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Seminário de Estruturas – 2006/2007
Licenciatura em Engenharia Civil – Opção de Estrutur as
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA EM SECÇÕES GENÉRICAS DE BE TÃO ARMADO
SEGUNDO O EC2. DESENVOLVIMENTO DE UMA APLICAÇÃO DE CÁLCULO AUTOMÁTICO
Orientador: Prof. Álvaro F. M. Azevedo
Bruno Trindade dos Santos
Hélder David Miranda
Hélder Sepúlveda da Costa
ORGANIZAÇÃO DA APRESENTAÇÃO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
• Introdução
• Descrição do modelo
• Programa desenvolvido
• Interface gráfica
• Considerações finais
INTRODUÇÃO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA (segundo o EC2)
Desenvolvimento de ferramentas de cálculo
Aplicação de cálculo automático
Tabelas e ábacos
Problema de resolução complexa
•Condições de equilíbrio
•Condições de compatibilidade
•Secções genéricas
•Sistema de equações não lineares
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
MATERIAIS
Diagramas tensão-extensão segundo o EC2
Aço Betão
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
++=++=
++=
∑ ∑∑∑ ∑∑
∑∑∑
pykpksyjsjcyiciy
pxkpksxjsjcxicix
psc
zFzFzFM
zFzFzFM
FFFN
Área de aço a dimensionar ( As )
ou
Um dos esforços resistentes ( N, Mx, My)
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Incógnitas
β – Inclinação do eixo neutro
D – Domínio de deformação
Incógnita do problema
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
DEFINIÇÃO DAS INCÓGNITAS
Inclinação do eixo neutro Domínio de deformação
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
FORÇAS INTERNAS DA SECÇÃO
Forças e momentos do betão Forças e momentos do aço
� Decomposição da parte não fendilhada em triângulos
� Cálculo das resultantes em cada triângulo com base em expressões analíticas exactas
� Soma dos resultados obtidos em cada triângulo
� Cálculo da tensão e respectiva força em cada ponto de colocação de armaduras
� Somatório das contribuições de cada armadura para os esforços resistentes
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
ALGORITMO DOS TRIÂNGULOS
DESCRIÇÃO DO MODELO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
Resolução numérica com um algoritmo iterativo
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
++=++=
++=
∑ ∑∑∑ ∑∑
∑∑∑
pykpksyjsjcyiciy
pxkpksxjsjcxicix
psc
zFzFzFM
zFzFzFM
FFFN
SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
PROGRAMA DESENVOLVIDO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONCLUSÕES
PROGRAMADESENVOLVIDO
─ INTRODUÇÃO DOS DADOS
Corrente
Rectangular
Em “T”
Circular
Genérica
Tipo de secção
Interface gráfica
Ficheiro de dados
─ DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÕES APROXIMADAS RECORRENDO AO MÉTODO DAS TENTATIVAS
─ USO DA LINGUAGEM C com recurso à biblioteca WIN32 AP I
PROGRAMA DESENVOLVIDO
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONCLUSÕES
PROGRAMADESENVOLVIDO
─ RESOLUÇÃO ITERATIVA DO SISTEMA PELO MÉTODO DE NEWTO N-RAPHSON
Corrigir solução
(recurso a line search)
Cálculo das forças e momentos do aço
Cálculo das forças e momentos do betão
Verificação das condições de
equilíbrio
Aproximação da solução
suficiente ?
TerminarCálculo da matriz
Jacobiana
Cálculo das correcções a fazer à solução corrente
Sim Não
APRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO
INTERFACE GRÁFICA
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
Exemplificação da Aplicação
CONSIDERAÇÕES FINAIS
FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
INTRODUÇÃO
INTERFACEGRÁFICA
DESCRIÇÃODO MODELO
CONSIDERAÇÕESFINAIS
PROGRAMADESENVOLVIDO
�Para os betões até à classe C50/60 as curvas tensão-e xtensão de cálculo definidas pelo EC2 e pelo REBAP coincidem
�Os ábacos e tabelas existentes (REBAP) podem ser re aproveitados considerando f cd = fck αcc/(0.85 γc)
�Aplicação de cálculo apresenta tempos de processame nto extremamente baixos
�A linguagem utilizada (ANSI-C) é portátil e bastante divulgada possibilitando o reaproveitamento do código