RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

1.Modelagem de situações-problema por meio de equações do 1º e 2º graus e sistemas lineares.

1.1 Introdução

Consideremos as três igualdades abaixo:

1a) 2 + 3 = 52a) 2 + 1 = 53a) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos

1o) 2x + 1 = 73 é a única raiz, então S = {3}

2o) 3x – 5 = –21 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

Exemplos

1o) Resolver a equação:

x2 = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2o) Resolver a equação:

x2 = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.Vejamos algumas destas propriedades:P1 ) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Conseqüência

Observemos a equação:x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2

Assim:x + 2 = 3 x = 1

1.2 Equação do 1o Grau

Chamamos de equação do 1o grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0.

Exemplo

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1o grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo

Resolver em R a equação:

3x – 5 = 0

3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5

1

3x - 5 = 0 3x = 5

3x = 5

3x = 5

Assim: 3x - 5 = 0

De modo abreviado, fazemos:

QUESTÕES DE CONCURSOS RESOLVIDAS III  Obs.: É importante que o estudo das questões seja feito de forma que as soluções não sejam vistas e que o estudante tente fazer apenas com os conhecimentos adquiridos anteriormente. * Questões 1) (Fundação Cesgranrio/Banco do Brasil - Escriturário) – Uma geladeira é vendida á vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a) 6% b) 5% c) -4% d) 3% e) 2% Analisando a questão: O valor do bem: R$ 1.000,00 Entrada: R$ 200,00 Segunda Parcela: R$ 880,00 Pagamento Total: R$ 1.080,00 Calculando juros simples: Juro total 60 dias = R$ 80,00 em 02 meses Juro total 30 dias = R$ 40,00 em 01 mês Calculando percentual de juros mensal  = R$ 40,00 / R$ 800,00 = 0,05 * 100 = 5% Resposta: Letra “b” 2) (Prova Técnico Judiciário – Área Administrativa – 4ª Região) - No quadro abaixo,

têm-se as idades e os tempos de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma certa circunscrição judiciária. 

 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era: a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 Uma razão é uma divisão entre duas grandezas. Exemplo: a velocidade é uma razão determinada pela divisão entre a grandeza distância e a grandeza tempo. Na questão proposta na prova, exige-se do candidato o conhecimento do que é uma divisão proporcional. É preciso conhecer, portanto, o que são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Recapitulando: Uma pessoa vai de SP a MG  (percorrendo uma distância hipotética de 800 km) em 8h, fazendo a velocidade média de 100 km/h. Se ao invés de ir para MG, resolvesse aumentar minha viagem para outra cidade mais distante, ou seja, crescendo a quilometragem percorrida para 1600 km, será que o tempo de viagem seria menor ou maior ? Considerando uma mesma velocidade? De fato, levaria mais tempo, e ainda é possível afirmar que se a distância aumentou para o dobro (de 800 para 1600), o tempo também irá aumentar (de 8horas para 16 horas) e isto é possível verificar através das seguintes expressões: D = V/T (SP => MG) 800 = 100/T, logo T = 8 horas (MG => Outra Cidade) 1600 = 100/T, logo T = 16 horas

2

 É possível  afirmar que distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Se diminuir a velocidade do carro pela metade será que eu vou levar mais ou menos tempo para viajar, considerando a mesma distância? Se velocidade do carro diminuir, torna-se claro que vou levar menos horas para viajar, e portanto, quanto menos rápido for o carro mais tempo eu levo. Desse modo é possível afirmar que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais. Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então quando uma aumenta a outra aumenta proporcionalmente e entre elas existe uma relação direta de proporcionalidade (m), desta forma: A/B = m Assim, se duas grandezas são inversamente proporcionais, então quando uma aumenta a outra diminui proporcionalmente e posso afirmar que entre elas existe uma relação inversa de proporcionalidade (m), desta forma: A.B = m No problema, as laudas devem ser divididas na relação direta das idades de João e Maria, e na relação inversa de seus tempos de serviço no Tribunal: Logo: Para x = 27 

 Substituindo x = 27 2y/5 = 6 y = 30/2 = 15 O número total de laudas é dado pela soma das laudas de João (x=27) com as de Maria (y=15) perfazendo o total de 42 laudas Resposta: Letra “c” 3) (AFR/SP) O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de: a) 50% b) 100%

 c) 150% d) 200% e) 400% Analisando: Esta questão cobra do candidato o conhecimento das relações de juros compostos. Em Matemática Financeira, boa parte das questões se resolve da seguinte forma: 1) Dados e pedidos do problema 2) Formulação Matemáticas 3) Conclusões Colhendo os dados: Montante (M) = 4 Capital (C) n (período de tempo) = 2 meses C (capital) Pede-se a taxa de juros (i). A fórmula matemática que relaciona as seguintes grandezas (M, C, n, i) e que resolve este problema é: M = C (1+i)n Substituindo os dados na fórmula tem-se: 4C = C (1+i)2 Mas “C” aparece dos dois lados da igualdade e por isso poderá ser simplificado, é como se dividíssemos os dois lados da igualdade por “C” que entendemos ser um número diferente de zero, na Matemática não se aceita a divisão por zero. 4 = (1+i)2 22 = (1+i)2 Em uma igualdade entre quadrados perfeitos, é possível tirar a raiz quadrada dos dois lados e não alterar a igualdade, assim: (1+i) = 2 e i = 2 – 1 = 1 = 100% ou (1+i) = - 2 e i = - 2 – 1 = -3 (valor a ser desconsiderado uma vez que a taxa de juros não deve ser negativa). É bom que, nesses tipos de provas, o candidato cheque se a resposta encontrada é coerente, poderíamos então fazer a seguinte pergunta: 

3

Será que uma taxa de juros de 100% ao mês fará um capital quadruplicar em 2 meses? Dados: Taxa de juros (i = 100%a.m.) n = 2 meses C = capital Pede-se o montante (M) : M = C (1+i)n M = C (1+ 1)2 = C (2)2 = 4C Dessa forma, o capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de 100%. Resposta: Letra “b”

1.4 SISTEMAS LINEARES

Definição É todo sistema que pode ser definido em que  se têm “m” equações a “n” incógnitas do tipo a seguir: 

 Exemplos de QUESTÕES DE CONCURSOS II  Obs.: É importante que o estudo das questões seja feito de forma que as soluções não sejam vistas e que o estudante tente fazer apenas com os conhecimentos adquiridos anteriormente. * Questões 1) (CESPE) – Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo que, já em janeiro, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim, a empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então o X satisfaz à condição: 

a) X < 1.100,00 b) 1.100,00  ≤ X < 1.170,00 c) 1.170,00  ≤ X < 1.190,00 d) 1.190,00  ≤ X < 1.220,00 e) X ≥ 1.220,00 Analisando a questão: 

2 . Noção de função; análise gráfica; funções afim, quadrática, exponencial e logarítmica.Aplicações

Função – Apresentação e Definição

1. Relação Binária

A. Par Ordenado

Quando representamos o conjunto {a, b} ou {b, a} estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos. Para isso, usamos a idéia de par ordenado. A princípio, trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos utilizar um exemplo para melhor entendê-lo. Consideremos um campeonato de futebol em que desejamos apresentar, de cada equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o segundo número, ao saldo de gols. Portanto, quando tivermos para uma outra equipe a informação de que a sua situação é (2, –8) entenderemos, que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols –8. Note que é importante a ordem em que se apresenta este par de números, pois a situação (3,5) é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida a idéia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de apresentação é importante. Observações

1a) (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d

2a) (a, b) = (b, a) se, e somente se, a = b

B. Produto Cartesiano

Exercícios Resolvidos

01. a) Sendo A = {1,2} e B = {–1, 0, 1}, calcule A × B (A cartesiano B) e desenhe seu gráfico. b) Considerando os mesmos conjuntos anteriores, calcule B × A (B cartesiano A) e desenhe seu gráfico.

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(Observe que A × B B × A)

Resolução

a) A × B = {(1, –1), (1, 0), (1, 1), (2, –1), (2,0), (2, 1)}

b) B × A = {(–1, 1), (–1, 2), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2)}

02. Trabalhando ainda com os mesmos conjuntos, considere as seguintes relações de A em B.

R1 = {(x, y) A × B / y = x2 – 2}

R2 = {(x, y) A × B / y = x – 1}

Represente R1 e R2 utilizando diagramas de flechas.

Resolução

Função – Apresentação e Definição

03. (FGV-SP) São dados os conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9} e a relação R = {(x, y) A × B / x e y sejam primos entre si}. Um dos elementos dessa relação é o par ordenado:

a) (9, 4)                 d) (3, 6)b) (5, 4)                 e) (2, 8)c) (4, 7)

Resolução

Exercícios Resolvidos

01. Esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem das funções abaixo.

a) f(x) = x2 – 6x + 8b) f(x) = –x2 + 2x + 3

c)

Resolução

a) f(x) = x2 – 6x + 8

Concavidade: a = 1 > 0 para cima

raízes =

Função do 2o Grau – Apresentação

Vértice :

Intersecção com o eixo 4: c = 8

Resposta

Imagem : Im = { y R/ y –1 }

Esboço

5

b) f(x) = –x2 + 2x + 3

Concavidade: a = –1 < 0 para baixo; raízes:

Vértice:

Intersecção com o eixo y: c = 3

Resposta

10 - Métrica: áreas e volumes; estimativas. Aplicações

Áreas das Regiões Elementares

1. Conceitos Básicos

A. Noção Intuitiva de Área

Intuitivamente, a área de uma região é um número que mede a sua “extensão”, ou seja, a porção do plano ocupada por ela.

Quando fixamos uma unidade de medida, encontrar a área de uma região plana é determinar o número de unidades que “cabem” nessa região.

Exemplo

Considerando a região plana da figura e unidade de medida indicada, vamos determinar a área da região.

B. Definição da Área de uma Região Poligonal

A cada região poligonal é associado um número real não-nulo chamado área, que deve satisfazer os postulados.

Postulado 1: polígonos congruentes têm regiões poligonais de mesma área.

Postulado 2: se uma região poligonal é a união de duas ou mais regiões poligonais, sem ponto interior comum, então sua área é a soma das áreas dessas outras.

Exemplo

Sendo R1, R2 e R3 três regiões triangulares que não têm ponto interior comum, a área da região R formada pela união das três regiões é a soma das áreas de R1, R2 e R3.

Postulado 3: se uma região quadrada é limitada por quadrado de lado a, então a sua área é a2.

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C. Regiões Poligonais Equivalentes

Duas regiões

SOLUÇÃO:

Ora, a única condição da soma acima ser nula é que:(2x+6y+a) = 0(x+by-7) = 0Logo, teremos:2.x + 6.y = - a1.x + b.y = 7

Para o sistema de equações do 1º grau acima

3 – Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número de pássaros e o número de galhos.

SOLUÇÃO:Sendo g o número de galhos e p o número de pássaros, poderemos escrever:2(g – 1) = pg = p – 1Resolvendo o sistema de equações acima, encontraremos:P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e 3 galhos.

32 - Quantas soluções inteiras e não negativas podemos encontrar resolvendo a equação x+y+z+w = 5?

Por exemplo, (1,2,1,1) é solução pois 1+2+1+1=5.Anàlogamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2), (5,0,0,0) etc são soluções.Raciocínio: Temos que dividir 5 unidades em 4 partes ordenadas, ou seja, das formas:|| . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc. Temos então 8 símbolos (5 pontos[.] e 3 traços[ | ] ) que devem ser permutados, porém com repetição. Logo, teremos:PR = 8! / 5!.3! = 56Portanto, a equação dada possui 56 soluções inteiras e não negativas.

Teremos:

Onde n é o número de incógnitas e b é o termo independente. No caso, n = 4 e b = 5.Logo, substituindo, vem:Y = (4 + 5 -1)! / 5!.(4 - 1)! = 8! / 5! . 3! = 8.7.6.5! / 5!.3.2.1 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56

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