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MÉTODO FDTD INCONDICIONALMENTE ESTÁVEL BASEADO EM
POLINÔMIOS DE LAGUERRE PARA SIMULAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS
EM REGIME TRANSITÓRIO
Matheus Soares da Silva
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientadores: Wescley Tiago Batista de Sousa
Rubens de Andrade Júnior
Rio de Janeiro
Setembro de 2017
MÉTODO FDTD INCONDICIONALMENTE ESTÁVEL BASEADO EM
POLINÔMIOS DE LAGUERRE PARA SIMULAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS
EM REGIME TRANSITÓRIO
Matheus Soares da Silva
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO ELETRICISTA.
Examinado por:
Prof. Rubens de Andrade Júnior, D.Sc.
Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima, D.Sc.
Eng. Bárbara Maria Oliveira Santos,
RIO DE JANEIRO, RJ � BRASIL
SETEMBRO DE 2017
Soares da Silva, Matheus
Método FDTD Incondicionalmente Estável Baseado em
Polinômios de Laguerre para Simulações Eletromagnéticas
em Regime Transitório/Matheus Soares da Silva. � Rio de
Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.
XV, 81 p.: il.; 29, 7cm.Orientadores: Wescley Tiago Batista de Sousa
Rubens de Andrade Júnior
Projeto de Graduação � UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Elétrica, 2017.
Referências Bibliográ�cas: p. 56 � 58.
1. WLP-FDTD. 2. FDTD. 3. Eletromagnetismo
Computacional. I. Tiago Batista de Sousa, Wescley
et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola
Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Título.
iii
Agradecimentos
Gostaria de agradecer:
� Ao meu orientador, Wescley, por ter me dado um tema desa�ador e interessante
para pesquisar enquanto Aluno de Iniciação Cientí�ca. Creio que esta foi
uma das melhores IC's que eu poderia ter feito e a experiência me ajudou a
decidir pela carreira acadêmica. Agradeço também pelos conselhos variados
que me deu e pelo bom humor que sempre teve. Obrigado, te desejo sucesso e
felicidades pra toda a família.
� Ao Professor Rubens, primeiro pela excelente disciplina de Eletromagnetismo
II, uma das que mais gostei durante a graduação e o motivo pelo qual, em
última análise, estou escrevendo este Projeto Final. Em seguida, pela paciência
que teve comigo nestes últimos meses enquanto escrevia este trabalho, além
das sugestões e dicas. Te levo como exemplo de acadêmico para o futuro.
� A todos os professores do departamento que eventualmente me orientaram
e deram dicas pro�ssionais: Antônio Lopes, Antônio Carlos Ferreira, Helói
Moreira, Maurício Aredes, Robson Dias, Sérgio Hazan e Walter Suemitsu.
� Aos colegas de LASUP por terem sempre criado um ambiente agradável de
trabalho, devo agradecer dentre eles especialmente à Bárbara pelas diversas
dicas sobre como navegar esse período de �m de curso e por ter me cedido mo-
mentaneamente o seu computador, muito obrigado! Também devo agradecer
ao Felipe Costa por ter me recomendado muito material sobre diferenças �ni-
tas e ao Professor Elkin por estar sempre me dando incentivo e perguntando
como estava andando o trabalho.
� A Felipe Cabral por ter disponibilizado o padrão LaTeX que utilizei pra escre-
ver este trabalho.
� A minha mãe, Teresa Cristina, pelo suporte e pela con�ança que depositou
em mim.
� Aos meus amigos de faculdade pelo companheirismo, especialmente ao Felipe
iv
Dicler pelas diversas conversas sobre os mais variados assuntos, dicas acadê-
micas que me deu em diversos momentos e por ter me apresentado o Inkscape!
Também devo agradecer especialmente a Mike Mattos por ter sido meu bom
amigo desde os tempos de CEFET e a Erick Gama, meu amigo desde o pri-
meiro período. Desejo sucesso e felicidades a todos vocês!
� Ao meu amigo, Fred Guimarães, pelas dicas que me deu relativas a este tra-
balho.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
MÉTODO FDTD INCONDICIONALMENTE ESTÁVEL BASEADO EM
POLINÔMIOS DE LAGUERRE PARA SIMULAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS
EM REGIME TRANSITÓRIO
Matheus Soares da Silva
Setembro/2017
Orientadores: Wescley Tiago Batista de Sousa
Rubens de Andrade Júnior
Curso: Engenharia Elétrica
O método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD, do inglês: Finite
Di�erence Time Domain), desenvolvido por K. Yee em 1966, é uma forma larga-
mente utilizada e relativamente simples de, numericamente, resolver as Equações de
Maxwell. O algoritmo encontra um vasto ramo de aplicações em engenharia elétrica,
do projeto de antenas à análise de transitórios eletromagnéticos. No entanto, esta
técnica pode se tornar instável na análise de alguns sistemas físicos devido a condi-
ção de Courant-Friedrichs-Lewy, que exige que tempo e espaço estejam discretizados
de forma acoplada. Trabalhos tem sido desenvolvidos desde os anos 2000 no sentido
de desenvolver versões incondicionalmente estáveis do algoritmo. Uma destas ver-
sões se baseia nas propriedades dos polinômios de Laguerre. Este trabalho contém
o desenvolvimento do algoritmo FDTD baseado em polinômios de Laguerre e sua
aplicação a dois casos de eletrodinâmica; um deles unidimensional e o outro bidi-
mensional. Ambos os casos são validados por comparação com resultados presentes
na literatura.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial ful�llment
of the requirements for the degree of Engineer.
UNCONDITIONALLY STABLE FDTD SCHEME BASED ON LAGUERRE
POLYNOMIALS FOR SIMULATIONS OF ELECTROMAGNETIC
TRANSIENTS
Matheus Soares da Silva
September/2017
Advisors: Wescley Tiago Batista de Sousa
Rubens de Andrade Júnior
Course: Electrical Engineering
The Finite-Di�erence Time-Domain method based on the Yee Algorithm is a
traditional and relatively simple numerical technique to solve the Maxwell Equa-
tions. This algorithm �nds many applications throughout electrical engineering,
from antenna design to electromagnetic transients analysis. However, this technique
becomes unstable in the analysis of some physical systems because of the Courant-
Friedrichs-Lewy Condition, that introduces a coupling requirement between the dis-
cretization of time and space. Work on the development of unconditionally stable
versions of the algorithm is ongoing since the 2000's. One of these versions is based
on the Laguerre polynomials properties. The present work presents the development
of the Laguerre Polynomials based FDTD algorithm and application to two eletro-
dynamics problems. The results are validated by comparison with those available
in the scienti�c literature.
vii
Sumário
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xii
Lista de Símbolos xiii
Lista de Abreviaturas xv
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 O Método FDTD 3
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Modos Transversais Eletromagnéticos (Modos TEM) . . . . . 8
2.3.2 Modo Transversal Elétrico (Modo TE) . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Modo Transversal Magnético (Modo TM) . . . . . . . . . . . 11
2.4 Algoritmo de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Estabilidade e a Condição Courant-Friedrichs-Lewy . . . . . . . . . . 17
3 O Método FDTD baseado em Polinômios de Laguerre 21
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Polinômios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 O Método FDTD Baseado em Polinômios de Laguerre . . . . . . . . 29
3.4.1 Modo TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2 Modo TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.3 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
viii
4 Simulações e Resultados 38
4.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Estrutura do Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Simulação Bidimensional: Sistema Físico Apresentado por Chung et al. 40
4.3.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Simulação Unidimensional: Propagação de Onda Transversal Eletro-
magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Conclusão e Trabalhos Futuros 54
5.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Referências Bibliográ�cas 56
A Critério de Von Neumann para Estabilidade Numérica 59
B Correlação Linear 62
C Código Desenvolvido para o Caso Bidimensional utilizando WLP-
FDTD 63
D Código Desenvolvido para o Caso Unidimensional utilizando WLP-
FDTD 77
ix
Lista de Figuras
2.1 Aumento no número de artigos publicados em IEEE Transactions on
Microwaves utilizando FDTD a partir dos anos 90. . . . . . . . . . . 4
2.2 Diferenças centradas (DC), regressivas (DR) e progressivas (DP). . . 6
2.3 Malha de Yee para o modo TEz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Malha de Yee para o modo TEM em relação a x polarizado em y. . . 13
2.5 Visualização da Malha de Yee no espaço-tempo, o círculo vermelho
mostra o ponto onde o operador diferencial é discretizado para que se
obtenha a Equação de Atualização para Campos Elétricos (Equação
2.43). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Visualização da Malha de Yee no espaço-tempo, o círculo vermelho
mostra o ponto onde o operador diferencial é discretizado para que se
obtenha a Equação de Atualização para Campos Magnéticos (Equa-
ção 2.44). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Simulação de Campo Elétrico Ey utilizando método FDTD com Sc =
1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 Simulação de Campo Elétrico Ey utilizando método FDTD com Sc =
1.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Simulação de Campo Elétrico Ey utilizando método FDTD com Sc =
1.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Polinômios de Laguerre de ordem 0 a 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Bases de Laguerre até ordem 4, escala temporal s = 1. . . . . . . . . 26
3.3 Síntese de um sinal utilizando diferentes números de bases de Laguerre. 27
3.4 Síntese de um sinal utilizando 100 bases de Laguerre. . . . . . . . . . 27
4.1 Fluxograma do Algoritmo Implementado para o Método WLP-FDTD. 40
4.2 Simulação bidimensional para validação do método. . . . . . . . . . . 41
4.3 Forma da densidade de corrente elétrica inserida no problema bidi-
mensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Resultado da simulação bidimensional mostrada na Figura 4.2. . . . . 43
x
4.5 Resultados para a simulação bidimensional utilizando o métodoWLP-
FDTD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Resultados para a simulação bidimensional utilizando o métodoWLP-
FDTD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Estrutura do problema unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Forma de Onda da Densidade Super�cial de Corrente Ky. . . . . . . . 49
4.8 Sobreposição dos resultados da simulação unidimensional utilizando
o método WLP-FDTD e dos apresentados por Feynman et al. [1]. . . 50
4.8 Sobreposição dos resultados da simulação unidimensional utilizando
o método WLP-FDTD e dos apresentados por Feynman et al. [1]. . . 51
4.8 Sobreposição dos resultados da simulação unidimensional utilizando
o método WLP-FDTD e dos apresentados por Feynman et al.[1]. . . . 52
xi
Lista de Tabelas
2.1 Algumas das Grandezas Físicas Eletromagnéticas. . . . . . . . . . . . 7
4.1 Comparação entre os valores obtidos por Chung et al. e os obtidos
por algoritmo próprio, para os pontos a, b, c e d. . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Comparação entre os valores analíticos e os obtidos pelo método
WLP-FDTD para campo elétrico no sistema físico unidimensional. . . 52
xii
Lista de Símbolos
A Matriz de coe�cientes utilizada no método WLP-FDTD, p. 33
Bf Máxima frequência, em Hertz, presente em uma forma de
onda., p. 28
CHx,y, C
Ex,y Constantes utilizadas no método WLP-FDTD, p. 32
Ln Polinômio de Laguerre de ordem n, p. 22
NL Número necessário de bases de Laguerre para sintetizar uma
certa função., p. 28
O(hn) Notação Big-Oh denotando a ordem n de um certo método de
diferenças �nitas., p. 5
RPearson Coe�ciente de Correlação de Pearson, p. 38
Tf Duração, em segundos, de uma forma de onda., p. 28
U Função qualquer descrita como uma série., p. 29
∆t Discretização Temporal, p. 13
∆x Discretização Espacial, coordenada x, p. 13
∆y Discretização Espacial, coordenada y, p. 13
Φ0,1,2... Conjunto ortogonal in�nito de funções, p. 24
βq−1 Vetor coluna contendo os somatórios dos termos de campos elé-
tricos e magnéticos de todas as iterações anteriores do método
WLP-FDTD, p. 33
δmn Delta de Kronecker, p. 24
ε Permissividade Elétrica, Unidade SI: F/m, p. 7
µ Permeabilidade Magnética, Unidade SI: H/m, p. 7
xiii
φp,q Base de Laguerre de ordem p ou q, p. 25
σ Condutividade Elétrica, Unidade SI: S/m, p. 7
~B Densidade de Fluxo Magnético, Unidade SI: Wb/m2, p. 7
~D Densidade de Fluxo Elétrico, Unidade SI: C/m2, p. 7
~E Intensidade de Campo Elétrico, Unidade SI: V/m, p. 7
~H Intensidade de Campo Magnético, Unidade SI: A/m, p. 7
~J Densidade de Corrente, Unidade SI: A/m2, p. 7
~K Densidade Super�cial de Corrente, p. 46
c0,1,2... Coe�cientes a serem determinados., p. 24
f Função qualquer., p. 4
h Raio de um certo intervalo., p. 4
i Índice horizontal de um certo ponto na malha de Yee, p. 14
j Índice vertical de um certo ponto na malha de Yee, p. 14
k Um número natural qualquer., p. 22
p1 Ponto de medição de campo elétrico., p. 41
s Fator de escala temporal, p. 26
t Tempo, p. 12
u, v, w Vetores quaisquer., p. 23
v Velocidade qualquer de propagação de uma onda eletromagné-
tica, dada em m/s, p. 16
w(t) Função peso., p. 25
x0 Ponto central de um intervalo, ponto este no qual se deseja
avaliar o operador diferencial., p. 4
xNLmax Maior zero dentre os polinômios de Laguerre utilizados para
sintetizar uma certa função., p. 28
xiv
Lista de Abreviaturas
ABC Absorbing Boundary Conditions, p. 15
CAE Computer Assisted Engineering, p. 1
CFL Courant-Friedrichs-Lewy, p. 1
FDTD Finite Di�erence Time Domain, p. vi
IEEE Institute of Electrical and Electronic Engineers, p. 3
LASUP Laboratório de Aplicações de Supercondutores, p. 2
PEC Perfect Electric Conductor, p. 15
PML Perfectly Matched Layer, p. 16
TE Transversal Elétrica(o), p. 9
TM Transversal Magnética(o), p. 9
WLP-FDTD Weighted Laguerre Polynomials Finite Di�erence Time Do-
main, p. 2
xv
Capítulo 1
Introdução
1.1 Motivação
Métodos computacionais encontram vasta aplicação na solução de problemas em
engenharia. A utilização destes nas últimas décadas permitiu o crescimento de
uma área conhecida como CAE (do inglês: Computer Assisted Engineering). Esta
popularidade advém da possibilidade de se fazer análise física de sistemas complexos
de maneira mais rápida e simples, sem necessidade de se criar um modelo analítico
para cada novo problema, além de se conseguir tratar problemas para os quais
não existe modelo analítico. Com estes programas, em muitos casos, só se torna
necessário representar corretamente o problema em termos geométricos, de materiais
e de condições de contorno.
No entanto, a utilização de softwares comerciais na simulação de materiais super-
condutores do tipo II se revela um problema em aberto. Estes materiais apresentam
acoplamento entre temperatura, densidade de corrente e campo magnético, além
de um comportamento não-linear na relação entre campo elétrico e densidade de
corrente. Tais di�culdades motivam a criação de novos modelos de simulação, utili-
zando códigos próprios [2] [3] [4] [5] [6].
Em eletrodinâmica, o método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (ou
FDTD, do inglês Finite-Di�erence Time Domain) é largamente empregado e possui
diversas implementações na forma de softwares, comerciais e gratuitos. Este método
se baseia na discretização tanto do espaço quanto do tempo em termos de diferenças
�nitas. No entanto, para que o método mantenha sua estabilidade, a discretização
do espaço e do tempo deve estar acoplada. Este acoplamento é dado pela condição
de Courant-Friedrichs-Lewy (ou condição CFL) [7] [8] [9].
Com isso, o método se torna impróprio para as chamadas simulações multi-
escala, onde se deseja observar o comportamento de um sistema em escalas diferentes
em uma mesma simulação, ou seja, em casos onde a discretização do espaço de
1
simulação é bastante �na em relação ao espaço, ou tempo, total de simulação. Nestas
situações o método se torna muito dispendioso computacionalmente [10]. Este se
revela o caso em aplicações de supercondutores em sistemas de potência, onde a
malha de discretização do espaço deve ser �na e, ao mesmo tempo, as frequências são
relativamente baixas e um tempo relativamente longo de simulação se faz necessário
[5].
O método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo usando Polinômios de La-
guerre (também conhecido como Laguerre-FDTD ou WLP-FDTD, do inglês Weigh-
ted Laguerre Polynomials - Finite-Di�erence Time Domain) utiliza as propriedades
dos polinômios de Laguerre para modi�car o método FDTD tradicional e torná-lo
incondicionalmente estável, permitindo que tempo e espaço possam ser discretizados
de maneira desacoplada e que as simulações sejam mais e�cientes [11] [10].
Utilizando o método WLP-FDTD, este trabalho foi desenvolvido no Laborató-
rio de Aplicações de Supercondutores da UFRJ (LASUP) com o objetivo de dar
uma contribuição inicial a uma linha de pesquisa que busca avançar simulações
multifísicas de supercondutores, adicionando a descrição das contribuições da par-
cela eletromagnética a métodos baseados em diferenças �nitas que já realizam, com
sucesso, simulações eletrotérmicas [5] [12].
1.2 Objetivos
O objetivo é apresentar as bases teóricas do método FDTD baseado em polinômios
de Laguerre, desenvolver um algoritmo próprio e, por comparação com resultados
da literatura, demonstrar que, utilizando o domínio das bases de Laguerre é possível
construir um método preciso e incondicionalmente estável de solução numérica das
Equações de Maxwell para regimes transitórios.
1.3 Organização
A organização deste trabalho é feita da seguinte forma: O Capítulo 1 contém a
motivação, os objetivos e esta organização. O Capítulo 2 trata do Método FDTD
baseado no Algoritmo de Yee, passando pelas Equações de Maxwell e por alguns
conceitos de métodos numéricos. O Capítulo 3 trata dos Polinômios de Laguerre e
do Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo utilizando estes Polinômios.
O Capítulo 4 traz a metodologia, a estrutura geral dos algoritmos desenvolvidos, a
descrição das simulações feitas e os resultados e análise destes. Por �m, o Capítulo
5 traz a conclusão e sugestões para trabalhos futuros.
2
Capítulo 2
O Método FDTD
2.1 Introdução
Desenvolvidas no século XIX, as Equações de Maxwell são de fundamental impor-
tância em todas as áreas da ciência que utilizam teoria eletromagnética. Até meados
do século XX, a modelagem de sistemas eletromagnéticos era feita, principalmente,
utilizando o domínio da frequência em estado estacionário com soluções normal-
mente encontradas analiticamente, utilizando séries in�nitas ou formas fechadas.
Tais abordagens possuem algumas limitações no tratamento de materiais com geo-
metrias complexas, ou que possuam não linearidades. Em 1966, K. Yee desenvolve
um método numérico no domínio do tempo que, embora simples conceitualmente,
é capaz de resolver as Equações de Maxwell [7]. A popularidade de soluções dire-
tamente no domínio do tempo, discretizando o espaço-tempo em forma de malha,
aumenta durante as décadas de 80 e 90, impulsionada pelo desenvolvimento dos
computadores modernos. Também durante as décadas de 80 e 90 o método de
Yee é re�nado por outros pesquisadores como Ta�ove, Mur, Berenger e Sullivan,
adicionando funcionalidades ao método e estudando seus critérios de estabilidade.
O grá�co da Figura 2.1 mostra o crescimento na quantidade de artigos publicados
no periódico IEEE Transactions on Microwaves tratando do assunto entre os anos
80 e 90 [13].
3
1965 1970 1975 1980 1985 1990 19950
100
200
300
400
500
Publicações Utilizando FDTD
Nú
me
ro d
e P
ub
lica
çõ
es
Ano
Figura 2.1: Aumento no número de artigos publicados em IEEE Transactions onMicrowaves utilizando FDTD a partir dos anos 90.
2.2 Diferenças Finitas
Métodos numéricos de Diferenças Finitas para solução de Equações Diferenciais
se baseiam fundamentalmente na discretização das variáveis de interesse. Isso é
feito aplicando-se aproximações por diferenças �nitas para operadores diferenciais.
O método FDTD utiliza, especi�camente, a chamada aproximação por diferenças
centradas tanto para o espaço quanto para o tempo, fazendo deste um dos métodos
conhecidos como métodos leapfrog [14]. Tomamos uma função f e um intervalo de
raio h ao redor do ponto x0, usar expansão por Série de Taylor para representar a
função no extremo positivo do intervalo resulta na Equação (2.1) [9] [14] [15]:
f(x0 + h) = f(x0) + h∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+h2
2!
∂2f(x)
∂x2
∣∣∣∣x=x0
+h3
3!
∂3f(x)
∂x3
∣∣∣∣x=x0
+ · · · (2.1)
Rearranjando termos e dividindo por h os dois lados da Equação (2.1) obtemos:
f(x0 + h)− f(x0)
h=
∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+h
2!
∂2f(x)
∂x2
∣∣∣∣x=x0
+h2
3!
∂3f(x)
∂x3
∣∣∣∣x=x0
+ · · · (2.2)
Truncando o lado direito desta equação no segundo termo conseguimos uma aproxi-
mação pra derivada conhecida como aproximação por diferenças progressivas (Equa-
ção (2.3)):
4
∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
=f(x0 + h)− f(x0)
h+O(h) (2.3)
O termo O(h) está representado na notação Big Oh e simboliza o erro devido ao
truncamento. Como neste caso o primeiro termo do truncamento é proporcional
a h, o erro de truncamento cresce linearmente com o passo de discretização h.
Aproximações que apresentam esta relação linear entre erro e discretização são ditas
aproximações de primeira ordem.
Por outro lado, realizar a expansão por Séries de Taylor para representar a função
no extremo inferior do intervalo [x0 − h, x0 + h] resulta na Equação (2.4):
f(x0 − h) = f(x0)− h∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+h2
2!
∂2f(x)
∂x2
∣∣∣∣x=x0
− h3
3!
∂3f(x)
∂x3
∣∣∣∣x=x0
+ · · · (2.4)
Seguindo o mesmo procedimento anterior chegamos na chamada aproximação por
diferenças regressivas, apresentada na Equação (2.5). Este tipo de aproximação é,
assim como a aproximação por diferenças progressivas, de primeira ordem.
∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
=f(x)− f(x0 − h)
h+O(h) (2.5)
É possível, a partir das Equações (2.1) e (2.4), chegar em mais um tipo de
aproximação, conhecida como aproximação por diferenças centradas (ou centrais).
Começamos subtraindo as duas equações:
f(x0 + h)− f(x0 − h) = h∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+2 h3
3!
∂3f(x)
∂x3
∣∣∣∣x=x0
+ · · · (2.6)
Dividindo por h nos dois lados da equação obtemos:
f(x0 + h)− f(x0 − h)
h=∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+2 h2
3!
∂3f(x)
∂x3
∣∣∣∣x=x0
+ · · · (2.7)
Importante notar que, neste caso, o termo a ser truncado depende de h2 e, por-
tanto, o erro de truncamento cai com o quadrado da discretização. A aproximação
por diferenças centradas (Equação (2.8)) é dita de segunda ordem e, como já dito
anteriormente, é a base do método FDTD.
5
f(x0 + h)− f(x0 − h)
h=∂f(x)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+O(h2) (2.8)
A aproximação por diferenças centradas também é aplicável, naturalmente, às fun-
ções de mais de uma variável e suas derivadas parciais, como mostrado na Equação
(2.9) [15].
f((x0 + h), y)− f((x0 − h), y)
h=∂f(x, y)
∂x
∣∣∣∣x=x0
+O(h2) (2.9)
A Figura 2.2 ilustra os três tipos de aproximação apresentados. É notável que,
para uma aproximação razoável da derivada da função f(x) no ponto x0, as apro-
ximações por diferenças regressivas e progressivas necessitam de um intervalo h de
discretização consideravelmente menor do que a aproximação por diferenças centra-
das.
DC
DR
DP
Figura 2.2: Diferenças centradas (DC), regressivas (DR) e progressivas (DP).
6
2.3 Equações de Maxwell
As Equações de Maxwell na forma diferencial mostradas nas Equações (2.10),
(2.11), (2.12) e (2.13) governam fenômenos eletromagnéticos em um meio sem
cargas livres descrito por coordenadas cartesianas [1] [7] [16] [17] :
∇× ~H = ~J +∂ ~D
∂t(2.10)
∇× ~E = −∂~B
∂t(2.11)
∇ · ~D = 0 (2.12)
∇ · ~B = 0 (2.13)
Supondo a presença exclusiva de materiais lineares, isotrópicos e não dispersivos,
podemos usar as relações constitutivas (2.14) e (2.15).
~D = ε ~E (2.14)
~B = µ ~H (2.15)
Na presença de materiais condutores é preciso adicionar também a Equação (2.16).
~J = ~Jindependente + σ ~E (2.16)
A Tabela 2.1 descreve as grandezas físicas utilizadas até agora.
Tabela 2.1: Algumas das Grandezas Físicas Eletromagnéticas.
Representação Grandeza Física Unidade SI
~E Campo Elétrico Vm
~D Densidade de Fluxo Elétrico Cm2
~H Campo Magnético Am
~B Densidade de Fluxo Magnético Wbm2
~J Densidade de Corrente Elétrica Am2
ε Permissividade Elétrica Fm
µ Permeabilidade Magnética Hm
σ Condutividade Elétrica S
7
Utilizando as equações constitutivas (2.14) e (2.15), podemos reescrever as Equa-
ções de Maxwell em função somente dos campos ~E e ~H.
∂ ~E
∂t=
1
ε(∇× ~H − ~J) (2.17)
∂ ~H
∂t= − 1
µ(∇× ~E) (2.18)
∇ · ε ~E = 0 (2.19)
∇ · µ~B = 0 (2.20)
Escrevendo os rotacionais de maneira explícita em termos de derivadas espaciais nas
Equações (2.17) e (2.18) obtemos as seguintes seis equações acopladas:
∂Hx
∂t=
1
µ
(∂Ey∂z− ∂Ez
∂y
)(2.21)
∂Hy
∂t=
1
µ
(∂Ez∂x− ∂Ex
∂z
)(2.22)
∂Hz
∂t=
1
µ
(∂Ex∂y− ∂Ey
∂x
)(2.23)
∂Ex∂t
=1
ε
(∂Hz
∂y− ∂Hy
∂z− Jx
)(2.24)
∂Ey∂t
=1
ε
(∂Hx
∂z− ∂Hz
∂x− Jy
)(2.25)
∂Ez∂t
=1
ε
(∂Hy
∂x− ∂Hx
∂y− Jz
)(2.26)
É possível modi�car as Equações (2.21), (2.22), (2.23), (2.24), (2.25) e (2.26) de
modo a reduzir a ordem do espaço de simulação e descrever o comportamento de
sistemas eletromagnéticos bidimensionais e unidimensionais.
2.3.1 Modos Transversais Eletromagnéticos (Modos TEM)
Considerando que a geometria estudada, os campos e eventuais excitações de cor-
rente se estendem in�nitamente sem sofrer qualquer variação na direção de duas das
três coordenadas espaciais, é possível anular duas das três derivadas espaciais pre-
sentes nas Equações (2.21), (2.22), (2.23), (2.24), (2.25) e (2.26). O desenvolvimento
neste trabalho é feito anulando as derivadas em relação a y e z. Este procedimento
8
resulta nas Equações (2.31), (2.32), (2.33) e (2.34):
∂Ez∂t
=1
ε
(∂Hy
∂x− ~Jz
)(2.27)
∂Hy
∂t=
1
µ
(∂Ez∂t
)(2.28)
∂Ey∂t
=1
ε
(− ∂Hz
∂x− Jy
)(2.29)
∂Hz
∂t=
1
µ
(− ∂Ey
∂x
)(2.30)
Estas quatro equações podem ser organizadas em dois conjuntos compostos de
duas equações e independentes entre si. Estes conjuntos são denominados modos.
O conjunto formado pelas Equações (2.31) e (2.32) é chamado de modo transversal
eletromagnético polarizado em z [7] ou de modo transversal magnético unidimensi-
onal (1D TM) [18]. Neste trabalho é feita a opção de utilizar a nomenclatura usada
por Ta�ove em [7]. Este modo será mencionado como modo TEMx polar. z.
∂Ez∂t
=1
ε
(∂Hy
∂x− ~Jz
)(2.31)
∂Hy
∂t=
1
µ
(∂Ez∂t
)(2.32)
O conjunto formado pelas Equações (2.33) e (2.34) é chamado de modo trans-
versal eletromagnético polarizado em y [7] ou de modo transversal elétrico unidi-
mensional (1D TE) [18]. Neste trabalho é feita a opção de utilizar a nomenclatura
usada por Ta�ove em [7]. Este modo será mencionado como modo TEMx polar. y.
∂Ey∂t
=1
ε
(− ∂Hz
∂x− Jy
)(2.33)
∂Hz
∂t=
1
µ
(− ∂Ey
∂x
)(2.34)
Os dois modos apresentados, TEMx polar. z e TEMx polar. y, constituem duas for-
mas possíveis de se realizar simulações unidimensionais no eixo x. É evidente que
estes modos somente podem ser usados para se obter resultados precisos quando o
problema é composto de geometrias e grandezas físicas que possam ser aproximadas
9
como invariantes em duas das três coordenadas cartesianas.
2.3.2 Modo Transversal Elétrico (Modo TE)
Considerando que a geometria estudada, os campos e eventuais excitações de cor-
rente se estendem in�nitamente em apenas uma das direções sem sofrer qualquer
variação, as derivadas em relação a esta direção se tornam nulas e podemos construir
equações bidimensionais. Como exemplo, é suposto que não há qualquer variação
na direção z e que, portanto, as derivadas em relação a z se tornam nulas e as
Equações (2.21), (2.21), (2.22), (2.23), (2.24), (2.25) e (2.26) podem ser um pouco
simpli�cadas e resultam em outro conjunto de seis equações:
∂Hx
∂t=
1
µ
(− ∂Ez
∂y
)(2.35)
∂Hy
∂t=
1
µ
(∂Ez∂x
)(2.36)
∂Hz
∂t=
1
µ
(∂Ex∂y− ∂Ey
∂x
)(2.37)
∂Ex∂t
=1
ε
(∂Hz
∂y− Jx
)(2.38)
∂Ey∂t
=1
ε
(− ∂Hz
∂x− Jy
)(2.39)
∂Ez∂t
=1
ε
(∂Hy
∂x− ∂Hx
∂y− Jz
)(2.40)
As Equações (2.35), (2.36), (2.37), (2.38), (2.39) e (2.40) podem dar origem a dois
conjuntos de equações independentes entre si, denominados modos, de acordo com
a orientação dos campos elétricos e magnéticos no espaço [18]. No modo transversal
elétrico o campo magnético somente possui componente não-nula na direção na qual
não há qualquer variação (no caso, a direção z), enquanto os campos elétricos só
possuem componentes não-nulas nas direções perpendiculares a esta, no caso, no
plano xy. Para de�nir este modo, basta agrupar as Equações (2.37), (2.38) e (2.39).
Como é na direção z que não há qualquer variação, este modo é ditomodo transversal
elétrico em relação a z, ou modo TEz [7].
∂Ex∂t
=1
ε
(∂Hz
∂y− Jx
)(2.41)
∂Ey∂t
=1
ε
(− ∂Hz
∂x− Jy
)(2.42)
10
∂Hz
∂t=
1
µ
(∂Ex∂y− ∂Ey
∂x
)(2.43)
2.3.3 Modo Transversal Magnético (Modo TM)
Já no modo transversal magnético, o campo elétrico somente possui componente
não-nula na direção na qual não há variação (no caso, a direção z), enquanto os
campos magnéticos só possuem componentes não-nulas nas direções perpendiculares
(no caso, o plano xy). Para de�nir este modo basta agrupar as Equações (2.35),
(2.36) e (2.40). Este modo é dito modo transversal magnético em relação a z, ou
Modo TMz:
∂Hx
∂t=
1
µ
(− ∂Ez
∂y
)(2.44)
∂Hy
∂t=
1
µ
(∂Ez∂x
)(2.45)
∂Ez∂t
=1
ε
(∂Hy
∂x− ∂Hx
∂y− Jz
)(2.46)
Os dois modos apresentados,TMz e TEz constituem as duas formas possíveis
de se realizar simulações bidimensionais no plano xy. É evidente que estes modos
somente podem ser usados para se obter resultados precisos quando o problema
é composto de geometrias e grandezas físicas que possam ser aproximadas como
invariantes na direção z.
11
2.4 Algoritmo de Yee
O método FDTD discretiza o tempo (t) e o espaço em diferenças centrais e desloca
as grandezas eletromagnéticas no espaço, fazendo com que cada componente de
campo elétrico ~E esteja cercada por quatro componentes de campo magnético ~H,
e vice-versa [9]. A Figura 2.3 mostra como exemplo a malha de Yee para estudos
bidimensionais (modo TEz) e a Figura 2.4 para estudos unidimensionais, modo TEM
em relação a x, polarizado em y.
Figura 2.3: Malha de Yee para o modo TEz.
12
Figura 2.4: Malha de Yee para o modo TEM em relação a x polarizado em y.
Os índices i e j são os índices de discretização horizontal e vertical, respecti-
vamente. Estes índices são números inteiros de�nidos tais que, sendo ∆x e ∆y os
passos de discretização espacial, um ponto no espaço localizado na malha de Yee
e com coordenadas cartesianas da forma (x, y) possa ter sua posição descrita com
uma expressão da forma (i∆x, j∆y) [7].
É importante observar que campos elétricos e magnéticos estão deslocados tam-
bém no tempo. Como exemplo trataremos do caso unidimensional. Após aplicar a
aproximação por diferenças centradas para as derivadas temporais e espaciais das
Equações (2.33) e (2.34) do modo transversal eletromagnético polarizado na direção
y, existirão duas equações conhecidas como Equações de Atualização. Uma destas
equações, (2.47), atualizará os valores para os campos elétricos Ez e a outra (Equa-
ção (2.48)) atualizará os valores para os campos magnéticos Hy. Estas equações
serão aplicadas de maneira intermitente de forma a avançar a simulação no tempo.
As Figuras 2.5 e 2.6 ilustram o processo.
Ey|t+1i = Ey|ti −
∆t
ε∆x
(Hz|ti−Hz|ti−1
)(2.47)
Hz|t+1i = Hz|ti −
∆t
µ∆x
(Ey|ti+1−Ey|ti
)(2.48)
13
Figura 2.5: Visualização da Malha de Yee no espaço-tempo, o círculo vermelhomostra o ponto onde o operador diferencial é discretizado para que se obtenha aEquação de Atualização para Campos Elétricos (Equação 2.43).
Figura 2.6: Visualização da Malha de Yee no espaço-tempo, o círculo vermelhomostra o ponto onde o operador diferencial é discretizado para que se obtenha aEquação de Atualização para Campos Magnéticos (Equação 2.44).
14
Adicionando Jy(t) como função forçante obtemos:
Ey|t+1i = Ey|ti −
∆t
ε∆x
(Hz|ti −Hz|ti−1
)+
∆t
εJy|t+1
i (2.49)
Hz|t+1i = Hz|ti −
∆t
µ∆x
(Ey|ti+1 − Ey|ti
)(2.50)
As Equações (2.49) e (2.50) são as Equações de Atualização do método FDTD
para excitação com densidade de corrente. A adição de corrente não modi�ca a lógica
demonstrada nas Figuras 2.5 e 2.6, em cada iteração temporal do método, campos
elétricos e magnéticos são recalculados utilizando estas equações e atualizados antes
de avançar para a próxima iteração, este processo é conhecido como processo de
marcha no tempo ou esquema leapfrog.
2.4.1 Condições de Fronteira
O espaço discretizado pela simulação é, assim como a memória disponível para
descrevê-lo, �nito. Portanto, é fundamental determinar o comportamento das fron-
teiras da simulação.
Condições do tipo PEC
Em alguns casos deseja-se determinar um espaço de simulação cercado por conduto-
res perfeitos. Com isso, haverá re�exão de ondas eletromagnéticas que atinjam seus
limites. Este tipo de condição é útil no caso de, por exemplo, câmaras ressonantes.
Fronteiras deste tipo são conhecidas como fronteiras PEC (do inglês: Perfect Elec-
tric Conductor). De�nir uma condição deste tipo é bem simples, só é necessário
determinar os campos elétricos tangentes às fronteiras como zero [9].
Condições Absorventes
Em alguns casos se deseja simular uma malha de simulação in�nita, isto é, deseja-se
que ondas que atinjam a fronteira do espaço de simulação o abandonem de�nitiva-
mente, sem qualquer tipo de re�exão. Criar um espaço de simulação muito maior
do que o necessário em geral não é uma opção, pois exigiria uma quantidade não
disponível de memória. A solução é, portanto, encerrar o espaço de simulação ar-
ti�cialmente, usando condições que simulem uma absorção perfeita de energia. Em
1981, Gerrit Mur [19] de�niu uma formulação para condições de fronteira que ab-
sorvem energia. Muitas outras formas se seguiram mas trataremos neste trabalho
exclusivamente das chamadas condições de Mur de Primeira Ordem, que tem como
base a Equação (2.51) [18]. Este tipo de condição de fronteira é conhecida como
condição ABC (do inglês: Absorbing Boundary Conditions).
15
(∂
∂x± 1
v
∂
∂t
)Ey(x, y, t) = 0 (2.51)
sendo v a velocidade de propagação da onda eletromagnética no meio estudado.
A Equação (2.51) pode ter duas soluções, a saber:(∂
∂x+
1
v
∂
∂t
)Ey(x, t) = 0 → Ey(x, t) = f(x − vt) (2.52)
(∂
∂x− 1
v
∂
∂t
)Ey(x, t) = 0 → Ey(x, t) = f(x + vt) (2.53)
Note que as soluções descrevem ondas que se propagam em somente uma di-
reção, a Equação (2.51) é a chamada Equação da Onda Unidirecional e pode ser
discretizada utilizando diferenças centrais. O desenvolvimento é feito, como exem-
plo, para uma fronteira vertical presente em x = 0, equivalente a i = 1. O ponto de
discretização espacial utilizado é normalmente i = 12, de modo a caracterizar o início
da fronteira no ponto médio entre dois campos elétricos, o ponto de discretização
temporal é t = 12, ou seja, também no ponto médio entre dois campos elétricos,
mas no tempo. Estas escolhas para realizar a aproximação por diferenças centrais
resultam na Equação (2.54) [18]:
Ey|t+1i=1+1/2 − Ey|ti=1+1/2
v∆t=Ey|t+1/2
i=2 − Ey|t+1/2i=1
∆x(2.54)
Como o campo elétrico não está efetivamente de�nido para os pontos intermediários
de tempo e espaço que foram escolhidos, uma interpolação linear é feita, resultando
em:
(Ey|t+1
i=1+Ey|t+1i=2
)− (Ey|ti=1+Ey|ti=2)
2v∆t=
(Ey|t+1
i=2+Ey|ti=2
)−(Ey|t+1
i=1+Ey|ti=1
)2∆x
(2.55)
Finalmente, rearranjando para o campo elétrico na fronteira, conseguimos chegar à
Equação de Atualização (2.56):
Ey|t+1i=1= Ey|ti=2 +
(v∆t−∆x
v∆t+ ∆x
)(Ey|t+1
i=2−Ey|ti=1
)(2.56)
Esta é uma formulação que funciona bem para situações onde se espera que
qualquer incidência de onda eletromagnética ocorra de forma aproximadamente per-
pendicular às fronteiras da simulação. Caso este não seja o caso, outros métodos
posteriores tais como o Perfectly-Matched Layer (PML) são recomendados [8].
16
2.5 Estabilidade e a Condição Courant-Friedrichs-
Lewy
Estabilidade é de�nida como a característica de métodos numéricos que não possuem
crescimento ilimitado de erro, sendo uma condição necessária mas não su�ciente para
que as simulações entreguem resultados precisos [20].
O método FDTD, como dito anteriormente, é um método explícito e está sujeito
a instabilidade de acordo com os passos de discretização espaço-temporais. Métodos
numéricos explícitos de resolução de alguns tipos de Equações Diferenciais Parciais
(nas quais se encaixam as Equações de Maxwell) estão sujeitos à condição Courant-
Friedrichs-Lewy (ou condição CFL) para que se mantenham estáveis. Para o caso
do método FDTD bidimensional descrito no plano xy, a condição CFL se traduz na
Inequação (2.57) [7] [18].
∆t ≤ 1
v√
1∆x2
+ 1∆y2
(2.57)
Esta condição para a relação entre discretização espacial e temporal pode ser
deduzida utilizando o chamado Critério de Von Neumann, apresentado no Anexo
A. Mais informação sobre esta linha de análise de estabilidade também pode ser
encontrada nas referências [18] e [21].
Esta relação também pode ser justi�cada por um argumento físico: a discreti-
zação da malha não pode ser feita de forma a violar a causalidade. Como em cada
passo temporal informações sobre grandezas físicas passam de um ponto da malha
para outro, a discretização tem que ser feita de tal forma que esta transmissão de
informação ocorra em uma velocidade próxima da prevista analiticamente para on-
das eletromagnéticas, v = 1√µε
[14] [22]. Em outras palavras, a de�nição do valor
assumido por um grandeza física qualquer em um ponto no espaço-tempo deve ser
em função somente de pontos dos quais a própria solução analítica dependa. Ou
seja, é natural esperar que a condição CFL especi�que claramente que a máxima
discretização espacial não pode ser superior a propagação da luz em um passo tem-
poral, caso contrário o método FDTD estaria fazendo uso de informação ainda não
disponível, de acordo com o modelo analítico.
Em simulações unidimensionais a razão mostrada na Equação (2.58) é útil, esta
é conhecida como Número de Courant.
Sc =v ∆t
∆x(2.58)
A Figura 2.7 mostra resultados para campo elétrico Ey de uma simulação uni-
dimensional da propagação de uma onda transversal eletromagnética utilizando o
17
método FDTD com Sc = 1.0 (valor considerado ideal para este tipo de simulação
[9]). Note que, utilizando Número de Courant unitário, a onda eletromagnética
percorre a geometria sem sofrer distorções.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribuição de Ey ao longo da geometria em diferentes instantes
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
t = 0.93 ns
t = 1.06 ns
t = 1.19 ns
t = 1.33 ns
Figura 2.7: Simulação de Campo Elétrico Ey utilizando método FDTD com Sc = 1.0.
A mesma simulação é agora apresentada para o caso onde a condição de Courant
foi desrespeitada, ou seja: Sc > 1.0. Mais especi�camente: Sc = 1.005. A Figura
2.8 mostra a intensidade do campo elétrico Ey para diferentes tempos de simula-
ção, de forma a ressaltar a instabilidade na simulação. Note que, com o passar do
tempo de simulação, o erro cresce sem limite. Este comportamento, como já dito
anteriormente, caracteriza a instabilidade numérica.
18
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(a) t = 0.134 ns
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(b) t = 0.335 ns
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(c) t = 0.469 ns
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(d) t = 0.536 ns
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(e) t = 0.603 ns
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(f) t = 0.670 ns
Figura 2.8: Simulação de Campo Elétrico Ey utilizando método FDTD com Sc =1.005.
19
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(g) t = 0.804 ns
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Distribuição de Ey ao longo da geometria em um certo instante.
Eixo x (cm)
Ey (
V/m
)
(h) t = 0.938 ns
Figura 2.8: Simulação de Campo Elétrico Ey utilizando método FDTD com Sc =1.005.
20
Capítulo 3
O Método FDTD baseado em
Polinômios de Laguerre
3.1 Introdução
A partir dos anos 2000 surgiram novas formulações do método FDTD com o
objetivo de eliminar, ou reduzir, a limitação imposta pela condição CFL. A
primeira destas versões foi o método FDTD Alternado-Direto Implícito, ou ADI-
FDTD (do inglês:Alternate-Direct Implicit FDTD). Embora o método ADI seja
incondicionalmente estável, ou seja, não dependa da condição CFL para que o erro
não cresça monotonicamente, ele ainda não garante precisão para qualquer razão
entre a discretização espacial e temporal [11]. Em outras palavras, ainda haverá
erro numérico para razões de discretização que se distanciem da condição CFL, tudo
que o método ADI-FDTD garante é que este erro não crescerá sem limites. Outras
tentativas surgiram na última década (tais como o método Cole's Non-Standard
FDTD) mas um tratamento destas está além do objetivo deste trabalho.
Em um artigo publicado em 2003 por Chung, Sarkar, Jung e Salazar-Palma
[11], uma versão incondicionalmente estável utilizando polinômios de Laguerre é
sugerida. A ideia fundamental é abandonar o esquema de marcha no domínio do
tempo mostrado no Capítulo 2 e adotar um outro domínio, que tem como bases
os polinômios de Laguerre. Este método é abreviado na literatura como Laguerre-
FDTD ou WLP-FDTD (do inglês: Weighted Laguerre Polinomials-FDTD)
21
3.2 Polinômios de Laguerre
A Equação Diferencial (3.1) é chamada a Equação de Laguerre.
x∂2y
∂x2+ (1− x)
∂y
∂x+ ky = 0 (3.1)
sendo x ≥ 0 e k um número natural, a solução em termos de séries in�nitas desta
equação diferencial é descrita pela Equação (3.2).
yk(x) = a0
(1− kx+
k(k − 1)
22x2 − k(k − 1)(k − 2)
22 · · · 32x3
+k(k − 1)(k − 2)(k − 3)
22 · · · 32 · · · 42x4 + . . .
(−1)n k!
(n! )2(k − n)!xn) (3.2)
Aplicar k = 0, 1, 2, 3... e a0 = k! na Equação (3.2) resulta na família de polinômios
mostrada na Equação (3.3)
L0(x) = 1
L1(x) = 1− x
L2(x) = 2− 4x+ x2
L3(x) = 6− 18x+ 9x2 − x3
. . .
Lk(x) = (k! )2
k∑n=0
(−1)n
(n! )2(k − n)!xn
(3.3)
Estes polinômios são denominados Polinômios de Laguerre e podem ser escritos
de uma forma recursiva, ou seja, o polinômio Ln, se n > 2, pode ser escrito em
função dos dois polinômios anteriores, como mostrado na Equação (3.4) [23].
L0(x) = 1
L1(x) = 1− x
Lk(x) =(2k − 1− x) Lk−1(x)− (k − 1) Lk−2(x)
kpara k ≥ 2
(3.4)
22
A Figura 3.1 mostra os cinco primeiros polinômios de Laguerre.
0 5 10 15 20−10
−5
0
5
10
15
20
x
L(x
)
Ordem 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3
Ordem 4
Figura 3.1: Polinômios de Laguerre de ordem 0 a 4.
A partir daqui passaremos a tratar a variável da qual dependem os polinômios
de Laguerre como a variável tempo, t.
3.3 Ortogonalidade
Os conceitos vetoriais de produto interno escalar e ortogonalidade podem ser gene-
ralizados para funções. Consideremos dois vetores u e v, de�nidos, por exemplo, no
espaço vetorial IR2. O produto interno entre esses dois vetores, representado u · v ,é de�nido pelas seguintes propriedades [24]:
i. u · v = v · u
ii. ku · v = k(u · v), sendo k escalar.
iii. u · u = 0 se u = 0 e u · u > 0 se u 6= 0
iv. u+ v · w = u · w + v · w, sendo w vetor no IR2.
Uma integral de�nida do produto entre duas funções f1 e f2 no intervalo [a, b]
apresenta as propriedades (i-iv) apresentadas. Com isso, é possível de�nir o produto
interno entre funções como (3.5):
23
f1 · f2 =
∫ b
a
f1(t)f2(t)dt (3.5)
As duas funções f1 e f2 serão ditas ortogonais se o resultado da integral em
(3.5) for zero.
Prosseguindo com a analogia entre vetores e funções: um conjunto formado por
vetores mutualmente ortogonais forma uma base do espaço de vetores. Isso signi�ca
dizer que qualquer outro vetor neste mesmo espaço pode ser representando como
uma combinação linear destes. Por exemplo, se u e v formam base no espaço bidi-
mensional IR2, qualquer vetor w também contido neste espaço pode ser representado
pela combinação linear (3.6).
w = c1 u+ c2 v (3.6)
É possível fazer mais uma vez um paralelo com funções: um conjunto ortogonal
in�nito de funções Φn de�nido no intervalo t = [a, b], ou seja, um conjunto da forma
[Φ0,Φ1,Φ2...] que respeita a condição (3.7).∫ b
a
Φm(t) Φn(t) dt = δmn (3.7)
sendo δmn o delta de Kronecker, de�nido por:
δmn =
1, se m = n,
0, se m 6= n.(3.8)
constitui uma base do chamado espaço de funções e, portanto, pode representar
funções f(t) de�nidas no intervalo [a, b] como mostrado na Equação (3.9):
f(t) = c0Φ0 + c1Φ1 + c2Φ2...+ cnΦn (3.9)
onde cn são coe�cientes a serem determinados.
Alguns conjuntos de funções são ditos ortogonais em relação a uma função peso
w(t) > 0:
24
∫ b
a
w(t) Φm(t) Φn(t) dt = δmn (3.10)
O conjunto de polinômios de Laguerre se encaixa no caso (3.10). Estas tem uma
relação de ortogonalidade para uma função peso igual a e−t. Observando também
que o intervalo anteriormente representado por t = [a, b] está de�nido para este
caso como t = [0,∞]. O conceito de ortogonalidade pode ser descrito, para o
caso especí�co dos polinômios de Laguerre, pela Equação (3.11). É interessante
observar que enquanto em análise vetorial é possível dar um sentido geométrico
de perpendicularidade à palavra ortogonal, o mesmo não ocorre no presente caso,
sendo esta uma simples de�nição advinda da generalização do produto interno entre
vetores. ∫ ∞0
e−t Lp Lq dt = δpq (3.11)
Isto signi�ca dizer que é possível de�nir bases do espaço de funções utilizando
polinômios de Laguerre, como mostrado na Equação (3.12). A Figura 3.2 mostra as
cinco primeiras bases de Laguerre.
φp(t, s) = e−s.t2 Lp(s.t) (3.12)
25
0 5 10 15 20−0.5
0
0.5
1
t
φp(t)
Ordem 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3
Ordem 4
Figura 3.2: Bases de Laguerre até ordem 4, escala temporal s = 1.
Importante notar que na Equação (3.12) �zemos uso de um fator de escala
temporal s > 0. Isso é justi�cável ao observar a Figura 3.2, note que as bases de
Laguerre decaem a zero após a passagem de um tempo t su�cientemente grande,
na ordem de segundos. Mas o comportamento das grandezas físicas em simulações
não é �xo e muito menos �xo na escala de segundos. Em algumas simulações as
variáveis de interessem podem tender a zero em escalas de tempo muito inferiores
e, neste caso, os polinômios de Laguerre não seriam capazes de sintetizá-las. Isso
signi�ca que, para sintetizar sinais em escalas temporais diferentes, é necessário utili-
zar uma escala de modo a ajustar as bases ao problema especí�co a ser estudado [10].
Em termos práticos, dado um número su�cientemente grande de bases de
Laguerre, é possível representar (ou sintetizar) qualquer função transitória como
um somatório ponderado dessas bases, um conceito similar ao da Série de Fourier.
A Figura 3.3 mostra a síntese do pulso e−( t−155
)2 fazendo uso de 5, 8 e 12 bases de
Laguerre. Fica evidente que com o número crescente de bases a descrição da função
�ca cada vez mais próxima da função original.
26
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5
0
0.5
1
t
Sin
al, f
(t)
Sinal Original
Sintese com 5 bases de Laguerre
Sintese com 8 bases de Laguerre
Sintese com 12 bases de Laguerre
Figura 3.3: Síntese de um sinal utilizando diferentes números de bases de Laguerre.
A Figura 3.4 mostra, por �m, a síntese deste mesmo sinal utilizando 100 bases
de Laguerre.
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5
0
0.5
1
t
Sin
al, f(t
)
Sinal Original
Sintese com 100 bases de Laguerre
Figura 3.4: Síntese de um sinal utilizando 100 bases de Laguerre.
27
As escolhas para o número NL de bases de Laguerre e para o valor da escala
temporal s a serem utilizados variam e se baseiam, respectivamente, nas Equações
(3.13) e (3.14) [25].
NL = 2Bf Tf + 1 (3.13)
sendo:
NL o número necessário de bases de Laguerre.
Bf a máxima frequência, em Hertz, presente na forma de onda a ser descrita.
Tf a duração em segundos da forma de onda.
s =xNLmax
Tf(3.14)
sendo:
xNLmax o maior zero dentre os polinômios de Laguerre utilizados.
Uma pergunta razoável é: Por que utilizar especi�camente polinômios de La-
guerre? Existem diversas outras classes de funções que apresentam ortogonalidade.
Além dos já citados senos e cossenos poderíamos citar os polinômios de Chebyshev
e Legendre. Alguns dos motivos estão apresentados a seguir [10]:
� Os polinômios de Laguerre formam uma classe de funções ortogonais de�nidas
de 0 a ∞ (os polinômios de Chebyshev, por exemplo, estão de�nidos de -1
a 1). Isto faz com que polinômios de Laguerre sejam uma boa escolha para
simulação de sistemas físicos em função do tempo, pois é neste mesmo intervalo
que o tempo está de�nido.
� Como a função peso dos polinômios de Laguerre é uma exponencial decres-
cente, todas as bases de Laguerre eventualmente decaem a zero. Para simula-
ções transitórias, isto é ideal, pois garante estabilidade incondicional, ou seja, o
método numérico jamais retornará um sinal que cresça sem limite e, portanto,
jamais resultará em um erro que cresça sem limite.
� A relação de recursividade entre os polinômios de Laguerre faz com que seja
simples computacionalmente obtê-los em tempo de execução, sem necessidade
de ocupar memória armazenando as bases a priori.
28
3.4 O Método FDTD Baseado em Polinômios de
Laguerre
Utilizando as propriedades dos polinômios de Laguerre se torna possível representar
grandezas físicas de comportamento transitório em termos de somas de bases de
Laguerre ponderadas por coe�cientes. A Equação (3.15) mostra, como exemplo,
o caso do campo elétrico. A mesma equação se aplica para campos magnéticos e
correntes elétricas.
Ex(r, t) =∞∑p=0
Epx(r) φp(t) (3.15)
sendo:
Ex(r, t) o campo elétrico na direção x em um determinado ponto r, função da
variável tempo t.
t = s.t simplesmente uma representação para o tempo escalado pelo fator s.
r a variável posição no espaço.
φp a base de Laguerre de ordem p.
Epx(r) o coe�ciente de ponderação da base Laguerre de ordem p para a repre-
sentação do campo elétrico Ex em uma posição especí�ca r.
É possível demonstrar que a derivada temporal de uma função U qualquer escrita
na forma da Equação (3.15), será escrita como na Equação (3.16) [11]:
∂U(r, t)
∂t= s
∞∑p=0
(0.5 Up(r) +
p−1∑k=0,p>0
Uk(r)
)φp (t) (3.16)
Partindo das Equações (3.15) e (3.16) é possível desenvolver o método para os
diferentes modos já apresentados (TE e TEM).
3.4.1 Modo TE
Primeiro, reapresentamos as equações que representam o Modo TEz:
∂Ex∂t
=1
ε
(∂Hz
∂y− Jx
)(3.17)
∂Ey∂t
=1
ε
(− ∂Hz
∂x− Jy
)(3.18)
29
∂Hz
∂t=
1
µ
(∂Ex∂y− ∂Ey
∂x
)(3.19)
O primeiro passo é utilizar as Equações (3.15) e (3.16) para reescrever as gran-
dezas desconhecidas (campos elétricos e magnéticos) e suas derivadas temporais
presentes em (3.17), (3.18) e (3.19) utilizando formulações em termos de polinômios
de Laguerre.
s∞∑p=0
(0.5Ep
x(x, y) +
p−1∑k=0
Ekx(x, y)
)φp(t)
=1
ε
∞∑p=0
∂Hpz
∂y(x, y) φp(t)−
Jx(x, y, t)
ε
(3.20)
s∞∑p=0
(0.5Ep
y(x, y) +
p−1∑k=0
Eky (x, y)
)φp(t)
= −1
ε
∞∑p=0
∂Hpz
∂y(x, y) φp(t)−
Jy(x, y, t)
ε
(3.21)
s∞∑p=0
(0.5Hp
z (x, y) +
p−1∑k=0
Hkz (x, y)
)φp(t)
= − 1
µ
∞∑p=0
(∂Ep
x
∂y(x, y)−
∂Epy
∂x(x, y)
)φp(t)
(3.22)
É importante lembrar que o objetivo do método é abandonar o domínio do tempo
e, no entanto, as bases φp(t) e as densidades de corrente ainda apresentam termos
com dependência em relação ao tempo. Para eliminar esta dependência utilizamos
um procedimento conhecido como Procedimento de Teste Temporal de Galerkin [11]
que consiste em, fazendo uso das propriedades ortogonais das bases de Laguerre,
multiplicar os dois lados da Equação (3.20) por uma base especí�ca φq e integrar
em função de t no intervalo [0, Tf ), sendo Tf um período de tempo su�cientemente
grande, de modo a garantir que todas as formas de onda já tenham decaído a
praticamente zero. Aplicar este procedimento elimina a dependência explicita em
relação ao tempo das seguintes formas:
� Como as bases são ortogonais entre si e o procedimento consiste em realizar o
produto φpφq dentro de uma integral, todos os termos dos somatórios presentes
30
nas Equações (3.20), (3.21) e (3.22) com q 6= p desaparecem, e quando q = p,
o termo resulta simplesmente em 1.
� Os termos relativos a densidade de corrente passam a ser:
Jqx(x, y) =
∫ TF
0
J(x)(x, y, t) φq(t) dt
Jqy (x, y) =
∫ TF
0
J(y)(x, y, t) φq(t) dt
(3.23)
ou seja, determinam-se assim os termos do somatório de bases de Laguerre
que sintetizam a densidade de corrente (que já é conhecida para todo o tempo
de simulação).
Aplicando estes dois resultados do procedimento às Equações (3.20), (3.21) e
(3.22) temos:
s
(0.5Eq
x(x, y) +
q−1∑k=0
Ekx(x, y)
)=
1
ε
∂Hqz
∂y(x, y) − Jqx(x, y)
ε(3.24)
s
(0.5Eq
y(x, y) +
q−1∑k=0
Eky (x, y)
)= −1
ε
∂Hqz
∂y(x, y)−
Jqy (x, y)
ε(3.25)
s
(0.5Hq
z (x, y) +
q−1∑k=0
Hkz (x, y)
)= − 1
µ
(∂Eq
x
∂y(x, y)−
∂Eqy
∂x(x, y)
)(3.26)
Feito o procedimento de passagem do domínio do tempo para o domínio das bases
de Laguerre, faz-se necessário discretizar o espaço, o método WLP-FDTD não difere
do método FDTD neste sentido e utiliza a mesma malha deslocada de Yee, ou seja,
campos elétricos e magnéticos são avaliados em pontos diferentes, como já mostrado
para o caso bidimensional na Figura 2.3. Aplicando a discretização espacial em
diferenças centrais, seguida de alguma manipulação algébrica, nas Equações (3.24),
(3.25) e (3.26) obtemos (3.27), (3.28) e (3.29).
Eqx|i,j = CE
y [Hqz |i,j−Hq
z |i,j−1]− 2
sεJqx|i,j − 2
q−1∑k=0
Ekx |i,j (3.27)
Eqy |i,j = −CE
x [Hqz |i,j−Hq
z |i−1,j]−2
sεJqy |i,j − 2
q−1∑k=0
Eky |i,j (3.28)
31
Hqz |i,j = −CH
x
[Eqy |i+1,j−Eq
y |i,j]
+ CHy
[Eqx|i,j+1−Eq
y |i,j]− 2
q−1∑k=0
Hkz |i,j (3.29)
sendo:
CEx = 2
sε∆x.
CEy = 2
sε∆y.
CHx = 2
sµ∆x.
CHy = 2
sµ∆y.
Observando as Equações (3.27), (3.28) e (3.29) é possível notar que existe uma
relação implícita entre campos elétricos e magnéticos. Em outras palavras, é possível
substituir a Equação (3.29) nas Equações (3.27) e (3.28), o que resultará no conjunto
composto pelas Equações (3.30) e (3.31), apresentado a seguir:
Eqx|i,j
[1
CEy
+ CHy + CH
y
]+ Eq
x|i,j−1
[−CH
y
]+ Eq
x|i,j+1
[−CH
y
]+
Eqy |i,j
[−CH
x
]+ Eq
y |i,j−1
[CHx
]+ Eq
y |i+1,j
[CHx
]+ Eq
y |i+1,j−1
[−CH
x
]= −∆y Jqx|i,j −
2
CEy
q−1∑k=0
Ekx |i,j + 2
q−1∑k=0
Hkz |i,j−1 − 2
q−1∑k=0
Hkz |i,j
(3.30)
Eqy |i,j
[1
CEx
+ CHx + CH
x
]+ Eq
y |i−1,j
[−CH
x
]+ Eq
y |i+1,j
[−CH
x
]+
Eqx|i,j
[−CH
y
]+ Eq
x|i−1,j
[CHy
]+ Eq
x|i−1,j+1
[−CH
y
]+ Eq
x|i,j+1
[CHy
]= −∆x Jqy |i,j −
2
CEx
q−1∑k=0
Eky |i,j − 2
q−1∑k=0
Hkz |i−1,j + 2
q−1∑k=0
Hkz |i,j
(3.31)
O método se baseia em descobrir os termos da série que de�nem o campo elétrico
na Equação (3.15) utilizando as Equações (3.30) e (3.31). Para isso, são necessárias
tantas iterações quanto termos da série. Em outras palavras, serão necessárias tantas
iterações quanto bases de Laguerre utilizadas para sintetizar as grandezas físicas.
A relação descrita pelas Equações (3.30) e (3.31) valerá para todos os pontos da
geometria, exceto os pontos nas fronteiras, como será mostrado adiante. Isto dá
32
origem a um sistema linear como o mostrado na Equação (3.32). Este sistema será
resolvido em cada uma das iterações. Cada uma das linhas da matriz descreve a
equação para os campo elétricos de cada ponto da geometria. No caso do modo TE,
existem dois campos elétricos a serem determinados para cada ponto da geometria,
por isso, a matriz terá como número de linhas o dobro do número de pontos utilizados
para discretizar a geometria.
[A]2m× 2m [Eq]2m× 1 = [Jq]2m× 1 + [βq−1]2m× 1 para q = 1, 2... (3.32)
sendo:
m, o número de pontos utilizados para discretizar a geometria.
[A]2m× 2m, a matriz dos coe�cientes que multiplicam os termos de campo elé-
trico.
[Eq]2m× 1 o vetor coluna contendo todos os termos de Laguerre para os campos
elétricos.
[Jq]2m× 1 o vetor coluna contendo os termos de Laguerre para todas as corren-
tes.
[βq−1]2m× 1 o vetor coluna contendo os somatórios dos termos de campos elé-
tricos e magnéticos de todas as iterações anteriores. Portanto, este vetor não
existe para q = 0.
É importante observar que os termos do campo elétrico da iteração atual q �cam
dependendo somente de termos já descobertos dos campos magnéticos. Descobrir os
próprios campos magnéticos da iteração atual não é um problema, isto pode ser feito
em termos de campos elétricos através da Equação (3.29). Também não há problema
no fato dos termos do campo elétrico da iteração atual Eq terem dependência em
relação aos termos de densidade de corrente de mesma iteração Jq, pois, no método
WLP-FDTD, a densidade de corrente atua como conhecida a priori e, obviamente,
todos os seus termos já são também conhecidos. Como não existem termos anteriores
na primeira iteração, [βq−1] é inexistente e a Equação (3.32) se torna simplesmente
[A] [E0] = [J0]. Uma observação �nal é que a matriz A só precisa ser calculada
uma vez no início do problema, a partir daí ela se mantém a mesma para todas
as iterações. Isto permite a utilização de métodos de aceleração de resolução do
sistema linear, tais quais fatoração LU [11].
33
3.4.2 Modo TEM
O modo transversal eletromagnético tem um desenvolvimento similar ao do modo
transversal elétrico mostrado anteriormente, começamos reapresentando o modo
TEMx polar. y e suas Equações, (3.33) e (3.34).
∂Ey∂t
=1
ε
(∂Hz
∂x− Jy
)(3.33)
∂Hz
∂t=
1
µ
(∂Ey∂x
)(3.34)
Aplicando as Equações (3.15) e (3.16) obtemos as Equações (3.35) e (3.36):
s
∞∑p=0
(0.5Ep
y(x) +
q−1∑k=0
Eky (x)
)φp(t) = −1
ε
∞∑p=0
∂Hpz
∂x(x) φp(t)−
Jy(x, t)
ε(3.35)
s∞∑p=0
(0.5Hp
z (x) +
q−1∑k=0
Hkz (x)
)φp(t) = − 1
µ
∞∑p=0
∂Epy
∂x(x) φp(t) (3.36)
Aplicando o Procedimento de Teste Temporal de Galerkin:
s
(0.5Eq
y(x) +
q−1∑k=0
Eky (x)
)= −1
ε
∂Hqz
∂x(x)−
Jqy (x)
ε(3.37)
s
(0.5Hq
z (x) +
q−1∑k=0
Hkz (x)
)= − 1
µ
∂Eqy
∂x(x) (3.38)
Aplicando a discretização espacial por diferenças centradas e rearranjando termos
�camos com as Equações (3.39) e (3.40):
Eqy |i = −CE
x (Hqz |i −Hq
z |i−1)− 2
sεJqy |i − 2
q−1∑k=0
Eky |i (3.39)
Hqz |i = −CH
x
(Eqy |i+1 − Eq
y |i)− 2
q−1∑k=0
Hkz |i (3.40)
sendo:
CEx = 2
sε∆x.
CHx = 2
sµ∆x.
34
Assim como no caso do modo TE, existe uma relação implícita entre campos
elétricos e magnéticos. Substituindo a Equação (3.40) em (3.39) se torna possível
escrever:
Eqy |i[
1
CEx
+ CHx + CH
x
]+ Eq
y |i−1
[−CH
x
]+ Eq
y |i+1
[−CH
x
]= −∆x Jqy |i −
2
CEx
q−1∑k=0
Eky |i − 2
q−1∑k=0
Hkz |i−1 + 2
q−1∑k=0
Hkz |i,j
(3.41)
Assim como no caso anterior, chega-se a um sistema linear. O sistema para o
modo TEMx polar. y é da forma mostrada na Equação (3.42).
[A]m×m [Eq]m× 1 = [Jq]m× 1 + [βq−1]m× 1 para q = 1, 2... (3.42)
sendo:
m, o número de pontos utilizados para discretizar a geometria.
[A]m×m, a matriz dos coe�cientes que multiplicam os termos de campo elétrico.
[Eq]m× 1 o vetor coluna contendo todos os termos de Laguerre para os campos
elétricos.
[Jq]m× 1 o vetor coluna contendo os termos de Laguerre para todas as correntes.
[βq−1]m× 1 o vetor coluna contendo os somatórios dos termos de campos elétri-
cos e magnéticos de todas as iterações anteriores. Este vetor não existe para
q = 0.
Observe que nesse caso, ao contrário do modo TE, só existe um campo elétrico
a ser determinado para cada ponto da geometria. Com isso, enquanto o sistema
de um problema bidimensional tem tantas linhas quanto o dobro de pontos usados
pra discretizar a geometria, o sistema linear de um problema unidimensional terá
simplesmente tantas linhas quanto pontos usados pra discretizar a geometria. Todas
as observações feitas anteriormente sobre a relação entre iterações e ordens dos
polinômios, além da estrutura do algoritmo, se mantém.
3.4.3 Condições de Fronteira
As condições de fronteira apresentadas na Seção 2.4.1 também podem ser imple-
mentadas no método WLP-FDTD. Estas condições são adicionadas exatamente da
mesma forma tanto para problemas bidimensionais (modos TE e TM) quanto para
unidimensionais (modo TEM).
35
Condição PEC (Perfect Electric Conductor)
A condição do tipo PEC é adicionada de maneira razoavelmente simples modi�cando
o sistema linear (3.32) em dois passos :
� As linhas da matriz [A]2m× 2m correspondentes aos pontos presentes no limite
da geometria devem ter, excetuando-se a diagonal principal, somente elementos
nulos.
� As linhas dos vetores [βq−1]2m× 1 e [Jq]2m× 1 devem ser zeradas.
Condição Absorvente de Mur (ABC)
A condição de Mur de primeira ordem para limites laterais (por exemplo, x = 0 ou
x = L para uma geometria de�nida no intervalo [0, L]) é dada pela Equação (2.51),
apresentada na Seção 2.4.1 [11]. Note que somente a componente do campo elétrico
tangente à fronteira é tratada (no caso, Ey).
Para inserir esta condição no algoritmo do método WLP-FDTD é necessário
escrevê-la em termos das bases de Laguerre e, para isso, as Equações (3.15) e (3.16)
são utilizadas. Substituindo estas em (2.51) obtemos a Equação (3.43):
∂Eqy(x, y)
∂x+s
v
(Eqy(x, y)
2+
q−1∑k=0
Eky (x, y)
)= 0 (3.43)
Aplicando a discretização espacial por diferenças centrais no ponto x = 0 (Equa-
ção (3.44)) e, fazendo alguma manipulação algébrica, obtém-se a condição de Mur de
primeira ordem aplicada ao WLP-FDTD para o ponto x = 0, mostrada na Equação
(3.45):
∂Ey∂x|1+ 1
2,j=
Eqy |2,j−Eq
y |1,j2
(3.44)
Eqy |1,j
[s
4v+
1
∆x
]+ Eq
y |2,j[s
4v− 1
∆x
]= − s
2v
q−1∑k=0
(Eky |2,j + Ek
y |1,j)
(3.45)
Aplicando o mesmo procedimento no outro extremo da geometria (x = L), ob-
temos a relação dada pela Equação (3.46), semelhante à Equação (3.45).
Eqy |L,j
[s
4v+
1
∆x
]+ Eq
y |L−1,j
[s
4v− 1
∆x
]= − s
2v
q−1∑k=0
(Eky |L,j + Ek
y |L−1,j
)(3.46)
As Equações (3.45) e (3.46) podem ser inseridas nas linhas referentes às fron-
36
teiras do sistema linear da Equação (3.32). O sistema linear terá sua matriz A e
seu vetor coluna β modi�cados nas linhas referentes aos extremos da geometria.
O desenvolvimento para fronteiras verticais se dá da mesma forma, apenas se faz
necessária a substituição da coordenada utilizada na derivada espacial da condição
de Mur (x por y), além da utilização da componente tangente de campo elétrico
correspondente.
37
Capítulo 4
Simulações e Resultados
4.1 Metodologia
Este trabalho tem, como dito anteriormente, o objetivo de validar as caracterís-
ticas de estabilidade incondicional e precisão do método WLP-FDTD. Para isso,
foram desenvolvidos algoritmos próprios utilizando linguagem MATLAB para os ca-
sos TEMx polar. y e TEz. Utilizando estes algoritmos, foram realizadas simulações de
dois sistemas físicos, ambos com respostas eletromagnéticas presentes na literatura.
A validação é feita, para o caso TEz, por comparação entre o grá�co obtido pelo
algoritmo próprio e o presente na referência [11].
Para o caso TEMx polar. y, a validação é feita por comparação com o resultado
analítico disponível na referência [1]. Grá�cos baseados na solução analítica foram
gerados para comparação com os grá�cos obtidos pelo algoritmo próprio. Além
disso, o coe�ciente de correção linear RPearson entre as duas respostas é obtido. Este
coe�ciente está limitado entre -1 e 1, inclusive. RPearson = 1 denota correlação
positiva completa entre as grandezas, RPearson = −1 denota correlação negativa
completa e RPearson = 0 denota a completa ausência de correlação [26]. O Anexo B
trata brevemente deste conceito.
4.2 Estrutura do Algoritmo
Tanto o algoritmo unidimensional quanto o bidimensional se baseiam, fundamental-
mente, em quatro loops :
� Loop de de�nição das bases de Laguerre (NL iterações): Neste loop, as equações
3.4 e 3.12 são utilizadas para gerar as bases de Laguerre. Neste mesmo loop já
são obtidos os coe�cientes de Laguerre Jqx e Jqy para a densidade de corrente
escolhida, utilizando a Equação (3.23).
38
� Loop de de�nição da matriz A (2m iterações para casos bidimensionais, m
iterações para casos unidimensionais. Sendo m o número de pontos escolhido
para discretizar a geometria): Durante estas iterações, as equações (3.30) e
(3.31) (para o caso TEz) ou a Equação (3.41) (para o caso TEMx polar. y) são
utilizadas para construir a matriz A do sistema linear apresentado na Equação
(3.32) (para o caso TEz) ou na Equação (3.42) (para o caso TEMx polar. y).
Existem loops internos para tratar os extremos do espaço de simulação e aplicar
as condições de fronteira.
� Loop principal (NL iterações): Neste loop, três processos ocorrem; Primeiro,
o vetor β, dependente do somatório dos termos já descobertos, é atualizado
com os coe�cientes da última iteração, se esta é a primeira iteração, este ve-
tor simplesmente não existe. Em seguida, utilizando o vetor β, os termos
Jqx e Jqy descobertos no primeiro Loop, e a matriz A construída no segundo
Loop, o sistema linear ((3.32) ou (3.42)) é resolvido. Em seguida, utilizando os
coe�cientes Eq e a Equação (3.29) (bidimensional), ou a Equação (3.40) (uni-
dimensional), os coe�cientes Hq são descobertos. Estes termos são utilizados
na próxima iteração, de modo a atualizar o vetor β.
� Loop de retorno ao domínio do tempo (2m iterações para o caso bidimensional,
m iterações para o caso unidimensional): Neste loop �nal, os termos descober-
tos no Loop principal são aplicados na Equação (3.15) para todos os pontos da
geometria, de modo a fazer com que as grandezas físicas retornem ao domínio
do tempo.
A Figura 4.1 mostra um �uxograma com a visão geral do algoritmo implementado
neste trabalho para o algoritmo WLP-FDTD.
39
Loop de definição das bases de
Laguerre
Loop de definição da Matriz A
Loop principal
Loop de retorno ao domínio do tempo
Dados deGeometria e Discretização
Geradorde
Gráficos
Figura 4.1: Fluxograma do Algoritmo Implementado para o Método WLP-FDTD.
4.3 Simulação Bidimensional: Sistema Físico Apre-
sentado por Chung et al.
Para validação do algoritmo próprio para o caso bidimensional, decidiu-se replicar
os resultados apresentados na referência [11]. A con�guração simulada é a mostrada
na Figura 4.2.
40
Camada de Material Condutor
Camada de Material Condutor
Figura 4.2: Simulação bidimensional para validação do método.
Como mostrado na Figura 4.2, uma corrente elétrica �uindo na direção y é es-
tabelecida entre duas películas de material condutor separadas por uma camada de
ar. A componente de campo elétrico na direção y (Ey) é medida exatamente no
centro da geometria, denominada aqui como ponto p1. Esta con�guração exige a
utilização do Modo TEz e dos dois tipos de condição de fronteira apresentados ante-
riormente: condições absorventes (nas extremidades laterais) e condições PEC (nas
extremidades superior e inferior). A geometria tem 1m na direção da coordenada x
e 0.1 m na direção da coordenada y. A discretização foi escolhida de modo a fazer
com que a condição de Courant (Equação (2.57)) fosse desrespeitada. Dessa forma,
decidiu-se por ∆x = 0.01, ∆y = 0.001m e ∆t = 0.0293 ns.
A forma de onda da densidade de corrente utilizada é a mostrada na Figura 4.3
e descrita pela Equação (4.1). Os valores de s e NL foram replicados diretamente
do artigo e são s = 6.07 × 1010 e NL = 150. A corrente elétrica é estabelecida em
x = 0.3m.
41
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10−8
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Forma de onda de Jy(t)
Tempo (segundos)
A/m
2
Figura 4.3: Forma da densidade de corrente elétrica inserida no problema bidimen-sional.
J(t) = e
(−(
t−TcTd
)2)
sin(2πfc(t− Tc)) (4.1)
Sendo fc = 1GHz, Td = 12fc
= 50 ns e Tc = 3Td = 150 ns.
O código do algoritmo próprio escrito em linguagem MATLAB para esta simu-
lação é apresentado no Anexo C.
4.3.1 Resultados
O campo elétrico Ey no ponto p1 da Figura 4.2 foi obtido através de simulação
utilizando o algoritmo desenvolvido para o método WLP-FDTD. A forma obtida é
apresentada na Figura 4.4.
42
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10−8
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Ey(t) no ponto p1
Tempo (segundos)
V/m
b
a
c
d
Figura 4.4: Resultado da simulação bidimensional mostrada na Figura 4.2.
Os pontos a, b, c e d foram tomados como referências visuais para comparação
entre os valores apresentados na Figura 4.4 e os apresentados na referência [11].
A Tabela 4.1 apresenta os valores de tempo e intensidade da componente de
campo elétrico Ey nos pontos a, b, c e d obtidos tanto neste trabalho quanto na
referência. Os valores retirados do artigo são uma estimativa visual e, portanto,
têm uma incerteza associada de 0.1 V/m para o campo elétrico e 0.2 ns para o tempo.
43
Tabela 4.1: Comparação entre os valores obtidos por Chung et al. e os obtidos poralgoritmo próprio, para os pontos a, b, c e d.
Ponto Grandeza Chung et al. Algoritmo Próprio
aEy −0.3± 0.1 V/m −0.28 V/mt 1.5± 0.2 ns 1.5 ns
bEy 1.5± 0.1 V/m 1.53 V/m
t 2.0± 0.2 ns 1.93 ns
cEy −1.5± 0.1 V/m −1.54 V/mt 2.4± 0.2 ns 2.35 ns
dEy 0.3± 0.1 V/m 0.28 V/m
t 2.9± 0.2 ns 2.8 ns
A Figura 4.5, apresentada na próxima página, mostra uma sequência de pontos
de tempo de simulação. Nesta �gura é possível observar a propagação da componente
Ey do campo elétrico causada pela passagem de corrente.
44
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(a) t = 0.878 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(b) t = 1.17 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(c) t = 1.46 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(d) t = 1.75 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(e) t = 2.05 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(f) t = 2.34 ns
Figura 4.5: Resultados para a simulação bidimensional utilizando o método WLP-FDTD.
45
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(g) t = 2.63 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(h) t = 3.22 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(i) t = 3.51 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(j) t = 3.80 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(k) t = 4.10 ns
Eixo x (cm)
Eix
o y
(cm
)
Ey(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
V/m
−3
−2
−1
0
1
2
3
(l) t = 4.39 ns
Figura 4.5: Resultados para a simulação bidimensional utilizando o método WLP-FDTD.
46
Dos resultados apresentados é possível concluir que, primeiro, o método se man-
teve numericamente estável mesmo atuando fora da condição CFL. Além disso,
observando a Tabela 4.1, é possível a�rmar que os resultados apresentados estão
em concordância com os encontrados na referência [11]. Por �m, as condições de
fronteira do tipo Mur de Primeira Ordem implementadas no método WLP-FDTD se
comportaram como o previsto, as ondas eletromagnéticas incidentes nas fronteiras
são absorvidas e retiradas do espaço de simulação sem re�exão perceptível.
4.4 Simulação Unidimensional: Propagação de
Onda Transversal Eletromagnética
Como dito anteriormente na Seção 2.3.1, uma das suposições necessárias para que se
chegue a uma simulação unidimensional é a de que não exista variação da geometria
em relação a dois dos eixos cartesianos. Mais especi�camente, no caso modelado
pelas Equações (2.33) e (2.34), não há variação em relação às coordenadas y e z.
Dentro dessas condições, caso a excitação do sistema físico discretizado seja feita
com densidade de corrente, esta situação equivale à de uma densidade super�cial
de corrente ~K(t) que se estende in�nitamente no plano yz. No caso a ser tratado a
partir de agora utilizaremos o modo TEM polarizado na direção y, o que signi�ca
dizer que esta densidade super�cial estará na direção y, como mostrado na Figura
4.6.
47
Figura 4.6: Estrutura do problema unidimensional.
Esta con�guração dá origem, como mostrado na Figura 4.6, a propagação de
onda eletromagnética, mais especi�camente ao modo de propagação transversal ele-
tromagnético, ou simplesmente onda transversal eletromagnética. A solução ana-
lítica para os valores de campos elétricos e magnéticos causados por tal densidade
super�cial é dada pela Equação (4.2) [1]:
Ey(t) = ∓c µHz(t) = −Ky(t± x
c)
2ε0 c(4.2)
sendo K a densidade super�cial de corrente, dada no SI por Am.
Os termos ± da Equação (4.2) são decididos de acordo com o sentido de propa-
gação da onda. Caso esta esteja se propagando no sentido positivo da direção x, a
Equação (4.2) se torna:
48
Ey(t) = c µHz(t) = −Ky(t− x
c)
2ε0 c(4.3)
Caso a propagação seja no sentido negativo:
Ey(t) = −c µHz(t) = −Ky(t+ x
c)
2ε0 c(4.4)
O desenvolvimento do método WLP-FDTD para o caso TEM polarizado na dire-
ção y já foi demonstrado na Seção 3.4.2. O algoritmo próprio desenvolvido utilizando
este desenvolvimento é aplicado à simulação de uma geometria unidimensional, con-
sistindo de vácuo, com dimensão de 10cm e limitada nos dois extremos por fronteiras
do tipo ABC. Um plano in�nito percorrido por uma densidade super�cial de cor-
rente ~K na direção y é colocado em x = 5 cm. A forma escolhida para a densidade
de corrente super�cial ~K é a descrita pela Equação (4.5) e mostrada na Figura 4.7.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10−7
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Forma de onda de Ky(t)
Tempo (segundos)
A/m
Figura 4.7: Forma de Onda da Densidade Super�cial de Corrente Ky.
49
J = e−(
t−5TkTk
)2
(4.5)
sendo Tk = 10 ns.
O número de bases de Laguerre NL necessário para sintetizar esta forma de onda
foi obtido utilizando a Equação (3.13), e o fator de escala s foi obtido utilizando a
Equação (3.14). Os seguintes resultados foram obtidos: s = 1.13 × 109 e NL =
91. A discretização foi feita da seguinte maneira: ∆t = 0.037 ns e ∆x = 0.01 m.
Discretizações estas que também desrespeitam a condição de Courant, o que pode
ser visto facilmente pela Equação (2.58). Utilizando estes valores, obtemos Sc =
1.11 > 1.0. O código do algoritmo próprio escrito em linguagem MATLAB para
esta simulação é apresentado no Anexo D.
4.4.1 Resultados
O algoritmo para simulação do caso unidimensional foi desenvolvido e seus resultados
comparados com a solução analítica dada pela Equação (4.2). A Figura 4.8 mostra,
em sequência temporal, os valores de campo elétrico Ey ao longo da geometria
previstos pela referência [1] sobrepostos aos valores retornados pelo método WLP-
FDTD.
0 2 4 6 8 10
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(a) t = 30.0 ns
0 2 4 6 8 10
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(b) t = 36.0 ns
Figura 4.8: Sobreposição dos resultados da simulação unidimensional utilizando ométodo WLP-FDTD e dos apresentados por Feynman et al. [1].
50
0 2 4 6 8 10
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(c) t = 42.0 ns
0 2 4 6 8 10
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(d) t = 48.0 ns
0 2 4 6 8 10
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(e) t = 54.0 ns
0 2 4 6 8 10
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(f) t = 60.0 ns
0 2 4 6 8 10
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(g) t = 66.0 ns
0 2 4 6 8 10
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(h) t = 72.0 ns
Figura 4.8: Sobreposição dos resultados da simulação unidimensional utilizando ométodo WLP-FDTD e dos apresentados por Feynman et al. [1].
51
0 2 4 6 8 10
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(i) t = 78.0 ns
0 2 4 6 8 10
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
Distribuição do campo eletrico Ey ao longo da geometria
Ey (
V/m
)
Eixo x (cm)
Feynman et. al
WLP−FDTD
(j) t = 84.0 ns
Figura 4.8: Sobreposição dos resultados da simulação unidimensional utilizando ométodo WLP-FDTD e dos apresentados por Feynman et al.[1].
A Tabela 4.2 mostra, para cada um dos instantes mostrados na Figura 4.8, o
maior valor absoluto de erro (denonimado |erro|max) encontrado dentre todos os
pontos da geometria, o ponto xerromax no qual este erro ocorre, o valor de pico
(em módulo) |Ey pico| do campo elétrico retornado pelo método WLP-FDTD dentre
todos os pontos da geometria e o coe�ciente de correlação linear RPearson entre as
duas respostas.
Tabela 4.2: Comparação entre os valores analíticos e os obtidos pelo método WLP-FDTD para campo elétrico no sistema físico unidimensional.
Instante |erro|max Ponto xerromax |Ey pico| RPearson
t = 30.0 ns 0.025 V/m 10 cm 3.38 V/m 1.000
t = 36.0 ns 0.075 V/m 10 cm 26.36 V/m 1.000
t = 42.0 ns 0.052 V/m 7.24 cm 98.18 V/m 1.000
t = 48.0 ns 0.034 V/m 8.18 cm 180.72 V/m 1.000
t = 54.0 ns 0.103 V/m 0.01 cm 188.45 V/m 1.000
t = 60.0 ns 0.213 V/m 0.01 cm 188.45 V/m 1.000
t = 66.0 ns 0.518 V/m 0.01 cm 188.83 V/m 1.000
t = 72.0 ns 0.949 V/m 0.01 cm 142.76 V/m 1.000
t = 78.0 ns 1.240 V/m 0.01 cm 53.44 V/m 0.9996
t = 84.0 ns 1.358 V/m 0.01 cm 10.71 V/m 0.9782
Como não há crescimento monotônico do erro, pode-se a�rmar que a simulação
não resultou em instabilidade numérica mesmo com discretizações que desrespeitam
52
a condição CFL. É importante observar, no entanto, que há um crescimento do erro
absoluto máximo com o decorrer da simulação exatamente em uma das fronteiras da
simulação e, consequentemente, uma queda no coe�ciente de correlação linear entre
as duas respostas. A hipótese aqui adotada é a de que, embora a fronteira utilizando
condição ABC do tipo Mur de Primeira Ordem tenha funcionado razoavelmente bem
e tenha efetivamente absorvido a onda incidente e a retirado do espaço de simulação,
este erro crescente a partir de t = 54.0 ns em uma das extremidades poderia ser
mitigado com o uso de outras formulações mais recentes para a condição de fronteira
ABC, como por exemplo a formulação PML [8]. Outro ponto a ser observado é que
a discretização feita resulta em uma quantidade par de pontos na geometria, ou
seja, se torna impossível impor a densidade de corrente verdadeiramente no centro
da simulação. Esta é uma explicação possível para o surgimento assimétrico do
erro. Por �m, a conclusão é a de que houve boa concordância entre a simulação e
os resultados analíticos.
53
Capítulo 5
Conclusão e Trabalhos Futuros
5.1 Conclusão
Este trabalho apresentou a formulação teórica que permite a construção de um
método FDTD baseado em Polinômios de Laguerre, tanto para casos bidimensionais
quanto unidimensionais. Utilizando esta formulação, algoritmos foram escritos para
dois casos, um deles unidimensional e o outro bidimensional.
Os resultados obtidos foram comparados com o resultado derivado analiticamente
para o caso unidimensional e com o publicado na literatura para o caso bidimen-
sional. Os resultados se revelaram próximos e, portanto, é possível concluir que o
algoritmo desenvolvido utilizando o método WLP-FDTD de fato apresenta estabi-
lidade incondicional e entrega resultados precisos para simulações eletromagnéticas
mesmo com passos de discretização que não respeitam a condição CFL. Isto faz com
que o método seja uma opção para simulações FDTD que atualmente sejam feitas
com discretização desnecessariamente pequena motivada somente por cuidados com
estabilidade, o que resulta em simulações custosas computacionalmente.
5.2 Trabalhos Futuros
Sendo este um trabalho mais próximo da vertente teórica, existem diversos trabalhos
futuros que podem ser realizados levando-se em conta uma abordagem mais prática:
Pode-se tentar utilizar o método WLP-FDTD em um caso prático de engenharia
elétrica, particularmente problemas de transitórios eletromagnéticos para os quais
existam simetrias. É possível também desenvolver a formulação deste método para
as Equações das Linhas de Transmissão.
Também é possível continuar na vertente teórica e estudar trabalhos mais re-
centes que aperfeiçoam o método WLP-FDTD, expandindo-o para simulações de
longa duração no domínio do tempo e o integrando com a Análise Nodal Modi�-
54
cada [10]. Outra opção é explorar as outras versões incondicionalmente estáveis do
método FDTD. Por �m, também há a possibilidade de se tentar expandir o método
WLP-FDTD para simulações eletrotérmicas.
55
Referências Bibliográ�cas
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sics, v. 2: Mainly Electromagnetics and Matter. Addison-Wesley, 1964.
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Transactions on Electromagnetic Compatibility VOL. EMC 23. NO 4.,
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[26] PRESS, W., TEUKOLSKY, S., VETTERLING, W. Numerical Recipes in C.
Cambridge University Press, 1992.
58
Apêndice A
Critério de Von Neumann para
Estabilidade Numérica
O chamado Critério de Von Neumann consiste em escrever a distribuição espacial
de uma grandeza física qualquer U como Série de Fourier complexa, como mostrado
na Equação (A.1) [18]:
U(x, t) =∞∑
m=−∞
Um(x, t) =∞∑
m=−∞
Cm(t) e−jkmx (A.1)
Sendo j =√−1, km = 2π
λmo número de onda referente ao termo da Série de
Fourier, λm o comprimento de onda referente ao termo da Série de Fourier e Cm(t)
uma função dependente do tempo, também referente ao termo da Série de Fourier.
Um único termo da Série de Fourier é, portanto:
Um(x, t) = Cm(t) ejkmx (A.2)
Para análise de estabilidade, a Equação (A.2) é discretizada, fazendo o termo
m = 1 para simpli�car a notação:
U |ti = C|t ejk i∆x (A.3)
Já que a grandeza foi descrita no espaço como uma Série de Fourier, um deslo-
camento no espaço equivale a uma defasagem nos termos da Série.
U |ti±1 = U |ti e±jk ∆x (A.4)
A análise de estabilidade usando o Critério de Von Neumann consiste basica-
mente nos seguintes passos:
1. Substituir a versão discretizada da componente da Série de Fourier dada pela
59
Equação (A.3) na equação do método numérico a ser analisado.
2. De�nir o chamado fator de ampli�cação q como q =U |t+1
i
U |ti
3. Escrever os termos da forma ejk∆x como senos e cossenos.
4. Analisar o valor assumido pelo fator de ampli�cação q para diferentes valores
de discretização espacial (por exemplo, ∆x) e discretização temporal (∆t)
O método numérico analisado será estável se a aplicação destes passos resultar
em |q|≤ 1 para todo k.
Como exemplo, aplicaremos o critério ao método leapfrog. A equação geral de
um método deste tipo é descrita abaixo:
U |t+1i = U |t−1
i −(v∆t
∆x
)(U |tiejk(i±1)∆x − U |ti−1) (A.5)
Aplicando a Equação (A.4) e a de�nição do fator de ampli�cação q =U |t+1
i
U |ti,
obtemos a Equação (A.6):
U |t+1i =
U |tiq−(v∆t
∆x
)(U |ti e+jk ∆x − U |ti e−jk ∆x) (A.6)
Escrevendo os termos da forma ejk∆x como senos e cossenos e manipulando o
lado direito da Equação (A.6) obtemos a Equação (A.7)
U |t+1i =
(1
q− 2j
(v∆t
∆x
)sin(k∆x)
)U |ti = q U |ti (A.7)
Ou seja:
q =
(1
q− 2j
(v∆t
∆x
)sin(k∆x)
)(A.8)
De�nindo A = v∆t∆xsin(k ∆x), podemos reescrever a Equação (A.10) como:
q = −jA±√
1− A2 (A.9)
Lembrando, a exigência é |q|≤ 1 e portanto:
|q|2= [Re(q)]2 + [Im(q)]2 = 1− A2 + A2 = 1 (A.10)
Ou seja, a condição se traduz em |A|≤ 1, como o termo sin(k ∆x) na de�nição
de A é no máximo 1, a condição de estabilidade para um método do tipo leapfrog
unidimensional se torna:
60
v ∆t
∆x≤ 1 → ∆t ≤ ∆x
v(A.11)
Ou seja, utilizando o Critério de Von Neumann chega-se à condição CFL (Equa-
ção (2.57)).
61
Apêndice B
Correlação Linear
O coe�ciente de correlação linear RPearson (também conhecido como coe�ciente de
correlação de Pearson) é dado, para um par de grandezas (xi, yi) para i = 1, 2 · · ·Npela fórmula:
RPearson =
∑(xi − x)(yi − y)√∑
(xi − x)2√∑
(yi − y)2(B.1)
Sendo x a média de x e y a média de y. [26]
62
Apêndice C
Código Desenvolvido para o Caso
Bidimensional utilizando
WLP-FDTD
1 %vasculhar a malha de pra cima , esquerda pra direita.
2 %Hz na extrema direita esta fora da malha
3 %Hz na extremidade superior tambem esta fora
4 %Ex na extremidade direita esta fora
5 %Ey na extremidade superior esta fora
6 sizet = 400;
7 lim_t = 11.71*(10^ -9); %s
8 t = linspace(0,lim_t ,sizet);
9 p = 151; % numero de polinomios de laguerre a serem
utilizados , p = (( ordem do maior polinomio) -1)
10 deltax = 0.01; %m
11 deltay = 0.001; %m
12 l = 1; %m
13 h = 0.1; %m
14 ptslinha = round(l/deltax);
15 ptscoluna = round(h/deltay);
16 npontos = ptslinha*ptscoluna;
17 s = 6.07*(10^10); %fator de escala temporal
18 mi0 = 4*pi*(10^ -7); %H/m
19 eps0 = 8.854*(10^ -12); % F/m
20 c0 = 2.998*(10^8); % velocidade da luz
21
22 weight = exp(-s*t*0.5);
63
23 Jq = zeros(1,p); %lista dos coeficientes de laguerre
que descrevem a corrente nos pontos de entrada , a
ser completada
24 Jp = sparse(zeros (2*( npontos),p)); %lista dos
coeficientes que descrevem correntes em todos os
pontos da geometria
25
26 %dados do pulso , todos diretamente do Chung
27 fc = 10^9;
28 Td = 1/(2*fc);
29 Tc = 3*Td;
30 Jinput = exp(-((t-Tc)/Td).^2).*sin (2*pi.*fc.*(t-Tc));
31
32 laguerre = zeros(p,sizet); %polinomios de laguerre no
dominio do tempo
33 laguerre (1,:) = 1; %ordem 0
34 laguerre (2,:) = 1-(s*t); % ordem 1
35
36 %determinando os polinomios de ordem maior que 2, no
dominio do tempo
37 %lembrando , tamanho laguerre = (p,sizet)
38 if p>2
39 for q =3:p
40 laguerre(q,:)=(( laguerre(q-1,:) .*((2*(q-1))-1-s*t)) -(q
-2).* laguerre(q-2,:))/(q-1);
41 end
42 end
43
44 %lista das bases de laguerre (polinomios multiplicados
pelo fator weight) no dominio do tempo
45 %lembrando tamanho phiq = (p,sizet)
46 for i=1:p
47 disp( sprintf( 'Obtendo bases de laguerre: %d de %d', i
,p))
48 phiq(i,:) = (weight).* laguerre(i,:);
49
50 % obtendo termo a ser integrado para completar a lista
de coeficientes de laguerre que definem a corrente
51 Jq_pre_integ(i,:) = Jinput .*phiq(i,:);
64
52 end
53 clear weight %limpando a variavel weight pra liberar
memoria
54
55 %integrando os termos obtidos anteriormente ,
verdadeiramente obtendo os coeficientes de laguerre
que definem o sinal de corrente.
56 for i=1:p
57 disp( sprintf( 'Obtendo coeficientes de laguerre para a
corrente: %d de %d', i,p))
58 %lembrando: Jq =(1,p)
59 Jq(1,i) = trapz(s*t,Jq_pre_integ(i,:));
60 end
61
62 clear Jq_pre_integ %limpando o termo pre -integracao ,
ele e inutil e so ocupa memoria
63
64 %ao criar os campos E para um sistema 2D tenho que
decidir qual e a ordem dos campos eletricos , ela
sera a seguinte:
65 %Primeiro: todos os campos Ex, percorrendo a geometria
linha a linha de baixo pra cima
66 %Depois: todos os campos Ey, percorrendo a geometria
linha a linha de baixo pra cima
67 %numeros uteis:
68 %numero de linhas = npontos
69 %todos os Ex = npontos , todos os Ey = npontos , todos os
campos eletricos = 2*( npontos)
70 %todos os Hz = todos os campos magneticos = npontos
71 %como cada campo vai ser a soma de p coeficientes de
laguerre:
72 %matriz E tera dimensoes p x 2*( npontos)
73 %matriz H tera dimensoes p x npontos
74
75 E = sparse(zeros(p,2*( npontos)));
76 H = sparse(zeros(p,( npontos)));
77 %lembrando: definicao de beta na eq 40 do Chung
78 %beta tem o mesmo tamanho da matriz A
79 beta = sparse(zeros (1,2*( npontos)));
65
80
81 %para executar mais de uma vez com as mesmas matrizes e
agilizar o processo
82 disp(' Checando se existe alguma matriz A e de relacoes
aproveitavel ')
83 disp('Se fez alguma mudanca recente em A lembre -se de
limpar as variaveis ')
84 flag_A = 1;
85 if ((exist ('A') & exist ('relat_betasomaH ') & exist('
relat_betasomaE ')) == 0) | (max(size(A)) ~= 2*(
npontos)) %se matrizes A e de relacoes nao existem
ainda ...
86 disp('Matriz A nao detectada ')
87 disp('criando matriz A')
88 A = sparse(zeros (2*( npontos)));
89 % A = (zeros (2*( npontos)));
90 % esses vetores de relacao sao um jeito rapido de
implementar , por exemplo , a equacao 40 do Chung (
dentre outras)
91 disp('criando matrizes de relacao ')
92 relat_betasomaH = sparse(zeros (2*( npontos),npontos));
93 relat_betasomaE = sparse(zeros (2*( npontos)));
94 relat_H_E = sparse(zeros(npontos ,2*( npontos)));
95 flag_A = 0;
96 end
97
98 % a cada iteracao do metodo sera necessario somar todos
os coefs das iteracoes anteriores
99 %como so trato Hz , somaH tem metade de somaE (que
inclui tanto Ex quanto Ey)
100 somaH = sparse(zeros (1,( npontos)));
101 somaE = sparse(zeros (1,2*( npontos)));
102
103 %constantes definidas tambem no Chung
104 CEx= 2/( deltax*eps0*s);
105 CEy = 2/( deltay*eps0*s);
106 CHx = 2/( deltax*mi0*s);
107 CHy = 2/( deltay*mi0*s);
108
66
109 % existem duas componentes , Ex e Ey, cada uma delas
responsavel por metade da matriz A (npontos)
110 % preciso de dois loops , um pra cada metade da matriz
111 % [A]* transpose ([Ex(i,1) Ex(i,2) ...Ex(1,j) Ex(2,j)...
Ey(i,1) Ey (i,2)...Ey(1,j) Ey (2,j)]) = transpose ([
Jx Jy]) + Betaq -1
112 %criarei constantes pra lembrar as distancias (os
shifts) dentro da matriz
113 %sf = same field , ou seja , shift de Ex pra Ex (termos
da eq 39 dependendo de Ex e termos da eq 40
dependendo de Ey)
114 % Ey39 = distancia entre os termos da eq 39 e os termos
Ey
115 % Ex40 = distancia entre os termos da eq 40 e os termos
Ex
116
117 %outra observacao e que a determinacao de J e muito
mais complicada , como estou tentando o caso
apresentado por Chung:
118 %Jx = 0 sempre
119 %e Jy = j(t), em uma faixa que corta a geometria
verticalmente , o que faz com que os valores aparecam
de forma intermitente no vetor Jy.
120 %apareceriam continuamente no vetor Jy se a faixa
cortasse a geometria horizontalmente
121
122 %importante notar que max(size(A))/2 e o ultimo ponto
dos Ex, o primeiro dos Ey e (max(size(A))/2)+1
123
124 sfvizinhox = 1; %exemplo , shift do Ex no ponto (x=1,y
=1) pro Ex no ponto (x=2,y=1)
125 sfvizinhoy = ptslinha; %exemplo , shift do Ex no ponto (
x=1,y=1) pro Ex no ponto (x=1,y=2)
126
127 sfdiagsupesq = sfvizinhoy -sfvizinhox;
128 sfdiagsupdir = sfvizinhoy+sfvizinhox;
129 sfdiaginfesq = -sfvizinhoy -sfvizinhox;
130 sfdiaginfdir = -sfvizinhoy+sfvizinhox;
131
67
132 ptsquadrado = npontos;
133 shift_ExEy = ptsquadrado;
134
135 pontos_geometria = 1: ptsquadrado;
136 pontos_inferiores = 2:ptslinha -1;
137 pontos_superiores = ptsquadrado -ptslinha +2: ptsquadrado
-1; %sem pontas
138 pontos_esquerda = 1+ ptslinha:ptslinha:ptsquadrado -(2*
ptslinha)+1; %sem pontas
139 pontos_direita = 2* ptslinha:ptslinha:ptsquadrado -
ptslinha; %sem pontas
140 pontos_pontas = [1 ptslinha ptsquadrado -ptslinha +1
ptsquadrado ];
141
142 pontos_limite = horzcat(pontos_inferiores ,
pontos_superiores ,
143 pontos_esquerda ,pontos_direita ,pontos_pontas);
144 pontos_interior = setdiff(pontos_geometria ,
pontos_limite);
145
146 %Jy , todos os pontos com corrente estao na segunda
metade do vetor
147 pontos_com_corrente = ptsquadrado+ptslinha +1+(30):
ptslinha:
148 1+2* ptsquadrado -ptslinha -(70);
149
150 disp(sprintf( 'Construindo Jp'))
151 for k = pontos_com_corrente
152 Jp(k,:) = -deltax*Jq;
153 end
154
155 disp( sprintf( 'Construindo matriz A'))
156
157 for i=pontos_interior
158 disp( sprintf('Construindo matriz A: %d de %d',i,
ptsquadrado))
159 %eq 39 do Chung
160 Ey_i = i+shift_ExEy;
161 if flag_A == 1
68
162 disp('Parece que ja existe uma matriz A no workspace , o
programar tentara utiliza -la')
163 break
164 end
165 %Elementos Ex, normal
166 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
167 A(i,i+sfvizinhoy) = -CHy;
168 A(i,i-sfvizinhoy) = -CHy; % ok
169
170 A(i,Ey_i) = -CHx;
171 A(i,Ey_i+sfvizinhox) = CHx;
172 A(i,Ey_i+sfdiaginfdir) = -CHx;
173 A(i,Ey_i -sfvizinhoy) = CHx;
174
175
176 %lembrando: relat_betasomaE e relat_betasomaH tem
ndelinhas = ndelinhas de beta (2* npontos)
177 %relat_betasomaH tem menos colunas (tantas colunas
quanto H tem linhas)
178 relat_betasomaH(i,i-sfvizinhoy) = 2;
179 relat_betasomaH(i,i) = -2;
180 relat_betasomaE(i,i) = -2/CEy;
181
182 %Elementos Ey, normal
183 A(Ey_i ,Ey_i) = (1/CEx)+CHx+CHx;
184 A(Ey_i ,Ey_i -sfvizinhox) = -CHx;
185 A(Ey_i ,Ey_i+sfvizinhox) = -CHx;
186
187 A(Ey_i ,i+sfvizinhoy) = CHy;
188 A(Ey_i ,i+sfdiagsupesq) = -CHy;
189 A(Ey_i ,i) = -CHy;
190 A(Ey_i ,i-sfvizinhox) = CHy;
191
192 %equivalente a equacao 40, Chung (existe um sinal
errado no artigo)
193 relat_betasomaH(Ey_i ,i) = 2;
194 relat_betasomaH(Ey_i ,i-sfvizinhox) = -2;
195 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i) = -2/CEx;
196
69
197 relat_H_E(i,i) = -CHy;
198 relat_H_E(i,i+sfvizinhoy) = CHy;
199 relat_H_E(i,Ey_i) = CHx;
200 relat_H_E(i,Ey_i+sfvizinhox) = -CHx;
201 end
202 for i =pontos_esquerda
203 Ey_i = i+shift_ExEy;
204 if flag_A == 1
205 break
206 end
207 %Elementos Ex, normal
208 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
209 A(i,i+sfvizinhoy) = -CHy;
210 A(i,i-sfvizinhoy) = -CHy;
211
212 A(i,Ey_i) = -CHx;
213 A(i,Ey_i+sfvizinhox) = CHx;
214 A(i,Ey_i+sfdiaginfdir) = -CHx;
215 A(i,Ey_i -sfvizinhoy) = CHx;
216 %lembrando: relat_betasomaE e relat_betasomaH tem
ndelinhas = ndelinhas de beta (2* npontos)
217 %relat_betasomaH tem menos colunas (tantas colunas
quanto H tem linhas)
218 relat_betasomaH(i,i-sfvizinhoy) = 2;
219 relat_betasomaH(i,i) = -2;
220 relat_betasomaE(i,i) = -2/CEy;
221
222 %Ey , %ABC
223 A(Ey_i ,Ey_i) = 0.25*(s/c0)+(1/ deltax);
224 A(Ey_i ,Ey_i+sfvizinhox) = 0.25*(s/c0) -(1/ deltax);
225 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i) = -0.5*(s/c0);
226 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i+sfvizinhox) = -0.5*(s/c0);
227 relat_betasomaH(i,:) = 0;
228
229 %Relacao de H aos campos , normal
230 relat_H_E(i,i) = -CHy;
231 relat_H_E(i,i+sfvizinhoy) = CHy;
232 relat_H_E(i,Ey_i) = CHx;
233 relat_H_E(i,Ey_i+sfvizinhox) = -CHx;
70
234 end
235 for i =1:1 %ponta inferior esquerda
236 Ey_i = i+shift_ExEy;
237 if flag_A == 1
238 break
239 end
240 %Ex , %PEC
241 A(i,:) = 0;
242 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
243 relat_betasomaE(i,:) = 0;
244 relat_betasomaH(i,:) = 0;
245
246 %Ey , %ABC
247 A(Ey_i ,Ey_i) = 0.25*(s/c0)+(1/ deltax);
248 A(Ey_i ,Ey_i+sfvizinhox) = 0.25*(s/c0) -(1/ deltax);
249 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i) = -0.5*(s/c0);
250 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i+sfvizinhox) = -0.5*(s/c0);
251 relat_betasomaH(Ey_i ,:) = 0;
252
253 %Relacao de H aos campos , normal
254 relat_H_E(i,i) = -CHy;
255 relat_H_E(i,i+sfvizinhoy) = CHy;
256 relat_H_E(i,Ey_i) = CHx;
257 relat_H_E(i,Ey_i+sfvizinhox) = -CHx;
258 end
259 for i =pontos_inferiores
260 Ey_i = i+shift_ExEy;
261 if flag_A == 1
262 break
263 end
264 %Ex , %PEC
265 A(i,:) = 0;
266 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
267 relat_betasomaE(i,:) = 0;
268 relat_betasomaH(i,:) = 0;
269
270 %Elementos Ey, normal
271 A(Ey_i ,Ey_i) = (1/CEx)+CHx+CHx;
272 A(Ey_i ,Ey_i -sfvizinhox) = -CHx;
71
273 A(Ey_i ,Ey_i+sfvizinhox) = -CHx;
274
275 A(Ey_i ,i+sfvizinhoy) = CHy;
276 A(Ey_i ,i+sfdiagsupesq) = -CHy;
277 A(Ey_i ,i) = -CHy;
278 A(Ey_i ,i-sfvizinhox) = CHy;
279
280 %equivalente a equacao 40, Chung (existe um sinal
errado no artigo)
281 relat_betasomaH(Ey_i ,i) = 2;
282 relat_betasomaH(Ey_i ,i-sfvizinhox) = -2;
283 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i) = -2/CEx;
284
285 %Relacao entre H e os campos E
286 relat_H_E(i,i) = -CHy;
287 relat_H_E(i,i+sfvizinhoy) = CHy;
288 relat_H_E(i,Ey_i) = CHx;
289 relat_H_E(i,Ey_i+sfvizinhox) = -CHx;
290
291 %J
292 Jp(i,:) = 0;
293 Jp(Ey_i ,:) = 0;
294 end
295 for i =ptslinha:ptslinha %ponta inferior direita
296 Ey_i = i+shift_ExEy;
297 if flag_A == 1
298 break
299 end
300 %Ex , %Nao existe Ex aqui
301 A(:,i) = 0;
302 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
303 relat_betasomaE(i,i) = 0;
304 relat_betasomaE(i,i+sfvizinhoy) = 0;
305 relat_betasomaH(i,:) = 0;
306
307 %Ey , %ABC
308 A(Ey_i ,Ey_i) = 0.25*(s/c0)+(1/ deltax);
309 A(Ey_i ,Ey_i -sfvizinhox) = 0.25*(s/c0) -(1/ deltax);
310 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i) = -0.5*(s/c0);
72
311 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i -sfvizinhox) = -0.5*(s/c0);
312 relat_betasomaH(Ey_i ,:) = 0;
313
314 %Relacao de H aos campos , nao existe Hz
315 relat_H_E(i,:) = 0;
316 end
317 for i =pontos_direita
318 Ey_i = i+shift_ExEy;
319 if flag_A == 1
320 break
321 end
322 % Ex, nao existe
323 A(:,i) = 0;
324 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
325 relat_betasomaE(i,:) = 0;
326 % relat_betasomaE(i,i) = 0;
327 % relat_betasomaE(i,i+sfvizinhoy) = 0;
328
329 %Ey , ABC
330 A(Ey_i ,Ey_i) = 0.25*(s/c0)+(1/ deltax);
331 A(Ey_i ,Ey_i -sfvizinhox) = 0.25*(s/c0) -(1/ deltax);
332 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i) = -0.5*(s/c0);
333 relat_betasomaE(Ey_i ,Ey_i -sfvizinhox) = -0.5*(s/c0);
334 relat_betasomaH(Ey_i ,:) = 0;
335
336 %Relacao de H aos campos
337 relat_H_E(i,:) = 0;
338 relat_H_E(i,i) = 0; %nao existe Ex nem Hz
339 relat_H_E(i,i+sfvizinhoy) = 0;
340 relat_H_E(i,Ey_i+sfvizinhox) = 0;
341 relat_H_E(i,Ey_i) = 0;
342 end
343 for i =ptsquadrado:ptsquadrado %ponta superior direita
344 Ey_i = i+shift_ExEy;
345 if flag_A == 1
346 break
347 end
348 %Ex Nao existe
349 A(:,i) = 0;
73
350 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
351 relat_betasomaE(i,:) = 0;
352 relat_betasomaH(i,:) = 0;
353
354 %Ey Nao existe
355 A(:,Ey_i) = 0;
356 A(Ey_i ,Ey_i) = (1/CEx)+CHx+CHx;
357 relat_betasomaE(Ey_i ,:) = 0;
358 relat_betasomaH(Ey_i ,:) = 0;
359
360 %Relacao de H aos campos , H nao existe
361 relat_H_E(i,:) = 0;
362 end
363 for i =pontos_superiores
364 Ey_i = i+shift_ExEy;
365 if flag_A == 1
366 break
367 end
368 %Ex , %PEC
369 A(i,:) = 0;
370 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
371 relat_betasomaE(i,:) = 0;
372 relat_betasomaH(i,:) = 0;
373
374 %Ey Nao existe
375 A(:,Ey_i) = 0;
376 A(Ey_i ,Ey_i) = (1/CEx)+CHx+CHx;
377 relat_betasomaE(Ey_i ,:) = 0;
378 relat_betasomaH(Ey_i ,:) = 0;
379
380 %Relacao de H aos campos , H nao existe
381 relat_H_E(i,:) = 0;
382
383 %J
384 Jp(i,:) = 0;
385 Jp(Ey_i ,:) = 0;
386 end
387 for i =ptsquadrado -ptslinha +1: ptsquadrado -ptslinha +1 %
ponta superior esquerda
74
388 Ey_i = i+shift_ExEy;
389 if flag_A == 1
390 break
391 end
392 % %Ex, %PEC
393 A(i,:) = 0;
394 A(i,i) = (1/CEy)+CHy+CHy;
395 relat_betasomaE(i,:) = 0;
396 relat_betasomaH(i,:) = 0;
397
398 %Ey Nao existe
399 A(:,Ey_i) = 0;
400 A(Ey_i ,Ey_i) = (1/CEx)+CHx+CHx;
401 relat_betasomaE(Ey_i ,:) = 0;
402 relat_betasomaH(Ey_i ,:) = 0;
403
404 %Relacao de H aos campos , H nao existe
405 relat_H_E(i,:) = 0;
406 end
407 for j = 1:p
408 disp( sprintf('Loop principal: %d de %d', j,p))
409 j;
410 % j = 1, ordem = 0, j = 2, ordem = 1...
411 if j==1
412 %lembrando H =(p,2*( npontos))
413 %logo , sum(H) = (1,( npontos))
414 %lembrando beta = (1,2*( npontos))
415 rightside = Jp(:,j)
416 end
417 if j > 1
418 %lembrando H =(p,npontos)
419 %logo , sum(H) = (1,npontos)
420 %lembrando beta = (1,npontos)
421 somaH = sum(H(1:j,:));
422 somaE = sum(E(1:j,:));
423
424 beta (1,:) = transpose(relat_betasomaH*transpose(somaH)
+ relat_betasomaE*transpose(somaE));
425 rightside = Jp(:,j)+transpose(beta);
75
426 end
427 E(j,:) = transpose(mldivide(A,rightside));
428 H(j,:) = transpose(relat_H_E*transpose(E(j,:)) - 2*(
transpose(somaH)));
429 end
430
431 % Descobertos os coeficientes , voltando pro tempo
432 Exrecuperado = zeros(sizet ,( npontos));
433 Eyrecuperado = zeros(sizet ,( npontos));
434 Hzrecuperado = zeros(sizet ,( npontos));
435 disp(sprintf('Voltando pro dominio do tempo ...Ex'))
436 for pos = 1:( npontos)
437 for laguerre = 1:p
438 Exrecuperado (:,pos) = Exrecuperado (:,pos) + E(laguerre ,
pos)*transpose(phiq(laguerre ,:));
439 Hzrecuperado (:,pos) = Hzrecuperado (:,pos) + H(laguerre ,
pos)*transpose(phiq(laguerre ,:));
440 end
441 end
442
443 disp(sprintf('Voltando pro dominio do tempo ...Ey'))
444 for pos = (( npontos)+1:2*( npontos))
445 for laguerre = 1:p
446 Eyrecuperado (:,pos -( npontos)) = Eyrecuperado (:,pos -(
npontos)) + E(laguerre ,pos)*transpose(phiq(laguerre
,:));
447 end
448 end
76
Apêndice D
Código Desenvolvido para o Caso
Unidimensional utilizando
WLP-FDTD
1 sizet = 8100;
2 lim_t = 30e-8;
3 t = linspace(0,lim_t ,sizet);
4 p = 91;
5 deltat = t(2)-t(1)
6 deltax = 0.01;
7 l = 10;
8 npontos = (l/deltax);
9 s = 1.1333e+09;
10
11 mi0 = 4*pi*(10^ -7); %H/m
12 eps0 = 8.854187817*(10^ -12); % F/
13 c0 = 2.998*(10^8); % velocidade da luz
14
15 weight = exp(-s*t*0.5);
16 Jq = zeros(1,p); %lista dos coeficientes de laguerre que
descrevem a corrente no ponto de entrada
17 Jp = zeros(1,npontos);
18
19 Tk = 1e-8;
20 Jinput = exp(-((t-5*Tk)/Tk).^2);
21 pt_entrada = npontos /2;
22
77
23 Eanalitico = zeros(sizet ,npontos);
24 Hanalitico = zeros(sizet ,npontos);
25 for i = 1: npontos /2
26 x = i*deltax;
27 tdeslocado = t+((x-( deltax*npontos /2))/c0);
28 Eanalitico (:,i) = -exp(-(( tdeslocado -5*Tk)/Tk)
.^2) /(2*c0*eps0);
29 end
30 for i = 1+ npontos /2: npontos
31 x = i*deltax;
32 tdeslocado = t-((x-( deltax*npontos /2))/c0);
33 Eanalitico (:,i) = -exp(-(( tdeslocado -5*Tk)/Tk)
.^2) /(2*c0*eps0);
34 end
35
36 laguerre = zeros(p,sizet); %polinomios de laguerre no
dominio do tempo
37 laguerre (1,:) = 1; %ordem 0
38 laguerre (2,:) = 1-(s*t); % ordem 1
39
40 %lembrando , tamanho laguerre = (p,sizet)
41 %determinando os polinomios de ordem maior que 2, no
dominio do tempo
42 if p>2
43 for q =3:p
44 laguerre(q,:)=(( laguerre(q-1,:) .*((2*(q
-1))-1-s*t)) -(q-2).* laguerre(q-2,:))/(
q-1);
45 end
46 end
47
48 %lista das bases de laguerre no dominio do tempo
49 %lembrando tamanho phiq = (p,sizet)
50 for i=1:p
51 disp( sprintf( 'Obtendo bases de laguerre: %d de
%d', i,p))
52 phiq(i,:) = (weight).* laguerre(i,:);
53 Jq_pre_integ(i,:) = Jinput .*phiq(i,:);
54 end
78
55 clear weight
56
57 for i=1:p
58 disp( sprintf( 'Obtendo coeficientes de laguerre
para a corrente: %d de %d', i,p))
59 %lembrando Jq =(1,p)
60 Jq(1,i) = trapz(s*t,Jq_pre_integ(i,:));
61 end
62
63 clear Jq_pre_integ;
64
65 A = sparse(zeros(npontos));
66 E =zeros(p,npontos);
67 H = zeros(p,npontos);
68 beta = zeros(1,npontos);
69 somaH = zeros(1,npontos);
70 somaE = zeros(1,npontos);
71
72 % os vetores de relacao sao um jeito rapido de
implementar , por exemplo , equacoes da forma 40 do
Chung
73 relat_betasomaH = zeros(npontos);
74 relat_betasomaE = zeros(npontos);
75 relat_H_E = zeros(npontos);
76
77 CE= 2/( deltax*eps0*s);
78 CH= 2/( deltax*mi0*s);
79
80 for i=2: npontos -1
81 %equivalente a equacao 39, Chung. modificada pra
TEMx
82 A(i,i) = ((1/CE)+2*CH);
83 A(i,i-1) = -CH;
84 A(i,i+1) = -CH;
85 %equivalente a equacao 40, Chung , modifcada pra
TEMx
86 relat_betasomaH(i,i) = 2;
87 relat_betasomaH(i,i-1) = -2;
88 relat_betasomaE(i,i) = -2/CE;
79
89
90 %equivalente a equacao 34, Chung. Modificada pra
TEMx
91 relat_H_E(i,i) = CH;
92 relat_H_E(i,i+1) = -CH;
93 end
94 relat_betasomaH = sparse(relat_betasomaH);
95 relat_betasomaE = sparse(relat_betasomaE);
96
97 %adicionando fronteiras ABC nas duas extremidades
98 A(1,1) = 0.25*(s/c0)+(1/ deltax);
99 A(1,2) = 0.25*(s/c0) -(1/ deltax);
100
101 A(end ,end -1) = 0.25*(s/c0) -(1/ deltax);
102 A(end ,end) = 0.25*(s/c0)+(1/ deltax);
103
104 relat_H_E (1,1) = CH;
105 relat_H_E (1,2) = -CH;
106
107 relat_betasomaH (1,1) = 2;
108 relat_betasomaH(end ,end) = 2;
109
110 relat_betasomaE (1,1) = -0.5*(s/c0);
111 relat_betasomaE (1,2) = -0.5*(s/c0);
112 relat_betasomaE(end ,end) = -0.5*(s/c0);
113 relat_betasomaE(end ,end -1) = -0.5*(s/c0);
114
115 %lembrando Jq = (1,p)
116 %%%%%%%% Loop Principal
117 for j = 1:p
118 j;
119 disp( sprintf('Loop principal: %d de %d', j,p))
120 % j = 1, ordem = 0, j = 2, ordem = 1...
121 if j==1
122 %lembrando H =(p,npontos)
123 %logo , sum(H) = (1,npontos)
124 %lembrando beta = (1,npontos)
125 somaH = H(1,:);
126 somaE = E(1,:);
80
127 Jp(1,npontos) = 0; %PEC ou ABC , as duas
tem essa caracteristica relativa a Jp
128 Jp(1,1) = 0; %PEC ou ABC
129 Jp(1, pt_entrada) = -Jq(1,j);
130 rightside = transpose(Jp);
131 end
132 if j > 1
133 %lembrando H =(p,npontos)
134 %logo , sum(H) = (1,npontos)
135 %lembrando beta = (1,npontos)
136 somaH = sum(H(1:j,:));
137 somaE = sum(E(1:j,:));
138 beta (1,:) = relat_betasomaH*transpose(
somaH) + relat_betasomaE*transpose(
somaE);
139 Jp(1,npontos) = 0; %PEC
140 Jp(1,1) = 0; %PEC
141 Jp(1, pt_entrada) = -Jq(1,j);
142 rightside = transpose(Jp+beta);
143 end
144 E(j,:) = mldivide(A,rightside);
145 H(j,:) = relat_H_E*transpose(E(j,:)) - 2*(
transpose(somaH));
146 end
147
148 Erecuperado = zeros(sizet ,npontos);
149 Hrecuperado = zeros(sizet ,npontos);
150 for pos = 1: npontos
151 for laguerre = 1:p
152 Erecuperado (:,pos) = Erecuperado (:,pos) + E(
laguerre ,pos)*transpose(phiq(laguerre ,:));
153 Hrecuperado (:,pos) = Hrecuperado (:,pos) + H(
laguerre ,pos)*transpose(phiq(laguerre ,:));
154 end
155 end
81