matemÁtica prÉ vestibular - 2020matemÁtica professor: talles melo aula: 03 prÉ vestibular - 2020...

MATEMÁTICA PROFESSOR: TALLES MELO

AULA: 03

PRÉ VESTIBULAR - 2020

CONTEÚDOS DA AULA

1. Razão

2. Proporção

3. Propriedades de uma proporção

4. Grandezas diretamente proporcionais

5. Grandezas inversamente proporcionais

6. Regra de três

7. Porcentagem

8. Fator de aumento

9. Fator de redução

1. Razão

É o quociente entre dois números.

𝑎

𝑏 é uma razão

2. Proporção

É uma igualdade em razões.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 é uma proporção

3. Propriedades de uma proporção

Dada a proporção 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 podemos, a partir dela

escrever:

a) 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐 e) 𝑎2

𝑏2=

𝑐2

𝑑2=

𝑎.𝑐

𝑏.𝑑

b) 𝑏

𝑎=

𝑑

𝑐 f)

𝑎±𝑏

𝑏=

𝑐±𝑑

𝑑

c) 𝑑

𝑏=

𝑐

𝑎 g)

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑=

𝑎±𝑐

𝑏±𝑑

d) 𝑎

𝑐=

𝑏

𝑑

Atenção: Toda proporção está relacionada a uma

constante de proporcionalidade K.

4. Grandezas diretamente proporcionais

Dadas duas grandezas x e y, se dissermos que “y é

diretamente proporcional a x”

Então, matematicamente, estamos querendo expressar

a seguinte ideia:

𝒚 = 𝑲. 𝒙

Onde K é a constante de proporcionalidade.

5. Grandezas inversamente proporcionais

Dadas duas grandezas x e y, se dissermos que “y é

inversamente proporcional a x”

Então, matematicamente, estamos querendo expressar

a seguinte ideia:

𝒚 =𝒌

𝒙


AULA: 03


EXERCÍCIOS DE AULA: PROPORÇÃO

1. Na tabela a seguir, y é inversamente proporcional ao

quadrado de x (x ≠ 0).

x 1 2 m

y 2 p 8

Com base nessas informações, é correto afirmar que

os valores de p e m são:

a) p = 1/8 e m =1/4

b) p = 1/4 e m = 1/8

c) p = 1/2 e m = 1/4

d) p = 1/2 e m = 1/2

2. Uma herança foi dividida entre a viúva, a filha, o filho

e o segurança da família. A filha e o filho ficaram com a

metade, distribuída na proporção de 4 para 3,

respectivamente. A viúva ganhou o dobro do que coube

ao filho, e o segurança, R$ 500,00. Calcule o valor da

herança.

a) R$ 5.500,00

b) R$ 6.000,00

c) R$ 7.000,00

d) R$ 11.500,00

e) R$ 9.500,00

3. Os professores de matemática e educação física de

uma escola organizaram um campeonato de damas

entre os alunos.

Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia

apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros

colocados, a direção da escola comprou 310

chocolates, que foram divididos entre os 1.º, 2.º e 3.º

colocados no campeonato, em quantidades

inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5,

respectivamente. As quantidades de chocolates

recebidas pelos alunos premiados, em ordem

crescente de colocação no campeonato, foram:

a) 155, 93 e 62.

b) 155, 95 e 60.

c) 150, 100 e 60.

d) 150, 103 e 57.

e) 150, 105 e 55.

4. Considere três trabalhadores. O segundo e o

terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10

dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em

12 dias, enquanto o primeiro e o segundo, juntos,

podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três

juntos podem fazer o trabalho?

6. Regra de três

Uma regra de três é considerada simples quando

envolve apenas duas grandezas. Caso o número de

grandezas relacionadas seja maior que dois, teremos a

regra de três composta. Todavia, o procedimento que

adotaremos aqui serve para resolver qualquer um dos

casos.

Observe o exemplo:

Um carro realiza um percurso a 100km/h e gasta 2

horas. Quanto tempo gastará esse mesmo carro para

percorrer o mesmo percurso se andar a 150km/h?


AULA: 03


Para resolvermos problemas envolvendo regra de três

devemos seguir os seguintes passos:

a) identificar as grandezas relacionadas no problema;

b) selecionar corretamente os dados fornecidos pelo

problema;

c) verificar a proporcionalidade entre a grandeza a ser

calculada e cada uma das demais grandezas do

problemas, sinalizando-as como diretamente ou

inversamente proporcionais (usar as setinhas!).

d) efetuar os cálculos.

EXERCÍCIOS DE AULA: REGRA DE TRÊS

5. Doze fábricas, trabalhando 8 horas por dia, liberam

800 m3 de gases em 15 dias. Quantas fábricas,

trabalhando 7 horas e 12 minutos por dia, durante 10

dias, liberarão 600 m3 de gases?

a) 15 b) 20 c) 10 d) 21 e) 13

6. Um criador de frangos tem ração para alimentar seus

42 frangos durante 30 dias; no fim de 6 dias compra

mais 30 frangos. Quanto tempo durará a ração, se a

quantidade de ração diária de cada frango for

constante?

a) 18 dias b) 16 dias c) 9 dias d) 14 dias

7. Porcentagem

Porcentagem nada mais é do que uma maneira

padronizada de se representar frações, onde o

denominador é sempre 100. O símbolo % lê-se por

cento, indica que o número que o acompanha está

sendo dividido por 100. Observe:

25% =25

100=

5

20=

1

4= 0,25

A porcentagem é muito utilizada em cálculo de juros e

descontos, e também em problemas envolvendo

fatores de aumento e redução.

Atenção: Não podemos nos esquecer que x% é um

forma simbólica de representar o número 𝑥

100 .

Cuidado! Com símbolos não fazemos conta.

Dica: em problemas envolvendo porcentagem

devemos sempre estar atentos ao texto, visando

identificar sobre o que a porcentagem está sendo

aplicada.

8. Fator de aumento

𝑽𝑭 = 𝑽𝟎 + 𝑽𝟎. 𝒊

Aqui temos:

Ex.: Sobre o preço de um determinado produto

aplica-se um aumento de 10% e em seguida um

desconto de 10%, logo o preço final:

a) Aumenta b) Diminui c) Não se altera


AULA: 03


𝑉𝐹 -> Valor final

𝑉0 -> Valor inicial

𝑖 -> taxa de aumento

Ainda com a fórmula acima podemos escrever:

𝑽𝑭 = 𝑽𝟎. (𝟏 + 𝒊)

(𝟏 + 𝒊) -> Fator de aumento

9. Fator de redução

𝑽𝑭 = 𝑽𝟎 − 𝑽𝟎. 𝒊

Aqui temos:

𝑉𝐹 -> Valor final

𝑉0 -> Valor inicial

𝑖 -> taxa de redução

Ainda com a fórmula acima podemos escrever:

𝑽𝑭 = 𝑽𝟎. (𝟏 − 𝒊)

(𝟏 − 𝒊) -> Fator de aumento

EXERCÍCIOS DE AULA: PORCENTAGEM

7. Um trem transportava, em um de seus vagões, um

número inicial n de passageiros. Ao parar em uma

estação, 20% desses passageiros desembarcaram.

Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade

de passageiros que nele permaneceu após o

desembarque. Dessa forma, o número final de

passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o

valor de n.

8. (Ueg 2010) Em uma liga metálica de 160 g, o teor

de ouro é de 18%, enquanto o restante é prata. A

quantidade de prata, em gramas, que deve ser retirada

dessa liga, a fim de que o teor de ouro passe a ser de

32%, é

a) 80.

b) 70.

c) 66.

d) 46.

Ex.: Um produto custa R$350,00 e sofrerá 30%.

Responda:

a) De quanto será o aumento?

b) Qual o preço final do produto?

Ex.: Um produto custa R$350,00 e será vendido

com uma taxa de 30% de desconto. Responda:

a) De quanto será o desconto?

b) Qual o preço final do produto?


AULA: 03


9. Uma loja vende seus artigos nas seguintes

condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço

da tabela ou no cartão de crédito com 10% de

acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que a

vista sai por R$7.000,00 no cartão sairá por:

a) R$ 13.000,00

b) R$ 11.000,00

c) R$ 10.010,00

d) R$ 9.800,00

e) R$ 7.700,00

10. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço

de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44%

superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela

de preços de venda acrescentando 80% ao preço de

custo, porque sabe que o cliente gosta de obter

desconto no momento da compra.

Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao

cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter

prejuízo?

a) 10 %

b) 15 %

c) 20 %

d) 25 %

e) 36 %.

11. Para montar uma fábrica de sapatos, uma empresa

fez um investimento inicial de R$ 120.000,00. Cada par

de sapatos é vendido por R$ 30,00, com uma margem

de lucro de 20%. A venda mensal é de 2.000 pares de

sapato.

Determine o número de meses necessários para que a

empresa recupere o investimento inicial.

TAREFA MÍNIMA

12. Para encher um reservatório com água, pode-se

usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse

reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo

reservatório em 24 minutos.

Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a

primeira torneira é aberta durante um período de k

minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é

fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica

aberta por um período de (K + 3) minutos.

Se o volume de água atingido corresponde a 2/3 da

capacidade do reservatório, então o tempo total gasto

foi

a) 31% de hora

b) 30% de hora

c) 28% de hora

d) 27% de hora

13. (ifal 2012) Seis homens fabricam 100 pares de

sapatos por dia, trabalhando 8 horas por dia. Para

fabricar 125 pares dos mesmos sapatos, trabalhando

apenas 5 horas por dia.

a) será preciso dobrar a quantidade de homens.

b) serão precisos mais dois homens.

c) serão precisos três homens a menos.

d) serão precisos mais três homens.

e) serão precisos mais quatro homens.

14. (Ufpr 2014) O artigo 33 da lei brasileira 11343 de

2006, sobre drogas, prevê a pena de reclusão de 5 a

15 anos para qualquer pessoa condenada por tráfico

ilícito ou produção não autorizada de drogas.

Entretanto, caso o condenado seja réu primário com

bons antecedentes, essa pena pode sofrer uma

redução de um sexto a dois terços. Se um réu primário

com bons antecedentes for condenado pelo artigo 33

da lei brasileira sobre drogas, após o benefício da

redução de pena, sua pena poderá variar:

a) de 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses.

b) de 1 ano e 8 meses a 5 anos.


AULA: 03


c) de 3 anos e 4 meses a 10 anos.

d) de 4 anos e 2 meses a 5 anos.

e) de 4 anos e 2 meses a 12 anos e 6 meses.

15. (epcar 2013) Uma mãe dividiu a quantia de R$

2100,00 entre seus três filhos de 3, 5 e 6 anos. A divisão

foi feita em partes inversamente proporcionais às

idades de cada um.

Dessa forma, é verdade que

a) o filho mais novo recebeu 100 reais a mais que a

soma dos valores recebidos pelos outros dois filhos.

b) o filho mais velho recebeu 20% a menos que o filho

do meio.

c) a quantia que o filho do meio recebeu é 40% do que

recebeu o mais novo.

d) se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais

velho teria sua parte acrescida de 40% em relação ao

que realmente recebeu.

16. (Uerj 2014)

O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o

comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja,

5000%.

Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse

peixe atinge 1,53 metros.

O comprimento original do peixe, em centímetros,

corresponde a:

a) 2,50

b) 2,75

c) 3,00

d) 3,25

17. (Uerj 2014) Observe o anúncio abaixo, que

apresenta descontos promocionais de uma loja.

Admita que essa promoção obedeça à seguinte

sequência:

- primeiro desconto de 10% sobre o preço da

mercadoria;

- segundo desconto de 10% sobre o valor após o

primeiro desconto;

- desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo

desconto.

Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor,

após os três descontos, é igual a R$710,00.

18. (Ibmec 2013) Um recipiente contém 2565 litros de

uma mistura de combustível, sendo 4% constituídos de

álcool puro. Quantos litros desse álcool devem ser

adicionados ao recipiente, a fim de termos 5% de álcool

na mistura?

a) 29 b) 27 c) 25 d) 23 e) 20

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO

19. Certa tarefa seria executada por 15 operários

trabalhando 8 horas por dia, durante 20 dias. Se 5

trabalhadores foram transferidos quando completados

13 dias do início da tarefa, em quantos dias os 10

trabalhadores restantes concluirão a tarefa, se, agora,

eles trabalharão 7 horas por dia?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15


AULA: 03


20. (Unesp 2014) Semanalmente, o apresentador de

um programa televisivo reparte uma mesma quantia em

dinheiro igualmente entre os vencedores de um

concurso. Na semana passada, cada um dos 15

vencedores recebeu R$ 720,00. Nesta semana, houve

24 vencedores; portanto, a quantia recebida por cada

um deles, em reais, foi de

a) 675,00. b) 600,00. c) 450,00.

d) 540,00. e) 400,00.

21. (Unicamp 2014) A razão entre a idade de Pedro e

a de seu pai é igual a 2/9 Se a soma das duas idades é

igual a 55 anos, então Pedro tem

a) 12 anos. b) 13 anos. c) 10 anos. d) 15 anos.

22. (Ufpe 2013) Uma expedição tinha alimento

suficiente para 30 dias. Passados 10 dias do seu início,

outras 18 pessoas se juntaram às primeiras e o

alimento durou mais 16 dias. Quantas eram as pessoas

no início da expedição?

23. (ifba 2012) Se foram feitos 2/5 de um relatório em

10 dias por 24 alunos, que estudaram 7 horas por dia,

então quantos dias serão necessários para terminar

este relatório, sabendo-se que 4 alunos desistiram e

que o restante agora estuda 6 horas por dia?

a) 25 b) 22 c) 20 d) 21 e) 19

24. (Ufpe 2013) A, B e C são sócios de uma pequena

empresa. Quando os três trabalham o mesmo número

de horas em um projeto, o pagamento recebido pelo

projeto é dividido da seguinte maneira: A recebe 45%

do total, B recebe 30% e C recebe os 25% restantes.

Em determinado projeto, A trabalhou 15 horas, B

trabalhou 20 horas e C trabalhou 25 horas. Se o

pagamento foi de R$1.900,00, quanto caberá a C, em

reais?

25. (Enem 2013) Uma indústria tem um reservatório de

água com capacidade para 900 m3. Quando há

necessidade de limpeza do reservatório, toda a água

precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por

seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está

cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório,

com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água

deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório

estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório

deverão ser idênticos aos do já existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser

igual a

a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. e) 9.

26. (Enem 2011) Considere que uma pessoa decida

investir uma determinada quantia e que lhe sejam

apresentadas três possibilidades de investimento, com

rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um

ano, conforme descritas:

Investimento A 3% ao mês

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem

sobre o valor do período anterior. O quadro fornece

algumas aproximações para a análise das

rentabilidades:

n n1,03

3 1,093

6 1,194

9 1,305

12 1,426

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade

anual, essa pessoa deverá

a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C,

pois as suas rentabilidades anuas são iguais a 36%.

b) escolher os investimentos A ou C, pois suas

rentabilidades anuais são iguais a 39%.


AULA: 03


c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade

anual é maior que as rentabilidades anuais dos

investimentos B e C.

d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de

36% é maior que as rentabilidades de 3% do

investimento A e de 18% do investimento C.

e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de

39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano

dos investimentos A e B.

27. (ifsp 2013) Em uma cidade, sabe-se que 40% dos

trabalhadores estão desempregados. Desse grupo,

60% não concluíram o ensino médio. A porcentagem

do total de trabalhadores que estão desempregados e

concluíram o ensino médio é de

a) 16%. b) 20%. c) 24%. d) 28%. e) 32%.

28. (Ufsc 2013) Na segunda-feira, um comerciante

decide vender um produto com um desconto de 10%.

Na sexta-feira, como não obteve muito sucesso, decide

acrescentar um novo desconto de 20% sobre o valor

obtido após o primeiro desconto. Calcule o desconto

total no preço original do produto.

29. (ifsp 2013) Em um supermercado, quatro caixinhas

de água de coco custam R$10,00. Hoje, dia de

promoção, cinco dessas caixinhas custam R$8,00.

Nessa promoção, a porcentagem de desconto no preço

de cada caixinha é

a) 18%. b) 24%. c) 30%. d) 36%. e) 48%.

30. (Fgv 2013) O PIB per capita de um país, em

determinado ano, é o PIB daquele ano dividido pelo

número de habitantes. Se, em um determinado período,

o PIB cresce 150% e a população cresce 100%,

podemos afirmar que o PIB per capita nesse período

cresce

a) 20% b) 25% c) 35% d) 45% e) 50%

31. (Espm 2013) Carlos fazia um teste por computador

em que, a cada resposta dada, era informado sobre a

porcentagem de acertos até então. Ao responder à

penúltima questão, sua porcentagem de acertos era de

37,5% e, ao responder à última, ela passou para 40%.

O número de questões dessa prova era:

a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10

32. (Unesp 2012) Um quilograma de tomates é

constituído por 80% de água. Essa massa de tomate

(polpa+H2O)é submetida a um processo de

desidratação, no qual apenas a água é retirada, até que

a participação da água na massa de tomate se reduza

a 20% Após o processo de desidratação, a massa de

tomate, em gramas, será de:

a) 200.

b) 225.

c) 250.

d) 275.

e) 300.


AULA: 03


GABARITO:

EXERCÍCIOS DE AULA

Resposta da questão 1: [D]

2.12 = p.22 = 8.m2

4p = 2 p = ½

8m2 = 2 m2 = ¼ m = 2

1

2

1

4

1= mm

(x >0)

Logo p = m = ½

Resposta da questão 2: [C]

Vamos considerar o valor da herança igual a 14x.

Viúva 6x

Filha 4x

Filho 3x

Segurança 500

6x + 4x + 3x + 500 = 14x x = 500

Calculando o valor da herança, temos: 500.14 = 7000.


Considerando, que x + y + z = 310.

kx

2

k2x 3y 5z k y

3

kz

5

k k k 15k 10k 6k 9300310 k 300

2 3 5 30 30

Logo, x 150, y 100 e z 60

=

= = = =

=

+ ++ + = = =

= = =

Resposta da questão 4:

Seja T o trabalho a ser realizado.

Sejam p, s

e t, respectivamente, as habilidades dos três

trabalhadores. Logo,

T10,

s t

T12

p t

=+

=+

e

T15.

p s=

+

Queremos calcular

T.

p s t+ +

Segue que:

10(s t) 12(p t) t 5s 6p.

3s 7s12(p t) 15(p s) 4(p 5s 6p) 5(p s) p e t .

5 5

+ = + = −

+ = + + − = + = =

Assim,

T T T.

3s 7sp s t 3ss

5 5

= =+ +

+ +


AULA: 03


Mas

T12

p t

3s T Tp 12 24.

3s 7s5 s

5 57st

5

=+

= = =

+

=

Portanto,

T 1 T 124 8

3s 3 s 3= = =

dias.

Resposta da questão 5: 15

Fab H/D Vol D

12 480 800 15

x 432 600 10

𝑥

12=

480

432 .

600

800 .

15

10

x = 15


A duração da ração, em dias, é inversamente proporcional à

quantidade de frangos, ou seja,

kd ,

f=

em que d é o número de dias, f é o número de frangos e

k é a constante de proporcionalidade. Desse modo,

k30 6 k 24 42.

42− = =

Portanto,

k 24 42d' d' 14

f ' 42 30

= = =

+ dias.


Após o desembarque, (1-0,2) ×n = 0,8n passageiros

ficaram no vagão. Assim, após a entrada de 20% da

quantidade de passageiros que permaneceu após o

desembarque, teremos:

(1 0,2) 0,8n 120 1,2 0,8n 120

8n 1000

n 125.

+ = =

=

=

Resposta da questão 8: [B]

A quantidade de prata presente em 160 g na liga metálica

é:

− = =(100 18)% 160 0,82 160 131,2 g.

Se x é a quantidade de prata, em gramas, que deve ser

retirada da liga, então:

− = − = =

−

131,2 x100% (100 32)% 8x 560 x 70.

160 x


Tabela À vista Cartão

x 0,7x 1,1x

0,7x = 7000

x = 10000

1,1x = 11.000


Considerando:


AULA: 03


C = preço de custo e D = desconto, temos:

1,8C.(1-D) = 1,44C dividindo a equação por C:

1,8(1-D) = 1,44

D = 0,2 ou 20%


Considerando:

V = preço de venda

C= preço de custo

L = lucro

V = 1,2C = 30

C = 30/1,2

C = 25

L = V- C

L = 30 – 25 = 5 reais por cada para de sapatos

Lucro mensal = 5 x 2000 = 10.000.

Logo, o investimento será recuperado em 12 meses.

TAREFA MÍNIMA

Resposta da questão 12: [A]

A torneira 1 enche 1/36 do tanque em 1 minuto.

A torneira 2 enche 1/24 do tanque em 1 minuto, daí

k k 3 22x 3K 9 48 5k 39 k 7,8min.

36 24 3

++ = + + = = =

Tempo total em porcentagem da hora:

7,8 7,8 30,31 31%.

60

+ += =


6 100 5 6 1x 12

x 125 8 x 2= = =

Logo, será preciso dobrar a quantidade de homens.


1 ano e 8 mes2 5

5 5 anos3 3

es− = = (menor tempo com

a maior redução).

11 75

1 2 an5 15 oa sno es6 6

6 meses− = = (maior

tempo com a menor redução).

De 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses, portanto,

alternativa [A].


Partes x, y e x. Como a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais, temos:

kx

3

k3x 5y 6z k y

5

kz

6

k k kx y z 2100 2100 k 3000

3 5 6

logo x = 1000, y = 600 e x = 500

=

= = = =

=

+ + = + + = =


AULA: 03


A única alternativa correta é a [D], pois se a divisão fosse

feita em partes iguais, cada um receberia R$ 700,00, ou

seja, o filho mais velho receberia 200 reais a mais e 200 é

40% de 500.


x = comprimento do peixe em cm.

x + 50x = 153

51x = 153

x = 3 cm

O comprimento do peixe é 3 cm.


Considere x o preço inicial da mercadoria, portanto:

( )2

x 0,9 – 100 710 x R$ 1.000,00 = =


Seja n o número de litros de álcool que devem ser

adicionados à mistura, a fim de termos 5% de álcool. O

valor de n é tal que

n 0,04 25650,05 n 102,6 0,05n 128,25

n 2565

0,95n 25,65

n 27.

+ = + = +

+

=

=

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO

Resposta da questão 19: 12

Op H/D D Tarefa

15 8 20 20

10 7 x 7

𝑥

20=

15

10 .

8

7 .

7

20

x = 12


720 15 24 x x 450. = =


Se x é a idade de Pedro, e a soma das duas idades é igual

a 55 anos, então a idade do pai de Pedro é igual a 55 x.−

Portanto, sabendo que a razão entre as idades é igual a 2

,9

obtemos

x 211x 110 x 10.

55 x 9= = =

−


Seja p o número inicial de pessoas.

Se a expedição mantivesse o planejamento inicial, p

pessoas consumiriam 10 2130 3

− = do alimento nos últimos


AULA: 03


em 20 dias da expedição. Porém, como 18 pessoas se

juntaram as primeiras p pessoas, o alimento durou apenas

16 dias.

Sabendo que o número de pessoas é inversamente

proporcional à duração da provisão de alimento, temos:

p 18 20 5p 4p 72 p 72.p 16

+= = + =


2 20 6 10x 21

3 24 7 x = =


Sejam x, y e z, respectivamente, as partes recebidas por

A,B e C.

Como x, y e z são diretamente proporcionais a

0,45; 0,30; 0,25 e 15, 20, 25, simultaneamente, temos:

x y z 1900

.yx z

0,45 15 0,3 20 0,25 25

+ + =

= =

Logo, pela propriedade das proporções, vem

x y z z 1900 1z 250,45 15 0,3 20 0,25 25 0,25 25 19 4

z 625.

+ += =

+ +

=

Portanto, caberá a C a quantia de 625,00 reais.


Sejam n, V e t, respectivamente, o número de ralos, o

volume a ser escoado e o tempo de escoamento. Logo,

Vn k ,

t=

com k sendo a constante de proporcionalidade.

Para n 6,= 3V 900 m= e t 6 h,= temos

900 16 k k .

6 25= =

Portanto, se 3V ' 500 m= e t ' 4 h,= vem

1 500n' 5,

25 4= =

que é o resultado procurado.


V = valor aplicado.


AULA: 03


Rentabilidade anual de valor V aplicado no investimento:

A: V(1,03)12 = 1,426V

B: V.(1,36) = 1,36.V

C: V.(1,18)2 = 1,392V

A rentabilidade de A é maior.


x é o número de trabalhadores.

0,4x é a porcentagem de trabalhadores desempregados.

0,6.0,4 = 0,24x é a porcentagem de trabalhadores

desempregados que não concluíram o ensino médio.

Logo, a porcentagem de trabalhadores desempregados que

concluíram o ensino médio é de:

0,4x – 0,24x = 0,16x, ou seja, 16% do número total de

trabalhadores.

Resposta da questão 28: 28.

Valor inicial: x

Valor após o primeiro desconto: 0,9x

Valor após o segundo desconto: 0,8.0,9x = 0,72x

Desconto total concedido: 0,28x, ou seja, 28% de x


Preço da caixinha sem a promoção: 10/4 = R$2,50

Preço da caixinha com promoção: 8/5 = R$1,60

Desconto da promoção: R$0,90

Em porcentagem: 0,90/2,50 = 9/25 = 36/100 = 36%


Sejam p e n, respectivamente o PIB e a população do

país.

A variação percentual pedida é dada por

2,5p p 0,5p

2n n 2n100% 100%p p

n n

25%.

−

=

=


Sejam e respectivamente, o número de questões da

prova e o número de acertos até a penúltima questão.

Portanto,


Seja x a massa de água que será retirada, em gramas, de

1kg de massa de tomate.

Como, após o processo de desidratação, a massa de água

deverá corresponder a 20% da massa de tomate, vem

n c,

c0,375

c 0,375n 0,375n 1

c 1 c 0,400n 10,400

n

0,375n 0,375 0,400n 1

n 25.

= = − −

+ = − =

− = −

=


AULA: 03


800 x 800 x 120%

1000 x 1000 x 5

4000 5x 1000 x

x 750 g.

− −= =

− −

− = −

=

Portanto, após o processo de desidratação, a massa de

tomate, em gramas, será de

1000 750 250 g.− =

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