Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II

Exame (época de recurso) – 11/02/2003

NOME: ____________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome

1) (4 VAL.) a) Diga, numa frase, o que entende por Centro Instantâneo de Rotação (CIR).

Sabendo que um corpo rígido efectua um movimento de rotação em torno do eixo OZ com uma velocidade angular constante igual a 2 rad/s, determine o vector velocidade no ponto A no instante em que passa pela posição (1; 1; 2).

O Centro Instantâneo de Rotação (CIR) é um ponto que, num determinado instante, se situa no eixo

de rotação, sendo, por isso, um ponto de velocidade nula.

O vector velocidade no ponto A é dado por: A/CIRCIRA rωvvrrrr

×+= . Como 0vCIR

rr= e considerando

o CIR na origem do sistema de eixos, (0, 0, 0), então: 2)0,(0,ω =r

e 2)1,(1,rA/CIR =r

.

Logo: [ ]m/s0)2,2,(2)1,(1,2)0,(0,v A −=×=r

A grandeza da velocidade é – (não era pedida) –: m/s2222v 22A =+=

b) Determine a distância do centro de gravidade da linha (em forma de L), ilustrada na figura, em relação ao eixo ∆ indicado, aplicando o teorema de Pappus-Gulding.

De acordo com o teorema de Pappus-Gulding, a distância do centro de

gravidade da linha em relação ao eixo ∆, dG-∆, pode ser determinado por:

)2( ∆⋅⋅⋅= -GABlsup.lateraA dL π , sendo lsup.lateraA a área da superfície gerada

pela rotação da linha em torno do eixo ∆ e ABL o comprimento da linha.

Tendo em conta que a superfície gerada pela rotação da linha em torno do

eixo ∆ é um círculo de raio 2m e que o comprimento da linha é 4m, então:

][ 22 42 mππ ⋅=⋅=lsup.lateraA e mL 4=AB ⇒ md 5.042

4=

⋅⋅⋅

=∆ ππ

-G

2 m

2 m

∆

c) Escreva as equações de equilíbrio dinâmico de um corpo rígido em movimento de rotação em torno do seu eixo baricêntrico, indicando o significado das variáveis utilizadas.

Num corpo rígido em movimento de rotação em torno do seu eixo baricêntrico, as equações de

equilíbrio dinâmico são as seguintes:

- Equilíbrio de translação: 0rrr

== ∑i

i(t)F(t)F (1)

- Equilíbrio de rotação: )(tIGG

αrr

⋅=∆∆

(t)M (2)

A equação (1) significa que o centro de massa não sofre translação, por isso, o somatório das

forças aplicadas, (t)Fi

r, em qualquer instante t é nulo.

O movimento de rotação do corpo rígido está associado ao binário resultante que é dado, para o

instante t, pelo produto do momento de inércia da messa, G

I∆

, em relação ao eixo baricêntrico ∆G,

pela aceleração angular, )(tαr , nesse instante t.

d) A barra esbelta [ABC] (espessura muito inferior ao comprimento), de massa igual a 5kg, encontra-se apoiada no apoio duplo B (translações impedidas) e ainda no ponto C onde se encontra ligada ao tirante [CD]. Quando o tirante [CD] é cortado, a barra roda em torno do ponto B. Considerando o instante para o qual θ = 90°, determine a energia cinética e a velocidade angular da barra [ABC] nesse instante.

No instante θ=0:

- energia cinética: 01

=T

- energia potencial: 01

=U

No instante θ=90°:

- energia cinética: 2

2

2

22 21

21

ω⋅⋅+⋅⋅=∆GGIvmT

- energia potencial: hgm ⋅⋅−=2

U

Princípio da conservação da energia mecânica:

Jgghgm 81.92

2.052

0222211

==⇒××=⋅⋅=⇒=+⇒+=+ TTUTUTUT

⇒=⋅⋅+⋅⋅⇒==∆

81.921

21

81.92

2

2

2

2ω

GGIvmJgT

rad/s6.484=⇒=⋅×

×+×××⇒2

2

2

22

281.9

128.05

21

)2.0(521

ωωω

A

θ

D

C B 0.2 0.6 m

12

2lmIG

⋅=∆

Instante θ = 0 0.2

0.2 P = m·g = 5·g

P = 5·g

Instante θ = 90°

Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II

Exame (época de recurso) – 11/02/2003

NOME: ____________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir mais do que uma ou nenhuma respostas verdadeiras.

COTAÇÕES: i. As respostas têm todas a mesma cotação.

ii. As respostas erradas descontam um terço das respectivas cotações.

iii. As respostas com quadrículas em branco não descontam.

1) (3 VAL.)

a) Considere o movimento de uma partícula no espaço: V As equações cartesianas da trajectória definem os possíveis pontos de passagem da

partícula no espaço;

F Se a aceleração da partícula for constante de valor ( ) 2/0;2;1 sma =r , o movimento ocorre

obrigatoriamente sobre a superfície plana z = 0;

V Se o movimento for circular com aceleração tangencial constante, a aceleração normal é proporcional ao quadrado do tempo, ( ) 22 /smtkan ⋅= ;

F Se o movimento for plano curvilíneo, o vector derivada do vector velocidade angular é radial ao movimento.

b) Considere o movimento de um corpo rígido no espaço:

F O Centro Instantâneo de Rotação (CIR) do corpo é único em cada instante;

V O movimento de translação do corpo fica perfeitamente definido pelo movimento do seu centro geométrico;

V Se a velocidade do centro de massa G do corpo for um vector de norma constante, a aceleração do ponto G é um vector nulo ou ortogonal à velocidade;

F A aceleração de Coriolis sobre o corpo existe sempre que o corpo execute um movimento de rotação em torno de um eixo.

c) Seja um corpo rígido de massa m e O um ponto qualquer no espaço:

V Se as forças que actuam sobre o corpo forem constantes e equivalentes a um binário, o momento cinético ( )tHo

r do corpo em relação ao ponto O é um vector de direcção constante

no tempo;

V O trabalho de um conjunto de forças, conservativas ou não, que actuem sobre o corpo num dado intervalo de tempo é igual à variação da energia cinética do corpo nesse intervalo;

F Se um corpo possuir um movimento de rotação em torno de um eixo que lhe seja baricêntrico, o momento cinético ( )tHG

r do corpo em relação ao baricentro G é nulo;

V A energia cinética do corpo em movimento de translação coincide com a energia cinética de uma partícula de igual massa m que se desloque com o centro de massa do corpo.

d) Sejam duas bolas A e B (lisas e sem atrito) que rolam sem deslizar sobre uma mesa de bilhar:

V O movimento de cada bola é composto por um movimento de translação e um movimento de rotação em torno do seu centro de massa;

V A trajectória dos CIR’s de cada bola encontra-se sobre o plano da mesa;

V Se as duas bolas se encontrarem em choque central oblíquo, existe conservação da quantidade de movimento de cada bola em separado na direcção ortogonal à linha de choque;

F Se a bola A chocar contra as paredes da mesa e o choque for elástico, a velocidade da bola depois do choque mantém a grandeza e a direcção e inverte apenas o sentido.