TEORIA DA VIBRAO

com aplicaes

Professor

de Engenharia Santa Brbara

Mecnicn

da Universidade

da Califrnia,

Cssio Sigaud Engenheiro Civil

Copyright

1973 by Prentice-Halllnc.Ali rights reserved.

Publicado Prentice

em ingls com o titulo with Applications Englewood USA. Cliffs,

Theory of Vibration Halllnc., New Jersey,

PREFCIO

,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem 1978 por Editora lte~cincia Ltda. Rio de,Janeiro, Brasil

Programao Composio

Visual e Capa 'Arte do Texto

Intercincia Intercincia

CIPSrasi!. Cataloga50-nafonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.

o assunto vibraes tem uma fascinao nica. Trata-se de um tema lgico, explicvel atravs de princpios bsicos d~ mecnica. Ao contrrio do que seobserva com algumas matrias, seus conceitos matemticos so todos eles ssociados a fenmenos fsicos c;ue podem ser experimentados e medidos. um assunto que agrada ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentao, quer acompanhando o progresso tecnolgico, quer pelo tirocnio adquirido no ensino e na prtica. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e estudantes contriburam com sugestes e troca de idias~Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; mais uma vez um desejo, da parte do autor, no propsito de uma apresentao mais clara, com tcnicas modero nas que so hoje rotina. Nos cinco captulos iniciais, que tratam dos sistemas de um e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, confiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital, sua aplicao no campo das vibraes encorajada com alguns exemplos simples. Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analgico ainda um instrumento til e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco captulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista simples e fsico, fom1am o fundamento para a compreenso do que bsico em vibraes e podem ser lecionados num curso inici~l, em perodo de trs meses a um semestre. No Captulo 6 h uma generalizao dos conceitos dos sistemas de dois graus de liberdade para os de muitos graus. A nfase neste captulo ' a teoria e a extenso para os sistemas de muitos graus de liberdade apresentada elegantemente, com o auxI1io da lgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o desacoplamento das coordenadas. So introduzidas algumas idias fora do comum de modos normais na_vibrao forada e o mtodo espao-estado, utilizado correntemente em teoria de controle.

T396t

Thomson, William T. Teoria da vibrao com aplicaes/William T. Thomson; Cssio Sigaud. - Rio de Janeiro: Intercincia, 1978.

traduo

de

Traduo de: Theory 01 vibration Apndices Bibliografia 1. Processamento Vibrao I. T(tulo eletrnico de

with applications

dado.

-

Mecnica

aplicada

2.

COO - 620.30183 COU - 620.178.5:

681.3

~ proibida

a reproduo

total ou parcial por quaisquer

meios,

sem autorizao por escrito da ed'itora

I1I

EDITORA INTERClfNCIA LTOA. Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899 ZC16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil

H muitas abordagens analticas para o estudo da vibrao de estruturas com plexas de muitos graus de liberdade. O Captulo 7 apresenta alguns dos mais teis mtodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, no s como formular tais problemas para a computao eficiente, como algumas das apro'ximaes que se podem fazer para checar os clculos. Todos os problemas aqui podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessrio que se entenda a teoria bsica das computaes. Como exemplo, apresentada a compu tao digital de um problema do tipo Holzer. O Captulo 8 refere-se aos sistemas contnuos ou queles problemas associados a equaes diferenciais parciais. Uma apreciao de problemas de vigas pelas diferenas frnitas oferece uma oportunidade de resolv-Ios no computador digital. As equaes de Lagrange, objeto do Captulo 9, reforam o entendimento dos sistemas dinrnicos apresentados anteriormente e alargam a viso para outros desen volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do mtodo da sorna de modos urna conseqncia natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido das equaes restritivas como condies de contorno fsico para a sntese modal entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange. O Captulo 10 trata dos sistemas dinmicos excitados por foras aleatrias ou deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista estatstico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitao leatria distribuda normalmente. O ponto de vista adotado aqui o de que, apresentado um registro leat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelao que permite o clculo da densidade espectral e da resposta quadrtica mdia. O computador digital essencil novamente para o trabalho nmerico. No Captulo 11, d;enfase ~ introduo do mtodo do plano de fase no tratamento dos sistemas no-lineares. Quando as no-linearidades so pequenas, os 'mtodos de perturbao ou iterao proporcionam uma abordagem analtica. Resul tados de computaes a mquina para um sistema no-linear ilustram o que pode ser feito. Os Captulos 6 a 1I contm matria apropriada para um segundo curso sobre vibrao, que pode ser dado em nvel de graduao. l.1 1.21.3 1.4

NDICE

1.51.6

Introduo Movimento Harmnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anlise Harmnica Funo Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . Funo Aleatria de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . Propriedades do Movimento Oscilatrio. . . . . . . . .

. . . . . . . . .. , . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 2 5 7 8 9

VIBRAO LIVRE2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Mtodos de Sonia de Foras Mtodo de Energia Massa Efetiva Vibrao Livre Amortecida Decremento Logartmico Amortecimento de Coulomb Rigidez e Flexibilidade 1.5 18 20 23 28 32 33

, .. '

','

MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 Introduo ' Vibrao Ham1nica Forada : Desbalanceamento Rotativo "Whirling" de Eixos Rotativos Movimento de Suporte Instrumentos Medidores de Vibrao Isolamento de Vibrao .. , ~ Amortecimento ................................. Amortecimento Viscoso Equivalente ................... Amortecimento Estrutural Agudeza de Ressonncia 47 47 51 57 59 -

6164 6771

72 74

Introduo " 83 Excitao de Impulso " 83 Excitao Arbitrria : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 Formulao da Transtf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. 91 Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 o Computador Analgico 101 Diferenas Finitas em Computao Digital " 111 A Computao Runge-Kutta ' 119 SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Introduo , Vibrao de Modo Normal Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' Vibrao Harmnica Forada Absorvedor de Vibrao : Pndulo Centrfugo Absorvedor de Vibrao O Amortecedor de Vibrao .. ' Efeito Giroscpico sob~e Eixos R~iativos Computao Digital GRAUS DE LIBERDADE 169 169 173 173 177 178 180 182 183 188 , ~ 129 129 136 139 142 144 146 151 153

7.7 Clculo de Modos Mais Altos 7.8 'Matrizes de Transferncia - (Problemas tipo BaIzer) 7.9 Sistema Torcioal : .' ' 7.1 O Sistema Engrenado 7.11 Sistemas Bifl1rcados 7.12 Vigas .'.~' 7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferncia ........... 7.14 Equao de Diferena ; ;

217 221 223 232 233 236 244 247

SISTEMAS 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

CONTlNUOS 265 266 269 271 274 278 279 281 289

'

)

) )

Introduo '.. ' A Corda Vibratria Vibrao Longitudinal de Barras ' Vibrao Torconal de Barras A Equao de Euler para a Vig;l. . Efeito de Inrcia Rotativa Dcformil\,o de Cisalhamento Vibrao de Membranas ' Computao Digital Soluo Transientc pelas Transformadas de Lap1ace

)6)

SISTEMAS DE MUITOS 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Introduo Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez Teorema de Reciprocidade Autovalores e Autovetores " , Propriedades Ortogonals dos Autovetores Razes Repetidas A Matriz Modal P , : '; Vibrao Forda CDesacoplamentode Coordenadas Modos Normais Forados de Sistemas Amortecidos Mtodo Espao Estado: '

EQUAO 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

DE LAGRANGE 299 299 300 303 307 309 313 315 320 322

o.

'. :

Intraduo " ' Coordenadas Generalizadas , Princpio do Trabalho Virtual ................ , Desenvolvimento da Equao de Lagrange Massa e Rigidez Generalizadas Mtodo de Soma de Modos Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inrcia Rotaviva e DeformaoporCisalhamento Modos Normais de Estrutura Vinculadas Mtodo Acelerao-Modo Sntese Modal

SISTEMAS DE PARMETIWS,\

.

CONCENTRADOS 199 199 200 203 212 215 VIBRA O ALEA TRIA 10.1 10.2 10.3 10.4 Introduo A Funo da Resposta da Freqncia Densidade Espectral. Distribuio da Probabilidade 333 335 '-.337 344

7.1 7.2 7.3 7.4 ,7.5 7.6

Introduo ... ; : Equao Caracterstica Mtodo dos Coeficientes de Inf1uncia Princpio de Raylelgh , Frmula de Dunkerley Mtodo de Iterao Matricial

'

10.5 10.6 10.7

Correlao Transformada Resposta de Fourier Contnuas de Estruturas

353 357

),!

))

Excitao

Aleatria

362

VIBRAOES NO-LINEARES11.1 11.2 11.3 liA I 1.5 11.6 11.7 11.8 11.9 lU 11.11 11.12 11.13 Introduo O Plano de Fase Sistemas Conservativos Estabilidade Mtodo O Mtdo de Equilbrio Delta ',' . . . . . . . . . . . .. : , , Analgico para Sistemas 40 I Runge-Kutta 402 . .. , ......................... das Isclinas 371 372 374 376 379 381 384 386 390 394 399I

) ) )

MOVIMEf.JTO OSCILA TRIO

) )

Mtodo de Lienard Mtodo das Restas Inclinadas. O Mtodo de Perturbao

) ))

O Mtodo de IteraoOscilaes Auto-Excitadas Circuitos O Mtodo do Computador No-lineares

)

)) )O estudo da vibrao diz respeito aos movimentos oscilatrios de corpos e s foras so capazes ) )

que Ihes so associadas. de vibrao. oscilatrio. Os sistemas Deste modo, grau de vibrao

Todos os corpos dotados requer geralmente

de massa e elasticidade e estruturas

a maior parte das mquinas

est sujeita a certo

e o seu projeto

o exame do seu comportamento

) )

oscilatrios Para menos

podem os mtodos

ser, de um modo prevalece e de difcil o estado matemticos

geral, caracterizados o princpio

como

lineares

ou no-lineares. so bem sistemas

os primeiros conhecidos Entretanto, da amplitude

de superposio para o seu estudo. os mtodos para conhecimentoI

) )

e esto bem desenvolvidos Ao contrrio, anlise destes dos sistema~,

disponveis aplicao

no-lineares.

proveitoso de oscilao.

algum

))

uma vez que eles representam

final para o qual tendem

todos os sistemas, com o aumento Existem acontece ausncia poder

)A vibrao livre e na

duas classes gerais de vibraes, um sistema fora externa. pela distribuio quando

a livre e a forada. No caso

quanda

oscila sob a ao Qe foras que lhe so inerentes

)

da ao de qualquer estabelecido

de vibrao livre o sistema

))

vibrar com uma ou mais das suas freqncias

naturais; que so peculiares aode foras ex-

sistema dinmico Denomina-se ternas. Quando

de sua massa e rigidez. ela ocorre sob a excitao

l'ibrao forada

)) ))

a excitao

oscilatria,

o sistema obrigado

a vibrar na freqncia

);":'~~:ii;\;: ) :'}da'excitao. Se. esta freqncia coincide com uma das freqncias naturais do ;sistema, forma-se um estado de ressonncia, da podendo resultar amplas e perigosas ..~ . ..:..',.', . ) '':'' ,-,;~~tvl"Movimentos irregulares, que aparentam no possuir perodo definido, podem ,:~s~r-'consideradosasoma de }1m muito' gralldg"nm.e.lQde movimentos regulares de I J,iti~eCjnciasvariadas. As propriedades de tais movll1entos podem ser definidas esta ,j',tistic;uIie,nte. A discusso dessas propriedades ser tratada em seo mais adiante. )i\.'Jorma

'.9 .movll1ento

Figura 1.22. Movimento harmnico com proeo dc um ponto que se move numa circunferncia.

)'od

'~~is .simples ~ovimento peridico movimento harmnico. ser demonstrado por meio de uma massa suspensa de uma pequena mola, lindicadonaFig:>!:2.L Se a massa levantada da sua posio de repouso e d._,_' .. ,' ".... .I' ' .

por freqncia angular. U~a vez que o movll1ento se repete em cada 21f radianos, temos a relao

roonde r e

21t =T

Assim, a velocidade

e a acelerao

so tambm

harmnicas,

com a mesma freqncia respectivamente,

= 21tfdo movimento respectivamente. de um ponto numa circunferncia, adoharmnico, usualmente me-

de oscilao, como indicado

mas frente

do deslocamento

por rr/2 e rr radianos,

f

so o perodo

e a freqncia

na Fig. 1.23.

didos em segundos e ciclos por segundo, conveniente, do por uma quantidade O fasor

no caso de mo~in1ento i e admitir-se complexa z chamada

tar-se um eixo imaginrio

que o raio da circunferncia

seja representa

fasor.

z

expresso

pela equao

que define

os componentes, como

real e imaginrio. tempo Re

Com

O

variam senoidalmente

z

1m z muitas vezes necessrio freqncia, porm diferindo expressos pelos fasoresZ1

= =

A cos wtA sen wt dois moviInentos harmnicos da mesma podem

Figura 1.23. No mOl'imento hannnico, a l'elocidade e a acelerao esto frente do deslocamento por rr/2 e rr.

considerar-se

da fase pelo valor

O movimentocorno movimento zero at o infinito.

transiente, peridico ComT

limitado infinito,00,

no tempo, pela incluso->

pode ser considerado das regies de valor ficam

de perodo = 2rr/w) deuma

ou w)

0, as retas espectrais

?!. "' 0,15~um ~acelerao

(;~0\;~1'Jmxima

ni.oViment~ harmI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 s. Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraao. acelermetro indi~a que uma estrutura

por e u~ perod~

de

muito juntas aproximando-se

curva contnua.

est. vibrando

a 82 cps e uma

mxima de 50 g. Detemnara harmnico 180 pol/s. tem

amplitude

da vibrao. de 10 cps e sua velocidade seu perodo e sua ace-

1',,-)

Um movimento de lerao mxima.

urna freqncia

Determinar

sua amptude,

1-4 Achar

a soma de dois movimentos ligeiramente diferentes.

harmnicos Discutir

de amplitude o fenmeno

igual, mas com que

freqncias

de batimento

o"'n

w,

2w,

3w,

resulta da sua soma. (~~0xpressar o nmero complexo 4 + ,3i n~ forma exponencial

AeOo re-

//'1'1-6 'Adicionarsultado 'jI I I

os dois nmeros para A L O.

complexos

(2 + 3i) ~ (4' -' i), expressandomultiplicado e 4(/rr/3' por i.

1-7 Mostrar que unl fasor gira 90 quando 1-8 Determinar a' sorna de. dois fasores5t!rr/6 eoprimeiro fasor. " para

O

w,

e enco"ntrar o ngulo entre 'I ' ' ' '

2w,

3w, Figura,j.6-2.

~y'') ~ /.

...,a resultan.teDeterminar

a srie de Fourier

a 'on'da 'retangular

ndicada

na Fig. P.I-9. 11

1-10 Determinar a srie de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita. 1-11 Determinar a srie de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.

1-17 Estabelecer a equao para o deslocamento s do pisto no mecanismo de manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmnicos e suas magnitudes relativas.

112 Determinar a si-ie de Fourier para o perfil em dente de serra representado na Fig. P.I-I2.

113 Determinar o valor da raiz da mdia quadrtica de uma onda formada das pores positivas de uma senide. 1-14 Determinarovalordamdiaquadrticadaonda em dente de serradoProbl Faz-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta srie de Fourier. 1-15 Traar o espectro da freqncia relativo onda triangular do Prob!. 1-11. 116 Determinar a srie de Fourier e o espectro da freqncia de um conjunto de -pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6-

O

1-12.

.

VIBRAO LivRE

Qualquer sistema que possua massa e elasticidade capaz de vibrao. O mais simples sistema oscilatrio consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.11. A mola que suporta a'massa considerada de peso desprezvel e de uma rigidez de k lb por unidade de dellexo. O sistema possui um grau de liberdade, em razo do seu movimento ser definido por uma coordenada apenas ,x. Quano posto em movimento, haver oscilao na freqncia natural !", que uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos bsicos associados livre vibrao de sistemas com um grau de liberdade. O exame do movimento do sistema' baseias, inicialmente, na segunda lei de Newton. Conforme indica' a Fig: 2.11, a deforinao da mola na posio de equilbrio esttico t. e a fora da mola kt. igual fora gravitacional w atuando sobre a massa m:

Medindo o deslocamento x da posio de equilbrio esttico, as foras que atuam sobre m so k(t. + x) e w. Considerando-se x positivo na direo de cima para :baixo, todas as quan tidades - fora" velocidad.e e acelerao - so tambm positivas na mesma direo.

k Posio sem

, T

=

27tj!f.

-"",mo''' m -:I~.

cp_.k

t:.

i r~)

l~;i;;,~~:.:,,,'"'.Essas quantidades so expressas em termos da del1exo esttica

. ww

l:1,

notando-se

pela Eq. (2.1-1) que kf::,. = mg. Considerando

g = 386 pOI/S1 e l:1 em polegadas,

T ~-

0N\.O-

'--

r~ tJ ~l\_'")2rfT\..

a expresso

da freqncia

natural

em termos de l:1

_ J li: fn - 27t '1/ 187,6 =~c.p.m.

t:' _~ cps (Hcrtz) - 3,127

K-~~ e1im'nou da a escolha da v' posio de equil brio x evidente -que qua d t , I e "o ' mo lmen o t o peso w d e a e r resulta-nte sobr m I rR'

"J~2)[~ ts'L\A

=

2-

esttico t 't' como d referncia para f I k

!T::> -t// stas /7 condies,

l'

ora Definindo-se

e

Slmp esmen e a .ora angular

ora es a Ica d a mo a , e a I d'd 1 t a mo a eVI o ao es ocamen o x.

a freqncia

wn pela equaffo ~ y

\)J ~

.,

"'-

A..AI

r' \

L\'A

\_

a freqncia natural de um sistema de um grau de liberdade . . ' " . " //' defimda UnIcamente pela deflexo estatlca A. A Flg, (2.1-2) apresenta um grafico logartmico da Eq. (2.1-9). Embora so aplica.se no amortecida. os sistemas osci!atros possam diferir na aparncia, submetidos como a presente no pndulo discus rotaa todos os sistemas de um grau de liberdade, Em alguns casos a oscilao

".... :i-.:.

O ~q

vibrao livre

rotava,

e conclumos, equao

pela comparaffo linear

com a Eq. (1.2-8), que o movimento ordem homognea (2.1-4)

harmnico.

. . - i

~

diferencial

de segunda

tem a seguinte

soluo geral

0,05 0,10Dcl1exo

0,50A"

. 1,0

onde

A e B so duas constantes

necessrias.

Essas constantes

so calculadas para

para

as condies

iniciais x(O) e x(O) e a Eq. (2.1-5) simplificada

donal,

em cujo caso a segunda

lei de Newton

substituda

pela sua correspondente

x = -~ senW.

x(O)

w.1

. + x(O) cos .

Wn1

rotativa

-_.-

.-

~

.'l)

Exemplo

2.2-1 a freqncia natural do pndulo torcional indicado na Fig. 2.2-1.

,>,

)

Detenninar onde M o momento, lar, tudo referido J o momento de inrcia da massa, e (j a acelerao fIxo de rotao. A equao angu-

a um mesmo

eixo inercial

acima

tambm vlida em relao ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,

..

> )>

.I

)

o totalvibrap

de energia em um sistema' conservativo estabelecida pelo prinpio livre de um sistema no amortecido sob a forma

constante,

e a equao de energia.

diferencial A energia enquanto

de na A a Os mximos

Figura 2.2-1. Pndulo rorciollal.

movimento

de conservao

Soluo:equao

Suponhamos

que o movimento

oscilatrio

seja harmnico

e expresso

pela

parte cintiea de esforo

e parte potencial.

, energia cintica energia potencial 'trabalho realizado

T

conservada

na massa em razo

da sua velocidade, na deformao

o =das energias cintica,e T ma:-.:-=

A sen wllt so

U conservada

elstica ou a energia

potencial

num campo de fora como a gravidade. se depreende

Sendo constante das seguintes

rI'

total, sua taxa de variao zero, conforme

equaes

lJe~ax= iJw; A2iKe~u

T + U = constan te , dt (TSe o no~so interesse determinada pelas seguintes p'~incpio de conservao d

(2.2-1) (2.2-2)natural do sistema, ela pode ser de acordo eom o Exemplo 2.2-2 de peso Um cilindro de movimento Igualando as duas. energias,

Umu

=

=

iKA' da sua freqncianatural, que

+

U) = O

chegamos

expresso

est apenas na freqncia consideraes. Podemos da energia, que

estabelecer,

.i~

w e raio r rola sem deslizar sobre uma superfcieindica a Fig. 2.2-2. pequenas Determinar sua equao em volta do seu ponto

ciln-

drica de raio R como

diferencial mais baixo .

para oscilaes

Por no haver deslizamento onde.1

rrp

e

2

representam

duas instncias

de tempo.

Admitimos

que

1

seja o ins-

=

RO.

tante em que a massa passa pela sua posio

de equilibrio

esttico,

e escolhemos

U1

=

O como refernciadeslocamento

para a energia potencial. da massa. Nesta posio,

Seja z o tempo correspondente a velocidade, da massa zero,

ao mximo resultando

Tz = O. Temos ento

se o sistema so os mximos,

est submetido e da

a um movimento

harmnico,

os valores Figura 2.22.

i

Soluo:uma

Devese

notar,

ao se determinar a velocidade

a energia

cintica

do cilindro, do centro -

que h

fi

translao

e, uma rotao.

A velocidade de rotao

de translao

do cilindro

(R - r), enquanto

(~ -

li) == (Rir

1)0, uma19

a )J

t

vez que ~ agora como T ==

l;1. ~(R4g

[(R - r)8J2 - r)282

+ ~ ; ; [( ~ -

1)8]'Exemplo 2.3-1 Determinar o efeito da massa da mola na freqncia natural do sistema indicado na Fig. 2.3- I.

onde (w/g) (/ /2) o momento de massa.

de inrcia do cilindro em relao ao seu centro

A energia potencial referida sua posio mais baixa ms

I: massa do clcmcntoda mola velocidade do elemento da mola

dy

que igual ao negativo do trabalho efetuado pela fora da gravidade no levantar o cilindro na distncia vertical (R - r) (I - cos O} Substituindo na Eq. (2.2-2)[~ ; (R -

x1":

y

r)2(j

-I- Ir(R -

r)sen {}

J"

0, equao para o

e fazendo sen O == O para ngulos p~quenos, obtemos a,conhecida movimento harmnico(j i

Soluo: Com.\: igual velocidade da massa concentrada m. suporemos que a velocidade de um elemento da mola, localizado distncia y da sua extremidade fixa, varie linearmente com y da forma seguinte

_2.L-o ~.3(R r)

e encontramos para a massa efetiva o valor de um tero da massa da mola. Adicionando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expresso da 'freqncia natural revista ser At agora admitimos, no clculo da freqncia natural, a inexistncia de massa na mola. Muitas vezes a mola e outros elementos mveis podem representar uma frao pondervel da massa total do sistema, e do seu abandono podem resultar freqncias naturais altas demais. Para obtermos uma estimativa melhor da freqncia natural, podemos computar a energia cintica adicional dos elementos mveis, que no foi considerada anteriormente. Isto, claro, requer uma suposio quanto ao movimento dos elementos distribudos. O resultado integrado da energia cintica adicional pode ser, ento, expresso em termos da velocidade j; da massa concentrada na forma de 20

Exemplo 2.3-2 Muitas vezes os sistemas oscilatrios so compostos de 'alavlJlcas, engrenagens e outras ligaes que complicam aparentemente a anlise. Um exemplo tpico desses casos est no sistema de v!vul3 de motor indicado na Fig. 2.3-2. geralmente van"tajosa a redu:To de um tal sistema para outro equivalente mais simples.

f-.

.- aO \

:

I

Quando

um sistema

linear de um grau de liberdade e do amortecimento

excitado,

sua resposta

dependo

der do tipo de excitao movimento

presente.

Geralmente

a equao

ter a seguinte frmula

onde crio Dentre conduz

F(l)

a exeitao e Pd a fora de amortecimento. Embora seja difcil a desreal da fora de amortecimento, possvel a admisso de modelos ideais deque muitas vezes resultam em prognsticos viscoso, satisfatrios proporcional" da resposta. esses modelos, ao tratamento a fora de amortecimento matemtico mais simples. viscoso expressa pela seguinte equao

amortecimento,

velocidade,

A fora de amortecimento

onde

c uma constante

de proporcionalidade. indicado

Ela represelltada

simbolicamente

por um amortecedor,

conforme

na Fig. 2.4J.

omulao

balancim

com momento podem

de inrcia

J. a vlvula eom massa mv e a molafor-

com massa

ms

ser reduzidos

a uma simples massa em A pela seguinte

da equao

da energia cintica

To'

+J'

+ +mJb}' t ;C~')(h)'

~ +(J + m,/)' -+ -}m,b')'Admitindo-se forma em que a velocidade em A seja

x

A slu\:o da equao ferencial homognea,

acima ~em ullas partes. cuja soluo corresponde

Se P(t)." fisicamente a soluo

O, - lemos a equao particular

di-

quela 'de vibrao livre devido ;\ excitaa equao inieialmente

de amortecimento_Com o tucho reduzido m"a-inteiro est reduzido a uma mol e uma massa adicional na extremidade

Com

P(t)

c/. O, obtemos homognea.

A. o siste

o sem restrio homognea,

da soluo

Examinaremos

a uma mola e uma massa apenas,

como indica a Fig. 2.3-2.

que nos dar alguma compreenso

do papel do amortecimento.

Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo vimen to osciJatrio e o nooscilatrio, e que definimos como

amortecimento

critico. agora oportunotidades' usadas na prtica. Amortecimento crtico onde !i uma constante. Feita a substituio na equao diferencial, temos c C" Crtieo. o exame desses trs casos em detalhe, com o amortecimento da Eq. (2.49) e em termos de quan crtico. Comeamos '0 radical

zero para o amortecimento

(msque satisfeita

2

+ cs + k)e"k =O

=

O

por todos os valores de t quando

s-

c + -s J}l

.1.I

/1Z

conveniente tecimento

expressar

o valor de qualquer

amortecimento

em termos

do amor

critico,

por meio da frao no-mensurvel

s .7= ._- c -l:.:'.2m -'

J( C)'-

2111

--

m

k

que chamada em termos de onde A e B so constantes e a serem determinadas de acordo com as condies

frao de amortecimento.

Expressamos

agora as razes da Eq. (2.47)

S,

notando

que

iniciais x(O)

x (O).os valores da Eq. (2.47), temos para (2.4-8) a seguinte expresso

Considerando

o

primeiro

termo

e'C':2m)'

simplesmente dos termos

uma funo de tempo exponencialmente dentro do parntese depende, entretanto, zero ou ncgativo. (c/2m)2 maior que k/m, os expoentes a

e os trs casos de amortecimento maior, menorou igual unidade. mostra

discutidos

~nteriormente

dependem

agora de

S S

ser

declinante.

O comportamento

do valor numrico Quando na equao este caso como Quando

sob o radical ser positivo,

A Fig. 2.4-2 de modo cimento. que Para

a Eq.(2.4-12) Se

traada

num plano

complexo,

com

ao

o termo de amortecimento acima so nmeros

longo do eixo horizontal.

S

= O, a Eq. (2.4-12)

fica red'uzida a SI.

,/wll

= ,

reais e no h oscilao

poss vel. Referimo-nos

superamortecido.o termo de amortecimento i (c/2m)' imaginrio, ,= coso

0< s - I

x

==cC

Xe-(""'sen'(~ e-(""'(C, sen~

CO_I

+ r/J)co_1) C I, C2 so detemnadas x(O) e X(O),

(2.4-14) (2.4-15)

o

movimento

uma [uno

de tempo

exponencialmente

decrescente,

conforme

in-

co.1 -I- C1 cos ~ X. exatos e aproximados,

de

{j

como

que indicada graficamente na' Fig. 2.5-1. ln traduzimos aqui urna expresso denominada decremento logartmico que del1nida como o logaritmo natural do quociente de duas quaisquer amplitudes consecutivas. A frmula do decrernento lagar trnico pois 15--, ln x,X2

!IO, 'o,

0.2('tO

A-, -0,6

0,8

1,0

e uma vez que os valores dos scnos so iguais quando o tempo aumcn tado do perodo de amortecimcn to T