material de apoio fundamentos de...

Universidade Nove de Julho UNINOVE

Material de apoio Fundamentos de Matemática

Material elaborado por: Professora Marcia Terezinha dos Reis Santos Professora Nadya Aparecida de Ávila Professor Paulo Sergio Pereira da Silva Professor Sérgio Rollo dos Santos Professora Simone Santana

São Paulo, 2011

Marcia Terezinha dos R. Santos, Nadya Aparecida de Ávila, Paulo Sergio P. da Silva, Sérgio R. dos Santos e Simone Santana - Fundamentos de Matemática

2

2

APRESENTAÇÃO

Caro aluno,

Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam diante

de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas,

diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse

universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos

dominar todas essa novidades e sobreviver a eles?

Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e,

assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem,

oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não

pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída, longe disso. Você só

aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No início

lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las

corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu repertório

de práticas.

O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de

aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da

realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal

mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito de matemática financeira e suas

aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão.

Vele salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e

apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como

complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese

alguma, a pesquisa em livros específicos.

Os autores,

Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/98. Nenhuma parte desta apostila, sem autorização prévia por escrito dos autores, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.


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3

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica.

Resumidamente: 1) Parênteses ( ) 2) Colchetes [ ] 3) Chaves { } 4) Potência ou Radiciação 5) Multiplicação 6) Soma ou Subtração Veja o exemplo abaixo:

[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 140 . (40 : 8 -3)] / (5 – 3)

[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 2

[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 2

[6 + 60 - 2] / 2

64 / 2

32

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos A = 2a + 7b B = (3c + 4) – 5 C = 23c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciação ou Radiciação Multiplicação ou Divisão Adição ou subtração


4

4

Observações: Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Exemplos: Consideremos P = 2A+10 e tomemos A = 5. Assim P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28 Quando A = 9, o valor numérico de P = 2A+10 é igual a 28. Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A = 5 e B = 7. Desse modo: X = 4(5) + 2 + 7 – 7 X = 20 + 2 – 0 X = 22 Quando A = 5 e B = 7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28. Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C = -2 e D = 1. Então : Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 –16 Y = 30 –16 Y = 14 Se C = -2 e D = 1, o valor numérico de Y = 18 – C + 9 + D + 8C, é 14. Operações Algébricas Adição e Subtração Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes. Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica e conservar a parte literal. Solução: (7-1+5).xy = 11xy. OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3x b) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5


5

5

E X E R C I C I O S

1) Calcule o valor das expressões numéricas; a) (-3)2 – 4 – (-1) + 52 = b) 15 + (-4) . (+3) – 10 =

c) 52 + 9 - [(+20) : (-4) + 3] = d) 5 + (-3)2 + 1 = e) 10 + (-2)3 – 4 = f) 18 - (+7) + 32 = g) (-2)3 + (– 3)2 – 25 = h) (-3)2 . (+5) + 2 =

i) 49 + 23 – 1 = j) 40:[(-1)9 + (-2)3 – 11] = k) 10 – [5 + (-2) + (-1)] = l) 2 – {3 + [4 – (1 -2) + 3] -4} = m) 50:{-5 + [-1 – (-2)5 + (-2) + 3]} = n) 72 – [6 – (-1)5 – 22] = 2) Resolva as expressões algébricas: a) 5ab – 2ab + ab = b) 3y + (-2y) = c) 4xy + (-3xy) + 5xy = d) 5y + 4y – 3 = e) 6a + 2ab + (-3a) = f) 19x3 – 34x3 + (-2y) = g) 5x9 + 12 x9 = h) 4x5y6 – 6 x5y6 = i) (6x3 + 2x2 – 3x + 1) + (2x3 - 4x2 + 2x - 2) = j) (x5 - 3x2 + 2) - (4x5 + x3 - 4x2 + 2) = 3) Para as expressões a seguir se, x = 2 e y = -3, encontre o valor de A. a) A = 3x + 2y b) A = -4x + 3y c) A = y + 3x d) A = -5x + y

Respostas: 1a)31 1h) 47 b) -7 i) 14 c)30 j) -2 d)15 k) 8 e) -2 l) -5 f) 20 m) 50/27 g)) -24 n) 46 2 a) 4ab 2f) -15x3 – 2y b) y g) 17x9 c) 6xy h) -2x5y6 d) 9y – 3 i)8x3 – 2x2 – x - 1 e) 3a + 2ab j) -3x5 – x3 + x2

3a) A=0 b) A =-17 c) a=3 d)A = -13


6

6

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

* Adição e subtração com denominadores iguais

Para se efetuar o cálculo com frações com denominadores iguais, siga os exemplos abaixo:

4/20 + 5/20 + 6/20

Neste caso, soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se os denominadores:

Resultado da fração acima: 15/20

* Adição e subtração com denominadores diferentes

Neste caso efetua-se a substituição das frações dadas por outra equivalentes, fazendo uso do cálculo do MMC dos denominadores.

1/4 + 1/2 + 2/3

MMC (4,2,3) = 12

Assim:

3/12 + 6/12 + 8/12 = 17/12

* Multiplicação de frações

Os passos para se efetuar uma multiplicação de frações são simples:

1) Multiplicar o numerador, dando origem a outro númerador

2) Multiplicar o denominador, dando origem a outro denominador

Exemplos:

a) 2/5 x 3/2 =6/10

b) 4/3 x 1/5 x 1/4 =4/60 (Neste caso podemos simplificar por 4) =1/15

* Divisão de frações

Para dividir uma fração deve-se multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo número da equação dada, ou seja, o dividendo pelo inverso do divisor.

Exemplos:

a) 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 x 7/2 =21/10

b) 2/3 ÷ 1/6 = 2/3 x 6/1 = 12/3 (Neste caso podemos simplificar) =4


7

7

E X E R C I C I O S

1. Calcule os resultados das expressões

a)11 + (1/2 + 2/5) R.11 9/10

b) 2 /3 x 4/5 R. 8/15

c)7/3 x 3/4 R. 7/4

d ) 1/2 ÷ (1 +3/4) R. 2/7

2 - Quanto vale 3/4 de 480 ? R.360

Problemas com frações:

01 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ? R. 30 cintos 02 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ? R. 135 03 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5.456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ? R. 5.115 04 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno? R. R$ 8.344,00 05 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ? R. 15 06 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ? R. R$ 170,00 07 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número? R. 189 08 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ? R. 48 09 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ? R.72 10 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ? R. 128 11 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo? R. R$ 1.722,00 12 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ? R. R$ 139,50 13 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou? R. R$ 136,00


8

8

POTENCIAÇÃO

� Expoente inteiro maior do que 1

an= a . a . a .... a n fatores

Exemplos: • 23 = 2 . 2 . 2 = 8 • (- 7)2 = (- 7) . (- 7) = 49 • (0,1)3 = (0,1) . (0,1) . (0,1) = 0,001

• 4

5

1

− =

−5

1 .

−5

1 .

−5

1 .

−5

1=

625

1

Observação: Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser: - Positivo, se o expoente for par; - negativo, se o expoente for ímpar. (- 3)2 = (- 3) . (- 3) = 9 (-2)3 = (-2) . (- 2) . (-2) = - 8 � Expoente inteiro negativo

a-n = 1 . an

Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro. Exemplos: • 2 –2 = 1 = 1 22 4 • ( - 3) –4 = 1__ = 1_ (- 3)4 81

• 2

3

2−

=

2

3

2

1

=

9

41 =

4

9

� Expoente Zero

a 0 = 1

Sendo a um número real não-nulo. Exemplos: • (0,65)0 = 1 • ( - 11,6)0 = 1 • (0,232323...)0 = 1

• 0

4

3

= 1


9

9

� Expoente 1

a 1 = a

Exemplos: • (0,25)1 = 0,25 • (- 1,6)1 = - 1,6

• 1

8

5

− = 8

5−

• (0,666...)1 = 0,666... PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO � Produto de potências de mesma base

am. an = a m+n

Exemplos: • (0,15)2 . (0,15)3 = (0,15)2 + 3 = (0,15)5 • (0,777...)-1 . (0,777...)5 = (0,777...)-1+5 = (0,777...)4 • (-3)7.(-3)-5 = (-3)7+(-5) = (-3)7-5 = (-3)2 � Divisão de potências de mesma base ( a ≠ 0 )

am : an = a m – n

Exemplos: • (0,19)6 : (0,19)2 = (0,19) 6 – 2 = (0,19)4 • (0,333...)7 : (0,333...)-3 = (0,333...) 7 – ( - 3) = (0,333...) 7+3 = (0,333...)10 � Potência de potência

(am)n = a m . n

Exemplos: • [(0,32)3]2 = (0,32) 3 . 2 = (0,32) 6

•

53

5

1

−=

5.3

5

1

−=

15

5

1

−

� Distributiva da potenciação em relação à multiplicação

( a . b )m = am . bm

Exemplos: • (2 . 5 ) – 3 = 2 –3 . 5 – 3

5

3.

2

2

1−

=

2

5

3−

.

2

2

1−


10

10

� Distributiva da potenciação em relação à divisão (b ≠ 0 )

( a : b )m = am : bm

Exemplos: • ( 8 : 3 )2 = 8 2 : 3 2

•

3

4 :

3

16

3−

= 3

3

4−

: 3

16

3−

E X E R C Í C I O S

1. Calcule as potências dos números abaixo:

a) 24 b) (-4)3 c) (10) –3 d) 3

2

1−

e) 10 3 f) 2

3

2

2. Calcule o valor de: a) 3x3 – 2 x2 – x + 5 , para x = -1 b) 26 – 25 + 24 – 23 + 22 – 21 + 20 c) (-1)8 – 3 (-1)5 + (-1)16 3. Utilizando as propriedades das potências, calcule: a) 103 . 10 . 10 b) 64 : 62 c) 715 : 710 d) (2 . 3 )3 4. Usando as propriedades das potências, calcule o valor de:

a)65

3104

2.2

2.2.2 b) (75 : 73) . 72 c)

23

2

1

− d) (7 . 4)2

5. Sendo A = 30 . 31 + 34 : 32 , B = 81 + (83 . 8) : 82 e C = (53 . 5): 52 52

Determine o valor de 3A + 4B + C

6. Transforme numa só potência de base π :

a) 3π . 7π b) 6π : 5−π c) ( ) 24 −−π d) ( 3π . )54π

7. Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras:

a) (2 . 5)3 = 23 . 53 b) (2 + 5 )3 = 23 + 53 c) (17 – 1)2 = 17 2 - 12 d) 3

2

1−

− = 23

8. Calcular: a) 23 = b) (-2)3 = c) -23 = d) (0,2)4 = e) (0,1)3 =

f) 2-3 = g) (-2)-3 = h) -2-3 =


11

11

i) 50 = j) 2 -3 3 = k) (0,34)1 = l) 24 . 23. 2 = m) 3. 35. 37 =

n) 43. 47 = o) 55 = 52 p)(23)4 = q) (2:5)2 = r) 1 –2 = 4 s) –1 3 = 3

9. Calcule o valor da expressão para x = 2

a) 4x2 – 3x + 4 – 5x2 b) –x + 3x2 + 4x –1 c) x3 – (-2x3) + 8x - x

RESPOSTAS 1. a) 16 b)-64 c) 1/1000 d)8 e) 1000 f) 4/9 2. a)1 b)43 c)5 3. a) 100000 b)36 c)16807 d)216 4. a) 64 b) 2401 c) 1/64 d) 784 5. 325 6. a) ⁴10 b)⁴11 c) ⁴8 d) ⁴35 7. a)V b)F c)F d)F 8. 8. 9. a) 8 l)256 a) -6 b) -8 m)1.594.323,00 b) 17 c) -8 n)1.048.576,00 c) 38 d) 0,0016 o)125 e) 0,001 p) 4096 f) 0,125 q) 0,16 g) -0,125 r) 16 h) -0,125 s) -0,037 i) 1 t) -2 j) 3,375 k) 0,34


12

12

PRODUTOS NOTÁVEIS

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com freqüência e que têm regras definidas que facilitam a sua determinação. Exemplos: • (a + b)2→ Quadrado da soma de dois termos. • (a – b)2→ Quadrado da diferença de dois termos. • (a + b).(a – b)→Produto da soma pela diferença de dois termos. � Quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por (a + b)2. Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ou seja: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,

mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

• (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

•

5

a+ 3b ) 2 =

2

5

a+ 2 .

5

a . 3b + (3b)2 =

25

2a +

5

6ab + 9b2

• ( m + n )2 = ( m )2 + 2 . m . n + ( n )2 = m + 2 mn + n � Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos a e b é indicado por (a - b)2. Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ou seja: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,

menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

• ( c – d )2 = c2 – 2cd + d2

•

3

a - 2b2)2 =

2

3

a- 2 .

3

a . 2b2 + (2b2)2 =

9

2a -

3

4 2ab + 4b4

• ( m - 1)2 = ( m )2 – 2 . m . 1 + 12 = m - 2 m + 1 � Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença de dois termos a e b é indicado por (a + b) . (a – b). Desenvolvendo esse produto, obtemos:

( a + b) . ( a – b) = a2 – b2 Ou seja:


13

13

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos

o quadrado do segundo termo.

Exemplos: • (x + y) . (x – y) = x2 – y2 • (bx + 5) . (bx – 5) = (bx)2 – 52 = b2x2 – 25

•

3

2k + 1 ) .

3

2k - 1 ) =

22

3

k- 12 =

9

4k - 1

E X E R C Í C I O S

1) Calcule os produtos notáveis: a) (a+2)(a-2) b) (xy+3z)(xy-3z)

c) (x²-4y)(x²+4y) d) (x+3)²

e)

f) (2a - 5)²

g) (2xy + 4)²

h)

i) (3 + x)2 – ((x - 4)2)

2) Simplifique as expressões algébricas:

a) x(6x - 2) + x(2 – 4x) b)(z + 4) . (z – 4) – ((z+ 4)2)

3) Desenvolva os produtos notáveis:

a)2

3

2

+

+

x

x b)

22

5

1

−

+

x

x

RESPOSTAS 1a) a2 – 4 b)x2y2 – 9z2 c)x4 – 16y2 d) x2 + 6x + 9 e) 4x2 - 9y2 25 4

f) 4a2 – 20a + 25 g) 4x2y2 + 16xy + 16 h)4

2x+

4

xy +

16

2y i) 14x - 7

2a) 2x2 b) -8z – 32 3a) x2 + 4x + 4 b) x4 + 2x2 + 1 x2 + 6x + 9 x2– 10x + 25


14

14

F A T O R A Ç Ã O

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la como uma multiplicação de duas ou mais expressões algébricas, quando for possível. Vamos considerar três situações envolvendo “fatoração” de termos algébricos. No entanto é importante observar que esses procedimentos representam o caminho inverso da obtenção do produto de expressões algébricas. Fator comum em evidência As situações Agrupamentos sucessivos Produtos notáveis ⇒⇒⇒⇒Fator comum em evidência 1) 2 .(a – b) = 2 . a – 2 . b = 2a – 2b

2) x3 . (2 + 5x + x2 ) = x3 . 2 + x3 . 5x + x3 . x2 = 2x3 + 5x4 + x5

3) 6a . (2ab - 7 + 5b ) = 6a . 2ab - 6a . 7 + 6a . 5b = 12a2b – 42a + 30ab

Tomando os mesmos exemplos, vamos percorrer o caminho inverso; ou seja, a partir das adições algébricas, obtemos as formas fatoradas: 1) 2a – 2b = 2 . a – 2 . b = 2 . (a – b)

2a : 2 = a 2b : 2 = b 2 é o fator comum

2) 2x3 + 5x4 + x5 = x3 . 2 + x3 . 5x + x3 . x2 = x3 . (2 + 5x + x2) (x3 . 2) : x3 = 2 (x3 . 5x) : x3 = 5x (x3 . x2) : x3 = x2 x3 é o fator comum

3) 12a2b – 42a + 30ab = 6a . 2ab - 6a . 7 + 6a . 5b = 6a . (2ab - 7 + 5b ) (6a . 2ab) : 6a = 2ab (6a . 7 ) : 6a = 7 (6a . 5b) : 6a = 5b 6a é o fator comum


15

15

⇒⇒⇒⇒Agrupamentos Sucessivos

A partir das multiplicações entre expressões algébricas, observe as fatorações que podem ser efetuadas por agrupamentos:

1) (m + n) . (a + b) = m . (a + b) + n . (a + b)= ma + mb + na + nb

2) (x + 2) . (x2 + 5) = x . (x2 + 5) + 2 . (x2 + 5) = x3 + 5x + 2x2 + 10

3) (x3 - y) . (2 + x) = x3 . (2 + x) - y . (2 + x) = 2x3 + x4 – 2y - yx

Usando o caminho inverso nas operações efetuadas, chegamos à forma fatorada das expressões

algébricas:

1) ma + mb + na + nb = m(a + b) + n(a + b)

(1a fatoração) ma + mb + na + nb = m(a + b) + n (a + b) (2a fatoração) ma + mb + na + nb = (a + b) . (m + n) 2)x3 + 5x + 2x2 + 10 = x . (x2 + 5) + 2 . (x2 + 5)

(1a fatoração) x3 + 5x + 2x2 + 10 = x . (x2 + 5) + 2 . (x2 + 5) (2a fatoração) x3 + 5x + 2x2 + 10 = (x2 + 5) . (x + 2)

Fatorar é

Transformar

em produto.


16

16

3)2x3 + x4 - 2y + yx = x3 . (2 + x) - y . (2 + x)

(1a fatoração) 2x3 + x4 - 2y + yx = x3 . (2 + x) - y . (2 + x) (2a fatoração) 2x3 + x4 - 2y + yx = (2 + x) . (x3 - y) As fatorações sucessivas, quando possível, são conhecidas também por fatorações por agrupamentos. Essas fatorações são efetuadas formando grupos que tenham fator(es) comum(uns). ⇒⇒⇒⇒ Produtos notáveis

Lembrando-se dos produtos notáveis estudados, é possível transformar determinadas expressões algébricas na forma fatorada.

- trinômio quadrado perfeito: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

- diferença de dois quadrados: a2 - b2 = (a + b) . ( a – b)

1) 4y2 + 12y + 9 = (2y + 3)2

(2y)2 2 . (2y) . 3 32

E X E R C I C I O S

1) Fatore as expressões:

a) ax+2a =

b) a²-b² =

c)a² - 4ab + 4b² =

d) 2x²-2 = 2(x²-1) =

e) 3ax-7ay =

2) Fatore as expressões por agrupamentos sucessivos:

a) ax + ay + bx + by =

b) x2 – 3x + ax –3a =

c) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 =

2) 49 - 14y + y2 = (7 - y)2

72 - 2 . 7 . y y2

f) a²b² - ab³ =

g) a² + ab + ac + bc =

h) x² - b² =

i) x²-25 =

j) 4a² - 4 =


17

17

3) Utilizando os produtos notáveis, escreva as expressões algébricas na forma fatorada:

a)x2 - 9 =

b)a2 – b2 =

c)16a2 – 1 =

d)1 – 16x2 =

e)16x2 – 8x +1 =

RESPOSTAS 1a) a(x +2) b) (a+b)(a – b) c) (a -2b)2 d) 2(x+1)(x-1) e) a(3x-7y) f) ab(ab-b2) g) (a+b)(a+c) h) (x+b)(x-b) i) (x+5)(x-5) j) (2a+2)(2a-2) 2a) (x+y)(a+b) b) (x-3)(x + a) c) (2 + a)(b2 + c3) 3a) (x+3)(x-3) b) (a+b)(a-b) c) (4a + 1)(4a -1) d) (1 + 4x)(1 - 4x) e) (4x – 1)2


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REGRA DE TRÊS SIMPLES

Utilizamos o conceito para o estudo de grandezas que se relacionam através de uma proporção. Quando duas grandezas aumentam ou diminuem temos grandezas diretamente proporcionais. Quando, entre duas grandezas, uma das grandezas aumenta e a outra diminui, temos grandezas inversamente proporcionais.

Problemas de aplicação Grandezas diretamente proporcionais

1. Uma máquina, trabalhando durante 4 horas, produz 600 peças. Quantas peças iguais serão produzidas por essa máquina se ela trabalhar durante 9 horas?

↑ horas ↑ peças

4 600 9 x

Resolução: x

600

9

4= 350.1

4

540054004600.94 =⇒=⇒=⇒=⇒ xxxx peças

Grandezas inversamente proporcionais

2. Para realizar um certo serviço 6 máquinas gastam 24 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais as primeiras fariam o mesmo serviço?

↑ máquinas ↓ dias

6 24 8 x

Resolução: 188

14414486.248

6

824=⇒=⇒=⇒=⇒= xxxx

x dias

Exercícios Propostos

1. Se 12 m de certo tecido custam R$ 600,00, qual é o preço de 20 m do mesmo tecido? 2. Com 5 kg de farinha de trigo são fabricados 200 pães. Quantos pães iguais aos primeiros serão

fabricados com 8 kg de farinha de trigo? 3. Uma torneira despeja 40 litros de água em 8 minutos. Quanto tempo levará para encher totalmente

um recipiente cuja capacidade é 600 litros? 4. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre certa distância em 45 minutos. Se a

velocidade média fosse de 75 km/h em quantos minutos o automóvel faria a mesma distância? 5. Numa marcenaria 10 operários produzem certo número de peças em 8 dias. Quantos operários

seriam necessários para produzirem o mesmo número de peças em 5 dias? 6. No transporte de cimento para a construção de um edifício foram utilizados 12 caminhões de 6 m3

cada um. Quantos caminhões de 9 m3 cada um seriam necessários para fazer o mesmo transporte? 7. Pra pintar uma parede de 30 m2 foram gastos 15 litros de tinta. Quantos litros da mesma tinta

serão gastos para pintar uma parede de 18 m2 ? 8. Um relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 60 horas? 9. 24 operários levam 60 dias para construir uma loja. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo

serviço? 10. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada página,

quantas páginas teria o mesmo livro?


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19

Problemas de aplicação para porcentagem 1. Sobre um salário de R$ 9.000,00, é descontado 8% de INSS. Qual o valor do desconto? ↓ % ↓ R$ 100 9.000 8 x

Resolução: 00,720$100

000.72000.721008.000.9100 Rxxxx =⇒=⇒=⇒=

2. Qual é a taxa trimestral proporcional à taxa de 2,5% ao mês? ↑Mês ↑%

1 2,5 3 x Resolução: %5,73.5,21 =⇒= xx ao trimestre

Problemas de porcentagem 1. Na compra de uma bicicleta cujo preço é R$ 900,00, dá-se um desconto de R$ 135,00. Determinar

a taxa de desconto dada nesta bicicleta. 2. 15.000 candidatos inscreveram-se para o vestibular da PUC de São Paulo. Foram aprovados 9.600

candidatos. Qual a taxa de aprovação? 3. Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual foi a sua

taxa de acerto? 4. Numa empresa de 2.500 funcionários, 800 tem curso superior, 1.000 tem o ensino médio e o

restante concluiu o ensino fundamental. a) Qual a porcentagem de funcionários que tem o ensino superior? b) Qual é a porcentagem de funcionários que tem o ensino médio? c) Qual é a porcentagem de funcionários que concluiu o ensino fundamental? 5. Numa classe, 20% dos alunos são meninas. Quantos alunos existem na classe, sabendo-se que o

número de meninas é igual a 9. 6. a) Qual é a taxa mensal proporcional à taxa de 12% ao trimestre? b) Qual é a taxa anual proporcional à taxa de 6% ao bimestre? c) Qual é a taxa diária proporcional à taxa de 15% ao mês? d) Qual é a taxa semestral proporcional à taxa de 36% ao ano?

Respostas

1. R$ 1.000,00 Porcentagem: 2. 320 pães 1. 15 % 3. 120 minutos 2. 64 % 4. 36 minutos 3. 80 % 5. 16 operários 4. a) 32% b) 40% c) 28% 6. 8 caminhões 5. 45 alunos 7. 9 litros 6. a) 4% a.m. b) 36% a.a. c) 0,5% a.d. d) 18% a.s. 8. 10 minutos 9. 48 dias 10. 300 páginas


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EQUAÇÕES

Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade. Exemplos: a) x -3 = 12 � a variável (ou incógnita) é x. b) 3y + 7 = 15 � a variável (ou incógnita) é y. �A expressão à esquerda do sinal = chama-se 1º membro. �A expressão à direita do sinal = chama-se 2º membro. c) 2x – 1 = x + 7 � 2x -1, é o 1º membro � x + 7 , é o 2º membro Resolução de uma equação do 1º grau � Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade. � a solução de uma equação é chamada de raiz da equação. Obs.: Para “passar” um termo de uma equação de um membro para outro, troca-se o sinal desse termo. Importante: Veja a equação –x = 5 Interessa-nos o valor de x e não o valor de –x. Então, devemos multiplicar os dois membros da equação por -1. Observe: -x = 5 (-1) � x = -5 Exemplos: a) x + 1 = 8 b) 3x -1 = 14 c) x -1 + 8 = 6x x = 8-1 3x = 14 +1 -1 +8 = 6x –x x = 7 3x = 15 7 = 5x x = 15/3 7/5 = x ou x = 7/5 x = 5

E X E R C I C I O S 1) Dada a equação 7x – 3 = x + 5 – 2x, responda: a) qual é o 1º membro? b) qual é o 2º membro? c) qual o valor de x? 2) O número que, colocado no lugar de x, torna verdadeira a sentença x -7 = 10 é: a) 3 b) 4 c) -3 d)17 3) Resolva:

a) x - 3 = 5 g) 242=+

xx m) 6x - 4 = 2x + 8

b) x + 2 = 7 h) 0 = x + 12 n) 17x -2 + 4 = 10 + 5x

c) 3

x + 15

2=

x i) -3 = x + 10 o) 4x – 10 = 2x + 2

d) x -7 = -7 j) y/4 = 3 p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x -4 e) x – 109 = 5 k) x/5 = 2 q) 5(2x -4) = 7(x + 1) - 3 f) 15 = x +1 l) 3x = 12 r) 4(x + 3) = 1

Respostas: 1 a)7x -3 b) x+ 5 – 2x c)1 d)0 2) letra d 3 a)8 3 f) 14 3 l) 4 b) 5 g) 8/3 m) 3 c) 18 h) -12 n) 2/3 d) 0 i)-13 o) 6 e) 114 j) 12 p) 2

k) 10 q) 8 r) -11 4


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FUNÇÃO DO 10 GRAU Chamamos de função do 1o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f: IR→ IR definida por f(x) = ax + b, a ∈ IR* e b ∈ IR OBS.:

a) O gráfico da função do 1o grau é uma reta. b) O conjunto imagem da função do 1o grau é IR. c) A função do 1o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax é chamada linear.

Exemplo Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x +2

x f(x) = x +2 0 0 + 2 = 2 1 1 + 2 = 3

b) f(x) = 5x

x f(x) = 5x 0 5 . 0 = 0 1 5 . 1 = 5

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da função do 1o grau

Dada a função do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação. Exemplo Determine a raiz das seguintes equações: a) f(x) = 3x - 6 Resolução: 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 6/3 ⇒ x = 2 Observe que em f(x) = 3x – 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) é a intersecção da reta com o eixo x .

f(x) 3 2 Im = IR 1 0 1 x

f(x) 5 Im = IR 1 x

b) f(x) = –8x Resolução: -8x = 0 . (–1) x = 0/8 ⇒ x = 0


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E X E R C I C I O S 1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. f(x) = 0,08x + 300

b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1.100,00 2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. R. a = 5

3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:

a) f(x) = 3x + 4

b) f(x) = 3

1x + 6

c) f(x) = -4x + 8 4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a equação que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000 5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a 2 anos? R. R$= 34.000,00 6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00. X = 5.000.000 unidades 7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela “KCK” é qo = 80p + 720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00 8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$ 2,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função de x. S(x) = R$ 2,00x + 415,00 9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ 835,00


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SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU – duas variáveis

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro grau nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja

2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x = 10 e y = 6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10, 6) }

Método da Adição: este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. Ë necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos.

Exemplos: Seja os sistemas:

a) x + y = 5

x – y = 1

b) 4x – y = 2

3x + 2y = 7

E X E R C I C I O S – sistemas

1) Resolva os sistemas a seguir:

a) x – 2y = 3

2x + 4y = 6

Resolução: (a) Somando-se membro a membro as duas equações: x + y = 5 x – y = 1 2x = 6 x = 6/2 ⇒ x = 3 substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas: x + y = 5 ⇒ 3 + y = 5 ⇒ y = 5 –3 ⇒ y = 2 Logo: V = {(3, 2)}

Resolução: (b) Nesse caso não temos coeficiente simétricos. Vamos, então, multiplicar todos os termos da primeira equação por 2: 8x – 2y = 4 3x + 2y = 7 11x = 11 ⇒ x = 11/11 ⇒ x = 1 Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas: 3x + 2y = 7 3 . 1 + 2 y = 7 3 + 2y = 7 ⇒ 2y = 7 –3 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 4 /2 ⇒ y = 2


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b) 4x + 2y = 16

5x – 3y = 9

c) 2x + y = 4

x – y = -1

d) x + 2y = 10

4x – 6y = 6

e) 2x + 3y = 3

5x + 6 y = 12

Respostas.:

a) S = {3; 0} b) S = {3; 2} c) S = {1; 2} d) S = {36/7; 17/7} e) S = {6; -3}

2) A Companhia “KDT” produz e vende mouse a um preço único igual a R$ 8,00 a unidade. Sabe-se que a esse preço a demanda mensal é igual a 12.000 unidades. Ao oferecer um desconto de 25% no preço do mouse, a demanda aumenta para 14.000 unidades mensais. Determine uma função linear que representa a demanda mensal dos mouses da empresa “KDT” . R qd = -1000p + 20000 3) A empresa “MIT´S” produz e distribui à várias perfumarias braceletes pelo preço de R$ 4,50. A esse preço, a procura pelo produto atinge 150 unidades por semana. Verificou-se que, quando o preço sofre um desconto de R$ 0,50, a procura pelos braceletes aumenta em 30 %. De acordo com a situação descrita acima, a equação de 1º grau que representa a demanda semanal dos braceletes é igual :

a) qd = 45p + 345 b) qd = - 45p + 345 c) qd = - 90p + 555 d) qd = 90p – 555 e) qd = - 90p - 555

R (c) 4) Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, 5000 unidades são colocadas no mercado por mês; se o preço for R$ 12,00, 5500 unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 1º grau e linear afim, obtenha suas equações e determine a função que representa a lei da oferta. R qo = 250p + 2500


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25

EQUAÇÃO DO 2O GRAU – (quadrática)

As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral.

Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função.

Exemplos:

a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2 b) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0 c) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5

Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2o grau e sim uma função do 1o grau.

Cálculo das raízes da função do 2o grau

A existência e o número de soluções da função f(x)= ax2 + bx + c = 0 dependem do número b2 - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúscula). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais.

Portanto, = b2 – 4ac

No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara:

Logo,


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26

Exemplos: Resolver as seguintes equações: a) x2 – 8x + 12 = 0 a = 1, b = - 8 e c = 12

(primeiro vamos calcular o valor de delta)

(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)

(Delta positivo)

(fórmula de Baskara)

x = -(-8) + √16 (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1) 2(1)

x = 8 + 4

2

x’ = 12 / 2 = 6

x” = 4 / 2 = 2

S = {6 ; 2}

b) x2 – 12x + 36 = 0 a = 1, b = - 12 e c = 36

(Delta igual a zero)

S = {6}


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27

c) 2x2 – 4x + 3 = 0

a = 2, b = - 4 e c = 3

(Delta negativo)

S = { }, não existe raiz de número real negativo

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 2O GRAU

O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, o domínio :Dom(f)=R e a imagem: Im(f)=R.

O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola. Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:

Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:


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28

Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função

:

Resolução:

Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-2. Colocando na fórmula, temos:

As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:


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29

Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:

Estudo do Vértice

O que é vértice de uma parábola? - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Veja os exemplos abaixo:

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.


30

30

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é:

Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:

Exemplo : Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x2 - 2x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo.

Resolução: Vértices

Xv = -(-2)/2(1) ∆ = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4(1)

Xv = 2/2 ∆ = (-2)2 - 4 (1)(3) Yv = 8/4

Xv = 1 ∆ = 4 - 12 = -8 Yv = 2

S = (1, 2)

a > 0 , a função assume um valor mínimo

Yv = -a4

∆ = -(-8) = 2

4(1)

E X E R C I C I O S

1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções:

a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4 b) f(x) = -x2 + 2x -2 R. não existe raís Xv= 1 e Yv= -1

2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo:

a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20

b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25 c)

Se a > 0, a função assume um valor de mínimo:

Yv = -a4

∆

Se a < 0, a função assume um valor de máximo:

Yv = -a4

∆


31

31

1) Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine:

a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1

b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4

c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo d) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

4) O vértice da parábola que corresponde à função y=(x-2)2 + 2 é:

(A)(-2, -2) (B)(-2, 0) (C) (-2, 2) ( D) (2, -2) (E) (2, 2)

R. (e)

5) Determine as raízes das funções, se houver: a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3 b) f(x) = - x2 - 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1 c) f(x) = 6x2 + 3x + 7 Resp. ∆ < 0, ou seja ∆ = -159 portanto, S = { }

6) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de mínimo.

a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4 b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25 c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1 d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3

7) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das raízes da função: f(x) = x2 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado. a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30; b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo; c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção; d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30; e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. R. (a) 8) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3. a) f(x) = x2 + 4x + 1 b) f(x) = - x2 + 2 c) f(x) = x2 + 1 d) f(x) = - x2 + 3x - 4

REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS

Dowling,E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –Editora Mac Graw Hill. Iezzi, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993. Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP. Nery, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.

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