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CAPÍTULO 2 – Princípio de indução finita Paulette
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PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA (PIF) Sejam a e P(n) uma proposição (falsa ou verdadeira) associada a cada número natural n,
n a.
Supondo que:
1o) P(n) seja verdadeira para n = a
2o) Para todo número natural k a, P(k) P(k+1).
Nestas condições, P(n) será verdadeira para todo natural n a.
A aplicação do PIF para provar que P(n) é verdadeira para todo n, n a, é facilitada com o
uso do seguinte procedimento:
a) Verificar que P(n) é verdadeira para n = a ,
b) Supor que P(n) é verdadeira para n = k , k a. e
c) Provar que P(n) é verdadeira para n = k+1.
Exemplo 1:
Prove que P(n): 1+2+3+4+.......+(n-1)+ n = 2
).1( nn, n 1
Prova:
a) Verificar que P(n) é verdadeira para n = 1
1 membro = 1 (observe o termo geral)
2 membro = 2
1).11( = 1
Portanto, P(n) é verdadeira para n = 1.
b) Supor (hipótese) que P(n) é verdadeira para n = k , k 1.
P(k): 1+2+3+4+.......+(k-1)+ k = 2
).1( kk
c) Provar (tese) que P(n) é verdadeira para n = k+1.
P(k+1): 1+2+3+4+.......+(k-1)+ k + (k+1) = 2
)1).(2( kk, k 1.
Partindo do primeiro membro da sentença P(k+1) acima e nele substituindo a P(k) (hipótese),
temos:
1+2+3+4+...+(k-1)+ k + (k+1) = [1+2+3+4+...+(k-1)+ k] + (k+1) = [2
).1( kk] + (k+1) = [
2
).1( kk]
+2
)1(2 k =
2
)1).(2( kk.
A expressão final coincide com o segundo membro de P(k+1).
Portanto, pelo Princípio de Indução Finita, P(n) é verdadeira para todo n 1.
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Exemplo 2:
Prove que P(n): 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n.(n+1) , n 1.
Prova:
a) Verificar que P(n) é verdadeira para n = 1
1 membro = 2.(1) = 2 (observe o termo geral)
2 membro = (1).((1) + 1) = 1. (1 + 1) = 2
Portanto, P(n) é verdadeira para n = 1.
b) Supor (hipótese) que P(n) é verdadeira para n = k , k 1.
P(k): 2 + 4 + 6 + 8 + .......+ 2k = k (k + 1)
c) Provar (tese) que P(n) é verdadeira para n = k+1, k 1.
P(k+1): 2 + 4 + 6 + 8 + .......+ 2k + 2(k+1) = (k + 1) ( (k+1) + 1) ou
P(k+1): 2 + 4 + 6 + 8 + .......+ 2k + 2(k+1) = (k + 1)( k + 2)
Partindo do primeiro membro da sentença P(k+1) acima e nele substituindo a P(k) (hipótese),
temos:
2 + 4+ 6 + 8 + ...+ 2k + 2(k+1) = [2 + 4+ 6 + 8 + ...+ 2k] + 2(k+1) =
= [ k (k + 1)] + 2(k+1) = (k+1) ( k + 2).
A expressão final coincide com o segundo membro de P(k+1).
Portanto, pelo Princípio de Indução Finita, P(n) é verdadeira para todo n 1.
Exercícios de aplicação 7:
Demonstrar as seguintes proposições, usando o PIF.
1) P(n): 1+x+ 2x + 3x + .......+ nx = x
x n
1
1 1
, n 1 e x 1
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2) P(n): 1+3+5+........+(2n-1) = 2n , n 1
3) P(n): 21 + 22 + 23 + ........+ 2n = 6
)12).(1.( nnn, n 1
4) P(n): 31 +
32 +33 + .......+ 3n =
4
)1.( 22 nn , n 1.
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5) P(n): 10n > n , n 1.
6) P(n): 2n > n , n 1.
7) P(n): 22 1n
é divisível por 3, n > 0.
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8) P(n): 2 3n n , 4n .
9) P(n): n ! > 12n , n 4.
10) Use o P.I.F. e mostre a lei de De Morgan generalizada.
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11) P(n): 10 1n
é divisível por 9, n 0.
12) P(n): 7 1n
é divisível por 6, n 0
13) Mostre pelo PIF que o produto de dois números inteiros consecutivos é sempre par, ou n(n+1) é
par.