matemática financeira renato tognere ferron. fluxo de caixa
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Matemática Financeira
Renato Tognere Ferron
FLUXO DE CAIXA
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Fluxo de caixa de um projeto ou investimento é o conjunto de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.
Representação em diagrama
tempotempo Entradas
Entradas Saídas
Saídas
(+) (-)
(-) (+)
CONCEITOS
Diagrama de Fluxo de Caixa Diagrama de Fluxo de Caixa
Fluxos convencionais de investimentosFluxos convencionais de investimentos
-
+
Diagrama de Fluxo de CaixaDiagrama de Fluxo de Caixa
Fluxos convencionais de empréstimoFluxos convencionais de empréstimo
-
+
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EXEMPLOS
Como será representado no diagrama de fluxo de caixa um investimento no valor de R$ 100.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 150.000,00 após 6 meses?
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EXEMPLOS
Como será representado no diagrama de fluxo de caixa um empréstimo tomado de R$ 50.000,00 pelo qual o tomador pagará R$ 75.000,00, após 5 meses?
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EXEMPLOS
Desenhe o diagrama de fluxo de caixa de uma série de depósitos de R$ 10.000,00 cada um, feitos no início de cada mês durante um ano numa Caderneta de Poupança que rendeu, no fim do ano, um montante final de R$ 200.000,00.
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EXEMPLOS Desenhe o diagrama de fluxo de caixa para uma pessoa que, durante 6 meses, fez depósitos de R$ 25.000,00 numa Caderneta de Poupança, sempre no início de cada mês. Nos três meses que se seguiram, perdeu o emprego e foi obrigada a fazer retiradas de R$ 60.000,00, também no início de cada mês, tendo esgotado o seu saldo.
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
SIMPLES: os juros de cada período são calculados SEMPRE sobre o valor inicial;
COMPOSTA: os juros de cada período são calculados sobre o valor inicial e também sobre os juros acumulados até o início de cada período.
JUROS SIMPLES
CONCEITO
Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado.
CONCEITO
A soma capital + juros é chamada de montante e será representada letra M
Montante (M) = Capital (C) + Juros
0 1
C
C = Capital disponível
M1J1
J1 = Remuneração por
dispor do Capital CC durante o período 1
i
i = Taxa de juros
JUROS
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... .
Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.
REPRESENTAÇÃO
O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital.Exemplo:
I = 24% ao ano = 24% a.aI = 6% ao trimestre = 6% a.tI = 3,5% ao mês = 3,5% a.m
EXEMPLO
Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua Conta daqui a um mês para saldar a dívida?
EXEMPLO
Juros = Capital x taxa x nº de período = C x i x n
6% x 2000 = (6/100) x 2000 x 1 = 0,06 x 2.000 = 120
Resposta = 2.000 + 120 = 2.120
REPRESENTAÇÃO
É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações:i)Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.ii) Sob a forma de fração decimal: 6 / 100 = 0,06.
J= C x i x n
Sol:C = $ 18.000,00 i = 1,5% = 0,015 ao mêsJ = Cxi = 18.000,00x 0,015 = 270M1 = C + J1 = 18000 + 270 = R$ 18.270,00
Exemplo 1:
Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês. Determine o valor dos juros acumulados e o valor de resgate ao final do período.
Sol:C = R$ 200t = 3 mesesi = 5% a. m. = 0,05 ao mêsj = ? = C*i*n = 200 * 0,05 * 3 = R$ 30,00
Exemplo 2:
Calcular os juros simples produzidos pelo capital de R$ 200,00 em 3 meses, à taxa de 5% ao mês.
Sol:C = R$ 500t = 25 diasi = 1,1% ao dia = 0,011 ao diaj = ? = C*i*t = 500 * 0,011 * 25 = R$ 137,50
Exemplo 3:
Consideremos que um capital de R$ 500,00 fique depositado durante 25 dias em uma aplicação que paga 1,1% ao dia. Qual o valor dos juros simples?
EXERCÍCIOS
(Cesgranrio – Petrobras – Técnico em Administração e Controle Júnior – 2009) – Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foia) menor do que R$ 500,00.b) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.e) maior do que R$ 2.500,00.
EXERCÍCIOS
(Cesgranrio – Petrobras Distribuidora – Técnico em Administração – 2010) –Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia um rendimento correspondente à metade de C. A taxa mensal de juros utilizada é dea) 2%b) 5%c) 10%d) 20%e) 50%
CÁLCULO DO MONTANTE
0 1
C
C = Capital disponível
M1
Que valor deveríamos terno final do 1º período ?
M1 = C
M1 = C x (1 + i)
J1
J1 = Remuneração por
dispor do Capital CC durante o período 1
i
i = Taxa de juros
M1 = C + (i x C)+ J1
C M1
Que valor deveríamos terno final do período 2 ?M2 = C + J1 + J2
M2 = C + (i x C) + (i x C)
M2
M2 = C x (1 + i x 2)
10 21J1 J2
Capitalização simplesCapitalização simples
C M1
Que valor deveríamos terno final do período 3 ?
M2 M3
10 2 31J1 J2 J3
M3 = C + J1 + J2 + J3
M3 = C + (i x C) + (i x C) + (i x C)
M3 = C x (1 + i x 3)
Capitalização simplesCapitalização simples
Jn
C M1
Que valor deveríamos terno final do período n ?
M2
3
M3
Mn = C + J1 + J2 + J3 + ... + Jn
Mn
10 nn-12 31J1 J2 J3
Mn = C x (1 + i x n)
Capitalização simplesCapitalização simples
EQUAÇÕES BÁSICASEQUAÇÕES BÁSICAS
jn = C x i x n
Regime de JUROS SIMPLES
Mn = C x (1 + i x n)
IMPORTANTEIMPORTANTE
As variáveis i e n devem estar na mesma unidade de tempo
Exemplos:
Prazo em meses Taxa em % ao mêsPrazo em anos Taxa em % ao anoPrazo em dias Taxa em % ao dia
1) Calcular os juros simples e o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 2% a.m., durante 6 meses;
2) Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 2.000,00 aplicado à taxa de 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses;
3) Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em um mês a importância de R$ 1.000,00 de juros. Calcule a taxa de juros simples.
4) Calcular o capital que, aplicado à taxa de 1% a.m., produz em 13 meses juros simples de R$ 650,00.
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00 empregado à taxa de juros simples de 0,5% a.m. durante 2 anos e 6 meses.
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Um capital de R$ 2.400,00 será aplicado à taxa de 5% ao mês, durante 2 meses, sob regime de juros simples. O valor final obtido, em reais, seráa) 2.520,00b) 2.640,00c) 2.646,00d) 2.650,00e) 2.652,00
EXERCÍCIOS
O investimento, que proporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em reais, foi a) 12.222,22b) 13.718,13c) 13.761,46d) 14.061,75e) 14.138,93
EXERCÍCIOS
Um investidor aplicou a importância de R$ 2.000,00, gerando uma remuneração de R$ 400,00 ao final de um período de 1 ano. De acordo com o regime de juros simples com capitalização anual, a taxa anual de juros dessa operação foi(A) 5%(B) 10%(C) 12%(D) 20%(E) 25%
EXERCÍCIOS
O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de(A) 12.600,00(B) 12.800,00(C) 13.200,00(D) 13.600,00(E) 13.800,00
