Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Trabalhos Prticos Anlise e Processamento de ImagemDiogo Faria

Trabalho realizado no mbito do Mestrado Integrado em Engenharia Biomdica Disciplina de Trabalhos Prticos

Junho de 2010

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ndice1. 2. Resumo ..................................................................................................... 5 Introduo ................................................................................................. 6 2.1 Sinais analgicos ..................................................................................... 7 Sinais discretos ........................................................................................... 7 2.2 Sinais digitais ......................................................................................... 7 Processamento e anlise de imagem .................................................................. 8 Baixo nvel ................................................................................................ 9 Mdio nvel ............................................................................................... 9 Alto nvel .................................................................................................. 9 3.1 Origem e Evoluo ................................................................................... 9 3.2 Aquisio de imagem ...............................................................................10 Amostragem..............................................................................................10 Quantizao..............................................................................................11 Operaes de imagem ..................................................................................12 3.3 Histograma ...........................................................................................12 Processamento de histograma ........................................................................12 Equalizao de histograma ............................................................................13 Especificao de histograma ..........................................................................13 3.4 Filtragem no domnio espacial ....................................................................13 Filtros de realce .........................................................................................15 Filtro de mediana .......................................................................................16 3.5 Transformada de Fourier ..........................................................................17 Transformada de Fourier Discreta ....................................................................18 Filtragem no Domnio das Frequncias ..............................................................18 3.6 Segmentao de imagem ..........................................................................22 Deteco de Pontos e Linhas ..........................................................................22 Deteco de contornos e orlas ........................................................................23 Operadores de Gradiente ..............................................................................23 Sobel ......................................................................................................24 Prewitt....................................................................................................25 Canny .....................................................................................................25 Operador Laplaciano ...................................................................................25 Transformada de Hough................................................................................26 Tresholding...............................................................................................27 MATLAB ..................................................................................................29 4.1 Ficheiros m...........................................................................................29 4.2 Matrizes...............................................................................................30 4.3 Nmeros e Variveis ................................................................................30 4.4 Funes ...............................................................................................31 4.5 Imagens ...............................................................................................31 4.6 Image Processing Toolbox .........................................................................31 4.7 Imagens DICOM ......................................................................................33 Trabalhos Prticos .......................................................................................34 5.1 Histograma ...........................................................................................34 5.2 Filtragem .............................................................................................36 5.3 Segmentao.........................................................................................38 Concluses ................................................................................................40 Bibliografia................................................................................................42

3.

4.

5.

6. 7.

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1. Resumo

Este trabalho foi realizado no mbito da cadeira de Trabalhos Prticos, do Mestrado em Engenharia Biomdica, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Pretende-se a realizao de pesquisa bibliogrfica e trabalho de carcter experimental sobre tcnica ou conjunto de tcnicas a usar na dissertao. Sero abordados temas relacionados com as bases da Imagem Digital, sua Anlise e Processamento. Como trabaho experimental, sero aplicados alguns fundamentos tericos no

processamento de imagem com o MATLAB.

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2. Introduo

Um sistema tpico de medio de sinais biomdicos comporta um transdutor, que converte o sinal fisiolgico em causa num sinal elctrico, um amplificador ou detector para deteco e processamento do sinal analgico, um conversor analgico-digital para converter o sinal analgico num sinal digital sendo este, depois, armazenado num sistema de memria, processado e apresentado como mostra a Figura 1.

F Figura 1 Esquema representativo de um sistema de medio biomdico tpico (adaptado de (1)).

Um sinal 1-D uma sequncia ordenada de valores que descrevem a tendncia e a variao de uma quantidade. As medies consecutivas de uma quantidade fsica realizadas em tempos distintos criam um sinal tpico encontrado frequentemente em cincia e engenharia. A ordem dos valores de um sinal determinada pela ordem das medies ou eventos num espao temporal. As caractersticas de um sinal so dadas pela ordem e pela amplitude dos seus valores numricos e a funo principal de uma ferramenta de processamento de sinal analis-lo para extrair conhecimentos importantes e no visveis a olho nu (2). Sinais multidimensionais so extenses dos sinais 1-D isto , so uma sequncia multidimensional de valores numricos ordenados em todas as dimenses.

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2.1

Sinais analgicos

Os sinais analgicos so contnuos em tempo e em amplitude. Assim, dado qualquer valor real de tempo t, o valor de amplitude g(t) pode tomar qualquer valor numrico contido num intervalo contnuo de nmeros reais (2).

Sinais discretosNo caso dos sinais discretos, o eixo da amplitude contnuo mas o eixo referente ao tempo discreto. Ao contrrio dos sinais analgicos, as medies da quantidade esto disponveis apenas em tempos especficos (2).

2.2

Sinais digitais

Nos sinais digitais ambos os eixos de amplitude e tempo so discretos. O sinal digital definido apenas em certos tempos e a amplitude do sinal em cada amostra apenas pode tomar valores num conjunto fixo e finito de valores. Ao utilizar sinais digitais torna-se mais fcil a utilizao de dispositivos digitais para armazenar e processar a informao recolhida. As tcnicas de processamento de sinal digital utilizam computadores digitais para as operaes algbricas, sendo todas as suas variveis quantificadas e convertidas em valores digitais. Estes valores digitais tm um numero finito de decimais e so tratados como nmeros discretos, na sua maioria (2).

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3. Processamento e anlise de imagemUma imagem pode ser definida como uma funo bi-dimensional f(x,y), onde x e y so coordenadas espaciais e a amplitude de f em qualquer par de coordenadas (x,y) chamada intensidade imagem nesse ponto. Quando x,y e os valores de f so quantidades discretas e finitas a imagem chamada de digital. Uma imagem digital composta de um nmero finito de elementos tendo cada elemento um valor e uma localizao particular, Figura 2. Cada elemento da imagem chamado de pixel (3). O processamento digital de imagem refere-se ao processamento de imagem usando um computador digital.

Figura 2 - Exemplo de uma imagem digital e intensidades de alguns dos seus pixis.

A viso o sentido mais avanado de todos os sentidos humanos e por isso as imagens tm um papel muito importante na percepo humana. Contudo, ao contrrio da viso humana que limitada banda visvel do espectro electromagntico, os computadores e aparelhos imagiolgicos cobrem quase todos o espectro electromagntico desde ondas gamma at s ondas rdio. Assim os aparelhos imagiolgicos podem processar imagens geradas a partir de ultassons, miscroscopia electrnica e imagens geradas por computador, entre outras tcnicas. Sendo assim, o processamento digital de imagem comporta um largo e variado campo de aplicaes. O processamento de imagem pode ser divido em trs grupos diferentes baixo, mdio e alto nvel.

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Baixo nvelEste tipo de processamento, que actua ao nvel do pixel, envolve operaes primitivas tais como pr-processamento de imagem para reduo de rudo, aumento de contraste e suavizao de imagem. caracterizado pelo facto de que ambos os objectos de entrada e de sada serem imagens.

Mdio nvelEste processamento envolve tarefas mais avanadas tais como segmentao, partio de uma imagem em regies ou objectos, e reconhecimento de objectos individuais. O objecto de entrada uma imagem mas a sada pode ser constituda por um conjunto de atributos extrados das imagens, como por exemplo contornos e bordas.

Alto nvelEste grupo envolve a interpretao do contedo da imagem, numa tentativa de executar funes cognitivas normalmente associadas com a viso humana. Este tipo de processamento est geralmente associado anlise de imagem.

3.1

Origem e Evoluo

As primeiras aplicaes de imagens digitais surgem nos media, no inicio dos anos 20, com o sistema Bartlane para transmisso intercontinental de imagens por cabo submarino. Porm, as origens do processamento digital de imagem remontam a 1964, quando imagens da superfcie lunar so processadas para compensar distores introduzidas durante a aquisio das mesmas. Em paralelo com as aplicaes espaciais, as tcnicas digitais de processamento de imagem comearam a ser usadas no campo da medicina. A inveno da Tomografia Axial Computorizada (CT), no incio dos anos 70, foi um dos mais importantes marcos na aplicao de processamento de imagem no diagnstico mdico. Desde 1960 at ao presente o processamento de imagem tido uma evoluo significativa, deixando de ser uma disciplina de cariz essencialmente acadmico e laboratorial. Para esse facto, foi fundamental a generalizao dos computadores digitais com caractersticas sucessivamente melhoradas.

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Actualmente, o processamento de imagem transformou-se numa tecnologia essencial, e economicamente vivel, em inmeras aplicaes prticas tais como: Medicina; Deteco remota; Astronomia; Inspeco industrial; Defesa; Biometria; Biologia; Vigilncia; Explorao espacial; Anlise de documentos e Investigao criminal.

3.2

Aquisio de imagem

Cada tipo de imagem adquirido utilizando diferentes sensores e tcnicas. Com poucas excepes, todas as tcnicas imagiolgicas envolvem um mapeamento de uma cena 3D num espao 2D. O resultado final da maioria dos sensores utilizados para produo de imagem uma voltagem contnua em forma de onda cuja amplitude e comportamento espacial esto relacionadas com o fenmeno fsico sendo estudado. Para criar uma imagem, necessria a converso da informao contnua adquirida em formato digital. Uma imagem pode ser contnua em relao s coordenadas x e y e tambm em amplitude. Para a converter em formato digital, necessrio ter uma amostra da funo quer em ambas as coordenadas, quer em amplitude. Sendo assim, uma imagem digital obtida atravs de uma operao de amostragem espacial 2-D e quantificao de intensidade de uma funo contnua. O nmero de pixis usados para representar a imagem e o nmero de nveis de quantificao usados para representar a intensidade dos pixis so as principais caractersticas de uma imagem.

AmostragemAmostragem a definio de instantes temporais ou locais onde os valores da imagem so gravados. a discretizao do domnio contnuo, muitas vezes definido em x, y, z, e t. Uma imagem esttica um sinal bi-dimensional que varia espacialmente. O perodo de amostragem, de acordo com o critrio de Nyquist, deve ser menor ou, no mximo, igual a metade do perodo do mais fino detalhe presente numa imagem (4). Se a imagem sobreamostrada ou exactamente amostrada possvel reconstruir a imagem sem perdas. Se a imagem sub-amostrada, haver sobreposio espectral, o que resulta num efeito de suavizao (4). Se uma funo f(t) no contem frequncias maior que w, esta completamente determinada dando as suas ordenadas a uma serie de pontos espaados por 1/(2w) segundos (5). Ou seja, se uma imagem tem uma amostragem com uma taxa maior que a frequncia de Nyquist, uma imagem analgica pode ser recuperada a partir da imagem amostrada com um erro convergente para zero medida que o numero de amostras se aproxima do infinito.

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Figura 3 - Exemplo de imagem com uma amostragem de 256x256, 128x128, 64x64, 32x32 e 16x16 com grelha rectangular (adaptado de (4)).

A resoluo adequada depende do tipo de informao que necessitamos extrair da imagem. Se tecnologicamente possvel, pod-se adquirir e armazenar com a maior resoluo possvel. Contudo, uma reduo da resoluo pode ser desejvel no apenas para aumentar a eficincia e reduzir custos, mas para no dificultar a sua anlise.

QuantizaoA discretizao consiste na observao de um sinal contnuo no espao ou tempo em posies ou instantes discretos. A quantificao a atribuio de valores discretos a uma gama de valores contnuos. um processo complementar discritizao. A quantizao o processo de discretizao de cor, permitindo a converso de uma imagem com um conjunto contnuo de cores numa imagem com um conjunto discreto de cores. Esta envolve a atribuio de um valor a cada amostra de maneira que a imagem reconstruda a partir das amostras quantizadas so de boa qualidade e o erro induzido pela quantizao seja reduzido. A gama dinmica de valores que as amostras da imagem podem assumir dividido num nmero finito de intervalos e cada intervalo atribudo a um nico nvel (4). Tipicamente, o nmero de nveis de cada pixel de uma imagem de cinzentos representada por 8 bits, correspondendo a 256 nveis de quantizao, embora algumas aplicaes usem 16 bits, onde o realce de intervalos de nveis de cinzentos seja necessrio (6).

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Operaes de imagemAs operaes de imagem so usadas para a realizao de tarefas de processamento diversas tais como: realce de imagem; eliminao de ruindo; binarizacao; deteco de orlas; transformadas geomtricas; clculo de histograma; clculo de projeces; clculo de transformadas; etc. Estas operaes podem ser pontuais, locais e globais.

3.3

Histograma

O histograma uma representao da distribuio da frequncia de ocorrncia de um conjunto de nmeros. O histograma de uma imagem digital com nveis de cinzentos no intervalo [0, L-1] uma funo discreta h(rk)=nk, onde rk o k nvel de cinzento e nk o numero de pixis na imagem com esse valor de intensidade (6). O histograma fornece primariamente a descrio global da imagem. Se o histograma da imagem estreito, significa que a imagem pouco visvel, pois a diferena nos nveis de cinzento presente na imagem baixa. Uma distribuio uniforme dos nveis de cinzento de um histograma significa um maior contraste e uma melhor visibilidade (7). A normalizao de um histograma faz-se atravs da diviso de cada um dos seus valores pelo nmero total de pixis na imagem, n. Este dado por p(rk)=nk/n, para k=0,1,...,L-1. Este d-nos uma estimativa da probabilidade de ocorrncia de um nvel de cinzento rk. Existem alguns indicadores que podem ser retirados do histogram, tais como o nvel global de intensidade, a gama dinmica, o contraste, informao esttica (mdia, desvio padro, etc.) e outras informaes teis para outras aplicaes de processamento de imagem como a compresso e a segmentao.

Processamento de histogramaA base de vrias tcnicas de processamento de imagem no domnio espacial o histograma. A manipulao do histograma pode ser utilizada para o melhoramento de imagem. Ma imagem com baixo contraste tem um histograma que ser estreita e centrada no centro da escala de cinzentos. Uma imagem com alto contraste, os valores referentes intensidade de cada pixel, cobrem uma larga variedade de valores e a distribuio dos pixis quase uniforme.

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Equalizao de histogramaA equalizao de histograma uma tcnica que consiste no ajustamento da escala de cinzentos de uma imagem para que o histograma de nveis de cinzentos da imagem de entrada seja mapeado num histograma uniforme (7). Assim, o objectivo da equalizao de histograma a obteno dum histograma uniforme a partir de uma imagem inicial. Sendo a varivel r, um valor varivel no intervalo de [0:1], que indica o nvel de cinzento de uma imagem, sendo r = 0 o preto e r = 1 o branco, a transformao: s = T(r) produz um nvel s para cada pixel na imagem original. assumido que T(r) uma funo de valor nico, aumentando monotonicamente no intervalo de [0:1], e T(r) toma valores entre 0 e 1. A primeira condio preserva a ordem da cor preta para o branco na escala de cinzentos, e a segunda condio garante que a funo seja consistente com intervalo definido para os valores das intensidade dos pixis (7).

Especificao de histogramaO mtodo usado para gerar uma imagem processada com um histograma especfico chamado de especificao de histograma. Quando pretendido um melhoramento automtico da imagem, a equalizao de histograma uma boa opo, pois os resultados desta opo so previsveis e o mtodo simples de implementar (8). A especificao de histograma no tem em ateno a percepo do contraste, o que resulta numa degradao da qualidade subjectiva da imagem.

3.4

Filtragem no domnio espacial

As tcnicas de filtragem no domnio espacial so utilizadas para reduo de rudo em imagens (7). Estas tcnicas actuam directamente nos pixis de uma imagem. Consiste na aplicao de uma mscara de filtro em cada ponto da imagem (x,y), sendo a resposta do filtro em cada ponto calculada utilizando relaes predefinidas. Deste modo, a aplicao deste operadores locais consiste na definio de um ponto central (m,n), na execuo de uma operao que envolve apenas os pixis numa vizinhana predefinida em torno do ponto central, sendo o resultado dessa operao a resposta do processo e o valor a ser escrito no pixel (m,n) da imagem filtrada. Este processo repetido para cada pixel da imagem. No caso da filtragem linear espacial a resposta dada pela soma dos produtos dos coeficientes do filtro e os pixis correspondentes calibrados pela mscara do filtro, Figura 4.

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Figura 4 Mecanismos da filtragem espacial. A rea amplificada da imagem mostra uma mscara 3x3 e a rea por esta seleccionada da imagem. Em cada pixel da imagem, o resultado do filtro calculado utilizado uma relao predefinida (adaptado de (8)).

Este processo semelhante ao conceito de filtragem no domnio das frequncias chamado de convoluo, sendo os seus filtros chamados de mscaras de convoluo (8). Chama-se convoluo ao processo de calcular a intensidade de um determinado pixel em funo da intensidade dos seus vizinhos. A realizao da convoluo baseada em ponderao: isto , utilizam-se pesos diferentes para pixis vizinhos diferentes. A matriz de pesos chamada de Mscara ou Janela da convoluo. Em geral a filtragem linear de uma imagem f de tamanho M X N com uma mscara de tamanho mxn dada pela expresso:a b

g(x, y) =

(s,t) f (x + s, y + t)s=a t =b

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onde, a= (m-1)/2 e b = (n-1)/2. Filtros espaciais no lineares operam tambm com base na vizinhana do pixel, e a forma como a mscara percorre a imagem a mesma que os filtros lineares (8). A operao de filtragem baseada condicionalmente nos valores dos pixis na vizinhana do pixel considerado e no utilizam coeficientes com base na soma de produtos descritos anteriormente. Uma considerao importante na aplicao de mscaras de convoluo a borda da imagem. Considerando uma mscara de tamanho mxn, a certa altura, a borda da mscara ir coincidir com a da imagem, quando o centro da mscara est a uma distncia de (n-1)/2 pixis de distncia da borda da imagem. Ou seja, o pixel central da mscara no ficar sobreposto com qualquer um dos pixis situados nas bordas da imagem, sem que a mscara parcialmente fique fora da imagem.

Filtros de realceOs detalhes "finos" ou variaes abruptas numa imagem, correspondem a componentes de alta frequncia, enquanto os detalhes mais "grosseiros", caracterizados por variaes mais lentas que permitem uma visualizao menos detalhada da imagem, surgem como componentes de baixa frequncia.

Filtro Passa-Baixo Filtragem passa-baixo de uma imagem uma operao de mdia (7, 8). Este produz uma imagem de sada mais suavizada que a imagem de sada, sem as suas componente de altas frequncias espaciais originais. Atravs da substituio do valor de cada pixel na imagem pela mdia dos nveis de cinzento na sua vizinhana definida pela mscara utilizado, produzida uma imagem com transies mais suaves nos seus nveis de cinzentos. Todos os filtros passa-baixo tm um efeito de suavizao. Este tipo de filtro til na remoo de rudo visual, que normalmente surge como pontos de alto brilho na imagem, e estruturas subtis provocando nas imagens uma perda de preciso.

Filtro Passa-Alto Filtros do tipo passa-alto produzem uma imagem em que as componentes espaciais baixas so atenuadas. A frequncia limite a que as baixas frequncias so atenuadas varia com a definio dos coeficientes utilizados. Este tipo de filtragem utilizado para realce de bordos ou contornos uma vez que os contornos de uma imagem esto relacionados com as altas frequncias espaciais da imagem (7, 8).

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Filtro de medianaO filtro de mediana permite uma atenuao dos rudos presentes numa imagem. Assimeste filtro realiza uma operao no linear, sendo um operador designado de operador de ordem ( um operador que procura estabelecer uma ordem nos valores da imagem abrangidos pela mscara de filtragem), Figura 5.

Figura 5 Esquema representativo de um filtro de mediana. Os valores dos pixis contidos na vizinhana predefinida so ordenados. A resposta do filtro o valor determinado pelo resultado da operao de ordenao.

Uma das vantagens deste tipo de filtragem manter os principais detalhes da imagem, sendo til na remoo de pontos isolados, mantendo a resoluo espacial. O filtro considera cada pixel da imagem comparando com os pixis vizinhos de forma a determinar se o seu valor representativo ou no para a vizinhana. Em vez de simplesmente substituir o valor do pixel alvo pela mdia dos valores vizinhos, substitui pela mediana desses valores. Esta operao pode ser representada por:

v(m,n) = median y(m k,n 1),(k,1) W

{

}

Para calcular a filtragem por mediana numa vizinhana de um pixel P, deve-se seleccionar o valor do pixel e dos seus vizinhos, aps isso determinar a mediana, (a mediana

calculada ordenando os valores dos pixis vizinhos e alvo por ordem numrica e substituindo o valor do pixel alvo pelo valor que se encontra no meio da ordenao) e finalmente atribuir o valor da mediana ao equivalente de P na imagem resultante. Este tipo de filtro no linear e til na remoo de pixis ou linhas isolados , preservando a resoluo espacial da imagem. Apresentando bons resultados quando o rudo do tipo binrio, este filtro tem dificuldades quando o rudo Gaussiano. Quando o nmero de pixis com rudo maior ou igual a metade dos nmeros de pixis na vizinhana, o seu desempenho est comprometido (7).

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Filtro de mdia Um dos mais simples filtros lineares implementado atravs de uma operao local de mdia onde o valor de cada pixel substitudo pela mdia de todos os valores na sua vizinhana local. Em geral, num filtro de mdia, as ponderaes utilizadas so valores iguais:

g(m,n) =

1 f (m k,n 1),(k,1) W N

onde N o nmero de pixis na vizinhana de W. Este filtro de mdia tambm pode ser implementado como um filtro de convoluo, os pesos dos coeficientes da mscara de convoluo tm que ter

sendo que

obrigatoriamente valores idnticos. O tamanho da vizinhana N controla a quantidade de filtragem. Uma vizinhana mais alargada, correspondendo a uma mscara de convoluo mais alargada, ir resultar num grau de filtragem superior. Quanto maior for o grau de filtragem e consequentemente maior a quantidade de reduo de rudo, maior ser a perda de detalhes na imagem.

3.5

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier uma das mais importantes ferramentas para a compreenso de uma imagem, sua formao e processamento. Sendo uma imagem um sinal 2D, possvel a sua representao como uma superfcie num espao 2D. Atravs da transformada de Fourier, possvel analisar uma imagem como um conjunto de sinusides espaciais em vrias direces, tendo cada sinuside uma frequncia precisa (9). A transformada continua de Fourier 1D de uma funo continua f(x) dada pela seguinte frmula:+

F( ) =

f (x)exp[ j2x]dx .

Sendo transformada inversa de Fourier correspondente:

f (x) =

+

F( )exp[ j2x]d

J a transformada de Fourier 2D dada como:

+ +

F( , ) =

f (x, y)exp[ j2 (x + y)]dydx

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F( , ) produz os resultados da soma limitada de um nmero finito de senos indica a frequncia, isto , o nmero de ondas por unidade de comprimento na direco de x, e o indica o nmero de ondas ao longo do eixo dos y. Parae cosenos. A varivel um determinado par de valores destas componentes de frequncia, o integral produz apenas a amplitude componente escolhido (9). do

O integral

A transformada inversa 2D correspondente :+ +

f (x, y) =

F( , )exp[ j2 (x + y)]dd .

Transformada de Fourier Discreta Quando a funo ou sinal representado de forma discreta utilizando uma sequncia de amostras discretas, a transformada de Fourier do sinal discreto a Transformada de Fourier Discreta (TFD). A TFD 1D representada como:

2ux 1 N 1 F(u) = f (x)exp[ j N y =0 N

A TFD 2D de um sinal 2D f(x,y) de dimenso MxN com nmeros inteiros x e y, de 0 a M-1 e 0 a N-1, dada como:

1 M 1N 1 ux vy F(u,v) = f (x, y)exp j2 ( M + N MN x =0 y =0

Filtragem no Domnio das Frequncias

Quando uma imagem f(x,y) convoluda com um operador linear h(x,y), a imagem resultante dada por: g(x,y)=h(x,y)*f(x,y). O teorema de convoluo diz que a convoluo no domnio espacial equivalente multiplicao no domnio das frequncias (7). Isto implica que

G(u,v) = H(u,v)F(u,v) ,

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onde G(u,v), H(u,v), e F(u,v) so as transformadas de Fourier de g(x,y), h(x,y), e f(x,y) respectivamente. A Transformada Inversa de Fourier de G(u,v)

g(x, y) = 1 [ H(u,v)F(u,v)] .A melhoria de imagem no domnio das frequncias faz-se atravs de filtragem passabaixo, passa-baixo e passa-banda da imagem original. Esta tarefa envolve a computao da Transformada de Fourier imagem original. As variaes nos nveis de cinzento de numa da imagem representa a componente de frequncias presente numa imagem. Uma imagem homognea com nveis de cinzento constantes tem 0 (zero) frequncias. Frequncias baixas na transformada de Fourier so responsveis pela aparncia dos nveis de cinzento nas reas suavizadas, enquanto as frequncias altas so responsveis por detalhe, tais como contornos, orlas e rudo (10). A representao espacial de filtro no domnio das frequncias obtido pela multiplicao de H(u,v) por (-1)u+v, calculando a TF inversa, e multiplicando a parte real da TF inversa por (-1)x+y.

Filtros de Suavizao Os contornos e transies nas imagens contribuem fortemente para a componente de altas frequncias da TF de uma imagem. A suavizao de uma imagem no domnio das frequncias feita atravs da atenuao de um determinado intervalo de componentes de altas frequncias na transformada de uma imagem. Por isso, na filtragem no domnio das frequncias, o modelo utilizado dada por

G(u,v) = H(u,v)F(u,v)onde F(u,v) a TF da imagem a ser suavizada e o objectivo seleccionar uma funo de transferncia de um filtro H(u,V) que origine G(u,v) pela atenuao dos componentes de altas frequncias de F(u,v).

Filtro passa baixo ideal O filtro passa baixo ideal anula todas as componentes de altas frequncias da TF de uma imagem que estiverem a uma distancia maior que a especificada D0 da origem da transformada. A sua funo de transferncia

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onde D0 uma quantidade especificada no negativa, e D(u,v) a distncia do ponto (u,v) ao centro do rectngulo de frequncias (10). Se a imagem em questo tem um tamanho MxN, a sua transformada tambm ter o mesmo tamanho, por isso o centro do rectngulo de frequncias esta em (u,v)=M/2, N/2) devido ao facto que a transformada foi centrada.

Filtro Butterworth passa-baixo A funo de transferncia de um filtro Butterworth passa-baixo de ordem n e com frequncia de corte a uma distancia D0 da origem definido por

H(u,v) =equao

1 1+ [D(u,v) /D0 ]2n

onde D(u,v), distancia de qualquer ponto (u,v) qo centro da origem da TF, dado pela

D(u,v) = [(u M /2) 2 + (v N /2) 2 ]1/ 2 .

Este filtro no apresenta uma descontinuidade to marcada, no se verificando um corte to brusco entre frequncias filtradas e no filtradas. Em filtros com funes de transferncia de suavizao, usual definir uma frequncia de corte em pontos em que H(u,v) est a uma certa fraco do seu valor mximo (10).

Filtro Gaussiano passa-baixo A forma dos filtros Gaussianos passa-baixo em 2D dada pela seguinte expresso:

H(u,v) = e Dda curva Gaussiana (10).

2

(u,v )/ 2 2

onde D(u,v) a distncia da origem da transformada de Fourier e a medida do desvio

Filtros de Realce Uma vez que os contornos, orlas e outras mudanas acentuadas numa imagem esto associadas com as componentes de altas frequncias, o realce de imagem pode ser feito no domnio das frequncias por um processo de filtragem de altas frequncias.

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Filtro passa-alto ideal

Este filtro o oposto do filtro ideal passa-baixo, no sentido em que estabelece como zero todas as frequncias dentro de um circulo de raio D0 enquanto que todas as frequncias fora do circulo passam sem alterao.

Filtro Butterworth passa-alto A funo de transferncia do filtro Butterworth passa-alto, de ordem n e frequncia de corte a uma distncia D0 dada por

H(u,v) =

1 . 1+ [D0 /D(u,v)]2n

Este filtro tem um comportamento mais suave que o filtro passa-alto ideal (10).

Filtro Gaussiano passa-alto A funo de transferncia de um filtro Gaussiano passa-alto com local de frequncia de corte a uma distncia D0 dado por

H(u,v) = 1 e Dalto.

2

2 (u,v )/ 2D0

.

Este filtro tem resultados melhores que o filtro ideal passa-alto e o Butterworth passa-

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3.6

Segmentao de imagem

A segmentao de imagem tem como finalidade subdividir uma imagem nos objectos ou regies que a constituem, para que os pixis em cada regio possuam um conjunto idntico de propriedades ou atributos (11, 12). Estes atributos podem incluir nveis de contraste, valores espectrais ou propriedades de textura. A imagem segmentada ser ento definida por um conjunto de regies que esto ligadas mas no sobrepostas, de forma a cada pixel na imagem pertence a apenas uma regio. Os algoritmos clssicos utilizados em segmentao de imagem so baseados em uma das duas propriedades bsicas dos valores de intensidade, descontinuidade e similaridade. No primeiro caso, a segmentao baseada em mudanas bruscas nos valores de intensidade dos pixis da imagem, no segundo caso, a segmentao de imagem baseada na sua partio em regies semelhantes de acordo com um conjunto de critrios predefinidos.

Deteco de Pontos e LinhasA deteco de pontos feita pela aplicao de uma mscara de convoluo em que so calculadas as diferenas ponderadas entre o ponto central e os seus vizinhos. Na base deste mtodo, est a preposio de que um ponto isolado, um ponto cujo nvel de cinzento significativamente diferente dos seus vizinhos, ser muito diferente da sua vizinhana e por isso facilmente detectvel. A mscara utilizada a apresentada na figura 6.

-1 -1 -1

-1 8 -1

-1 -1 -1

Figura 6 Mscara de deteco de pontos.

Considerando as mscaras presentes na Figura 7, existem vrios tipos para deteco de linhas consoante a sua orientao. Na primeira mscara, tem-se uma resposta maior em linhas com orientao horizontal, tendo a sua resposta mxima quando a linha passa pela linha mdia da mscara. de verificar que a direco privilegiada em cada mscara ponderada com um coeficiente maior que as outras possveis direces. Os coeficientes em cada mscara tm soma zero, indicando uma resposta nula em reas de nveis de intensidade constantes.

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Horizontal

+45

Vertical

-45

Figura 7 Mscaras utilizadas para a deteco de linhas e orientao privilegiada.

Deteco de contornos e orlasPara a deteco de contornos e orlas necessria a utilizao de operadores que sejam sensveis mudana e consigam suprimir reas de nveis de cinzento constante. Enquanto os filtros de mdia suprimem estruturas com valores altos, a deteco de contornos requer uma operao de filtragem que d realce a mudanas nos valores de cada pixel e que anulem reas com valores constante, sendo os operadores derivativos adequados para esta funo (13). Operadores de derivada de primeira ordem mostram um extremo no contorno, enquanto operadores de derivada de segunda ordem passam por zero onde o contorno tem os seus altos e baixos mais ngremes. Um contorno ideal uma descontinuidade da funo espacial do valor de cinzento da funo g(x) da imagem. A deteco de contornos baseada numa diferenciao. Numa imagem discreta, a diferenciao substituda por diferenas discretas, sendo que os erros associados a esta diferenciao devem ser considerados. Os erros mais comuns so a deteco de contornos anisotrpica, quando os contornos no so detectados igualmente em todas as direces, e erros na estimativa da direco dos contornos (13). Filtros derivativos de primeira ordem produzem imagens com contornos mais grosseiros. Por outro lado, filtros derivativos de segunda ordem tm melhor resposta ao detalhe mais fino, tais como linhas com menor espessura ou pontos isolados (8).

Operadores de GradientePara detectar estruturas em imagens, tais como orlas e linhas, so usados filtros de forma a extrair as derivadas da imagem. Os operadores de Roberts, Prewitt e Sobel so exemplos de tipos de filtros que fornecem o valor absoluto de um gradiente de vrias formas. Os operadores de gradiente detectam contornos calculando o mximo e o mnimo na primeira derivada da imagem. A derivada mostra o mximo localizado no centro do contorno no sinal/imagem original. Este mtodo de localizao de contorno ou orla caracterstico dos filtros de gradiente. Um pixel estar localizado num contorno ou orla se o valor do seu

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Trabalhos Prticos

gradiente excede um dado limite. Os contornos ou orlas iro ter pixel com intensidades maiores que os seus vizinhos. Assim que um limite definido possvel comparar o valor de gradiente com o limite e detectar o contorno quando o limite definido excedido (14). O gradiente de uma imagem f(x,y) em (x,y) definido pelo como: .

Gx f f = = x f Gy y Sobel

O operador de Sobel efectua uma medio de gradiente espacial 2D numa imagem. utilizado para calcular a magnitude absoluta do gradiente em cada ponto de uma imagem em escala de cinzentos (14). Este operador utiliza 2 mscaras de convoluo 3x3, sendo uma das mscaras para estimar o gradiente na direco de x e uma outra para calcular o gradiente na direco de y, Figura 8.

Figura 8 Mscaras de Sobel para o gradiente em x (a) e em y (b). (adaptado de (7)).

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PrewittO operador de Prewitt definido com um conjunto de 8 mscaras, sendo a mscara que produz a resposta mxima que define a direco do gradiente.

Figura 9 Mscaras de Prewitt em sucessivas rotaes de 90. Adaptado de (7).

CannyO operador de Canny para deteco de contornos assegura a deteco de contornos com erros mnimos e pouco afectado pelo rudo. Este operador optimiza a deteco de contornos atravs da maximizao do ratio de sinal/rudo do gradiente, factor de localizao do contorno que assegura que o contorno detectado o mais adequada possvel, e minimizando o nmero de respostas a um nico contorno (7). A relao sinal/rudo do gradiente maximizado quando os contornos verdadeiros so detectados e quando os falsos so evitados. Neste mtodo, aplica-se inicialmente um filtro gaussiano, sendo seguido da aplicao do operador de gradiente Canny.

Operador LaplacianoEste operador um filtro isotrpico baseado na derivada de segunda ordem de uma funo. A resposta deste operador independente da orientao das descontinuidades da imagem processada, mas muito sensvel ao rudo (8), para contornar este problema aplica-se inicialmente um filtro passa-baixo. A sua expresso num espao bidimensional :

2f =

2 f 2 f + x 2 y 2

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Este operador evidencia descontinuidades em nveis de cinzento numa imagem e mascara regies na imagem com pequenas variaes, produzindo imagens com linhas de contorno acentuadas sobrepostas num fundo escuro. As restantes caractersticas da imagem podem ser recuperadas atravs da adio da imagem original imagem tratada com este operador (8). O Laplaciano no muito utilizado na sua forma original para deteco de contornos e orlas pois tem uma sensibilidade muito grande ao rudo na imagem, detectar a direco do contorno. Considerando a funo a magnitude do Laplaciano produz contornos e orlas duplos, complicando a segmentao, e incapaz der2 2 2

h(r) = e

onde r2=x2+y2 e o desvio padro, e convoluindo a funo com uma imagem, suaviza a imagem. O Laplaciano de h, a segunda derivada de h em funo de r,

r 2 2 r 2 h(r) = e 2 . 4 2

2

Esta funo chama-se Laplaciano de um Gaussiano. Devido ao facto de a segunda derivada ser uma operao linear, a aplicao do Laplaciano de um Gaussiano o mesmo que convoluir a imagem com um filtro Gaussiano e depois aplicar o Laplaciano (11).

Transformada de HoughA transformada de Hough pode ser utilizada para isolar caractersticas particulares numa imagem, tais como padres descontnuos inseridos em imagens com muito rudo. Para a deteco de crculos numa imagem, utiliza-se um processo de votao onde os votos so atribudos aos pontos de passagem dos possveis crculos existentes na imagem. Os votos so acumulados num vector de acumulao de votos, sendo que a deteco de um possvel crculo obtida quando um valor mximo (cume) obtido no acumulador de votos (15), como exemplificado na Figura 10.

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Figura 10 - Esquema exemplificativo do mapeamento de uma linha pela Transformada de Hough

(daptado de (15)).

A Transformada de Hough no permite a determinao do comprimento e dos pontos de extremidade das linhas existentes numa imagem e torna-se necessrio a deteco de bordas e a limiarizao prvias das imagens (15).

TresholdingUm mtodo simples para a segmentao de imagem o tresholding, que faz com uma imagem de cinzentos se torne numa imagem binria. A forma mais simples de tresholding faz-se atravs da partio do histograma da imagem pelo uso de nico parmetro de treshold, T. A segmentao da imagem faz-se de seguida, mapeando a imagem pixel a pixel como objecto ou fundo (background), se o valor de intensidade de nvel de cinzento maior ou menor que o valor de T. Este mtodo pode ser definido por:

onde f(x,y) representa a funo original, z(x,y) a funo binria e t o valor de treshold (11). O valor do threshold tem que ser determinado consoante a imagem em questo, existindo vrias possibilidades para atribuir valores a esta varivel. A forma mais simples um valor esttico: cada valor de cinzento menor que um determinado valor t fica com o valor zero na imagem final e qualquer outro valor fica como 1 na imagem final. Existem ainda tcnicas de treshold que utilizam vrios valores de treshold, subdividindo a imagem em vrios segmentos. Os histogramas destas imagens so multimodais, com picos acentuados na sua distribuio, sendo estes escolhidos como valores de treshold na segmentao de imagem (12), Figura 11.

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Figura 11

Exemplo de Tresholding multi-nvel. Histograma multimodal,a, imagem inicial,b, segmentao da imagem,c, e fundo da imagem segmentado (adaptado de (12)).

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4. MATLABO sistema MATLAB consiste numa linguagem de computao de alto-nvel e ambiente de desenvolvimento de algoritmos, anlise e visualizao de dados, e computao numrica (16). Este software pode ser utilizada para: Programao; Desenvolvimento de algoritmos; Aquisio de dados; Simulao, Modelao; Anlise de dados e visualizao; etc. A sua estrutura de dados fundamental a matriz que pode ter elementos reais ou complexos e que no requer dimensionamento. O nome de MATLAB derivou da contraco das palavras "MATrix LABoratory" e foi inicialmente concebido para proporcionar fcil acesso s bibliotecas LINPACK e EISPACK duas das mais importantes bibliotecas em computao e clculo matricial hoje em dia. O MATLAB um sistema de trabalho interactivo baseado na representao matricial. O programa permite efectuar, de um modo rpido, a resoluo numrica de problemas num tempo muito menor do que com linguagens de programao tradicionais como Fortran, Basic ou C. O MATLAB goza, na actualidade, de um alto grau de implantao em Escolas e Centros Universitrios assim como em departamentos de I&D de muitas empresas industriais. Em ambientes universitrios, por exemplo, o MATLAB converteu-se numa ferramenta bsica, tanto para os docentes e investigadores para a leccionao de cursos universitrios, tais como sistemas e engenharia de controlo, lgebra linear, processamento digital de imagens, sinais, etc. No mundo industrial, o MATLAB tem sido utilizado como ferramenta de investigao para a resoluo de problemas complexos como por exemplo a realizao e aplicao de modelos matemticos em engenharia. As utilizaes mais frequentes desta ferramenta encontram-se nas reas de computao e clculo numrico tradicional, prototipagem, algoritmia, teoria do controle automtico, estatstica, anlise de sries temporais para o processamento digital de sinais. O MATLAB dispe tambm de um amplo conjunto de programas de apoio especializados, denominados Toolboxes que estendem significativamente o nmero de funes incorporadas no programa principal. Estas Toolboxes cobrem praticamente todas as reas principais no mundo da engenharia destacando entre elas a toolbox de processamento de imagem, sinais, controle robusto, estatstica, analise financeira, calculo matemtico simblico, redes neuronais, lgica difusa, identificao de sistemas e simulao de sistemas dinmicos.

4.1

Ficheiros m

Os ficheiros com extenso .m constituem sub-rotinas elaboradas a partir de um conjunto extenso de funes intrnsecas que no podem ser alteradas pelo utilizador. As Toolboxes so, efectivamente, ficheiros com a extenso ".m" criados a partir das funes

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Trabalhos Prticos

intrnsecas. Estas bibliotecas externas podem ser constantemente actualizadas medida que novas aplicaes vo sendo desenvolvidas. As sub-rotinas dividem-se em dois tipos: scripts e funes. As primeiras servem para efectuar um determinado tipo de processamento que no necessita de passar variveis de e para o programa principal. Por exemplo, um ficheiro com uma lista de valores a usar num dado programa constitui um script desde que o seu nome tenha uma extenso .m. As funes efectuam tal passagem necessitando, por isso, de uma declarao function.

4.2

Matrizes

Em MATLAB uma matriz uma estrutura de dado rectangular bi-dimensional capaz de armazenar elementos mltiplos tais como nmeros e caracteres. As matrizes podem ser introduzidas no MATLAB por diferentes processos: digitao na rea de trabalho (listagem explcita dos seus elementos), atravs de comandos e funes, criadas em ficheiros ".m" ou carregadas a partir de um ficheiro de dados externo. O mtodo mais fcil de definir pequenas matrizes no MATLAB usando uma listagem explcita. Os elementos de cada linha da matriz so separados por espaos em branco ou vrgulas e as colunas separadas por ponto e vrgula, colocando-se parntesis recto em volta do conjunto de elementos da matriz (17).

4.3

Nmeros e Variveis

MATLAB utiliza notao decimal convencional. A notao cientfica utiliza a letra e para especificar um factor de potncia de 10 e os nmeros imaginrios utilizam i ou j como sufixo. As expresses podem ser construdas usando operadores aritmticos usuais e regras de precedncia: + * / \ ^ Soma; Subtraco; Multiplicao; Diviso; Diviso esquerda; Potncia.

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Trabalhos Prticos

Os nomes das variveis consistem numa letra, seguida de um qualquer nmero de letras ou dgitos, distinguindo letras maisculas e minsculas. Embora os nomes das variveis possam ter qualquer comprimento, o MATLAB utiliza apenas os primeiros N caracteres do seu nome, onde N o nmero devolvido pela funo namelengthmax ignorando os restantes caracteres. Para que o MATLAB possa distinguir as diferentes variveis necessrio que cada varivel seja nica nos seus primeiros N caracteres (17).

4.4

Funes

O MATLAB fornece um largo nmero de funes matemticas elementares, tais como funes trigonomtricas, exponenciais e logartmicas. Para determinar o valor de uma funo num dado ponto h apenas que indicar qual a funo e o ponto em causa. Assim, para calcular sin 0.5 tem-se simplesmente de escrever:

sin(0.5) ao que o MATLAB responde com ans = 0.4794

4.5

Imagens

Como referido anteriormente, a estrutura dos dados em Matlab baseia-se em matrizes. O armazenamento de imagens em MATLAB feito por matrizes em que cada elemento da matriz corresponde a um nico pixel na imagem. Uma imagem composta por 200 linhas e 300 colunas de pontos coloridos ser armazenada como uma matriz de 200x300. Os valores de intensidades dos pixis podem ser representados por nmeros inteiros ou outro tipo de representao, tais como unicode.

4.6

Image Processing Toolbox

A Image Processing Toolbox um conjunto de programas de apoio especializados que suportam um variado leque de operaes para processamento de imagem tais como: - Transformaes espaciais; - Operaes Morfolgicas; - Operaes em bloco ou pontuais;

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Trabalhos Prticos

- Filtragem de imagem linear e desenvolvimento de filtros; - Transformadas de imagem; - Registro de imagem; - Segmentao. Como operaes bsicas esta toolbox permite ler e visualizar uma imagem, visualizar a informao da imagem, melhorar o contraste e gravar imagens em disco. Esta toolbox define 4 tipos de imagem, imagens binrias, imagens indexadas, imagens em tons de cinzento e imagens RGB. Numa imagem binria cada pixel assume um de apenas 2 valores discretos, um ou zero, como mostra a Figura 12.

Figura 12 Exemplo de uma imagem binria e seus valores de pixis.

Uma imagem indexada consiste numa matriz de imagem e uma escala de cores. Os pixis tem valores de ndice directo para uma escalar de cores. Uma imagem em tons de cinzento constituda por uma matriz de dados cujos valores representam intensidades num certo intervalo. As matrizes podem ser uint8, uint16, int16, single ou double. Para imagens em single ou double, os valores de intensidade dos pixis podem tomar valores entre [0,1]. Para uint8 os valores variam entre [0,255], para uint16 variam entre [0,65535] e para int16 os valores variam entre [-32768,32767]. Numa imagem RGB, cada pixel especificado por 3 valores. Um valor para a componente vermelho, um para a componente azul e um outro para a componente verde. A cor de cada pixel assim determinada pela combinao de vermelho, verde e intensidade de azul armazenada em cada plano de cor de cada pixel.

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4.7

Imagens DICOM

DICOM (Digital Imaging Communications in Medicice) uma norma internacional que define os formatos e processos de armazenamento e transmisso de imagem mdica digital. O padro DICOM uma srie de regras que permite que imagens mdicas e informaes associadas sejam trocadas entre equipamentos de imagem, computadores e hospitais. O padro estabelece uma linguagem comum entre os equipamentos de marcas diferentes e entre equipamentos de imagem e computadores de hospitais. As imagens DICOM contm informao sobre os dados da imagem, tais como: tamanho, dimenso, modalidade utilizada para a criao da imagem, parmetros utilizados na formao da imagem e tipo de estudo efectuado. Com a Image Processing Toolbox possvel aceder a toda informao existente neste tipo de ficheiros atravs da funo dicominfo e para ler este tipo de ficheiro basta utilizar a funo dicomread.

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5. Trabalhos PrticosComo aplicao prtica da teoria apresentada anteriormente iro ser

apresentadas de seguida algumas aplicaes em processamento de imagem. Este estudo consistiu na aplicao de operaes de filtragem e segmentao a imagens transaxiais do crebro adquiridas por tcnicas de emisso, aps injeco de radiofrmacos - imagens transaxiais de metabolismo cerebral com FDG-F18 e de degenerescncia dopaminrgica no feixe nigro- estriado.

5.1

Histograma

No MATLAB existem funes pr-definidas para processamento de imagens digitais pela manipulao do seu histograma tais como a funo histeq que faz a equalizao do histograma e a imhist que apresenta o histograma no ecr. O cdigo utilizado foi o seguinte:i=imread('5_gray.jpg'); I=rgb2gray(i); original=(I); equalizada=histeq(original); subplot(2,2,1); imshow(i); title('Imagem Original'); subplot(2,2,2); imshow(equalizada); title('Imagem Equalizada'); subplot(2,2,3); imhist(original); subplot(2,2,4); imhist(equalizada);

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com os seguintes resultados:

Figura 13 Aplicao da equalizao de histograma.

Como se pode observar a imagem equalizada apresenta uma distribuio mais uniforme do seu histograma. Em termos de aspecto visual observamos um aumento do contraste na imagem visualizando-se melhor as transies entre zonas de maior e menor intensidade.

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5.2

Filtragem

Existem funes pr-definidas no MATLAB para filtragem de imagem digital. A funo fspecial permite-nos aplicar vrios tipos de filtros predefinidos tais como o Gaussiano e de Mdia. O cdigo utilizado foi o seguinte:I = imread('5.tif'); subplot(2,2,1);imshow(I);title('Original Image'); H = fspecial('average'); MotionBlur = imfilter(I,H,'replicate'); subplot(2,2,2);imshow(MotionBlur);title('Average'); H = fspecial('log'); blurred = imfilter(I,H,'replicate'); subplot(2,2,3);imshow(blurred);title('Log'); H = fspecial('unsharp'); sharpened = imfilter(I,H,'replicate'); subplot(2,2,4);imshow(sharpened);title('Sharpened Image');

com os seguintes resultados:

Figura 14 Filtragem atravs do filtro de mdia, motion e unsharp.

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Trabalhos Prticos

possvel verificar que o filtro de mdia produz uma imagem com melhor contraste sendo visualizado menos background.

Figura 15 - Filtragem atravs do filtro de mdia, gaussiano e unsharp.

Quando aplicada um filtro Gaussiano, obtemos imagens mais suavizadas, com pior detalhe nos contornos.

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5.3

Segmentao

Para a deteco de contornos podemos aplicar a funo edge. Esta funo procura transies de intensidade rpidas. Utilizando o seguinte cdigo:i=imread('brain.tif'); I=rgb2gray(i); subplot(3,1,1);imshow(I);title('Original Image'); H = edge(I,'sobel'); subplot(3,1,2);imshow(H);title('Sobel'); H = edge(I,'Canny'); subplot(3,1,3);imshow(H);title('Canny');

foi possvel obter os seguintes resultados:

Figura 16 Aplicao da funo edge.

Utilizando a funo fspecial tambm possvel aplicar um filtro de Sobel. Neste caso a deteco de contornos melhor que aquela obtida pela funo edges. Utilizando o cdigoi=imread('2.tif'); H=fspecial('sobel'); K=imfilter(i,H); imshow(K); title('Sobel');

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obtemos:

Figura 17 Aplicao do filtro sobel pela funo fspecial.

Com a aplicao de filtros como o sobel e canny possvel obter informao estrutural neste tipo de imagem, til numa futura parametrizao da imagem.

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6. ConclusesO processamento de imagem digital constitui um importante desenvolvimento na rea da visualizao de imagens permitindo melhorar a sua interpretao e realar aspectos distintos conforme os fins a que se destinam. O MATLAB uma importante ferramenta para efectuar o processamento da imagem digital e grandemente utilizada em investigao, medicina, etc. pelo que se torna um ptimo objecto de estudo e por essa razo o escolhido para efectuar este trabalho. Como introduo dissertao do mestrado em Engenharia Biomdica, este trabalho permitiu explorar diferentes ferramentas do programa MATLAB e aplic-las ao conceito de imagem mdica metablica e funcional uma rea a que sou particularmente sensvel e que me suscita um verdadeiro interesse. A aplicao das diferentes ferramentas do programa MATLAB s imagens cerebrais permitiu observar que o correcto processamento da imagem pode fazer toda a diferena no que diz respeito a diagnstico e avaliao de doenas e na tomada de decises teraputicas. A anlise de imagem em ambiente hospitalar uma rea vastamente explorada mas que tem, ainda, muito para descobrir.

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7. Bibliografia

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