apostila po

83
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Medianeira Gerência de Ensino e Pesquisa Coordenações de Cursos CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO. DISCIPLINA: PESQUISA OPRACIONAL 1. PROFESSOR: LEVI LOPES TEIXEIRA. ROTEIRO DE ESTUDOS. Medianeira - Agosto/2011.

Upload: lisandro-bragagnolo

Post on 24-Oct-2015

690 views

Category:

Documents


21 download

TRANSCRIPT

Page 1: Apostila Po

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Medianeira Gerência de Ensino e Pesquisa

Coordenações de Cursos

CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO.

DISCIPLINA: PESQUISA OPRACIONAL 1.

PROFESSOR: LEVI LOPES TEIXEIRA.

ROTEIRO DE ESTUDOS.

Medianeira - Agosto/2011.

Page 2: Apostila Po

1

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................ 2 PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................................................................................... 2 CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.................................................................. 3 SOLUÇÀO GRÁFICA DE UM PPL......................................................................................................................... 8 SOLUÇÀO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÃOES LINEARES....................................................... 11 MÉTODO SIMPLEX.................................................................................................................................................. 12 MÉTODO DO M GRANDE...................................................................................................................................... 14 MÉTODO DAS DUAS FASES................................................................................................................................. 14 VARIÁVEL LIVRE E TIPOS DE SOLUÇÕES DE UM PPL........................................................................... 15 RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL..................................................................... 19 RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINDO................................................................... 21 RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINGO................................................................... 22 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE............................................................................................................................. 24 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE USANDO O SOLVER, LINDO E LINGO................................................ 28 DUALIDADE................................................................................................................................................................ 34 ANÁLISE ECONÔMICA........................................................................................................................................... 37 ALGORITMO DUAL SIMPLEX............................................................................................................................. 40 ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO........................................................................................................................ 41 MÉTODO SIMPLEX REVISADO.......................................................................................................................... 47 PROBLEMAS DE TRANSPORTES....................................................................................................................... 49 PROGRAMANDO NO LINGO................................................................................................................................. 56 PROBLEMAS DE TRANSBORDO........................................................................................................................ 59 PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO.......................................................................................................................... 63 OTIMIZAÇÃO EM REDES....................................................................................................................................... 67 MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE................................................................................................. 78

Page 3: Apostila Po

2

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

INTRODUÇÃO

A pesquisa operacional (P.O.) tem as suas origens nas operações militares no período da segunda guerra. Os recursos escassos levaram os comandos militares aliados a convocarem cientistas para desenvolverem procedimentos que otimizassem a alocação de recursos. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o método simplex, um algoritmo usado na resolução de problemas de programação linear (PPL). Um modelo de PPL é formado basicamente por uma função objetivo (que deverá ser maximizada ou minimizada) e restrições representadas por expressões lineares. São várias as áreas onde se aplicam a P.O.: 1) Problemas de misturas (adubos, ração, tintas, ligas metálicas, combustíveis, minérios, etc); 2) Problemas de corte (barras, bobinas, chapas, etc.); 3)Problemas de distribuição e localização (roteamento, localização de postos de saúde, escolas, etc); 4) Horários de trabalho (motoristas de ônibus, tripulação de avião, atendentes de telefone, etc.); 5) Planejamento de produção e estocagem (refinaria, indústria de móveis, etc.); 6) Finanças (crédito, bolsa de valores, etc.). PROGRAMAÇÃO LINEAR De maneira geral um modelo de P.O. pode ser representado da seguinte forma: Maximizar ou minimizar a função objetivo. Sujeito a Restrições CONCEITOS IMPORTANTES

a) Variáveis de decisão: São variáveis usadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada testando-se diversos valores das variáveis de decisão. Exemplo: O número de caminhões que a engarrafadora deve despachar num determinado dia.

b) Parâmetros: São variáveis usadas no modelo que não podem ser controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada admitindo como fixos os valores dos parâmetros. Exemplo: A capacidade de cada caminhão que vai transportar refrigerante. Os caminhões têm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total transportada que é limitada pela legislação rodoviária.

c) Função-objetivo: É uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador de decisão. Ela é de dois tipos (minimização e maximização). Exemplo: Minimizar os custos de transportes relativos à distribuição de refrigerantes.

d) Restrições: São regras que dizem que podemos (ou não) fazer e/ou quais são as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo.

PROPRIEDADES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR

Em modelos de PL, a função objetivo e as restrições são expressões lineares. Linearidade implica que a PL deve satisfazer 3 propriedades básicas:

1- Proporcionalidade: Essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional ao valor da variável. Por exemplo, na função objetivo maximizar receita = 4x1 + 3x2, as constantes de proporcionalidade são 4 e 3 para os produtos 1 e 2, respectivamente.

2- Aditividade: Essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis da função objetivo e das restrições seja a soma direta das contribuições individuais de cada variável. Em outras palavras a operação entre as variáveis deve ser adição ou subtração.

Page 4: Apostila Po

3

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

3- Certeza: Todos os coeficientes da função objetivo e das restrições do modelo de PL são determinísticos, o que significa que são constantes conhecidas.

CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

EXEMPLOS:

1- Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 qua são vendidos a $ 200 / un. E $ 300 /

un. , respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P1, P2

e P3, que são gastas da seguinte forma:

2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1,

4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1,

1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2,

1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2.

Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis no

máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.

O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que

devem ser produzidas para que a receita seja a maior possível. Construa o modelo do

problema como um PPL.

2- Um jovem pretende prestar um concurso público cujo exame envolve duas disciplinas, D1 e D2. Ele sabe que, para cada hora de estudo, pode obter 2 pontos na nota da disciplina D1 e 3 pontos na de D2 e que o rendimento é proporcional ao seu esforço. Ele dispõe de no máximo 50 horas para os estudos até o dia do exame. Para ser aprovado deverá obter na disciplina D1 no mínimo 20 pontos, na D2, no mínimo 30, e o total de pontos deverá ser pelo menos 70. Como, além da aprovação, ele gostaria de alcançar a melhor classificação possível, qual a melhor forma de distribuir as horas disponíveis para o seu estudo? Formular o Problema como um PPL.

3- Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos 20 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Ela deve conseguir essas vitaminas a partir de dois tipos diferentes de alimentos: A1 e A2. A quantidade de vitaminas que esses produtos contêm por unidade e o preço unitário de cada um deles está expresso na seguinte tabela: Vitamina A Vitamina B Vitamina C Preço unitário Alimento A1 4 1 1 30 u.m. Alimento A2 1 2 - 20 u.m. Qual a programação de compras dos alimentos A1 e A2 que essa pessoa deve fazer para cumprir sua dieta, ao menor custo possível? Construa o modelo linear para este problema.

EXERCÍCIOS

1- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o

lucro unitário de P2 é de 150 u.n. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma

unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível

para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos

levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem

ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do

sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

2- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas.

Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos

100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de

Page 5: Apostila Po

4

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão

para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.

3- Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com

disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses

recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos

e consultado o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado,

verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade.

O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso dos recursos.

Produtos Recurso R1/un. Recurso R2/un. Recurso R3/un. P1 2 3 5 P2 4 2 3

Disponibilidade de recursos por mês

100 90 120

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro a empresa? Construa o modelo do

sistema.

4- Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades:

(A) (arrendamento)- destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-

de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra

$ 300,00 por alqueire por ano. (P) (pecuária)- Usar outra parte para criação de gado de

corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100kg/alq.) e irrigação (100.000 l

de água/alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por

ano. (S) (plantio de soja)- Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura

requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/alq. Para irrigação por ano. O

lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/ alqueire no ano.

Disponibilidade de recursos por ano:

12.750.000 l de água.

14.000 kg de adubo.

100 alqueires de terra.

Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor

retorno? Construa o modelo de decisão.

5- Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a

mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:

Material recuperado 1 – MR1- composição:

Ferro – 60% - custo por kg = $0,20

Carvão – 20%

Silício – 20%

Material recuperado 2 – MR2 – composição:

Ferro – 70% - custo por kg = 0,25

Carvão – 20%

Silício – 5%

Níquel- 5%

A liga deve ter a seguinte composição final:

Matéria prima % Mínima % Máxima Ferro 60 65

Carvão 15 20 Silício 15 20 Níquel 5 8

Page 6: Apostila Po

5

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28;

Níquel: $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais

disponíveis, com menor custo por kg?

6- Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de

produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção.

A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou mais produtos,

identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia

limitar a produção está resumida na tabela a seguir:

Tipo de máquina Tempo disponível (horas de máquina)

A 500

B 350

C 150

O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos,

conforme representado a seguir:

Tipo de máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3

A 9 3 5

B 5 4 0

C 3 0 2

O lucro unitário é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1,2 e 3.

Construa um modelo matemático como PPL para determinar a quantidade de cada

produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro.

7- Uma certa corporação tem 3 fábricas filiais com capacidade de produção excedente. As 3

unidades têm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerência decidido

utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-lo. Ele pode ser feito

em 3 tamanhos – grande, médio e pequeno – os quais geram um lucro unitário líquido

de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fábricas 1,2 e 3 têm capacidade excedente

de mão-de-obra e de equipamento para produzirem 750, 900 e 450 unidades do

produto por dia, respectivamente, independentemente do tamanho ou combinação de

tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espaço disponível para estoque em

processo também impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1,2 e 3 têm 1.170,

1.080 e 450 metros quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em

processo, em dia de produção, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e

pequeno, produzida por dia, requer, 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados,

respectivamente. As previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200, e

750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter

uma carga de trabalho uniforme entre as fábricas,e para reter algum tipo de

flexibilidade, a gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve

utilizar a mesma porcentagem da capacidade excedente de mão-de-obra e de

equipamento. A gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que

Page 7: Apostila Po

6

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

deveria ser produzida em cada uma das fábricas, para maximizar o lucro. Monte o

modelo linear.

8- Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de

madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e uma

fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em

madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 metro

cúbico de produtos beneficiados requer 1 metro cúbico de pinho e 4 metros cúbicos de

canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros

cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. A região em questão dispõe de 32 metros

cúbicos de pinho e 72 metros cúbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que

sejam produzidos, durante o período de planejamento, pelo menos 5 metros cúbicos de

madeira beneficiada e 1.200 metros quadrados de madeira compensada. As

contribuições ao lucro são de $ 45 por 1 metro cúbico de produtos beneficiados e $ 60

por 100 metros quadrados de madeira compensada. Determine as quantidades (em

metros cúbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros

quadrados) a serem produzidos. Monte o modelo linear.

9- Uma companhia de aviação agrícola, que opera a partir de um determinado terminal,

tem 8 aviões do tipo 1, 15 aviões do tipo 2 e 11 aviões do tipo 3, disponíveis para vôos.

As capacidades de pesticidas para pulverização, em toneladas, são 4,5 para o tipo 1, 7

para o tipo 2 e 5 para o tipo 3.

A companhia deve expedir aviões para as propriedades A e B. As necessidades de

tonelagem são 20 na propriedade A e 28 na propriedade B. Sabe-se também que o

excesso de pulverização em uma propriedade deve ser evitado; e que o avião pode voar

somente uma vez durante o dia.

O custo de enviar do terminal a cada propriedade, em $, é dado pela seguinte

tabela:

Propriedade Avião – tipo 1 Avião – tipo 2 Avião – tipo 3

A 23 15 1,4

B 58 20 3,8

Denotando por x1, x2 e x3 os números de aviões de cada tipo enviado à

propriedade A, e do mesmo modo, y1, y2 e y3 os aviões enviados à propriedade B.

Formule o modelo de programação linear pertinente ao problema.

RESPOSTAS

1- x1 = quantidade a produzir de P1; x2 = quantidades a produzir de P2.

Max Lucro = 100x1 + 150x2

s.a.

2x1 + 3x2 <=120

x1<=40

x2<=30

x1, x2 >=0

Page 8: Apostila Po

7

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2- x1 = quantidade de caixas de pêssegos; x2 = quantidades de caixas de tangerinas.

Max Lucro = 10x1 + 30x2 +4.000

s.a.

x1 + x2 <=600

x1 >= 100

x2 <= 200

x1, x2 >=0

3- x1 = quantidade a produzir de P1; quantidade a produzir de P2.

Max Lucro = 120 x1 + 150 x2

s.a

2x1 + 4x2 <=100

3x1 + 2x2 <=90

5x1 + 3x2 <=120

x1, x2 >=0

4- x1 = alqueires para arrendamento; x2 = alqueires para pecuária; x3 = alqueires para

soja.

Max Lucro = 300x1 + 400x2 + 500x3

s.a.

x1 + x2 + x3 <= 100

100x2 + 200x3 <= 14.000

100.000x2 + 200.000x3 <= 12.750.000

x1, x2, x3 >=0

5- x1 = quantidade de MR1 na mistura; x2 = quantidade de MR2 na mistura; x3 =

quantidade de ferro puro na mistura; x4 = quantidade de carvão na mistura; x5 =

quantidade de silício na mistura; x6 = quantidade de níquel na mistura.

Min Custo = 0,2x1 + 0,25x2 + 0,3x3 + 0,2 x4 + 0,28x5 + 0,5x6

s.a.

0,6x1 + 0,7x2 + x3 >=0,6

O,6x1 + 0,7x2 + x3 <=0,65

0,2x1 + 0,2x2 + x4 <= 0,2

0,2x1 + 0,2x2 + x4 >=0,15

0,2x1 + 0,05x2 + x5 <=0,2

0,2x1 + 0,05x2 + x5 >=0,05

0,05x2 + x6 >= 0,05

0,05X2 + x6 <=0,08

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =1

x1,x2,x3,x4,x5,x6 >=0

6- x1 = quantidade a ser produzida do produto 1; x2 = quantidade a ser produzida do

produto 2; x3 = quantidade a ser produzida do produto 3.

Max z = 30x1 + 12x2 + 15x3

s.a.

9x1 + 3x2 + 5x3 <= 500

5x1 + 4x2 <= 350

3x1 + 2x3 <=150

x1, x2, x3 >=0

Page 9: Apostila Po

8

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

7- x11, x21, x31 : produção na fábrica 1 dos 3 tamanhos (grande(1), médio (2) e pequeno

(3); x12, x22, x32 : prod. Na fábr. 2 dos 3 tamanhos (grande(1), médio (2) e pequeno

(3); o mesmo para x13, x23 e x33.

Max z = 140 x11 + 140 x12 + 140x13 + 120x21 + 120x22 + 120x23 + 100x31 +

100x32 + 100x33

s.a.

x11 + x21 + x31 <=750

x12 + x22 + x32 <=900

x13 + x23 + x33 <=450

1,8x11 + 1,35x21 + 1,08x31 <=1170

1,8x12 + 1,35x22 + 1,08x32 <=1080

1,8x13 +1,35x23 + 1,08x33 <=450

x11 + x12 + x13 <= 900

x21 + x22 + x23 <=1200

x31 + x32 + x33 <=750

900(x11 + x21 + x31) – 750(x12 + x22 + x32) = 0

450(x12 + x22 + x32) – 900(x13 + x23 + x33) = 0

xij >=0, i=1,2,3 e j = 1,2,3

8- x1 = madeira beneficiada; x2 = madeira compensada.

Max z = 45x1 + 60x2

s.a.

x1 + 2x2 <= 32

4x1 + 4x2 <= 72

x1 >= 5

x2 >=12

x1, x2 >=0

9- x1 = número de aviões do tipo 1 usado na propriedade A; x2 = número de aviões do tipo

2 usado na propriedade A; x3 = número de aviões do tipo 3 usado na propriedade A; y1

= número de aviões do tipo 1 usado na propriedade B; y2 = número de aviões do tipo 2

usado na propriedade B; y3 = número de aviões do tipo 3 usado na propriedade B.

Min z = 23x1 + 15x2 + 1,4x3 + 58y1 + 20y2 + 3,8y3

s.a.

x1 + y1 <=8

x2 + y2 <= 15

x3 + y3 <= 11

4,5x1 + 7x2 + 5x3 <= 20

4,5x1 + 7y2 + 5y3 <=28

x1, x2, x3, y1, y2, y3 <=0

SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PPL

Problemas de programação linear que envolvam 2 variáveis de decisão podem ser facilmente resolvidos a partir do método gráfico. Procedimento: Representar graficamente as restrições. A intersecção dos gráficos (semi-planos) forma a região de soluções viáveis. A solução ótima deve ser encontrada entre os vértices dessa região.

Page 10: Apostila Po

9

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXEMPLOS: Resolver pelo método gráfico os seguintes problemas de programação linear.

1- Max z = 200x1 + 300x2 s.a. 2x1 + x2 <=20 4x1 <= 32 x2 <= 10 x1>=0, x2>=0

2- Max z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 <= 50 2x1 + 3x2 >= 70 2x1 >= 20 3x2 >= 30 x1>=0, x2>=0

3- Min z = 30x1 + 20x2 s.a. 4x1 + x2 >= 20 x1 + 2x2 >= 10 x1 >= 2 x1>=0, x2 >= 0

4- Max z = x1 + 2x2 s.a. 4x1 + x2 >= 20 x1 + 2x2 >= 10 x1 >=2 x1>=0, x2>=0

5- Min z = x1 + x2 s.a. -2x1 + x2 >=2 x1 – 2x2 >=2 x1>=0, x2>= 0

6- Max z = x1 + x2 s.a. -2x1 + x2 <= 2 x1 – 2x2 <= 2 x1 + x2 <= 4 x1>=0, x2>=0

EXERCÍCIOS

Resolver graficamente os seguintes problemas de programação linear.

4- Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2

s.a.

-x1 + 2x2 <= 4

x1+ 2x2 <=6

x1 + 3x2 <=9

Page 11: Apostila Po

10

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

x1, x2 >=0

5- Maximizar Receita = 0,3x1 + 0,5x2

s.a.

2x1 + x2 <=2

x1 + 3x2 <=3

x1, x2 >=0

6- Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2

s.a.

x1 + 3x2 <=9

-x1 + 2x2 <=4

x1 + x2 <= 6

x1, x2 >=0

7- Minimizar Custo = 10x1 + 12x2

s.a.

x1 + x2 <=20

x1 + x2 >=10

5x1 + 6x2 >=54

x1, x2 >=0

8- Minimizar z = 7x1 + 9x2

s.a.

-x1 + x2<=2

x1<=5

x2<=6

3x1 + 5x2 >=15

5x1 + 4x2 >=20

x1, x2 >=0

9- Uma fábrica tem 3 tipos de máquinas, M1, M2 e M3, a serem utilizadas na fabricação dos

produtos P1 e P2. O quadro abaixo descreve como a fábrica opera, diariamente:

Máquinas\Produtos P1 P2 Disponibilidade/dia M1 3 2 20 h M2 4 0 12 h M3 2 5 18 h

Formule o problema como um problema de programação linear para planejar a

produção diária a fim de que o lucro seja o máximo possível, sabendo que o produto P1

dá lucro de 200 u.m. e P2, 50 unidades. Resolver o problema pelo método gráfico.

10- Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, A e B. Cada quilo de A

contém 5 unidades do produto P1, 4 unidades do produto P2, 2 unidades doproduto P3

e custa 100 u.m. Cada quilo de B contém 3 unidades do produto P1, 5 unidades do

produto P2, 10 unidades do produto P3 e custa 150 u.m. A mistura deve conter pelo

menos 20 unidades de P1, 18 unidades de P2 e 30 unidades de P3. Formule este

problema como um problema de programação linear para que o custo do produto seja o

menor possível. Resolver o problema pelo método gráfico.

11- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas.

Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos

100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de

tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão

Page 12: Apostila Po

11

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. Resolva o problema pelo

método gráfico.

12- Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 qua são vendidos a $ 200 / un. E $ 300 /

un. , respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P1, P2

e P3, que são gastas da seguinte forma:

2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1,

4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1,

1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2,

1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2.

Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis no

máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.

O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que

devem ser produzidas para que a receita seja a maior possível.

13- O Governo Federal colocou 20 há de terras desmatadas à disposição de produtores

locais. Estima-se que tal área seja utilizada para o plantio de soja e algodão. Calcula-se

que há 1200 homens-horas disponíveis durante o período de semeadura; e que são

necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 120 homens-horas por hectare de

algodão. Oferece-se ainda uma linha máxima de crédito de $ 6000,00, dividida da

seguinte forma: $ 600,00 por hectere de soja e $ 200,00 por hectare de algodão. Como

organizar essa área de plantio para maximizar o lucro se é sabido que as margens de

lucro esperadas são $ 50 por hectare de soja e $ 25 por hectare de algodão?

SOLUÇÃO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÒES LINEARES

EXEMPLO: Seja o sistema de equações lineares:

𝑥1 + 3𝑥2 + 43 − 𝑥4 = 102𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 5

ou 12 𝑥1 +

31 𝑥2 +

4−1

𝑥3 + −1 2 𝑥4 =

105 . A base é formada

por dois vetores linearmente independentes. Fazendo x3 = x4 = 0, obtém-se: 12 𝑥1 +

31 𝑥2 =

105 . Assim, a solução dita básica é x1 = 1, x2 = 3, x3 = 0 e x4 = 0. A C4,2 =6 fornece o total de

soluções básicas que podem ser encontradas.

PROBLEMA FUNDAMENTAL DE PL

EXEMPLO:

Max z = 2x1 + 3x2

s.a.

x1 + 5x2 <=20

2x1 + x2 <= 10

x1>=0 e x2 >= 0

a) Construir a região de soluções viáveis.

Page 13: Apostila Po

12

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

b) Transformar o sistema de inequações, com a introdução de variáveis de folga, num

sistema de equações com variáveis não negativas.

c) Mostrar que as soluções básicas do sistema obtido são vértices da região de soluções

viáveis.

MÉTODO SIMPLEX (Para modelos de maximização e restrições do tipo <=) 𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 (F.O.)

𝑠. 𝑎. 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 <= 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 <= 𝑏2

………………… 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 <= 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 ≥ 0 Introduzindo as variáveis de folga 𝑠1, 𝑠2,… , 𝑠𝑚 , o problema acima é transformado em:

𝐹.𝑂. : 𝑧 − 𝑐1𝑥1 − 𝑐2𝑥2 −⋯− 𝑐𝑛𝑥𝑛 − 0𝑠1 − 0𝑠2 −⋯− 0𝑠𝑚

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝑠1 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 + 𝑠2 = 𝑏2……………………………………………… . .

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 + 𝑠𝑚 = 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2,…𝑥𝑛 ≥ 0 𝑒 𝑠1, 𝑠2,… , 𝑠𝑚 ≥ 0 Onde x1, x2, ..., xn são as variáveis de decisão e a solução básica inicial

é:

𝑥1 = 𝑥2 = ⋯𝑥𝑛 = 0𝑠1 = 𝑏1𝑠2 = 𝑏2𝑠𝑚 = 𝑏𝑚

e z = 0.

1) Para um problema de maximização com função objetivo (F.O.) Max z = 5x1 + 4x2 (por exemplo), sendo x1 e x2 variáveis não básicas, entra na base a variável com coeficiente mais positivo – no caso x1 (condição de otimalidade).

2) Para determinar a variável que sai da base, calcula-se as razões não negativas entre os termos independentes (b) e os coeficientes (a) da variável que entra na base (no caso x1). Sai a variável da linha que apresentar a menor razão não negativa entre os coeficientes a e b. Para o caso onde x1 entra na base, tem-se:

Min 𝑏1

𝑎11,𝑏2

𝑎21,… ,

𝑏𝑖

𝑎𝑖1,… ,

𝑏𝑚

𝑎𝑚 1 . Se

𝑏𝑖

𝑎𝑖1 é a menor razão não negativa, 𝑎𝑖1 é chamado de

pivô. 3) Zerar, usando operações elementares, os elementos da coluna do pivô, exceto o pivô que

deve ser transformado em 1.

EXEMPLOS:

1- Resolver

Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0

2- Resolver graficamente e pelo método simplex o PPL.

Page 14: Apostila Po

13

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Max z = 3x1 + 5x2 s.a. 2x1 + 4x2 <=10 6x1 + x2 <=20 x1 – x2 <=30 x1 >= 0 e x2 >= 0

3- Resolva o PPL Min z = 3x1 - 4x2 + x3 s.a. x1 + x2 + x3 <=10 2x1 + x2 – x3 <= 20

x1, x2 e x3 >=0 (Obs.: multiplicar a F.O. por (-1). Desta forma, o problema de minimização é transformado em um problema de maximização: Max (-z) = -3x1 + 4x2 – x3). EXERCÍCIOS Resolver os modelos em programação linear, usando o método simplex.

1- Max z = 10x1 + 12x2 s.a. x1 + x2 <=100 2x1 + 3x2 <= 270 x1, x2 >= 0

2- Max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 2x1 + x2 <=210 x1 <= 80 x1, x2, x3 >=0

3- Max z = 0,2x1 + 2x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 <= 20 3x1 + x3 <= 50 x1 + x2 – x3 <= 15 x1, x2, x3 >=0

4- Max z = 5x1 - 3x2 + 4x3 – x4 s.a. x1 + x2 + x3 + x4 <= 600 2x1 + x3 <=280 x2 + 3x4 <=150 x1, x2, x3, x2 >=0

5- Max z = 2x1 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 8.000 2x1 <= 6.000 x2 + x3 <=620 x1, x2, x3 >=0

6- Max z = 2x1 + 4x2 + 6x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 2x1 – x2 + 5x3 <= 50 3x1 + x3 <= 200

Page 15: Apostila Po

14

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

x1, x2, x3 >=0

RESPOSTAS:

1- x1 = 30, x2 = 70, x3 = 0, x4 = 0 e z = 1.140. 2- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 100, x4 = 0, x5 = 210, x6 = 80 e z = 400. 3- x1 = 0, x2 = 10, x3 = 50, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 55 e z = 220. 4- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 280, x4 = 0, x5 = 320, x6 = 0, x7 = 150 e z = 1.120 5- x1 = 3.000, x2 = 0, x3 = 620, x4 = 4.380, x5 = 0, x6 = 0 e z = 8.480 6- x1 = 0, x2 = 75, x3 = 25, x4 = 17,5, x5 = 0, x6 = 0 e z = 450.

PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES DO TIPO “ >= ” OU “ = ”. Problemas deste tipo apresentam uma solução básica inicial inviável. Para resolver esta questão devem-se acrescentar variáveis artificiais ao problema, encontrando assim uma solução básica inicial viável. Serão apresentados dois métodos para resolver este tipo de problema: M grande e 2 fases. MÉTODO DO M GRANDE Acrescentam-se ao problema as variáveis artificiais, de modo que a solução básica inicial seja viável. Na F.O. os coeficientes das variáveis artificiais devem ser números grandes em relação aos coeficientes das variáveis de decisão. Já nas primeiras iterações procura-se tirar da base as variáveis artificiais. EXEMPLOS:

1- Resolver Max z = x1 + x2 + x3 s.a. 2x1 + x2 – x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >= 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2, x3 >=0

2- Min z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <=4 x1 e x2 >=0

MÉTODO DAS 2 FASES OU F.O. ARTIFICIAL (W)

Acrescentam-se ao problema as variáveis artificiais e constrói-se uma F.O. artificial (W), esta função deverá ser minimizada. Após a minimização, se W = 0, abandona-se as variáveis artificiais. Caso contrário, a solução é inviável.

EXEMPLOS:

1- Resolver Max z = x1 + x2 + x3

Page 16: Apostila Po

15

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

s.a. 2x1 + x2 – x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >= 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2, x3 >=0

2- Min z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <=4 x1 e x2 >=0

VARIÁVEL LIVRE Quando um PPL apresenta uma variável livre ou irrestrita de sinal, deve-se substituir essa variável pela diferença de duas variáveis não negativas. EXEMPLO Dado o problema: Max z = 5x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 <=8 x1 – 2x2 <= 3 x1>=0 e x2 livre.

Substitui-se x2 por x2’ – x2’’, sendo x2’>= 0 e x2’’ >=0. SOLUÇÃO DEGENERADA Para determinar a variável que sai da base, determina-se a menor razão positiva entre os termos independentes e os coeficientes da variável que entra na base. Se ocorrer mais de um resultado nestas condições, uma ou mais variáveis básicas serão nulas, nesta situação a solução é dita degenerada. SOLUÇÕES MÚLTIPLAS Se na solução ótima o coeficiente de uma variável não básica é zero, ela poderá entrar na base sem alterar o valor da função objetivo, gerando outra solução ótima, neste caso qualquer combinação linear dessa duas soluções também será ótima. EXEMPLOS

1- Solução degenerada Max z = 3x1 + 9x2 s.a. x1 + 4x2 <=8 x1 + 2x2 <= 4

Page 17: Apostila Po

16

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 0

Entra x2 Sai x3

Z -3 -9 0 0 0 x3 1 4 1 0 8 x4 1 2 0 1 4

Min {8/4, 4/2}= 2

Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 1

Entra x1 Sai x4

Z -3/4 0 9/4 0 18 x2 ¼ 1 ¼ 0 2 x4 ½ 0 -1/2 1 0

Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução

2 Ótima

Z 0 0 3/2 3/2 18 x2 0 1 ½ -1/2 2 x1 1 0 -1 2 0

2- Soluções Múltiplas

Max z = 2x1 + 4x2

s.a.

x1 + 2x2 <= 5

x1 + x2 <=4

x1, x2 >=0

Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução

0 Entra x2

Sai x3

Z -2 -4 0 0 0 x3 1 2 1 0 5 x4 1 1 0 1 4

Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 1(ótima) Entra x1

Sai x4

Z 0 0 2 0 10 x2 ½ 1 ½ 0 5/2 x4 ½ 0 -1/2 1 3/2

Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 2(ótima

alternativa) Entra x2

Sai x3

Z 0 0 2 0 10 x2 0 1 1 -1 1 x1 1 0 -1 2 3

Page 18: Apostila Po

17

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

3- Solução ilimitada Max z = 2x1 + x2 s.a. x1 – x2 <= 10 2x1 <= 40

x1, x2 >=0

Base x1 x2 x3 x4 Solução Z -2 -1 0 0 0

x3 1 -1 1 0 10 x4 2 0 0 1 40

EXERCÍCIOS

1- Resolva pelo simplex, usando o método do M grande para obter a solução básica inicial.

Max z = 2x1 + 3x2

s.a.

x1 + x2 >= 10

2x1 + x2 <= 16

x1, x2 >=0

2- Resolva pelo método simplex, usando o método das 2 fases para obter a solução básica

inicial.

Min z = 3x1 + 2x2

s.a.

2x1 + x2 >= 10

x1 + 5x2 >= 15

x1, x2 >=0

3- Resolva usando o simplex

Max z = x1 + x2 + 2x3

s.a.

x1 + 2x2 <=10

3x1 + 4x2 + x3 <=20

x1>=0, x3>=0, x2 livre de sinal.

4- Mostre que o problema tem várias soluções.

Min z = 2x1 + 4x2 + 10x3

s.a.

x1 + x2 + x3 <= 120

x1 + 2x2 + 5x3 >= 30

x1, x2, x3 >=0

5- Resolva usando o simplex

Min z = 2x1 + 4x2 + 5x3

s.a.

x1 + 2x2 + 10x3 <= 600

x1 – x2 + x3 >=50

2x1 – x3 <= 100

Page 19: Apostila Po

18

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

X1, x2, x3 >=0

6- Verifique se a solução do modelo abaixo é limitada. Qual a melhor solução básica antes

que a solução fique limitada?

Max z = x1 + 2x2 + x3

s.a.

2x1 + 3x2 + x3 >= 10

4x1 + x2 + 2x3 >=20

x1, x2, x3 >=0

7- Min z = 3x1 + 2x2 + x3

s.a.

3x1 + x2 + 3x3 >= 6

3x1 + 2x2 = 6

x1 – x2 <= 1

x1, x2, x3 >=0

8- Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de

papel, línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses 3 produtos na forma de

kits para festas. Observações anteriores mostram que: (a) A quantidade de chapéus e

línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total. (b) O pacote deve ter pelo menos 20

bexigas. (c) Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa. O custo

dos componentes (em milhares de unidades) é: chapéu de papel: 50.000; língua-de-

sogra: 20.000; bexigas: 5.000. Qual a composição da caixa que tem o menor custo?

9- Uma empresa dispõe de recursos produtivos suficientes para produzir 3 diferentes

produtos P1, P2 e P3. A capacidade de armazenagem, se fosse fabricado apenas um

produto, seria de: 1.000 unidades para P1; 900 unidades para P2 e 1.200 unidades para

P3. Espera-se ter que armazenar no máximo a produção de 5 dias. A capacidade de

produção por hora para cada produto individualmente é de: 10 unidades para P1; 6

unidades para P2 e 15 unidades para P3. A disponibilidade é de 8h/dia. A

disponibilidade diária de matéria-prima, usada nos 3 produtos, é de 240 kg. O uso por

unidade de produto é de 1,5kg para P1; 2,4 kg para P2 e 2 kg para P3. Se os lucros

unitário são de 500 u.m. para P1, 800 u.m. para P2 e 400 u.m. para P3, qual a produção

diária ótima?

RESPOSTAS

1- x1 = 0, x2 = 16 e z = 48

2- x1 = 3,89, x2 = 2,22 e z = 16,11

3- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 20, x4 = 0, x5 = 0 e z = 40 (x2 = x5 –x4)

4- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 6, x4 = 114 e z = 60 . A variável não básica x2 tem coeficiente

zero.

5- x1 = 50, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 550, x5 = 0, x6 = 0 e z = 100.

6- Solução ilimitada. x1 = 0, x2 = 20, x3 = 0, x4 = 50 e z = 40.

Page 20: Apostila Po

19

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL

EXEMPLO: Resolver, usando o SOLVER do EXCEL, o seguinte PPL:

Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0

SOLUÇÃO:

No EXCEL, digite os dados do problema como mostra a figura 1. Os valores numéricos

nas células da coluna D e linha 8 não são digitados, pois estes são os resultados obtidos

com a execução do SOLVER.

FIGURA 1 – PLANILHA DO EXCEL COM DADOS DO PPL.

Além dos dados do problema, a figura 1 apresenta o procedimento para a resolução do

PPL. No EXCEL (Office 2007) um PPL pode ser resolvido clicando na aba Dados e em

seguida em Solver. Aberta a caixa de diálogo Parâmetros do solver, esta deverá ser

preenchida com os dados do problema, como mostra a figura 2.

Page 21: Apostila Po

20

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGURA 2 – CAIXA DE DIÁLOGO DO SOLVER

O campo Submeter às Restrições será preenchido a partir da caixa de diálogo Adicionar

Restrição, caixa esta que pode ser aberta clicando no botão adicionar. A figura 3 mostra o

preenchimento dos campos da caixa de diálogo Adicionar Restrição.

FIGURA 3- CAIXA DE DIÁLOGO PARA A INCLUSÃO DE RESTRIÇÕES

De volta à caixa de diálogo Parâmetros do Solver, clique no botão Opções e

assinale os itens Presumir modelo linear e Presumir não negativo, conforme a figura 4.

Page 22: Apostila Po

21

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGURA 4- OPÇÕES DO SOLVER

Finalmente em Parâmetros do Solver clique no botão Resolver. A solução ótima está

registrada na figura 1 (x1 = 3, x2 = 1,5 e z = 21).

RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O APLICATIVO LINDO

Para problemas com um número reduzido de variáveis, a resolução de um PPL no LINDO

é muito simples, basta digitar o problema na janela de comandos do LINDO como mostra a

figura 5

FIGURA 5 – RESOLUÇÃO DE UM PPL NO LINDO

Na figura 5 aparece o PPL

Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24

Page 23: Apostila Po

22

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 As diferenças na escrita são mínimas, basicamente os comandos st e end. Digitado o

problema, ele pode ser resolvido clicando-se em Solver na barra de ferramentas. A solução

fornecida pelo LINDO aparece no formato mostrado na figura 6

FIGURA 6 – FORMATO DA SOLUÇÀO DE UM PPL NO LINDO

Além da solução ótimo (x1 = 3, x2 = 1,5 e z = 21), a figura 6 mostra também os preços duais e

custos reduzidos. Os conceitos de preço dual e custo reduzido serão estudados no tópico.

RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O APLICATIVO LINGO

Da mesma forma que no LINDO, problemas com um número reduzido de variáveis

podem ser resolvidos facilmente no LINGO. Basta digitar o problema na janela de comandos do

LINGO como mostra a figura 7.

Page 24: Apostila Po

23

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGURA 7- RESOLUÇÃO DE UM PPL NO LINGO

Digitado o problema, ele pode ser resolvido clicando-se em Solver na barra

de ferramentas. A solução fornecida pelo LINGO aparece no formato mostrado na figura 8.

FIGURA 8 - FORMATO DA SOLUÇÀO DE UM PPL NO LINGO.

EXERCÍCIOS.

Use o aplicativo LINDO, LINGO e o Solver do Excel para resolver os exercícios da lista 1

(páginas 3, 4 e 5)

Page 25: Apostila Po

24

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

EXEMPLO

A Machine e Cia produz 2 produtos em 2 máquinas. Uma unidade do produto 1 requer 2

horas da máquina 1 e 1 hora da máquina 2. Para o produto 2, uma unidade requer 1 hora da

máquina 1 e 3 horas da máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são $ 30 e $ 20,

respectivamente. O tempo de processamento diário disponível é 8 horas. Pretende-se

maximizar a receita. Resolver o problema graficamente.

SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ÓTIMA ÀS VARIAÇÕES NA DISBONIBILIDADE DE RECURSOS

(LADO DIREITO DAS RESTRIÇÕES).

Considere o problema da Machine e Cia. Calcular ∆z (variação da receita) para uma

variação unitária na disponibilidade do recurso 1 (máquina 1), ou seja: mudar a restrição 1 para

2x1 + x2 <=9 ou 2x1 + x2 <=7. Em seguida, faça o mesmo para a restrição 2.

(Esta operação determinará o preço dual. Definição: Preço dual (preço sombra ou preço de

oportunidade) é dado pela razão ∆z/∆Ri , onde ∆Ri = variação do recurso i.

SOLUÇÃO:

Restrição 1: 2x1 + x2 <=7 ⇒ 𝑥1 = 2,6𝑥2 = 1,8𝑧 = 114

⟹ Δ𝑧 = 128 − 114 ⟹ Δ𝑧 = 14 .

Restrição 2: x1 + 3x2 <= 7 ⇒ 𝑥1 = 3,4𝑥2 = 1,2𝑧 = 126

⟹ Δ𝑧 = 128 − 126 ⟹ Δ𝑧 = 2.

Assim, o preço dual relativo ao recurso 1 é $14 e $2 para o recurso 2. Então, o preço dual

indica a variação da receita total. Por exemplo: aumentando (ou diminuindo) o recurso 1 em

uma unidade, a receita aumentará (ou diminuirá) em $ 14.

DETERMINAÇÃO ALGÉBRICA DAS FAIXAS DE VIABILIDADE

Considere o problema da Machine e Cia. Sejam D1 e D2 as variações (positivas ou negativas) nos recursos 1 e 2, respectivamente. De forma que: Max z = 30x1 + 20x2 s.a. 2x1 + x2 <= 8 + D1 x1 + 3x2 <= 8 + D2 x1, x2 >=0 Encontre os intervalos de variação para os recursos 1 e 2, para os quais o preço dual não sofre variação. QUADRO INICIAL

Base x1 x2 x3 x4 Solução D1 D2 Z -30 -20 0 0 0 0 0

x3 2 1 1 0 8 1 0 x4 1 3 0 1 8 0 1

Page 26: Apostila Po

25

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

QUADRO ÓTIMO Base x1 x2 x3 x4 Solução D1 D2

Z 0 0 14 2 128 14 2 x1 1 0 3/5 -1/5 3,2 3/5 -1/5 x2 0 1 -1/5 2/5 1,6 -1,5 2/5

Assim: z = 128 + 14D1 + 2D2, x1 = 3,2 + 3D1/5 – D2/5 e x2 = 1,6 – D1/5 + 2D2/5.

Condição de viabilidade: x1 >= 0 e x2 >= 0, fazendo D2 = 0 tem-se: 3,2 +

3𝐷1

5≥ 0

1,6 −𝐷1

5≥ 0

𝐷1 ≥ −5,33𝐷1 ≤ 8

⟹ 5,33 ≤ 𝐷1 ≤ 8 ⟹ 8 − 5,33 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 1 ≤ 8 + 8 ⟹ 2,67 ≤ 𝑟𝑒𝑐 1 ≤ 16 (faixa

de viabilidade para o recurso 1, isto significa que para variações do recurso 1 neste intervalo o

preço dual permanecerá igual a $14). Fazendo D1 = 0, vem: 3,2 −

𝐷2

5≥ 0

1,6 +2𝐷2

5≥ 0

⟹ 𝐷2 ≤ 16𝐷2 ≥ −4

−4 ≤ 𝐷2 ≤ 16 ⟹ 4 ≤ 𝑟𝑒𝑐 2 ≤ 24 (faixa de viabilidade para o recurso 2)

SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ÓTIMA ÀS VARIAÇÕES NA RECEITA UNITÁRIA OU CUSTO

UNITÁRIO (COEFICIENTES DA F.O.)

No problema da Machine e Cia, alterar a F.O. de z = 30x1 + 20x2 para z = 35x1 + 25x2 e

calcular a solução ótima.

SOLUÇÃO:

A solução ótima continua sendo o ponto (3,2;1,6), agora com z = 152.

Ainda considerando o problema da Machine e Cia, alterar a F.O. de z = 30x1 + 20x2 para

z = 5x1 + 20x2 e calcular a solução ótima.

SOLUÇÃO:

-Para o ponto extremo da região viável A(0;2,67) encontra-se z = 53,4.

- Para o ponto extremo da região viável B(4;0) encontra-se z = 20.

- Para o ponto extremo da região viável C(3,2;1,6) encontra-se z = 48

Assim, a solução ótima é o ponto A.

OBS.: para uma determinada variação nos coeficientes da F.O., dita faixa de otimalidade,

a solução ótima (valores das variáveis de decisão) permanece sem alteração.

DETERMINAÇÃO ALGÉBRICA DA FAIXA DE OTIMALIDADE.

Considere o problema da Machine e Cia. Sejam d1 e d2 as variações (positivas ou

negativas) nas receitas (ou custos) dos produtos 1 e 2, respectivamente. Assim, tem-se:

Max z = (30 + d1)x1 + (20 + d2)x2

Encontre as faixas de otimalidade.

Page 27: Apostila Po

26

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

QUADRO INICIAL

Base x1 x2 x3 x4 Solução Z -30-d1 -20-d2 0 0 0

x3 2 1 1 0 8 x4 1 3 0 1 8

Para se obter a nova linha da F.O., pode-se usar o quadro ótimo do problema original,

acrescentando a linha I: (𝑑1 𝑑2 0 0 0) e a coluna I: 1𝑑1𝑑2 . Em seguida faz-se a operação:

multiplica a coluna I pelos coeficientes da variável xj, somar os produtos e subtrair o coeficiente

da linha I correspondente a xj.

QUADRO ÓTIMO Base x1 x2 x3 x4 Solução

Z 0 0 14 2 128 x1 1 0 3/5 -1/5 3,2 x2 0 1 -1/5 2/5 1,6

Acrescentando col. I e lin I e fazendo a operação mencionada, obtém-se:

Linha I: d1 d2 0 0 0

Base x1 x2 x3 x4 Solução 1 Z 0 0 14-d2/5 + 3d1/5 2-d1/5+2d2/5 128+3,2d1+1,6d2

d1 x1 1 0 3/5 -1/5 3,2 d2 x2 0 1 -1/5 2/5 1,6

Coluna I Obs.: dj = 0 para as variáveis de folga.

Condição de otimalidade: Coeficiente de x3 >=0 ⇒ 14 – d2/5 + 6d1/10 >= 0.

Coeficientes de x4 >=0 ⇒ 2 – d1/5 + 2d2/5 >= 0

Fazendo d2 = 0 ⇒ 14 +

6𝑑1

10≥ 0

2 −𝑑1

5≥ 0

⟹ 𝑑1 ≥ −70/3𝑑1 ≤ 10

⇒ −70

3≤ 𝑑1 ≤ 10 ⟹

30 −70

3≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 1 ≤ 30 + 10 ⟹ 6,67 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑. 1 ≤ 40 (esta é a faixa de

otimalidade para o coeficiente de x1 em F.O.- mantendo-se constante o coeficiente de x2).

A solução ótima do problema continuará sendo x1 = 3,2 e x2 = 1,6 enquanto a receita do

produto 1 permanecer no intervalo 6,67 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑. 1 ≤ 40.

Fazendo d1 = 0, encontra-se a faixa de otimalidade para a receita do produto 2:

15 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 2 ≤ 90.

Page 28: Apostila Po

27

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

CUSTO REDUZIDO

Definição: custo reduzido/unidade = (custo dos recursos/unidade) - (receita/unidade).

No quadro ótimo os coeficientes da linha da F.O. representam os custos reduzidos, sendo o preço dual representado pelos coeficientes da variáveis de folga/excesso da F.O.. Quando a restrição tem o sinal “=”, deve-se somar o coeficiente da variável artificial correspondente com o coeficiente de aj na F.O. original. EXEMPLO: Max z = x1 + x2 + x3 s.a. 2x1 + x2 – x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >=20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2 e x3 >=0 Preparando o problema para ser resolvido pelo método do M grande, tem-se a F.O. : Max z = x1 + x2 + x3 + 0x4 + 0x5 – m2a2 – m3a3, onde a2 e a3 são variáveis artificiais. O coeficiente de a3 na linha z do quadrado ótimo é ½ + m3. Assim, o preço dual para a restrição 3 é ½ + m3 +(-m3) =1/2. No exemplo Machine e Cia o quadro ótimo mostra que o custo reduzido para os produtos 1 e 2 é zero (coeficiente de x1 e x2 na F.O.) e preço dual: $14 e $ 2, coeficientes de x3 e x4, respectivamente. Entendendo o preço dual como a valorização interna do recurso, tem-se: Custo reduzido para o produto 1 (coef. de x1) = (qtde. recurso 1 p/ prod. 1).(preço dual p/ recurso 1) + (qtde do recurso 2 para o prod. 1). (preço dual p/ recurso 2) – (receita) = 2.14 + 1.2 – 30 = 0. Custo reduzido p/ o produto 2 = 1.14 + 3.2 – 20 = 0 Seja xj uma variável de decisão. Se o custo reduzido de xj = k > 0, a produção de uma unidade de xj, acarreta um decréscimo na receita igual a k. EXEMPLO. A Star e Cia monta 3 tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando 3 operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos ( o tempo zero significa que a operação não foi utilizada). Pretende-se maximizar a receita.

(a) Use o simplex para resolver o problema como um PPL. (b) Determine a faixa de viabilidade para o recuso 2(operação 2: 460 minutos) e interprete o

resultado. (c) Determine a faixa de otimalidade para a receita unitária do produto 2 (caminhões) e

interprete o resultado. (d) O que acontecerá com a receita total se o recurso 1 aumentar de 430 para 435? Use o preço

dual para justifique a sua resposta. (e) O que acontecerá com a receita total se o recurso 3 aumentar de 420 para 430? Use o preço

dual para justifique a resposta. (f) O que acontecerá com a receita se a Star e Cia tiver que produzir 3 unidades do produto 1

(trem). Use o custo reduzido para justificar a sua resposta.

Page 29: Apostila Po

28

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

ANALISE DE SENSIBILIDADE USANDO OS APLICATIVOS LINDO, LINGO E O SOLVER

EXEMPLO: Use o Solver e o Lindo para obter as faixas de viabilidade e otimalidade do seguinte

PPL:

Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 No processo de resolução de um PPL no Solver a última caixa de diálogo é Resultados do Solver, mostrada na figura 9.

FIGURA 9- CAIXA DE DIÁLOGO RESULTADOS DO SOLVER

Nesta caixa de diálogo (figura 7), selecione o item Sensibilidade e clique ok. Desta forma obtém-se o relatório de sensibilidade, mostrado na figura 10.

Page 30: Apostila Po

29

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGURA 10 – RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE

As duas últimas colunas da primeira tabela do relatório de sensibilidade (figura 8) mostram o acréscimo e decréscimo que pode ser praticado no coeficiente de x1 de modo que a solução ótima permanece sem alteração. Assim, a faixa de otimalidade para o coeficiente de x1 é: 5 – 3 <= coeficiente de x1 <= 5 + 1 ⇒ 2 <= coeficiente de x1 <= 6. Para o coeficiente de x2, tem-se: 4 – 0,6666667 <= coeficiente de x2 <= 4 + 6 ⇒ 0,33333<= coeficiente de x2 <=10.

Nas duas últimas colunas da segunda tabela do relatório de sensibilidade (figura 8) estão registradas as possíveis variações na disponibilidade do recurso 1 de modo que o preço dual (preço sombra) permaneça sem alteração. Desta forma, a faixa de viabilidade para o recurso 1 é: 24 – 6,666667 <= recurso 1 <= 24 + 12 ⇒ 17,3333 <= recurso 1 <= 36. Para o recurso 2 tem-se: 6 – 2 <= recurso 2 <= 6 + 2 ⇒ 4 <=recurso 2 <= 8. Para o recurso 3 tem-se: 1 – 2,5 <=recurso 3 <= 1 + infinito ⇒ -1,5 <= recurso 3 <= infinito.

Análise de Sensibilidade no LINDO.

No LINDO, como explicado anteriormente, para resolver o problema clica-se em Solver. Após essa ação surge a pergunta DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?, como mostra a figura 11.

Page 31: Apostila Po

30

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGUARA 11 – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE: SIM OU NÃO?

Clicando em Yes o Lindo resolve o problema e faz a análise de sensibilidade. O relatório emitido pelo Lindo aparece na figura 12. Em OBJ COFFICIENT RANGES pode-se obter as faixas de otimalidade e em RIGHTHAND SIDE RANGES obtém-se as faixas de viabilidade.

FIGURA 12 – RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE EMITIDO PELO LINDO

Page 32: Apostila Po

31

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Análise de Sensibilidade no LINGO.

Antes de resolver o problema, clique no menu LINGO e em seguida em Options. Assim, obtém-se a janela mostrada na figura 13.

FIGURA 13 – JANELA DO LINGO ONDE ATIVA-SE A ANALISE DE SENSIBILIDADE.

Na janela mostrada na figura 13, selecione a aba General Solver e no campo Dual

Computations escolha a opção Prices & Ranges e clique em OK. Após a resolução do problema,

ilustrado na figura 7, ative a janela de comandos do LINGO (figura 7) e clique no menu LINGO e

em seguida na opção Range, como mostra a figura 14.

Page 33: Apostila Po

32

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGURA 14 – PROCEDIMENTO P/ DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE APÓS A OTIMIZAÇÃO DO

PROBLEMA.

Clicando em Range, o LINGO fornece a análise de sensibilidade – figura 15.

FIGURA 15 – RELATÓRIO DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE EMITIDO PELO LINGO.

Page 34: Apostila Po

33

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXERCÍCIOS

Resolver as questões abaixo usando o aplicativo Lindo e o solver do Excel

1- No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu 3

produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na

produção.

Produto Contribuição (lucro

por unidade)

Horas de trabalho Horas de uso de

máquinas

Demanda máxima

P1 2100 6 12 800

P2 1200 4 6 600

P3 600 6 2 600

Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas

tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4800 horas de trabalho

durante o período de processamento e pressupõe-se usar 3 máquinas que podem prover 7200

horas de trabalho.

MODELO LINEAR:

Max lucro = 2100x1 + 1200x2 + 600x3

s.a .

6x1 + 4x2 + 6x3 ≤ 4800 (horas de trabalho)

12x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 7200 (horas de máquina)

1x1 ≤ 800 (demanda P1)

1x2 ≤ 600 (demanda P2)

1x3 ≤ 600 (demanda P3)

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0

Pede-se:

a) Quais são os recursos abundantes? b) O que acontecerá com o lucro se o recurso horas de trabalho for aumentado em uma

unidade? c) Além das horas de máquina já disponíveis, é interessante contratar uma hora a mais por

$ 200,00? Justifique a sua resposta? d) Dê a faixa de variação do coeficiente x1 na função objetivo para que a solução ótima

permaneça sem alteração. e) Dê a faixa de variação do recurso horas de máquina para que o preço dual

correspondente permaneça sem sofrer alteração.

Page 35: Apostila Po

34

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2- A Star e Cia monta 3 tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando 3 operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos ( o tempo zero significa que a operação não foi utilizada). Pede-se:

a) O lucro máximo; b) A solução do ppl sugere a fabricação de quantos trens? A produção de unidade a mais de

trem aumentará ou diminuirá o lucro? Em quanto? c) Diminuindo a disponibilidade da restrição 2 (operação 2) em 10 minutos, o lucro

aumentará ou diminuirá? Em quanto? Essa mudança na restrição 2 (diminuição em 10 minutos) alterará o preço dual correspondente?

d) Qual a faixa possível de variação do recurso 1 para que o preço dual permaneça igual a 1?

e) A solução ótima sugere a fabricação de quantos caminhões? E carros? f) Aumentando a receita unitária obtida com a venda de caminhões de $ 2 para $ 9, o

número de de caminhões e carros fabricados deverá aumentar ou diminuir? 3- O Sr. Jaime Santana, proprietário da Cia Santana, formulou corretamente o seu problema

de maximizar o lucro da seguinte maneira: Max z = 32x1 + 40 x2 + 48x3

s.a . x1 + x2 + x3 <=180 horas (máquina 1)

4x1 + 2x2 + 5x3 < = 280 horas (máquina 2)

2x1 + 5x2 + 5x3 <= 380

x1, x2, x3 >=0

a) No momento o produto 3 não está sendo fabricado, em quanto ficaria o lucro se fossem

fabricados 10 unidades do produto 3?

b) Atualmente o lucro ótimo é 3680. Reduzindo a disponibilidade da máquina 3 para 350

horas, o lucro sofrerá alteração? Justifique.

c) Dê a faixa de variação do coeficiente x1 na função objetivo para que a solução ótima (x1=40

e x2= 60) permaneça sem alteração.

d) Você pagaria um preço de $ 5,50 por uma hora a mais de máquina 2? Justifique

4- Escolha 5 PPL e resolva-os a partir do LINDO e SOLVER. Imprima o resultado completo

(incluindo a analise de sensibilidade).

DUALIDADE Em problemas de PL, o problema DUAL é obtido a partir de um problema PRIMAL (original). De forma que a solução ótima do dual é igual a solução ótima do primal. Se o primal é um problema de maximização, o dual correspondente é de minimização e vice-versa. REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO DUAL

Page 36: Apostila Po

35

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO Restrições Variáveis >= ⇔ <=0 <= ⇔ >=0 = ⇔ livre de sinal Variáveis Restrições >=0 ⇔ >= <=0 ⇔ <= Irrestrita ⇔ = EXEMPLOS

1- Dado o primal: Max z = 2x1 + 3x2 + x3 s.a. 3x1 + 4x2 + 2x3 <= 10 2x1 + 6x2 + x3 <= 20 x1 – x2 – x3 <= 30 x1, x2, x3 >= 0 Obter o dual correspondente

2- Dado o primal: Max z = 2x1 + 3x2 + x3 s.a x1 + x2 <= 10 2x1 + 4x2 – x3 = 20 x1, x2, x3 >=0 Obter o dual.

3- Primal: Min z = 15x1 + 12x2 s.a. x1 + 2x2 >= 3 2x1 – 4x2 <= 5 x1, x2 >=0 Obter o dual.

RELAÇÕES ENTRE AS SOLUÇÕES PRIMAL E DUAL

Considere um problema de maximização (primal) com restrições do tipo “<=”, variáveis não negativas e o problema dual correspondente. No quadro ótimo do primal os coeficientes da F.O. correspondem aos valores das variáveis do dual, da seguinte forma: PRIMAL DUAL Coeficiente da variável de folga ⇔ Valor da variável de decisão Coeficiente da variável de decisão ⇔ Valor da variável de folga EXEMPLO: Primal: Max z = x1 + 2x2 + 3x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 10 2x1 + x2 + 4x3 <=12

Page 37: Apostila Po

36

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

x1 + 3x2 – x3 <= 9 x1 >= 0, x2 >=0 e x3 >= 0 Dual: Min D = 10y1 + 12y2 + 9y3 s.a. y1 + 2y2 + y3 >= 1 y1 + y2 + 3y3 >= 2 y1 + 4y2 – y3 >= 3 y1, y2, y3 >=0 QUADRO ÓTIMO DO PRIMAL

Base x1 x2 x3 s1 s2 s3 Solução Z 1,077 0 0 0 0,846 0,385 13,615

s1 0,154 0 0 1 -0,308 -0,231 4,231 x3 0,125 0 1 0 0,231 -0.077 2,077 x2 0,461 1 0 0 0,077 0,308 3,692

Analisando o quadro acima, determina-se:

𝑦1 = 0

𝑦2 = 0,846𝑦3 = 0,385

𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙.

𝑡1 = 1,077𝑡2 = 0𝑡3 = 0

𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙 .

Solução do primal:

𝑥1 = 0

𝑥2 = 3,692𝑥3 = 2,077

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 (𝑡1, 𝑡2 𝑒 𝑡3)𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙

𝑠1 = 4,231𝑠2 = 0𝑠3 = 0

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 (𝑦1,𝑦2 𝑒 𝑦3)𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙.

ALGUNS VALORES DO QUADRO ÓTIMO DUAL

Base y1 y2 y3 t1 t2 t3 Solução -D 4,231 0 0 0 3,692 2,077 -13,615

0 0 1 1,077 1 0 0 0,846 0 1 0 0,385

No quadro inicial do primal, a matriz formada pelos coeficientes de s1, s2 e s3 (variáveis de folga) nas restrições é uma matriz identidade. No quadro ótimo esta matriz é transformada em inversa e pode ser usada para o cálculo dos preços duais y1, y2 e y3. Preço dual = [vetor linha dos coeficientes da F.O. original das variáveis básicas (na ordem apresentada no quadro ótimo primal)] vezes [matriz inversa da solução primal ótima]. No exemplo anterior, tem-se: (y1 y2 y3) = (coef. De s1, x3 e x2 na F.O. original)x(matriz

inversa) ⇒ (y1 y2 y3) = (0 3 2). 1 −0,308 −0,2310 0,231 −0,0770 0,077 0,308

𝑦1 = 0𝑦2 = 0,846𝑦3 = 0,385

Page 38: Apostila Po

37

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Para obter o custo reduzido no modelo primal, usa-se as restrições do modelo dual. Custo reduzido do produto 1 = y1 + 2y2 + y3 -1 = 0 + 2.0,846 + 0,385 = 1,077 Custo reduzido do produto 2 = y1 + y2 + 3y3 – 2 = 0 Custo reduzido do produto 3 = y1 + 4y2 – y3 – 3 = 0 CÁLCULO DA COLUNA DAS RESTRIÇÕES Para obter a coluna j das restrições (lado direito ou lado esquerdo), deve-se multiplicar a matriz inversa pela coluna j das restrições originais. No exemplo anterior, tem-se:

4,2312,0773,692

= 1 −0,308 −0,2310 0,231 −0,0770 0,077 0,308

. 10129

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜 ó𝑡𝑖𝑚𝑜

𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜

ó𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑙

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠

Obs.: pequenas diferenças são conseqüências dos arredondamentos. ANÁLISE ECONÔMICA Considere um problema de maximização do lucro. Exemplo: seja o programa de produção de 2 itens P1 e P2, a partir dos recursos R1 e R2. O quadro abaixo resume os dados.

Produtos Recurso R1 - uso/un. Recurso 2 - uso/un. Lucro/unidade P1 2 10 50 P2 3 5 90

Disponibilidade de recursos

300 1000

O modelo linear é: Max z = 50x1 + 90x2 s.a. 2x1 + 3x2 <=300 : restrição 1 (recurso 1) : y1(variável dual) 10x1 + 5x2 <= 1000 : restrição 2 (recurso 2): y2(variável dual) x1, x2 >=0, onde x1 = quantidade de P1 e x2 = quantidade de P2. QUADRO ÓTIMO x1 x2 s1 s2 Solução Z 10 0 30 0 9000 x2 0,67 1 0,33 0 100 s2 6,65 0 -1,65 1 500 Onde s1 = variável de folga da restrição 1 e s2 = variável de folga da restrição 2. Pede-se:

Page 39: Apostila Po

38

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

a) O modelo dual correspondente. b) A linha da F.O. e os termos independentes (lado direito das restrições) no quadro ótimo

dual. c) Quais são os recursos abundantes? E os escassos? d) Se tivéssemos que fabricar 1 unidade de P1, o que iria ocorrer com o valor do lucro? e) O que acontecerá com a solução do problema se o recurso 1 for reduzido em 1 unidade? f) É interessante, em termos do lucro, vender 1 unidade do recurso 1 por $ 50? g) Qual o significado das variáveis duais y1 e y2? h) O que determina a F.O. do problema dual? i) Na restrição dual 2y1 + 10y2 >= 50, qual o significado do lado esquerdo? E do lado

direito? j) Em termos de valor interno e externo, como justificar a produção de P2? k) Em termos econômicos, é compensador aumentar em 1 unidade o recurso 2?

EXERCÍCIOS

1- Suponha que um problema de produção tenha como modelo: Max L = x1 + 0,3x2 + 3x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 10 2x1 + x2 + 4x3 <= 12 x1 + 3x2 – x3 <= 9 x1, x2, x3 >=0 e que o quadro final de solução pelo simplex seja:

Base x1 x2 x3 s2 s2 s3 Solução L 0,5 0,45 0 0 0,75 0 9 s1 0,5 0,75 0 1 -0,25 0 7 x3 0,5 0,25 1 0 0,25 0 3 s3 1,5 3,25 0 0 0,25 1 12

Onde xi são as decisões de fabricação dos produtos Pi e si as sobras dos recursos Ri no programa. O objetivo é maximizar o lucro devido a produção e comercialização dos produtos. Responder às perguntas: (a) Qual a solução mostrada no quadro? (b) Quais são os recursos escassos? (c) O que ocorreria com o objetivo se por um motivo de força maior tivéssemos que

fabricar uma unidade de P1? (d) Se alguém quisesse adquirir uma unidade do recurso R2, você estaria disposto a

vender? Qual o preço que compensa a venda? (e) Construa o modelo dual do problema. (f) Construa o quadro final de solução do modelo dual, com os coeficientes que

realmente interessam. Qual a solução do dual? (g) O que significa a variável dual y1? (h) O que mede a função objetivo dual? (i) O que mede o lado esquerdo da segunda restrição dual? E o lado direito? (j) Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não produção de

P2? (k) Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não produção de

P3? (l) Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por quê?

Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por quê?

Page 40: Apostila Po

39

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2- Um pecuarista prepara ração a partir de 3 ingredientes, que contêm 3 nutrientes indispensáveis na alimentação dos animais. O quadro abaixo mostra a composição, exigências e custos dos elementos na mistura.

Ingredientes Nutrientes (% por kg de ingredientes) Custo ingredien-tes em u.m./kg Nutriente 1 Nutriente 2 Nutriente 3

1 50 20 10 200 2 20 30 30 150 3 10 20 50 240

Exigência mínima em kg/saco de 40kg

6 5 8

O objetivo e atender às exigências com menor custo. Pede-se: (a) Construir o modelo linear do problema, ende xi são as quantidades dos ingredientes

usados por kg de ração. (b) Construir o modelo dual correspondente. (c) Resolver o Problema pelo método simplex (sugestão: resolva o modelo dual, que

exige menos cálculos). Construa o quadro finalprimal e dual. (d) O que representam, no caso, as variáveis yi (variáveis duais)? (e) O que representam, no problema, as variáveis ti (variáveis de folga no dual)? (f) O que mede o lado esquerdo da primeira restrição primal? E o lado direito? (g) O que significa para o plano ótimo aumentar a exigência de seis para sete kg na

participação do nutriente 1 no saco de ração? 3- Um distribuidor dispõe de um armazém com 100.000 m3 para estocar produtos para

venda futura. Ele dispõe de 30.000.000,00 u.m. para a compra, e pretende adquirir 3 produtos cujos dados estão na tabela seguinte:

Produtos Custo/unidade Preço de venda/un. Espaço p/ estocagem em m3

P1 240 300 10 P2 90 120 1 P3 300 420 5

Pede-se: (a) Construa o modelo linear do programa, em que, xi representam as decisões de

compra dos produtos Pi, s1 folga do capital e s2 folga de espaço para estocagem. (b) Construa o modelo dual correspondente. (c) Resolva pelo simplex o modelo primal. Construa o quadro da solução ótima do

modelo dual. (d) Qual a composição de compra que melhor serve ao distribuidor? (e) O que significa a função objetivo dual? (f) O que significam as variáveis de decisão dual? (g) O que significa as variáveis de folga duais? (h) Considere a primeira restrição primal: o que mede seu lado esquerdo? E o direito? (i) Considere a segunda restrição dual: o que mede seu lado esquerdo? E o lado direito? (j) Qual a conseqüência para o plano ótimo se tivéssemos mais 1m3 de espaço de

estocagem, a um custo de 20 u.m. ? Por quê?

RESPOSTAS:

2-(b) Modelo dual: Max D = 600y1 + 500y2 + 800y3 s.a. 50y1 + 20y2 + 10y3 <=20 20y1 + 30y2 + 30y3 <=150 10y1 + 20y2 + 50y3 <= 240 y1, y2, y3 >=0 2-(c) Solução dual:

Page 41: Apostila Po

40

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Base y1 y2 y3 t1 t2 t3 Solução D 0 315,38 0 1,54 26,15 0 4.320,77 y1 1 -24,62 0 0,54 -1,85 0 3,46 y3 0 0,23 1 0,02 -0,01 0 2,69 t3 0 0,85 0 -0,02 0,04 1 70,77

3-(a) Max L = 60x1 + 30x2 + 120x3

s.a.

10x1 + x2 + 5x3 <= 100.000

240x1 + 90x2 + 300x3 <= 30.000.000

x1, x2, x3 >= 0

3-(b)

Base x1 x2 x3 s1 s2 Solução L 240 0 30 30 0 3.000.000

x2 10 1 5 1 0 100.000 s2 -660 0 -150 -90 1 21.000.000

ALGORITMO DUAL SIMPLEX

O problema inicia com uma solução ótima e inviável. As condições de viabilidade e otimalidade são:

1) Condição de viabilidade dual: a variável que sai da base é a que tem valor mais negativo. Se todas as variáveis básicas forem não negativas, o algoritmo termina.

2) Condição de otimalidade dual: min 𝐶𝑗

𝑎𝑟𝑗 , 𝑎𝑟𝑗 < 0 , onde:

𝐶𝑗 = coeficiente da variável não básica na linha z.

𝑎𝑟𝑗 = coeficiente da restrição na linha de 𝑥𝑟 (𝑥𝑟 é a variável que sai da base).

Para iniciar o algoritmo deve-se cumprir 2 requisitos:

1) A F.O. deve satisfazer a condição de otimalidade do método simplex primal. 2) Todas as restrições devem ser do tipo (<=)

Obs.: uma restrição do tipo “=” pode ser transformada em duas restrições do tipo “<=” e “>=”.

EXEMPLOS:

1- A restrição x1 + x2 = 1 é equivalente a 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1

𝑜𝑢 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1

−𝑥1 − 𝑥2 ≤ −1

Page 42: Apostila Po

41

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2- Resolver aplicando o algoritmo dual simplex Min z = 3x1 + 2x2 + x3 s.a. 3x1 + x2 + x3 >= 3 -3x1 + 3x2 + x3 >= 6 x1 + x2 + x3 <= 3 x1, x2, x3 >=0

3- Use o dual simplex em Min z = 2x1 + x2 s.a. 4x1 + 3x2 >=6 x1 + 2x2 <=3 x1 >=0 e x2 >=0

ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO

1) Alterações que afetam a viabilidade: 1.1) Alterações no lado direito das restrições.

EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia, cujo modelo é:

Max Receita (R) = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 (operação 1) 3x1 + 2x3 <= 460 (operação 2) x1 + 4x2 <= 420 (operação 3) x1, x2, x3 >=0, onde: x1 = quantidade de caminhões de brinquedo. x2 = quantidade de trens de brinquedo. x3 = quantidade de carros de brinquedo. QUADRO ÓTIMO :

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 4 0 0 1 2 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 20

Onde: x4, x5 e x6 são as variáveis de folga das restrições 1, 2 e 3 respectivamente. Suponha que a fábrica queira aumentar a capacidade diária das operações1, 2 e 3 em 40%. Esta alteração afetará a receita? SOLUÇÃO:

Page 43: Apostila Po

42

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Aumentando-se em 40% as disponibilidades iniciais 430460420

em 40% obtém-se: 602644588

. Como

visto anteriormente, pode-se calcular o lado direito das restrições usando a matriz inversa obtida no quadro ótimo. Assim:

𝑥2𝑥3𝑥6 =

1/2 −1/4 00 1/2 0−2 1 1

. 602644588

= 14032228

, solução viável com R = 3.0 + 2.140 + 5.322

=1890 Agora, suponha que 20 minutos da operação 3 sejam transferidos para a operação 1, de

forma que as disponibilidades passam a ser: 450460400

. Ache a solução ótima.

SOLUÇÃO:

𝑥2𝑥3𝑥6 =

1/2 −1/4 00 1/2 0−2 1 1

. 450460400

= 110230−40

, a solução é inviável (x6 < 0). No quadro ótimo do

problema inicial, alterar R e a coluna das disponibilidades dos recursos. Em seguida usar o dual simplex. R = 3.0 + 2.110 + 5.230 = 1370.

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 4 0 0 1 2 0 1370 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 110 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 -40

Aplicando o algoritmo do dual simplex, obtém-se o seguinte quadro ótimo:

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 5 0 0 0 5/2 ½ 1350 x2 1/4 1 0 0 0 ¼ 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x4 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 20

Permanecendo a solução ótima do modelo original.

1.2) Adição de novas restrições.

EXEMPLO: considerar o problema da Star e Cia. Suponha a introdução de uma quarta operação com capacidade diária de 500 minutos. A restrição para a quarta operação é 3x1 + x2 + x3 <= 500. Esta nova restrição alterará a solução ótima?

SOLUÇÃO:

Substituindo a solução x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230 na quarta restrição, vem: 3.0 + 100 + 230 = 330 <= 500 (restrição satisfeita). Conclui-se que a restrição é redundante, permanecendo inalterada a solução ótima atual.

Page 44: Apostila Po

43

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Agora, suponha para a operação 4 a seguinte restrição: 3x1 + 3x2 + x3 <= 500. Obtenha a nova solução ótima.

SOLUÇÃO:

A restrição não é redundante, pois 3x1 + 3x2 + x3 <= 500 não é satisfeita para x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230. Seja x7 a variável de folga da quarta restrição, assim tem-se: 3x1 + 3x2 + x3 + x7 = 500. Inserindo a restrição no quadro ótimo do problema original, obtém-se:

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Solução R 4 0 0 1 2 0 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 0 20 x7 3 3 1 0 0 0 1 500

Observa-se no quadro que as colunas das variáveis x2 e x3 devem ser “arrumadas”, de forma que na linha de x7 apareçam zeros nas colunas de x2 e x3. Para tanto, deve-se efetuar a seguinte operação: nova linha de x7 = linha de x7 atual – [3.(linha de x2) + linha de x3]. Assim, obtém-se o quadro:

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Solução R 4 0 0 1 2 0 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 0 20 x7 9/4 0 0 -3/2 1/4 0 1 -30

Para a solução deste novo problema deve-se aplicar o algoritmo dual simplex. Feito isso, encontra-se a solução ótima x1 = 0, x2 = 90, x3 = 230 e R = 1330.

2) Alterações que afetam a otimalidade. 2.1) Alterações nos coeficientes originais da F.O.

EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia.. Alterando as receitas unitárias de caminhões, trens e carros para $ 2, $ 3 e $ 4, respectivamente, obtém-se a F.O.: Max R = 2x1 + 3x2 + 4x3. Determine os coeficientes da nova linha da F.O. (ótima). SOLUÇÃO:

Cálculo dos preços duais: (y1 y2 y3) = (3 4 0). 1/2 −1/4 0

0 1/2 0−2 1 1

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎𝑠 (𝑥2,

𝑥3 𝑒 𝑥6) 𝑛𝑎 𝐹.𝑂.

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜

𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜 ó𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑜𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

(y1 y2 y3) = (3/2 5/4 0).

Page 45: Apostila Po

44

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Cálculo do custo reduzido: a partir das restrições duais:

𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3 ≥ 22𝑦1 + 4𝑦3 ≥ 3𝑦1 + 2𝑦2 ≥ 4

, o custo

reduzido pode ser obtido fazendo a diferença entre o lado esquerdo e direito das restrições duais. Custo reduzido para x1 = y1+3y2+y3 – 2 = 3/2+3.5/4+0 – 2 = 13/4. Custo reduzido para x4 = y1 – 0 = 3/2 - 0 = 3/2 Custo reduzido para x5 = y2 – 0 = 5/4 – 0 = 5/4 Os coeficientes das variáveis básicas (x2, x3 e x6), na F.O., são iguais a zero. A solução ótima (x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230) permanece, pois as alterações nas receitas estão dentro da faixa de otimalidade, assim R = 2.0 + 3.100 + 4. 230 = 1220 e a nova linha da F.O. é :

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 13/4 0 0 3/2 5/4 0 1220

Lembrando como se determina a faixa de otimalidade:

Linha I: d1 d2 d3 0 0 0 0

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução 1 R 4 0 0 1 2 0 1350 d2 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 d3 x3 3/2 0 1 0 ½ 0 230 0 x6 2 0 0 -2 1 1 20 Col I

Condições de otimalidade:

4 −

𝑑2

4+

3𝑑3

2− 𝑑1 ≥ 0

1 +𝑑2

2≥ 0

2 −𝑑2

4+

𝑑3

2≥ 0

e R = 1350 + 100d2 + 230d3.

Sendo dj = (nova receita – receita original), com j=1,2 e 3, assim: 𝑑1 = 2 − 3 = −1𝑑2 = 3 − 2 = 1𝑑3 = 4 − 5 = −1

Agora, suponha que a F.O. seja alterada para Max R = 6x1 + 3x2 + 4x3. Ache a nova solução ótima. SOLUÇÃO: d1 = 6 – 3 = 3; d2 = 3 – 2 = 1; d3 = 4 – 5 = -1, então a condição de otimalidade 4 – d2/4 + 3d3/2 – d1 >=0 não é satisfeita. Logo, deve-se obter uma nova solução ótima. Calculando R = 1350 + 100d2 + 230 d3 = 1350 + 100.1 + 230.(-1) = 1220 e os custos reduzidos, obtém-se o quadro não ótimo abaixo:

Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R -3/4 0 0 3/2 5/4 0 1220 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 x3 3/2 0 1 0 ½ 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 20

Aplicando o método simplex consegue-se a solução ótima: x1 = 10, x2 = 102,5, x3 =215 e R = 1227,5.

Page 46: Apostila Po

45

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2.2) Adição de uma nova atividade.

EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia. Suponha que um quarto brinquedo será produzido. Prevendo-se para este produto uma receita de $ 4 e a necessidade de 1 minuto da operação 1, 1 minuto da operação 2 e 2 minutos da operação 3 para fabricá-lo. Calcule a nova solução ótima. SOLUÇÃO: x7 = quantidade do brinquedo 4. Cálculo do custo reduzido de x7: Custo reduzido de x7 = 1.y1 + 1.y2 + 2.y3 – 4 = 1.1 + 1.2 + 2.0 – 4 = -1, isto significa que a solução pode ser melhorada. Cálculo da coluna da restrição x7:

𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑥7 = 1/2 −1/4 0

0 1/2 0−2 1 1

. 112 =

1/41/2

1

*𝑀𝑎𝑡. 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 + 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑥7

Introduzindo x7 no quadro ótimo, obtém-se:

Base x1 x2 x3 x7 x4 x5 x6 Solução R 4 0 0 -1 1 2 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/4 1/2 -1/4 0 100 x3 3/2 0 1 1/2 0 1/2 0 230 x6 2 0 0 1 -2 1 1 20

Resolvendo, obtém-se a solução ótima: x1 = 0, x2 =0, x3 = 125, x7 = 210 e R = 1465.

EXERCÍCIOS

1- Use o dual simplex para resolver os problemas

a) Min z = 5x1 + 6x2 s.a . x1 + x2 >= 2

4x1 + x2 > = 4

.x1, x2 >= 0

b) Min z = 4x1 + 2x2 s.a . x1 + x2 = 1

3x1 – x2 > = 2

.x1, x2 >= 0

c) Min z = 2x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 >= 3

x1 + x2 = 2

.x1, x2 >= 0

Page 47: Apostila Po

46

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

d) Min z = 6x1 + 8x2 s.a . 2x1 + 3x2 <= 20

x1 + 3x2 >= 10

.x1, x2 >= 0

2- A Moda & Cia fabrica carteiras, estojos de barbear e mochilas. A produção dessas peças

utiliza couro e materiais sintéticos, sendo o couro a matéria-prima que limita a

produção. O processo de produção usa dois tipos de mão-de-obra especializada: costura

e acabamento. A tabela A dá a disponibilidade dos recursos, sua utilização pelos 3

produtos e os preços por unidade.

Recursos necessários por unidade

Estojo de Disponibilidade Recurso Carteira barbear Mochila diária Couro(pés2) 2 1 3 42 Costura(h) 2 1 2 40 Acabamento(h) 1 0,5 1 45 Preço($) 24 22 45

Formule a questão como um problema de PL e ache a solução ótima. Em seguida, indique

se as seguintes variações nos recursos manterão a solução atual viável. Determine a nova

solução ótima (valores as variáveis e da função objetivo)

a) Disponibilidade de couro é aumentada para 45 pés2 b) Horas de costura disponíveis são alteradas para 38 horas. c) Horas de acabamento disponíveis são reduzidas para 15 horas.

3- A Motores & Cia produz 4 tipos de motores elétricos, cada um em uma linha de

montagem separada. As capacidades respectivas das linhas são 500, 500, 800 e 750

motores por dia. O motor do tipo 1 usa 8 unidades de um certo componente eletrônico, o

motor do tipo 2 usa 5 unidades, o motor do tipo 3 usa 4 unidades e o motor do tipo 4 usa

6 unidades. O fabricante do componente pode fornecer 8000 peças por dia. Os preços

dos componentes são $ 60, $ 40, $ 25 e $ 30.

a) Determine o mix ótimo de produção diário. b) A atual programação atende às necessidades da Motores & Cia. Contudo, devido à

concorrência, pode ser que a empresa precise reduzir o preço do motor do tipo 2. Qual é a maior redução que pode ser efetuada sem alterar a programação de produção atual?

c) A Motores & Cia decidiu reduzir em 25% o preço de todos os tipos de motores. Determine se a atual solução ótima permanecerá inalterada.

4- A Star & Cia monta 3 tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando 3

operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e

420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de

brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3

operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por

caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos. Elabore o problema de PL que

maximize a receita.

4.1-Suponha que a Star & Cia queira alterar as capacidades das 3 operações de acordo

com os casos seguintes:

Page 48: Apostila Po

47

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

a) 460500400

b) 500400600

c) 300800200

d) 450700350

Determine a solução ótima em cada caso.

4.2-Investigue a otimalidade da solução da Star & Cia para cada uma das seguintes

funções objetivo. Se a solução mudar, determine uma nova solução ótima.

a) z = 2x1 + x2 + 4x3 b) z = 3x1 + 6x2 + x3 c) z = 8x1 + 3x2 + 9x3

MÉTODO SIMPLEX REVISADO

As etapas iterativas do método simplex revisado são exatamente as mesmas da tabela do método simplex. A principal diferença é que os cálculos no método revisado são baseados em manipulações matriciais em vez de operações sobre linhas. A utilização da álgebra matricial reduz os erros de arredondamento comuns nas operações sobre linhas.

Definição: Dado um sistema linear m x n, m <= n, Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm, dizemos que uma submatriz B, m x n, com det B ≠ 0 é uma matriz base.

O sistema linear Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm pode ser escrito na forma

(𝑩 𝑵) 𝒙𝐵𝒙𝑁

= 𝒃 (1),

onde: B é a matriz base e N a matriz não base, ambas obtidas de A. Os vetores xB e xN são formados pelas variáveis básicas e não básicas, respectivamente. De (1) tira-se a equação:

𝑩𝒙𝐵 + 𝑵𝒙𝑛 = 𝒃, isolando xB, obtém-se: 𝒙𝐵 = 𝑩−1𝒃 − 𝑩−1𝑵𝒙𝑁 (2).

Definição. Dado um sistema de equações lineares, m x n, m <=n, Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm , diz-se que x* ∊ ℝn , tal que Ax* = b é uma solução básica se os valores das variáveis não básicas forem zero (isto é, se xN = 0).

Desta forma, pode-se chegar a uma solução básica do sistema Ax = b a partir de (2),

fazendo xN = 0 e obtendo xB = B-1b. Assim, uma solução básica x* será dada por x* = 𝑩−1𝒃𝟎

, se

x* >=0, esta solução é uma solução básica viável.

Seja o PPL: Max z = CTx, CT ∊ ℝn s.a. Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm x >= 0 Onde: CT = vetor linha. x = vetor coluna. b = vetor coluna.

Considerando a F.O. como mais uma restrição do problema, tem-se o sistema linear:

𝑧 − 𝑪𝑇𝒙 = 0𝑨𝒙 = 𝒃

, x >= 0. Escrevendo na forma matricial, vem:

Page 49: Apostila Po

48

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

1 −𝑪𝑇

0 𝑨 𝑧𝒙 =

0𝒃 (3)

Seja B uma matriz base do sistema Ax = b, com x >=0 e xB o vetor correspondente de variáveis básicas com 𝑪𝐵

𝑇 como seu vetor de coeficientes da F.O. Assim, pode-se escrever

1 −𝑪𝐵𝑇

0 𝑩

𝑧𝒙𝐵 =

0𝒃 . Isolando

𝑧𝒙𝐵 , vem:

𝑧𝒙𝐵 = 1 −𝑪𝐵

𝑇

0 𝑩 −1

. 0𝒃 =

1 𝑪𝐵𝑇𝑩−1

0 𝑩−1

0𝒃 ou

𝑧𝒙𝐵 =

𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝒃

𝑩−1𝒃 , com isso obtém-se o lado direito do quadro simplex. A obtenção de todos os

coeficientes da tabela simplex é feita da seguinte maneira.

Multiplica-se à esquerda a equação (3) por 1 𝑪𝐵

𝑇𝑩−1

0 𝑩−1 . Assim, tem-se:

1 𝑪𝐵

𝑇𝑩−1

0 𝑩−1 1 −𝑪𝑇

0 𝑨 𝑧𝒙 =

1 𝑪𝐵𝑇𝑩−1

0 𝑩−1

0𝒃 ⇒

1 𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝑨− 𝑪𝑇

0 𝑩−1𝑨 𝑧𝒙 =

𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝒃

𝑩−1𝒃

Sendo Pj o j-ésimo vetor de A. A coluna da tabela simplex associada com a variável xj pode ser representado como

Base xj Solução Z 𝑪𝐵

𝑇𝑩−1𝑷𝑗 − 𝑐𝑗 𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝒃

xB 𝑩−1𝑷𝑗 𝑩−1𝒃

Condição de otimalidade: Se 𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝑵− 𝑪𝑁

𝑇 >=0, a solução é ótima.

Onde:

N = matriz formada pelas colunas (Pj) das variáveis não básicas.

𝑪𝑁𝑇 = vetor linha formado pelos coeficientes das variáveis não básicas na F.O.

Entra na base a variável (xj) correspondente à componente mais negativa do vetor (𝑪𝐵

𝑇𝑩−1𝑵− 𝑪𝑁𝑇 ).

Condição de viabilidade: Sejam os vetores (𝑩−1𝒃) e 𝑩−1𝑷𝑗 , onde Pj é a coluna da variável que

entra na base. Sai da base a variável correspondente a menor razão entre (𝑩−1𝒃) e ( 𝑩−1𝑷𝑗 ), ou

seja: o 𝑀í𝑛 𝑩−1𝒃

𝑖

𝑩−1𝑷𝑗 𝑖, 𝑐𝑜𝑚 𝑩−1𝑷𝑗 > 0 determina a variável que sai da base.

EXEMPLO

Resolva, usando o método simplex revisado, o seguinte PPL.

Max z = x1 + 2x2 s.a x1 <= 2 x2 <= 2 x1 + x2 <= 4 x1, x2 >=0 EXERCÍCIOS Use o método simplex revisado para resolver os seguintes PPL.

Page 50: Apostila Po

49

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

a) Maximizar z = 0,3x1 + 0,5x2

s.a.

2x1 + x2 <=2

x1 + 3x2 <=3

x1, x2 >=0

b) Max z = 2x1 + 3x2

s.a.

x1 + 5x2 <=20

2x1 + x2 <= 10

x1>=0 e x2 >= 0

c) Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0

d) Max z = 3x1 + 5x2

s.a. 2x1 + 4x2 <=10 6x1 + x2 <=20 x1 – x2 <=30 x1 >= 0 e x2 >= 0

PROBLEMAS DE TRANSPORTES

Situação: pretende-se transportar produtos de 3 origens para 2 destinos com menor

custo possível. As quantidades estão indicadas no gráfico abaixo.

ORIGENS(disponibilidades) DESTINOS(necessidades)

50 1 C11 = 10

C12 = 12 1 100

C21 = 20 C31 = 6

100 2

C22 = 8 2 170

C32=15

120 3

Onde: Cij = custo para transportar o produto da origem i até o destino j.

Page 51: Apostila Po

50

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

xij = quantidade de produto transportada da origem i para o destino j.

Com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2.

Construir o modelo linear que minimiza o custo do transporte.

MODELO LINEAR

Min C = 10x11 + 12x12 + 20 x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32

s.a .

(u1) x11 + x12 = 50 (disponibilidade: origem 1)

(u2) x21 + x22 = 100 (disponibilidade: origem 2)

(u3) x31 + x32 = 120 (disponibilidade: origem 3)

(v1) x11 + x21 + x31 = 100 (necessidade: destino 1)

(v2) x12 + x22 + x32 = 170 (necessidade: destino 2)

xij >= 0 para i = 1,2,3 e j = 1,2

Sendo u1, u2 e u3 as variáveis duais para as fontes e v1 e v2 para os destinos.

DUAL

Max D = 50u1 + 100u2 + 120u3 + 100v1 + 170v2

s.a .

u1 + v1 <= 10

u1 + v2 <= 12

u2 + v1 <= 20

u2 + v2 <= 8

u3 + v1 <= 6

u3 + v2 <= 15

ui e vj são irrestritas, i = 1,..,3 e vj = 1,..,2

Obs.:

1) Caso oferta ≠ demanda, acrescenta-se uma origem ou destino fictício, conforme a

necessidade.

2) Se m é o número de origens e n o número de destinos, então (m + n -1) é o número de

variáveis básicas.

Page 52: Apostila Po

51

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

3) O problema de transporte pode ser representado e resolvido esquematicamente por

meio do quadro.

1 2 Ofertas 1 10 12 50 2 20 8 100 3 6 15 120

Demandas 100 170 270

DETERMINAÇÃO DE UMA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL

1) REGRA DO CANTO NOROESTE.

a) Começa-se a alocação na célula (1,1). Alocam-se nesta célula x11 unidades possíveis,

sem violar as restrições.

b) Continua-se a alocação das unidades, deslocando-se para a célula imediatamente à

direita. Se não for possível, desloca-se para a célula imediatamente abaixo.

c) Nenhuma alocação pode ser negativa. A alocação pode ser zero – solução

degenerada.

EXEMPLO:

1- Uma companhia faz esquis em 3 fábricas através do mundo. As fábricas suprem 4

depósitos que distribuem os esquis diretamente às lojas. O problema é determinar

quantos pares de esquis devem ser transportados de cada fábrica para os vários

depósitos para minimizar o custo total. Use a regra do canto noroeste para encontrar a

solução básica inicial.

Quadro com os custos:

Frankfurt New York Phoenix Yokohama Fonte Rio 19 17 3 21 100 Seoul 15 21 18 6 300 Telaviv 11 14 15 22 200 Demanda 150 100 200 150 600

2- Ache, usando a regra do canto noroeste, a solução básica inicial para o seguinte

problema de transporte.

Destino 1 Destino 2 Disponibilidades Origem 1 10 12 50 Origem 2 20 8 100 Origem 3 6 15 120 Necessidades 100 170 270

2) MÉTODO DE VOGEL.

Page 53: Apostila Po

52

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

I) Para cada linha e cada coluna possuindo alguma sobra de oferta ou demanda, calcula-se o

respectivo resíduo (diferença não negativa entre os dois menores custos Cij associados às

células ainda sem alocação nesta linha ou coluna)

II) Considera-se a linha (ou coluna) possuidora do maior resíduo.

III) Nesta linha (ou coluna) identifica-se a célula com o menor custo unitário de transporte

ainda sem alocação e alocam-se ali tantas unidades quantas sejam possíveis.

IV) Recalculam-se os resíduos e repete-se o procedimento até que todas as demandas sejam

satisfeitas.

3) MÉTODO DO CUSTO MÍNIMO

I) Alocam-se tantas unidades quantas sejam possíveis, sem violar as restrições, à célula de

mínimo custo (observando todo o quadro).

II) Repetir o passo I até que (m + n -1) variáveis básicas tenham sido determinadas.

TESTE DA CONDIÇÃO DE ÓTIMO

Para cada variável básica Xij monta-se a equação Cij – ui – vj = 0. Atribui-se o valor zero a

um dos elementos ui ou vj e calculam-se os valores restantes para ui e vj de maneira que para

cada variável básica tenha-se Cij = ui + vj. Em seguida, calcula-se para cada variável não básica a

quantidade Cij – ui – vj . Se todas essas quantidades forem ≥ 0, a solução presente é ótima, caso

contrário, a solução atual deve ser aperfeiçoada.

APERFEIÇOAMENTO DA SOLUÇÃO

Considera-se a variável não básica correspondente ao valor mais negativo da grandeza

(Cij – ui – vj), calculada anteriormente. Esta é a variável a ser introduzida na base. Seja Xkl a

variável que irá entrar na base, na célula (k,l) alocam-se θ unidades. Para determinar o valor de

θ, monta-se um circuito formado por retas horizontais e verticais. O circuito inicia-se na célula

(k,l) e passa pelas variáveis básicas (não é necessário que passe por todas) e em cada canto do

circuito ( que pode ser um polígono convexo ou não convexo) subtrai-se e soma-se,

alternadamente e nesta ordem, os valores da variável básica Xij e a quantidade θ (primeiro Xij –

θ em seguida Xij + θ e assim por diante até fechar o circuito na célula (k,l)). O valor de θ é o

máximo que se pode obter sem ferir as restrições de não negatividade e quantidades ofertadas

e demandas.

EXEMPLOS:

1- Uma companhia locadora de automóveis se defronta com um problema de alocação

resultante dos contratos de locação que permitem que os automóveis sejam devolvidos

em localidades outras que aquelas onde foram originalmente alugados. Atualmente há

duas agências de locação com 15 e 13 carros excedentes e 4 outras agências

necessitando de 9, 6, 7 e 9 carros. Os custos unitários de transporte entre locadoras são

os seguintes.

Page 54: Apostila Po

53

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Ofertas Origem 1 45 17 21 30 15 Origem 2 14 18 19 31 13 Demandas 9 6 7 9

Ache a solução básica inicial do problema pelo método de Vogel.

2- Ache a solução básica inicial para o problema do exemplo anterior (problema da

locadora) através do método do custo mínimo.

3- Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema.

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Ofertas Origem 1 6 5 8 10 Origem 2 13 12 6 20 Origem 3 7 9 5 12 Origem 4 10 6 4 13 Demanda 8 32 15 55

4- Uma companhia despacha caminhões de grãos provenientes de 3 silos para 4 moinhos.

Veja a tabela com os custos.

Moinho 1 Moinho 2 Moinho 3 Moinho 4 Fornecimento Silo 1 10 2 20 11 15 Silo 2 12 7 9 20 25 Silo 3 4 14 16 18 10 Demanda 5 15 15 15 50

Ache a solução inicial pelo método do canto noroeste. Determine o plano ótimo que

minimize o custo do transporte.

EXERCÍCIOS

1- Determine um plano de transporte ótimo que minimize o custo de transporte para o

problema da locadora.

2- Idem para o problema da fábrica de esquis.

3- Um fabricante de artigos de plástico possui um estoque de 1.200 caixas de invólucros

transparentes em uma de suas fábricas e outras 1.000 caixas em uma segunda fábrica. O

fabricante recebeu pedidos deste produto provenientes de 3 diferentes varejistas nas

quantidades de 1.000, 700 e 500 caixas, respectivamente. Os custos unitários de

expedição (em $ por caixa) desde as fábricas até os varejistas são os seguintes:

Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 Fábrica 1 14 13 11

Fábrica 2 13 13 12

Determine o programa de expedição que atenda as demandas a partir do estoque

disponível, a um custo mínimo.

4- O Expresso Flash é um empresa de transportes com 4 grandes terminais localizados em

Curitiba, Londrina, Maringá e Foz do Iguaçu. Os pneus utilizados pela frota dessa

Page 55: Apostila Po

54

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

empresa são padronizados. A empresa fez uma tomada de preços em 3 grandes

revendedoras de pneus e obteve as seguintes cotações:

Local Revendedor A Revendedor B Revendedor C Pneus necessários

Curitiba 70 64 68 4.000 Londrina 74 62 65 8.000 Maringá 62 68 64 3.000

Foz do Iguaçu 62 72 66 5.000 Pneus

disponíveis 12.000 6.000 4.000

Se o objetivo da empresa Expresso Flash é minimizar o custo total de aquisição dos

pneus, quanto ela deverá comprar de cada revendedor?

5- Uma companhia aérea regional pode comprar seu combustível para jato a partir de

qualquer dentre 3 fornecedores. As necessidades da companhia aérea para o mês

entrante em cada um dos 3 aeroportos em que ela opera são: 100.000 galões no

aeroporto 1; 180.000 galões no aeroporto 2 e 300.000 no aeroporto 3. Cada fornecedor

pode abastecer cada um dos aeroportos de acordo com os preços (em $ por galão)

dados no seguinte quadro:

Aeroporto 1 Aeroporto 2 Aeroporto 3 Fornecedor 1 92 89 90

Fornecedor 2 91 91 95

Fornecedor 3 87 90 92

Cada fornecedor, contudo, está limitado pelo número total de galões que ele pode

abastecer por mês. Estas capacidades são 320.000 galões para o fornecedor 1, 270.000

galões para o fornecedor 2 e 150.000 galões para o fornecedor 3. Determine a política de

aquisição que suprirá as necessidades da companhia em cada aeroporto a um custo total

mínimo.

RESOLUÇÃO DE UM PT A PARTIR DO SOLVER

Existem várias formas de se estruturar uma planilha para a aplicação do Solver. O

formato apresentado na Figura 1 (pág. 19) não é viável para problemas com um grande número

de variáveis. Sendo assim, será usado outro formato para a resolução do PT:

Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema.

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Ofertas Origem 1 6 5 8 10 Origem 2 13 12 6 20 Origem 3 7 9 5 12 Origem 4 10 6 4 13 Demanda 8 32 15 55

Page 56: Apostila Po

55

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

SOLUÇÃO:

Na figura 16 pode-se observar a estruturação da planilha para resolver o problema

proposto. Inserir na célula F17 a fórmula: =F4*F10, que deve ser colada nas demais células do

quadro F17:H20. Em seguida, introduzir na célula D1 a fórmula: =SOMA(F17:H20). Inserir na

célula I24 a fórmula: =SOMARPRODUTO(F4:H4;F24:H24) e colar nas outras células da coluna

I24:I27. Por fim, colocar na célula F28 a fórmula: =SOMARPRODUTO(F4:F7;F24:F27), colando-a

nas células da linha F28:H28. Abrir o Solver e seguir os passos já explicados para o exemplo

apresentado na figura 1.

FIGURA 16- MODELO DE PLANILHA PARA RESOLVER O PT A PARTIR DO SOLVER.

A planilha com os valores ótimos pode ser vista na figura 17

Page 57: Apostila Po

56

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

FIGURA 17 – PLANILHA COM A SOLUÇÃO ÓTIMA DO PT.

PROGRAMAÇÃO NO LINGO

Outra opção para a resolução de PPL com um grande número de variáveis é a

programação no LINGO. Nesta modalidade as restrições de um mesmo tipo podem ser

representadas por apenas uma linha de comandos.

EXEMPLOS

1-Seja o problema da Star e Cia, cujo modelo é:

Max Receita (R) = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 (operação 1) 3x1 + 2x3 <= 460 (operação 2) x1 + 4x2 <= 420 (operação 3) x1, x2, x3 >=0, onde: x1 = quantidade de caminhões de brinquedo. x2 = quantidade de trens de brinquedo.

Page 58: Apostila Po

57

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

x3 = quantidade de carros de brinquedo. Este problema pode ser resolvido no LINGO escrevendo-se algumas linhas de comandos, como mostra a figura 18.

FIGURA 18 – PROGRAMA NO LINGO PARA RESOLVER O PROBLEMA DA STAR E CIA.

Na secção SETS estão definidos dois grupos de objetos relacionados (vetor e matriz),

sendo matriz derivado de vetor. O grupo vetor tem 3 elementos (posições), as constantes b e c e

a variável x possuem as mesmas características do grupo vetor. Já a constante a possui as

características do grupo derivado matriz. Assim, a é uma matriz 3x3.

Na secção DATA são apresentados os dados (a, b e c) necessários para a resolução do

problema.

O comando @SUM (função objetivo) soma o produto c(i)*x(i) para todos os membros do

grupo vetor.

O comando @FOR gera 3 restrições (i=1,2 e 3) do tipo (soma do produto a(i,j)*x(j) <=

b(i)).

Para a execução do programa, basta clicar em solver.

Page 59: Apostila Po

58

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2- Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema.

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Ofertas Origem 1 6 5 8 10 Origem 2 13 12 6 20 Origem 3 7 9 5 12 Origem 4 10 6 4 13 Demanda 8 32 15 55

Neste exemplo vamos registrar os dados de entrada e saída em uma planilha do Excel. A

ligação entre LINGO e EXCEL será feita pelo comando @OLE (Object Linking and Embedding). A

programação desenvolvida para a resolução do exemplo 2 pode ser observada na figura 19.

FIGURA 19 - PROGRAMA NO LINGO PARA RESOLVER O PT DO EXEMPLO 2.

Na seção SETS foram definidos os grupos origens, destinos e rotas (grupo derivado dos

dois primeiros). Os atributos dos grupos origens e destinos são oferta e demanda,

respectivamente. Enquanto rotas tem os atributos custo e x. Observar que os membros dos

grupos origens e destinos estão definidos na secção DATA.

O programa apresenta duas secções DATA, a primeira para os dados de entrada e a segunda para os dados de saída (x e fo). Os dados estão registrados em uma planilha do Excel de nome PT_EX1.xls (gravados na versão 97-2003), neste exemplo tanto o modelo do LINGO PT_EX1 como a planilha do Excel PT_EX1.xls estão gravadas na mesma pasta (LINGO9). Caso sejam usadas pastas diferentes para os dois arquivos, deve-se usar na função @OLE o caminho

Page 60: Apostila Po

59

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

completo (por ex.: C:\LINGO9\EXEMPLOS). Na linha de comandos origens,destinos,oferta,demanda,custo=@OLE('PT_EX1.xls','origens','destinos

','oferta','demanda','custo');

O lado esquerdo da igualdade apresenta variáveis que são usadas no modelo do LINGO, já os

nomes sob a abrangência da função @OLE (com exceção de PT_EX1.xls) são usadados na

nominação das células da planilha PT_EX1.xls onde são encontrados os respectivos dados. No

Excel a nominação das células pode ser feita clicando-se em Fórmulas - Gerenciador de Nomes.

Na segunda secção DATA , a linha de comandos OLE('PT_EX1.xls','x','fo')=x, fo;

Indica que os resultados x e fo (lado esquerdo da igualdade) produzidos pelo LINGO serão registrados nas células x e fo (lado direito da igualdade) da planilha PT_EX1.xls, que pode ser observada na figura 20.

FIGURA 20 – PLANILHA COM OS DADOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EXEMPLO 2.

Ainda no modelo da figura 19, os dois primeiros @FOR são usados para gerar as restrições e o terceiro (@FOR(rotas(i,j): @GIN(x(i,j)));) Foi usado para definir a variável x(i,j) com inteira, @GIN é o comando que define x como inteira.

PROBLEMAS DE TRANSBORDO

É um problema mais geral de transportes, no qual alguns nós em uma rede de

transportes atuam como pontos de demanda e fornecimento.

Page 61: Apostila Po

60

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

ILUSTRAÇÃO

P1 T1 D1

P2 D2

T2

D3

Na rede de transportes acima, P1 e P2 são nós de fornecimento puro, T1 e T2 são nós de

transbordo e D1, D2 e D3 são nós de demanda puro. O fornecimento em um nó de transbordo =

fornecimento original + quantidade tampão e demanda em nó de transbordo = demanda

original + quantidade tampão. Observando que quantidade tampão = fornecimento total (ou

demanda total).

EXEMPLOS (Resolver usando o Solver do Excel)

1- Duas fábricas de automóveis P1 e P2 estão ligadas a três revendedoras D1, D2 e D3 por

meio de duas centrais de trânsito T1 e T2. Veja a rede abaixo.

8 D1 800

P1 3 T1 6 5

2

4 6

7 D2 900

4

3

P2 T2 9

D3 500

D3

Minimizar o custo de transporte nesta rede.

2- A Biele Alimentos serve 4 consumidores a partir de 2 fábricas, conforme quadro abaixo.

Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 Consumidor 4 Ofertas

Fábrica 1 14 15 20 17 500 Fábrica 2 18 19 16 21 1.000 Demanda 300 250 450 250

1200

0 5

1000

Page 62: Apostila Po

61

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Cuja solução ótima indica custo = 20.600. Dois depósitos W1 e W2 foram incorporados à

rede de distribuição da Biele. A Biele quer saber se a utilização de tais depósitos trará

economias. Os custos de transporte ($ por tonelada) são os seguintes:

P1-W1 = 2; P1-W2 = 13; P2-W1 = 7; P2-W2 = 9; W1-C1 = 3; W1-C2 = 4; W1-C3 = 5;

W1-C4 = 12; W2-C1 = 6; W2-C2 = 1; W2-C3 = 11; W2-C4 = 10. Onde Pi = fábrica e Cj

= consumidor, com i=1,2 e j=1,2,3,4. O depósito W1 tem uma capacidade (e

conseqüente demanda) de 400 toneladas e a capacidade de W2 é de 500 toneladas. Os

depósitos podem transportar de um para outro a um custo de $ 8 por tonelada.

Minimize o custo e determine se é recomendável a implantação dos depósitos.

EXERCÍCIOS (Resolver usando o Solver do Excel)

1-Uma grande indústria de bebidas possui 3 fábricas e 3 centros de distribuição – venda direta,

na região sul. As fontes são as fábricas de Curitiba, Porto Alegre e Lajes com as respectivas

capacidades mensais de produção de caixas de cerveja inteira (600 ml): 40.000, 55.000 e

35.000. Os destinos são os centros de distribuição de Curitiba, Florianópolis e Porto Alegre com

as respectivas demandas do mesmo produto: 30.000, 40.000 e 60.000. Com base na tabela de

preços de transportes a seguir, determine qual é a melhor forma de distribuir esta produção a

fim de que se atenda totalmente as demandas e que proporcione o menor custo para a empresa.

Curitiba Florianópolis Porto Alegre Ofertas Curitiba 0 9,5 15 40.000 Porto Alegre 12 7 0 55.000 Lajes 9 5 10 35.000 Demanda 30.000 40.000 60.000 130.000

Está sendo estudada a possibilidade de se construir um depósito para auxiliar o transporte

entre as fábricas e os centros de distribuição (ponto de transbordo) para diminuir os custos de

transporte. Os custos de transportes para este caso são:

Curitiba Florianópolis Porto Alegre Transbordo Oferta Curitiba 0 9,5 15 5 40.000 Porto Alegre 12 7 0 6,5 55.000 Lajes 9 5 10 2,5 35.000 Transbordo 5 2,5 6,5 0 100.000 Demanda 30.000 40.000 60.000 100.000 230.000

Faça a análise dos resultados para verificar as vantagens ou não da colocação deste ponto de

transbordo.

Page 63: Apostila Po

62

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

2-A rede:

100 1 1 3 6 5 150

4 1 3 5 1

3

200 2 2 4 8 6 150

Dá as rotas de expedição dos nós 1 e 2 para os nós 5 e 6, passando pelos nós 3 e 4. Os custos unitários de expedição são mostrados nos respectivos arcos.

a)Desenvolva o problema de transbordo correspondente.

b)Resolva o problema e mostre como os embarques são roteados desde as origens até os destinos.

3-No problema 2, suponha que o nó de origem 1 possa ser ligado ao nó de origem 2 com um custo unitário de expedição de $ 1. O custo unitário de expedição do nó 1 ao nó 3 sofre um aumento de $ 5. Formule a questão como um problema de transbordo e ache a programação de expedição ótima.

4-A rede

6 1.100

900 1 1 0,2

0,3 3

0,8 4 4,5

2 0,5 1.000

1.400 2 7

4,3 2,1 6

5

4,6 1,9

1.000 3 1.200

8

mostra as rotas de expedição de carros de 3 fábricas (nós 1,2 e 3) para as 3 revendedoras (nós 6 a 8),

passando por duas centrais de distribuição (nós 4 e 5). Os custos de expedição por carro (em $ 100)

são mostrados nos arcos. (a) resolva a questão como um problema de transbordo. (b) Ache a nova

Page 64: Apostila Po

63

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

solução ótima considerando que a central de distribuição 4 possa vender 240 carros diretamente a

clientes.

PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO

Os problemas de designação envolvem uma alocação biunívoca de, por exemplo,

operários e tarefas. O número de operários se presume igual ao número de tarefas, condição

que pode ser assegurada pela criação de operários ou tarefas fictícias e o tempo cij para o i-

ésimo operário completar a j-ésima tarefa são conhecidos.

O objetivo é designar cada um dos operários para cada uma das tarefas, de modo que

estas sejam concluídas num tempo mínimo. Os problemas de transportes podem ser

convertidos em problemas de designação.

EXEMPLO

Deseja-se designar os operários A, B, C e D às tarefas 1, 2, 3 e 4. Veja o quadro com os

tempos para execução das tarefas.

OP. \ TAREFAS 1 2 3 4 A 1 4 6 3 B 9 7 10 9 C 4 5 11 7 D 8 7 8 5

Construir um modelo linear que minimize o tempo total para a execução das 4 tarefas.

MÉTODO HÚNGARO

Método alternativo usado em problemas de designação.

Passo 1. Coloque os custos por unidade de recurso na forma de matriz.

Passo2. Subtraia ou adicione uma constante a cada linha e/ou coluna, tal que exista no mínimo

um zero em cada linha e em cada coluna; e nenhum valor negativo.

Passo 3. Marque o máximo número de designações às células zero, como segue:

Passo 3.1 Em cada linha com somente um zero, designe o zero e elimine todos os zeros daquela

coluna.

Passo 3.2 Em cada coluna com somente um zero, designe o zero e elimine todos os zeros

daquela linha.

Passo 3.3 Repita 3.1 e 3.2 até que todos os zeros tenham sido marcados (designados ou

eliminados).

Passo 4. Se existe um zero designado em cada linha e coluna, estas são as designações ótimas.

Marque as correspondentes células originais e obtenha o custo total. Esta é a designação de

custos mínimos.

Page 65: Apostila Po

64

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Passo 5. Se não existe um zero designado em cada linha e em cada coluna, obtenha mais zeros

como segue:

Passo 5.1 Marque todas as linhas que não tenham designação.

Passo 5.2 Marque todas as colunas com zeros eliminados nas linhas marcadas.

Passo 5.3 Marque todas as linhas com zeros designados nas colunas marcadas.

Passo 5.4 Repita 5.2 e 5.3 até a exaustão.

Passo 6. Passe uma linha através de todas as linhas não marcadas e colunas marcadas.

Passo 7. Marque a matriz reduzida como segue:

Passo 7.1 Ache o mínimo valor não alinhado.

Passo 7.2 Subtraia este valor de todas as linhas marcadas.

Passo 7.3 Adicione este valor a todas as colunas marcadas.

Passo 8. Faça o máximo número de designações, como no passo 3 e repita 5, 6 e 7 até que exista

um zero designado em cada linha e em cada coluna, como no passo 4.

Obs.: No passo 3, se todas as linhas e colunas com um único zero acabaram e somente linhas e

colunas com 2 zeros permanecem, significa que existe mais de uma designação mínima apara

estas linhas e colunas. Qualquer um desses zeros pode ser designado para produzir o mesmo

custo mínimo total.

EXEMPLOS:

1- Resolva, usando o método húngaro, o seguinte problema de designação:

1 2 3 4 5 A 12 8 7 15 4 B 7 9 17 14 10 C 9 6 12 6 7 D 7 6 14 6 10 E 9 6 12 10 6

2- Deseja-se designar os operários A, B, C e D às tarefas 1, 2, 3 e 4. Veja o quadro com os

tempos para execução das tarefas.

OP. \ TAREFAS 1 2 3 4 A 1 4 6 3 B 9 7 10 9 C 4 5 11 7 D 8 7 8 5

Use o método húngaro para minimizar o tempo total para a execução das 4 tarefas.

3- Resolva o PD.

Page 66: Apostila Po

65

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

3 8 2 10 3 8 7 2 9 7 6 4 2 7 5 8 4 2 3 5 9 10 6 9 10

4- Uma empresa vende produtos em 4 regiões e possui 4 vendedores para serem

destacados, um para cada região. As regiões não são igualmente ricas e apresentam o

seguinte potencial de vendas: região I: $ 60.000,00; região II: $ 50.000,00; região III: $

40.000,00; região IV: $ 30.000,00. Os vendedores, por outro lado, não são igualmente

hábeis e as suas eficiências, que refletem a capacidade de atingir o mercado potencial da

região, são dadas pelo quadro que segue:

Vend.\Região I II III IV A 0,7 0,7 0,7 1,0 B 0,8 0,8 0,8 1,0 C 0,5 0,5 0,5 1,0 D 1,0 0,4 1,0 0,4

Pede-se determinar, empregando o método da designação, como destacar os

vendedores para que o volume de vendas seja o maior possível.

EXERCÍCIOS.

1- Uma cooperativa de agricultores deseja construir quatro silos na região oeste do

Paraná. No passado a cooperativa utilizou os serviços de seis empresas construtoras e,

tendo ficado satisfeita com todas, convidou cada uma delas a cotar cada um dos serviços.

As propostas finais (em milhares de dólares) estão indicadas no quadro a seguir.

Companhias construtoras

1 2 3 4 5 6 Silo 1 85,3 88,0 87,5 82,4 89,1 86,7 Silo 2 78,9 77,4 77,4 76,5 79,3 78,3 Silo 3 82,0 81,3 82,4 80,6 83,5 81,7 Silo 4 84,3 84,6 86,2 83,3 84,4 85,5

Uma vez que a cooperativa deseja dispor dos novos silos prontos o mais rápido possível

designará no máximo uma obra a cada uma das companhias construtoras. Que alocação

resulta em custo total mínimo a cooperativa?

2- A Metalúrgica Araucária S/A, dentro de 60 dias, deverá começar a funcionar em sua

nova sede na Cidade Industrial de Curitiba. O presidente da Metalúrgica deseja que a

distribuição de salas, dessa nova instalação, seja feita de modo a atender, na medida do

possível, as preferências já manifestadas. Em uma pesquisa realizada, os diretores

manifestaram as suas preferências.

Page 67: Apostila Po

66

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Sala 1 Sala 2 Sala 3 Sala 4 Sala 5 Sala 6 Diretor 1 2 4 3 1 5 6 Diretor 2 1 5 4 6 3 2 Diretor 3 5 3 4 2 1 6 Diretor 4 1 3 2 4 6 5 Diretor 5 3 2 5 6 1 3

Se você fosse convidado a opinar sobre a distribuição das salas qual seria a sua

recomendação?

3- A Companhia Aérea Fênix oferece uma excursão a preços reduzidos que permite a uma

pessoa utilizar todos os itinerários de vôo. O bilhete, válido por duas semanas a contar

da data de aquisição, possui a seguinte restrição: nenhuma cidade do itinerário pode ser

revisitada exceto a de origem, que será a última parada da excursão. Uma turista

estrangeira, que está na cidade 1 (a capital), deseja conhecer as cidades provinciais 2, 3

e 4 antes de retornar à capital. Ela decide viajar pela companhia Fênix. Os tempos de vôo

(em minutos) entre as cidades de interesse são dados no quadro a seguir. Determine um

itinerário aceitável que minimize o tempo total de vôo da turista.

Cidades 1 2 3 4 1 ..... 65 53 ..... 2 65 ..... 95 ..... 3 53 95 ...... 81 4 37 ...... 81 ......

4- Uma empresa construtora tem 5 tratores em locais diferentes e um trator é necessário

para cada uma das 3 obras situadas em locais diferentes. Se os custos de transporte dos

tratores forem os do quadro a seguir, determine o esquema de designação de custo

mínimo.

Tratores\Obras A B C 1 2 3 4 2 7 6 4 3 3 5 8 4 4 6 5 5 4 6 3

5- Resolva o seguinte problema de designação até atingir a solução ótima.

1 2 3 4 5 A 9 15 6 14 18 B 7 5 10 4 13 C 11 14 13 10 14 D 19 22 15 26 24 E 12 8 10 9 13

Page 68: Apostila Po

67

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

6- Seis trabalhadores devem ser designados para seis diferentes trabalhos, cada qual

devendo ser executado em um tipo diferente de máquina. Registros passados fornecem

as performances individuais para os seis trabalhadores, em minutos, conforme o quadro

apresentado a seguir. O objetivo é designar os indivíduos aos trabalhos de tal maneira

que o tempo seja minimizado.

Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Tarefa 6 João 13 22 19 21 16 20 José 18 17 24 18 22 27 Luís 20 22 23 24 17 31

Mário 14 19 13 30 23 22 Pedro 21 14 17 25 15 23 Paulo 17 23 18 20 16 24

OTIMIZAÇÃO EM REDES

NOÇÕES BÁSICAS DE GRÁFICOS/REDES.

O par G=(N,A) é chamado de grafo, onde N é um conjunto de nós (vértices) e A um

conjunto de arcos (arestas).

EXEMPLO:

3

1 4

2

G=(N,A): N={1,2,3,4} e A = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}.

OBS.: uma REDE é um grafo cujos nós e/ou arestas tem valores associados.

GRAFO/REDE ORIENTADA.

Um arco é orientado se ele permite fluxo positivo em um sentido e fluxo zero no sentido

oposto. Uma rede orientada é aquela na qual todos os arcos são orientados.

Page 69: Apostila Po

68

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXEMPLO#:

3

4

1

2

CAMINHO

Um caminho de um nó i0 a um nó ik é uma sequência de arcos C ={(i0,i1),(i1,i2),...,(ik-1,ik)},

na qual o nó inicial de cada arco é o nó final do arco imediatamente anterior na sequência. No

EXEMPLO# a sequência de arcos C = {(1,2),(2,4),(4,3)} é um caminho.

CADEIA

É uma sequência de arcos de modo que cada arco tem exatamente um nó em comum

com o arco imediatamente anterior da sequência. No EXEMPLO# os arcos do conjunto

C={(1,2),(2,3),(4,3)} formam um cadeia.

CIRCUITO

É um caminho fechado. Sendo que o nó inicial coincide com o nó final. Acrescentando o

arco (3,1) na rede do EXEMPLO# pode-se formar, por exemplo, o circuito

{(1,2),(2,4),(4,3),(3,1)}.

CICLO

É uma cadeia fechada. No EXEMPLO# os arcos do conjunto {(2,4),(4,3),(2,3)} formam

um ciclo.

GRAFO/REDE CONECTADA

Uma rede (ou grafo) é dita conectada se existe pelo menos uma cadeia entre quaisquer

dois dos seus nós. O EXEMPLO# é uma rede conectada.

ÁRVORE

É uma rede (ou grafo) conectada sem ciclos.

ÁRVORE GERADORA DE UMA REDE (OU GRAFO).

É uma árvore que liga todos os nós da rede.

C12=3

C14=5

C23=8

C24=3

C43=1

Page 70: Apostila Po

69

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXEMPLO: Seja o grafo

3 5

1

2 4

Exemplo de árvore do grafo. Exemplo de árvore geradora do grafo.

3 5

3

1 1

2 2 6

PROBLEMA DE CAMINHO MÍNIMO

Consiste na determinação do caminho mais curto entre uma origem e um destino numa

rede de trannporte.

ALGORITMO DE DIJKSTRA.

Seja ui a distância mais curta do nó de origem 1 ao nó i, e defina-se dij (>=0) como o

comprimento do arco (i,j). Então, o algoritmo define o rótulo para um nó imediatamente

posterior, j, como: [uj, i]=[ui+dij, i], dij >=0.

Etapa 0. Rotule o nó de origem (nó 1) como rótulo permanente [0, -]. Faça i = 1.

Etapa i.

(a) Calcule os rótulos temporários [ui+dij, i] para cada nó j que pode ser alcançado partindo

do nó i, contanto que j não seja permanentemente rotulado. Se o nó j já estiver rotulado

com [uj,k] passando por um outro nó k, e se ui+dij < uj, substitua [uj, k] por [ui+dij, i].

(b) Se todos os nós tiverem rótulos permanentes, pare Caso contrário, selecione o rótulo

[ur, s], cuja distância (=ur) é a mais cufrta entre todos os rótulos temporários (empates

são resolvidos arbitrariamente). Determine i = r e repita a etapa i.

Page 71: Apostila Po

70

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

OBS.: a mínima distancia do início ao final é o valor da distância no rótulo do nó final. Para

determinar a rota da minimização, traça-se o percurso backward do término ao início.

EXEMPLO:

Considere o problema de um despachante de longas distâncias, que é responsável pela

rota de caminhões sobre a rede abaixo. Os arcos são não direcionados, ou seja, o movimento

nos dois sentidos é possível entre todos os centros de distribuição. Os números sobre os arcos

indicam as distâncias em centenas de km. O despachante quer determinar a rota mínima,

representada por uma sequência de arcos, de A até O.

4 D 7 G 6 M

B 8 4 3 5 3 3

2 3 F 5 J

A 6 E 4 3 2 O

6 1 5 7 K 3 4

C H

8 3 3 1

I 4 N

ALGORITMO DE FLOYD

Fornece os caminhos de mínimo custo para todos os pares de vértices de uma rede.

Etapa 0. Defina a matriz de distâncias inicial D0 e a matriz de sequência de nós S0 como dado a

seguir. Os elementos da diagonal são marcados com (-) para indicar que estão broqueados.

Determine k = 1

Matriz das distâncias inicial D0

Nós 1 2 3 ... n 1 - d12 d13 ... d1n 2 d21 - d23 ... d2n 3 d31 d32 - ... d3n ... ... ... ... ... ... N dn1 dn2 dn3 ... -

Page 72: Apostila Po

71

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Matriz de sequência de nós S0

Nós 1 2 3 ... n 1 - 2 3 ... n 2 1 - 3 ... n 3 1 2 - ... n ... ... ... ... ... ... J 1 2 3 ... -

Etapa geral k. Defina a linha k e a coluna k como linha e coluna pivô. Verifique se dik+dkj<dij

(i≠k, j≠k e i≠j) para cada elemento dij em Dk-1 se a condição for satisfeita, faça as mudaças:

(a) Crie Dk substituindo dij em Dk-1 por dik+dkj.

(b) Crie Sk substituindo sij em Sk-1 por k. Determine k = k+1. Se k=n+1, pare; caso contrário,

repita a etapa k.

Após n etapas, pode-se determinar o caminho mais curto entre os nós i e j com base nas Matrizes Dn e Sn, usando as regras:

(1) A partir de Dn, dij dá a menor distância entre os nós i e j. (2) A partir de Sn, determine o nó intermediário k = sij que dá como resultado a rota i →k→j.

Se sik = k e skj = j, pare; todos os nós intermediários da rota foram encontrados. Caso contrário, repita o procedimento entre os nós i e k e entre os nós k e j.

EXEMPLO:

Dada a rede abaixo, encontre os caminhos mais curtos entre todos os conjuntos de dois nós. Determine a distância e a rota mínima entre os nós i e j, sendo: (a) i = 1 e j = 3; (b) i= 1 e j = 5; (c) i = 5 e j = 1.

5 4

2

3 4

1

10 6 5

3 15

Page 73: Apostila Po

72

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

MODELO LINEAR PARA O PROBLEMA DA ROTA MÍNIMA

A rede contém nós de 0 a n. As variáveis xij representam a quantidade de fluxo ao longo

do arco não-direcionado (i,j). Cada arco (i,j) tem um comprimento ou distância cij entre os nós i

e j.

Modelo:

Min C = 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗𝑛𝑗=0

𝑛𝑖=0

s.a. 𝑥𝑖𝑘 = 𝑥𝑘𝑗𝑛𝑗=0

𝑛𝑖=0 , para nós intermediários, k=1,2,...,n-1 (conservação do fluxo)

𝑥0𝑗 = 1𝑛𝑗=0 (exigência de percurso)

𝑥𝑖𝑛 = 1𝑛𝑖=0 (exigência de percurso)

xij ∈ (0,1)

EXEMPLO:

Dada a rede

2 4

100 20 10 50

1

30 3 60 5

Monte o modelo linear, considerando que 1 é o nó inicial e 2 o nó final.

ÁRVORE GERADORA MÍNIMA.

Problema onde os nós de uma rede são conectados, direta ou indiretamente, usando o

comprimento total mais curto de ramos conectores.

ALGORITMO DE PRIM

Os seguintes passos são aplicados para a determinação de uma arborescência mínima:

(1) Considere qualquer nó como nó inicial. Este nó passa a ser conectado e avaliado.

(2) Identifique todos os arcos ligando um nó conectado (avaliado) com um nó não

conectado.

(3) Selecione o arco do passo 2 que tem o mínimo comprimento. Ligue este arco à árvore,

reforçando seu arco, e inclua este nó não conectado no conjunto dos conectados,

tornando-o avaliado.

(4) Pare quando todos os nós estiverem avaliados. Os arcos reforçados formam a

arborescência mínima. Caso contrário, volte a (2).

15

Page 74: Apostila Po

73

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXEMPLO:

Considere o caso de uma companhia de alarmes que precisa instalar um sistema de

detecção em um edifício. O plano precisa de 10 sensores localizados como os nós da rede abaixo.

A companhia quer achar o plano que minimize a distância total do cabo.

H

80 D 90 50

B 60 70 I

60 75 70 60 85

A E 90 G 45

55 95 75 120

C J

65 F 80

ALGORITMO DE KRUSKAL

Os seguintes passos são aplicados para a determinação de uma arborescência mínia em

um grafo com n nós:

(1) Selecione o arco de menor comprimento e o reforce indicando que ele foi selecionado.

(2) Repita o passo 1 anterior até que (n-1) arcos tenham sido selecionados. Os arcos

reforçados formam a arborescência mínima. Observar que os arcos reforçados não

formem ciclos.

EXEMPLO:

Resolver o exemplo anterior aplicando o algoritmo de Kruskal.

PROBLEMA DO MÁXIMO FLUXO.

Ao invés de simplesmente identificar um conjunto de arcos (a rota mais curta ou a

arborescência mínima), este problema procura achar um valor de fluxo para cada arco da rede.

MODELO MATEMÁTICO PARA O PROBLEMA DE MÁXIMO FLUXO.

A rede contém nós: 0,1,2,...,n. O nó “0” é a fonte e o nó “n” é o destino ou sumidouro. As

variáveis de fluxo xij representam a quantidade de fluxo ao longo do arco direcionado (i,j). Não

existe variável para os pares de nós não conectados por um arco. Cada arco (i,j) tem uma

capacidade Cij.

Modelo:

Page 75: Apostila Po

74

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

Max F = 𝑥0𝑗 = 𝑥𝑖𝑛𝑛−1𝑖=0

𝑛−1𝑗=0

s.a. 𝑥𝑖𝑘 = 𝑥𝑘𝑗𝑛𝑗=0

𝑛𝑖=0 (para os nós intermediários k = 1,2,...,n-1 – conservação do

fluxo).

xij <= Cij (para todos os arcos – capacidade).

xij >= 0.

EXEMPLO 1:

Considere a rede de tubulações de transporte de petróleo.

0 4 20

5

1 30 0

20 10

2 3 20

Sendo o nó 1 a origem e o nó 5 o destino (sumidouro). Cada segmento de

tubulação tem uma taxa de descarga máxima finita (ou capacidade) de fluxo de petróleo.

Considere a seguinte notação: Cij a capacidade de i para j e Cji a capacidade de j para i. Por

exemplo, entre os nós 3 e 4 tem-se C34 = 10 e C43 = 5.

Determinar a capacidade máxima da rede entre o nó de origem e o nó destino.

EXEMPLO 2.

Determinar o fluxo máximo na rede abaixo, sendo os nós 1 e 2 as origens e os nós 7,8 e 9

os destinos.

1 80 4 70 7

100 60 50 110

3 50 6 120 8

100 40 80

90

2 110 5 60 9

10

0 0

0

30

40

5 0

0

Page 76: Apostila Po

75

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXERCÍCIOS.

1-A rede

3 4 6

1 3 2

2 1 2 5 7 6 5 8

1 3

1 2 6

2 5 4 8 7

Dá as distâncias em km entre pares de cidades 1,2,...,8. Use o algoritmo de Dijkstra para achar o

caminho mais curto entre as seguintes cidades.

(a) Cidades 1 e 8; (b) Cidades 2 e 6; (c) Resolva o item (a) usando o Solver do Excel.

2-Use o algoritmo de Dijkstra para achar o caminho mais curto entre o nó 1 e o nó 7 na rede

abaixo.

6

2 7 6

5 2 7 1 4 5 2

1 4 6 7

1 6 7 3 9

3 7 5

3-Use o Solver do Excel para resolver a questão 2.

4-Use na rede abaixo o algoritmo de Floyd para determinar os caminhos mais curtos entre cada

um dos seguintes pares de nós: (a) Do nó 5 ao nó 1; (b) Do nó 3 ao nó 5; (c) Do nó 5 ao nó 3; (d)

Do nó 5 ao nó 2.

Page 77: Apostila Po

76

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

5 4

2

3 4

1

10 6 5

3 15

5-Dada a rede

2 2 5 1

5 1 5 3 6

4 1 4

1

3 7 3

3 12 7

Use o algoritmo de Floyd para determinar o caminho mais curto entre os seguintes pares de

nós: (a) Do nó 1 ao nó 7; (b) Do nó 7 ao nó 1; (c) Do nó 6 ao nó 7.

6-Uma TV a cabo está em vias de fornecer serviços por cabo a cinco novas áreas onde estão em

desenvolvimento projetos residenciais. A rede abaixo mostra as possíveis conexões de TV entre

as cinco áreas. As conexões (em km) dos cabos são mostradas em cada arco. Determine a rede

mais econômica.

2 3 5

1 4 6 9 8

1 5 3

7 5 10 6

4 3

Page 78: Apostila Po

77

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

7-Em transporte intermodal, caminhões-reboque carregados são despachados entre terminais

ferroviários sobre vagões-plataformas especiais. A rede abaixo mostra a localização dos

principais termianais ferroviários nos Estados Unidos e as ferrovias existentes. O objetivo é

decidir quais ferrovias devem ser revitalizadas para enfrentar o tráfego intermodal. Em

particular, o terminal de Los Angeles (LA) deve ser conectado diretamente ao de chigago (CH)

para dar conta do esperado tráfego pesado. Fora estes, todos os terminais restantes podem ser

conectados direta ou indiretamente de modo que o comprimento total (em km) das ferrovias

selecionadas seja minimizado. Determine os trechos das ferrovias que devem ser incluídos no

programa de revitalização.

SE 2000 800 NY

1300 1000 CH 200

1100 DE DC

2600

2000

LA 780 900 1300

1400

DA

8-Um produtor de gás natural tem duto em rede conforme a figura abaixo. As capacidades dos

dutos estão indicados nos arcos em centenas de milhões de metros cúbicos por dia. O objetivo é

transportar tanto gás natural quanto possível de S a T. Use o Solver do Excel para resolver o

problema.

A

3 5

S 1 T

6 3

B

9-Seja uma rede de telecomunicações conectando vários terminais de retransmissores para

atender chamadas telefônicas. A configuração física do sistema para determinar quantas

chamadas podem ser feitas entre quaisquer 2 transmissores deve ser calculada, ou seja,

devemos quantificar o número máximo de chamadas que o sistema pode acomodar. Cada

chamada entre 2 retransmissores pode ser tratada como unidade de fluxo. O fluxo total, ou seja,

o número de chamadas através da rede deve ser maximizada. A figura abaixo mostra a rede de

Page 79: Apostila Po

78

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

retransmissores para a companhia de telefone. Use o Solver do Excel para maximizar o fluxo de

chamadas, considerando que o nó A é a origem e o nó L o destino.

4 D 6 H 2 J 7

B L

5 4 3 3 3 3 9

A 5 C 4 F 6 K

6 5 5 I 10

3 4

E 2 G

MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE O tipo de um modelo de estoque está relacionado com a demanda, assim:

1) Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os meses e o

coeficiente de variação CV = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 −𝑝𝑎𝑑𝑟 ã𝑜

𝑀é𝑑𝑖𝑎. 100 for pequeno (< 20%), a demanda pode

ser considerada determinística e constante, sendo seu valor igual à média de todas as demandas mensais.

2) Se a demanda mensal média apresentar uma variação considerável entre os diferentes meses, mas CV permanecer razoavelmente pequeno, a demanda é considerada determinística e variável.

3) Se no caso 1, CV for alto (> 20%), mas aproximadamente constante, a demanda é probabilística e estacionária.

4) O Único caso restante é o da demanda probabilística e não estacionária que ocorre quando as médias e os coeficientes de variação sofrem uma variação considerável ao longo do tempo.

Um modelo de estoque, de maneira geral, procura responder às perguntas:

1) Quanto pedir? 2) Quando pedir?

As respostas as essas perguntas podem ser obtidas a partir da minimização da função custo:

𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑒𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒

= 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜

𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 +

𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎çã𝑜

+ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑒𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒

+ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑠𝑠𝑒𝑧

1) Custo de compra: Origina-se no preço unitário de um item que será comprado ou produzido.

2) Custo de preparação: Valor constante que inclui o custo administrativo ou de produção.

Page 80: Apostila Po

79

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

3) Custo de estocagem: Representa o custo de manter a mercadoria em estoque. Inclui os juros sobre o capital e o custo de armazenagem, manutenção e manuseio.

4) Custo de escassez: É a multa incorrida quando ficamos sem estoque. Inclui a potencial perda de receita e o custo mais subjetivo de perda da confiança do cliente.

MODELO EOQ (ECONOMIC-ORDER-QUANTITY) CLÁSSICO

O modelo econômico de quantidade de pedidos (EOQ), também chamado de lote econômico, é o mais simples dos modelos de estoque. O EOQ envolve demanda constante com reabastecimento instantâneo e nenhuma falta.

ILUSTRAÇÃO

Nível de estoque

Q-Dt

Tempo (t)

t

Onde:

Q = tamanho do lote.

D = taxa de demanda constante.

𝑡 =𝑄

𝐷 (ciclo: tempo entre reabastecimentos de estoques consecutivos).

O custo de produção ou encomenda por ciclo = K + cQ, onde K é o custo de preparação e c o preço unitário do item.

O nível de estoque médio durante um ciclo é (Q + 0)/2 = Q/2 unidades e o custo correspondente é hQ/2, onde h = custo de estocagem ($/unidades de estoque/ unidades de tempo).

O custo de manutenção do estoque por ciclo = 𝑕𝑄

2.𝑄

𝐷=

𝑕𝑄2

2𝐷 , assim:

O custo total por ciclo = 𝐾 + 𝑐𝑄 +𝑕𝑄2

2𝐷 , logo

Tamanho do lote (Q)

Q/D 2Q/D 3Q/D

Q

Page 81: Apostila Po

80

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

O custo total por unidade de tempo é

𝑇 =𝐾 + 𝑐𝑄 + 𝑕𝑄2/(2𝐷)

𝑄/𝐷=𝐷𝐾

𝑄+ 𝐷𝑐 +

𝑕𝑄

2

O valor de Q, denotado Q*, que minimiza T é obtido fazendo 𝑑𝑇

𝑑𝑄= 0.

𝑇 ′ =−𝐷𝐾

𝑄2 +𝑕

2= 0, isolando Q obtém-se o valor ótimo

𝑄∗ = 2𝐷𝐾

𝑕 e 𝑡∗ =

𝑄∗

𝐷=

2𝐾

𝐷𝑕

TEMPO DE ESPERA (L)

Um pedido não precisa ser emitido e recebido instantaneamente, em vez disso pode ocorrer um tempo de espera entre a emissão e o recebimento do pedido. A emissão do pedido ocorre quando o nível de estoque cai a LD unidades.

ILUSTRAÇÃO

Nível de estoque

Tempo (t)

Define-se o tempo de espera efetivo (𝐿𝑒) por 𝐿𝑒 = 𝐿 − 𝑛𝑡0∗ , onde n é o maior inteiro

que não ultrapassa L*/t0. Após n ciclos de 𝑡0∗ cada, a situação de estoque age como se o intervalo

entre emitir um pedido e receber outro fosse 𝐿𝑒 . Assim, o ponto de reabastecimento ocorre em 𝐿𝑒𝐷 unidades.

EXEMPLO

As lâmpadas de néon do campus de uma universidade são substituídas à taxa de 100 unidades por dia. O departamento de manutenção emite pedidos periódicos para essas lâmpadas, e o custo para iniciar um pedido de compra é $ 100. Estima-se que o custo de armazenagem de uma lâmpada de néon é aproximadamente $ 0,02 por dia. O tempo de espera ente emitir o pedido e receber o material é 12 dias. Determine a política ótima de estoque para os pedidos de compra de lâmpadas de néon.

LD

Q

Pontos de reabastecimento

L L

Page 82: Apostila Po

81

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

EXERCÍCIOS

1- Uma empresa fabricante de televisores produz seus próprios alto-falantes, que são usados na produção de seus aparelhos de TV. Os televisores são montados em uma linha de produção contínua a uma taxa de 8.000 unidades mensais, sendo necessário um alto-falante por aparelho. Os alto-falantes são produzidos em lotes, porque eles não garantem a configuração de uma linha de produção contínua e quantidades relativamente grandes podem ser produzidas em curto espaço de tempo. Portanto, os alto-falantes são colocados em estoque até que sejam necessários para a montagem nos televisores na linha de produção. A empresa está interessada em determinar quando produzir um lote de alto-falantes e quantos alto-falantes produzir em cada lote. Considere os custos: a) Cada vez que um lote é produzido, incorre-se em um custo de implantação de $

12.000. Esse custo inclui o custo de ferramental, custos administrativos, manutenção de registros e assim por diante. Note que a existência desse custo pede a produção de alto-falantes em grandes lotes.

b) O custo unitário de produção de um único alto-falante (excluindo os custos de implantação) é de $ 10, independentemente do tamanho do lote produzido.

c) A produção de alto-falantes em grandes lotes leva a um grande estoque. O custo de manutenção de estoque estimado de manter um alto-falante em estoque é de $ 0,30 por mês. Esse custo inclui o capital imobilizado em estoques. Já que o dinheiro investido em estoques não pode ser usado em outras formas produtivas, esse custo de capital consiste no retorno perdido (conhecido como custo de oportunidade), pois se deve renunciar a empregos alternativos do dinheiro. Os componentes do custo de manutenção de estoque incluem o custo de aluguem do espaço para armazenagem, o custo de seguro contra perda de estoques causada por incêdio, furto/roubo ou vandalismo, impostos sobre o valor dos estoques e o custo de pessoal que supervisiona e protege os estoques.

2- Em cada um dos seguintes casos não é permitida a falta, e o tempo de espera entre emitir o pedido e receber o material é 30 dias. Determine a política ótima de estoque e o custo associado por dia. a) K = $ 100; h = $ 0,05; D = 30 unidades por dia. b) K = $ 50; h = $ 0,05; D = 30 unidades por dia. c) K = $ 100; h = $ 0,01; D = 40 unidades por dia. d) K = $ 100; h = $ 0,04; D = 20 unidades por dia.

OBS.: Custo total de estoque por unidade de tempo associado = 𝑲

𝑸/𝑫+ 𝒉.

𝑸

𝟐

3- A Burger & Cia pede carne moída no início de cada semana para atender à demanda semanal de 300 kg. O custo fixo por pedido é de $ 20. Refrigerar e armazenar a carne custa cerca de $ 0,03 por kg por dia. Determine a política de estoque que a Burger & Cia deve usar, considerando o tempo de espera zero entre a emissão e o recebimento de um pedido.

4- Uma empresa estoca um item que é consumido à taxa de 50 unidades por dia. Custa à empresa $ 20 cada vez que um pedido é emitido. Uma unidade mantida em estoque durante uma semana custará $ 0,35. Determine a política ótima de estoque considerando um tempo de espera de uma semana.

Page 83: Apostila Po

82

UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

BIBLIOGRAFIA

-ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

-CARNIERI, C. e STEINER, M. T. A. Notas de aula da disciplina de Pesquisa Operacional I, do curso de Mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia. UFPR, 2000.

-COLIN, E. C. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

-HILLIER, F. S. e LIEBERMAN, G. J. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-hill, 2006.

-SILVA, E. M., SILVA, E. M., GOLÇÁLVES, V., MUROLO, A. C. Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas, 1995.

-TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

-YOSHIDA, L. K. Programação Linear. São Paulo: Atual, 1987.