exercicios - po

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Lista de exercícios - Alocação Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.200 unidades por dia. A disponibilidade do couro permite fabricar 900 bolsas de ambos os modelos por dia. As bolsas empregam metais decorativos diferentes, cuja disponibilidade diária é de 300 para B1 e 500 para B2. Os lucros unitários são de R$3 para B1 e R$4 para B2. Qual o programa ótimo para a produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. RESPOSTA: x 1 = quantidade a produzir de B1 x 2 = quantidade a produzir de B2 Max. Lucro = 3x 1 + 4x 2 Sujeito à: 2x 1 + x 2 ≤ 1.200 (restrição quanto à quantidade máxima de produção por dia) x 1 + x 2 ≤ 900 (restrição quanto à quantidade de couro por dia) x 1 ≤ 300 (restrição quanto à quantidade de fivelas p/ M1) x 2 ≤ 500 (restrição quanto à quantidade de fivelas p/ M2) x 1 0, x 2 0 2 – Uma fabrica produz dois tipos de produto: A e B. Cada modelo A requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento, cada modelo B requer 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fábrica possui 3 cortadoras e 2 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fábrica é de 40 horas e que cada modelo A dá um lucro de R$3 e cada modelo B R$4 e que não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser o modelo de produção da fábrica que maximiza o lucro. RESPOSTA: x 1 = quantidade a produzir do modelo A x 2 = quantidade a produzir do modelo B Max. Lucro = 3x 1 + 4x 2 Sujeito à: 4x 1 + 2x 2 ≤ 120 (restrição quanto à horas de corte) 2x 1 + 5x 2 ≤ 80 (restrição quanto à horas de polimento) x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 3 – Uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos preços de venda são, respectivamente, R$110,00 e R$65,00. Ela possui 7 peças de madeira e dispõe de 30 horas de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peças de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 horas de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar

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Exercicios - Po

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Lista de exerccios - Alocao

Construir o modelo matemtico de programao linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula.

1 Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricao em relao ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.200 unidades por dia. A disponibilidade do couro permite fabricar 900 bolsas de ambos os modelos por dia. As bolsas empregam metais decorativos diferentes, cuja disponibilidade diria de 300 para B1 e 500 para B2. Os lucros unitrios so de R$3 para B1 e R$4 para B2. Qual o programa timo para a produo que maximiza o lucro total dirio da empresa? Construa o modelo do sistema descrito.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de B1 x2 = quantidade a produzir de B2 Max. Lucro = 3x1 + 4x2 Sujeito :2x1 + x2 1.200 (restrio quanto quantidade mxima de produo por dia) x1 + x2 900 (restrio quanto quantidade de couro por dia) x1 300 (restrio quanto quantidade de fivelas p/ M1) x2 500 (restrio quanto quantidade de fivelas p/ M2) x1 0, x2 0

2 Uma fabrica produz dois tipos de produto: A e B. Cada modelo A requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento, cada modelo B requer 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fbrica possui 3 cortadoras e 2 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fbrica de 40 horas e que cada modelo A d um lucro de R$3 e cada modelo B R$4 e que no h restries de demanda, pede-se qual deve ser o modelo de produo da fbrica que maximiza o lucro.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir do modelo A x2 = quantidade a produzir do modelo B Max. Lucro = 3x1 + 4x2 Sujeito :4x1 + 2x2 120 (restrio quanto horas de corte) 2x1 + 5x2 80 (restrio quanto horas de polimento) x1 0, x2 0

3 Uma pequena fbrica de mveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos preos de venda so, respectivamente, R$110,00 e R$65,00. Ela possui 7 peas de madeira e dispe de 30 horas de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peas de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 pea de madeira e 7 horas de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fbrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas.

RESPOSTA:A = quantidade a produzir da moldura A B = quantidade a produzir da moldura B Max. Lucro = 110A + 65B Sujeito :2A + B 7 (restrio quanto quantidade e madeira) 5A + 7B 30 (restrio quanto horas de trabalho) A 0, B 0

4 Uma fbrica de computadores produz dois modelos de computador: C1 e C2. O modelo C1 fornece um lucro de R$180,00 e C2 um lucro de R$300,00. O modelo C1 requer, na sua produo, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo C2 requer um gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se qual deve ser o esquema de produo que maximiza o lucro?

RESPOSTA:C1 = quantidade a produzir do computador C1 C2 = quantidade a produzir do computador C2 Max. Lucro = 180C1 + 300C2 Sujeito :C1 60 (restrio quanto quantidade de gabinetes pequenos) C2 50 (restrio quanto quantidade de gabinetes grandes) C1 + 2C2 120 (restrio quanto quantidade de unidades de disco) C1 0, C2 0

5 Um fundo de investimentos tem at R$300.000,00 para aplicar em duas aes. A empresa D diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que fornea bonificaes de 12%. A empresa N no diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificaes de 20%. Para este investimento, considerando a legislao governamental aplicvel, o fundo est sujeito s seguintes restries:

a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$270.000,00; b) O investimento na empresa no-diversificada pode atingir R$150.000,00; c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00.

Pede-se: Qual o esquema de investimento que maximiza o lucro?

RESPOSTA:D = quantidade a investir nas aes da empresa D N = quantidade a investir nas aes da empresa N Max. Lucro = 0,12D + 0,2NSujeito :D + N 300.000 (restrio quanto total de investimentos) D 270.000 (restrio quanto ao investimento na empresa diversificada) N 150.000 (restrio quanto ao investimento na empresa no-diversificada) 0,4D + N 180.000 (restrio quanto ao investimento em cerveja) 0,6D 180.000 (restrio quanto ao investimento em refrigerante) D 0, N 0

6 Uma empresa no ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos so 40m3 de pinho e 80m3 de canela. A madeira serrada d um lucro de R$5,00 por m3 e a madeira compensada d um lucro de R$0,70 por m2. Para produzir uma mistura comercivel de 1m3 de madeira serrada so requeridos 1m3 de pinho e 3m3 de canela. Para produzir 100m2 de madeira compensada so requeridos 3m3 de pinho e 5m3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5m3 de madeira serrada e 900m2 de madeira compensada. Qual o esquema de produo que maximiza o lucro de tal forma a usar o mximo possvel do estoque de matria-prima e produzir, no mnimo, o compromisso contratual?

RESPOSTA:S = quantidade a produzir de madeira do tipo serrada C = quantidade a produzir de madeira do tipo compensado Max. Lucro = 5S + 0,7C Sujeito :S + 0,03C 40 (restrio quanto quantidade de pinho) 3S + 0,05C 80 (restrio quanto quantidade de canela) S 5 (compromisso de venda de madeira serrada) C 900 (compromisso de venda de madeira tipo compensado)

7 Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adolescentes e sua capacidade de trabalho de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser confeccionado e propicia um lucro de R$30,00, enquanto o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Qual o modelo do sistema de produo que maximiza o lucro?RESPOSTA:A = quantidade a produzir do jogo A B = quantidade a produzir do jogo B Max. Lucro = 30A + 40B Sujeito :3A + 5B 50 (restrio quanto quantidade de horas de trabalho) A 0, B 0

8 Uma empresa aps um processo de racionalizao de produo ficou com disponibilidade de trs recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preo de colocao no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120 por unidade e P2, R$150 por unidade. O departamento de produo forneceu a seguinte tabela de usos dos recursos:

ProdutoRecurso R1 por unidadeRecurso R2 por unidadeRecurso R3 por unidade

P1235

P2423

Disponibilidade derecursos por ms10090120

Construa o modelo de produo mensal do sistema.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de P1 x2 = quantidade a produzir de P2 Max. Lucro = 120x1 + 150x2 Sujeito :2x1 + 4x2 100 (restrio quanto disponibilidade do recurso R1) 3x1 + 2x2 90 (restrio quanto disponibilidade do recurso R2) 5x1 + 3x2 120 (restrio quanto disponibilidade do recurso R3) x1 0, x2 0

9 A empresa MR Mveis fabrica mveis para escritrio e oferece a uma cadeia de lojas trs produtos: mesa para computador, estante e cadeira com regulagem de altura e rodas. O vendedor da MR Mveis fecha um pedido de 1.000 mesas, 800 estantes e 1.200 cadeiras, com prazo de entrega de 45 dias. Um estudo do departamento de produo j tem estimado a necessidade de mo de obra, madeira e componentes metlicos para a fabricao dos trs itens e a disponibilidade desses recursos no perodo de produo:

MesaEstanteCadeiraDisponibilidade derecursos no perodo

Quantidade a fabricar1.0008001.200

Mo de obra (horas/unidade)3427.600 horas

Madeira (m2/unidade)350,57.000 m2

Componentes metlicos (kg/unidade)0,5124.000 kg

A MR Mveis pode repassar seus projetos a outro fabricante e encontrar uma quantidade conveniente desses produtos com a finalidade de suprir o pedido. Aps consulta, chegou-se no quadro:

MesaEstanteCadeira

Custo da fabricao prpria (R$)10013090

Custo da fabricao por terceiros (R$)120150115

O problema consiste, agora, em determinar as quantias que a MR Mveis dever produzir e comprar de cada item, para minimizar o custo total desse pedido. Construa o modelo.

RESPOSTA:xm , xe , xc = quantidades a fabricar de mesas, estantes e cadeiras ym , ye , yc = quantidades a comprar de mesas, estantes e cadeiras Min. custo = 100xm + 130xe + 90 xc + 120ym + 150ye ,+ 115ycSujeito :xm + ym 1.000 (quantidade a fabricar e comprar de mesas) xe + ye 800 (quantidade a fabricar e comprar de estantes) xc + yc 1.200 (quantidade a fabricar e comprar de cadeiras) 3xm + 4xe + 2xc 7.600 (restrio quanto disponibilidade de mo de obra) 3xm + 5xe + 0,5xc 7.000 (restrio quanto disponibilidade de madeira) 0,5xm + xe + 2xc 4.000 (restrio quanto disponibilidade de comp. metlicos) xm 0, xe 0, xc 0, ym 0, ye 0, yc 0

10 Uma determinada empresa fabrica 2 produtos A1 e A2. O lucro por unidade de A1 de R$90 e o lucro unitrio de A2 de R$110. A empresa necessita de 1 hora para fabricar uma unidade de A1 e 2 horas para fabricar 1 unidade de A2. O tempo mensal disponvel para essas atividades de 80 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levam a empresa a decidir que os montantes produzidos de A1 e A2 no devem ultrapassar 30 unidades de A1 e 20 unidades de A2 por ms. Construa o modelo do sistema de produo mensal com o objetivo de maximizar o lucro desta empresa.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de A1 x2 = quantidade a produzir de A2 Max. Lucro = 90x1 + 110x2 Sujeito :1x1 + 2x2 80 (restrio quanto disponibilidade de horas)x1 30 (restrio quanto demanda de A1) x2 20 (restrio quanto demanda de A2) x1 0 x2 0

11 Uma empresa fabrica dois modelos de computadores. O modelo C1, mais completo, requer o triplo de tempo de fabricao em relao ao modelo C2. Se todos os computadores fossem do modelo C2 a empresa poderia produzir 3.000 unidades por dia. A disponibilidade dos produtos eletrnicos permite fabricar 1.800 computadores de ambos os modelos por dia. Os computadores empregam diferentes tipos de processadores, cuja disponibilidade diria de 1.900 para C1 e 1.500 para C2. Os lucros unitrios so de R$1.000 para C1 e R$800 para C2. Qual o programa timo para a produo que maximiza o lucro total dirio da empresa? Construa o modelo do sistema descrito.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de C1 x2 = quantidade a produzir de C2 Max. Lucro = 1.000x1 + 800x2 Sujeito :3x1 + x2 3.000 (restrio quanto quantidade mxima de produo por dia) x1 + x2 1.800 (restrio quanto quantidade de produtos eletrnicos por dia) x1 1.900 (restrio quanto quantidade de processadores p/ C1) x2 1.500 (restrio quanto quantidade de processadores p/ C2) x1 0, x2 0

Lista de exerccios Dosagem

Construir o modelo matemtico de programao linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula.

1 Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros.

A liga deve ter a seguinte composio final:

Matria-prima% mnima% mxima

Ferro1025

Carvo825

Silcio1030

Nquel310

Os custos dos materiais puros so (por kg): ferro - R$0,40; carvo- R$0,30; silcio - R$0,15; nquel - R$0,55. Qual dever ser a composio da mistura com menor custo por kg? Construa o modelo de deciso.

RESPOSTA:x1 = quantidade de ferro puro na mistura x2 = quantidade de carvo puro na mistura x3 = quantidade de silcio puro na mistura x4 = quantidade de nquel puro na mistura Min. Custo = 0,40x1 + 0,30x2 + 0,15x3 + 0,55x4 Sujeito : x1 0,10 (restrio quanto quantidade mnima de ferro) x1 0,25 (restrio quanto quantidade mxima de ferro) x2 0,08 (restrio quanto quantidade mnima de carvo) x2 0,25 (restrio quanto quantidade mxima de carvo) x3 0,10 (restrio quanto quantidade mnima de silcio) x3 0,30 (restrio quanto quantidade mxima de silcio) x4 0,03 (restrio quanto quantidade mnima de nquel) x4 0,10 (restrio quanto quantidade mxima de nquel) x1 + x2 + x3 + x4 = 1 (restrio quanto composio a produzir) x1, x2, x3 e x4 0

2 Uma fbrica de rao para animais possui em estoque 3 misturas e pretende, a partir delas, compor uma nova rao que apresente quantidades mnimas de dois nutrientes presentes nas misturas. O quadro abaixo apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e seu custo, alm das quantidades mnimas exigidas na nova rao.

IngredientePor kgExigncia mnima (em kg)por saco de 30kg

Mistura 1Mistura 2Mistura 3

12520325

22030186

Custo/kg (R$)0,300,250,28

O problema consiste em determinar a composio do saco de 30kg da nova rao a partir das trs misturas que apresente o menor custo.

RESPOSTA:x1 = quantidade da mistura 1 na nova rao x2 = quantidade da mistura 2 na nova rao x3 = quantidade da mistura 3 na nova rao Min. Custo = 0,30x1 + 0,25x2 + 0,28x3

Sujeito : x1 + x2 + x3 = 30 (restrio quanto quantidade total a produzir na mistura) 0,25x1 + 0,20x2 + 0,32x3 5 (restrio quanto quantidade mnima do ingrediente 1) 0,20x1 + 0,30x2 + 0,18x3 6 (restrio quanto quantidade mnima do ingrediente 2) x1 0, x2 0, x3 0

3 Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros alm de 2 tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 Composio: ferro - 60%; carvo - 20%; silcio - 20%. Custo por kg: R$0,20. Material Recuperado 2 Composio: ferro - 70%; carvo: 20%; silcio - 5%; nquel - 5%. Custo por kg: R$0,25.

A liga deve ter a seguinte composio final:

Matria-prima% mnima% mxima

Ferro6065

Carvo1520

Silcio1520

Nquel58

Os custos dos materiais puros so (por kg): ferro - R$0,30; carvo - R$0,20; silcio - R$0,28; nquel - R$0,50. Qual dever ser a composio da mistura em termos de materiais disponveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de deciso.

RESPOSTA:x1 = quantidade de MR1 na mistura x2 = quantidade de MR2 na mistura x3 = quantidade de ferro puro na mistura x4 = quantidade de carvo puro na mistura x5 = quantidade de silcio puro na mistura x6 = quantidade de nquel puro na mistura Min. Custo = 0,20x1 + 0,25x2 + 0,30x3 + 0,20x4 + 0,28x5 + 0,50x6 Sujeito : 0,6x1 + 0,7x2 + x3 0,60 (restrio quanto quantidade mnima de ferro) 0,6x1 + 0,7x2 + x3 0,65 (restrio quanto quantidade mxima de ferro) 0,2x1 + 0,2x2 + x4 0,15 (restrio quanto quantidade mnima de carvo) 0,2x1 + 0,2x2 + x4 0,20 (restrio quanto quantidade mxima de carvo) 0,2x1 + 0,05x2 + x5 0,15 (restrio quanto quantidade mnima de silcio) 0,2x1 + 0,05x2 + x5 0,20 (restrio quanto quantidade mxima de silcio) 0,05x2 + x6 0,05 (restrio quanto quantidade mnima de nquel) 0,05x2 + x6 0,08 (restrio quanto quantidade mxima de nquel) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 (restrio quanto composio a produzir) x1, x2, x3, x4, x5 e x6 0

4 Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentao diria, de um mnimo de 15 unidades de protenas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um kg do produto A contm 3 unidades de protenas, 10 unidades de carboidratos e custa R$2,00. Um kg do produto B contm 6 unidades de protenas, 5 unidades de carboidratos e custa R$3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigncias da alimentao sejam satisfeitas a um custo mnimo?

RESPOSTA:x1 = quantidade do produto A a consumir x2 = quantidade do produto B a consumir Min. Custo = 2x1 + 3x2 Sujeito : 3x1 + 6x2 15 (restrio quanto quantidade mnima de protenas a ingerir) 10x1 + 5x2 20 (restrio quanto quantidade mnima de carboidratos a ingerir) x1 0, x2 0

5 Uma empresa siderrgica produz um tipo de ao a partir de ao puro misturado com ligas metlicas e recebeu um pedido de uma pea de 400kg. Sabe-se que o custo por quilo de ao puro de R$5,00 e o das ligas, R$3,00 e que os estoques so de 400kg e 800kg, respectivamente. Na carga do forno para a produo da liga desejada, a relao de adies para ao puro deve estar entre 25% e 35%. Qual o esquema de produo de custo mnimo?

RESPOSTA:x1 = quantidade de ao puro na mistura x2 = quantidade do adies metlicas na mistura Min. Custo = 5x1 + 3x2 Sujeito : x1 + x2= 400 (restrio quanto ao peso total da pea a produzir) x1 100 (restrio quanto quantidade mnima de ao puro na mistura de 400kg) x1 140 (restrio quanto quantidade mxima de ao puro na mistura de 400kg) x1 400 (restrio quanto disponibilidade mxima de ao puro) x2 800 (restrio quanto disponibilidade mxima de adies metlicas) x1 0, x2 0

6 Uma empresa adquire petrleo para produzir gasolina comum, gasolina especial e leo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no incio de cada semana, um estoque mnimo dos produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composies, disponibilidades e estoques mnimos. Qual o esquema de produo de custo mnimo?

Petrleo APetrleo BEstoque mnimo

Gas. Comum10%60%200 Barris

Gas. Especial20%30%50 Barris

leo Diesel70%10%100 Barris

Disponibilidade200 Barris300 Barris

CustoR$ 10,00R$ 15,00

RESPOSTA:x1 = quantidade do petrleo A na mistura x2 = quantidade do petrleo B na mistura Min. Custo = 10x1 + 15x2 Sujeito : 0,10x1 + 0,60x2 200 (restrio quanto ao estoque mnimo de gasolina comum) 0,20x1 + 0,30x2 50 (restrio quanto ao estoque mnimo de gasolina especial) 0,70x1 + 0,10x2 100 (restrio quanto ao estoque mnimo de leo diesel) x1 200 (restrio quanto disponibilidade mxima de petrleo A) x2 300 (restrio quanto disponibilidade mxima de petrleo B) x1 0, x2 0

7 Um aougue prepara almndegas misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contm 80% de carne e 20% de gordura e custa R$0,80 o kg; a carne de porco contm 68% de carne e 32 % de gordura e custa R$0,60 o kg. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco o aougue deve utilizar por kg de almndega se o objetivo minimizar seu custo e conservar o teor de gordura da almndega no superior a 25%? Construa o modelo.

RESPOSTA:x1 = quantidade de carne bovina na mistura x2 = quantidade de carne de porco na mistura Min. Custo = 0,8x1 + 0,6x2 Sujeito : x1 + x2 = 1 (restrio quanto composio a produzir num total de 1kg) 0,2x1 + 0,32x2 0,25 (restrio quanto quantidade mxima de gordura) x1 0, x2 0

8 Uma empresa de minerao deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhes de toneladas por ano do minrio Sinter Feed e, para tanto, conta com os seguintes minrios (a tabela abaixo mostra a composio percentual e o custo por tonelada de cada minrio):

M1M2

Fe66%64%

Si1,5%3,7%

CustoR$5,60R$3,30

O minrio a ser produzido por este blending deve conter no mnimo 65% de Ferro e no mximo 3% de Silcio. Qual o blending a custo mnimo?

RESPOSTA:x1 = quantidade do minrio M1 na mistura x2 = quantidade do minrio M2 na mistura Min. Custo = 5,60x1 + 3,30x2 Sujeito : x1 + x2 = 4.000.000 (restrio quanto quantidade total a produzir em toneladas por ano) 0,66x1 + 0,64x2 2.600.000 (restrio quanto quantidade mnima de ferro na mistura total) 0,015x1 + 0,037x2 120.000 (restrio quanto quantidade mxima de silcio na mistura total) x1 0, x2 0

Lista de exerccios - Transporte

Construir o modelo matemtico de programao linear dos sistemas descritos a seguir. Obs. Seguir o roteiro proposto em aula.

1 Analise a figura a seguir:

A Cia. de Produtos Vegetais CPV possui duas fbricas que abastecem trs depsitos. As fbricas tm um nvel mximo de produo baseado nas suas dimenses e nas safras previstas. Os custos em R$/t esto anotados em cada rota (ligao entre as fbricas e depsitos). Jos de Almeida, estudante de Administrao, foi contratado pelo Departamento de Logstica com a finalidade de atender a demanda dos depsitos sem exceder a capacidade das fbricas, minimizando o custo total do transporte.

a) Construa o modelo.

RESPOSTA:x11 = quantidade a transportar de F1 para D1 x12 = quantidade a transportar de F1 para D2 x13 = quantidade a transportar de F1 para D3 x21 = quantidade a transportar de F2 para D1 x22 = quantidade a transportar de F2 para D2 x23 = quantidade a transportar de F2 para D3 Min. Custo = 5x11 + 4x12 + 6x13 + 4x21 + 3x22 + 5x23 Sujeito : x11 + x12 + x13 2500 (restrio quanto a produo de F1) x21 + x22 + x23 1000 (restrio quanto a produo de F2) x11 + x21 = 1000 (restrio quanto capacidade de D1) x12 + x22 = 1500 (restrio quanto capacidade de D2) x13 + x23 = 500 (restrio quanto capacidade de D3) x11, x12, x13, x21, x22, x23 0

b) Em sua deciso Jos de Almeida considerou as seguintes situaes: I - 1.000 unidades devem ser transportadas da Fbrica 2 para o Depsito 1. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fbrica 1; II - 2.500 unidades devem ser transportadas da Fbrica 1 para os Depsitos 1 e 2. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fbrica 2; III - 1.000 unidades devem ser transportadas da Fbrica 2 para o Depsito 2. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fbrica 1.

Apresenta(m) o(s) menor(es) custo(s) apenas a(s) situao(es): (A) I (B) II (C) III (D) I e III (E) II e III

RESPOSTA:I x21 = 1000, x12 = 1500, x13 = 500. Custo = 4x1000 + 4x1500 + 6x500 = 13000 II - x11 = 1000, x12 = 1500, x23 = 500. Custo = 5x1000 + 4x1500 + 5x500 = 13500 III x22 = 1000, x12 = 500 x11 = 1000, x13 = 500. Custo = 3x1000 +4x500+ 5x1000 + 6x500 = 13000

Resposta correta: as situaes I e III apresentam menor custo. Letra: D

2 Uma empresa tem duas fbricas para produzir determinado produto a ser depois transportado para trs centros de distribuio. As fbricas 1 e 2 produzem, respectivamente, 100 e 50 carregamentos por ms. Os centros de distribuio 1, 2 e 3 necessitam receber, respectivamente, 80, 30 e 40 carregamentos por ms. Os custos de transporte, por carregamento, so dados no seguinte quadro:

C1C2C3

Fbrica 1743

Fbrica 2312

RESPOSTA:x11 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuio 1 x12 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuio 2 x13 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuio 3 x21 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuio 1 x22 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuio 2 x23 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuio 3 Min. Custo = 7x11 + 4x12 + 3x13 + 3x21 + 1x22 + 2x23 Sujeito : x11 + x12 + x13 100 (restrio quanto quantidade de carregamentos da fbrica 1 por ms) x21 + x22 + x23 50 (restrio quanto quantidade de carregamentos da fbrica 2 por ms) x11 + x21 = 80 (restrio quanto necessidade de carregamentos por ms do centro de distribuio 1) x12 + x22 = 30(restrio quanto necessidade de carregamentos por ms do centro de distribuio 2) x13 + x23 = 40 (restrio quanto necessidade de carregamentos por ms do centro de distribuio 3) x11, x12, x13, x21, x22 e x23 0

3 Uma empresa tem atualmente 8 toneladas de arroz num armazm A1, 10 toneladas num armazm A2 e 11 toneladas num armazm A3 necessitando satisfazer as seguintes demandas mnimas de trs clientes C1, C2 e C3:

ClienteQuantidade (toneladas)

C115

C217

C35

Os custos de transporte (em mil R$) so os seguintes:

C1C2C3

A1864

A2161415

A35108

Apresente o modelo para minimizao do custo de transporte.

RESPOSTA:x11 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Cliente 1 x12 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Cliente 2 x13 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Cliente 3 x21 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Cliente 1 x22 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Cliente 2 x23 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Cliente 3 x31 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Cliente 1 x32 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Cliente 2 x33 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Cliente 3 Min. Custo = 8x11 + 6x12 + 4x13 + 16x21 + 14x22 + 15x23 + 5x31 + 10x32 + 8x33 Sujeito : x11 + x12 + x13 8 (restrio quanto quantidade a transportar do armazm 1) x21 + x22 + x23 10 (restrio quanto quantidade a transportar do armazm 2) x31 + x32 + x33 11 (restrio quanto quantidade a transportar do armazm 3) x11 + x21 + x31 15(restrio quanto demanda do cliente 1) x12 + x22 + x32 17 (restrio quanto demanda do cliente 2) x13 + x23 + x33 5 (restrio quanto demanda do cliente 3) x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32 e x33 0

4 A General Ford produz veculos em L.A. e Detroit, possui um ponto de transbordo em Atlanta e entrega os veculos produzidos em Houston e Tampa. O custo de enviar veculos entre pontos dado na tabela abaixo:

De:Para:

AtlantaHoustonTampa

L.A140--

Detroit105--

Atlanta-121119

A fbrica de L.A. pode produzir at 1.100 veculos por ms e a fbrica de Detroit pode produzir at 2.900 veculos por ms. Houston deve receber no mnimo 2.400 veculos por ms e Tampa deve receber no mnimo 1.300 veculos por ms. Formule o problema buscando minimizar o custo total de transporte dos veculos.

RESPOSTA:x1 = quantidade a transportar de L.A para o transbordo em Atlanta x2 = quantidade a transportar de Detroit para o transbordo em Atlanta x31 = quantidade a transportar do transbordo em Atlanta para Houston x32 = quantidade a transportar do transbordo em Atlanta para Tampa Min. Custo = 140x1 + 105x2 + 121x31 + 119x32Sujeito : x1 1100 (restrio quanto quantidade a transportar da fbrica de L.A produo mxima da fbrica) x2 2900 (restrio quanto quantidade a transportar da fbrica de Detroit produo mxima da fbrica) x1 + x2 3700 (restrio quanto demanda mnima de Houston e Tampa) x31 2400 (restrio quanto quantidade mnima a transportar do transbordo de Atlanta para Houston) x32 1300 (restrio quanto quantidade mnima a transportar do transbordo de Atlanta para Tampa) x1, x2, x31 e x32 0

5 Trs armazns abastecem cinco pontos de venda. O quadro abaixo mostra os custos de distribuio, a capacidade dos armazns e as necessidades nos pontos de venda. Determine o modelo a fim de minimizar os custos de transporte.

P1P2P3P4P5Capacidade

Armazm 11614121216170

Armazm 2124148860

Armazm 3864141090

Necessidade mnima2369767082

Necessidade mxima2779808190

RESPOSTA:x11 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Ponto de venda 1 x12 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Ponto de venda 2 x13 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Ponto de venda 3 x14 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Ponto de venda 4 x15 = quantidade a transportar do Armazm 1 para o Ponto de venda 5 x21 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Ponto de venda 1 x22 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Ponto de venda 2 x23 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Ponto de venda 3 x24 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Ponto de venda 4 x25 = quantidade a transportar do Armazm 2 para o Ponto de venda 5 x31 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Ponto de venda 1 x32 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Ponto de venda 2 x33 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Ponto de venda 3 x34 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Ponto de venda 4 x35 = quantidade a transportar do Armazm 3 para o Ponto de venda 5 Min. Custo = 16x11 + 14x12 + 12x13 + 12x14 + 16x15 + 12x21 + 4x22 + 14x23 + 8x24 + 8x25 + 8x31 + 6x32 + 4x33 + 14x34 + 10x35 Sujeito : x11 + x12 + x13 + x14 + x15 170 (restrio quanto quantidade a transportar do armazm 1) x21 + x22 + x23 + x24 + x25 60 (restrio quanto quantidade a transportar do armazm 2) x31 + x32 + x33 + x34 + x35 90 (restrio quanto quantidade a transportar do armazm 3) x11 + x21 + x31 23 (restrio quanto necessidade mnima do ponto de venda 1) x11 + x21 + x31 27 (restrio quanto necessidade mxima do ponto de venda 1) x12 + x22 + x32 69 (restrio quanto necessidade mnima do ponto de venda 2) x12 + x22 + x32 79 (restrio quanto necessidade mxima do ponto de venda 2) x13 + x23 + x33 76 (restrio quanto necessidade mnima do ponto de venda 3) x13 + x23 + x33 80 (restrio quanto necessidade mxima do ponto de venda 3) x14 + x24 + x34 70 (restrio quanto necessidade mnima do ponto de venda 4) x14 + x24 + x34 81 (restrio quanto necessidade mxima do ponto de venda 4) x15 + x25 + x35 82 (restrio quanto necessidade mnima do ponto de venda 5) x15 + x25 + x35 90 (restrio quanto necessidade mxima do ponto de venda 5) x11, x12, x13, x14, x15, x21, x22, x23, x24, x25, x31, x32, x33, x34 e x35 0

6 Uma empresa deve programar o roteiro de embarques de seus produtos, os quais so enviados a partir de trs fbricas para quatro armazns localizados em pontos estratgicos do mercado. Levando em conta o tipo de transporte que pode ser utilizado em cada caso, bem como das distncias entre as fbricas e os armazns, os custos so diferenciados para cada combinao fbrica/armazm, como mostrado na matriz abaixo:

FbricasArmaznsCapacidade

ABCD

1814142200

22461616400

316203210300

Demanda160180240320

Determinar o modelo matemtico para o envio dos produtos de cada fbrica para cada armazm de modo a minimizar o custo do transporte.

RESPOSTA:x11 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazm A x12 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazm B x13 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazm C x14 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazm D x21 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazm A x22 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazm B x23 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazm C x24 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazm D x31 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazm A x32 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazm B x33 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazm C x34 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazm D Min. Custo = 8x11 + 14x12 + 14x13 + 2x14 + 24x21 + 6x22 + 16x23 + 16x24+ 16x31 + 20x32 + 32x33 + 10x34 Sujeito : x11 + x12 + x13 + x14 200 (restrio quanto capacidade da fbrica 1) x21 + x22 + x23 + x24 400 (restrio quanto capacidade da fbrica 2) x31 + x32 + x33 + x34 300 (restrio quanto capacidade da fbrica 3) x11 + x21 + x31 = 160 (restrio quanto demanda do armazm A) x12 + x22 + x32 = 180 (restrio quanto demanda do armazm B) x13 + x23 + x33 = 240 (restrio quanto demanda do armazm C) x14 + x24 + x34 = 320 (restrio quanto demanda do armazm D) x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33 e x34 0

7 Determinar o carregamento da rede (modelo) de transporte que minimiza o custo total:

RESPOSTA:x11 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 1 x12 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 2 x13 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 3 x21 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 1 x22 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 2 x23 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 3 Min. Custo = 10x11 + 3x12 + 5x13 + 17x21 + 7x22 + 9x23 Sujeito : x11 + x12 + x13 15 (restrio quanto capacidade de fornecimento da Fonte 1) x21 + x22 + x23 25 (restrio quanto capacidade de fornecimento da Fonte 2) x11 + x21 = 20 (restrio quanto capacidade de recebimento do Destino 1) x12 + x22 = 10 (restrio quanto capacidade de recebimento do Destino 2) x13 + x23 = 10 (restrio quanto capacidade de recebimento do Destino 3) x11, x12, x13, x21, x22 e x23 0

Lista de exerccios Pesquisa Operacional

1 Uma oficina mecnica deseja alocar o tempo ocioso disponvel em suas mquinas para a produo de 3 produtos. A tabela abaixo d as informaes sobre as necessidades de horas de mquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das mquinas, o lucro dos produtos e a demanda mxima existente no mercado.

Tipo deMquinaProduto AProduto BProduto CTempo Disponvel(horas por semana)

Torno535400

Fresa840500

Furadeira253300

Lucro201518

DemandaSemanal405020

Pede-se o esquema de produo de lucro mximo.

2 Uma fbrica de rdios tinha o desafio de maximizar o lucro global dirio obtido de duas linhas de produo que comportam 56 operrios, sendo que a fbrica possui apenas 40. As linhas de produo so Rdios Luxo e Rdios Standard. A Linha Rdios Standard comporta 32 pessoas e cada rdio consome 1 homem/dia, fornecendo um lucro de R$30,00/un. A linha Rdios Luxo comporta 24 pessoas e cada rdio consome 2 homens/dia, fornecendo um lucro de R$40,00/un. Defina as variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries.

3 Para a fabricao de cada unidade dos produtos A, B, C e D, so utilizadas, em kg, as seguintes matrias-primas:

Matria - PrimaProduto

ABCD

Madeira213

Plstico41

Ao132

Vidro21

Tinta121

Os estoques das matrias-primas, em toneladas, conforme lista acima, so, respectivamente: 1000, 2000, 800, 1000, 1500. Os lucros unitrios dos produtos, conforme lista acima, so respectivamente: R$20,00, R$30,00, R$25,00 e R$15,00. Objetiva-se esquematizar a produo para obter lucro mximo. Defina as variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries.

4 Uma fbrica de mveis tem como dois dos seus principais produtos mesas de madeira e mesas metlicas. As mesas de madeira proporcionam um lucro de $ 12,00 por unidade, j as mesas metlicas determinam um lucro de $ 10,00 por unidade. A fabricao de uma mesa de madeira requer 15 minutos da operao A, 30 minutos da operao B e 20 minutos da operao C. J a produo de uma mesa metlica exige 30 minutos da operao A e 15 minutos da operao C. A empresa dispe de 40 horas semanais para a operao A, 30 horas semanais para a operao B e 20 horas semanais para a operao C. Para garantir a venda de toda a sua produo, a empresa firmou um contrato de exclusividade com um distribuidor. O mesmo exige que a produo mnima semanal seja de 15 mesas de madeira e 20 mesas metlicas. Alm disto, em funo da demanda diferenciada pelos dois tipos de produtos, o distribuidor exige que a relao entre as mesas de madeira e metlicas seja no mnimo de 1:3, ou seja, para cada mesa de madeira produzida podem ser produzidas no mximo 3 mesas metlicas. Formule o modelo de Programao Linear que representa o problema acima, com objetivo de maximizar o lucro semanal da fbrica de mveis.

5 Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faa somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponvel de queijo de 5 quilogramas por dia, e que a pizza vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com trs pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita?

6 A Esportes Radicais S/A produz pra-quedas e asas-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponveis para a fabricao dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pra-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado est disposto a comprar toda a produo da empresa e que o lucro pela venda de cada pra-quedas de R$ 60,00 e para cada asa-delta vendida de R$ 40,00, encontre a programao de produo que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A.

7 A indstria Alumilminas S/A iniciou suas operaes em janeiro de 2001 e j vem conquistando espao no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lminas de alumnio que fbrica: espessuras fina, mdia e grossa. Toda a produo da companhia realizada em duas fbricas, uma localizada em So Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lminas finas, 6 toneladas de lminas mdias e 28 toneladas de lminas grossas. Devido qualidade dos produtos da Aluminminas S/A, h uma demanda extra para cada tipo de lminas. A fbrica de So Paulo tem um custo de produo diria de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lminas finas, 1 tonelada de lminas mdias e 2 toneladas de lminas grossas por dia. O custo de produo dirio da fabrica do Rio de Janeiro de R$ 200.000,00 para uma produo de 2 toneladas de lminas finas, 1 tonelada de lminas mdias e 7 toneladas de lminas grossas. Quantos dias cada uma das fabricas dever operar para atender aos pedidos ao menor custo possvel?

8 Uma fbrica de leno de papel produz quatro tipos de produto: A, B, C e D. A fbrica recebe o papel em grandes rolos. cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fbrica, o mercado absorver qualquer produo a um preo constante. Os lucros unitrios (caixa com 1.000 unidades) de cada produto so, respectivamente, R$10,00, R$15,00, R$18,00 e R$20,00. O quadro abaixo identifica o tempo necessrio para operao (em minutos para cada 1.000 unidades) em cada seo da fbrica, bem como a quantidade de mquinas disponveis. Considere uma jornada de 480 minutos.

SeoABCDQuantidade deMquinas

Corte51215184

Dobra101520255

Empacotamento152222253

9 Um fabricante de brinquedos deseja programar a produo de um determinado brinquedo para atender a seguinte demanda:I. Outubro: 1.200 unidades II. Novembro: 3.600 unidades III. Dezembro: 2.400 unidades A capacidade normal de produo de 1.920 unidades. Usando horas-extras, obtm-se uma capacidade adicional de 1.320 unidades/ms. O custo de produo normal unitrio de R$ 480,00. Fora do turno normal o custo de R$ 620,00/unidade. O custo mensal de armazenagem de R$ 120,00/unidade.Supondo que no exista estoque inicial, e que o fabricante no deseje estoque final em dezembro, formule um modelo de programao linear (apresentando-o) para determinar quanto produzir em cada um dos trs meses, no turno normal e no extra, de maneira a minimizar o custo total.

10 Uma estamparia pode fabricar pias de ao inoxidvel e/ou saladeiras do mesmo material. Para isto, utiliza com matria-prima chapas de ao de um tamanho nico, padronizado. Com cada chapa pode-se estampar uma pia e duas saladeiras ou ento seis saladeiras. As sobras so economicamente inaproveitveis. No processo de estamparia as chapas utilizadas para produzir pias e saladeiras requerem um tempo de 8 minutos, enquanto que as chapas utilizadas para produzir apenas saladeiras requerem um tempo de processamento de 12 minutos. A empresa possui duas mquinas de estampar com uma disponibilidade de 40 horas semanais cada uma. O preo de venda de cada pia de $ 80 e de cada saladeira de $ 30. Cada chapa de ao inoxidvel custa $ 80. Os demais custos no dependem da deciso. Sabe-se por experincia passada que no se consegue vender mais do que 4 saladeiras para cada pia vendida. A empresa possui um total de 500 chapas de ao inoxidvel para a produo semanal e deseja saber quanto deve produzir de cada artigo para obter o maior lucro possvel no perodo.

11 Uma fbrica de rdios produz os modelos A, B e C, que fornecem lucros de 16, 30 e 50 reais por unidade, respectivamente. As exigncias de produo mnima semanal so (em dzias): 2, 10 e 5, respectivamente. Cada tipo de rdio requer uma certa quantidade de tempo para a fabricao das partes componentes, para a montagem e para a embalagem. A tabela a seguir mostra estas necessidades de tempo (em horas) para lotes de 12 unidades (que so a quantidade mnima de fabricao):

RdioFabricaoMontagemEmbalagem

A341

B3,551,5

C583

Disponibilidade12016048

A tabela mostra, ainda, a disponibilidade em horas de cada setor da fbrica. Pergunta-se qual a programao da produo de maior lucro.

12 Uma fbrica de cadeiras produz quatro modelos, usando a carpintaria e a seo de acabamento. As necessidades de homens/hora de cada produto na carpintaria so as seguintes, respectivamente: 4, 9, 7 e 10 e, na seo de acabamento, 1, 1, 3 e 40. Os lucros unitrios fornecidos por produto so, respectivamente, R$12,00, R$20,00, R$18,00 e R$40,00. A fbrica possui 20 operrios na carpintaria e 30 na seo de acabamento, trabalhando 8 horas por dia e 25 dias por ms. Supondo-se que no h restries de demanda de produto, pergunta-se qual o esquema mensal de produo capaz de maximizar o lucro da fbrica.

13 Uma empresa fabrica quatro modelos de rebites metlicos a partir de chapas, cada um dos quais deve ser cortado, dobrado e furado. As necessidades especficas de tempo de trabalho (em minutos por 1.000 unidades) de cada um dos produtos so as seguintes:

ModeloCortarDobrarFurar

A321

B213

C221

D413

A empresa dispe, numa base diria, de 2880 minutos de tempo de corte, 2400 minutos de tempo de dobra e 2400 horas de tempo de furar. Os lucros unitrios (1.000 unidades) sobre os produtos so, respectivamente, R$6,00, R$4,00, R$6,00 e R$8,00. Pede-se o esquema de produo que maximiza o lucro.

14 Um fazendeiro dispe de 400 hectares cultivveis com milho, trigo ou soja. Cada hectare de milho envolve custos de R$2.000,00 para preparao do terreno, 20 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$600,00. Um hectare de trigo envolve custos de R$2.400,00 para preparao, requer 30 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$800,00. Finalmente, um hectare de soja envolve gastos de R$1.400,00, 24 homens/dia e um lucro de R$400,00. O fazendeiro dispe de R$800.000,00 para cobrir os custos de preparao do terreno e pode contar tambm com 8.000 homens/dia de trabalho. Qual deve ser a alocao da terra para os vrios tipos de cultura de maneira a maximizar os lucros?

15 Uma fbrica de bebidas produz 3 tipos de rum: Popular, Standard e Especial, os quais passam por 3 processos dentro da empresa e cujos tempos vemos abaixo (em horas por caixa de bebida):

BebidaEsterilizaoEngarrafamentoEmbalagem

Popular321

Standard433

Especial447

16 Uma grande empresa de minerao tem instalaes em 3 estados distintos, identificados como Mineraes A, B e C. Tais mineraes devem atender a trs usinas de beneficiamento e comercializao, localizadas nas cidades 1, 2 e 3. Os custos de transporte ($/ton) entre as mineraes e as usinas de beneficiamento so conhecidos e apresentados na tabela a seguir, bem com as capacidades de produo (ton) de cada minerao e as demandas de comercializao (ton) das usinas de beneficiamento.

MineraesUsinas de beneficiamento de cobreCapacidade de Mineraes

Cidade 1Cidade 2Cidade 3

A8523

B510410

C1,5322

Demanda das usinas0,713

Por outro lado, tambm so conhecidos os custos de extrao do minrio nas mineraes e de beneficiamento nas usinas, os quais esto apresentados na tabela abaixo:

MineraesCustos extrao($/ton)Usinas de beneficiamentoCustos de beneficiamento ($/ton)

A50CIDADE 170

B40CIDADE 265

C35CIDADE 360

Obviamente, a empresa deseja minimizar os custos totais (somatrio dos custos de minerao, beneficiamento e transporte), atendendo s demandas do mercado, a partir das cidades com usinas de beneficiamento e de acordo com a capacidade das mineraes. Deve-se observar que, tanto para o transporte como para a minerao e o beneficiamento, devem ser processadas, sempre, quantidades mltiplas de 1 tonelada. Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries.

17 Uma empresa tem fbricas nos locais I, II e III, que abastecem armazns situados em A, B, C e D. As capacidades mensais das fbricas so de 1000, 2500 e 3000, respectivamente. As necessidades mensais mnimas dos armazns so 1500, 2000, 1500 e 500, respectivamente. Os custos unitrios de transporte so os seguintes:

OrigemDestino

ABCD

I5869

II4221

III3545

Busca-se o esquema de transporte de custo mnimo. Defina as variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries.

18 Considere uma metalrgica que dispe de tecnologia necessria para a extrao de metais diversos a partir da sucata, fornecendo-os ao mercado. O programa de entrega aos clientes, para a prxima semana, de 320 kg de cobre, 530 kg de estanho, 160 kg de chumbo e 1.500 kg de ferro. Os estoques, no incio da prxima semana, sero de 50 kg de cobre, 30 kg de estanho e 1.700 kg de ferro. A quantidade estocada de chumbo, no incio da prxima semana, ser igual a zero. Os fornecedores A e B fornecem sucata com quantidades dos diversos metais conforme a tabela a seguir:

MetalSucata do Fornecedor (%)

AB

Cobre39

Estanho1010

Chumbo162

Ferro4060

Outros3119

O custo por tonelada (1.000 kg) de sucata de $ 900,00 e de $ 750,00 para os fornecedores A e B, respectivamente. O fornecedor B informou que, para a prxima semana, dispor de, no mximo, 4 toneladas de sucata para entrega. O fornecedor A no imps quaisquer restries para a quantidade de sucata a ser entregue. Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries, de modo a determinar a quantidade de sucata a ser comprada de cada fornecedor, a fim de cumprir o programa de entrega da prxima semana, minimizando o custo de aquisio de sucata. Considere que a empresa pretende produzir apenas o necessrio para atender ao programa de entrega da prxima semana.

19 Uma empresa tem fbricas nas cidades A, B e C, todas fabricando o mesmo tipo de painel de madeira para residncias. Os produtos so atualmente distribudos para as lojas das cidades 1, 2 e 3. A empresa est estudando a reestruturao de sua rota de distribuio em funo da economicidade de despacho e transporte para as lojas. Neste sentido, a empresa fez um levantamento dos seus atuais custos de transporte das fbricas para as lojas, o que apresentado abaixo.

FbricasLojas

Cidade 1Cidade 2Cidade 3

Cidade A12148

Cidade B101012

Cidade C81210

Por outro lado, as fbricas apresentam capacidades de produo diferenciadas, da mesma maneira que as lojas possuem demandas diferentes e especficas. Os dados de capacidade e demanda semanal so apresentados a seguir.

Capacidade das Fbricas

Cidade A60

Cidade B52

Cidade C40

Demanda das Lojas

Cidade 150

Cidade 240

Cidade 335

Defina qual a melhor alternativa atual de despacho dos produtos para atender a demanda das lojas. Apresente a modelagem (definio das variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries).

20 Os requerimentos unitrios de uma rao para engorda de porcos so os indicados abaixo, por kg de rao:

a) Protena: no mnimo 0.14 kg b) Clcio: no mnimo 5 g c) Fsforo: no mnimo 4 g d) Metionina: no mnimo 4,4 g e) Cistina: no mnimo 1,0 g

Para alcanar estes valores especficos pode-se substituir at 50% do requerimento de Metionina por Cistina.Esta quantidade de Cistina deve ser excedente ao seu requerimento mnimo. Alm disso, deve-se obedecer para a quantidade de Clcio e Fsforo uma relao de 1,5 a 2:1, ou seja, 1,5 a 2 partes de Clcio para 1 parte de Fsforo. Os alimentos usados para fazer a rao, bem como os seus contedos de nutrientes e preos por quilo, so os seguintes:

MilhoSorgoFarinha SojaFarinha SangueFarinha Ossos

Protena (kg/kg)0,10,090,260,93

Metionina (g/kg10,013,020,010,6

Cistina (g/kg)1,51,66,511,5

Clcio (g/kg)1,00,32,90,7308,5

Fsforo (g/kg)2,53,010,511,2141,3

Preo ($/kg)1,20,962,34,31,83

Objetiva-se determinar a composio de rao que oferea o mnimo custo possvel por quilo, atendendo as exigncias colocadas acima. Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries.

21 Uma metalrgica possui em seu estoque cinco diferentes tipos de ligas metlicas, com as composies:

ComponenteLiga

12345

Estanho (%)4030601020

Chumbo (%)4050307050

Zinco (%)2020102030

Os custos, por tonelada, das ligas so, respectivamente, R$10,00, R$12,00, R$15,00, R$12,00 e R$14,00.A empresa deseja fundir, a partir das ligas existentes, uma nova liga cuja composio deve ser de 45% de chumbo, 40% de estanho e 15% de zinco. O objetivo determinar as propores destas ligas que deveriam ser fundidas para produzir a nova liga a um custo mnimo. Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries.

22 Uma empresa adquire petrleo para produzir gasolina comum, gasolina especial, leo diesel e querosene. Ela necessita manter em seus tanques, no incio de cada semana um estoque mnimo de produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composies, disponibilidades e estoques mnimos. Qual o esquema de produo de custo mnimo? Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries.

Petrleo APetrleo BPetrleo CEstoque Mnimo

Gasolina Comum10%40%10%100 barris

Querosene10%20%20%50 barris

Gasolina Especial20%30%60%50 barris

leo60%10%10%100 barris

Disponibilidade280 barris150 barris150 barris

CustoR$ 20,00R$ 15,00R$ 30,00

23 Uma empresa produz um suco obtido a partir da mistura de cinco tipos de sucos naturais, que deve conter, em cada litro, pelo menos 20.000 unidades de vitamina C, 40.000 unidades de vitamina D e 900 unidades de potssio. Os dados so:

SucoVitamina CVitamina DPotssioCusto por Litro

Laranja20.00080.0005000,20

Acerola5.000200.0004000,40

Abacaxi10.00050.0001000,25

Mamo5.00020.0002.0000,10

Caju30.00030.0006000,20

Pergunta-se: qual a mistura a custo mnimo que atende aos requisitos? Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries.

24 Uma montadora de caminhes necessita distribuir a sua produo, que feita em 3 fbricas diferentes, para 3 concessionrias localizadas em trs grandes cidades. A configurao da malha rodoviria que liga as fbricas s concessionrias determina os custos de transportes apresentados na tabela abaixo.

FbricasConcessionrias

C1C2C3

F18610

F291213

F314915

Por outro lado, as fbricas apresentam capacidades de produo diferentes, da mesma maneira que as concessionrias apresentam necessidades distintas. Os dados de capacidade de produo por fbrica e de necessidade por concessionria esto colocados abaixo.

FbricaProduo MximaConcessionriaDemanda

F135C155

F250C235

F340C335

A partir destes dados, defina qual a quantidade de caminhes que devem ser transportados de cada fbrica para cada concessionria, a fim de minimizar o custo envolvido nesta operao, obedecendo as restries de produo e demanda. Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries.

25 A Renta Car est avaliando a distribuio dos seus carros de aluguel nas diversas cidades onde possui escritrios. A empresa aluga trs tipos de carros: econmico, standard e luxo. O gerente de distribuio acredita que as cidades A, B e C possuem carros em excesso, assim caracterizados:

CARROS EM EXCESSOCidadesEconmicoStandardLuxo

A201010

B302020

C1055

Entretanto, as cidades D, E, F e G possuem uma carncia de carros, a qual est apresentada na tabela a seguir:

CARROS EM FALTACidadesEconmicoStandardLuxo

D1055

E2055

F01010

G52020

Em termos do eventual transporte dos carros excedente de uma cidade para outra, deve ser observado que uma cidade especfica no pode fornecer mais de 20 carros, incluindo todos os modelos, para uma mesma cidade recebedora. Dado que os custos unitrios de transporte, independentemente do tipo de carro transportado, das cidades A, B e C para as cidades D, E, F e G so diferenciados, conforme a tabela a seguir, o gerente de distribuio no sabe como resolver esse problema de uma maneira tima.

OrigemDestino

ABC

D100150200

E300200100

F200100150

G100200150

Formule o modelo de programao linear para o problema exposto acima, indicando: variveis de deciso, funo objetivo e sistema de restries, de modo a minimizar o custo do transporte dos carros.

26 Uma metalrgica deseja utilizar o mximo de estoque existente para maximizar o lucro de venda obtido atravs da fabricao de duas ligas de alumnio, partindo de 2 minrios, cujos estoques e custos so:

Minrio A: Custo = R$0,03 por kg e Estoque = 600 kgMinrio B: Custo = R$0,05 por kg e Estoque = 800 kg

Os minrios A e B possuem composio qumica conforme a tabela a seguir:

ComponenteMinrio AMinrio B

Silcio (Si)15%10%

Ferro (Fe)13%5%

Alumnio (Al)72%85%

A liga A vendida a R$ 0,08 por kg, e deve atender a especificaes tcnicas que limitam a quantidade dos elementos qumicos, segundo a tabela:

ComponenteMnimoMximo

Si13%

Fe10%

Al80%

A liga B tem preo de venda R$ 0,07 por Kg e deve atender s seguintes especificaes tcnicas:

ComponenteMnimoMximo

Si14%

Fe11%

Al78%

Deseja-se usar ao mximo o estoque de matria-prima para produzir ambas as ligas, maximizando o lucro. Determine as variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries.

27 Um fazendeiro deseja obter a composio da dieta alimentar para o gado de acordo com as necessidades dirias de nutrientes adequadas ao processo de engorda. Sabe-se que o gado deve consumir diariamente, pelo menos 0,4 kg de N1, 0,6 Kg de N2, 2 Kg de N3 e 1,7 kg de N4. As indstrias locais de rao fabricam dois produtos: A e B, os quais contm as seguintes quantidades de nutrientes por quilo:

ProdutoN1N2N3N4

A100g100g200g

B100g200g100g

O alimento A custa R$ 8,00 por quilo e o B R$ 3,20 /kg. Deseja-se obter as quantidades dirias de A e B a serem usadas por animal, de modo a se minimizar o custo com rao. Determine as variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries.

28 A Trambique S.A. possui 05 questes judiciais. A empresa solicitou uma cotao de preos para 3 advogados, os quais informaram os seguintes valores por caso:

ADVOGADOCASO

12345

A10002000300020001000

B20002000200020002000

C15001500200020001500

Cada caso demandar um conjunto especfico de horas, conforme demonstra a prxima tabela:

CASODEMANDA (EM HORAS)

1200

2300

3200

4400

5300

Por sua vez, cada advogado possui um nmero finito de horas disponveis:

ADVOGADODISPONIBILIDADE (EM HORAS)

A700

B500

C600

Sendo que: - cada caso ter apenas um advogado alocado; - um determinado advogado no poder tratar de mais de dois casos e - o advogado que tratar o caso 5 no poder trabalhar no caso 1.

A Trambique gostaria de selecionar os advogados de forma que o custo total de defesa seja minimizado. Formule a modelagem do problema para obter o custo mnimo, indicando as variveis de deciso, a funo objetivo e o sistema de restries.

29 O prefeito exige que cada regio da cidade seja atendida por pelo menos um posto. Formule uma modelagem de programao inteira que determine os locais em que os postos policiais devem ser construdos de forma a minimizar os custos e atender s condies exigidas.

LOCAL12345678910

Regio 1XXXXXX

Regio 2XX

Regio 3XXXX

Regio 4XXX

Regio 5XXXXXXX

CUSTO3 mil5 mil1 mil2 mil1 mil4 mil3 mil1 mil2 mil2 mil

30 A Super Tech SA est planejando seus gastos com Pesquisa e Desenvolvimento para o prximo ano. A empresa selecionou quatro alternativas de projetos e deve escolher quais priorizar. Os dados do problema encontram-se na tabela a seguir:

ProjetoValor presente (em mil R$)CAPITAL REQUERIDO (em mil R$)

ANO 1ANO 2ANO 3ANO 4ANO 5

1100,05701502020

2170,908020251510

3130,14903004020

4147,30502080020

CAPITAL DISPONVEL150809010070

31 Trs navios sero carregados no porto de Tubaro com minrio de ferro. O terminal de minrio tem 4 beros, cada um deles com um shiploader de capacidade diferente. Devido s diferenas nas capacidades dos navios e dos shiploaders, h diferentes tempos de carregamento, dependendo das combinaes entre navios e beros (conforme a tabela). Formule a modelagem de modo que o tempo total de carregamento dos navios seja mnimo.

TEMPO EM HORASNAVIO

ABC

BERO17119

261015

3121614

41485