Professor: Rondineli Loureiro

Assunto: Testes de Vestibulares

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RRReeelllaaaçççõõõeeesss MMMééétttrrriiicccaaasss nnnooo TTTrrriiiaaannnggguuulllooo RRReeetttââânnnggguuulllooo

A altura de uma árvore é 7 m. Será fixada uma escada a 1 m de sua base para que um homem possa podar os seus galhos. Qual o menor comprimento que esta escada deverá ter?

a) 2 3 b) 4 3 c) 5 2

d) 7 2 e) 6 2 Um motorista vai da cidade A até a cidade E, passando pela cidade B, conforme mostra a figura. Ele percorreu:

a) 41 m b) 15 km c) 9 km d) 36 km e) 42 km O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto.

Sabendo-se que essas cordas mede 1

2 e

6

5, a

distância do lampião ao teto é:

a) 1,69 b) 1,3 c) 1

2

d) 6

13 e) n.r.a.

(UCSal-BA) Na situação do mapa da figura abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em quilômetros:

a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40 Uma torre vertical é presa por um cabo de aço fixo no chão, em um terreno plano fixo e horizontal, conforme mostra a figura ao lado. Se o ponto A está em 15 metros da base B da torre e o ponto C está a 20 m de altura, o comprimento x do cabo é:

a) 20 m b) 25 m c) 30 m d) 35 m e) 15 m (UFPel-RS) Em um recente vendaval, um poste de luz de 9 metros de altura quebrou-se em um ponto a distância x do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base do mesmo. A que altura x do solo o poste quebrou?

a) 2 m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 9 m

B A

C

15 m

x 20 m

Matemática

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t

1 5

2

(Cesgranrio-RJ) Uma folha de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o

ponto M, médio de AB . Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:

a) 0,300 b) 0,325 c) 0,375 d) 0,450 e) 0,500.

RRRaaazzzõõõeeesss TTTrrriiigggooonnnooommmééétttrrriiicccaaasss nnnooo TTTrrriiiaaannnggguuulllooo RRReeetttââânnnggguuulllooo

(PUC-SP) Qual o valor de x na figura?

a) 3

3 b)

5 3

3 c)

10 3

3

d) 15 3

4 e)

20 3

3

(R.Loureiro) Um holofote deve ser colocado em uma torre AB a uma altura h. O menor e o maior ângulo que o holofote faz com a torre são respectivamente 45º e 60º. Com base nisso, a altura aproximada, que o holofote deve ser colocado para que a distância CD seja igual a 10 m, é de:

a) 14,28 m b) 22,4 m c) 5,88 m d) 1,7 m e) 17 m

(UEPA) Do topo de um edifício A, um observador avista a base de um outro edifício B, segundo um

ângulo de 60° e o seu topo, segundo um ângulo de

30°, conforme a figura abaixo. Sendo 360 m a distância entre os dois edifícios, a altura do edifício B, é:

a) 180 m b) 120 3 m c) 120 m

d) 90 3 m e) 90 m

Medir alturas de montanhas, em geral, não é simples. Pelo fato de não ser possível obter as medidas do triângulo retângulo teórico que permite o cálculo da altura por meio do uso de relações trigonométricas, deve-se recorrer a outra técnica. Uma técnica que permite a medição correta da altura é a seguinte (veja a figura abaixo): de um ponto no chão, mede-se o ângulo de elevação do chão ao topo da montanha (α ); caminha-se um valor conhecido de metros para trás (p); mede-se novamente o ângulo de elevação do chão ao topo da montanha ( β ).

Considerando α = 60° , β = 30° e p = 100 m. A

altura da montanha seria igual a: a) 45 m b) 50 m c) 55 m d) 60 m e) 65 m (UFPA) No triângulo retângulo abaixo temos:

I) 1

sen2

t =

A

B C D

45º

60º

10 m

h

Considere:

3 1,7=

360

30°

60°

A

B

30° 60° x

40

Matemática

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II) 2

cos5

t =

III) tg 2t =

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são): a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III (UFMS) Uma caixa d'água está localizada num ponto P de um terreno plano, conforme representada abaixo. A mesma é avistada do ponto A sob um ângulo de 30° e do ponto B sob um ângulo de 45°. Sabendo-se que a medida do

ângulo �APB é 90° e a distância entre os pontos A e B é 100 m, em metros, a altura da caixa d'água é igual a:

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 RRRaaazzzõõõeeesss TTTrrriiigggooonnnooommmééétttrrriiicccaaasss nnnuuummm TTTrrriiiaaannnggguuulllooo qqquuuaaalllqqquuueeerrr

O reabastecimento em vôo é um procedimento que permite abastecer aviões de caça em pleno vôo a partir de uma mangueira distendida de urna aeronave tanque. Um avião A (tanque) e outro B (caça) ao término do procedimento descrito acima, em determinado ponto P, tomam rumos que diferem de um ângulo de 60°. A partir de P, as velocidades dos aviões são constantes e iguais a VA = 400 km/h e VB = 500 km/h. Considerando que mantiveram os respectivos rumos, à distância, em km, entre eles após 2 horas de vôo é:

a) 5.200 21 b) 300 21 c) 200 21

d) 100 21 e) 159 21

(R.Loureiro) Um homem de 1,8 m de altura pode ver um prédio, da sua base ao seu topo, sob um ângulo de visão igual a 45º. De acordo com a figura abaixo, uma dessas linhas de visão forma com o prédio um ângulo de 60°. Então a altura desse prédio, em metros é: Dados: sen15º 0, 2= ; cos15º 0,9= ; tg15º 0,3= .

a) 18 m b) 9 6 m c) 3 6 m

d) 9 6

2m e)

3 5

2m

(PRISE) A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma rampa reta, AC, que servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 6 m, de B a C é de 10 m e, o menor ângulo formado entre AB e BC é de 120°. Então, o valor do comprimento da rampa deve ser de:

a) 12 m b) 12,5 m c) 13 m d) 13,5 m e) 14 m (R.Loureiro) Pitágoras tem um terreno, localizado entre duas ruas, o qual tem forma triangular como mostra a figura a baixo, o dono do terreno conhece apenas duas medidas desse terreno e um dos ângulos. Um possível comprador exige que o proprietário calcule pelo menos a are desse terreno. Como bom matemático, Pitágoras Calculou a área num piscar de olhos, de acordo com os cálculos essa área era igual a: (use

,=3 1 73 )

15º

45º

60º

h

1,80 m

Matemática

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a) 17,3 m2 b) 34,64 m2 c) 51,96 m2 d) 69,28 m2 e) 86,60 m2

TTTrrriiigggooonnnooommmeeetttrrriiiaaa

(R.Loureiro) Uma estrada que liga duas cidades do interior do Pará foi construída uma numa região onde em toda sua extensão há vários lagos de pequena e grande extensão. Num dos trechos dessa estrada, para ir de um ponto A a um ponto B, foi necessário contornar um lago de grande extensão, pois seria muito dispendioso construir uma ponte reta de A para B. Se o raio da curvatura AB é de 6 km e que o ângulo AÔB é igual a 60°, quantos metros a menos alguém percorreria nesse

trecho, se a ponte fosse construída? (Adote π = 3,14)

a) 280 b) 0,28 c) 2,80 d) 2800 e) 6,28 (PRISE 2004) Em Belém, George costuma levar Thales, seu filho, à praça Batista Campos. Certo dia, observando Thales brincar no balanço da praça, George, que é professor de Matemática,

resolveu calcular a medida do arco (�AB ) formado pela trajetória do balanço no momento em que descrevia um movimento pendular, como mostra a figura abaixo. Considerando que o ângulo (AÔB), observado por George, tenha sido de 30°, que a medida da corrente que sustenta o balanço era de 3 m e que o valor atribuído à

π foi de 3,14, então, a

medida de �AB

calculada foi: a) 1,35 m b) 1,57 m c) 1,89 m d) 2,15 m e) 2,31 m (ITA-SP) Transformando 12° em radianos, obtemos:

a) 15

π b)

15

π c)

30

π

d) 2

15

π e) 12

(UFRGS) O gráfico na figura é o da função

[ ] R: 0;4F π → , definido por:

a) ( ) 2sen3F x x= b) ( ) 2sen3

xF x =

c) ( ) 3sen2F x x= d) ( ) 3sen2

xF x =

e) ( ) 4sen3F x x=

(CESGRANRIO-RJ) Das afirmações: I. sen( ) senx x− = −

II. cos( ) cosx x− = −

III. tg( ) tgx x− = − , as corretas são:

a) apenas a I b) apenas a II c) apenas a III d) apenas a I e a II e) apenas a I e a III.

(UFPA) Sendo2

xπ

= , calcule o valor da expressão

sen cos

sen

x x

x

+:

a) 0 b) 1

2 c) 1

d) 2 e) 3 (UFRN) Sejam f e g duas funções

trigonométricas definidas no conjunto dos números reais por ( ) 4 cos2= ⋅f x x e

LAGO

A

B

O

5 m 7 m

60°

Matemática

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( ) 2 cos4

= ⋅x

g x . Se FP é o período de f e GP o

período de g . Pode-se a firmar que:

a) =G FP P b) 1

2=G FP P c) 4=G FP P

d) 2=G FP P e) 8=G FP P

(UFES) Considere que V(t), volume de ar nos pulmões de um ser humano adulto, em litros, varia de no mínimo 2 litros e no máximo 4 litros, sendo t a variável tempo, em segundos. Dentre as funções abaixo, a que melhor descreve V(t) é:

a) ( ) 2 2sen3

V t tπ

= +

b) ( ) 4 2sen3

V t tπ

= +

c) ( ) 5 3sen3

V t tπ

= +

d) ( ) 1 3sen3

V t tπ

= +

e) ( ) 3 sen3

V t tπ

= +

(UCS - RS) A Matemática pode auxiliar no desempenho dos atletas de alguns esportes. Por exemplo, no arremesso de dardo, é importante que o atleta saiba que, conforme o ângulo de lançamento, o dardo atingirá maior ou menor distância. A distância d percorrida pelo dardo é determinada pela fórmula:

20 sen2v

dg

⋅ θ=

Em que v0 é a velocidade inicial, θ é o ângulo de lançamento e g é a aceleração da gravidade. Assim para v0 e g fixos, a medida do ângulo de lançamento que faz com que o dardo atinja maior distância possível é: a) 30° b) 45° c) 50° d) 55° e) 60° (Unesp-SP) A temperatura em graus Celsius (ºC), de uma câmara frigorífica, durante o dia completo, das 0 às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:

( ) cos cos ,0 2412 6

π π = − ≤ ≤

t tf t t , com t em

horas. Com base na função dada, a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas, é igual a: a) 1− °C b) 0,35°C c) 0,35− °C

d) 0°C e) 0,5− °C

(UEPA) A figura abaixo, representa uma

circunferência trigonométrica, onde PA�

e QA�

são

dois de seus arcos, então:

a) sen( ) sen( )AP AQ=

��

b) cos( ) cos( )AP AQ=��

c) tg( ) tg( )AP AQ=��

d) sec( ) sec( )AP AQ=��

e) cossec( ) cossec( )AP AQ=��

(UEL-PR) Para todo número real x, tal que

02

xπ

< < , a expressão sec tg

cot

x x

cox gx

+

+ é equivalente

a: a) sen cotx gx⋅ b) sec cotx gx⋅

c) cos tgx x⋅ d) sec tgx x⋅

e) sen tgx x⋅

(FGV-SP) Simplificando a expressão2

2

cos cot

sen tg

x gx

x x

−

−,

obtemos:

a) 2sec x b) 2sen x c) 2tg x

d) 2cos x e) 2cotg x

Sabendo-se que 2

sen2

x = , o valor da expressão

2

2

sec 1

tg 1

xy

x

−=

+ é:

A

P

Q

Matemática

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a) zero b) 1

2 c)

3

2

d) 1

4 e)

2

2

(UFPA) Qual das expressões abaixo é idêntica a

21 sen

cot sen

x

gx x

−

⋅?

a) senx b) cos x c) tg x

d) cossec x e) cotgx

(Ucsal-BA) Qualquer que seja o número real x, a

expressão 4 4cos senx x− é equivalente a:

a) 2sen 1x − b) 2 sen cosx x⋅ ⋅

c) 22 cos 1x⋅ − d) 22 cos x− e) (sen cos ) cosx x x+ ⋅

(UFAL) Se x e y são tais que 02

xπ

≤ ≤ , 02

yπ

≤ ≤ ,

3sen

5y = e

3cos

4x = , então cos( )x y− é igual a:

a) 9 4 7

20

− b)

( )3 4 7

20

+ c)

( )3 4 7

20

−

d) ( )3 4 7

4

+ e)

9 4 7

20

+

(PUC-MG) A expressão sen( )

cos cos

α +β

α⋅ β é igual a:

a) tg tgα + β

b) cot cotg gα + β

c) sec secα + β

d) cossec cossecα + β

e) cos cosα + β

AAAnnnááálll iiissseee CCCooommmbbbiiinnnaaatttóóórrriiiaaa

(Fatec-SP) Dispomos de 10 produtos para montagem de cestas básicas. O número de cestas que podemos formar com 6 desses produtos, de modo que um determinado produto sempre seja incluído, é: a) 252 b) 210 c) 126 d) 120 e) 24

(PUC-MG) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada, é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201 (AMAN-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são: a) 5040 b) 40 c) 2 d) 210 e) n.r.a (Mackenzie-SP) Cada um dos círculos da figura abaixo deverá ser pintado com uma cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 3 ⋅ 7! b) 47 c) 2 916 d) 74 e) 7! ⋅ 4! (OBMEP) Três casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?

a) 6 b) 12 c) 44 d) 46 e) 48 (PRISE) A “onda” de desvios de valores de correntistas de bancos via Internet é grande no Brasil. Durante o mês de outubro, várias pessoas foram presas, no Pará, acusadas desse tipo de crime. Os bancos tentam evitar que seus clientes sofram com este tipo de furto, alertando sobre cuidados na manipulação de informações de suas contas bancárias. Atualmente, para maior segurança, alguns bancos estão adotando senhas em que o correntista tem que digitar quatro

algarismos e três letras distintas. Dessa forma, um

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cliente de um destes bancos, ao criar sua senha, resolveu utilizar uma das permutações dos algarismos do ano do nascimento de sua filha e, também, o nome dela. Sabendo que sua filha nasceu em 1998 e seu nome é Isabel, então o número de opções distintas para criação de sua senha será: a) 240 b) 480 c) 920 d) 1440 e) 2880 (FGV - RJ) Os irmãos Metralha são personagens tradicionais das histórias em quadrinhos. Cada Metralha é identificado em sua camisa por um código do tipo 176-167, formado por dois números de três algarismos distintos e tais que em cada um deles aparecem obrigatoriamente os dígitos l, 6 e 7.

No máximo quantos são os irmãos metralhas? a) 9 b) 12 c) 24 d) 36 e) 60 (Fuvest-SP) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A), de Maria(B), a escola (C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?

a) 25 b) 30 c) 462 d) 144 e) 150

(Prise-2007) Para coleta de resíduos sólidos de um prédio, um síndico pretende utilizar os 6 recipiente que encontram-se enfileirados na área de serviço. Para tanto, deseja pintá-los, cada um de uma só cor, utilizando quatro cores distintas. O número de maneiras que poderá fazer essa pintura é:

a) 972 b) 1296 c) 4096 d) 720 e) 360

PPPrrrooobbbaaabbbiiilll iiidddaaadddeee

O senhor O. Timista enviou 150 cartas para um concurso, no qual seria sorteada uma só carta de um total de 5500 cartas. A probabilidade dele uma das cartas do senhor O. Timista ser sorteada é:

a) 3

55 b)

3

110 c)

1

5499

d) 1

5350 e)

1

5500

(Fatec-SP) Uma pessoa escreveu todos os anagramas da sigla FATEC, cada um em um pedacinho de papel, e colocou-os em um recipiente vazio. Retirando-se um desses papéis do recipiente, ao acaso, a probabilidade de que o anagrama nele escrito tenha as duas vogais juntas é:

a) 7

10 b)

3

10 c)

2

5

d) 3

5 e)

1

2

(PRISE 1999) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte, e 5 jovens gostam somente de leitura. Qual é a probabilidade de, ao apontar; ao acaso, um desses jovens, ele gostar de música? a) 58 % b) 49 % c) 14 % d) 68 % e) 50 %

2 3 1 5 6 4

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(PRISE 2005) Para comemorar o dia dos professores, uma escola de Belém resolveu organizar uma festa e nela distribuir CD’s de diversos ritmos musicais para os homenageados do dia. O corpo docente da escola é composto por 15 professores, dos quais 10 são homens. Para organizar a entrega dos presentes, foram distribuídas fichas com numeração de 1 a 15, sendo que as mulheres ficaram com as fichas de 1 a 5. Para entrega dos prêmios, procedeu-se a um sorteio no qual foi retirada uma ficha para entrega do 1° CD. Sabe-se que a ficha sorteada foi menor que 11, então a probabilidade de que a pessoa sorteada tenha sido um homem é de:

a) 1

2 b)

1

3 c)

1

4

d) 2

3 e)

3

4

(Funrei-MG) Uma caixa contém nove peças, das quais apenas três são defeituosas. A probabilidade de serem escolhidas duas peças não defeituosas de uma só vez é:

a) 2

3 b)

5

9 c)

4

9

d) 7

12 e)

5

12

(Unirio-RJ) Joga-se um dado três vezes consecutivas. A probabilidade de surgirem os resultados abaixo, em qualquer ordem é:

a) 1

36 b)

1

72 c)

1

216

d) 1

18 e)

1

3

(Enem-MEC) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:

Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual à zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é

a) 1

27 b)

1

36 c)

1

54

d) 1

72 e)

1

108