aplicaÇÃo do mÉtodo fdtd na anÁlise de uma antena de microfita - gelson leandro kaul

1

FACULDADE ASSIS GURGACZ

GELSON LEANDRO KAUL

APLICAÇÃO DO MÉTODO FDTD NA ANÁLISE DE UMA ANTENA DE MICROFITA OPERANDO EM ALTA FREQUÊNCIA

CASCAVEL 2005

2

GELSON LEANDRO KAUL


Trabalho apresentado como requisito para obtenção do título de bacharel em Engenharia de Telecomunicações da Faculdade Assis Gurgacz. Orientador: Prof. Álvaro Juliano Vicente

CASCAVEL

2005

3

GELSON LEANDRO KAUL


Trabalho apresentado à Banca Avaliadora como requisito para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia de Telecomunicações da Faculdade Assis Gurgacz.

BANCA AVALIADORA

_________________________

Prof. Álvaro Juliano Vicente, Msc.

__________________________

Profª. Tânia Lúcia Monteiro, Msc.

__________________________

Prof. Yuri Ferruzzi, Msc.

4

Dedico esta obra aos meus pais Egon Kaul e Lurdes Schone Kaul.

5

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Álvaro Juliano Vicente por seus ensinamentos e orientações.

Ao coordenador do curso de Engenharia em Telecomunicações Prof. Stênio

Rocha Silva por seus ensinamentos e palavras de incentivo.

A todos os alunos dos cursos de Engenharia de Telecomunicações e Engenharia

de Automação e Controle que me apoiaram e forneceram valiosas informações ao

longo dessa jornada. Em especial, aos amigos: Elder Schroder, Júlio Cezar Pereira

Alves, Ronze Fernando Rios de Moura e Odilon de Araújo Brito Neto.

A minha família, pelo amor, apoio e palavras de incentivo dedicados durante

esse período tão conturbado.

Aos professores e funcionários da Faculdade Assis Gurgacz.

6

Não creia no que seus olhos dizem. Tudo o que mostram é limitação. Olhe com o entendimento, descubra o que você já sabe e verá como voar...

Richard Bach em

Fernão Capelo Gaivota

7

RESUMO

A larga utilização de altas freqüências em circuitos eletrônicos, em especial os utilizados em sistemas de telecomunicações, torna necessária uma análise apurada dos parâmetros dos componentes das estruturas eletromagnéticas envolvidas nesses sistemas, a fim de adequar e aperfeiçoar esses circuitos para que apresentem as qualidades desejadas nas funções para os quais foram concebidos. O método FDTD (Diferenças Finitas no Domínio do Tempo) é uma das técnicas mais utilizadas para esse tipo de análise e sua compreensão e a sua aplicação na simulação de uma antena de microfita retangular operando em alta freqüência constitui-se no objeto desta pesquisa.

Palavras chave: antena, microfita, análise.

8

ABSTRACT

The wide use of high frequency in eletronic circutis, in special the used ones in telecommunications systems, it becomes necessary a refined analysis the parameters of components involved electromagnetic structures in these systems, in order to adjust and to perfect these circuits so that they present the desired qualities in the functions for which they had been conceived. Method FDTD ( Finite-Difference Time-Domain) is one of the most used techniques for this type of analysis and its understanding and its application in the simulation of an microstrip rectangular antenna operating in high frequency consists in the object of this research.

Keywords: microstrip, antenna, analysis.

9

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1.0: Cubo de Yee – Posicionamento das componentes de campo

elétrico e magnético em uma célula (�x, �y, �z).......................................24

Figura 1.1: Posicionamento de Ez e Hy no tempo e espaço para uma grade

FDTD unidimensional.................................................................................25

Figura 2.0: Esquema de uma antena de microfita retangular......................................26

Figura 2.1: Diagrama das dimensões de uma antena de microfita retangular.............28

Figura 2.2: Antena de microfita retangular real............................................................29

Figura 3.0: Propagação na polarização TEz em uma antena tipo corneta..................30

Figura 3.1: Pulso Gaussiano refletido pelos limites do domínio computacional

delimitado por um material condutor perfeito.............................................31

Figura 3.2: Pulso Gaussiano absorvido pelos limites do domínio computacional

delimitado pelas condições de contorno absorventes de Berenger

(PML)..........................................................................................................32

Figura 4.0: Antena de microfita do kit de antenas do laboratório de microondas

da Faculdade Assis Gurgacz.....................................................................33

Figura 4.1: Dimensões da área de irradiação da antena e da espessura do

substrato dielétrico.....................................................................................34

Figura 4.2: Resultado da exclusão das linhas de código que implementavam a

estrutura da antena corneta.......................................................................35

10

Figura 4.3: Onda eletromagnética sendo bloqueada pela obstrução do material

condutor elétrico perfeito............................................................................36

Figura 4.4: Simulação da propagação de uma onda eletromagnética para a

polarização TEz de uma antena de microfita retangular............................37

11

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

EDP – Equações Diferenciais Parciais

FDTD – Finite-Difference Time-Domain

MATLAB – Software para tratamento Matemático

PML – Perfectly Matched Layer

PEC – Perfectly Electric Conducting

PTFE – Politetrafluoretileno

TEz – Transverso Elétrico

TMz – Transverso Magnético

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO………………………………………………………………….................14

1.0 FDTD………………………………………………...................................................15

1.1 FDTD (DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO)..........................15

1.2 HISTÓRICO PARCIAL DA EVOLUÇÃO DA TÉCNICA FDTD …………........16

1.3 EQUAÇÔES DE MAXWELL………………………………................................18

1.4 O MÉTODO FDTD DE KANE YEE………………………………………….......23

2.0 ANTENAS DE MICROFITA.................................................................................26

2.1 CARACTERÍSTICAS......................................................................................26

2.2 APLICAÇÕES.................................................................................................27

2.3 DETALHES DA ANTENA DE MICROFITA RETANGULAR...........................27

3.0 A IMPLEMENTAÇÃO DA TÉCNICA FDTD NO MATLAB.................................30

3.1 OS ALGORITMOS DE REFERÊNCIA............................................................30

4.0 ALGORITMO PARA A ANTENA DE MICROFITA.............................................33

4.1 A ANTENA DE REFERÊNCIA........................................................................33

4.2 A ADAPTAÇÃO DO ALGORITMO.................................................................34

4.3 CONSIDERAÇÕES........................................................................................36

CONCLUSÕES………………………………………………………………...................38

REFERÊNCIAS………………………………………...................................................39

13

ANEXOS……………………………………………………………………......................40

ANEXO A – Algoritmo de Referência 1..........................................................41

ANEXO B – Algoritmo de Referência 2..........................................................47

ANEXO C – Algoritmo de Referência 3..........................................................50

ANEXO D – Algoritmo Adaptado....................................................................55

ANEXO E – Imagens da Antena de Referência..............................................59

14

INTRODUÇÃO O método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD) é um dos

métodos numéricos mais populares para a solução de problemas que envolvam

transitórios eletromagnéticos. Desde a sua formulação ele continua a expandir-se em

áreas de atuação à medida que o custo do processamento numérico inerente ao

método decresce pelo avanço dos recursos computacionais. [1]

A simulação da propagação de uma onda eletromagnética e sua apresentação

gráfica permite a visualização de seus elementos abstratos, sendo assim, uma

ferramenta interessante para aplicações didáticas.

O capítulo inicial deste trabalho trata das características gerais da técnica FDTD

apresentando um histórico parcial, das principais contribuições de diversos autores, na

melhoria do método e uma breve explanação sobre as equações de Maxwell para uma

melhor compreensão do método FDTD que se apresenta na seqüência.

O segundo capítulo traz as características e aplicações das antenas de microfita,

detalhando especialmente a antena de microfita retangular, que servirá como referência

as exposições dos capítulos subseqüentes, onde serão tratados algoritmos que

implementam a técnica FDTD aplicada em duas dimensões na simulação de alguns

modelos de antenas, que serão adaptados com o objetivo de apresentar a simulação da

propagação de uma onda eletromagnética sendo irradiada de uma antena de microfita

retangular.

15

1.0 FDTD

1.1 FDTD (DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO)

O FDTD foi inicialmente proposto por Kane Yee em 1966. O método permite o

estudo da onda em todo seu espectro de freqüência e em estruturas complexas, sendo

baseado em diferenças centradas, permitindo a exatidão classificada de segunda

ordem tanto no tempo como no espaço. [1]

O método FDTD consiste em uma técnica de solução direta para as equações de

Maxwell no formato diferencial e no domínio do tempo. Ele baseia-se na amostragem

volumétrica de um campo elétrico E e magnético H desconhecidos em uma região de

interesse em determinado período de tempo.

A amostragem do espaço é feita de maneira que o período de amostragem seja

menor do que o comprimento de onda do sinal, normalmente 10 a 20 amostras por

comprimento de onda são necessárias para garantir a estabilidade numérica do

algoritmo.

Apesar de sua simplicidade, na época em que foi proposto, não haviam recursos

computacionais para a simulação de problemas complexos e isso atrasou os estudos

do método. Porém no atual nível de desenvolvimento computacional o FDTD passou a

ser empregado na solução de diversos problemas. [2]

O avanço computacional permitiu que a técnica fosse estendida para a solução

de problemas mais complexos. Além disso, pelo fato do FDTD ser um método que

utiliza um algoritmo baseado em equações diferenciais parciais (EDP), ele não requer

uma abordagem através da função de Green (para inverter o operador diferencial) e

16

assim também podem ser estudados meios e geometrias arbitrários, (inclusive

dispersivos e não lineares). [1]

Em simulações onde a região modelada estende-se ao infinito, utilizam-se

condições de contorno para limitar o domínio computacional.

As condições de contorno mais utilizadas são planos condutores (elétricos ou

magnéticos) perfeitos, em função do grau de simetria do problema, ou em situações

mais comuns o PML proposto por Berenger. Com isto pode-se limitar o domínio

computacional e diminuir reflexões indesejadas.

1.2 HISTÓRICO PARCIAL DA EVOLUÇÃO DA TÉCNICA FDTD

Enumeram-se abaixo em ordem cronológica algumas das principais

contribuições para o desenvolvimento da técnica, transcritas do livro de Taflove. [1]

1966 Yee descreve a base da técnica numérica FDTD para resolver equações

de Maxwell na forma pontual diretamente no domínio do tempo em uma

grade espacial.

1975 Taflove e Brodwin obtêm o critério de estabilidade numérica para o

algoritmo de Yee e a primeira solução para FDTD de ondas

eletromagnéticas senoidais bi e tridimensionais, em regime permanente,

interagindo com a estrutura de materiais.

17

1977 Holland, Kunz e Lee aplicam o algoritmo de Yee para resolver problemas

envolvendo pulsos eletromagnéticos.

1980 Taflove publica a primeira validação de modelos em FDTD de ondas

eletromagnéticas senoidais em regime permanente penetrando dentro de

uma cavidade metálica tridimensional

1981 Mur publica o primeiro trabalho para condições de contorno absorventes

(segunda ordem de exatidão) para a grade de Yee.

1983 Taflove e Umashankar desenvolvem o primeiro modelo em FDTD para o

espalhamento de ondas eletromagnéticas senoidais em regime

permanente para campos próximos, distantes e seções de radar em

estruturas bi e tridimensionais.

1988 Kriegsman e Moore publicam os primeiros artigos aplicando a teoria da

condição de contorno absorvente, proposta por Mur.

1988 Sullivam publicou o primeiro modelo tridimensional em FDTD de absorção

completa de uma onda senoidal em regime permanente pelo corpo

humano.

1991 Kashiwa e Fukai, Luebbers e Joseph introduziram a modelagem em FDTD

de permissividade eletromagnética dependente da freqüência.

18

1991 Maloney, Katz, Tirkas e Balanis introduziram a modelagem de antenas por

FDTD.

1994 Berenger elaborou a condição de contorno absorvente PML (Perfectly

Matched Layer) para a grade FDTD em duas dimensões, sendo essa

estendida para três dimensões por Katz.

1.3 EQUAÇÕES DE MAXWELL

Para a implementação do método FDTD é necessária uma breve explanação

sobre as equações de Maxwell.

James Clerk Maxwell (1831-1879), físico britânico que explicou as propriedades

do eletromagnetismo e publicou um conjunto de quatro equações diferenciais nas quais

descreve a natureza dos campos eletromagnéticos em termos de espaço e tempo. [5]

Lei de Gauss para o Campo Elétrico:

eD ρ=∇�

. (1.1)

Lei de Gauss para o Campo Magnético:

mB ρ=∇�

. (1.2)

Lei de Faraday:

MEtB ��

−×−∇=∂∂

(1.3)

Lei de Ampére:

19

JHtD ��

−×∇=∂∂

(1.4)

Sendo:

eρ - densidade volumétrica de carga elétrica (C/m3);

mρ - densidade volumétrica de carga magnética equivalente (Wb/m3);

D�

- vetor densidade de fluxo elétrico (C/m2);

B�

- vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m2);

H�

- vetor campo magnético (A/m);

E�

- vetor campo elétrico (V/m);

M�

- vetor densidade de corrente magnética equivalente (V/m2);

J� - vetor densidade de corrente elétrica (A/m2);

Os parâmetros ( mρ ) e ( M�

) foram incluídos nas equações para introduzir a

dualidade necessária ao tratamento das condições de contorno absorventes

responsáveis pela limitação do domínio computacional. [1]

Considerando M�

e J�

nas equações para que atuem como fontes geradoras da

energia associada ao campo eletromagnético. Assim levando em conta a presença de

materiais com perdas elétricas e magnéticas isotrópicas e não dispersivas na região de

interesse, tem-se as relações:

EJJ fonte��

σ+= (1.5)

HMM fonte��

*σ+= (1.6)

Sendo:

σ - condutividade elétrica (S/m);

20

*σ - condutividade magnética equivalente (�/m);

fonteJ�

- vetor densidade de corrente elétrica da fonte (A/m2)

fonteM�

- vetor densidade de corrente magnética da fonte (V/m2)

fonteJ�

e fonteM�

são vetores conhecidos no tempo e no espaço relacionados as

fontes que geram o campo eletromagnético e µ , ε , σ e *σ são funções conhecidas

no espaço. Para um meio linear, isotrópico e não dispersivo, as relações entre o fluxo

elétrico (magnético) e o campo elétrico (magnético) podem ser descritas através das

relações constitutivas: [1]

EED r��

0εεε == (1.7)

HHB r��

0µµµ == (1.8)

Sendo:

ε - permissividade elétrica (F/m);

µ - permeabilidade magnética (H/m);

rε - permissividade elétrica relativa;

rµ - permeabilidade magnética relativa;

0ε - permissividade elétrica no vácuo (F/m);

0µ - permeabilidade magnética no vácuo (H/m);

Aplicando J� [equação (1.5)], M

�[equação (1.6)] e as equações (1.7) e (1.8) nas

equações (1.3) e (1.4) obtemos as relações abaixo: [1]

)*(11

HMEt

Hfonte

��

σµµ

+−×∇−=∂

∂ (1.9)

)(11

EJHtE

fonte��

�

σεε

+−×∇=∂∂

(1.10)

21

Representando em coordenadas cartesianas tem-se:

��

��

�+−

∂∂−

∂∂

=∂

∂)*(

1HxMx

yEz

zEy

tHx

fonte σµ

(1.11)

��

��

� +−∂

∂−∂

∂=∂

∂)*(

1HyMy

zEx

xEz

tHy

fonte σµ

(1.12)

��

��

�+−

∂∂

−∂

∂=∂

∂)*(

1HzMz

xEy

yEx

tHz

fonte σµ

(1.13)

��

��

�+−

∂∂

−∂

∂=∂

∂)(

1ExJx

zHy

yHz

tEx

fonte σε

(1.14)

��

��

� +−∂

∂−∂

∂=∂

∂)(

1EyJy

xHz

zHx

tEy

fonte σε

(1.15)

��

��

�+−

∂∂−

∂∂

=∂

∂)(

1EzJz

yHx

xHy

tEz

fonte σε

(1.16)

O conjunto de equações diferenciais parciais acopladas (1.11) a (1.16) são base

para o algoritmo da técnica FDTD em três dimensões. As leis de Gauss (1.1) e (1.2)

estão implícitas no posicionamento dos campos elétricos e magnéticos na grade FDTD

e na derivação espacial numérica sobre as componentes dos campos que modelam a

ação do operador divergente. [1]

22

Considerando uma geometria bidimensional as equações apresentadas em

coordenadas cartesianas podem ser simplificadas utilizando as representações

Transverso Magnético (TMz, ou seja Hz=0) e Transverso Elétrico (TEz, ou seja, Ez=0)

em um meio linear e isotrópico. [1]

Para ondas TEz, sendo definida a invariância espacial em relação a coordenada

z, tem-se:

0=== EzHyHx

��

��

�+−

∂∂

−∂

∂=∂

∂)*(

1HzMz

xEy

yEx

tHz

fonte σµ

(1.17)

��

��

�+−

∂∂=

∂∂

)(1

ExJxy

Hzt

Exfonte σ

ε (1.18)

��

��

� +−∂

∂−=∂

∂)(

1EyJy

xHz

tEy

fonte σε

(1.19)

Para ondas TMz:

0=== HzEyEx

��

��

�+−

∂∂−

∂∂

=∂

∂)(

1EzJz

yHx

xHy

tEz

fonte σε

(1.20)

23

��

��

�+−

∂∂−=

∂∂

)*(1

HxMxy

Ezt

Hxfonte σ

µ (1.21)

��

��

� +−∂

∂=∂

∂)*(

1HyMy

xEz

tHy

fonte σµ

(1.22)

Os modos TEz e TMz são maneiras diferentes de propagação bidimensional com

derivada parcial nula na direção z e sem componentes de vetor de campo semelhantes.

Essas diferenças podem fazer com que fenômenos físicos associados a esses casos

sejam muito diferentes devido a orientação dos campos em relação a região que está

sendo modelada. Um problema bidimensional pode ser analisado pela combinação das

soluções TEz e TMz. [1]

1.4 O MÉTODO FDTD DE KANE YEE

Através do método proposto por Kane Yee em 1966 para implementar

numericamente as equações de Maxwell na forma diferencial e no domínio do tempo,

foi possível a resolução de vários problemas, facilitando a compreensão física do que

ocorre na propagação das ondas eletromagnéticas.

Kane Yee posicionou o campo elétrico e magnético de forma que sempre

houvesse em um dado plano, quatro componentes de um dos campos (elétrico ou

magnético) circulando ao redor de uma componente perpendicular do outro campo. Isto

24

acaba por impor a natureza solenoidal do campo eletromagnético imposta pelas

equações de Gauss, em regiões onde não há acúmulo de carga. [1]

Para possibilitar a análise tridimensional, Kane Yee usou um cubo. Posicionando

as componentes do campo elétrico na metade das arestas do cubo e as do campo

magnético no centro das faces do mesmo cubo. Mais tarde esse arranjo receberia o

nome de Cubo de Yee que é apresentado na Figura 1.0.

Figura 1.0 – Cubo de Yee – Posicionamento das componentes de campo elétrico e magnético em uma

célula (�x, �y, �z).

Com vários cubos de Yee pode-se formar uma grade para posicionar o campo

elétrico ( E�

) defasado no espaço e no tempo em relação ao campo magnético ( H�

), para

obter equações que a partir de campos previamente conhecidos (no tempo), permitem

o cálculo dos campos “atuais”. [1]

25

Todas as componentes do campo elétrico são calculadas e armazenadas para

um determinado instante de tempo em todo o domínio de interesse utilizando valores do

campo magnético previamente armazenados, o mesmo ocorre para o campo elétrico.

A Figura 1.2 exemplifica através de um gráfico, ilustrando o procedimento para

um caso unidimensional.

Figura 1.1: Posicionamento de Ez e Hy no tempo e espaço para uma grade FDTD unidimensional.

26

2.0 ANTENAS DE MICROFITA

2.1 CARACTERÍSTICAS

As antenas de microfita surgiram na metade do século 20, porém começaram a

ganhar atenção apenas na década de 70. [2]

As antenas de microfita são dispositivos que consistem, em sua forma mais

simples, de um patch metálico situado acima de um plano de terra, separado por um

material dielétrico. Esta estrutura apresenta algumas propriedades que resultam em

algumas vantagens e desvantagens em sua utilização, quando comparadas com

antenas convencionais. Dentre as vantagens, pode-se citar: peso reduzido, facilidade

de montagem no corpo de um veículo, não exigência de alteração da aerodinâmica dos

dispositivos onde é montada e o baixo custo. [6]

As principais desvantagens são: pequena largura de faixa, perda elevada,

radiação em apenas meio plano. O elemento irradiante da antena de microfita pode ser

quadrado, retangular, em forma de fita (dipolo), circular, elíptico e triangular entre

outros. A Figura 2.0 exemplifica a estrutura de uma antena de microfita retangular.

Figura 2.0 – Esquema de uma antena de microfita retangular.

27

2.2 APLICAÇÕES

As aplicações mais importantes são em antenas dos sistemas de tele-detecção

(sistemas de radar a bordo de satélites), sistemas de posicionamento global, na

comunicação pessoal em antenas de celulares, área médica em aplicadores de calor

para tratamentos de hipertermia, altímetros de aviões, aplicações militares e em geral

todos os sistemas que utilizem freqüências de microondas.

2.3 DETALHES DA ANTENA DE MICROFITA RETANGULAR

As antenas de microfita, como a ilustrada na Figura 2.0 consistem de uma

superfície metálica bem fina (t << �0, onde �0 é o comprimento de onda no espaço livre

na freqüência de operação e t a espessura da antena metálica) assentada sobre um

substrato dielétrico de pequena espessura (h << �0, geralmente 0,003 �0 � h � 0,5 �0)

sobre um plano de terra. [4]

O diagrama apresentado na Figura 2.1 apresenta algumas dimensões de uma

antena que se relacionam com o comprimento de onda na freqüência de operação.

28

Figura 2.1 – Diagrama das dimensões de uma antena de microfita retangular.

Em uma antena de microfita retangular, como a apresentada no diagrama da

Figura 2.1 a dimensão L está, geralmente, na faixa entre �0/3 < L < �0/2. O substrato

dielétrico que separa a antena do plano de terra possui constante dielétrica, rε , com

valores situados na faixa entre 2,2� rε �12. Os substratos utilizados quando se deseja

um bom desempenho como antena, são mais espessos e possuem constantes

dielétricas situadas próximas ao limite inferior da faixa, assim eles fornecem uma

melhor eficiência e maior largura de banda. [4]

Um material comumente utilizado como substrato dielétrico em antenas de

microfita é o PTFE (politetrafluoretileno), material semelhante ao teflon.

Substratos menos espessos com constantes dielétricas maiores dentro da faixa

de permissividade elétrica relativa são desejáveis para circuitos em microondas, pois

29

irão gerar menos campos nas bordas e menos efeitos de acoplamento, possuindo

dimensões bem pequenas. [4]

Existem diversas maneiras para efetuar a alimentação de uma antena de

microfita a mais comum é a alimentação via cabo coaxial onde o condutor interno é

ligado a antena e o externo fica acoplado ao plano de terra. A Figura 2.2 apresenta a

imagem de uma antena de microfita real onde se podem identificar seus diversos

componentes.

Figura 2.2 – Antena de microfita retangular real.

30

3.0 A IMPLEMENTAÇÃO DA TÉCNICA FDTD NO MATLAB

3.1 OS ALGORITMOS DE REFERÊNCIA

Para a implementação do algoritmo da técnica FDTD para a análise da antena

de microfita no ambiente de simulação do software MATLAB, fez-se necessário o

estudo de algoritmos pré-existentes, disponíveis na bibliografia de referência. Em

destaque o algoritmo disponível no livro de Constantine A. Balanis cuja autoria é de

William V. Andrew, que implementa a grade FDTD em duas dimensões para a

simulação de uma antena do tipo corneta na polarização TEz.

O domínio computacional foi delimitado utilizando-se as condições de contorno

absorventes (PML) desenvolvidas por Berenger para eliminar as reflexões dos limites

da grade FDTD. Esse algoritmo pode ser verificado na integra no Anexo A deste

trabalho.

A Figura 3.0 ilustra alguns gráficos obtidos através da compilação desse

algoritmo.

Figura 3.0 – Propagação na polarização TEz em uma antena tipo corneta.

31

Outro algoritmo analisado, também de autoria de William V. Andrew pode ser

verificado no Anexo B, trata-se de uma simulação da propagação de um pulso

Gaussiano em duas dimensões na polarização TMz, confinado no ambiente em que os

limites são condutores elétricos perfeitos.

A Figura 3.1 ilustra alguns gráficos obtidos através da compilação desse

algoritmo, onde percebesse claramente a reflexão produzida nos limites do domínio

computacional pelo material condutor perfeito (PEC).

Figura 3.1 – Pulso Gaussiano refletido pelos limites do domínio computacional delimitado por um material

condutor perfeito.

32

O algoritmo verificado no Anexo C é a adaptação do algoritmo do Anexo B de

maneira que os limites do domínio computacional absorvam o pulso gaussiano sem

refleti-lo, isso é possível utilizando-se as condições de contorno absorventes (PML) de

Berenger. Uma seqüência dos gráficos obtidos com a compilação deste algoritmo está

ilustrada na Figura 3.2, onde se pode visualizar a absorção do pulso gaussiano nos

limites do domínio computacional.

Figura 3.2 – Pulso Gaussiano absorvido pelos limites do domínio computacional delimitado pelas

condições de contorno absorventes de Berenger (PML).

33

4.0 ALGORITMO PARA A ANTENA DE MICROFITA

4.1 A ANTENA DE REFERÊNCIA

Com base nos algoritmos disponíveis, iniciou-se a adaptação dos mesmos para

produzir a simulação da operação de uma antena de microfita retangular. A antena

utilizada como referência nesta adaptação encontra-se ilustrada na Figura 4.0 e trata-se

de um modelo disponível no kit de antenas do laboratório de microondas da Faculdade

Assis Gurgacz.

Figura 4.0 – Antena de microfita do kit de antenas do laboratório de microondas da Faculdade Assis

Gurgacz.

Outras imagens que permitem uma visualização mais detalhada da antena de

microfita em referência estão disponíveis no Anexo E.

34

Algumas das dimensões relevantes desta antena podem ser verificadas na

Figura 4.1.

Figura 4.1 – Dimensões da área de irradiação da antena e da espessura do substrato dielétrico.

4.2 A ADAPTAÇÃO DO ALGORITMO

O algoritmo escolhido para a adaptação foi o da antena tipo corneta,

apresentado no Anexo A, para isso, manteve-se o domínio computacional na

polarização TEz delimitado pelas condições de contorno absorventes (PML), alterando

apenas as características da antena inserida neste domínio.

Inicialmente foram eliminadas do algoritmo as linhas de código que

determinavam à estrutura da antena corneta. A compilação deste novo algoritmo

forneceu as imagens ilustradas na Figura 4.2 onde se pode verificar através da

35

comparação com a Figura 3.0 que a estrutura de corneta não mais confina a onda

eletromagnética produzida no plano de excitação e esta se propaga livremente pelo

espaço computacional sendo absorvida pela região limítrofe (PML) de Berenger.

Figura 4.2 – Resultado da exclusão das linhas de código que implementavam a estrutura da antena

corneta.

Em um segundo estágio da adaptação deste algoritmo, a localização do plano de

excitação foi alterada para uma posição mais central no domínio computacional a fim de

36

melhorar sua visualização, também foi inserido um plano de obstrução com material

condutor elétrico perfeito (PEC) para simular a estrutura do plano de terra característico

das antenas de microfita. O resultado dessas alterações pode ser verificado na

ilustração apresentada na Figura 4.3.

Figura 4.3 – Onda eletromagnética sendo bloqueada pela obstrução do material condutor elétrico

perfeito.

4.3 CONSIDERAÇÕES

O algoritmo que produziu as imagens vistas na Figura 4.3 encontra-se no Anexo

D. Neste algoritmo foram consideradas apenas as características gerais de uma antena

37

de microfita, o plano de irradiação e o plano de terra, sendo considerado o substrato

dielétrico entre eles como espaço livre. As dimensões da antena são relativas,

relacionadas com as unidades do espaço computacional, não constituindo assim uma

simulação real da antena utilizada como referência. Apesar disto, pode-se verificar na

Figura 4.4 diversos aspectos da propagação de uma onda eletromagnética sendo

irradiada a partir de uma antena com características similares a antena de referência,

como por exemplo, a moderada diretividade deste tipo de dispositivo.

Figura 4.4 – Simulação da propagação de uma onda eletromagnética para a polarização TEz de uma

antena de microfita retangular.

As características da antena de microfita apresentadas nesta simulação são

compatíveis com as encontradas na bibliografia de referência. [2]

38

CONCLUSÕES

O método FDTD de Kane Yee é uma ferramenta poderosa para a solução de

problemas envolvendo ondas eletromagnéticas e sua aplicação se faz possível com os

recursos computacionais atuais.

Neste trabalho apresentaram-se as principais características da técnica FDTD e

como ela trata as equações de Maxwell, posicionando as componentes dos campos

elétrico e magnético num espaço tridimensional utilizando-se de um cubo.

Também foram apresentadas as características de uma antena de microfita e as

relações entre a estrutura física de uma antena de microfita retangular e o comprimento

de onda da freqüência de operação da mesma.

Foram analisados alguns algoritmos que implementam a técnica FDTD na

simulação de antenas, com o objetivo de colher referências para a elaboração de um

algoritmo que tratasse uma antena de microfita retangular.

Os resultados obtidos através da adaptação do algoritmo de referência se

mostraram coerentes em comparação com resultados presentes na literatura, embora

não tenham sido tratadas as dimensões reais da antena.

O campo de estudo relativo ao método FDTD e sua aplicação na análise de

estruturas eletromagnéticas inclue problemas complexos onde se podem estudar meios

e geometrias arbitrárias, (inclusive dispersivos e não lineares) que pelos métodos

tradicionais de resolução seriam impraticáveis. Como sugestão para trabalhos futuros

pode-se efetuar estudos envolvendo antenas de microfita com configurações diferentes,

análise do diagrama de irradiação em três dimensões e utilização do método aliado a

técnicas de processamento paralelo para a análise de grandes estruturas que exijam

um processamento numérico mais elevado.

39

REFERÊNCIAS

[4] Balanis C. A. Antenna Theory Analysis and Design, second edition. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1997. [1] Belém, A. N. Caracterização Bidimensional de Canais de Rádio Através de Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, Dissertação de Mestrado – Universidade Federal de Minas Gerais – 2001 [5]Citação de referência e documentos eletrônicos. Disponível em < http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica9/biografias/maxwell.htm Acesso em: 23 out. 2005. [6] MARTINS, R. N. L; OLIVEIRA J. R. S. Analise de Estruturas Planares sobre Substratos Dielétricos Isotrópicos e Anisotrópicos. Anais da III Semana de Iniciação Científica – PIC, 2001. / Unileste Minas Gerais -2001. [2] Naegele, M. Análise de Antenas de Microfita Através do Método FDTD Utilizando Malha Tetraédrica, Dissertação de Mestrado – Universidade Federal do Paraná – 2004 [3] Oliveira, C. H. Inclusão de impedâncias experimentais discretas em simulações numéricas pelo método FDTD. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal do Paraná – 2004.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

Mattew, N. O. S. Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, BOOKMAN, 2004. RIOS, L. G. ; PERRI, E. D. Engenharia de Antenas, 2ª Edição, Editora Edgard Blücher Ltda, 2002.

40

ANEXOS

41

ANEXO A – Algoritmo de Referência 1 �� !�! "#��$#" %�&#��'((�� )*��'��(&&��+,-��.,/0�1,//�23)4560�7+0��-)/57,)8��).�9�-067)39/�$ ��%��03.067/:��/0673,6��)84567,8;��$��%�+)38�9870889�0<6,704�=:�9�-,85-),49/�*)/79;0��,8�9��>�6)?25797,)89/�4)?9,8��+0�6)?25797,)89/��4)?9,8�,-�735869704�1,7+�9��0308;03��03.067/:��976+04��9:03�$��%�9=-)3=,8;�=)58493:�6)84,7,)8�1+)-0�4027+��,8�/9:03-�,-�-07�=:�7+0�*93,9=/0� ��+0��,-��,873)45604�7)�0/,?,8970�30./067,)8-�.3)?�7+0�;3,4��7358697,)8�984�7)�-,?5/970�98�)57;),8;�739*0/,8;��19*0�23)29;97,8;�,8�98�58=)58404�?04,5?��+0��.,/0��1,//�9/-)�630970�9�?)*,0�1+,6+�,-�!"�.39?0-�/)8;�=:��79@,8;�9�2,67530�).�7+0�6)?25797,)89/�4)?9,8�0*03:��'34�7,?0�-702��)�0<06570�7+,-��.,/0��7:20�AA70B+)38CC�97�7+0��23)?27��+0�.,/0�1,//�-9*0�096+�.39?0�).��7+0�?)*,0�984�7+08�13,70�7+0�087,30�?)*,0�7)�9�.,/0��89?04�AA70B+)38�?97CC��)�2/9:�7+0�?)*,0�97�98:�7,?0�9.703�,7�+9-�=008��6309704�984�-9*04�7)�.,/0�AA70B+)38�?97CC�D5-7��0<06570�7+0�.)//)1,8;��6)??984-��/)94�70B+)38�?97��?)*,0$��8�.2-%��1+030�8�,-�7+0�85?=03�).�7,?0-�7)�2/9:�7+0�?)*,0��984�.2-�,-�7+0�85?=03�).�.39?0-�203�-06)84��+,-��.,/0�1,//�8)7�1)3@�1,7+�7+0��754087�04,7,)8��).��450�7)�7+0�30-73,67,)8-�)8�9339:�-,>0��+030.)30��7+,-��.,/0�1,//�1)3@�)8/:�1,7+�7+0��3).0--,)89/�04,7,)8�).��+0�?)*,0�1+,6+��7+,-�.,/0�630970-�,-�9223)<,?970/:�("�#��=:70-�,8��-,>0��+030.)30��7+0�9*9,/9=/0��?0?)3:�)3�7+0��-192�-2960�)8�1+970*03�)20397,8;�-:-70?�?5-7�=0��/93;0�08)5;+�7)�966)??)4970�9�.,/0�7+,-�/93;0��+0�+)38�,-�?)40/04�=:�-077,8;�7+0�8060--93:��524970�0E597,)8�6)0..,6,087-�7)�30230-087��?9703,9/�$-,;?9F,8.,8,7:%��+0�60//�-,>0�).�7+0�-2960�,-��4<�F�"�"" ��?0703-��+0�7,?0�-702�,-��47�F�G� '0�( �-06)84-��+0�.30E5086:�).�0<6,797,)8�,-��.30E�F�&��G � ��>��+0�19*0/08;7+�,-��/9?=49�F�( �4<�F�"�"'"��?0703-��+0�./930�-067,)8�).�7+0�+)38�,-�-79,369-04��-��?)40/04��7+0�+)38�/))@-�/,@0��

42

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43

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44

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ANEXO B – Algoritmo de Referência 2 �� Q�� $��%�� !�! "#��$#" %�&#��'((�� )*��'��(&&��+,-��.,/0�1,//�23)4560�7+0��-)/57,)8�).�9�>�4,306704��/,80�-)5360�,8�9�71)�4,?08-,)89/��>�6)?25797,)89/�4)?9,8�0<6,704��=:�9�7,?0�403,*97,*0��95--,98�25/-0��+0�6)?25797,)89/�4)?9,8�,-��735869704�1,7+�9��?9703,9/��+0�19//-�).�7+0��6:/,8403��,873)4560�30./067,)8-�1+,6+�,8703.030�1,7+�7+0�)57;),8;�19*0-�7)��630970�-7984,8;�19*0-��+0��.,/0�1,//�9/-)�23)4560�9�?)*,0�1+,6+��,-�!"�.39?0-�/)8;�=:�79@,8;�9�2,67530�).�7+0�6)?25797,)89/�4)?9,8��0*03:�'34�7,?0�-702��)�0<06570�7+0��.,/0��7:20�AA7?B=)<CC�97�7+0��23)?27��+0�.,/0�1,//�-9*0�096+�.39?0�).�7+0�?)*,0��302/9:�7+0�?)*,0��7,?0-�97�!�.39?0-�203�-06)84�984�7+08�13,70�7+0�087,30�?)*,0��7)�9�.,/0�89?04�AA7?B=)<�?97CC��)�2/9:�7+0�?)*,0�97�98:�7,?0�9.703�,7�+9-�=008�6309704�984��-9*04�7)�7+0�.,/0�AA7?B=)<�?97CC�D5-7�0<06570�7+0�.)//)1,8;��6)??984-��/)94�7?B=)<�?97��?)*,0$��8�.2-%��1+030�8�,-�7+0�85?=03�).�7,?0-�7)�2/9:�7+0�?)*,0�984��.2-�,-�7+0�85?=03�).�.39?0-�203�-06)84��+,-��.,/0�1,//�8)7�1)3@�1,7+�7+0��754087�04,7,)8�).��450�7)�7+0�30-73,67,)8-�)8�9339:�-,>0��+030.)30��7+,-��.,/0��1,//�1)3@�)8/:�1,7+�7+0��3).0--,)89/�04,7,)8�).��+0��?)*,0�1+,6+�7+,-�.,/0�630970-�,-�9223)<,?970/:�("�#��=:70-�,8�-,>0��+030.)30��7+0�9*9,/9=/0��?0?)3:�)3�7+0�-192�-2960�)8�1+970*03��)20397,8;�-:-70?�?5-7�=0�/93;0�08)5;+�7)�966)??)4970�9�.,/0��7+,-�/93;0��6/093��8,7,9/,>0�-)?0�6)8-7987-��8?9<F ("N�� 5?=03�).�7,?0�-702-��,0F�"N��,=F,0H(N��,6F,0K H(N��D0F�"N��D=FD0H(N�

48

��D6FD0K H(N��2,FG�"�9798$(�"%N��?5)FG�"�2,�(�"0�!N��03?09=,/,7:�).�.300�-2960��02-)F��G0�( N��03?,77,*,7:�).�.300�-2960��6)F(�"K-E37$?5)�02-)%N��2004�).�/,;+7�,8�.300�-2960��9,?2F-E37$?5)K02-)%N��9*0�,?2049860�,8�.300�-2960��4<F"�""'N��60//�-,>0��47F4<K6)K �"N��,?0�-702�-,>0��8,7,9/,>0�9//�).�7+0�?973,60-�.)3�7+0�.,0/4�6)?2)8087-��Q��Q��Q��Q��Q��Q��984��.)3�,F(�,=N��.)3�DF(�D=N�� 0>$,�D%F"�"N�� 690>$,�D%F(�"N��300�-2960�� 6=0>$,�D%F47K02-)K4<N��300�-2960��084N��084N��.)3�,F(�,=N��.)3�DF(�D0N�� +<$,�D%F"�"N�� 49+<$,�D%F(�"N��300�-2960�� 4=+<$,�D%F47K?5)K4<N��300�-2960��084N��084N��.)3�,F(�,0N��.)3�DF(�D=N�� +:$,�D%F"�"N�� 49+:$,�D%F(�"N��300�-2960�� 4=+:$,�D%F47K?5)K4<N��300�-2960��084N��084N�� .)3�8F(�8?9<N��07�52�7,?0�403,*97,*0��95--,98�25/-0�0<6,797,)8�*)/79;0��=�F� ��"N��45?�F�G�"K=K47�$8�47�=�47%N��*)/79;0�F� �"�45?�0<2$�$45?P %%N��0>$ �,0� �D0%F690>$ �,0� �D0%��0>$ �,0� �D0%H6=0>$ �,0� �D0%��$+:$ �,0� �D0%�+:$(�,0�(� �D0%H+<$ �,0�(�D0�(%�+<$ �,0� �D0%%N��934��)5360�0<6,797,)8��0>$,6�D6%F*)/79;0K4<N�

49

��Q��+<$(�,=�(�D0%F49+<$(�,=�(�D0%��+<$(�,=�(�D0%H��4=+<$(�,=�(�D0%��$0>$(�,=�(�D0%�0>$(�,=� �D=%%N��+:$(�,0�(�D=%F49+:$(�,0�(�D=%��+:$(�,0�(�D=%H��4=+:$(�,0�(�D=%��$0>$ �,=�(�D=%�0>$(�,0�(�D=%%N��30970�7+0�?)*,0�.39?0�=:�.39?0��9@0�9�.39?0�0*03:�'34�7,?0�-702��,.�30?$8�'%FF"N��-F,87 -73$8%N��8 F8K'N��6/.N��26)/)3$0>%N��9<,-$R"��"�"��"S%N��69<,-$R��"��"S%N��-+94,8;�,87032N��,.�8FF'N�� F?)*,0,8$'!%N��084N��7 FRC��>��95--,98��03,*97,*0��5/-0��,?0�-702�OC�-SN��7,7/0$7 %N��+)/4N��$��8 %F;07.39?0N��084N��84�7,?0�-702�/))2��084N��9*0�7+0�?)*,0�7)�.,/0�AA7?B=)<�?97CC��-9*0�7?B=)<��N��02/9:�7+0�?)*,0��7,?0-�97�!�.39?0-�203�-06)84��?)*,0$��!%�

��

50

ANEXO C – Algoritmo de Referência 3

�� Q�� !�! "#��$#" %�&#��'((�� )*��'��(&&��+,-��.,/0�1,//�23)4560�7+0��-)/57,)8�).�9�>�4,306704��/,80�-)5360�,8�9�71)�4,?08-,)89/��>�6)?25797,)89/�4)?9,8�0<6,704��=:�9�7,?0�403,*97,*0��95--,98�25/-0��+0�6)?25797,)89/�4)?9,8��,-�735869704�1,7+�9��0308;03��03.067/:��976+04��9:03�$��%��9=-)3=,8;�=)58493:�6)84,7,)8�1+)-0�4027+�,8�/9:03-�,-�-07�=:�7+0��*93,9=/0� ��+0��,-�,873)45604�7)�0/,?,8970�30./067,)8-��.3)?�7+0�;3,4�7358697,)8�984�7)�-,?5/970�98�)57;),8;�739*0/,8;��19*0�23)29;97,8;�,8�98�58=)58404�?04,5?��+0��.,/0�1,//�9/-)��630970�9�?)*,0�1+,6+�,-�'!�.39?0-�/)8;�=:�79@,8;�9�2,67530�).��7+0�6)?25797,)89/�4)?9,8�0*03:�'34�7,?0�-702��)�0<06570�7+0��.,/0��7:20�AA7?B)208CC�97�7+0��23)?27��+0�.,/0�1,//�-9*0�096+�.39?0�).�7+0�?)*,0��302/9:�7+0�?)*,0��7,?0-�97�!�.39?0-�203�-06)84�984�7+08�13,70�7+0�087,30�?)*,0��7)�9�.,/0�89?04�AA7?B)208�?97CC��)�2/9:�7+0�?)*,0�97�98:�7,?0�9.703�,7�+9-�=008�6309704�984��-9*04�7)�7+0�.,/0�AA7?B)208�?97CC�D5-7�0<06570�7+0�.)//)1,8;��6)??984-��/)94�7?B)208�?97��?)*,0$��8�.2-%��1+030�8�,-�7+0�85?=03�).�7,?0-�7)�2/9:�7+0�?)*,0�984��.2-�,-�7+0�85?=03�).�.39?0-�203�-06)84��+,-��.,/0�1,//�8)7�1)3@�1,7+�7+0��754087�04,7,)8�).��450�7)�7+0�30-73,67,)8-�)8�9339:�-,>0��+030.)30��7+,-��.,/0��1,//�1)3@�)8/:�1,7+�7+0��3).0--,)89/�04,7,)8�).��+0��?)*,0�1+,6+�7+,-�.,/0�630970-�,-�9223)<,?970/:��#��=:70-�,8�-,>0��+030.)30��7+0�9*9,/9=/0��?0?)3:�)3�7+0�-192�-2960�)8�1+970*03��)20397,8;�-:-70?�?5-7�=0�/93;0�08)5;+�7)�966)??)4970�9�.,/0��7+,-�/93;0��6/093��8,7,9/,>0�-)?0�6)8-7987-��82?/-F#N��027+�).��30;,)8�,8�O�).�60//-��8?9<F ""N�� 5?=03�).�7,?0�-702-��,0F(""N��,=F,0H(N�

51

��,6F,0K H(N��,2F,0�82?/-N��D0F(""N��D=FD0H(N��D6FD0K H(N��D2FD0�82?/-N��2,FG�"�9798$(�"%N��?5)FG�"�2,�(�"0�!N��03?09=,/,7:�).�.300�-2960��02-)F��G0�( N��03?,77,*,7:�).�.300�-2960��6)F(�"K-E37$?5)�02-)%N��2004�).�/,;+7�,8�.300�-2960��9,?2F-E37$?5)K02-)%N��9*0�,?2049860�,8�.300�-2960��.30EF&��G � 0H"&N��/9?=49F6)K.30EN��4<F"�""'N��60//�-,>0��47F4<K6)K �"N��,?0�-702�-,>0��07�52�7+0��0308;03��?9703,9/�6)8-7987-��-,;?9<F�'�"�02-)�6)�/);$(0��%K$ �"�4<�82?/-%N��3+)?9<F-,;?9<�$9,?2P %N��.)3�?F(�82?/-N��-,;$?%F-,;?9<�$$?�"��%K$82?/-H"��%%P N��3+)$?%F3+)?9<�$?K$82?/-H"��%%P N��084N��07�52�6)8-7987-�800404�,8�7+0��0E597,)8-�.)3�7+0��0308;03��-�$0<2)8087,9/�4,..030860�0<230--,)8-%��.)3�?F(�82?/-N��30F-,;$?%�47K02-)N��3?F3+)$?%�47K?5)N��69$?%F0<2$�30%N��6=$?%F�$0<2$�30%�(�"%K-,;$?%K4<N��49$?%F0<2$�3?%N��4=$?%F�$0<2$�3?%�(�"%K3+)$?%K4<N��084N��8,7,9/,>0�9//�).�7+0�?973,60-�.)3�7+0�.,0/4�6)?2)8087-��Q��Q��Q��Q��Q��Q��984��.)3�,F(�,=N��.)3�DF(�D=N�� 0>$,�D%F"�"N�� 0><$,�D%F"�"N�� 690><$,�D%F(�"N��300�-2960�� 6=0><$,�D%F47K02-)K4<N��300�-2960�� 0>:$,�D%F"�"N�� 690>:$,�D%F(�"N��300�-2960�� 6=0>:$,�D%F47K02-)K4<N��300�-2960��084N��084N��.)3�,F(�,=N��.)3�DF(�D0N�� +<$,�D%F"�"N�� 49+<$,�D%F(�"N��300�-2960�

52

� 4=+<$,�D%F47K?5)K4<N��300�-2960��084N��084N��.)3�,F(�,0N��.)3�DF(�D=N�� +:$,�D%F"�"N�� 49+:$,�D%F(�"N��300�-2960�� 4=+:$,�D%F47K?5)K4<N��300�-2960��084N��084N��8,7,9/,>0�9//�).�7+0�?973,60-�.)3�7+0��0308;03��9=-)3=,8;��=)58493,0-��MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM��>��,0/4-�LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL��0.7�984�,;+7��0;,)8-��.)3�,F �,0N��.)3�DF �82?/-H(N�� ?F82?/-H �DN�� 690>:$,�D%F69$?%N�� 6=0>:$,�D%F6=$?%N��084N��.)3�DFD2H(�D0N�� ?FD�D2N�� 690>:$,�D%F69$?%N�� 6=0>:$,�D%F6=$?%N��084N��084N��96@�984��3)87��0;,)8-��.)3�DF �D0N��.)3�,F �82?/-H(N�� ?F82?/-H �,N�� 690><$,�D%F69$?%N�� 6=0><$,�D%F6=$?%N��084N��.)3�,F,2H(�,0N�� ?F,�,2N�� 690><$,�D%F69$?%N�� 6=0><$,�D%F6=$?%N��084N��084N��MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM��<��,0/4-�LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL��0.7�984�,;+7��0;,)8-��.)3�,F �,0N��.)3�DF(�82?/-N�� ?F82?/-H(�DN�� 49+<$,�D%F49$?%N�� 4=+<$,�D%F4=$?%N��084N��.)3�DFD2H(�D0N�� ?FD�D2N�� 49+<$,�D%F49$?%N�� 4=+<$,�D%F4=$?%N��084N��084N�

53

��MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM��:��,0/4-�LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL��3)87�984��96@��0;,)8-��.)3�DF �D0N��.)3�,F(�82?/-N�� ?F82?/-H(�,N�� 49+:$,�D%F49$?%N�� 4=+:$,�D%F4=$?%N��084N��.)3�,F,2H(�,0N�� ?F,�,2N�� 49+:$,�D%F49$?%N�� 4=+:$,�D%F4=$?%N��084N��084N��70-70��.)3�DFD6�("�D6H�N��49+:$,6�!�D%F�(�"N��49+:$,6�!�D%F�"�"N��084N�� .)3�8F(�8?9<N��07�52�7,?0�403,*97,*0��95--,98�25/-0�0<6,797,)8�*)/79;0��=�F� ��"N��45?�F�G�"K=K47�$8�47�=�47%N��*)/79;0�F� �"�45?�0<2$�$45?P %%N��0><$ �,0� �D0%F690><$ �,0� �D0%��0><$ �,0� �D0%H�� 6=0><$ �,0� �D0%��$+:$ �,0� �D0%�+:$(�,0�(� �D0%%N��0>:$ �,0� �D0%F690>:$ �,0� �D0%��0>:$ �,0� �D0%H�� 6=0>:$ �,0� �D0%��$+<$ �,0�(�D0�(%�+<$ �,0� �D0%%N��0>$ �,0� �D0%F0><$ �,0� �D0%H0>:$ �,0� �D0%N��8-03T9)�4)�?9703,9/�6)8457)3�$2/98)�40�70339%��0>$,6�!�D6%F(N��0>$,6�!�D6�(%F(N��0>$,6�!�D6� %F(N��0>$,6�!�D6�'%F(N��0>$,6�!�D6�G%F(N��0>$,6�!�D6��%F(N��0>$,6�!�D6��%F(N��

54

��934��)5360�0<6,797,)8��0>$,6�#�D6%F*)/79;0K4<N��0>$,6�#�D6�(%F*)/79;0K4<N��0>$,6�#�D6� %F*)/79;0K4<N��0>$,6�#�D6�'%F*)/79;0K4<N��0>$,6�#�D6�G%F*)/79;0K4<N��0>$,6�#�D6��%F*)/79;0K4<N��Q��+<$(�,=�(�D0%F49+<$(�,=�(�D0%��+<$(�,=�(�D0%H��4=+<$(�,=�(�D0%��$0>$(�,=�(�D0%�0>$(�,=� �D=%%N��+:$(�,0�(�D=%F49+:$(�,0�(�D=%��+:$(�,0�(�D=%H��4=+:$(�,0�(�D=%��$0>$ �,=�(�D=%�0>$(�,0�(�D=%%N��30970�7+0�?)*,0�.39?0�=:�.39?0��9@0�9�.39?0�0*03:�'34�7,?0�-702��,.�30?$8�'%FF"N��-F,87 -73$8%N��8 F8K'N��6/.N��26)/)3$0>%N��9<,-$R"�(""�"�(""S%N��69<,-$R�(""�(""S%N��-+94,8;�,87032N��,.�8FF'N�� F?)*,0,8$'!%N��084N��7 FRC��>��95--,98��03,*97,*0��5/-0��,?0�-702�OC�-SN��7,7/0$7 %N��+)/4N��$��8 %F;07.39?0N��084N��84�7,?0�-702�/))2��084N��9*0�7+0�?)*,0�7)�.,/0�AA7?B)208�?97CC��-9*0�7?B)208��N��02/9:�7+0�?)*,0��7,?0-�97�!�.39?0-�203�-06)84��?)*,0$��!%�

55

ANEXO D – Algoritmo Adaptado

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ANEXO E – Imagens da Antena de Referência

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aplicaÇÃo do mÉtodo fdtd na anÁlise de uma antena de microfita - gelson leandro kaul

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