matemÁtica aplicada ao planejamento da produÇÃo e ... · • a po é uma ciência aplicada...
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Apoio Financeiro:
Silvio A. de AraujoSocorro Rangel
[email protected], [email protected]
MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
AULA 1
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
AULA 2
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
AULA 3
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
Introdução
- Neste curso veremos aplicações de Pesquisa Operacional(Operations Research)
Definição de Pesquisa Operacional (PO):• A PO é uma ciência aplicada voltada para a resolução de
problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões;
• Aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas naconcepção, planejamento ou operação de sistemas.
IntroduçãoComo surgiu a PO:• O termo Pesquisa Operacional: invenção do radar na
Inglaterra em 1934 (Operações Militares)
• Segunda Guerra Mundial: para lidar com problemas denatureza logística, tática e de estratégia militar.
• Criaram -se grupos multidisciplinares de matemáticos, físicose engenheiros e cientistas sociais.
• Desenvolve-se a ideia de criar modelos matemáticos, apoiadosem dados e fatos, que permitisse perceber os problemas emestudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégiasou decisões alternativas.
Introdução
O desenvolvimento da PO:• Após a guerra, esses grupos de cientistas e a sua nova
metodologia se transferirampara as empresas.
• Destaque para George Dantzig como Método Simplex paraproblema de otimização linear
• No Brasil a partir de 1960
• Hoje, com o apoio de meios computacionais de crescentecapacidade e disseminação, permite-se trabalhar empraticamente todos os domínios da atividade humana, daEngenharia à Medicina, passando pela Economia e a GestãoEmpresarial.
Introdução
• O desenvolvimento da PO:
• Em alguns países, emque prevaleceu a preocupação comosfundamentos teóricos, a POse desenvolveu sob o nome deCiência da Gestão ou Ciência da Decisão;
• Em outros, emque predominou a ênfase nas aplicações, como nome de Engenharia Industrial ou Engenharia deProdução.
IntroduçãoAlgumas aplicações práticas
Roteirização de VeículosProblema:entrega de mercadoria aos clientes.
Decisão: qde de carga a ser colocada em cada caminhão; quais caminhões irão atender quais clientes.
Decisão:otimizar as rotas dos veículos considerando eventual necessidade de reabastecimento.
Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas, coleta de lixo urbano, etc.
Ensalamento em Escolas e Universidades (Timetabling)Problema: alocação de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas,
Decisão: gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maximizar preferências, compactar horários de professores e alunos
Aplicações: instituições de ensino
Introdução
Corte de Materiais Problema:cortar peças grandes em pedaços menores de acordo com as demandas dos clientes.
Decisão:otimizar a maneira de cortar as peças grandes de modo que o desperdício seja minimizado e que as demandas dos clientes sejam atendidas.
Aplicações:industrias de fabricação de vidro, metal, madeira, rolos de papel, colchões, etc.
Empacotamento Problema:empacotar itens de modo que o espaço necessário para guardá-los seja o menor possível (inverso do problema de corte)
Decisão:otimizar a maneira de empacotar itens minimizando o espaço necessário.
Aplicações:paletização de cargas, carregamento de caminhões, etc.
Escalonamento de Trabalho HumanoProblema:alocar funcionários às tarefas.
Decisão:otimizar tais alocações considerando restrições trabalhistas e restrições operacionais de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam minimizados
Aplicações:companhias aéreas, centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.
Introdução
Localização de FacilidadesProblema:deseja-se determinar quais os melhores locais para instalação das facilidades
Decisão:otimizar as decisões sobre as localizações de forma que todos os clientes sejam atendidos aum custo mínimo.
Aplicações:instalação de depósitos industriais, pronto-socorro, corpo de bombeiros.
Projeto de Redes Problema:projetar redes com algumas restrições de conectividade.
Decisão:otimizar as ligações da rede com o menor custo possível de forma que nós importantes tenham a comunicação assegurada (inclusive com rotas alternativas para o caso de problemas de conectividade) enquanto outros menos importantes e podem servir apenas como um nó intermediário
Aplicações:construção de redes em geral, energia, telefonia, computadores, etc.
Introdução
Dimensionamento de Lotes (Planejamento de Produção)Problema:planejar a produção para um determinado horizonte de tempo.
Decisão:decidir quanto deve produzir a cada período de forma a atender toda a demanda e minimizar os custos. Pode-se considerar restrições de capacidade de produção.
Aplicações:industrias em geral;
Sequenciamento de Tarefas em Máquinas Problema: fabricar determinado produto final a partir da execução de tarefas
operacionais.
Decisão:otimizar a ordem em que as tarefas devem ser processadas em cada máquina deforma a minimizar o tempo de produção. As tarefas podem ter regras de precedência entre si.
Aplicações:industrias em geral;
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
7. Considerações Finais
1.1 Construção de um modelo matemático
1.2 Modelos de otimização
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução
1.4 Reformulações e limitantes
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Um Exemplo Simples: da Prática para Matemática
Uma empresa de consultoria financeira tem um capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 16 bons investimentos com diferentes níveis de risco e de retorno. A decisão a ser tomada consiste em escolher ou
não determinado investimento.
Matematicamente podemos considerar esta decisão utilizando uma variável binária:
para j=1,...,16wj = 1 se o investimento j for selecionado
0 caso contrário
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados
16
jj 9
w 3====
≤≤≤≤∑∑∑∑
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados
c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado
16
jj 9
w 3====
≤≤≤≤∑∑∑∑
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados
c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado
16
jj 9
w 3====
≤≤≤≤∑∑∑∑
w4 + w9 = 1
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados
c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado
d) o investimento 11 pode ser selecionado só se o 2 também for
16
jj 9
w 3====
≤≤≤≤∑∑∑∑
w4 + w9 = 1
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8
jj 1
w 1====
≥≥≥≥∑∑∑∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados
c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado
d) o investimento 11 pode ser selecionado só se o 2 também for
16
jj 9
w 3====
≤≤≤≤∑∑∑∑
w4 + w9 = 1
w11≤≤≤≤w2
• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas
Exemplo com Números: da Prática para a MatemáticaElementos Conhecidos:Uma empresa tem$14.000 de capitaldisponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bonsinvestimentos cujos respectivos lucros esperados são $16.000,$22.000, $12.000 e $8000. Cada investimento só pode ser feito umaúnica vez e necessita umdesembolso de $5000, $7000, $4000 e$3000, respectivamente.Formule ummodelo matemático que determine os investimentos quemaximizamo lucro esperado.
Para construir um modelo matemático devemos considerar:
Elementos Desconhecidos:o que queremos determinar?
Função Objetivo:qual o objetivo que queremos otimizar?
Restrições:quais são as restrições que devem ser consideras?
1.1 Construção de um Modelo Matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Modelo matemático:
Função Objetivo: max z = 16 x1 + 22 x2 + 12 x3 + 8 x4
Restrições: sujeito a 5x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 <= 14
xj = 0 ou 1; j=1,2,3,4
Elementos Desconhecidos:Variáveis de decisão (paraj=1,...,4)
1 se o investimentoj for escolhidoxj =
0 caso contrário
1.1 Construção de um Modelo Matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Considere agora as restrições adicionais:1. Se se decidir pelo investimento 2, então tem-se que fazertambémo 12. Se se decidir pelo investimento 2, então não se pode fazer o 4.
Exercício: Modele estas novas situações:
1. x2 ≤≤≤≤ x1
2. x2 + x4 ≤≤≤≤ 1
1.1 Construção de um Modelo Matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Modelo Final:
max z = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8 x4
sujeito a 5x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 <= 14x2 <= x1
x2 + x4 <= 1xj = 0 ou 1; j=1,2,3,4
1.1 Construção de um Modelo Matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
1. Modelagem matemática: conceitos básicos1.1 Construção de um modelo matemático
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Descrição do Problema:
• uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a
minimizar o custo de produção desta liga
Exemplo real: o problema da mistura
Descrição do Problema: dadosIngredientes
Composição %
Lingotes Grafite Restos
Industriais
Restos
Domicil.
Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29
Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35
Ferro-gusaComposição %
Composição Mínima
Carbono 0.43Silício 0.19
Manganês 0.12
Exemplo real: o problema da mistura
Matéria-prima: ingredientes
Exemplo real: o problema da mistura
Liga Metálica (Mistura)
Exemplo real: o problema da mistura
Fabricação da Peça
Exemplo real: o problema da mistura
Descrição do Problema: dadosIngredientes
Composição %
Lingotes Grafite Restos
Industriais
Restos
Domicil.
Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29
Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35
Ferro-gusaComposição %
Composição Mínima
Carbono 0.43Silício 0.19
Manganês 0.12
Exemplo real: o problema da mistura
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Construindo um modelo para o Problema da Mistura
Neste problema temos:
elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes
elementos desconhecidos: quanto colocar de cadaingrediente na mistura
objetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baixo custo
restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima decomponentes
Exemplo real: o problema da mistura
Variáveis de decisão:- A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - xj: quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura
- Função Objetivo:Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
- Restrições de Composição Mínima:0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43) :C0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19) :Si0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x14 ≥≥≥≥ 30 (0.12) :Mn
- Restrições de Não Negatividade das Variáveis:x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
- Restrições de Atendimento da Demanda:x1 + x2 + x3 + x4 = 30
Exemplo real: o problema da mistura
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43)
0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19)
0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.12)
x1 + x2 + x3 + x4 = 30
x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
Exemplo real: o problema da mistura
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43)
0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19)
0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.12)
x1 + x2 + x3 + x4 = 30
x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
Exemplo real: o problema da mistura
Mistura: x1 = 19,3333; x2 = 0; x3 = 4,66667; x4 =6Valor do f.o.=2066,666667
Solução
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
C: 0.50x1+ 0.9 x2+ 0.50 x3+ 0.15 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.43)
Si: 0.20x1+ 0.0 x2+ 0.02 x3+ 0.29 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.19)
Mn: 0.23x1+ 0.0 x2+ 0.16 x3+ 0.05 x4 ≥≥≥≥ 30 (0.12) => 4,447+0+0,745+0,3=5,492≥≥≥≥3,6
x1 + x2 + x3 + x4 = 30
x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
Exemplo real: o problema da mistura
Mistura: x1 = 19,3333; x2 = 0; x3 = 4,66667; x4 =6Valor do f.o.=2066,666667
Solução
Revisão 1:gerente percebe que a quantidade de manganês está excessiva e informa que também existe um limite máximo para
cada componente. No caso do manganês 0.18*30=5.4Ingredientes
Composição %
Lingotes Grafite Restos
Industriais
Restos
Domicil.
Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29
Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35
Ferro-gusaComposição %
Composição Mínima
Composição Máxima
Carbono 0.43 0.65Silício 0.19 0.30
Manganês 0.12 0.18
Exemplo real: o problema da mistura
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18):Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30
x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
Exemplo real: o problema da mistura
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18) :Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30
x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
Exemplo real: o problema da mistura
Mistura: x1 = 18,9573; x2 = 0,234543; x3 = 4,45009; x4 =6,26805Valor do f.o.=2081,260471
Solução
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18) :Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30
x1 ≥≥≥≥0; x2 ≥≥≥≥0; x3 ≥≥≥≥0; x4 ≥≥≥≥0
Exemplo real: o problema da mistura
Mistura: x1 = 18,9573; x2 = 0,234543; x3 = 4,45009; x4 =6,26805Valor do f.o.=2081,260471
Solução
IngredientesComposição %
Lingotes Grafite Restos
Industriais
Restos
Domicil.
Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29
Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35Estoque (ton) 15 20 12 10
Ferro-gusaComposição %
Composição Mínima
Composição Máxima
Carbono 0.43 0.65
Silício 0.19 0.30Manganês 0.12 0.18
Revisão 2:existe uma política nova da empresa de limitar a quantidade de matéria prima estocada
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18) :Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30
0≤ x1 ≤ 15; 0≤ x2 ≤20; 0≤ x3 ≤12; 0≤ x4 ≤10
Exemplo real: o problema da mistura
Modelo Matemático
Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4
Sujeito a:
30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18) :Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30
0≤ x1 ≤ 15; 0≤ x2 ≤20; 0≤ x3 ≤12; 0≤ x4 ≤10
Mistura: x1 = 15; x2 = 2,70297; x3 = 3,20792; x4 =9,08911Valor do f.o.=2234,851485
Solução
Exemplo real: o problema da mistura
1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Tela Inicial
Composição de cada Liga
Composição de cada Ingrediente
Composição de cada Liga
Cálculo da Liga
Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 725,55 554,21 31,1
CF-8M 1066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,01 31,6
CA-15 227,48 195,87 16,1
Diferença Significativa
considerando que a indústria produz 10 cargas por dia
Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg
Exemplo real: o problema da mistura
- Composição Química dos Ingredientes Incorreta;
- Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos;
- Informações de Estoques Incorretas;
- Custos de EstocagemImprecisos, etc.
Dificuldades Encontradas Durante o
Desenvolvimento
Durante o desenvolvimento do programa
foram detectados vários problemas
Exemplo real: o problema da mistura
Possíveis Melhorias Obtidas
- Melhoria na Qualidade de Informações Básicas;
- Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores;
- Melhoria da Qualidade da Liga Feita;
- Redução nos Custos das Ligas;
- Melhoria no Armazenamento de Novas Informações
Possíveis Problemas Resolvidos Após o
Desenvolvimento do Programa
Exemplo real: o problema da mistura
- Simular para Estabelecer Preço de Venda
- Simular para Discutir Preço de Compra
- Simular para Prazo de Entrega aos Clientes
- Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima
Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações
Exemplo real: o problema da mistura
Passos para Resolução do Problema
• Modelagem Matemática
• Organização dos dados
• Implementação computacional: Método Simplex
• Desenvolvimento da Interface
Exemplo real: o problema da mistura
1.2 Modelos de Otimização1. Modelagem matemática: conceitos básicos
1.2 Modelos de Otimização1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Algumas Classes de Modelos de Otimização• Modelos de Otimização Linear Contínua• Modelos de Otimização Inteira• Modelos de Otimização Inteira Mista• Modelos de Otimização Não linear
(OL): - Se a função-objetivo e as restrições forem lineares.- Se variáveis puderem assumir qualquer valor real, temos ummodelo de
otimização linear contínuo (OL).
n
T
Rxx
bAx
asujeito
xcz
∈≥≤
=
,0
:
min
onde: c ∈ Rn, A ∈ Rm x n, b ∈ Rm
−−−=
11
54
59
A
−=
1
5
45
b
Exemplo OL: max z=10x1+6x2sujeito a:
Observe que, neste exemplo: cT =(10, 6),
751
13z =.
Modelos de Otimização Linear Contínua
9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x∈ R2
(OI): - Se no Modelo anterior restringirmos as variáveis de forma que só possamassumir valores inteiros, teremos um modelo de otimização linear inteira (OI).
- Em alguns modelos os valores inteiros que as variáveis podem assumir são0 e 1 (variáveis binárias).
Exemplo OI:max z=10x1+6x2sujeito a:
.
Modelos de Otimização Inteira
- Solução do exemplo OL está bem distante da solução do exemplo OI . - A solução arredondada (3, 3) também está distante;
Solução ótima x=(5,0) e z=50 9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x∈ Z2
Ζ∈≥≤
=
xx
bAx
asujeito
xcz T
,0
:
min
(OIM): Em determinadas circunstâncias interessa que apenas um subconjunto devariáveis esteja restrito a assumir valores inteiros. Neste caso, temos um modelo deotimização inteira mista (OIM).
Exemplo OIM:max z=10x1+6x2sujeito a:
9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x1 ∈ R1, x2 ∈ Z1
.
.
1(3 ,3)
3=x
151
3z =solução ótima e
Modelos de Otimização Inteira Mista
)(,...,1,,0
:
min
nppjxx
bAx
asujeito
xcz
j
T
<=Ζ∈≥≤
=
(ONL): Modelos tais que a função-objetivo é não linear e/ou o conjunto de restrições é formado por equações ou inequações não lineares são chamados de modelos de otimização não-linear (ONL).
- Situações que envolvam modelos não-lineares e que não possam ser representadas por modelos lineares fogem do escopo deste curso e não serão discutidas
Modelos de Otimização não Linear
Tipos de Ferramentas
• Específicas– Modelagem:
• LINGO, MPL, AMPL, OPL,XPRESS-MOSEL, ZIMPL
– Resolução• LINGO, CPLEX, GUROBI
XPRESS-MP, LPSOLVE, CLP
• Gerais– Planilhas de cálculo
– EXCEL, LOTUS 123
• Simulação
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Sistemas Algébricos de Modelagem:Objetivos
• Interface com sistemas de resolução
• Separar o modelo dos dados
• Facilitar a construção de um modelo
• Documentar
• Facilitar a manutenção do modelo
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Sistemas de Resolução• Comerciais
– CPLEX, XPRESS-MP• Problema de otimização: contínua, inteira, quadrática• Arquivos no formato:MPS, próprio (algébrico)• Possuem linguagem de modelagem
• Não-Comerciais– CLP (COIN-OR Linear Program Solver)– LPSOLVE
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Sistemas Algébricos de Modelagem:Estrutura Geral
• Conjuntos e índices– locais:{Rio, SP, Goiânia}, códigos:{A11, B45}, mês:{jan, fev,...}
• dados, parâmetros, tabelas– separa o modelo de um exemplar do mesmo– fornecidos em arquivos de dados; retirados de planilhas de cálculo
ou banco de dados• variáveis de decisão
– agrupar por tipos, definir para subconjuntos de índices• função objetivo
– linear ou não linear• Restrições
– agrupar por tipos e expandir, definir para subconjuntos de índices
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos
MPL• Modelagem:
– otimização contínua, inteira, não linear
• Formato de arquivos (MPS, CPLEX,...)
• Conexão com EXCEL, Banco de dados
• Gráfico da Estrutura da matriz de restrições
• Conexão com sistemas de resolução (CPLEX, FORTMP,...)
XPRESS-MOSEL• Linguagem Procedural• Integração com Linguagens de Programação (C, Java,
Visual Basic)
AMPL• Linguagem Procedural• Modelagem
– otimização contínua, inteira, quadrática• Interface gráfica com poucos recursos• Permite a criação de subrotinas
Linguagens de Modelagem: Principais Comandos
MPLTITLEINDEXDATAVARIABLESMODEL
MIN (ou MAX)SUBJECT TOEND
AMPLSETdefine um índice;PARAMdefine uma estrutura (vetor ou matriz) que irá
armazenar os elementos conhecidos do exemplar, fornecidos no arquivo nomemodelo.dat;
VARdefine variáveis de decisão;MINIMIZE (ou MAXIMIZA)define a função-objetivo e o critério de otimizaçãoSUBJECT TOdefine um conjunto de restrições
XPRESS-MOSEL
MODEL nome do model
Instruções para compilação
Definição de parâmetros
Definição do modelo
Definição de algoritmosEND-MODEL
Endereços na WWW• Comerciais (versão de estudante ou Licença Acadêmica gratuita)
MPL : http://www.maximal-usa.com/
XPRESS: http://www.dashoptimization.com/
AMPL : http:www.ampl.com//
GUROBI: http://www.gurobi.com/products/gurobi-optimizer/try-for-yourself
•Não ComerciaisCLP (COIN-OR Linear Program Solver)
http://www.coin-or.org/Clp/
LPSOLVE - http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/
ZIMPL - http://www.zib.de/koch/zimpl/
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos
1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Exemplo, usando o AMPL e o Excel, de resolução do problema da
mistura na fundição
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
- Considere umproblema de otimização linear inteira (OI)de minimização.
inteiros,
0,
1374..
2111min
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xx
≥≤+
−−Exemplo
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
- Se conhecermos umlimitante inferior (LI) e umlimitante superior (LS) para ovalor ótimo do problema,e se a diferença (LS-LI) é igual a zero, ou menor queuma tolerância pré-estabelecida, podemos dizer que ovalor LS é ótimo para o problema.
LI
ótimo
LSmin
-Como obter LSe LI?
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
- Limitante Superiores (LS): tambémconhecidos comolimitantes primais são obtidos coma obtenção de umasolução factível para o problema
(a)
Ótimo = -33 inteiros,
0,
1374..
2111min
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xx
≥≤+
−−
LI
ótimo=-33
LS=-32
min
x1=3x2=0
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
- Limites inferiores (LI): (limites duais) podemser obtidospela construção de ummodelo relaxado, isto é, comumvalor ótimo menor ou igual que o valor ótimo doproblema original.
- Uma relaxação fácil de ser construída, e muito usadapara auxiliar na resolução de umproblema (OI) é aRelaxação Linear.
inteiros,
0,
1374..
2111min
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xx
≥≤+
−−
(b) (a)
Ótimo = -33
Ótimo = -39
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
0,
1374..
2111min
21
21
21
≥≤+
−−
xx
xxas
xx
LI= -39
ótimo=-33
LS
min
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
- Importância de se obter bons limitantes
- Quanto menor o limitante superior e maior o limitanteinferior, melhor será a avaliação da qualidade da soluçãofactível que temos.
- A maioria dos sistemas computacionais incluiprocedimentos para a obtenção de limites inferiores esuperiores.
- Estes limites são usados emmétodos de enumeraçãoimplícita para a resolução dos problemas de otimizaçãointeira e inteira mista.
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Reformulações:
- Quando se temduas ou mais formulações para ummesmo problema, interessa saber qual delas é melhor emtermos do limite inferior associado.
- Basicamente: se uma formulação P1 é melhor que outraP2, então o valor da relaxação linear, z(RL1), associadaa umproblema de OI é mais forte ou igual (≥ no caso deminimização) que o valor associado a P2 (z(RL2)).
- Observe que P1 e P2 definemas regiões factíveis dasduas formulações.
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
inteiros0,
1374..
2111min
21
21
21
≥≤+
−−
xx
xxas
xx
inteiros0,
1
1374..
2111min
21
2
21
21
≥≤≤+
−−
xx
x
xxas
xx
(a)
Ótimo = -33
(a)
Ótimo = -33
P1 P2
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
0,
1374..
2111min
21
21
21
≥≤+
−−
xx
xxas
xx
0,
1
1374..
2111min
21
2
21
21
≥≤≤+
−−
xx
x
xxas
xx
P1P2
zP2=-39
ótimo=-33
LS
min
(b) (a)
Ótimo = -39
Ótimo = -37,5
zP1=-37,5
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
- É interessante observar tambémque, bons limitesinferiores podem ser obtidos pela reformulaçãoautomática do problema obtida pela inclusão deinequações válidas.
Para Saber Mais
1. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)
2. Wiliams, H.P., Model Building in Mathematical Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1990.
3. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1998.
4. Arenales, M., Armentano, V., Morabito, R. E Yanasse, H.-Pesquisa Operacional, Elsevier, 2007.
1. Modelagem matemática: conceitos básicos
OBRIGADO
ATÉ AMANHÃ ÀS 8HS
Slides Adicionais
Exemplo: Branch-and-Bound
inteiros,
0,
1374..
2111min
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xx
≥≤+
−−
(b) (a)
Ótimo = -33
Ótimo = -39
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
x1=0x2=1.86
Ótimo = 37.5
InfactívelA
B
Suproblema A Subproblema B
0,
2
1374..
2111min
21
2
21
21
≥≥
≤+−−
xx
x
xxas
xx
0,
1
1374..
2111min
21
2
21
21
≥≤
≤+−−
xx
x
xxas
xx
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
x1=1.5x2=1
Suproblema C Subproblema D
0,
1
1
1374..
2111min
21
1
2
21
21
≥≤≤
≤+−−
xx
x
x
xxas
xx
0,
2
1
1374..
2111min
21
1
2
21
21
≥≥≤
≤+−−
xx
x
x
xxas
xx
Ótimo = 37Ótimo = 32
CD
x1=2x2=0.71
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Suproblema E Subproblema F
0,
0
2
1
1374..
2111min
21
2
1
2
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21
≥≤≥≤
≤+−−
xx
x
x
x
xxas
xx
0,
1
2
1
1374..
2111min
21
2
1
2
21
21
≥≥≥≤
≤+−−
xx
x
x
x
xxas
xx
Infactível
Ótimo = 35,75
F
E
x1=0x2=3.25
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos
Suproblema G Subproblema H
0,
3
0
2
1
1374..
2111min
21
1
2
1
2
21
21
≥≤≤≥≤
≤+−−
xx
x
x
x
x
xxas
xx
0,
4
0
2
1
1374..
2111min
21
1
2
1
2
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21
≥≥≤≥≤
≤+−−
xx
x
x
x
x
xxas
xx
(a)
Ótimo = -33
x1=3x2=0
1.4 Reformulação e limitantes1. Modelagem matemática: conceitos básicos