Apostila Po

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<ul><li><p>Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran </p><p>Campus Medianeira Gerncia de Ensino e Pesquisa </p><p>Coordenaes de Cursos </p><p>CURSO: ENGENHARIA DE PRODUO. </p><p>DISCIPLINA: PESQUISA OPRACIONAL 1. </p><p>PROFESSOR: LEVI LOPES TEIXEIRA. </p><p>ROTEIRO DE ESTUDOS. </p><p>Medianeira - Agosto/2011. </p></li><li><p>1 </p><p>UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira </p><p>SUMRIO </p><p>INTRODUO............................................................................................................................................................ 2 PROGRAMAO LINEAR...................................................................................................................................... 2 CONSTRUO DE MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR.................................................................. 3 SOLUO GRFICA DE UM PPL......................................................................................................................... 8 SOLUO BSICA DE UM SISTEMA DE EQUAOES LINEARES....................................................... 11 MTODO SIMPLEX.................................................................................................................................................. 12 MTODO DO M GRANDE...................................................................................................................................... 14 MTODO DAS DUAS FASES................................................................................................................................. 14 VARIVEL LIVRE E TIPOS DE SOLUES DE UM PPL........................................................................... 15 RESOLUO DE UM PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL..................................................................... 19 RESOLUO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINDO................................................................... 21 RESOLUO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINGO................................................................... 22 ANLISE DE SENSIBILIDADE............................................................................................................................. 24 ANLISE DE SENSIBILIDADE USANDO O SOLVER, LINDO E LINGO................................................ 28 DUALIDADE................................................................................................................................................................ 34 ANLISE ECONMICA........................................................................................................................................... 37 ALGORITMO DUAL SIMPLEX............................................................................................................................. 40 ANLISE DE PS-OTIMIZAO........................................................................................................................ 41 MTODO SIMPLEX REVISADO.......................................................................................................................... 47 PROBLEMAS DE TRANSPORTES....................................................................................................................... 49 PROGRAMANDO NO LINGO................................................................................................................................. 56 PROBLEMAS DE TRANSBORDO........................................................................................................................ 59 PROBLEMAS DE DESIGNAO.......................................................................................................................... 63 OTIMIZAO EM REDES....................................................................................................................................... 67 MODELO DETERMINSTICO DE ESTOQUE................................................................................................. 78 </p></li><li><p>2 </p><p>UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira </p><p>INTRODUO </p><p> A pesquisa operacional (P.O.) tem as suas origens nas operaes militares no perodo da segunda guerra. Os recursos escassos levaram os comandos militares aliados a convocarem cientistas para desenvolverem procedimentos que otimizassem a alocao de recursos. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o mtodo simplex, um algoritmo usado na resoluo de problemas de programao linear (PPL). Um modelo de PPL formado basicamente por uma funo objetivo (que dever ser maximizada ou minimizada) e restries representadas por expresses lineares. So vrias as reas onde se aplicam a P.O.: 1) Problemas de misturas (adubos, rao, tintas, ligas metlicas, combustveis, minrios, etc); 2) Problemas de corte (barras, bobinas, chapas, etc.); 3)Problemas de distribuio e localizao (roteamento, localizao de postos de sade, escolas, etc); 4) Horrios de trabalho (motoristas de nibus, tripulao de avio, atendentes de telefone, etc.); 5) Planejamento de produo e estocagem (refinaria, indstria de mveis, etc.); 6) Finanas (crdito, bolsa de valores, etc.). PROGRAMAO LINEAR De maneira geral um modelo de P.O. pode ser representado da seguinte forma: Maximizar ou minimizar a funo objetivo. Sujeito a Restries CONCEITOS IMPORTANTES </p><p>a) Variveis de deciso: So variveis usadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de deciso. A soluo do problema encontrada testando-se diversos valores das variveis de deciso. Exemplo: O nmero de caminhes que a engarrafadora deve despachar num determinado dia. </p><p>b) Parmetros: So variveis usadas no modelo que no podem ser controladas pelo tomador de deciso. A soluo do problema encontrada admitindo como fixos os valores dos parmetros. Exemplo: A capacidade de cada caminho que vai transportar refrigerante. Os caminhes tm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total transportada que limitada pela legislao rodoviria. </p><p>c) Funo-objetivo: uma funo matemtica que representa o principal objetivo do tomador de deciso. Ela de dois tipos (minimizao e maximizao). Exemplo: Minimizar os custos de transportes relativos distribuio de refrigerantes. </p><p>d) Restries: So regras que dizem que podemos (ou no) fazer e/ou quais so as limitaes dos recursos ou das atividades que esto associadas ao modelo. </p><p>PROPRIEDADES DA PROGRAMAO LINEAR </p><p> Em modelos de PL, a funo objetivo e as restries so expresses lineares. Linearidade implica que a PL deve satisfazer 3 propriedades bsicas: </p><p>1- Proporcionalidade: Essa propriedade requer que a contribuio de cada varivel de deciso, tanto na funo objetivo quanto nas restries, seja diretamente proporcional ao valor da varivel. Por exemplo, na funo objetivo maximizar receita = 4x1 + 3x2, as constantes de proporcionalidade so 4 e 3 para os produtos 1 e 2, respectivamente. </p><p>2- Aditividade: Essa propriedade requer que a contribuio total de todas as variveis da funo objetivo e das restries seja a soma direta das contribuies individuais de cada varivel. Em outras palavras a operao entre as variveis deve ser adio ou subtrao. </p></li><li><p>3 </p><p>UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira </p><p>3- Certeza: Todos os coeficientes da funo objetivo e das restries do modelo de PL so determinsticos, o que significa que so constantes conhecidas. </p><p>CONSTRUO DE MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR </p><p>EXEMPLOS: </p><p>1- Uma pequena indstria produz artigos A1 e A2 qua so vendidos a $ 200 / un. E $ 300 / </p><p>un. , respectivamente. Na sua produo so utilizados 3 tipos de matrias-primas, P1, P2 </p><p>e P3, que so gastas da seguinte forma: </p><p>2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1, </p><p>4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1, </p><p>1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2, </p><p>1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2. </p><p> Por razes econmicas, as matrias-primas P1, P2 e P3 esto disponveis no </p><p>mximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente. </p><p> O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que </p><p>devem ser produzidas para que a receita seja a maior possvel. Construa o modelo do </p><p>problema como um PPL. </p><p>2- Um jovem pretende prestar um concurso pblico cujo exame envolve duas disciplinas, D1 e D2. Ele sabe que, para cada hora de estudo, pode obter 2 pontos na nota da disciplina D1 e 3 pontos na de D2 e que o rendimento proporcional ao seu esforo. Ele dispe de no mximo 50 horas para os estudos at o dia do exame. Para ser aprovado dever obter na disciplina D1 no mnimo 20 pontos, na D2, no mnimo 30, e o total de pontos dever ser pelo menos 70. Como, alm da aprovao, ele gostaria de alcanar a melhor classificao possvel, qual a melhor forma de distribuir as horas disponveis para o seu estudo? Formular o Problema como um PPL. </p><p>3- Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos 20 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Ela deve conseguir essas vitaminas a partir de dois tipos diferentes de alimentos: A1 e A2. A quantidade de vitaminas que esses produtos contm por unidade e o preo unitrio de cada um deles est expresso na seguinte tabela: Vitamina A Vitamina B Vitamina C Preo unitrio Alimento A1 4 1 1 30 u.m. Alimento A2 1 2 - 20 u.m. Qual a programao de compras dos alimentos A1 e A2 que essa pessoa deve fazer para cumprir sua dieta, ao menor custo possvel? Construa o modelo linear para este problema. </p><p>EXERCCIOS </p><p>1- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de 100 u.m. e o </p><p>lucro unitrio de P2 de 150 u.n. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma </p><p>unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel </p><p>para essas atividades de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos </p><p>levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem </p><p>ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo do </p><p>sistema de produo mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. </p><p>2- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. </p><p>Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos </p><p>100 caixas de pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de </p></li><li><p>4 </p><p>UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira </p><p>tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho </p><p>para obter o lucro mximo? Construa o modelo do problema. </p><p>3- Uma empresa, aps um processo de racionalizao de produo, ficou com </p><p>disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses </p><p>recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos </p><p>e consultado o departamento de vendas sobre o preo de colocao no mercado, </p><p>verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. </p><p>O departamento de produo forneceu a seguinte tabela de uso dos recursos. </p><p>Produtos Recurso R1/un. Recurso R2/un. Recurso R3/un. P1 2 3 5 P2 4 2 3 </p><p>Disponibilidade de recursos por ms </p><p>100 90 120 </p><p>Que produo mensal de P1 e P2 traz o maior lucro a empresa? Construa o modelo do </p><p>sistema. </p><p>4- Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades: </p><p>(A) (arrendamento)- destinar certa quantidade de alqueires para a plantao de cana-</p><p>de-acar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra </p><p>$ 300,00 por alqueire por ano. (P) (pecuria)- Usar outra parte para criao de gado de </p><p>corte. A recuperao das pastagens requer adubao (100kg/alq.) e irrigao (100.000 l </p><p>de gua/alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade de $ 400,00 por alqueire por </p><p>ano. (S) (plantio de soja)- Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura </p><p>requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de gua/alq. Para irrigao por ano. O </p><p>lucro estimado nessa atividade de $ 500,00/ alqueire no ano. </p><p>Disponibilidade de recursos por ano: </p><p>12.750.000 l de gua. </p><p>14.000 kg de adubo. </p><p>100 alqueires de terra. </p><p>Quantos alqueires dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor </p><p>retorno? Construa o modelo de deciso. </p><p>5- Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a </p><p>mistura desses minerais puros alm de 2 tipos de materiais recuperados: </p><p>Material recuperado 1 MR1- composio: </p><p>Ferro 60% - custo por kg = $0,20 </p><p>Carvo 20% </p><p>Silcio 20% </p><p>Material recuperado 2 MR2 composio: </p><p>Ferro 70% - custo por kg = 0,25 </p><p>Carvo 20% </p><p>Silcio 5% </p><p>Nquel- 5% </p><p>A liga deve ter a seguinte composio final: </p><p>Matria prima % Mnima % Mxima Ferro 60 65 </p><p>Carvo 15 20 Silcio 15 20 Nquel 5 8 </p></li><li><p>5 </p><p>UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira </p><p>O custo dos materiais puros so (por kg): ferro: $0,30; carvo: $ 0,20; silcio: $ 0,28; </p><p>Nquel: $ 0,50. Qual dever ser a composio da mistura em termos dos materiais </p><p>disponveis, com menor custo por kg? </p><p>6- Uma certa agroindstria do ramo alimentcio tirou de produo uma certa linha de </p><p>produto no lucrativo. Isso criou um considervel excedente na capacidade de produo. </p><p>A gerncia est considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou mais produtos, </p><p>identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponvel das mquinas que poderia </p><p>limitar a produo est resumida na tabela a seguir: </p><p> Tipo de mquina Tempo disponvel (horas de mquina) </p><p> A 500 </p><p> B 350 </p><p> C 150 </p><p> O nmero de horas de mquina requerido por unidade dos respectivos produtos, </p><p>conforme representado a seguir: </p><p>Tipo de mquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 </p><p> A 9 3 5 </p><p> B 5 4 0 </p><p> C 3 0 2 </p><p> O lucro unitrio de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1,2 e 3. </p><p>Construa um modelo matemtico como PPL para determinar a quantidade de cada </p><p>produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro. </p><p>7- Uma certa corporao tem 3 fbricas filiais com capacidade de produo excedente. As 3 </p><p>unidades tm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerncia decidido </p><p>utilizar parte dessa capacidade de produo excedente para faz-lo. Ele pode ser feito </p><p>em 3 tamanhos grande, mdio e pequeno os quais geram um lucro unitrio lquido </p><p>de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fbricas 1,2 e 3 tm capacidade excedente </p><p>de mo-de-obra e de equipamento para produzirem 750, 900 e 450 unidades do </p><p>produto por dia, respectivamente, independentemente do tamanho ou combinao de </p><p>tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espao disponvel para estoque em </p><p>processo tambm impe um limite s taxas de produo. As fbricas 1,2 e 3 tm 1.170, </p><p>1.080 e 450 metros quadrados de espao disponvel para estoque de produtos em </p><p>processo, em dia de produo, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, mdio e </p><p>pequeno, produzida por dia, requer, 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados, </p><p>respectivamente. As previses indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200, e </p><p>750 unidades dos tamanh...</p></li></ul>