A1.1

Anexo 1

FORMULÁRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS

A1.1 INTRODUÇÃO

Neste anexo é apresentado sumariamente as expressões mais utilizadas no estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis metálicos vulgarmente utilizadas no projecto de estruturas metálicas.

A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G

Quadro A1.1 – Centros de gravidade.

Peso específico variável Peso específico constante

Sistema discreto

gmp kk ⋅= Ak

O

z

x y

krr

G

∑=

⋅⋅=−n

kkk rp

pOG

1

1 r ∑=

⋅⋅=−n

kkk rV

VOG

1

1 r

Sistema contínuo

dmgdp ⋅=

O

z

x y

rr

dm G

∫ ⋅=−M

dmgrp

OG r1 ∫⋅=−V

dVrV

OG r1

Formulário da geometria de massas

A1.2

A1.3 MOMENTOS ESTÁTICOS (OU DE 1ª ORDEM) DE UMA

SUPERFÍCIE PLANA

Quadro A1.2 – Momentos estáticos de uma superfície plana e sua relação com as coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade.

Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY

y

x O

G xG

yG

y yG

x xG

da

GA

x yAdayS ⋅== ∫ GA

y xAdaxS ⋅== ∫

Nota: O sistema de eixos OxGyG é designado de sistema de eixos baricentrico.

Quadro A1.3 – Casos particulares. 1. Momento estático em relação a um eixo baricentrico

y

x O

G

0=yS

2. Momento estático em relação a um eixo de simetria de uma superfície homogénea

y

x O

0=yS

3. Momentos estáticos de uma superfície homogénea duplamente simétrica

y

x O

0=xS e 0=yS

Anexo 1

A1.3

A1.4 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS

Quadro A1.4 – Momentos de inércia de superfícies planas. Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY

y

x O

y

x

da

∫=A

x dayI 2 ∫=A

y daxI 2

Quadro A1.5 – Teoremas associados ao cálculo de momentos de inércia. Teorema dos

eixos paralelos Teorema de Steiner

(d'G = 0)

'2' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆

2dAIIG

⋅+= ∆∆

Quadro A1.6 – Momento de inércia polar. y

x O

y

x

da

),( yxrr

∫=A

O darI 2

Quadro A1.7 – Relação do momento de inércia polar com os momentos de inércia.

""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+=

Quadro A1.8 – Raio de giração.

∆

P da

r∆ d

AIr ∆

∆ =

Formulário da geometria de massas

A1.4

Quadro A1.9 – Produto de inércia. y

x O

y

x

da

∫ ⋅=A

xy dayxI

Quadro A1.10 – Teoremas associados ao cálculo de produtos de inércia. Teorema dos

eixos paralelos Teorema de Steiner

(a = 0 e b = 0)

GG

xyyx

yAbxAaAbaII

⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+='' AbaIIGG yxyx ⋅⋅+=''

A1.5 DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE

SUPERFÍCIES PLANAS POR ROTAÇÃO DO SISTEMA DE EIXOS

Quadro A1.11 – Determinação de momentos de inércia e produtos de inércia por rotação do sistema de eixos.

y

x O

x'

y'

α

α

ααα 2sensencos 22' ⋅−⋅+⋅= xyyxx IIII

ααα 2sencossen 22' ⋅+⋅+⋅= xyyxy IIII

)sen(coscossen)( 22'' αααα −⋅+⋅⋅−= xyyxyx IIII

ou, em alternativa,

αα 2sen2cos22' ⋅−⋅−

++

= xyyxyx

x IIIII

I

αα 2sen2cos22' ⋅+⋅−

−+

= xyyxyx

y IIIII

I

αα 2cos2sen2'' ⋅+⋅−

= xyyx

yx III

I

Anexo 1

A1.5

A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE

INÉRCIA

Quadro A1.11 – Momentos de principais de inércia e eixos principais de inércia.

y

x O

x1

y1

α

α

221 4)(

21

2 xyyxyx III

III ⋅+−⋅+

+=

222 4)(

21

2 xyyxyx III

III ⋅+−⋅−

+=

−⋅

−⋅=yx

xy

III2

arctg21α

Quadro A1.12 – Momentos de principais centrais de inércia e eixos principais centrais de inércia.

yG

xG

x'G

y'G

αG

α G

G

221 4)(

21

2 GGGG

GG

G yxyxyx III

III ⋅+−⋅+

+=

222 4)(

21

2 GGGG

GG

G yxyxyx III

III ⋅+−⋅−

+=

−

⋅−⋅=

GG

GG

yx

yxG II

I2arctg

21α

Formulário da geometria de massas

A1.6

A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFÍCIES PLANAS

CORRENTES

Quadro A1.13 – Momentos estáticos.

Secções Momento estático Secções Momento estático

1. Rectângulo

4. Meio-círculo

2. Triângulo

5. Quarto de círculo

3. Círculo 6. Parábola

Anexo 1

A1.7

Quadro A1.14 – Centros de gravidade e momentos de inércia.

Secções Momentos inércia Centros de gravidade

Secções Momentos de inérciaCentros de gravidade

1. Triângulo

4. Círculo

2. Rectângulo

5. Meio-círculo

3. Quadrado

6. Quarto-círculo

Formulário da geometria de massas

A1.8

Quadro A1.15 – Produtos de inércia.

Secções Produtos de inércia

1. Rectângulo

2. Triângulo

Quadro A1.16 – Raios de giração.

Secções Raios de giração Secções Raios de giração

1. Rectângulo

3. Triângulo

2. Quadrado

4. Círculo

Anexo 1

A1.9

A1.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNS PERFIS

METÁLICOS

Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.

Formulário da geometria de massas

A1.10

Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.

Anexo 1

A1.11

Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.