matrizes definição

Matrizes Definição

Mat Fis Qui

João 7,0 5,0 6,0

Maria 9,0 4,0 5,0

Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e colunas

549

657A

Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas

Matrizes Classificação

Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas

0214

04

12

Matrizes Notação

Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A

Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal secundária.

Matrizes Igualdade de Duas Matrizes

Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:

A = B <=> aij=bij

Matrizes Tipos de Matrizes

Matriz Transposta

Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A serão as colunas de At e vice-versa

201

435A

24

03

15tA

Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At .

Matrizes Tipos de Matrizes

Matriz Nula

Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.

000

0000

Matrizes Operações com Matrizes

Adição

Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij

Exemplo:

212

1113

231

061

423

152BABA


Subtração

Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij - bij

Exemplo:

51

24

32

10

52

23

41

32

51

BABA


Multiplicação

Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por

Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj

Observações:

1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p,


Multiplicação

Exemplo:

Dadas as matrizes

2422

13

1412

4.51.42.53.4

4.01.12.03.1

4.31.22.33.2

.

42

13

54

01

32

BAC

BeA

Matrizes Lei de formação de uma matriz

Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:

jisejib

jisejia

ij

ij

3

2

927

651

32.32.2212.3

31.321.31.21

232221

131211

A

aaa

aaaA

Matrizes Exercício Resolvido

04.21. Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:

85

56tXX

Solução:

85

56

2

2

85

56

dcb

cba

db

ca

dc

batemosdoSubstituín

db

caXe

dc

baXdeChamaremos t

Matrizes Exercício Resolvido

04.21. Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:

85

56tXX

Solução:

2a = 6 a=3

2d = 8 d=4

b + c = 5

Lembrando a análise combinatória

O O O O O O +

6!1!5

!61,56 p

Matrizes Produto de Matrizes

Matriz Identidade

Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.

010

010

001

10

01

3

2

I

I Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja:

A.I=I.A=A

Matrizes Operações com matrizes

Produto de número por uma Matriz

Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.

1590

12363

530

412

A

A

Exemplo

Matrizes Observações

O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.

Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2

Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2

matrizes definição

Documents