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Matrizes e Gráficos Trajectória de Projéctil

Pedro BarahonaDI/FCT/UNL

Introdução aos Computadores e à Programação2º Semestre 2008/2009

13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 2

Gráficos e Matrizes

• Em muitas situações, a informação de saída é mais útil se for apresentada através

de gráficos (ou outra forma de apresentação audio-visual).

• O Octave tem uma capacidade (limitada) de apresentação de gráficos,

implementada através de uma estrutura de dados básica: a matriz.

• Esta funcionalidade será apresentada para obtenção do gráfico da trajectória de um

projéctil, estudada anteriormente, e correspondente à função

02

220 )(cos2

)tan()( yxav

gaxyxf

v0

(0,0)x

y

y0

a

f(a)

dmax

hmax


Matrizes

• Uma matriz (“array”) é uma estrutura de dados que agrega um conjunto de valores

do mesmo tipo, na forma de uma “tabela” multidimensional.

• No Octave, as matrizes têm apenas 1 dimensão (vaectores) ou duas dimensões.

Noutras linguagens os arrays podem ter mais de 2 dimensões.

• Por exemplo, podemos representar no vector V os primeiros 5 números inteiros,

num vector U os primeiros 4 números primos, e na matriz M a tabela da

multiplicação dos primeiros números naturais.

• Nas tabelas os dados estãi dispostos em linhas e colunas. O vector V tem 1 linha e 5

colunas, o vector U tem 4 linhas e 1 coluna, e a matriz M 3 linhas e 4 colunas.

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

Vector V

Matriz M

Vector

U

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12

1 2

2 3

3 5

4 7


Inicialização de Matrizes

• A forma mais simples de inicializar uma matriz (pequena) é indicar explicitamente os

seus valores, numa operação de atribuição.

• Em Octave, todas as variáveis são matrizes, mesmo os valores simples, internamente

guardados como matrizes de uma linha e uma coluna.

• Na atribuição directa, as dimensões da matriz são indicadas implicitamente. Os

sucessivos valores são colocados entre parênteses rectos, separados por espaços ou

vírgulas dentro de uma linha, sendo as linhas separadas por ponto e vírgula).

• Exemplos: V = [1, 4 9, 16 25] ; U = [ 2; 3; 5; 7]

M = [1 2 3 4 ; 2, 4, 6, 8 ; 3 6 9 12]

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

Vector V

Matriz M

Vector

U

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12

1 2

2 3

3 5

4 7



• Quando as matrizes são “maiores” elas podem ser inicializadas a “0” ou a “1s”por

instruções predefinidas zeros e ones, indicando-se explicitamente as dimensões

das matrizes.

• Exemplos: V1 = ones(1,5) ; U1 = zeros(4,1)

M1 = ones(3,4)

• Estes valores podem depois ser modificados. Para aceder a elementos da matriz

deve indicar-se o identificador da matriz, seguido, entre parênteses curvos da

“região” (range) da matriz que se pretende aceder.

Nota: Em Octave, o primeiro elemento da linha ou coluna tem sempre o índice 1.

Vector V1

Matriz M1

Vector

U1

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

3 1 1 1 1

1 0

2 0

3 0

4 0

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1



• Para identificar elementos individuais, a região da matriz é indicada pelo número de

linha e coluna, podendo-se omitir as colunas e linhas em vectores linha e coluna,

respectivamente.

• Exemplos: V(3) = 9 ; U(4) = 7 ; M(2,3) = 6

• Para modificação de todos os valores são habitualmente utilizados ciclos, como os

indicados para o vector V (em pseudo-código e em sintaxe Octave)

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

Vector V

Matriz M

Vector

U

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12

1 2

2 3

3 5

4 7

i = 1;while i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1;endwhile

i = 1;enquanto i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1fimenquanto


Ciclos Para

• Sendo conhecido o número de iterações de um ciclo, este ciclo pode ser

especificado através de uma instrução de repetição para (for).

• Assim os ciclos abaixo, escritos em pseudo-código, são equivalentes

• Em Octave o ciclo é especificado pela instrução for. Os limites inicial e final são

especificados como um range, com a sintaxe do Octave.

i = 1;enquanto i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1fimenquanto

para i de 1 a 5 V(i) = i^2;fimpara

i = 1;while i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1endwhile

for i = 1:5 V(i) = i^2;fimpara


Ranges

• Para além dos valores inicial e final, um range pode ainda ter opcionalmente um

passo (distância entre valores consecutivos), com a sintaxe ilustrada em baixo.

Nota 1: O passo é opcional, e por omissão vale 1. Assim, 1:5 é equivalente a 1:1:5.

X = zeros(1,7)para i de 1 a 5 (passo 2) V1(i) = i^2;fimpara

X = zeros(6,1)for i = 1:3:6 X(i) = i^2;fimpara

1 2 3 4 5 6 7

1 0 9 0 25 0 49

1 1

2 0

3 0

4 16

5 0

6 0


Ciclos Encadeados

• Em geral, é necessário utilizar tantos ciclos quanto as dimensões da matriz.

• Para aceder a todos os elementos de uma matriz (bidimensional), os ciclos terão de

ser encadeados, podendo.se fazer o “varrimento” por linhas ou colunas.

Varrimento por linhasi é linha e j é a coluna

M = zeros(3,4)for i = 1:3 for j = 1:4 M(i,j) = i*j; endforendfor

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12

Varrimento por linhasj é linha e i é a coluna

M = zeros(3,4)for j = 1:4 for i = 1:3 M(i,j) = i*j; endforendfor

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12


Gráficos e Vectores

• Em Octave a forma mais simples de desenhar o gráfico de uma função f(x) é utilizar

o comando pre-definido

plot(X,F)

– em que X é um vector que as abcissas consideradas;

– e F é o vector com as ordenadas dos pontos correspondentes.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

X

F

i 1 2 3 4 5 6

X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

F 0.00 0.00 0.01 0.03 0.06 0.13

i 7 8 9 10 11

X 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

F 0.22 0.34 0.51 0.73 1.00


Gráficos e Vectores

• Normalmente, para se obter um gráfico de uma função, basta determinar o valor da

função em n pontos, sendo o n dependente do contexto.

• Por exemplo, se pretendermos o gráfico da função f, calculado em n pontos, no

intervalo de [a .. b] podemos usar a função grafico abaixo

em que f é uma função definida

noutro ficheiro, por exemplo

function y = grafico_f(a,b,n) dx = (b-a)/(n-1); % distância-x entre pontos X(1) = a; % especificação da 1ª abcissa(x) Y(1) = f(X(1)); % cálculo da 1ª ordenada (y) for i = 2:n % cálculo dos outros pontos X(i) = X(i-1) + dx; % i-ésima abcissa Y(i) = f(X(i)); % i-ésima ordenada endfor plot(X,Y); % desenha o gráfico de fendfunction;

function y = f(x) y = sqrt(x) * sin(3*x);endfunction;


Gráficos de Várias Funções• O Octave permite o desenho simultâneo de várias funções, com o mesmo comando

plot(X,M), mas em que o 2º argumento é uma matriz com o mesmo número de

colunas do vector X, e com tantas linhas quantas as funções a mostrar.

• Por exemplo, o gráfico das funções f e g entre os pontos a e b, desenhado com n

pontos, pode ser obtido com a função grafico_fg, semelhante à anterior.

function y = grafico_fg(a,b,n) dx = (b-a)/(n-1); X(1) = a; M(1,1) = f(X(1)); % cálculo da 1ª ordenada f(x) M(2,1) = g(X(1)); % cálculo da 1ª ordenada g(x) for i = 2:n % cálculo dos outros pontos X(i) = X(i-1) + dx; % i-ésima abcissa M(1,i) = f(X(i)); % i-ésima ordenada f(x) M(2,i) = g(X(i)); % i-ésima ordenada g(x) endfor plot(X,M); % desenha o gráfico de f e gendfunction;

function y = g(x) y = sqrt(x) * sin(3*x) + 1;endfunction;

Por exemplo, a função g pode

ser definida no ficheiro g.m como


Passagem de Funções como Parâmetros

• Nas versões anteriores da função gráfico, não se pode passar como parâmetro a

função a desenhar.

• Em linguagens de alto nível, é geralmente possível fazê-lo, passando as funções por

referência.

• Em Octave, onde não há passagem por referência, pode utilizar-se um “truque”,

passando-se o nome da função como argumento e utilizando-se a função pré-

definida feval, que recebe como 1º argumento o nome da função e nos seguintes

parâmetros os parâmetros da função.

• Uma vez definida a função grafico (no diapositivo seguinte), são “equivalentes” as

chamadas

grafico_f(x,a,b) e grafico(‘f’,x,a,b)

bem como as chamadas

grafico_g(x,a,b) e grafico(‘g’,x,a,b)


Passagem de Funções como Parâmetros

• A função feval, recebe como 1º argumento o nome da função e nos seguintes

parâmetros os parâmetros da função.

• Assim, saõ equivalente as chamadas

f(x) e feval(‘f’,x)

• Utilizada na especificação da função grafico, indicada abaixo

function y = grafico(func,a,b,n) dx = (b-a)/(n-1); % distância-x entre pontos X(1) = a; % especificação da 1ª abcissa(x) Y(1) = feval(func,X(1)); % cálculo da 1ª ordenada (y) Z(1) = 0; for i = 2:n % cálculo dos outros pontos X(i) = X(i-1) + dx; % i-ésima abcissa Y(i) = feval(func,X(i)); % i-ésima ordenada Z(i) = 0; endfor plot(X,[Z;Y]); % desenha o gráfico de fendfunction;


Aproximações de Funções

• A possibilidade de mostrar várias funções num gráfico, permite visualizar a

aproximação de funções calculadas através de séries.

• Consideremos por exemplo a função ex, obtida através da série

expo(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!+

• Como já foi visto, a função ex pode ser aproximada pela função = expo(x,n) que

considera os primeiros n termos da série. Essa função pode ser definida como

•

• Há agora que adaptá-la, para mostrar o gráfico da convergência

function z = expo(x,n)

y = 1;

for i = 1:n

y = y + x^i/fact(i);

endfor

z = y;

endfunction



function z = expo(x,n)

y = 1; for i = 1:n

y = y + x^i/fact(i); endfor z = y;

endfunction

function z = expo(x,n,p) P(1) = 1; Y(1) = 1; for i = 1:n P(i+1) = P(i)+1; Y(i+1) = Y(i) + x^i/fact(i); endfor z = Y(n+1); if p plot(P,Y) endifendfunction

• Para esse efeito, é necessário

– Guardar os sucessivos valores de y no vector Y;

– Guardar os sucessivos valores das iterações no vector P (opcional);

– Condicionar o desenho do gráfico ao parâmetro p de entrada.



• Outro exemplo de função obtida por iterações sucessivas é a raiz quadrada, que

vamos aproximar por valores sucessivos do vector R.

1. A raiz do número x, raiz(x) está entre 1 e x. Assim uma primeira aproximação, é

obtida pela média de 1 e x, isto é R(1) = (1+x)/2.

2. Suponhamos que a é um valor aproximado de raiz(x) obtido na iteração i-1, isto

é, R(i-1) = a. Então obtem-se outra aproximação de raiz(x), fazendo b = x/a.

3. Notar que se a > raiz(x) então b < raiz(x) (e vice-versa).

4. Assim, o valor médio c = (a+b)/2 é uma melhor aproximação de raiz(x) do que a

ou b, e podemos usá-lo como a aproximação na iteração seguinte, R(i) = c.

• Isto obtem-se com o seguinte ciclo:

for i = 2:n a = R(i-1); b = x / a; c = a+b)/2; R(i) = c; endfor



• Outro exemplo de função obtida por iterações sucessivas é a raiz quadrada, que

vamos aproximar por valores sucessivos do vector R.

1. A raiz do número x, raiz(x) está entre 1 e x. Assim uma primeira aproximação, é

obtida pela média de 1 e x, isto é R(1) = (1+x)/2.

2. Suponhamos que a é um valor aproximado de raiz(x) obtido na iteração i-1, isto

é, R(i-1) = a. Então obtem-se outra aproximação de raiz(x), fazendo b = x/a.

3. Notar que se a > raiz(x) então b < raiz(x) (e vice-versa).

4. Assim, o valor médio (a+b)/2 é uma melhor aproximação de raiz(x) do que a ou

b, e podemos usá-lo como a aproximação na iteração seguinte, R(i) = (a+b)/2 .

• Isto obtem-se com o seguinte ciclo:

for i = 2:n a = R(i-1); b = x / a; R(i) = (a+b)/2; endfor



• Eis a função r2(x,k), definida em Octave para determinar a raiz quadrada de x, em k

iterações, mostrando graficamente as várias iterações.

function y = r2(x,k); R(1) = (1+x)/2; % valor inicial for i = 2:k a = R(i-1); % valor da iteração anterior b = x/a; % aproximação para o outro lado R(i) = (a+b)/2; % nova e melhor aproximação endfor y = R(k); plot(R);endfunction

• Notar que a função plot tem um só argumento, pelo que a ordenada toma valores

inteiros (1, 2, 3, ...).



• A função pode generalizar-se para raiz(n,x,k), definida em Octave para determinar a

raiz de ordem n de x, em k iterações, mostrando graficamente as várias iterações.

function y = raiz(n,x,k); R(1) = (1+x)/n; % valor inicial for i = 2:k a = R(i-1); % valor da iteração anterior b = x/a^(n-1); % aproximação para o outro lado R(i) = (a+b)/2; % nova e melhor aproximação endfor y = R(k); plot(R);endfunction

• Notar que a função raiz é a raiz quadrada para n=2.


Zero de Funções por Bipartição

• Uma forma mais eficiente de determinar o zero de uma função consiste em localiizar

o zero num intervalo inicial, e sistematicamente partir o intervalo ao meio,

aproveitando o sub-intervalo que contem o zero.

• Para esse efeito iremos considerar os seguintes vectores, cujos valores se vão

actualizando ao longo das várias iterações

L – O limite inferior do intervalo que contem o zero (na iteração i)

U – O limite superior do intervalo que contem o zero (na iteração i)

• O desenho dos limites inferior e superior permite visualizar a largura do intervalo que

contem a solução, isto é, o erro máximo com que o zero da função é calculado.

• Em cada iteração deverá proceder-se do seguinte modo:

1. Partir o intervalo ao meio, determinando o seu ponto médio;

2. Verificar se se aproveita a metade inferior ou superior do intervalo anterior; e

3. Parar a bipartição quando o comprimento do intervalo for inferior a um erro

(dado pelo utilizador).


Zero de Funções por Bipartição

Geração dos vários intervalos:

1. Se o valor da função no ponto médio tem o mesmo sinal do valor no limite inferior do

intervalo, aproveita-se o sub-intervalo superior, (altera-se o limite inferior).

2. Caso contrário, aproveita-se o sub-intervalo superior, alterando-se o limite inferior.

Denotando por L(i-1) e U(i-1) os limites inferior e superior, respectivamente do intervalo

que contem a solução na iteração “anterior”, os limites da iteração corrente (i) podem

ser calculados da seguinte forma

m = (U(i-1)+L(i-1))/2; % ponto médio do intervalo anterior fm = feval(f,m); % valor da função nesse ponto, e ... f1 = feval(f,L(i-1)); % ... e no limite inferior f2 = feval(f,U(i-1)); % ... e no limite inferior if fm * f1 > 0 L(i) = m; U(i) = U(i-1); % muda o limite inferior else U(i) = m; L(i) = L(i-1); % muda o limite superior endif


Zero de Funções por Bipartição• Eis o programa completo, com a inicialização, o teste de terminação e o desenho do

gráfico dos limites do intervalo que contem o zero (Nota: a instrução plot, utiliza para

abcissas o vector [1,2...,i], que em Octave se pode definir pelo range [1:i] )

function y = zero_bip(f,a,b,erro); i = 1; L(1) = a; U(1) = b; % 1ª iteração (inicial) do i = i + 1; % i-ésima iteração m = (L(i-1) + U(i-1))/2; f1 = feval(f,L(i-1)); f2 = feval(f,U(i-1)); fm = feval(f,m); if fm * f1 > 0 L(i) = m; U(i) = U(i-1); else U(i) = m; L(i) = L(i-1); endif until (U(i) - L(i)) < erro % testa incerteza y = (L(i) + U(i))/2 % retorna melhor aproximação plot([1:i],[L;U]);endfunction

matrizes e gráficos trajectória de projéctil pedro barahona di/fct/unl introdução aos...

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