matematica e raciocinio logico

MATEMTICA & RACIOCNIO LGICO

MDULO NVEL BSICO

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MATEMTICA & RACIOCNIO LGICO

Salvador, 2009

3

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA Jaques Wagner

SECRETARIA DA EDUCAO Osvaldo Barreto Filho

SUPERINTENDNCIA E AVALIAO E INFORMAES EDUCACIONAIS

Eni Santana Barreto Basto

COORDENAO DE AVALIAO E INFORMAES EDUCACIONAIS

Marcos Antnio Santos de Pinho

SUPERINTENDNCIA DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAO BSICA SUDEB

Nildon Carlos Santos Pitombo

DIRETORIA DE EDUCAO BSICA Whashington Carlos Ferreira Oliveira

COORDENAO DE INFORMAES EDUCACIONAIS

Ilza Patrcia de Carvalho Silva

EQUIPE TCNICA DO PBF Maria Marise dos Santos

Nielson Santos Souza Mamed Fatal

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AUTORES

DILCLIA SANTANA OLIVEIRA SOARES

MRIO GRAA LOUZADO TOURINHO

RACHEL REGIS DE OLIVEIRA ARANHA

ROSANE RODRIGUES SANCHES

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SUMRIO

PARTE I MATEMTICA 1. Nmeros inteiros e racionais... .........................................................................7 O conjunto dos nmeros inteiros (Z).. .............................................................8 Operaes com nmeros inteiros... .................................................................10 O conjunto dos nmeros racionais (Q)............................................................12 Operaes com os nmeros racionais... .........................................................13 2. Nmeros e grandezas proporcionais... ...........................................................20 Razo e proporo... ..........................................................................................21 Diviso proporcional... ......................................................................................24 Regra de trs simples... ....................................................................................26 3. Porcentagem.......................................................................................................33 Juros simples e compostos... ...........................................................................40 Descontos... .......................................................................................................52 4. Equaes e Inequaes de 1 2 graus... ........................................................59 Equao do 1 grau... ........................................................................................60 Equao do 2 grau... ........................................................................................61 Inequaes de 1 grau... ....................................................................................64 Conjunto dos nmeros reais (R)... ..................................................................66 Intervalos numricos... ......................................................................................67 Inequaes de 2 grau... ....................................................................................68 5. Sistema Internacional de Medidas (SI)... .........................................................72 Medidas de comprimento... ...............................................................................73 Medidas de superfcie... ....................................................................................77 Medidas de volume... ........................................................................................79 Medidas de capacidade... .................................................................................80 Medidas de tempo... ...........................................................................................81

PARTE II RACIOCNIO LGIGO 1. Noes bsicas de lgica... .............................................................................86 Conectivos... .......................................................................................................88 Negao... ..........................................................................................................92 Tautologia e contradies... .............................................................................93 2. Situaes problema envolvendo estrutura lgica... ...................................95

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APRESENTAO

Caro (a) aluno (a),

Sejam bem vindos a mais um desafio!

O PROMINP (Programa de Mobilizao da Indstria de Petrleo e Gs) em parceria com a SEC (Secretaria de Educao do Estado da Bahia) objetivando qualificar gratuitamente mo de obra especializada em diversas categorias profissionais oferece esse curso preparatrio que visa a seleo s vagas do nvel bsico II. Para tanto, o propsito deste mdulo a troca de idias e o estabelecimento de relaes entre os contedos de matemtica.

Ns, professores, nos preocupamos em seguir criteriosamente o contedo programtico estipulado pela coordenao do PROMINP. Nossa proposta metodolgica a resoluo de problemas, focados nos contedos do concurso.

Acreditamos que a matemtica importante porque nos ajuda a compreender o mundo em que vivemos, alm de elaborar estratgias pessoais para resolver problemas e persistir na busca de resultados. Assim, sempre que possvel, os contedos foram organizados e trabalhados com situaes do nosso dia a dia.

O importante que voc tenha sempre em mente que a matemtica uma ferramenta que o ajudar a pensar com criatividade, viabilizando a sua insero no mercado de trabalho. Esperamos que voc aproveite ao mximo nossos momentos de estudos!

NADA PERMANENTE, A NO SER A MUDANA Herclito

Esse o nosso lema! CONTEM CONOSCO!

Dilclia Oliveira, Mario Tourinho, Rachel Aranha e Rosane Sanches

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Conjunto dos nmeros inteiros (Z)

Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto dos nmeros no positivos e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z. Este conjunto pode ser escrito por: Z = {... -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}

Podemos considerar os nmeros inteiros ordenados sobre uma reta numrica, conforme mostra o grfico abaixo:

- 3 < - 2, (l-se: menos trs menor que menos dois);

- 1 > - 2, (l-se: menos um maior que menos dois);

O oposto de 2 2 e vice versa;

O oposto de +5 5 e vice versa.

Igual maior ou menor?

Por conveno na reta numrica os nmeros so associados em ordem crescente, da esquerda para direita.

Um nmero menor que qualquer outro representado sua direita.

Um nmero maior que qualquer outro representada sua esquerda.

Mdulo de um nmero inteiro a distancia da representao do nmero

na reta at o zero. Indica-se o mdulo de um nmero pelo smbolo .

2 2 = , (l-se: mdulo de 2 2 ), 2 2= , (l-se: mdulo de 2 2 ).

2 2 so nmeros diferentes, mas possuem o mesmo mdulo, porque esto mesma distncia do zero. Eles so chamados simtricos ou opostos.

Todo nmero natural inteiro, dizemos que o conjunto IN subconjunto de Z. Temos tambm outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros no negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros no positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=IN.

9

Exemplos:

1. O grfico mostra o resultado de uma partida de um jogo com 4 participantes. Escreva os nomes dos participantes em ordem crescente de pontos.

Nmeros acima de zero so positivos (maiores que zero); Nmeros abaixo de zero so negativos (menores que zero); Zeca, Clara, Marta e Joo esto na ordem crescente de pontos

2. Desenhe um termmetro e marque ao lado as temperaturas registradas nas seguintes cidades:

Sugesto para a resposta: Faa uma linha vertical e coloque os nmeros em ordem crescente de baixo para cima

3. Associe V para as afirmaes verdadeiras, F para as afirmaes falsas: a) 4 maior que seu oposto ( F ), o oposto de 4 4, logo 4 < 4; b) 9 maior que o seu mdulo ( F ), 9 9 = , logo 9 < 9; c) 5 menor que o oposto de 8 ( V ), o oposto de 8 8, logo 5 < 8;

d) 1500 maior que o oposto de 2000 ( V ), o oposto de 2000 2000, logo 1500 > 2000.

4. Represente com um nmero inteiro as seguintes situaes: a) Ganhar 9 reais; +9 b) Perder 20 pontos; - 20 c) Subir 5 degraus; + 5 d) Nascer em 600 anos antes de Cristo; - 600 e) Atrasar 25 minutos. 25

Paris - 2 C So Paulo 27 C Rio de Janeiro 34 C Nova York - 5 C Campos do Jordo 11 C

34 C 27 11 0 - 2 - 5

10

Operaes com nmeros inteiros (Z)

Soma de nmeros inteiros

Regra dos sinais na soma:

Sinais Iguais: Somam-se os nmeros prevalecendo o sinal.

Sinais Diferentes: Subtraem-se os nmeros prevalecendo o sinal do maior nmero em mdulo.

Exemplo: Clara tem 600 reais em sua conta bancria e faz, sucessivamente, as seguintes movimentaes:

Retira R$ 73 Deposita R$ 19 Retira R$ 467 Retira R$ 125

O saldo de Clara fica positivo ou negativo depois dessas movimentaes? Em quanto?

Resposta: as retiradas so representadas por nmeros negativos e os depsitos por nmeros positivos.

600 73 +19 467 125 = = 600 + 19 73 467 125 =

= 619 665 = = 46

O saldo de Clara fica negativo em R$ 46.

(+3) + (+4) = (+7) (-3) + (-4) = (-7) (+8) + (-5) = (+3) (-8) + (+5) = (-3)

Ateno: O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos:

(a) - 3 + 3 = 0 (b) + 6 + 3 = 9 (c) + 5 - 1 = 4

11

Multiplicao de nmeros inteiros

Regra dos sinais para a multiplicao:

O produto de dois nmeros de mesmo sinal um nmero positivo.

O produto de dois nmeros de sinais diferentes um nmero negativo.

Para realizar a multiplicao de nmeros inteiros, devemos obedecer seguinte regra de Sinais

Diviso de nmeros inteiros

Regra dos sinais para a diviso:

A diviso de nmeros inteiros, no que concerne regra de sinais, obedece s mesmas regras vistas para a multiplicao.

Potenciao de nmeros inteiros

A potncia an do nmero inteiro a, definida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente.

an = a a a a ... a, a multiplicado por a n vezes

Exemplos: (-2) = (-2) x (-2) x (-2) = -8, (-5) = (-5) x (-5) = 25

(+1) (+1) = (+1) (+1) (-1) = (-1) (-1) (+1) = (-1) (-1) (-1) = (+1)

Voc sabe por que (+). ( - ) = ( - ) ?

12

Conjunto dos nmeros racionais

Por definio, nmero racional todo nmero que pode ser expresso como quociente de dois inteiros, isto ,

; , , 0aQ x x a Z bb

= =

Os nmeros 4; -3; ;53

;32

0.16; 1,2333... so racionais. Note que todo nmero

inteiro racional, isto , Z Q.

O conjunto Z subconjunto do conjunto Q Outros subconjuntos de Q:

Q* o conjunto dos nmeros racionais diferentes de zero;

Q+ o conjunto dos nmeros racionais positivos e o zero;

Q- o conjunto dos nmeros racionais, negativos e o zero;

Q+* o conjunto dos nmeros racionais e positivos;

Q-* o conjunto dos nmeros racionais negativos.

O nmero 0 racional. De fato, zero pode ser escrito como o quociente inteiro zero por um inteiro diferente de zero.

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Operaes com nmeros racionais

Adio e Subtrao

Para simplificar a escrita, transformamos a adio e subtrao em somas algbricas. Eliminamos os parnteses e escrevemos os nmeros um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os nmeros inteiros.

Exemplo 1: Qual a soma:

17 524 617 5 17 5 17 20 3 124 6 24 6 24 24 24 8

+

+ = = = =

Multiplicao e diviso

Na multiplicao de nmeros racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador.

7 4 289 5 45

=

Na diviso de nmeros racionais, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, como mostrado no exemplo abaixo:

3 5 3 6 18 98 6 8 5 40 20

= = =

Quando o produto de duas fraes igual a 1, essas fraes so inversas uma da outra. 15 a inversa de 5

83 a inversa de

38

14

Potenciao e radiciao

Na potenciao, quando elevamos um nmero racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

2 2

2

4

2 2

3 3 95 5 25

1 12 16

2 3 93 2 481 81 94 24

= =

=

= =

= =

Ateno:

Que a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente par um nmero positivo e a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente mpar um nmero que conserva o seu sinal.

Quando o expoente n=2, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente n=3, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao cubo".

Raiz quadrada de um nmero inteiro a b= porque 2b a= , a Z . Todo nmero ao quadrado positivo. Logo, no

existem razes quadradas de nmeros negativos pertencentes a Z. 25 5= porque 25 25=

Na radiciao, quando aplicamos a raiz quadrada a um nmero racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Para resolvermos uma expresso numrica, efetuamos as operaes obedecendo seguinte ordem: Expresses sem parnteses

1 Potenciao e radiciao, na ordem em que aparecem; 2 Multiplicao e diviso na ordem em que aparecem; 3 Adio e subtrao, na ordem em que aparecem;

Expresses com parnteses, colchetes ou chaves.

1 Calculamos o que estiver em parnteses; 2 Calculamos o que estiver em colchetes;

3 Calculamos o que estiver entre chaves

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Exerccios de expresses numricas

1. Calcule o valor das seguintes expresses: a) 14 (7 6) + (8 5) R: 16 b) 10 (- 7 + 4 6) R: 1 c) 18 (- 12 + 3 7 4) 1R:37 2. Calcule o valor das seguintes expresses: a) 20 {- 2 + [1 + (+ 9 5) 2] + 15 9}

R:13 b) 30 {- 4 [- 8 + (- 6 + 12 2) + 2]}

R: - 28 3. Calcule: a) 1,6 + 3,15 R: 4,75 b) 1,6 3,15 R: - 1,55 c) 1,6 3,15R: - 4,75 4. (ESC.TEC.FED-SP) Simplificando a

expresso

+ 1

32

:3:2511 ,

temos:R: letra c

a) 125

c) 56

b) 2120

d) 1513

5. (FGV-SP) A expresso 31

2

+51

2

igual a:R: letra a a) 40

b) 401

c) -40

d) 81

2

6. (MACK-SP) A expresso

( )

21

513

3235

2

02

++

+

igual a:

R: letra d

a) 17

3150 c) 90

b) 315017

d) 73

1530

7. (Cesgranrio) Calcule o valor da

expresso 7 20,333... 22 3

+ +

R: 76

8. O valor da expresso

+

41

31

73

:

a) 21 b)

81 c)

41 d)

1910

R: letra a 9. (PUC-SP) O valor da expresso

( ) 3)2(9

)4(510

+

+:

a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 R: - 1

Espao reservado para seus registros

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Resoluo de problemas

1. Um submarino encontra-se a 228 m de profundidade. Depois de algum tempo est a 184 m. O submarino subiu ou desceu? Escreva uma adio algbrica que resulte na posio atual do submarino.

2. (TRT 4 REGIO 2006) Um

armrio tem 4 prateleiras. Do total de processos que um auxiliar judicirio deveria arquivar nesse armrio, sabe-se que: 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos arquivados era.

A. 240 B. 210 C. 204 D. 120 E. 105

3. Uma secretria deveria telefonar para todos os clientes de sua empresa. Pela manh, ela fez 1/3 dos telefonemas; tarde, conseguiu fazer 3/5 dos restantes. Que frao do servio ainda precisa ser feita?

4. Um reservatrio alimentado por duas torneiras A e B: a primeira possui uma vazo de 38 litros por minuto e a segunda 47 litros por minuto. A sada da gua d-se atravs de um orifcio que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a sada da gua, o reservatrio se enche em 680 minutos. Qual o volume do reservatrio?

Clculos

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5. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possua e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

6. O preo de uma corrida de txi igual a R$2,50 ("bandeirada"), mais R$0,10 por cada 100 metros rodados. Tenho apenas R$10,00 no bolso. Logo tenho dinheiro para uma corrida de at:

A) 2,5 k B) 5,0 km C) 7,5 km D) 10,0 km E) 12,5 km

7. Uma empresa de telefonia celular

oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal de R$ 52,00, ou seja, voc pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por minuto excedente cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usurio optou pelo plano de 60 minutos e no primeiro ms ele falou durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria economizado

Clculos

19

8. O grfico a seguir apresenta informaes sobre o impacto causado por 4 tipos de monocultura ao solo. Para cada tipo de monocultura, o grfico mostra a quantidade de gua, em litros, e a de nutrientes (nitrognio, fsforo e potssio), em quilogramas, consumidos por hectare para a produo de 1kg de gros de soja ou 1kg de milho ou 1kg de acar ou 1kg de madeira de eucalipto. Sobre essas monoculturas, pode-se afirmar que:

gua nutrientes

soja milho eucaliptocana-de-aucar

0

500

1000

1500

2000

A) O eucalipto precisa de cerca de 1/3 da massa de nutrientes necessrios de que a cana-de-acar precisa para se desenvolver. B) O eucalipto a que mais seca e empobrece o solo, causando desequilbrio ambiental. C) O milho precisa do dobro do volume de gua de que precisa a soja.

Espao reservado para seus registros

Gabarito 1 Subiu 44m 2 A 3 1/ 15 4 680x64 = 43520 litros 5 R$ 160,00 6 C 7 R$ 13,00 8 A

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Razo e proporo

Grandeza

todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando h a variao de um, como conseqncia o outro varia tambm.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espao, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que esto relacionadas entre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espao fsico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

Assim tambm a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do nmero de operrios empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluda o que se deseja concluir.

Razo

Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um carro de kart com 2 m de comprimento. Para se fazer a comparao entre as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo: 3 1,52

= (Nota-se que o carro de corrida 1,5 x maior que o tamanho do carro de kart).

Uma razo pode ser representada tambm da seguinte forma , 0a b

b .

Na definio acima os termos so:

a = chamado de antecedente

b = chamado de conseqente

Exemplo: a razo de 9 para 12

A palavra razo tem origem latina latim e tem como significado dividir, diviso.

Importante!

1. L-se: nove est para doze sendo que o 1 nmero antecedente e 2 nmero conseqente. 2. Quando o antecedente de uma razo for igual ao conseqente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razes inversas. Ex: c/d e d/c

22

9 312 4

=

Proporo a sentena matemtica que exprime igualdade entre duas razes.

3 62 4

=

Obs.: Cada elemento de uma proporo denominado termo da proporo sendo que os 1 e 3 termos so chamados de termos antecedentes e os 2 e 4 so chamados termos conseqentes e que os 1 e 3 termos de uma proporo formam os meios e os 2 e 4 termos, formam os extremos.

Propriedade Fundamental da proporo

Em toda proporo o produto dos meios sempre igual ao produto dos extremos.

3 62 4

= , 3 4=6 2 , l-se: 3 est para 2 assim como 6 est para 4.

Exemplos:

1. A razo entre 0,20 e 2 :

0, 20 10 10,102 100 10

= = = (1 est para 10)

2. A razo entre 13

e 47

:

11 7 73

4 3 4 127

= =

3. A razo entre 6 e 14

:

6 4 2461 1 14

= =

23

4. Se 7 x=8 40

, calcule o valor de x.

8 7.408 280

2808

35

x

x

x

x

=

=

=

=

5. A rea de um retngulo de 150m e a razo da largura para o comprimento de 2/3. Encontrar essas medidas.

Resoluo

a = largura, b = comprimento

A = a.b (frmula da rea do retngulo)

2

2

2

150,2 2

,3 2 ,3 3150

2 1503

2 150 32 450

4502

22515

15015 150

15015

10

A a ba b

a b abab

b b

bb

b

bbab

a

a

a

= =

= = =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

As medidas do retngulo so: base igual a 10 e altura igual a 15.

Diviso proporcional

24

Grandeza Diretamente Proporcional

definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que so diretamente proporcionais quando a variao de uma implica na variao ou mudana da outra, na mesma proporo, mesma direo e sentido.

Exemplos:

1. 01 Kg de carne custa Y, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne ento ela pagar 02 y.

2. Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, ento se ela comprar 20 borrachas o custo total ser de R$ 2,00, calculando o preo unitrio de R$ 0,10.

Grandeza Inversamente Proporcional

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando a variao de uma implica necessariamente na variao da outra, na mesma proporo, porm, em sentido e direo contrrios.

Exemplo: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastar apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

Aplicaes de Grandezas Proporcionais

1. Um prmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda:

a. Qual a razo entre o nmero de acertadores do prmio de R$200.000,00 para o prmio de R$150.000,00?

Resposta: 34

b. Qual a razo entre os prmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores?

Nmero de acertadores Prmio 3 R$ 200.000,00 4 R$ 150.000,00

25

Resposta: 43

c. O nmero de acertadores e os prmios so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

Resposta: Inversamente proporcionais

2. Os nmeros x, y e 32 so diretamente proporcionais aos nmeros 40, 72, 128. Determine os nmeros x e y.

Resposta

3240 72 128

3240 128128 32 40128 1280

1280 10128

18

x y

x

x

x

x

y

= =

=

=

=

= =

=

26

Regra de Trs Simples

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples

Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplos:

1. Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preo de 12 m do mesmo tecido?

Observe que as grandezas so diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporo o preo a ser pago.

8 15612 x

=

Observe que o exerccio foi montado respeitando o sentido das setas.

A quantia a ser paga de R$234,00.

REGRA DE TRS Consta na histria da matemtica que os gregos e os romanos conhecessem as propores, porm no chegaram a aplic-las na resoluo de problemas. Na idade mdia, os rabes revelaram ao mundo a regra de trs. Nos sculo XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princpios dessa regra em seu livro Lber Abaci, com o nome de Regra de Trs Nmeros Conhecidos.

27

2. Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Observe que as grandezas so inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razo inversa. Resoluo: 60

80 4x

=

O tempo a ser gasto 3 horas.


1. (ESAF) Um homem d um salto de 0,4m para cima, ao mesmo tempo em que uma pulga d um pulo de 400mm. A razo entre os saltos : a) 2 b) 1 c) 3 d) e) 4

2. (B.B) Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionrios. Se a relao entre o nmero de efetivos e contratados de 5 por 2, quantos so os efetivos? a) 600 b) 1.000 c) 1.500 d) 1.600 e) 1.800

3. (FURNAS) A razo entre as idades de um pai e seu filho de 5/2. Se

o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu, qual a idade do filho? a) 14 b) 16 c) 24 d) 28 e) 35

4. (ESAF) A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai est para 8, assim como a o filho est para 5 e do neto est para 2, a idade, em anos, de cada um , respectivamente: a) 66, 29 e 10 b) 62, 31 e 12 c) 56, 37 e 12 d) 56, 35 e 14 e) 58, 38 e 9

5. 10. (B.B) Se dois capitais esto entre si na razo de 8 para 3 e o

28

maior deles excede o menor em $ 25.000,00, ento a soma desses capitais de: a) $ 75.000,00 b) $ 65.000,00 c) $ 40.000,00 d) $ 60.000,00 e) $ 55.000,00

6. (T.R.F) Em duas caixas dgua h 6.600 litros de gua. Determine as capacidades das caixas em litros, sabendo que as suas capacidades esto , entre si, como trs est para cinco. a) 3.125 e 3.475 b) 4.200 e 2.400 c) 4.225 e 2.375 d) 4.125 e 2.475

7. (CPTeorema) Determine a quarta proporcional entre os nmeros 4, 7 e 12.

8. (CPTeorema) Com a definio de razo, frao e diviso, pode-se afirmar que: a) razo = frao = diviso

b) razo = frao diviso

c) razo frao = diviso

d) razo frao diviso

9. (T.F.R.) Uma estrada est representada por 15 cm em um mapa de escala 1/20.000. O comprimento real dessa estrada : a) 3 km b) 30 km c) 300 m d) 3.000 cm e) 30.000 dam

10. (UNICAMP) Na planta de um edifcio em construo, cuja escala 1:50, as dimenses de uma sala retangular so 10cm e 8cm. Calcular a rea real da sala projetada. a) 40cm2 b) 20m2

c) 8m2 d) 4m2

11. Determine os antecedentes de uma proporo cujos conseqentes so 6 e 8, sabendo que a soma dos quatro termos 84.

12. A miniatura de um automvel foi construda na escala de 1 :40. Se a roda do automvel tem raio de 48 cm, qual o dimetro de cada roda da miniatura?

13. (CFS) Um segmento de 17,1 m representado num desenho em escala 1:90. O tamanho do segmento desenhado : a) 9 m b) 9 cm c) 19 m d) 19 cm e) 19 dm

14. (UFRJ) Um automvel de 4,5 m de comprimento representado, em escala por um modelo de 3 cm de comprimento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala uma casa de 3,75 m de altura.

15. Em uma maquete de um estdio de futebol, uma torre de iluminao de altura 18 metros representada por um palito de 3,6 centmetros de comprimento. Qual foi a escala utilizada?

16. Um mapa foi construdo na escala de 1: 250.000. Observando a posio de duas cidades que, no mapa, distam 8 cm, podemos dizer que na realidade a distncia entre as duas cidades, em quilmetros, aproximadamente igual a: a) 8 b) 10 c) 12

29

d) 16 e) 20

17. Um mapa rodovirio foi feito utilizando uma escala de 1 : 1 00000. Se neste mapa uma cidade A dista 40 cm de uma outra cidade B, qual a distncia real entre essas cidades?

18. Qual a escala em que foi

construda a planta de uma casa, sabendo-se que uma porta de altura de 2,4 m representada por uma de 0,6 cm de altura?

19. (CFS) Na proporo (x 1) : (4x -1) :: 5 : 2 ,o valor de x um nmero: a) maior que dois b) inteiro menor que dois c) fracionrio, no inteiro e maior que dois d) dois e) fracionrio, no inteiro e menor que dois

20. (CFS) A idade de um pai, somada com a de seu filho, d 45 anos. Sabendo-se que a idade do filho est para a idade do pai assim como 1 est para 4, podemos dizer que as idades so: a) 9 anos e 36 anos b) 8 anos e 32 anos c) 8 anos e 37 anos d) 6 anos e 39 anos

21. (CFS) Os preos de duas peas de fazenda esto entre si como 7 para 8. Sabendo-se que o triplo do preo de uma delas menos o dobro do preo da outra vale $ 50,00, os preos dessas peas so: a) $ 60,00 e $ 70,00 b) $ 80,00 e $ 90,00 c) $ 70,00 e $ 80,00 d) $ 30,00 e $ 40,00 e) $ 50,00 e $ 60,00

22. (CFC-2007) Para fazer um

desenho animado, uma equipe de desenhistas usou aproximadamente 500 km de folha de papel. Sabendo que cada folha era quadrada e tinha 32 cm de comprimento, o nmero de folhas utilizadas, aproximadamente, em milho, foi: a) 1,8. b) 1,6. c) 1,2. d) 0,9.

23. (CFC-2008) A razo entre os lados homlogos de dois tringulos 5/2. Se os lados do menor medem 3 cm, 5 cm e 6 cm, os do maior tringulo, em cm, medem : a) 7,5; 12,5 e 15. b) 7,5; 10 e 12. c) 7; 12 e 15,5. d) 7; 12,5 e 15.

24. (CFC-2008) Para que os nmeros racionais 2y; 7; 4,2 e 3,5 formem nessa ordem uma proporo, o valor de y deve ser a) 4,2. b) 3,8. c) 3,2 d) 2,8

25. (CFC-2008) A razo entre o complemento e o suplemento de um ngulo 2/7. Esse ngulo mede a) 28. b) 32. c) 43. d) 54.

26. (CPTeorema) A razo entre o nmero de vagas para Cabo da Aeronutica 2009 e o nmero de candidatos inscritos na especialidade de administrao de 2/29 . Sabendo-se que o total

30

de inscritos foi de 493, quantas vagas h para o cargo: a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

27. (CFS) Os nmeros 4, 8, 6 e 11 formaro, nesta ordem, uma proporo, se forem somados a um nmero: a) par b) mpar c) primo d) divisor de 10 e) mltiplo de 7

28. (CPTeorema) Determine a terceira proporcional entre os nmeros 7 e 21, sendo 21 a mdia geomtrica.

29. Ao longo dos 3.000 km do percurso de um rali, um competidor usou os quatro pneus e mais o estepe de seu carro. Se todos os cinco pneus rodaram a mesma quilometragem, o nmero de quilmetros que cada um deles percorreu foi: a)600 b)750 c)1.200 d)1.500 e) 2.400

30. Uma operadora de telefone celular cobra uma tarifa de R$ 0,40 por minuto de ligao e uma de telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso de 4 minutos. Comparando-se os dois valores, conclui- se que a razo entre a tarifa do celular e a do fixo : a)8 b)10 c)15 d) 29

31. O produto de trs nmeros 648. Sendo esses nmeros proporcionais a 2, 3 e 4, sua soma igual a: a)30 b)27 c)18 d) 9

32. Um determinado trabalho feito por Joo em 9 dias, por Jos em 12 e por Pedro em 18. O nmero de dias que os trs juntos gastariam para executar esse trabalho : a)4 b)6 c)7 d) 8

33. Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta 12 segundos. Uma segunda torneira gasta 18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nestas condies, para encher um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao mesmo tempo, sero necessrios: a)20minutos. b)24minutos. c)33minutos. d)50minutos. e) 83 minutos.

34. Roberto arquiteto recm-formado e trabalha no Departamento de Obras e Projetos de uma Prefeitura. Ele construiu uma maquete de uma praa da cidade na escala 1:20. Um sobrado de 7 m de altura, representado na maquete em cm: a)350 b)200 c)35 d)20 e) 0,20

31

35. Se 6 litros de suco forem

misturados com gua, na proporo de duas partes de suco para quatro de gua, a quantidade de refresco obtida, em litros, ser igual a: a)18 b)24 c)30 d) 36

36. Uma verba de R$ 2.700.000,00 deve ser dividida entre os municpios A, B e C em partes proporcionais ao nmero de matrculas no Ensino Fundamental de cada um deles. O nmero de alunos matriculados de A o dobro do nmero de alunos matriculados de B que, por sua vez, tem o triplo do nmero de matrculas de C. Com base nessas informaes, pode-se afirmar que o municpio A dever receber, em milhares de reais, uma quantia igual a: a)270 b)810 c)1270 d) 1620

37. O proprietrio de um carro bicombustvel verificou que percorria a mesma distncia gastando 60 litros de lcool ou 42 litros de gasolina. Concluiu, ento, que s seria vantajoso abastecer o veculo com gasolina quando a razo entre o preo do litro do lcool e o preo do litro da gasolina fosse: a)menor que 0,4. b)maior que 0,4 e menor que 0,5. c)maior que 0,5 e menor que 0,6. d)maior que 0,6 e menor que 0,7. e) maior que 0,7.

38. (CFO-93) Se uma vela de 36 cm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levar para se consumir?

a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min

d) 3h 20 min e) 3h 18min

39. (SESD-94) 30 operrios deveriam fazer um servio em 40 dias. 13 dias aps o incio das obras, 15 operrios deixaram o servio. Em quantos dias ficar pronto o restante da obra?

a) 53 b) 54

c) 56 d) 58

40. (FESP-96) Doze operrios, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaro:

a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias

d) 36 dias e) 64 dias

41. (Colgio Naval) Vinte operrios constrem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operrios sero necessrios para construir a tera parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?

a) 10 b) 20 c) 15

c) 30 e) 6

42. (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distncia em trs horas e meia. Nas mesmas condies e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastar para percorrer a mesma distncia?

a) 2h30min18s

b) 2h37min8s c) 2h37min30s

32

d) 2h30min30s

e) 2h29min28s

43. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 mquinas, ento, nas mesmas condies, 15 homens montam 50 mquinas em:

a) 18 dias b) 3 dias c) 20 dias

d) 6 dias e) 16 dias

44. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barraces em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O nmero de horas por dia, que devero trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barraces em 20 dias :

a) 8 b) 9 c) 10

d) 12 e) 15

45. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tbuas corridas foram substitudas por tacos. As tbuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm.

O nmero de tacos necessrios para essa substituio foi:

a) 1.029 b) 1.050 c) 1.470

d) 1.500 e) 1.874

46. (UFMG) Um relgio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasar:

a) 24 min b) 30 min c) 32 min

d) 36 min e) 50 min

Gabarito 1) B 2) C 3) A 4) D 5) E 6) D 7) 21 8) D 9) A 10) B 11) 30 e 40 12) 2,4 cm 13) D 14) 2,5 cm 15) 1:500 16) E 17) 40km 18) 1:400 19) E 20) A 21) C 22) B 23) A 24) A 25) D 26) E 27) A 28) 63 29) E 30) B 31) B 32) A 33) B 34) C 35) A 36) D 37) E 38) D 39) B 40) E 41) C 42) C 43) C 44) D 45) C 46) B

34

Porcentagem

No nosso dia a dia nos deparamos com expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Veja algumas situaes:

Razo centesimal ou percentual Toda a razo que tem como conseqente ou denominador o nmero 100 chamada de razo centesimal ou percentual. Veja abaixo:

7 16 125 210, , ,

100 100 100 100

Uma razo centesimal tambm pode ser representada de outras maneiras.

Veja abaixo:

A gasolina teve um aumento de 20%. Significa que em cada R$1,00 houve um acrscimo de R$20,00.

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$1,00 foi dado um desconto de R$10,00.

Os leos parafnicos so os que apresentam um teor de resinas e asfaltenos entre 5 e 15 %. Ou seja, em cada 1 ml de leo h entre 5 e 15 de resina e asfaltenos.

35

Os resultados 7%, 16% e 125% foram obtidos atravs da diviso dos numeradores pelos denominadores. As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema: Os leos parafnicos so excelentes para a produo de querosene de aviao (QAV), diesel, lubrificantes e parafinas. Apresentam um teor de resinas e asfaltenos1 entre 5 e 15 % em cada litro. Em um recipiente de 20 litros, qual o valor estimado para 12% de resinas presentes na mistura? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (12%) sobre a quantidade de leo do recipiente.

Portanto, em 20 litros de leo h 2,4 de resinas, que representam a porcentagem procurada. Logo, porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos:

Calcular 10% de 300.

1 Os asfaltenos so produtos oriundos do petrleo que apresentam estruturas moleculares complexas que

tendem a formar agregados que floculam e precipitam de acordo com as condies fsico-qumicas do meio que se encontram.

Voc sabe resolver

problemas com

porcentagem? Vamos ver

alguns?

litros12 2412 2412 2412 2412% de 20 = . 20 = = 2,412% de 20 = . 20 = = 2,412% de 20 = . 20 = = 2,412% de 20 = . 20 = = 2,4100 10100 10100 10100 10

1010% 300 . 300 30100

de = =

36

Calcular 25% de 200 kg.

Calcular 5% de 34

Quantos por cento 35 representa de 700?

Exemplos de resolues de problemas:

1. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

SOLUO:

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2. Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? SOLUO:

Montamos uma equao, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relao a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00.

3 5 3 15 35 % de = . = = = 0, 03754 100 4 400 80

2525% 200 . 200 25. 2 50100

de = = =

35 x% de 700. Mas quanto x? Precisamos encontrar

uma frao equivalente a 35700

cujo denominador seja 100. Para isso, basta dividir ambos os termos da frao

acima por 7. Ou seja, 35 : 7 5 5%700 : 7 100

= =

37

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

3) No almoxarifado de uma loja de calados, 32% do estoque so de sapatos infantil. Os outros 1700 pares restantes, so sandlias de adulto.Quantos calados h no almoxarifado dessa loja. SOLUO:

O total de calados corresponde a 100%, ou seja, 32% infantil e x% adulto.

Assim, 100% - 32% = 68%. Portanto, os 1700 pares de calados correspondem a 68% do total.

Logo, aplicando os conhecimentos de regra de trs simples, temos:

1700 68%

Y 100%

Y = 1700 .100 2500

68=

2500 pares de calados

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Acrscimo ou Lucro Fator de Multiplicao 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Um outro exemplo quando, h um acrscimo de 10% a ser dado em um determinado valor. Nesse caso, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela

38

Veja a tabela

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00


1. Quanto 30% de R$ 420,00?

2. Na lanchonete, um sanduche que custava R$ 2,80 teve seu preo aumentado em 25%. Esse sanduche passou a custar:

3. Sabendo que 104 alunos de uma escola correspondem a 20% do total, Quantos alunos tm a escola?

4. 121 quanto por cento de 550?

5. Numa eleio com 2 candidatos, votaram 3850 eleitores. O candidato A obteve 1032 votos e B obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos nulos ou em branco?

6. O cafezinho vendido na rede Caf Expresso aumentou de R$ 1,60 para R$ 1,70. Esse aumento, em termos percentuais, foi de aproximadamente:

7. Se 35% de todo o meu dinheiro correspondem a R$ 105, quanto possuo no total?

8. O preo de um artigo em promoo sofreu um desconto de 20%. Terminada a promoo, foi aumentado em 20%. Seu preo atual :

A) igual ao inicial

B) 98% do inicial

C) 96% do inicial

D) 92% do inicial

E) 90% do inicial

9. Assinale a sentena verdadeira:

A) 6% = 0,6

B) 13% = 1,3

C) 140% = 1,4

D) 20,5% = 0,0205

Desconto Fator de Multiplicao 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

39

10. Uma TV LCD foi comprada por R$ 6.000,00 e vendida meses depois por R$ 5.160,00. Determine a porcentagem de prejuzo nessa venda.

11. Em um concurso havia 15000 homens e 10000 mulheres. Sabe-se que 55% dos homens e 60% das mulheres foram aprovados. Do total de candidatos, quanto por cento foram reprovados?

12. Qual o valor de uma fatura pela qual se pagou R$ 1.900,00, sabendo-se que o vendedor concordou em fazer um abatimento de 5%?

13. ( Cesgranrio/BB 1999) Um automvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofreu desvalorizao de 20% ao ano. O seu valor, em reais, aps 3 anos ser:

A) R$ 10.240,00

B) R$ 8.192,00

C) R$ 6.553,60

D) R$ 5.242,88

E) R$ 4.194,30

14. Rosane digitou 15das pginas de

um material para estudos e Dilclia

digitou 14do nmero de pginas

restantes. A porcentagem de X pginas que deixaram de ser digitadas de :

A) 20%

B) 25%

C) 45%

D) 50%

E) 60%

Gabarito 1 126 8 C 2 R$3,50 9 C 3 520 10 14% 4 22% 11 42% 5 20% 12 R$2000 6 6,25% 13 A 7 300 14 E

40

Juros simples e compostos

JUROS SIMPLES

O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. O regime de Juros Simples aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transaes comerciais no utilizam dos juros simples e sim o regime de juros compostos. A frmula utilizada para o clculo dos juros simples :

Sendo que: J = juros c = capital i = taxa de juros t =nmero de perodos

J = c . i . t

ATENO: a taxa deve ser sempre compatvel com a unidade de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa for de 4%a.m., para um prazo de 60 dias adotaremos t = 2 (2 meses).

41

Exemplos: 1- Temos uma dvida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m.

pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Os juros que pagarei sero: C = R$1.000,00 J = c . i . t

i = 8% a m = 0,08 J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

t = 2 m J = R$ 160,00

2- Qual o capital que rende R$ 6.270,00 de juros, taxa de 55% ao ano, durante 3 anos? C = ? J = c . i . t

J = 6.270 6.270 = C . 0,55 . 3

i = 55% a.a = 0,55 1,65 c = 6.270

t = 3 anos C = 6.2701,65

= 3.800

C = R$ 3.800 ,00

Portanto, em 3 anos o capital de R$ 3.800,00 rende de juros R$ 6.270,00.

3- Qual o tempo necessrio para que o juro simples seja de 125

de um capital

aplicado a uma taxa de 20% ao ms? DICA Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5.

J = c. i . t

2012 = 5 . .100

10012100

12

t

t

t meses

=

=

4- Um comerciante contraiu de um amigo um emprstimo de R$ 600,00, comprometendo a pagar a dvida em 3 meses, taxa de juros simples de 5% ao ms (a.m). Quanto ele pagar de juros?

Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos:

1) Em um ms, os juros so de: 5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00

42

2) Como o prazo de 3 meses o comerciante dever pagar: J = 3 x 30,00 = 90,00 Assim ao final dos 3 meses o comerciante dever pagar: 600,00 + 90,00 = 690,00 O valor total a ser pago (R$ 690,00) chamado de montante.

Ao somarmos os juros ao valor principal (capital) temos o MONTANTE.

MONTANTE = CAPITAL + (capital x taxa de juros x tempo)

M = C + J

5- Calcule o montante resultante da aplicao de R$70.000,00 taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUO:

Devemos expressar a taxa i e o perodo t na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Dividimos 145 dias por 360 dias, para obter o valor equivalente em anos, j que um ano comercial possui 360 dias.

M = C . ( 1 + i. t )

M = 70.000 (1 + 10,5 145

.

100 360) = 70.000. ( 1 +

105 145.

1000 360)

M = 70.000. ( 1 + 15.225360.000

) = 70.000 . (360.000 15.225360.000 360.000

+ ) =

M = 70.000 . 375.225360.000

= 7 . 375.225

36

M= 2.626.575

36 = 72.960,42

M = R$ 72.960,42

MONTANTE = CAPITAL + JUROS

M = C. ( 1 + i .t)

43

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros simples em 75 dias?

SOLUO: A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.(dia) Agora, como a taxa e o perodo esto referidos mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

J = c.i.t J = 40.000 . 0,001.125 = 5.000,00

J = R$ 5.000,00

SOLUO: Observe que expressamos a taxa i e o perodo t em relao mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Sabemos que: J = c.i.t ou seja: 3.500 = c . (1,2/100).(75/30)

3.500 = c. 0,012 . 2,5 3.500 = 0,03 c c = 3.5000,03

= R$ 116.666,67

44

3 - Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizao simples?

4- Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado de 4,5% a.m.?

SOLUO: O objetivo dobrar o capital, ento: M = 2.C

i = 150/100 = 1,5 a.a

M = c. (1 + i.t) 2c = c. (1 + 1,5.t)

2 = 1 + 1,5 t

t = 1

1,5=

10 2 0,6666...15 3

= = ano

t = 0,6666 . 12 meses = 8 meses

t = 8 meses

SOLUO: J = C.i.t

1.725 = 11.500. (4,5/100).t

1.725 = 11.500 . 0,045.t

t = 1.725512,5

= 3,36

t = 3,36 meses = 3 meses + 0,6 de um ms = 3 meses + 3/5 de um ms t = 3 meses e 18 3 meses e 18 3 meses e 18 3 meses e 18 dias dias dias dias

45

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais til para clculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal (capital) para o clculo dos juros do perodo seguinte. Da capitalizao simples, j sabemos que o rendimento se d de forma proporcional. A base de clculo sempre o capital inicial. No regime composto de capitalizao, dizemos que o rendimento se d de forma exponencial. Os juros do perodo, so calculados com base num capital, formando um montante, que ser a nova base de clculo para o perodo seguinte. Chama-se perodo de capitalizao o instante de tempo o qual a aplicao rende juros. Sendo o tempo de aplicao igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 perodos de capitalizao; para uma capitalizao bimestral, a quantidade de perodos ser igual a 12; se a capitalizao for semestral, ser 4 , e assim sucessivamente.

VEJA O EXEMPLO ABAIXO:

Na aplicao de R$ 1.000,00 durante 5 meses, taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalizao mensal, 5 perodos de capitalizao, ou seja, a aplicao inicial vai render 5 vezes. Observando o crescimento do capital a cada perodo de capitalizao, temos:

1 perodo:

% R$

100 1.000

102 M

M = R$ 1.020,00 (nova base de clculo para o perodo seguinte)

PERODOS CAPITAL MONTANTE 2 R$ 1.020,00 1,02 = R$ 1.040,40 3: R$ 1.040,40 1,02 = R$ 1.061,21 4 R$ 1.061,21 1,02 = R$ 1.082,43 5 R$ 1.082,43 1,02 = R$ 1.104,08

Portanto, o montante ao final dos 5 meses ser R$ 1.104,08.

46

No clculo, fizemos o seguinte: R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02

= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408 = R$ 1.104,08

Observamos o fator (1,02)5. Essa potncia pode ser calculada com calculadoras cientficas ou com auxlio das tabelas financeiras.

O clculo do montante a juros compostos ser dado pela expresso abaixo, na qual M o montante, C o capital, i a taxa de juros e t a quantidade de capitalizaes.

Comparando o clculo composto com o clculo simples, observe:

CAPITAL JUROS SIMPLES MONTANTE

R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.020,00

R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.040,00

R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.060,00

R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.080,00

R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.100,00

Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses ser R$ 1.100,00.

Observamos que ao final do primeiro perodo de capitalizao, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir da, o rendimento composto passa a superar o simples.

M = C . (1 + i)t

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EXEMPLOS:

1- Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, taxa de 4% ao ms. SOLUO:

A capitalizao mensal, portanto, no tempo de aplicao considerado teremos 12 capitalizaes.

C = R$ 6.000,00 i = 4% = 0,04 t = 12

Usando a frmula M = C.(1+i)t, obtemos:

A capitalizao mensal, portanto, no tempo de aplicao considerado teremos 12 capitalizaes. M = 600 (1 + 0,04)12 M = 600 (1,04)12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62 2- O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses taxa de 5% ao ms. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

SOLUO: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizaes so mensais) M = C (1 + i)t M = 500 (1,05)8 M = R$ 738,73 O valor dos juros ser: J = M - C J = 738,73 500 J = R$ 238,73

LEMBRE que a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo t, ou seja, taxa de juros

ao ms para t meses. Para calcularmos

apenas os juros basta diminuir o principal do

montante ao final do perodo:

J = M - C

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3- Qual a aplicao inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

SOLUO: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizaes so trimestrais) M = C (1 + i)t 477,62 = C (1,03)6

C = 19405,162,477

C = R$ 400,00

4- Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado aps 12 meses, o montante ser de quanto?

SOLUO:

Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital est sujeito capitalizao anual, por causa da conveno de juros postecipados (considera-se que a formao dos juros apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano.

Se a capitalizao semestral o capital rende juros ao final do semestre.

Se a capitalizao mensal o capital rende juros ao final do ms.

Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte frmula:

M = C (1 + i)t

Onde: M = montante; C = capital; i = taxa de juros e t = prazo.

Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo perodo de tempo.

Substituindo teremos: M = 200 (1+0,07)t

Observe que o prazo t = 12 meses e a taxa de juros trimestral. Como ambos devem se referir ao mesmo perodo, temos que fazer ambos se referirem a ms ou a trimestre. Vamos considerar o perodo trimestral.

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Perodo trimestral

Neste caso, fazendo uma regra de trs simples tem-se:

12 meses __________ t trimestres

3 meses __________ 1 trimestre

logo t = 4 trimestres. Assim, temos que :

M = 2.000 (1+0,07)4 = R$ 2.621,60 M = R$ 2.621,60

Resoluo de Problemas

1. Qual o montante acumulado a partir da aplicao de R$2.895,00 a 3,5% ao ms durante 3 anos e meio?

2. Investindo-se mensalmente $150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao ms, qual o valor acumulado ao final do perodo?

3. Um capital de R$ 20.000,00 foi investido num regime de juros compostos, durante 18 meses, numa aplicao que rende 2% ao ms. Calcule o montante no final do perodo.

4. Qual o capital que precisa ser investido durante 5 anos, uma taxa de juros compostos de 10% ao

ano, para se obter um montante de R$ 1.0000,00 ao final do perodo?

5. Quanto deveremos depositar trimestralmente numa conta que rende 6% ao trimestre, para termos R$ 2.2800,00 ao final de 105 meses?

6. Uma dvida de R$ 1.000,00 deve ser quitada em 12 parcelas mensais, taxa de juros de 3% ao ms. Determine o valor de cada prestao.

7. Investindo-se mensalmente R$ 150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao ms, qual o valor acumulado ao final desse perodo? Resposta:

Agora com voc!!

50

8. (FCC/CEF/1998) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado taxa mensal de 2%, num regime de capitalizao composta. Aps um perodo de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicao sero de:

R$ 98,00 R$ 101,00 R$ 110,00 R$ 114,00 R$ 121,00

9. (CESGRANRIO/PETROBRS/1999)Desconsiderando-se os aspectos tributrios, uma aplicao financeira de R$ 100.000,00, com rendimento mensal contratado de 2% ao ms, no sistema de juros compostos com capitalizao mensal, ter, depois de trs meses, o valor final para resgate igual a:

R$ 104.040,00

R$ 106.000,00

R$ 106.120,80

R$ 108.000,00

R$ 108.243,22

10. Um capital C aplicado a juros

compostos taxa de 5% ao ms durante 3 meses resultou um montante de R$ 9.261,00. Encontre o valor desse capital.

R$ 8.000,00

R$ 5.500,00

R$ 6.000,00

R$ 7.000,00

R$ 8.360,00

11. Joo tomou emprestado R$20.000,00 de Carlos para pag-lo aps 2 anos. A taxa acertada de juros simples foi de 30% a.a. . Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dvida, Joo quisesse resgat-la e se nesta poca o dinheiro valesse 25% a.a. ?

12. Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225 dias, taxa de 5,6% ao ms (5,6% a.m.).

13. Determinar o capital necessrio para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.).

14. Obteve-se um emprstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operao?

15. Um capital C foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, aps este perodo, o investidor recebeu R$ 10.280,38. Qual o valor C do capital aplicado?

16. Um capital de R$ 5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu R$ 1.839,96 de juros simples ao final do perodo. Qual a taxa mensal de juros simples?

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17. Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de R$ 650.000,00?

18. A que taxa mensal o capital de R$ 38.000,00 produzir o montante de R$ 70.300,00 em 10 anos?

19. Por quanto tempo um capital de R$ 11.500,00 foi aplicado para que rendesse R$ 1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado de 4,5% a.m.?

20. Um emprstimo de R$ 8.000,00 rendeu juros de R$ 2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do emprstimo?

Gabarito

1) R$ 1.2277,70 2) R$1.98200,00 3) R$ 2.8564,92 4) R$ 6.209,21 5) R$ 203,00 6) R$ 100,50 7) R$1.98200,00 8) B 9) C 10) A 11) R$ 28.444,44 12) R$ 639.000,00 13) 420.000,00 14) 66% a.a 15) R$ 7.304,00 16) 9,5% a.m 17) 626.506,02 18) 8,5% a.a 19) 3 meses e 10 dias 20) 4,5% a.m

52

Descontos

Operao de Desconto: o que ?

esta a nossa situao: aqui ns pretendemos saber o quanto representa hoje um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos agora retroceder no tempo com determinado valor monetrio, e descobrir o quanto este valer no dia de hoje, ou numa outra data anterior quela do seu vencimento. Observemos que, como estamos retrocedendo no tempo, ou seja, como estamos recuando na linha do tempo, o valor de desconhecido ser, necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00.

Em suma, Desconto apenas isso: transportar um valor monetrio de uma data futura para uma data anterior.

Elementos de uma Operao de Desconto: Valor Nominal (N):

Significa o nosso valor monetrio, devido numa data futura. Normalmente, o valor nominal figura nas questes como sendo uma obrigao (uma dvida, ou coisa parecida) que tem que ser paga numa data posterior de hoje.

Suponhamos que eu tenho uma dvida, no valor de R$ 5.000,00, que tem que ser paga daqui a trs meses, mas pretendo antecipar o pagamento dessa dvida e pag-la hoje.

Porque estar sofrendo uma operao financeira a qual chamaremos de DESCONTO.

E por que o valor desconhecido (x)

ser um valor menor que o da

dvida?

53

Valor Atual (A): Tambm chamado de Valor Lquido ou Valor Descontado. Significa o quanto representa o Valor Nominal, quando projetadopara uma data anterior! o quanto pagaremos hoje por aquele nosso ttulo! Por isso recebe esse nome de Valor Atual. Porque atual hoje!

.

Desconto (d): Se eu devia uma quantia qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo antecipar o pagamento desse valor, j sei que irei pagar hoje um valor menor do que o que era devido. Essa diferena entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que pagarei hoje (em funo da antecipao do pagamento) exatamente o que chamaremos de Desconto.

Utilizaremos a frmula:

Outras formas que a equao acima pode assumir so as seguintes:

e

Tempo de Antecipao (t): Sabemos que na operao de desconto estamos na verdade projetando um valor monetrio para uma data anterior. Ento, tser, numa questo de desconto, a distncia de tempo entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Se o Valor Nominal representar uma dvida que seria paga numa data futura, e pretendemos pag-la hoje, ento t ser o tempo de antecipao do pagamento daquela obrigao. Simplesmente isso!

Taxa (i): Este elemento j nosso velho conhecido. ela, a Taxa, a responsvel por realizar a mgica da Matemtica Financeira. ela quem faz com que os valores monetrios nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo! E tambm ela que faz com que uma quantia vencvel (devida) numa data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data anterior. Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, tambm aqui no Desconto teremos taxas no Regime Simples.

d = N A

N = d + A A = N d

O Valor Atual ser necessariamente menor que o Valor Nominal, uma vez que, na linha do tempo, est sempre numa data anterior.

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Da, continua valendo aquela nossa primeira preocupao: descobrir em qual dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa operao de desconto!

Se a taxa simples, estaremos numa questo de Desconto Simples. Se composta, estaremos numa questo de Desconto Composto,

caso este, que no veremos nesse curso.

Quando se l uma questo de desconto, antes de iniciarmos a sua resoluo, temos, impreterivelmente, que descobrir duas coisas:

Qual o regime desta operao de desconto? Simples ou Composto? Ou seja, estamos numa questo de Desconto Simples ou de Desconto Composto( no veremos esse caso)?

Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operao de desconto? o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora?

Somente aps respondidas estas duas perguntas, que estaremos aptos a iniciar a resoluo da questo. Nunca antes!

Aprenderemos a identificar e a resolver as questes de Desconto Simples, nas duas modalidades (por dentro e por fora).

Sabemos que o Valor Atual sinnimo de Valor Lquido. E o lquido fica onde? Fica dentro da garrafa. Logo, o lquido fica dentro! E lquido o Atual. E o nome da garrafa, fica onde? Por fora! Assim, por fora o Valor Nominal.

Veja o resumo no esquema:

DESCONTO POR DENTRO OU RACIONAL 100% O VALOR LQUIDO

DESCONTO POR FORA OU COMERCIAL 100% O VALOR NOMINAL

Uma forma de memorizar isso

pensando numa garrafa

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O Desconto Comercial [ Dc ], bancrio ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal [N] do ttulo no perodo de tempo correspondente e a taxa fixada :

Onde: Dc = Desconto comercial; N = valor nominal; i = Taxa de desconto [i 100], t = prazo.

Desconto Racional [Dr] ou por dentro, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do ttulo numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

Exemplos:

1. Um ttulo no valor de R$ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. a) Calcule o desconto; b) Calcule o valor lquido recebido pelo empresa. [Valor Atual VA]

Dc = N . i . t

1.L.W1.L.W1.L.W1.L.W'U = 'U = 'U = 'U = 1 L.W1 L.W1 L.W1 L.W

SOLUO: a) Dc = N. i. t A = N - d Dc = 14.000 . [(3,5/100) . 3] b) Ac = N - dc N: 14.000 Dc = 14.000 . [0,035 . 3] Ac = 14000 - 1470 i: 3,5% a.m. Dc = 14.000 . 0,105 Ac = 12.530,00 t: 3 meses. Dc = 1.470,00

56

2. Uma empresa descontou num banco um ttulo de valor nominal igual a R$ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.. a) Qual o desconto comercial; b) Calcule o valor lquido recebido pela empresa. [Valor Atual VA]

3. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 8.000,00, foi descontada num banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,50% a.m.. a) Qual o desconto comercial; b) Calcule o valor lquido recebido pela empresa. [Valor Atual VA]

A = N - d SOLUO: Dc = N. i. t Dc = 90.000 x {[(30/100)/360] x 40} Ac = N - dc N: 90.000 Dc = 90.000 x {[0,30/360] x 40} Ac = 90000 - 3000 i: 30% a.a. Dc = 90.000 x 0,000833333 x 40 Ac = 87.000,00 t: 40 dias. Dc = 90.000 x 0,033333333 Dc = 3.000,00

SOLUO: A = N - d Dc = N. i. t Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] b) Ac = N - dc N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} Ac = 8000 - 400 i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 Ac = 7.600,00 t: 2 meses. Dc = 400,00

57

4. Uma dvida de R$ 13.500,00, ser saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional ser obtido, se a taxa de juros que reza no contrato de 30% a.a.?

.

Resoluo de problemas:

1- Determinar o desconto racional em cada uma das hipteses abaixo, adotando-se o ano comercial. Valor Nominal Taxa de Juros Prazo de Antecipao a) R$ 12.000,00 27,30% a.a. 7 meses b) R$ 4.200,00 18,0% a.a. 120 dias c) R$ 7.400,00 33,0% a.a. 34 dias

d) R $ 3.700,00 21,0% a.a. 5 meses e 20 dias RESPOSTAS:

a) Dr = 1.648,48 b) Dr = 237, 74 c) Dr = 223,66 d) Dr = 333,81

2- Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do ttulo 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. R. R$1304,35

SOLUO: N: 13.500 t: 3 meses i: 30% a.a. Dr = ?

1 L Q 1 0 0 [ >? 0 , 0 1 2? [ @1 L Q 1 0 0 [ >? 0 , 0 1 2? [ @1 L Q 1 0 0 [ >? 0 , 0 1 2? [ @1 L Q 1 0 0 [ >? 0 , 0 1 2? [ @' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = 1 L Q 1 >? 0 , 0 1 2? [ @1 L Q 1 >? 0 , 0 1 2? [ @1 L Q 1 >? 0 , 0 1 2? [ @1 L Q 1 >? 0 , 0 1 2? [ @1 0 0 [ > 0 , 0 2 [ @ 1 0 0 [ 0 , 0 1 0 0 [ > 0 , 0 2 [ @ 1 0 0 [ 0 , 0 1 0 0 [ > 0 , 0 2 [ @ 1 0 0 [ 0 , 0 1 0 0 [ > 0 , 0 2 [ @ 1 0 0 [ 0 , 0 ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = 1 > 0 , 0 2 [ @ 1 0 , 0 1 > 0 , 0 2 [ @ 1 0 , 0 1 > 0 , 0 2 [ @ 1 0 , 0 1 > 0 , 0 2 [ @ 1 0 , 0

1 0 0 [ 0 , 0 1 0 1 2 , 01 0 0 [ 0 , 0 1 0 1 2 , 01 0 0 [ 0 , 0 1 0 1 2 , 01 0 0 [ 0 , 0 1 0 1 2 , 0' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = ' U = 1 0 , 0 1 , 0 1 0 , 0 1 , 0 1 0 , 0 1 , 0 1 0 , 0 1 , 0

' U = 4 1 , 4 ' U = 4 1 , 4 ' U = 4 1 , 4 ' U = 4 1 , 4

R$ 941,86 , portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dvida.

58

3- Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do ttulo 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. R. R$1500,00 4- (Fiscal - MS-2000) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2.000,00 dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4% a. m. O valor lquido a recebido de: R. A A) R$ 1.800,00 B) R$ 1.600,00 C) R$ 1.300,00 D) R$ 1.200,00 E) R$ 1.500,00 5- (AFRF - 2003) Um ttulo sofre um desconto comercial de R$9810,00 trs meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao ms.Indique qual seria o desconto mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. R. E a) R$ 9810,00 b) R$ 9521,34 c) R$ 9500,00 d) R$ 9200,00 e) R$ 9000,00

6- Um ttulo de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros de 3% a.m. pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

Resposta: desconto = R$ 300,00 e valor descontado ou valor lquido = R$ 4.700,00

7- Determine o valor nominal de um ttulo que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e taxa de 12% ao ms, resultou um valor descontado de R$ 608,00. R. R$ 800,00

8- Qual o prazo de antecipao de um ttulo que descontado racionalmente, taxa de juros de 8% a. m. produziu um desconto equivalente a 1/6 do seu valor nominal? R. 2 meses e 15 dias

9- Calcule o desconto por dentro sofrido por uma duplicata de R$ 8.320,00, descontada taxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu vencimento. R. R$ 320,00

10- A que taxa anual, um ttulo de R$ 2.000,00, em 6 meses, d R$ 400,00 de desconto por fora? R. 40% a.a.

Espao reservado para observaes

60

Equao do 1 Grau

Forma: ax + b = 0, onde a e b so nmeros reais com a 0

Importante:

Quando a equao resultar em

0x = b Onde b um nmero real, diferente de zero, a equao no tem soluo.

Quando a equao resultar em

0x = 0

Qualquer valor de x real satisfaz a equao.

Contextualizando: Os txis da cidade onde Joo Vitor reside, cobram R$ 1,20 por quilmetro rodado mais R$ 3,50 pela corrida, a conhecida bandeirada. Joo Vitor foi de txi da sua casa at a escola e pagou um total de R$ 8,30. A distncia que o txi percorreu de sua casa at a escola foi de:

Formulao Matemtica: 1,20 x + 3,50 = 8,30

Exemplos de problemas:

1. A soma de trs nmeros inteiros e consecutivos 60. Qual o produto desses trs nmeros.

2. Um reservatrio contm combustvel at 2/5 de sua capacidade total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual a capacidade total desse reservatrio?

3. Uma herana constituda de barras de ouro foi totalmente dividida entre trs irms: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Aps Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herana, igual a uma barra e meia. Assim, o nmero de barras de ouro que Ana recebeu foi:

4. (EMBRAPA 94) Conta-se que, certa vez, um bbado entrou em uma igreja e prometeu contribuir com R$ 300,00 para os pobres se Santo Antnio duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso. O milagre aconteceu e o bbado colocou R$ 300,00 na caixa de esmolas. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 300,00 se o Santo, outra vez, multiplicasse por dois o dinheiro que ele tinha no bolso. Novamente o milagre aconteceu, mas quando o bbado

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colocou os R$ 300,00 na caixa de esmolas, percebeu que ficara sem dinheiro algum. O dinheiro que o bbado entrou na igreja foi:

5. (TRE 2002 CE) Do total de X funcionrios de uma repartio pblica que fazem a conduo de veculos automotivos, sabe-se que 1/5 efetuam o transporte de materiais e equipamentos e 2/3 do nmero restante, o transporte de pessoas. Se os demais 12 funcionrios esto temporariamente afastados de suas funes, ento X igual a. a) 90 b) 75 c) 60 d) 50 e) 45

Equao do 2 Grau

Forma: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c so nmeros reais com a 0.

Para resolv-la usaremos a formula de Bskara.

2 20 42

bax bx c x onde b ac

a

+ + = = =

Conforme o valor do discriminante existem trs possibilidades quanto natureza da equao dada.

000 1

Existem duas raizes reais e desiguaisExistem duas raizes reais eiguaisExistem duas raizes complexas da forma

> = <

Quando ocorre a ltima possibilidade costume dizer-se que no existem razes reais, pois, de fato, elas no so reais j que no existe, no conjunto dos nmeros reais, a quando a < 0.

62

Vejamos algumas destas propriedades.

1. Quando adicionamos ou subtramos um mesmo nmero aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Conseqncia. Observemos a equao: X + 2 = 3 Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos: X + 2 = 3 x + 2 2 = 3 2, assim: X+2 = 3 x=1

2. Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um nmero diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Conseqncia. Observemos a equao: -2x = 6 Dividindo por -2 os dois membros da igualdade, temos:

2 62 62 2x

x

= =

, assim:

2 6 3x x = =

a b a c b cou

a b a c b c

= + = +

= =

a b a c b cou

a ba b

c c

= =

= =

Ateno! Na resoluo das equaes podemos nos valer de algumas operaes e transform-las em equaes equivalentes, isto , que apresentam o mesmo conjunto soluo no mesmo universo.

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1. As idades de duas

pessoas h 8 anos estavam na razo de 8 para 11; agora esto na razo de 4 para 5. Qual a idade da mais velha atualmente?

2. Sabendo-se que o nmero x representa o valor de 2-(-3+5 )-[-1+ (-3+4 ) -(-2-6), quanto vale:

a. o dobro do nmero x ? b. o quadrado do nmero

x? 3. Duas pessoas, A e B, disputam

100 partidas de um certo jogo.Cada vez que A vence uma partida recebe 20 reais de B e cada vez que B vence, recebe 30 reais de A. se A vencer 51 partidas, ele ter lucro ou prejuzo? De quantos reais?

4. Qual o valor numrico da

expresso a - 3ax, quando a = 10 e x = 2?

5. A cada quilmetro rodado, um

carro consome 0,12 litros de combustvel. Quantos litros esse carro vai consumir, se percorrer 82,5 km?

6. Em um terreno retangular, o

comprimento tem 10 metros a mais que a largura. Se representarmos pela letra x o nmero de metros da largura, o comprimento ser representado por x+10. Se o triplo da largura igual ao dobro do comprimento, escreva uma equao que represente esse fato.

7. O campeonato de Frmula 1

terminou com o campeo levando 7 pontos de vantagem sobre o vice-campeo.Se os dois juntos, campeo e vice,somaram 173 pontos no final da temporada, quantos pontos cada um marcou nessa temporada?

8. Com 22 livros de 3 cm e 7 cm

de espessura formou-se uma pilha de 106 cm de altura.Quantos livros de cada espessura foram colocados?

9. (OLIMPADA DE

MATEMTICA-SP) Uma classe quis dar a uma professora um presente que custava R$ 720,00. Calculou-se a quantia que cada aluno deveria dar. Porm, cinco alunos de outra classe quiseram participar da compra do presente, e com isso, coube a cada um R$ 2,00 a menos na quantia anteriormente combinada. Quantos alunos havia na classe?

10. (PUC-SP) Um terreno

retangular de rea 875m tem o comprimento excedendo em 10 metros a largura. Quais so as dimenses do terreno? Assinale a equao que representa o problema acima:

a. x + 10x-875 = 0 b)

x +10x+875 = 0 c) x - 10x+875 = 0

d) x + 875x-10 = 0

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11. (U.C. SALVADOR-BA) Um

professor dispunha de 144 doces para dividir igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da distribuio faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno 1 doce a mais. O nmero de alunos presentes no dia da distribuio era: a) 36 b) 40 c) 42 d) 48

12. Um norte-americano, fazendo turismo numa pequena cidade da Amaznia, entrou numa loja e comprou alguns pacotes de guaran em p, gastando R$ 90,00. No dia seguinte, ele voltou a loja, mas cada pacote j custava R$ 2,00 a mais que no dia anterior. Dessa vez ele gastou R$ 70,00. No total o americano comprou 80 pacotes de guaran. Quantos ele comprou no primeiro dia? E no segundo?

Inequao do 1 Grau

Uma inequao do 1 grau na incgnita x qualquer expresso do 1 grau que pode ser escrita numa das seguintes formas: ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b 0; ax + b 0.

Onde a, b so nmeros reais com a 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0 x - 10 0 2x + 5 0 12 - x < 0

Resolvendo uma inequao de 1 grau

Uma maneira simples de resolver uma equao do 1 g rau isolarmos a incgnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequao -2x + 7 > 0.

Soluo: -2x > -7 Multiplicando por (-1)

2x < 7 x < 7/2

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Portanto a soluo da inequao x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequao 2x - 6 < 0.

Soluo: 2x < 6 x < 6/2 x < 3 Portanto a soluo da inequao e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequao do 1 grau por meio do estudo do sinal de uma funo do 1 grau, com o seguinte procedimen to:

1. Iguala-se a expresso ax + b a zero; 2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1: -2x + 7 > 0 -2x + 7 = 0 x = 7/2

Exemplo 2: 2x 6 < 0 2x - 6 = 0 x = 3

Exemplo 2: Quais os valores de x na desigualdade x 3 2x +5 < x +1 responder

66

Conjunto dos nmeros reais (IR)

Dados os conjuntos dos nmeros racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos nmeros reais como:

IR=Q {irracionais} = {x|x racional ou x irracional}

O diagrama abaixo mostra a relao entre os conjuntos numricos:

Portanto, os nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais so todos nmeros reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos nmeros reais no negativos

IR_ = conjunto dos nmeros reais no positivos

Obs: entre dois nmeros inteiros existem infinitos nmeros reais. Por exemplo: Entre os nmeros 1 e 2 existem infinitos nmeros reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

Entre os nmeros 5 e 6 existem infinitos nmeros reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

Vamos relembrar os nmeros reais e intervalos para entendermos inequaes do 2 grau?

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Intervalos reais

Intervalos finitos Com as convenes seguintes podemos definir os conceitos de intervalo.

(a,b) = {x R: a < x < b} [a,b] = {x R: a < x < b} (a,b] = {x R: a < x < b} [a,b) = {x R: a < x < b}

Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas, pondo-se um crculo vazio onde no vale a igualdade e um crculo preenchido onde vale a igualdade.

Intervalos infinitos

Consideremos inf = infinito. Define-se o intervalo (a,+inf) como o conjunto de todos os nmeros reais maiores do que a, isto :

(a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a) = {x R: x < a}

e tambm os intervalos: [a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a] = {x R: x < a}

e uma notao comum :

R = (-inf, +inf)

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Inequaes do 2 grau

Para resolvermos uma inequao do 2o grau, utilizamos o estudo do

sinal. As inequaes so representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .

Exemplos:

1) 2 3 2 0x x + >

Resoluo:

2 3 2 0x x + >

' 1, '' 2x x= =

Como desejamos os valores para os quais a funo maior que zero devemos fazer um esboo do grfico e ver para quais valores de x isso ocorre.

Vemos, que as regies que tornam positivas a funo so: x2

Resposta: { x R| x2}

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Inequaes simultneas

Exemplo: Calcule o conjunto soluo da inequao 21 < x 2x +1 < 0

Resoluo:

2

2

2

2

2

) 2 1 1) 2 1 0

( ) :2 1 12 0

' 0, '' 2( ) :

2 1 0' '' 1

i x xii x xresolvendo ix x

x x

x x

resolvendo iix x

x x

+ >

+

>

= =

+

Resoluo de exerccios

1. ( CESGRANRIO ) O conjunto soluo da inequao x2 - 3x - 10 < 0 :

a. (- , - 2) b. (- , - 2) (5, ) c. (- 2, 5) X d. (0, 3) e. (3, 10)

2. (PUC - MG) - A soluo da inequao x2 x o intervalo real:

a. (- , - 11] b. [- 1, ) c. [-1, 0 ] d. [-1, 1 ] e. [ 0, 1 ) X

3. (UEL - PR) - O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentena 2x2 - x < 1, :

a. {x IR /-1/2 < x < 1} X b. {x IR / x > 1 ou x < -1/2 } c. {x IR / x < 1 } d. {x IR / 1/2 < x < 1} e. {x IR / x < -1/2 }

4.( CESGRANRIO ) - As solues de x2 - 2x < 0 so os valores de x pertencentes ao conjunto:

a. ( 0, 2 ) X b. (- , 0 ) c. (2, ) d. (- , 0 ) (2, ) e. ( 0, )

5. (UNESP) - O conjunto-soluo da inequao (x - 2)2 < 2x - 1, considerando como universo o conjunto IR, est definido por:

a) 1 < x < 5 X

b) 3 < x < 5

c) 2 < x < 4

d) 1 < x < 4

e) 2 < x < 5

6. (UFSE) - O trinmio y = x2 + 2kx + 4k admitir duas razes reais e distintas se, e somente se:

a. k > 4 b. k > 0 e k 4 c. k < 0 ou k > 4 X d. k 0 e k 4 e. 0 < k < 4

7. (CESGRANRIO) A menor soluo inteira de x2 - 2x - 35 < 0 :

71

a. -5 b. -4 X c. -3 d. -2 e. -1

8. ( UFSC ) A equao 2x2 - px + 8 = 0 tem razes reais e distintas para p satisfazendo as condies:

a. p 8 ou p -8 b. -8 p 8 c. p 8 ou p > 8 d. p < -8 ou p 8 e. p < -8 ou p > 8 X

9. ( PUC - SP ) Os valores de m R, para os quais o trinmio y = ( m - 1 ) x2 + mx + 1 tem dois zeros reais e distintos, so:

a. m 1 e m 2; X b. 1 m 2; c. m 1; d. m 2; e. m = 2

10. ( FATEC - SP ) Os valores de k, k Z , para que os quais a equao kx2 + 9 = kx -3 no admite soluo real, pertence ao intervalo:

a. (-, -10 ) b. ( -10, -5 ) c. ( -2, 0 ) d. ( 0, 48 ) X e. ( 48, 100 )

Espao reservado para observaes

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Medidas de comprimento

Sistema Mtrico Decimal

A histria nos mostra que desde tempos muito antigos os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possua suas prprias unidades-padro. Com o desenvolvimento do comrcio foi ficando cada vez mais difcil a troca de informaes e as negociaes entre os povos, devido a tantas medidas diferentes. Foi necessrio que se adotasse um padro de medida nico para cada grandeza. poca da Revoluo francesa, em 1791, representantes de vrios pases reuniram-se para discutir a adoo de um sistema nico de medidas. Surgiu ento o sistema mtrico decimal.

Metro A origem da palavra metro vem do grego mtron e significa "o que mede". Inicialmente foi estabelecido que a medida do metro seria a dcima milionsima parte da distncia do Plo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Mltiplos e Submltiplos do Metro Alm da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus mltiplos e submltiplos, cujos nomes so formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Mltiplos Unidade Fundamental Submltiplos

quilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os mltiplos do metro so utilizados para medir grandes distncias, enquanto os submltiplos, para pequenas distncias. Para medidas milimtricas, em que se exige preciso, utilizamos:

mcron () = 10-6 m angstrn () = 10-10 m

Para distncias astronmicas utilizamos o Ano-luz (distncia percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 1012 km

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O p, a polegada, a milha e a jarda so unidades no pertencentes ao sistema mtrico decimal. So utilizadas em pases de lngua inglesa. Observe as converses abaixo:

P = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = 1.609 m Milha martima = 1.852 m

Observe que: 1 p = 12 polegadas 1 jarda = 3 ps

LEITURA DAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO Com a ajuda do quadro de unidades, podemos efetuar a leitura das medidas de comprimento. Acompanhe a seqncia para lermos a seguinte medida: 15,048 m.

1) Escrever o quadro de unidades:

km hm dam m dm cm mm

2) Colocar o nmero no quadro de unidades, localizando o ltimo algarismo da parte inteira sob a sua respectiva medida.


1 5 0 4 8

3) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu ltimo algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do ltimo algarismo da mesma. Portanto, lemos: 15 metros e 48 milmetros Outros exemplos:

6,07 km l-se "seis quilmetros e sete decmetros"

82,107 dam l-se "oitenta e dois decmetros e cento e sete centmetros".

0,003 m l-se "trs milmetros".

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TRANSFORMAO DE UNIDADES

Observe as seguintes transformaes: Transforme 16,584hm em m.


Para transformar hm em m (duas posies direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja,

16,584hm = 1.658,4m

Medidas e comprimento PERMETRO DE UM POLGONO

Permetro de um polgono a soma das medidas dos seus lados.

Permetro do retngulo

b - base ou comprimento h - altura ou largura Permetro = 2b + 2h = 2(b + h)

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Permetro dos polgonos regulares

Tringulo eqiltero

Quadrado

P = l+ l + l P = 3 l

P = l + l + l+ l P = 4 l

Pentgono

Hexgono

P = l + l + l + l + l P = 5

P = l + l + l + l + l + l P = 6 l

l - medida do lado do polgono regular P - permetro do polgono regular

Para um polgono de n lados, temos:

P = n l

Dividindo-se o comprimento de uma circunferncia (C) pela medida do seu dimetro (D), encontra-se sempre um valor

aproximadamente igual a 3,14.

Este nmero, 3,141592... Corresponde em matemtica letra grega (que se l "pi"), Costuma-se considerar = 3,14.

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Medidas de superfcie

Introduo

As medidas de superfcie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

Qual a rea desta sala? Qual a rea desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos so necessrios para revestir

essa piscina? Qual a rea dessa quadra de futebol de salo? Qual a rea pintada dessa parede?

Superfcie e rea Superfcie uma grandeza com duas dimenses, enquanto rea a medida dessa grandeza, portanto, um nmero. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfcie chama-se metro quadrado e O metro quadrado (m2) a medida correspondente superfcie de um quadrado com 1 metro de lado.

Mltiplos Unidade Fundamental Submltiplos quilmetros quadrado

hectmetro quadrado

decmetro quadrado

metro quadrado

decmetro quadrado

centmetro quadrado

milmetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 so utilizados para medir grandes superfcies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 so utilizados para pequenas superfcies. Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56

L-se 12 metros quadrados e 56 decmetros quadrados. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de rea. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30

L-se 178 metros quadrados e 30 decmetros quadrados

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3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70

L-se 9.170 decmetros quadrados.

Medidas Agrrias As medidas agrrias so utilizadas para medir superfcies de campo, plantaes,

matematica e raciocinio logico

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