Universidade Anhanguera - Uniderp Centro de Educao a Distncia

TACNOLOGIA EM GESTO DE RECURSOS HUMANOS

POLO ENP CUIAB-CPA

MATEMTICA

2 SEMESTRE

CUIAB MT

29/09/2010

ANEXOS: a) Conceito de Funo b) Funo do Primeiro Grau c) Funo do Segundo Grau d) Funo Exponencial e) Logaritmos f) Funes Potncia g) Funo Polinomial h) Racional e Inversa i) Conceito e Derivada j) Tcnicas de Derivao

Relatrios de Desafio de Aprendizagem apresentado como atividade avaliativa da disciplina de Matemtica do Curso de Tecnologia em Recursos Humanos do Centro de Educao a Distncia de Universidade Anhanguera-Uniderp, sob a orientao de professora presencial Mirian J. Pereira.

BRUNO CESAR SILVA DE AZEVEDO ROSA MARIA CORRA FERNANDS EUDZIO CASSIMIRO DA SILVA GEAN CARLOS BARROS AGUIAR JOSEANE CRUZ DA SILVA

>>RA = 234279 >>RA = 224831 >>RA = 225075 >>RA = 234056 >>RA = 201664

TATIANE REGINA DA SILVA RAFAEL MANOEL ORTIZ THAIZA

>>RA = 197696 >>RA = 234500 >>RA =

Conceito de FunoUtiliza-se o conceito de funo quando esto relacionadas duas grandezas variveis, o que ocorre com muita freqncia em situaes prticas nas reas relacionadas administrao e s tecnologias diversas. Por exemplo, as empresas, quando pretendem lanar um novo produto no mercado, recorrem a pesquisas para conhecer qual a demanda do mesmo, isto , quantas so as pessoas interessadas em adquirir o referido produto em relao a cada preo. Os dados coletados so modelados matematicamente esse modelo matemtico expresso por uma funo. A representao grfica de uma funo se constitui em um excelente recurso para a visualizao rpida e eficiente de cada situao proposta. O conceito de funo, junto com sua representao grfica, certamente um dos mais importantes em Matemtica e ferramenta poderosa na modelagem de problemas. Na busca de entendimento de fenmenos os mais variados, este conceito se faz presente. O CONCEITO DE FUNO Uma funo uma relao entre duas variveis x e y tal que o conjunto de valores para x determinado, e a cada valor x est associado um e somente um valor para y. *A relao expressa por y = f(x). *O conjunto de valores de x dito domnio da funo. *As variveis x e y so ditas, respectivamente, independente e dependente.

A relao entre as variveis x e y tem uma representao, de grande apelo visual, que evidencia propriedades da funo. Evidencia, por exemplo se as variveis esto em relao crescente (isto , aumento em x corresponde a aumento em y) ou se a variao de y maior ou menor que a variao de x, etc. ... Esta representao o grfico da funo. O CONCEITO DE GRFICO DE FUNO dada uma funo y = f(x) consideramos no plano, com sistema de coordenadas cartesianas, o conjunto de pontos (x,y). Este conjunto denominado grfico da funo f.

Funo do 1 grau qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elementopertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado. Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondncia de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondncia por pares ordenados seria: (1) Todos os elementos de x tm um correspondente em y. (2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Definio de uma funo do 1 grau dada por y=f(x)=ax+b com , e

Exemplo: 1)O grfico da funo determinada por f(x)=x+1: [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)=x+1 O conjunto dos pares ordenados determinados f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3

Exemplo de 2 aplicao : Determinao da raiz das funes a seguir: y = 4x + 2 y=0 4x + 2 = 0 4x = 2 x = 2/4 x = 1/2 A reta representada pela funo y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: 1/2 y = 2x + 10 y=0 2x + 10 = 0 2x = 10 (1) 2x = 10 x = 10/2 x=5 A reta representada pela funo y = 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5 Determinao da funo f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. SOLUO: Podemos escrever: 5 = 2.a + b -10 = 3.a + b Subtraindo membro a membro, vem: 5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b) 15 = - a a = - 15 Substituindo o valor de a na primeira equao (poderia ser na segunda), fica: 5 = 2.(- 15) + b b = 35. Logo, a funo procurada : y = - 15x + 35.

FUNO DO 2 GRAUA fun;co de segundo grau se destingue por ter a varivel elevada ao quadrado. Em uma empresa, o conhecimento, por exemplo, da receita para a comercializao de um determinado produto, ou seja, a relao entre as quantidades de mercadorias vendidas e o preo das mesmas fundamental para o dimensionamento correto de sua produo. Essa informao pode ser obtida por intermdio de um modelo matemtico representado por uma funo do segundo grau. O estudo dessa funo, portanto, muito importante do ponto de vista prtico, porque possibilita identificar de forma segura as relaes entre preo e quantidade de um determinado produto a ser ofertado no mercado. A anlise da representao grfica da funo quadrtica permite conhecer, por meio da determinao das coordenadas do vrtice da parbola, pontos de mximo ou mnimo, que podem estar associados receita mxima ou custo mnimo. E, alem disso, permite visualizao de intervalos de crescimento ou decrescimento.O grau de uma varivel independente dado pelo seu expoente. Assim, as funes de segundo grau so dadas por um polinmio de segundo grau, e o grau do polinmio dado pelo monmio de maior grau.Portanto, as funes de segundo grau tm a varivel independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente 2. O grfico que corresponde a essas funes uma curva denominada parbola.

DEFINIO Em geral, uma funo quadrtica ou polinomial do segundo grau expressa da seguinte forma:f (x) = ax2 + bx + c, onde a 0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. essencial que exista um termo de segundo grau na funo para que ela seja uma funo quadrtica, ou de segundo grau. Alm disso, esse termo deve ser o de maior grau da funo, pois se houvesse um termo de grau 3, isto , ax3, ou de grau superior, estaramos falando de uma funo polinomial de terceiro grau. Assim como os polinmios podem ser completos ou incompletos, temos funes de segundo grau incompletas, como:

f (x) = x2 f (x) = ax2 f (x) = ax2+ bx f (x) = ax2 + c

Como acontece com toda funo, para represent-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores Comeamos representando a funo quadrtica y = x2, que a expresso mais simples da funo polinomial de segundo grau. Se unirmos os pontos com uma linha contnua, o resultado uma parbola, como mostra a Figura 4, abaixo: Observando atentamente a tabela de valores e a representao grfica da funo y = x2 vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, o eixo de simetria do grfico.

Uma funo dita do 2 grau quando do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0. Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) Grfico da funo do 2 grau y = ax2 + bx + c : sempre uma parbola de eixo vertical .

EXEMPLO DE 2 APLICAES: Sabe-se que -2 e 3 so razes de uma funo quadrtica. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao grfico dessa funo, ento: a) o seu valor mximo 1,25 b) o seu valor mnimo 1,25 c) o seu valor mximo 0,25 d) o seu valor mnimo 12,5 *e) o seu valor mximo 12,5.

SOLUO: A funo quadrtica, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, so os zeros ou razes da funo. Portanto, poderemos escrever: y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3) y = a(x + 2)(x - 3) Como o ponto (-1,8) pertence ao grfico da funo, vem: 8 = a(-1 + 2)(-1 - 3) 8 = a(1)(-4) = - 4.a Da vem: a = - 2 A funo , ento: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3) y = -2x2 + 6x - 4x + 12 y = -2x2 + 2x + 12 Temos ento: a = -2 , b = 2 e c = 12. Como a negativo, conclumos que a funo possui um valor mximo. Isto j elimina as alternativas B e D. Vamos ento, calcular o valor mximo da funo. = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100

Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta a letra E.

Que nmero excede o seu quadrado o mximo possvel? a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2

SOLUO: Seja x o nmero procurado. O quadrado de x x2 . O nmero x excede o seu quadrado , logo: x - x2. Ora, a expresso anterior uma funo quadrtica y = x - x2 . Podemos escrever: y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x, ser o xv (abcissa do vrtice da funo). Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2 Logo, a alternativa correta a letra A .

Discriminante: na soluo de equaes de segundo grau, a expresso: b2 4ac . Grau: o maior expoente de x. Monmio: expresso algbrica formada por uma parte numrica, denominada coeficiente, e uma parte literal. Dois monmios originam um binmio. Translao: movimento direto em que cada ponto e sua imagem determinam retas paralelas. Valor absoluto: tambm chamado de mdulo de um nmero. o prprio nmero, se este nmero for positivo ou zero. E o oposto desse nmero, se o nmero for negativo. Assim: |2| = |2| = 2

FUNO EXPONENCIAL

Se caracteriza como funo exponencial aquela em que a varivel est no expoente. Os clculos relacionados determinao do capital, dos juros ou do montante em uma operao financeira so exemplos de aplicao da funo exponencial. O clcumo da depreciao de uma mquina tambm pode ser obtido por intermdio desse tipo de funo, Ainda, o aumento populacional que pode estar relacionado demanda de um produto pode ser determinado por uma funo exponencial. Dessa forma, dada a importncia das aplicaes da funo exponencial, considera-se que para uma boa compreenso do conceito, necessrio que sejam oferecidas muitas situaes-problema que simulem casos reais. Dizemos que uma funo exponencial quando a varivel se encontra no expoente de um nmero real, sendo que esse nmero precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condio usando a seguinte definio geral: f: RR tal que y = ax, sendo que a > 0 e a 1. O grfico de uma funo exponencial definido de acordo com o valor da base a, observe os dois grficos a seguir: a>0 0 (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3

Num polinmio P(x), do 3 grau, o coeficiente de x3 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1). Resoluo: Temos o polinmio: P(x)=x3+ax2+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3 Temos um sistema de trs variveis:

a + b+ c= -1 4 a+ 2 b+ c = - 8 9 a+ 3 b+ c = 3

Resolvendo esse sistema encontramos as solues: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinmio em questo P(x)= x3+9x2-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24 P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66

FUNO RACIONALRacionais Positivos e Racionais Negativos O quociente de muitas divises entre nmeros naturais um nmero racional absoluto.

Nmeros racionais positivos e nmeros racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois nmeros inteiros, com divisor diferente de zero. Por exemplo:

(+17) : (-4) =

um nmero racional negativo

Nmeros Racionais Positivos

Esses nmeros so quocientes de dois nmeros inteiros com sinais iguais.

(+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Nmeros Racionais Negativos

So quocientes de dois nmeros inteiros com sinais diferentes.

(-8) : (+5)

(-3) : (+5)

Nmeros Racionais: Escrita Fracionria

tm valor igual a racional .

e representam o nmero

Obs.: Todo nmero inteiro um nmero racional, pois pode ser escrito na forma fracionria:

Denominamos nmero racional o quociente de dois nmeros inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo nmero que pode ser colocado na forma fracionria, em que o numerador e denominador so nmeros inteiros.

EXEMPLO DE 2 APLICAES:

FUNO INVERSA

Para determinarmos se uma funo possui inversa preciso verificar se ela bijetora, pois os pares ordenados da funo f devem pertencer funo inversa f1 da seguinte maneira: (x,y) f -1 (y,x) f. Dado os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a funo AB definida pela frmula y = 2x 1, veja o diagrama dessa funo abaixo:

Ento: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)} Essa funo bijetora, pois cada elemento do domnio est associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa funo admite inversa. A sua funo inversa ser indicada por f -1: BA definida pela frmula x = (y-1)/2. Veja o diagrama abaixo:

Ento: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)} O que domnio na funo f vira imagem na f -1 e vice e versa. Dada uma sentena de uma funo y = f(x), para encontrar a sua inversa preciso seguir alguns passos. Dada a funo y = 3x 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira:

1 passo: isolar x. y = 3x 5 y + 5 = 3x x = (y + 5)/3 2 passo: troca-se x por y e y por x, pois mais usual termos como varivel independente a letra x. y = (x + 5)/3 Portanto, a funo f(x) = 3x 5 ter inversa igual a f 1 (x) = (x + 5)/3 Exemplos 1 Dada a funo f(x) = x a sua inversa ser: Isolando x: y = x y = x Invertendo x por y e y por x: y = x Portanto, f 1(x) = x Exemplo 2

Dada a funo

, a sua inversa ser:

Nessa resoluo iremos seguir o processo contrrio, veja: Trocando x por y e y por x:

Isolando y: x (3y 5) = 2y +3 3xy 5x = 2y + 3 3xy 2y = 3 + 5x

y (3x 2) = 3 + 5x

Portanto, a funo inversa da funo = .

ser f -1(x)

Somente as funes bijetoras apresentam inversa, pois qualquer nmero do domnio tem um nico correspondente no contra-domnio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma nica vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relao inversa, transformando o contradomnio em domnio, e o domnio em contra-domnio de uma funo. A expresso que representa essa troca chamada de funo inversa, e representada por f -1(x). Ex: 1. 2. 3. 4. 5. Portanto,

CONCEITO DE DERIVADAO conceito de funo que hoje pode parecer simples, o resultado de uma lenta e longa evoluo histrica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemticos Babilnios utilizaram tabelas de quadrados e de razes quadradas e cbicas ou quando os Pitagricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas mesma tenso com o seu comprimento. Nesta poca o conceito de funo no estava claramente definido: as relaes entre as variveis surgiam de forma implcita e eram descritas verbalmente ou por um grfico. S no sc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possvel transformar problemas geomtricos em problemas algbricos e estudar analiticamente funes. A Matemtica recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras cincias - os cientistas passam, a partir de observaes ou experincias realizadas, a procurar determinar a frmula ou funo que relaciona as variveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funes. Por outro lado, a introduo de coordenadas, alm de facilitar o estudo de curvas j conhecidas permitiu a

"criao" de novas curvas, imagens geomtricas de funes definidas por relaces entre variveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funes que Fermat deu conta das limitaes do conceito clssico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num nico ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traar uma tangente a um grfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na Histria da Matemtica como o " Problema da Tangente".

Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direco a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente curva no ponto P. Fermat notou que para certas funes, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao grfico devia ser uma reta horizontal, j que ao comparar o valor assumido pela funo num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) prximo de P, a diferena entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferena das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas ideias constituiram o embrio do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Clculo Diferencial". Contudo, Fermat no dispunha de notao apropriada e o conceito de limite no estava ainda claramente definido. No sc.XVII, Leibniz algebriza o Clculo Infinitsimal, introduzindo os conceitos de varivel, constante e parmetro, bem como a notao dx e dy para designar "a menor possvel das diferenas em x e em y. Desta notao surge o nome do ramo da Matemtica conhecido hoje como " Clculo Diferencial ". Assim, embora s no sculo XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do sc. XVII, com Leibniz e Newton, o Clculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensvel pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Cincia.

TECNICAS DE DERIVAOA derivada de uma funo y = f(x) num ponto x = x0 , igual ao valor da tangente trigonomtrica do ngulo formado pela tangente geomtrica curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo no ponto x0. A derivada de uma funo y = f(x), pode ser representada tambm pelos smbolos: y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma funo f(x) no ponto x0 dada por:

Algumas derivadas bsicasNas frmulas abaixo, u e v so funes da varivel x. a, b, c e n so constantes. Derivada de uma constante

Derivada da potncia

Portanto:

Soma / Subtrao

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da diviso

Potncia de uma funo

Derivada de uma funo composta

Bibliografia

vila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Anlise matemtica para licenciatura. So Paulo. Edgard Blcher. ISBN 85-212-0371-3. Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matemtica: Clculo e Anlise. Editora LTC. ISBN 978-85-2161546-0.