + i 12 + 2i]

z = Aeiφ[√

32 + 5

2 i]

(21.167)

onde φ = kx − ωt. Podemos escrever a ultima expressao dentro do parentesisrecto na forma

zc = [√

32

+52i] = reiδ, (21.168)

onde, por uma questao de conveniencia, fizemos uma mudanca de variavel parazc = [

√3

2 + 52 i]. O modulo de zc e:

| zc |= r =√

7, (21.169)

enquanto que o argumento de zc calcula-se atraves da formula

δ = Argzc = arctany

x= arctan

52√3

2

= arctan5√3

= 1.237rad = 70.89o.

(21.170)Finalmente, podemos agora somar as duas componentes que calculamos sep-aradamente por uma questao de conveniencia, obtendo a resultante das duasvibracoes:

y = <z = Arei(φ+δ)

y = 5.20× 10−3 cos(kx− ωt + 1.237).(21.171)

b) A intensidade resultante e dada pelo quadrado do somatorio das amplitudes:

I = (y1 + y2)2

I = 12µνω2A2

I = 126.28× 10−3

√500

6.28×10−3 (2π100)2(5.29× 10−3)2

I = 9.79W

(21.172)

c) A intensidade resultante e calculada usando o seguinte resultado. Se duasvibracoes tem a mesma frequencia angular, tal que:

x1(t) = A1 cos(ωt + φ1)x2(t) = A2 cos(ωt + φ2),

(21.173)

547

entao a magnitude A da resultante e dada pela expressao:

A2 = A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(φ2 − φ1). (21.174)

Podemos obter com facilidade o resultado anterior da Eq. 21.174 se usarmos arepresentao complexa da onda:

x1(t) = A1 cos(ωt + φ1) ⇒ z1(t) = A1ei(ωt+φ1

x2(t) = A2 cos(ωt + φ2) ⇒ z2(t) = A2ei(ωt+φ2)

(21.175)

A intensidade e dada pela parte real do produto de z pelo seu complexo conju-gado z∗:

I = z2 = zz = (z1 + z2)(z1 + z2). (21.176)

Ou seja

I = (A1ei(ωt+φ1 + A2e

i(ωt+φ2))(A1e−i(ωt+φ1) + A2e

−i(ωt+φ2)))I = A2

1 + A1A2ei(φ1−φ2 + A2A1e

−i(φ1−φ2) + A22

I = A21 + A2

2 + 2 cos(φ1 − φ2)(21.177)

pois que cos θ = 12 (eiθ + e−iθ).

Verificamos de imediato que os maximos da intensidade (que e proporcional aoquadrado da amplitude) correspondem aos seguintes valores da diferenca de faseentre as duas ondas:

δ12 ≡ φ2 − φ1 = 2nπ(n = 0,±1,±2, ...)∴ Imax ∝ (A1 + A2)2

(21.178)

Por sua vez, os mınimos de intensidade correspondem aos seguintes valores deδ12:

δ12 = (2n + 1)π∴ Imin ∝ (A1 −A2)2

(21.179)

O racio da intensidade maxima sobre a intensidade mınima e dada por:

R =Imax

Imin=

(A1 + A2)2

(A1 −A2)2=

(A + 2A)A− 2A

=(3A)2

A2= 9. (21.180)

Exemplo 15: A facilidade com que se calcula a soma de N ondas e notavel.Ora vejamos. Consideremos a soma de N ondas, tendo cada onda um pequenoacrescimo da fase:

y1 = yo cos(ωt− kx)y2 = yo cos(ωt− kx + δ)

...yN = yo cos(ωt− kx + (N − 1)δ)

(21.181)

548

O somatorio dessas ondas em representacao complexa e:

y = y1 + y2 + ... + yN

= yoei(ωt−kx)[1 + eiδ + ... + ei(N−1)δ]

= yoei(ωt−kx) 1−eiNδ

1−eiδ = yoei(ωt−kx) eiNδ/2

eiδ/2(eiNδ/2−eiNδ/2)

eiδ/2−eiδ/2

= yoei(ωt−kx)ei(N−1)δ/2 sin Nδ/2

sin δ/2 = yosin Nδ/2sin δ/2 ei(ωt−kx+(N−1)δ)

= yosin Nδ/2sin δ/2 cos[ωt− kx + (N − 1) δ

2 ].

(21.182)

Esta onda tem uma amplitude que depende da fase δ e do numero de ondas.

Exemplo 16: Uma corda de harpa com 0.5 m de comprimento tem umafrequencia fundamental de 800 Hz.

a) Qual a velocidade de propagacao das vibracoes na corda?

v =√

Tµ = λν

ν = vλ = v

2l∴ v = 2lν = 800m/s

(21.183)

b) Qual a tensao na corda que produz essa frequencia, se a massa por unidadede comprimento da corda for 2× 10−2 kg/m?

µ = 2× 10−2kg/m⇒ T = µv2 = (2× 10−2)(800m/s)2

T = 1.28× 104N(21.184)

A massa total da corda e m = µl = 10 g.

c) Qual o comprimento de onda da quarta harmonica?

νn = nv2l

⇒ ν4 = 4v2l = 3.2× 103Hz

⇒ λ4 = vν4

= v2l4v = l

2

(21.185)

Podemos referir para efeitos de comparacao que, no ar, uma onda com afrequencia da quarta harmonica teria o comprimento de onda:

λ(ar) =vsom

ν4=

344m/s

3200s−1= 0.11m. (21.186)

Usamos a velocidade do som no ar em condicoes P.T.N. (25 0 C, 1 atm) que ecerca de 344 m/s.

Exemplo 17: Um diapasao cuja frequencia de vibracao e de 300 Hz e usadopara afinar um violino. Pondo o diapasao a vibrar ao mesmo tempo que umadas cordas do violino e excitada, ouvem-se batimentos com uma frequencia de5 Hz.

a) Quais as frequencias possıveis para o som produzido pela corda?

549

fbat = f1 − f2 = 5Hz (21.187)

As frequencias possıveis sao f = 295 Hz e f = 305 Hz.

b) Como varia a frequencia do som produzido com a tensao feita na corda?

Como f = n2l

√Tµ , concluiu-se que f ∝ √

T .

c) Aumentando a tensao na corda, a frequencia do batimento diminui, ficandoo violino quase afinado. A corda do violino estava a vibrar com uma frequenciainferior ou superior a do diapasao?

Aumentando T aumenta-se f . Tal significa que a corda estava a vibrar a 295Hz.

21.4 Natureza das ondas sonoras

Uma onda sonora e produzida por uma vibracao. Forma-se entao uma ondalongitudinal que necessita de um meio para se propagar. No vacuo nao sepropaga a onda sonora, que resulta de uma perturbacao das posicoes mediasdas moleculas (ou atomos que constituem o substrato). Na Fig. 14 mostra-seas curvas do deslocamento das partıculas do meio onde se propaga o som, apressao e a sua velocidade, supondo que a onda sonora se propaga no sentidode A para B.

A distancia de A a B e o comprimento de onda, enquanto que Cc e a amplitudedo deslocamento das partıculas da onda sonora, e D’d’ e a amplitude da variacaode pressao. Repare que nos pontos A e B o deslocamento das partıculas e zero,a pressao e mınima e a velocidade e positiva no sentido de A para B.

A propagacao das vibracoes longitudinais produzem em cada elemento de vol-ume V a pressao p, uma dilatacao ou aumento relativo de volume θ dado por:

θ =∆V

V, (21.188)

acompanhada por uma sobrepressao ∆P = p (supoe-se que a pressao do meionao e praticamente perturbada). A densidade (volumetrica) do fluido e

ρ =M

V. (21.189)

As variacoes de pressao e densidade sao extremamente pequenas emcomparacao com os valores de equilıbrio.

Designemos os valores nao perturbados 5 da pressao e densidade, respectiva-mente, por p0 e ρ0, e por P e ρ os mesmos valores na presenca de uma onda:

P = p0 + pρ = ρ0 + δ

(21.190)

5Quando o meio esta em perfeito equilıbrio.

550

Figure 14: Curvas do deslocamento das moleculas, pressao e velocidade daspartıculas que constituem o substrato.

551

onde se verifica:| p |¿ p0, | δ |¿ ρ0 (21.191)

Os fluidos perfeitos sao definidos por um coeficiente (ou modulo) de com-pressibilidade K:

K = ∆P = − 1V

∆V

δp(21.192)

que se pode reescrever na forma

P = ∆p = −1k

∆V

V= −Eθ, (21.193)

mostrando que a sobrepressao e a dilatacao sao proporcionais. O modulo deelasticidade volumetrico (ou ainda modulo de Young 6) e dado por

E =1K

= − ∆p

∆V/V. (21.194)

Consideremos uma vibracao sinusoidal de amplitude e propagando-se num tubocom um gas de densidade massica ρ:

e = A. cos(ωt− kx). (21.195)

e(x, t) representa o deslocamento das partıculas de ar (ou outro fluido) naseccao transversal 7 de coordenada x e no instante t. Consideremos um pequenovolume de fluido V antes do deslocamento, compreendido entre as seccoes x ex + ∆x:

V = S.[(x + ∆x)− x] = S.∆x. (21.196)

Quando a onda sonora passa o seu volume (dilatado ou comprimido) passa aser

V + ∆V = S.[(x + ∆x + e(x + ∆x, t))− (x + e(x, t))]= S.[∆x + (e(x + ∆x, t)− e(x, t))]

= S.∆x[1 + e(x+∆x,t)−e(x,t)∆x ]

≈ S.∆x(1 + ∂e

∂x

)∴ ∆V

V ≈ ∂e∂x

(21.197)

A velocidade instantanea de cada ponto do espaco e dada por

v =dx

dt= ωA sin(ωt− kx) = ωA cos(ωt− kx +

π

2) = vm cos(ωt− kx +

π

2)

(21.198)ocorrendo tambem uma dilatacao local instantanea:

θ =∆V

V=

de

dx= −kA cos(ωt− kx +

π

2). (21.199)

6Demasiadas designacoes para uma mesma grandeza fısica...7A onda sonora e uma onda transversal.

552

Quando a onda progride pelo meio ocorre uma variacao de pressao

P = −Eθ = kEA cos(ωt− kx +π

2). (21.200)

A condensacao θ e a velocidade v sao sıncronas:

P

v=

EkA

ωA=

E2πλ2πT

=E

cs, (21.201)

onde cs designa a velocidade (rapidez) do som. Como em qualquer tipo defenomeno oscilatorio, a energia cinetica ρv2/2 converte-se em energia potencial(e vice-versa).

Podemos aplicar a 2a Lei de Newton ao elemento de fluido ∆m = ρ∆V . Temos

∆m∂2e∂t2 = −∂P

∂x ∆xS

ρ∆xS ∂2e∂t2

ρ∂2e∂t2 = −∂P

∂x

⇒ E ∂θ∂x = ρ∂2e

∂t2

E ∂2e∂x2 = ρ∂2e

∂t2

∴ ∂2e∂t2 = E

ρ∂2e∂x2

(21.202)

A ultima equacao e uma equacao de propagacao de uma onda acustica propagando-se num meio fluido com a velocidade

cs =

√E

ρ. (21.203)

Podemos concluir que a velocidade (rapidez) do som depende do coeficiente deelasticidade do meio. No ar a sua velocidade e cerca de 340 m/s e na agua e daordem dos 1500 m/s.

O unico tipo de elasticidade que se pode esperar de um gas e a elasticidade devolume porque um gas so reage significativamente a uma modificacao do seuvolume. A densidade de um gas e dada pela expressao:

ρ =Mp

RT(21.204)

Esta e a lei de Boyle para a densidade de um gas ideal. R e a constante universaldos gases, p e a pressao, M e a massa molar, e T e a temperatura absoluta dogas.

O processo de compressao (e descompressao) da massa de ar e adiabatico, pV γ =Const. de modo que tambem se verifica

cs =√

γp

ρ=

√γRT

m. (21.205)

553

O comprimento de onda eλ = csT =

cs

f(21.206)

As ondas sonoras audıveis variam entre ∼ 20 Hz e ∼ 20 kHz. Visto que cs ≈ 340m/ conclui-se o comprimento das ondas sonoras varia entre ∼ 1.7 cm e ∼ 17 m.

Da Eq. 21.200, vemos que a amplitude maxima da onda de pressao e dadapor

pm = kEA = ρc2skA. (21.207)

A forca exercida pela onda numa camada fluida de area S e

F = p(x, t).S = pm.S. cos(ωt− kx +π

2) = pm.S sin(ωt− kx). (21.208)

A potencia instantanea e, por sua vez,

F∂e

∂t= ωSpme sin2(ω − kx) (21.209)

A potencia media por unidade de area e o que se entende por intensidade Ida onda:

I =1S

< F∂e

∂t>=

12ωpme. (21.210)

Como ω = kcs, podemos reescrever

I =12ρcsω

2e2. (21.211)

A intensidade da onda e proporcional ao quadrado do produto dafrequencia pela amplitude da onda de deslocamento

Outra expressao alternativa e

I =12

p2m

ρcs(21.212)

A unidade em que se exprime e o W/m2.

21.4.1 Analogias electricas e acusticas

As analogias continuam aqui a ser muito uteis. A impedancia electrica e dadapor

Z =V

I(21.213)

onde V e a tensao electrica e I a corrente. Em acustica temos

Za =pressao− acustica

velocidade, (21.214)

onde Za e a impedancia acustica que pode ser uma grandeza complexa:

Za = Ra + jXa, (21.215)

554

onde Ra e Xa sao as resistencia e reactancia acustica. Numa onda plana vimosque

P =E

csv = Rav (21.216)

sendo portanto a resistencia acustica pura igual a

Ra =E

cs= ρcs, (21.217)

porque E = c2sρ.

A impedancia acustica e de grande importancia na determinacao da transmissaoe reflexao acustica na fronteira entre dois meios caracterizados por impedanciasacusticas diferentes; na concepcao de transductores acusticos 8; na absorcao dosom num meio.

Exemplo 18: A impedancia acustica dos materiais e dada por Z = ρv, ρ sendoa densidade do meio e v a velocidade da onda acustica nesse meio.

21.4.2 Coeficientes de reflexao e transmissao

O som (ou qualquer outro tipo de onda: electrica, onda na superfıcie de umlıquido,...) pode ser reflectido ou/e transmitido na interface de dois meios comimpedancias acusticas diferentes, Z1 e Z2.

Designemos por Ii, Ir e It a intensidade incidente, reflectida e transmitida,respectivamente. Verifica-se necessariamente

Ii = Ir + It. (21.218)

A fraccao da intensidade transmitida e

t =It

Ii(21.219)

e a fraccao da intensidade reflectida e

r =Ir

Ir. (21.220)

Verifica-se necessariamenter = 1− t. (21.221)

Pode-se mostrar que quando ocorre uma incidencia normal a interface de sep-aracao dos dois meios se verificam as relacoes:

r =(

Z1−Z2Z2+Z1

)2

t = 4Z1Z2(Z2+Z1)2

(21.222)

8Podem converter uma tensao electrica em som ou vice-versa. O mais simples transductoracustica e o velho microfone de telefone com grao de carbono.

555

Exemplo 19: Verificamos que quando Z1 = Z2, tem-se r = 0, o que quer dizerque nao ha energia reflectida, toda a energia e transmitida t = 1 e diz-se queha uma adaptacao perfeita das impedancias. A condicao Z1 = Z2 naosignifica necessariamente que os dois meios sao identicos. No caso das cordasvibrantes mostra-se que Z1 =

√T1ρ1 e Z2 =

√T2ρ2 e a igualdade pode ocorrer

se se mudar as densidades e as tensoes das cordas.

Exemplo 20: A expressao obtida da fraccao de intensidade reflectida e transmi-tida sao validas para qualquer tipo de onda-inclusive as ondas electromagneticas.Uma onda electromagnetica num dielectrico perfeito e dada por Z = 377/n Ω(unidade de resistencia electrica). A Eq. 21.222 passa a escrever-se

r =(

n1 − n2

n1 + n2

)2

(21.223)

Suponhamos que uma onda luminosa incide segundo a normal sobre uma su-perfıcie de vidro de ındice de refraccao n2 = 1.5. Seja n1 = 1 (ar). Qual e afraccao de energia reflectida?

r =(

1− 1.51 + 1.5

)2

=125

(21.224)

ou seja, e reflectida por uma superfıcie ar-vidro e de apenas 4 % da intensidadeincidente.

556