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Universidade Federal Rural de PernambucoDepartamento de Matemática

Disciplina: Cálculo M IProfa Yane Lísley

Material de Apoio

Roteiro para Esboçar uma Curva1

A lista a seguir pretende servir como um guia para esboçar uma curva à mão. Nem todos os itens

são relevantes para cada função. (Por exemplo, uma curva pode não ter uma assíntotas ou possuir

simetria.) No entanto, o roteiro fornece todas as informações necessárias para fazer um esboço que

mostre os aspectos mais importantes da função.

A. Domínio - É frequentemente útil começar determinando o domínio D de f, isto é, o conjunto

dos valores de x para os quais f(x) está de�nida.

B. Intersecções com os Eixos - A intersecção com o eixo y é f(0). Para encontrarmos as

intersecções com o eixo x, fazemos y = 0 e isolamos x. (Você pode omitir esse passo se a

equação for difícil de resolver.)

C. Simetria

(i) Se f(−x) = f(x) para todo x ∈ D, isto é, a equação da curva não muda se x for substituído

por −x, então f é uma função par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y. Isso signi�ca

que nosso trabalho �ca cortado pela metade. Se soubermos como é a curva para x ≥ 0,

então precisaremos somente re�etir em torno do eixo y para obter a curva completa.

Alguns exemplos são: y = x2, y = x4, y = |x| e cosx.

(ii) Se f(−x) = −f(x) para todo x ∈ D, então f é uma função ímpar e a curva é simétrica

em relação à origem. Novamente, podemos obter a curva completa se soubermos como

ela é para x ≥ 0 . [Gire 180◦ em torno da origem]. Alguns exemplos simples de funções

ímpares são y = x, y = x3, y = x5 e y = senx.

(iii) Se f(x+ p) = f(x) para todo x ∈ D, onde p é uma constante positiva, então f é chamada

função periódica, e o menor desses números p é chamado período. Por exemplo, y = senx

tem o período 2p e y = tg x tem período p. Se soubermos como é o grá�co em um intervalo

de comprimento p, então poderemos usar a translação para esboçar o grá�co inteiro.1Retirado do livro Cálculo (vol.1), James Stewart.

D. Assíntotas

(i) Assíntotas horizontais. Lembre-se de que se limx→±∞ f(x) = L, então a reta y = L é

uma assíntota horizontal da curva y = f(x). Se resultar que limx→+∞ f(x) = +∞(ou

−∞), então não temos uma assíntota à direita, o que também é uma informação,

proveitosa no esboço da curva.

(ii) Assíntotas verticais. Lembre-se de que a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo

menos uma das seguintes a�rmativas for verdadeira:

limx→a+ f(x) = +∞ limx→a+ f(x) = −∞

limx→a− f(x) = +∞ limx→a− f(x) = −∞

(Para as funções racionais, você pode localizar as assíntotas verticais igualando a zero o

denominador, após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para outras funções esse

método não se aplica.) Além disso, ao esboçar a curva é muito útil saber exatamente

qual das a�rmativas acima é verdadeira. Se f(a) não estiver de�nida, mas a for uma

extremidade do domínio de f , então você deve calcular limx→a+ f(x) ou limx→a− f(x),

seja esse limite in�nito ou não.

(iii) Assíntotas oblíquas. Conforme discutido em sala e explicado mais adiante no exemplo

6.

E. Intervalos de Crescimento ou Decrescimento - Use o Teste C/D. Calcule f ′(x) e encontre

os intervalos nos quais f ′(x) é positiva (f é crescente) e os intervalos nos quais f ′(x) é negativa

(f é decrescente).

F. Valores Máximos e Mínimos Locais - Encontre os números críticos de f [os números c nos

quaisf ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe]. Use então o Teste da Primeira Derivada. Se f ′ muda de

positiva para negativa em um número crítico c, então f(c) é um máximo local. Se f ′ muda de

negativa para positiva em c, então f(c) é um mínimo local. Apesar de ser usualmente preferível

usar o Teste da Primeira Derivada, você pode usar o Teste da Segunda Derivada se f ′(c) = 0 e

f ′′(c) 6= 0 . Então f ′′(c) > 0 implica que f(c) é um local mínimo, enquanto f ′′(c) < 0 implica

que f(c) é um máximo local.

G. Concavidade e Pontos de In�exão - Calcule f ′′(x) e use o Teste da Concavidade. A curva

é côncava para cima se f ′′(x) > 0, e côncava para baixo se f ′′(x) < 0. Os pontos de in�exão

ocorrem quando muda a direção da concavidade.

H. Esboço da Curva Usando as informações nos itens A-G, faça o grá�co. Coloque as assíntotas

como linhas tracejadas. Marque as intersecções com os eixos, os pontos de máximo e de mínimo

e os pontos de in�exão. Então, faça a curva passar por esses pontos, subindo ou descendo de

acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo às assíntotas. Se precisão

adicional for desejada próximo de algum ponto, você poderá calcular o valor da derivada aí. A

tangente indica a direção na qual a curva segue.

Exemplos

(Para as funções racionais, você pode localizar as assíntotas verticais igualando a zero odenominador, após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para outras funções esse mé-todo não se aplica.) Além disso, ao esboçar a curva é muito útil saber exatamente qual dasafirmativas em é verdadeira. Se f (a) não estiver definida, mas a for uma extremidadedo domínio de f, então você deve calcular ou , seja esse limiteinfinito ou não.

(iii) Assíntotas oblíquas. Elas serão discutidas no fim desta seção.

E. Intervalos de Crescimento ou Decrescimento Use o Teste C/D. Calcule f �(x) e encon-tre os intervalos nos quais f �(x) é positiva (f é crescente) e os intervalos nos quais f �(x) énegativa (f é decrescente).

F. Valores Máximos e Mínimos Locais Encontre os números críticos de f [os números c nosquais f �(c) � 0 ou f �(c) não existe]. Use então o Teste da Primeira Derivada. Se f � mudade positiva para negativa em um número crítico c, então f (c) é um máximo local. Se f � mudade negativa para positiva em c, então f (c) é um mínimo local. Apesar de ser usualmentepreferível usar o Teste da Primeira Derivada, você pode usar o Teste da Segunda Derivadase f �(c) � 0 e . Então f �(c) � 0 implica que f (c) é um local mínimo, enquantof �(c) � 0 implica que f (c) é um máximo local.

G. Concavidade e Pontos de Inflexão Calcule f �(x) e use o Teste da Concavidade. A curvaé côncava para cima se f �(x) � 0, e côncava para baixo se f �(x) � 0. Os pontos de infle-xão ocorrem quando muda a direção da concavidade.

H. Esboço da Curva Usando as informações nos itens A–G, faça o gráfico. Coloque as as-síntotas como linhas tracejadas. Marque as intersecções com os eixos, os pontos de má-ximo e de mínimo e os pontos de inflexão. Então, faça a curva passar por esses pontos, su-bindo ou descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo àsassíntotas. Se precisão adicional for desejada próximo de algum ponto, você poderá cal-cular o valor da derivada aí. A tangente indica a direção na qual a curva segue.

Use o roteiro para esboçar a curva .A. O domínio é

B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Uma vez que f (�x) � f (x), a função f é par. A curva é simétrica em relação ao eixo y.

D.

Portanto, a reta y � 2 é uma assíntota horizontal.Uma vez que o denominador é zero quando , calculamos os seguintes limites:

Consequentemente, as retas x � 1 e x � �1 são assíntotas verticais. Essa informação so-bre os limites e as assíntotas permite-nos traçar um esboço preliminar na Figura 5 mostrandoas partes da curva próximas das assíntotas.

E.

Como quando e quando , f é crescenteem e e decrescente em e .

F. O único número crítico é x � 0. Uma vez que f � muda de positiva para negativa em 0,f (0) � 0 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.

�1, ��0, 1��1, 0��, �1��x � 1�x � 0f ��x� � 0�x � �1�x � 0f ��x� � 0

f ��x� ��x 2 � 1��4x� � 2x 2 � 2x

�x 2 � 1�2 ��4x

�x 2 � 1�2

limx l�1

2x 2

x 2 � 1� �� lim

x l�1�

2x 2

x 2 � 1� �

limx l1

2x 2

x 2 � 1� � lim

x l1�

2x 2

x 2 � 1� ��

x � 1

limx l�

2x 2

x 2 � 1� lim

x l�

2

1 � 1�x 2 � 2

�x � x 2 � 1 � 0� � �x � x � 1� � ��, �1� � ��1, 1� � �1, ��

y �2x 2

x 2 � 1EXEMPLO 1

f ��c� � 0

lim x l a f �x�lim x l a� f �x�1

282 CÁLCULO

Calculo04:calculo7 6/10/13 6:28 AM Page 282

G.

Uma vez que 12x2 4 � 0 para todo x, temos

e . Assim, a curva é côncava para cima nos intervalose e côncava para baixo em (�1, 1). Não há ponto de inflexão, já que 1 e �1 não es-tão no domínio de f.

H. Usando a informação em E–G, finalizamos o esboço da Figura 6.

Esboce o gráfico de .

A. DomínioB. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Uma vez que

não há assíntota horizontal. Como quando e f (x) é sempre posi-tiva, temos

então a reta x � �1 é uma assíntota vertical.

E.

Vemos que quando x � 0 (note que não está no domínio de f), então o úniconúmero crítico é 0. Como quando e quando , f édecrescente em (�1, 0) e crescente em .

F. Uma vez que e muda de negativa para positiva em 0, f (0) � 0 é um mínimolocal (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada.

G.

Observe que o denominador é sempre positivo. O numerador é o polinômio quadrático 3x2 8x 8, que é sempre positivo, pois seu discriminante é b2 � 4ac � �32, que é ne-gativo, e o coeficiente de x2 é positivo. Assim, para todo x no domínio de f, oque significa que f é côncava para cima em e não há ponto de inflexão.

H. A curva está esboçada na Figura 7.

Esboce o gráfico de f (x) � xex.A. O domínio é .B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Como ambos x e ex tornam-se grandes quando , temos que . Quando

, contudo, e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regrade l’Hôspital:

Assim, o eixo x é uma assíntota horizontal.

E.

Uma vez que ex é sempre positiva, vemos que quando e quando x 1 � 0. Logo, f é crescente em e decrescente em .��, �1��1, ��

f ��x� � 0x 1 � 0f ��x� � 0

f ��x� � xex ex � �x 1�ex

limx l��

xex � limx l��

xe�x � lim

x l��

1

�e�x � limx l��

��ex� � 0

ex l 0x l ��lim x l � xex � �x l �

�

EXEMPLO 3

��1, ��f ��x� � 0

f ��x� �2�x 1�3�2�6x 4� � �3x 2 4x�3�x 1�1�2

4�x 1�3 �3x 2 8x 8

4�x 1�5�2

f �f ��0� � 0�0, ��

x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0�

43f ��x� � 0

f ��x� �2xsx 1 � x 2 � 1�(2sx 1)

x 1�

x �3x 4�2�x 1�3�2

limx l�1

x 2

sx 1� �

x l �1sx 1 l 0

limx l �

x 2

sx 1� �

� �x � x 1 � 0� � �x � x � �1� � ��1, ��

f �x� �x 2

sx 1EXEMPLO 2

�1, ��, �1�f ��x� � 0 &? � x � � 1

� x � � 1&?x 2 � 1 � 0&?f ��x� � 0

f ��x� ��x 2 � 1�2��4� 4x � 2�x 2 � 1�2x

�x 2 � 1�4 �12x 2 4

�x 2 � 1�3

FIGURA 6 Esboço final de y=

x=1x=_1

y=2

2x2

x2-1

x

y

0

FIGURA 7

x=_1x

y

0

œ„„„„y=

x2

x+1


G.








E.



G.






E.


f ��x� � 0x 1 � 0f ��x� � 0


limx l��


xe�x � lim

x l��

1


��ex� � 0


�

EXEMPLO 3

��1, ��f ��x� � 0

f ��x� �2�x 1�3�2�6x 4� � �3x 2 4x�3�x 1�1�2

4�x 1�3 �3x 2 8x 8

4�x 1�5�2

f �f ��0� � 0�0, ��

x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0�

43f ��x� � 0

f ��x� �2xsx 1 � x 2 � 1�(2sx 1)

x 1�

x �3x 4�2�x 1�3�2

limx l�1

x 2

sx 1� �

x l �1sx 1 l 0

limx l �

x 2

sx 1� �

� �x � x 1 � 0� � �x � x � �1� � ��1, ��

f �x� �x 2

sx 1EXEMPLO 2

�1, ��, �1�f ��x� � 0 &? � x � � 1

� x � � 1&?x 2 � 1 � 0&?f ��x� � 0

f ��x� ��x 2 � 1�2��4� 4x � 2�x 2 � 1�2x

�x 2 � 1�4 �12x 2 4

�x 2 � 1�3


x=1x=_1

y=2

2x2

x2-1

x

y

0

FIGURA 7

x=_1x

y

0

œ„„„„y=

x2

x+1


G.








E.



G.






E.


f ��x� � 0x 1 � 0f ��x� � 0


limx l��


xe�x � lim

x l��

1


��ex� � 0


�

EXEMPLO 3

��1, ��f ��x� � 0

f ��x� �2�x 1�3�2�6x 4� � �3x 2 4x�3�x 1�1�2

4�x 1�3 �3x 2 8x 8

4�x 1�5�2

f �f ��0� � 0�0, ��

x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0�

43f ��x� � 0

f ��x� �2xsx 1 � x 2 � 1�(2sx 1)

x 1�

x �3x 4�2�x 1�3�2

limx l�1

x 2

sx 1� �

x l �1sx 1 l 0

limx l �

x 2

sx 1� �

� �x � x 1 � 0� � �x � x � �1� � ��1, ��

f �x� �x 2

sx 1EXEMPLO 2

�1, ��, �1�f ��x� � 0 &? � x � � 1

� x � � 1&?x 2 � 1 � 0&?f ��x� � 0

f ��x� ��x 2 � 1�2��4� 4x � 2�x 2 � 1�2x

�x 2 � 1�4 �12x 2 4

�x 2 � 1�3


x=1x=_1

y=2

2x2

x2-1

x

y

0

FIGURA 7

x=_1x

y

0

œ„„„„y=

x2

x+1


F. Como e muda de negativa para positiva em , é ummínimo local (e absoluto).

G.

Visto que se e se , f é côncava para cima eme côncava para baixo em . O ponto de inflexão é .

H. Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8.


A. O domínio é .B. A intersecção com o eixo y é . As intersecções com o eixo x ocorrem quando cos

x � 0, ou seja, x � (2n 1) p/2, em que n é um número inteiro.

C. f não é nem par nem ímpar, mas f (x 2p) � f (x) para todo x; logo, f é periódica e temum período 2p. Dessa forma, precisamos considerar somente e então esten-der a curva por translação na parte H.

D. Assíntotas: nenhuma.

E.

Logo, quando . Assim, f é crescente em (7p/6, 11p/6) e decrescente em (0, 7p/6) e

(11p/6, 2p).F. A partir da parte E e do Teste da Primeira Derivada, vemos que o valor mínimo local é

e o valor máximo local é .G. Se usarmos a regra do quociente novamente, obtemos

Como e para todo x, sabemos que quandocos x � 0, ou seja, . Assim, f é côncava para cima em e côn-cava para baixo em e . Os pontos de inflexão são (p/2, 0) e (3p/2, 0).

H. O gráfico da função restrita a é mostrado na Figura 9. Então, nós o estende-mos, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura 10.

0 � x � 2 �3 �2, 2 ��0, �2�

�p�2, 3p�2� �2 � x � 3 �2f ��x� � 01 � sen x � 0�2 sen x�3 � 0

f ��x� � �2 cos x �1 � sen x�

�2 sen x�3

f �11 �6� � 1�s3f �7 �6� � �1�s3

7 �6 � x � 11 �62 sen x 1 � 0 &? sen x � �

12 &?f ��x� � 0

f ��x� ��2 sen x��sen x� � cos x �cos x�

�2 sen x�2 � �2 sen x 1

�2 sen x�2

0 � x � 2

f �0� � 12

�

f �x� �cos x

2 sen xEXEMPLO 4

��2, �2e�2��, �2��2, ��x � �2f ��x� � 0x � �2f ��x� � 0

f ��x� � �x 1�ex ex � �x 2�ex

x � �1 f ��1� � �e�1f �f ��1� � 0FIGURA 8

x

y

1

_1_2

y=xex

(_1, _1/e)

FIGURA 9

y

xππ

2

1

2

2π3π

2

” , ’11π

6

1

œ„3

-”7π

6

1

œ„3, ’

FIGURA 10

y

xπ_π

1

2

2π 3π

Esboce o gráfico de y � ln(4 � x2).A. O domínio é

B. A intersecção com o eixo y é f (0) � ln 4. Para encontrarmos a intersecção com o eixo x,fazemos

Sabemos que , de modo que temos e, portanto, as inter-secções com o eixo x é .s3

4 � x 2 � 1 ? x 2 � 3ln 1 � 0

y � ln�4 � x 2 � � 0

�x � 4 � x 2 � 0� � �x � x 2 � 4� � �x � � x � � 2� � ��2, 2�

EXEMPLO 5


F. Como e muda de negativa para positiva em , é ummínimo local (e absoluto).

G.

Visto que se e se , f é côncava para cima eme côncava para baixo em . O ponto de inflexão é .

H. Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8.


A. O domínio é .B. A intersecção com o eixo y é . As intersecções com o eixo x ocorrem quando cos

x � 0, ou seja, x � (2n 1) p/2, em que n é um número inteiro.

C. f não é nem par nem ímpar, mas f (x 2p) � f (x) para todo x; logo, f é periódica e temum período 2p. Dessa forma, precisamos considerar somente e então esten-der a curva por translação na parte H.

D. Assíntotas: nenhuma.

E.

Logo, quando . Assim, f é crescente em (7p/6, 11p/6) e decrescente em (0, 7p/6) e

(11p/6, 2p).F. A partir da parte E e do Teste da Primeira Derivada, vemos que o valor mínimo local é

e o valor máximo local é .G. Se usarmos a regra do quociente novamente, obtemos

Como e para todo x, sabemos que quandocos x � 0, ou seja, . Assim, f é côncava para cima em e côn-cava para baixo em e . Os pontos de inflexão são (p/2, 0) e (3p/2, 0).

H. O gráfico da função restrita a é mostrado na Figura 9. Então, nós o estende-mos, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura 10.

0 � x � 2 �3 �2, 2 ��0, �2�

�p�2, 3p�2� �2 � x � 3 �2f ��x� � 01 � sen x � 0�2 sen x�3 � 0

f ��x� � �2 cos x �1 � sen x�

�2 sen x�3

f �11 �6� � 1�s3f �7 �6� � �1�s3

7 �6 � x � 11 �62 sen x 1 � 0 &? sen x � �

12 &?f ��x� � 0

f ��x� ��2 sen x��sen x� � cos x �cos x�

�2 sen x�2 � �2 sen x 1

�2 sen x�2

0 � x � 2

f �0� � 12

�

f �x� �cos x

2 sen xEXEMPLO 4

��2, �2e�2��, �2��2, �x � �2f ��x� � 0x � �2f ��x� � 0

f ��x� � �x 1�ex ex � �x 2�ex

x � �1 f ��1� � �e�1f �f ��1� � 0FIGURA 8

x

y

1

_1_2

y=xex

(_1, _1/e)

FIGURA 9

y

xππ

2

1

2

2π3π

2

” , ’11π

6

1

œ„3

-”7π

6

1

œ„3, ’

FIGURA 10

y

xπ_π

1

2

2π 3π

Esboce o gráfico de y � ln(4 � x2).A. O domínio é

B. A intersecção com o eixo y é f (0) � ln 4. Para encontrarmos a intersecção com o eixo x,fazemos

Sabemos que , de modo que temos e, portanto, as inter-secções com o eixo x é .s3

4 � x 2 � 1 ? x 2 � 3ln 1 � 0

y � ln�4 � x 2 � � 0

�x � 4 � x 2 � 0� � �x � x 2 � 4� � �x � � x � � 2� � ��2, 2�

EXEMPLO 5


C. Visto que f (�x) � f (x), f é par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y.D. Procuramos as assíntotas verticais nas extremidades do domínio. Já quequando e também quando , temos

Assim, as retas x � 2 e x � �2 são assíntotas verticais.

E.

Como quando e quando , f é crescente em(�2, 0) e decrescente em (0, 2).

F. O único número crítico é x � 0. Uma vez que f � muda de positiva para negativa em 0,f (0) � ln 4 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.

G.

Uma vez que f �(x) � 0 para todo x, a curva é côncava para baixo em (�2, 2) e não temponto de inflexão.

H. Usando essa informação, esboçamos a curva na Figura 11.

Assíntotas OblíquasAlgumas curvas têm assíntotas que são oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais. Se

onde , então a reta y � mx b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância verticalentre a curva y � f (x) e a linha y � mx b tende a 0, como na Figura 12. (Uma situação si-milar existe se .) Para funções racionais, assíntotas oblíquas acorrem quando a dife-rença entre os graus do numerador e do denominador é igual a 1. Neste caso, a equação de umaassíntota oblíqua pode ser encontrada por divisão de polinômios, como no exemplo a seguir.


A. O domínio é .B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Visto que f (�x) � �f (x), f é ímpar, e seu gráfico, simétrico em relação à origem.D. Como x2 1 nunca é 0, não há assíntota vertical. Uma vez que quando

e quando , não há assíntotas horizontais. Mas a divisão de polinômiosfornece

quando

Logo, a reta y � x é uma assíntota oblíqua.

E.

Uma vez que para todo x (exceto 0), f é crescente em .F. Embora , não muda o sinal em 0, logo não há máximo ou mínimo local.f ��0� � 0 f �

��, ��f ��x� � 0

f ��x� �3x 2�x 2 1� � x 3 � 2x

�x 2 1�2 �x 2�x 2 3��x 2 1�2

x l �f �x� � x � �x

x 2 1� �

1

x

1 1

x 2

l 0

f �x� �x 3

x 2 1� x �

xx 2 1

x l ��f �x� l ��x l �f �x� l �

� � ��, ��

f �x� �x 3

x 2 1EXEMPLO 6

x l ��

m � 0

limx l �

f �x� � �mx b�� 0

f ��x� ��4 � x 2 ��2� 2x��2x�

�4 � x 2 �2 ��8 � 2x 2

�4 � x 2 �2

0 � x � 2f ��x� � 0�2 � x � 0f ��x� � 0

f ��x� ��2x

4 � x 2

limx l�2

ln�4 � x 2 � � ��limx l2�

ln�4 � x 2 � � ��

x l �2x l 2�

4 � x 2 l 0

APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 285

0

y

x

{œ„3, 0}{_œ„3, 0}

x=2x=_2

(0, ln4)

y=ln(4-x2)

FIGURA 11

FIGURA 12

y=ƒ

x

y

0

y=mx+b

ƒ-(mx+b)


G.

Visto que quando ou , montamos a seguinte tabela:

Os pontos de inflexão são e .H. O gráfico de f está esboçado na Figura 13.

(s3 , 34 s3 )(�s3 , �

34 s3 ), �0, 0�

x � s3x � 0f ��x� � 0

f ��x� ��4x 3 6x��x 2 1�2 � �x 4 3x 2 � � 2�x 2 1�2x

�x 2 1�4 �2x�3 � x 2 ��x 2 1�3

Intervalo x f

� � CC em

� � CB em

CC em

� � CB em x � s3

x � �s3 (��, �s3 )�s3 � x � 0 (�s3 , 0)

0 � x � s3 (0, s3 )

f ��x��x 2 1�33 � x 2

(s3 , �)

FIGURA 13

y=x

”_œ„3,- ’3œ„3

4

pontos deinflexão

y=x3

x2+1

x

y

0

”œ„3, ’3œ„3

4

1–54 Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. ,

36. ,

37. ,

38. ,

39. 40.

41. 42.

43. 44. ,

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é

onde m0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quandoa partícula se move com velocidade v em relação ao observadore c é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de m como uma fun-ção de .

56. Na teoria da relatividade, a energia de uma partícula é

em que m0 é a massa de repouso da partícula, l é seu comprimentode onda e h é a constante de Planck. Esboce o gráfico de E comouma função de l. O que o gráfico mostra sobre a força?

57. Um modelo para dispersão de um rumor é dado pela equação

onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato notempo t e a e k são constantes positivas.(a) Quando a metade da população terá ouvido um rumor?(b) Quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato?(c) Esboce o gráfico de p.

p�t� �1

1 ae�kt

E � sm02 c4 h2 c 2��2

v

m �m0

s1 � v2�c2

y � tg�1� x � 1

x 1y � e3x e�2x

y �ln xx 2y � xe�1�x

y � ln�x 2 � 3x 2�y � ln�sen x�

y � e x�x 2y � �1 e x ��2

y � e2 x � e xy � x � ln x

0 � x � 2 y � e�x sen xy � 1��1 e �x �

y � �1 � x�e xy � arctg�e x�

y �sen x

2 cos xy �

sen x1 cos x

0 � x � �2y � sec x tg x

0 � x � 3 y � 12 x � sen x

� �2 � x � �2y � 2x � tg x

� �2 � x � �2y � x tg x

y � x cos xy � sen3 x

y � s3 x 3 1y � s

3 x 2 � 1

y � x 5�3 � 5x 2�3y � x � 3x1�3

y �x

sx 2 � 1y �

s1 � x 2

x

y � xs2 � x 2y �x

sx 2 1

y � sx 2 x � xy � sx 2 x � 2

y � 2sx � xy � �x � 3�sx

y �x 3

x � 2y �

x 2

x 2 3

y �x

x 3 � 1y �

x � 1

x 2

y � 1 1

x

1

x 2y �x

x 2 9

y �x 2

x 2 9y �

1

x 2 � 9

y �x

x 2 � 9y �

x � x 2

2 � 3x x 2

y �x 2 � 4

x 2 � 2xy �

xx � 1

y � �4 � x 2 �5y � 15 x 5 �

83 x 3 16x

y � x 5 � 5xy � x�x � 4�3

y � 8x 2 � x 4y � 2 � 15x 9x 2 � x 3

y � x 3 6x 2 9xy � x 3 x

4.5 Exercícios

1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com


material de apoio roteiro para esboçar uma curva · universidade ederalf rural de pernambuco...

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