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  • Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran

    Campus Medianeira Gerncia de Ensino e Pesquisa

    Coordenaes de Cursos

    CURSO: ENGENHARIA DE PRODUO.

    DISCIPLINA: PESQUISA OPRACIONAL 1.

    PROFESSOR: LEVI LOPES TEIXEIRA.

    ROTEIRO DE ESTUDOS.

    Medianeira - Agosto/2011.

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    UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

    SUMRIO

    INTRODUO............................................................................................................................................................ 2 PROGRAMAO LINEAR...................................................................................................................................... 2 CONSTRUO DE MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR.................................................................. 3 SOLUO GRFICA DE UM PPL......................................................................................................................... 8 SOLUO BSICA DE UM SISTEMA DE EQUAOES LINEARES....................................................... 11 MTODO SIMPLEX.................................................................................................................................................. 12 MTODO DO M GRANDE...................................................................................................................................... 14 MTODO DAS DUAS FASES................................................................................................................................. 14 VARIVEL LIVRE E TIPOS DE SOLUES DE UM PPL........................................................................... 15 RESOLUO DE UM PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL..................................................................... 19 RESOLUO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINDO................................................................... 21 RESOLUO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINGO................................................................... 22 ANLISE DE SENSIBILIDADE............................................................................................................................. 24 ANLISE DE SENSIBILIDADE USANDO O SOLVER, LINDO E LINGO................................................ 28 DUALIDADE................................................................................................................................................................ 34 ANLISE ECONMICA........................................................................................................................................... 37 ALGORITMO DUAL SIMPLEX............................................................................................................................. 40 ANLISE DE PS-OTIMIZAO........................................................................................................................ 41 MTODO SIMPLEX REVISADO.......................................................................................................................... 47 PROBLEMAS DE TRANSPORTES....................................................................................................................... 49 PROGRAMANDO NO LINGO................................................................................................................................. 56 PROBLEMAS DE TRANSBORDO........................................................................................................................ 59 PROBLEMAS DE DESIGNAO.......................................................................................................................... 63 OTIMIZAO EM REDES....................................................................................................................................... 67 MODELO DETERMINSTICO DE ESTOQUE................................................................................................. 78

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    UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

    INTRODUO

    A pesquisa operacional (P.O.) tem as suas origens nas operaes militares no perodo da segunda guerra. Os recursos escassos levaram os comandos militares aliados a convocarem cientistas para desenvolverem procedimentos que otimizassem a alocao de recursos. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o mtodo simplex, um algoritmo usado na resoluo de problemas de programao linear (PPL). Um modelo de PPL formado basicamente por uma funo objetivo (que dever ser maximizada ou minimizada) e restries representadas por expresses lineares. So vrias as reas onde se aplicam a P.O.: 1) Problemas de misturas (adubos, rao, tintas, ligas metlicas, combustveis, minrios, etc); 2) Problemas de corte (barras, bobinas, chapas, etc.); 3)Problemas de distribuio e localizao (roteamento, localizao de postos de sade, escolas, etc); 4) Horrios de trabalho (motoristas de nibus, tripulao de avio, atendentes de telefone, etc.); 5) Planejamento de produo e estocagem (refinaria, indstria de mveis, etc.); 6) Finanas (crdito, bolsa de valores, etc.). PROGRAMAO LINEAR De maneira geral um modelo de P.O. pode ser representado da seguinte forma: Maximizar ou minimizar a funo objetivo. Sujeito a Restries CONCEITOS IMPORTANTES

    a) Variveis de deciso: So variveis usadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de deciso. A soluo do problema encontrada testando-se diversos valores das variveis de deciso. Exemplo: O nmero de caminhes que a engarrafadora deve despachar num determinado dia.

    b) Parmetros: So variveis usadas no modelo que no podem ser controladas pelo tomador de deciso. A soluo do problema encontrada admitindo como fixos os valores dos parmetros. Exemplo: A capacidade de cada caminho que vai transportar refrigerante. Os caminhes tm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total transportada que limitada pela legislao rodoviria.

    c) Funo-objetivo: uma funo matemtica que representa o principal objetivo do tomador de deciso. Ela de dois tipos (minimizao e maximizao). Exemplo: Minimizar os custos de transportes relativos distribuio de refrigerantes.

    d) Restries: So regras que dizem que podemos (ou no) fazer e/ou quais so as limitaes dos recursos ou das atividades que esto associadas ao modelo.

    PROPRIEDADES DA PROGRAMAO LINEAR

    Em modelos de PL, a funo objetivo e as restries so expresses lineares. Linearidade implica que a PL deve satisfazer 3 propriedades bsicas:

    1- Proporcionalidade: Essa propriedade requer que a contribuio de cada varivel de deciso, tanto na funo objetivo quanto nas restries, seja diretamente proporcional ao valor da varivel. Por exemplo, na funo objetivo maximizar receita = 4x1 + 3x2, as constantes de proporcionalidade so 4 e 3 para os produtos 1 e 2, respectivamente.

    2- Aditividade: Essa propriedade requer que a contribuio total de todas as variveis da funo objetivo e das restries seja a soma direta das contribuies individuais de cada varivel. Em outras palavras a operao entre as variveis deve ser adio ou subtrao.

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    UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira

    3- Certeza: Todos os coeficientes da funo objetivo e das restries do modelo de PL so determinsticos, o que significa que so constantes conhecidas.

    CONSTRUO DE MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR

    EXEMPLOS:

    1- Uma pequena indstria produz artigos A1 e A2 qua so vendidos a $ 200 / un. E $ 300 /

    un. , respectivamente. Na sua produo so utilizados 3 tipos de matrias-primas, P1, P2

    e P3, que so gastas da seguinte forma:

    2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1,

    4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1,

    1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2,

    1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2.

    Por razes econmicas, as matrias-primas P1, P2 e P3 esto disponveis no

    mximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.

    O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que

    devem ser produzidas para que a receita seja a maior possvel. Construa o modelo do

    problema como um PPL.

    2- Um jovem pretende prestar um concurso pblico cujo exame envolve duas disciplinas, D1 e D2. Ele sabe que, para cada hora de estudo, pode obter 2 pontos na nota da disciplina D1 e 3 pontos na de D2 e que o rendimento proporcional ao seu esforo. Ele dispe de no mximo 50 horas para os estudos at o dia do exame. Para ser aprovado dever obter na disciplina D1 no mnimo 20 pontos, na D2, no mnimo 30, e o total de pontos dever ser pelo menos 70. Como, alm da aprovao, ele gostaria de alcanar a melhor classificao possvel, qual a melhor forma de distribuir as horas disponveis para o seu estudo? Formular o Problema como um PPL.

    3- Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos 20 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Ela deve conseguir essas vitaminas a partir de dois tipos diferentes de alimentos: A1 e A2. A quantidade de vitaminas que esses produtos contm por unidade e o preo unitrio de cada um deles est expresso na seguinte tabela: Vitamina A Vitamina B Vitamina C Preo unitrio Alimento A1 4 1 1 30 u.m. Alimento A2 1 2 - 20 u.m. Qual a programao de compras dos alimentos A1 e A2 que essa pessoa deve fazer para cumprir sua dieta, ao menor custo possvel? Construa o modelo linear para este problema.

    EXERCCIOS

    1- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de 100 u.m. e o

    lucro unitrio de P2 de 150 u.n. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma

    unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel

    para essas atividades de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos

    levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem

    ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades d