matemÁtica elementar – capÍtulo 2 · matemática elementar, fornecendo também ferramentas para...

E-books PCNA

Vol. 1

ELEMENTAR

CAPÍTULO 2 – INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO

MATEMÁTICA

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1 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2

SUMÁRIO

Apresentação ------------------------------------------------- 2

Capítulo 2 ------------------------------------------------------ 3

2. Intervalos, Inequações e Módulo -------------------- 3

2.1. Intervalos ---------------------------------------------- 3

2.1.1. Intervalos Limitados ------------------------------- 3

2.1.2. Intervalos Não Limitados ------------------------- 4

2.2. Inequações -------------------------------------------- 7

2.1.3. Propriedades da desigualdade -------------------- 7

2.3. Módulo ----------------------------------------------- 19

2.3.1. Propriedades --------------------------------------- 20

LISTA DE EXERCÍCIOS ---------------------------------- 24

GABARITO -------------------------------------------------- 27

Página | 2


Apresentação

Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de

cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências

Básicas (Física, Química e Matemática). Assistindo às aulas

no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso

auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para

enfrentar melhor o programa curricular do seu curso.

Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em

Matemática Elementar do PCNA. Este é o segundo de uma

série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante

o curso, o professor utilizará este material como apoio às

suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as

atividades propostas.

A série “E-books PCNA-Matemática” foi desenvolvida

com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de

Matemática Elementar, fornecendo também ferramentas

para facilitar o ensino e a aprendizagem do Cálculo

Diferencial e Integral que você irá encontrar em breve na sua

graduação.

Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de

Intervalos, Inequações e Módulo. É bom lembrar que não

se pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que

muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e

descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem

necessária.

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Capítulo 2

2. Intervalos, Inequações e Módulo

2.1. Intervalos

Intervalos são trechos contínuos da reta numérica.

2.1.1. Intervalos Limitados

Sejam a e b números reais com a <b:

a) Intervalo aberto de a até b:

Observe que, este intervalo é limitado por a e b, porém eles não pertencem ao intervalo. Assim, representamos na reta numérica com “bolinha aberta” e utilizamos os colchetes com abertura “para fora” para indicar que o intervalo é aberto. Caso, a e b pertencessem ao intervalo, veríamos o símbolo ≥ ou ≤, para indicar que a ou b pertencem aos intervalos, além disso, na reta numérica a representação seria com “bolinha fechada” como veremos adiante.

(𝑎, 𝑏) = ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

b) Intervalo fechado de a até b

Neste caso, a e b fazem parte do intervalo, tendo assim os símbolos ≤ e ≥, indicando que x é maior que a e menor que b.

a b

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[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

Leia-se: x pertence aos reias, tais que, x maior que a e menor que b.

c) Intervalo fechado em a e aberto em b:

[𝑎, 𝑏) = [𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

d) Intervalo aberto em a e fechado em b

(𝑎, 𝑏] = ]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

2.1.2. Intervalos Não Limitados

Os intervalos não limitados são aqueles em que não há um limite definido previamente, por exemplo, o conjunto dos números reais maiores que 1. Temos apenas um dos limites

a b

a b

a b

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definidos. Quando pensamos em números maiores que 1, podemos imaginar qualquer número até o infinito.

A noção de infinito é abstrata, mostra que existem tantos números maiores que 1 que não possível mensurar. Ao se deparar com +∞ ou -∞, lembre-se que não são números, e sim notações para intervalos não limitados.

a) Intervalo aberto de a até +∞

(𝑎, +∞) = ]𝑎, +∞[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 > 𝑎}

b) Intervalo fechado de a até +∞

[𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≥ 𝑎}

c) Intervalo aberto de −∞ até a

(−∞, 𝑎) = ]−∞, 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 < 𝑎}

d) Intervalo fechado de −∞ até a

a

a

a

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(−∞, 𝑎] = ]−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ 𝑎}

Exemplo 1: Dado o intervalo represente-o na reta numérica

𝒂) ]−2 , 5 ]

Solução:

𝒃) [−1 , 2 ]

Solução:

𝒄) ]−∞ , 4 [

Solução:

a

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Exemplo 2: Descreva o intervalo indicado na reta numérica:

𝑎) 𝐼 = [−2, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≥ −2}

Solução:

𝑏) 𝐼 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}

Solução:

2.2. Inequações

Inequação é uma expressão algébrica que contém sinal de desigualdade (< ; > ; ≤ ; ≥ ).

2.1.3. Propriedades da desigualdade

Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais:

1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os

lados da inequação não altera o sinal da mesma.

Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. Como

em: 𝑎 = −2; 𝑏 = 4; 𝑐 = −3.

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Solução:

𝑎 < 𝑏 → −2 < 4

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 → −2 − 3 < 4 − 3 → −5 < 1

Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐. Como

em: 𝑎 = 5 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 2.

Solução:

𝑎 > 𝑏 → 5 > −4

𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 → 5 + 2 > −4 + 2 → 7 > −2

2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por

um número POSITIVO, não altera o sinal da mesma.

Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então 𝑎. 𝑐 <

𝑏. 𝑐 e 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐. Como em: 𝑎 = −4; 𝑏 = 4; 𝑐 = 2.

Solução:

𝑎 < 𝑏 → −4 < 4

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𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 → −4 ∙ 2 < 4 ∙ 2 → −8 < 8

𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐→ −

4

2<

4

2→ −2 < 2

Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então 𝑎. 𝑐 >

𝑏. 𝑐 e 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐. Como em: 𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2; 𝑐 = 2.

Solução:

𝑎 > 𝑏 → 4 > 2

𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 → 4 ∙ 2 > 2 ∙ 2 → 8 > 4

𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐→

4

2>

2

2→ 2 > 1

3) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por

um número NEGATIVO, resulta na inversão do sinal da

desigualdade.

Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 0 então 𝑎. 𝑐 >

𝑏. 𝑐 e 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐. Como em: 𝑎 = −2; 𝑏 = 4; 𝑐 = −3.

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Solução:

𝑎 < 𝑏 → −2 < 4

𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 → −2 ∙ (−3) > 4 ∙ (−3) → 6 > −12

𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐 →

−2

−3>

4

−3 →

2

3> −

4

3

Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 < 0 então 𝑎. 𝑐 <

𝑏. 𝑐 e 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐. Como em: 𝑎 = 4; 𝑏 = 2; 𝑐 = −2.

Solução:

𝑎 > 𝑏 → 4 > 2

𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 → 4 ∙ (−2) < 2 ∙ (−2) → −8 < −4

𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐 →

4

−2<

2

−2 → −2 < −1

Obs.: As propriedades acima continuam válidas para

as desigualdades não estritas ≤ e ≥.

4) Desigualdade Triangular: |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|

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Exemplo 1: 𝑥 = 4; 𝑦 = −2.

|4 + (−2)| ≤ |4| + |−2| → |2| ≤ 4 + 2 → 2 ≤ 6

Obs.: |𝑥 + 𝑦| = |𝑥| + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem

simultaneamente positivos ou negativos.

5) |𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

Demonstração:

Se 𝑥 for positivo:

|𝑥| = 𝑥 → 𝑥 ≤ 𝑎

Se 𝑥 for negativo:

|𝑥| = −𝑥 → − 𝑥 ≤ 𝑎 → 𝑥 ≥ −𝑎

Então: 𝑥 ≤ 𝑎 E 𝑥 ≥ −𝑎, ou seja, −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

6) |𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎

Demonstração:

Se 𝑥 for positivo:

|𝑥| = 𝑥 → 𝑥 ≥ 𝑎

Se 𝑥 for negativo:

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|𝑥| = −𝑥 → − 𝑥 ≥ 𝑎 → 𝑥 ≤ −𝑎

Então 𝑥 ≥ 𝑎 OU 𝑥 ≤ −𝑎

7) √𝑥𝑛𝑛= {

|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Exemplo 1: Se 𝑥 = √222

Solução:

√42

= |𝑥| = |2| = 2

Exemplo 2: Se 𝑥 = √(−2)22

Solução:

√42

= |𝑥| = |−2| = 2

Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável que torna verdadeira a mesma. Este conjunto de valores é chamado conjunto solução da inequação. O conjunto solução da inequação representa um trecho contínuo da reta numérica, ou seja, é um intervalo.

Exemplo 1: Determine se os valores de 𝑥 = −3; 𝑥 = 0

e 𝑥 = 2 são soluções da inequação 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1.

Solução:

Substituindo 𝑥 = −3 na inequação:

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−3 + 3 < 5 ∙ (−3) → 0 < −15 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜

Substituindo 𝑥 = 0 na inequação

0 + 3 < 5 ∙ (0) → 3 < 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜

Substituindo 𝑥 = 2 na inequação:

2 + 3 < 5 ∙ (2) → 5 < 10 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜

Portanto 𝑥 = 2 é uma das soluções da inequação

Exemplo 2: Resolva as inequações abaixo e

represente o conjunto solução na reta numérica:

𝒂) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1

Solução:

𝑥 − 5𝑥 < −1 − 3

−4𝑥 < −4

4 𝑥 > 4

𝑥 > 1

1

(1, +∞)

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𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 > 1}

𝒃) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5

Solução:

Nesse caso, devemos separar em duas inequações, e realizar a interseção das soluções para que a solução seja válida para ambas as inequações. Interseção de dois intervalos é agrupar em um terceiro intervalo o que os dois intervalos têm em comum.

Separando em duas inequações temos:

𝐴) 13 ≥ 2𝑥 − 3

13 + 3 ≥ 2𝑥

2𝑥 ≤ 16 → 𝑥 ≤ 8

𝑆𝐴 = {𝑥 ≤ 8}

E (significa a interseção)

𝐵) 2𝑥 − 3 ≥ 5

2𝑥 ≥ 8 − 𝑥 ≥ 4

𝑆𝐵 = {𝑥 ≥ 4}

𝑥 ≤ 8

𝑥 ≥ 4

𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵 [4 , 8]

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𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 4 ≤ 𝑥 ≤ 8}

𝒄) |3𝑥 + 2| ≥ 5

Solução:

Da propriedade 6 temos:

3𝑥 + 2 ≥ 5 OU 3𝑥 + 2 ≤ −5

Lembre-se que OU em matemática significa união. União, é agrupar em um mesmo intervalo as soluções das duas inequações. Resolvendo as inequações separadamente:

𝐴) 3𝑥 + 2 ≥ 5

3𝑥 ≥ 3 → 𝑥 ≥ 1

B) 3𝑥 + 2 ≤ −5

3𝑥 ≤ −7 → 𝑥 ≤ −7

3

-7/3

1

-7/3 1

𝑥 ≥ 1

𝑥 ≤ −7

3

𝑆𝐴 ∪ 𝑆𝐵

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(−∞, − 7 3⁄ ] ∪ [1, +∞)

𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ −7

3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}

𝒅)(𝑥 − 3)4 ≤ 16

Solução:

(𝑥 − 3)4 ≤ 16 → √(𝑥 − 3)44≤ √16

4→ |𝑥 − 3| ≤ 2

Da propriedade 7

−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2 ∴ 𝑥 − 3 ≤ 2 E 𝑥 − 3 ≥ −2

Lembre-se que E em matemática significa interseção. Resolvendo as inequações:

𝐴) 𝑥 − 3 ≤ 2 → 𝑥 ≤ 5

𝐵) − 2 ≤ 𝑥 − 3 − 1 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≥ 1

1

5

1 5

𝑥 ≤ 5

𝑥 ≥ 1

𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵

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𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ |1 ≤ 𝑥 ≤ 5}𝑆 = [1 , 5]

𝒆) |2𝑥 − 5| < 3.

Solução:

Da propriedade 5) temos:

−3 < 2𝑥 − 5 < 3

Resolvendo sem separar as inequações:

−3 + 5 < 2𝑥 < 3 + 5

2 < 2𝑥 < 8

2

2< 𝑥 <

8

2

1 < 𝑥 < 4

1

4

1 4

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𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ| 1 < 𝑥 < 4}

𝑓) |6 − 2𝑥| ≥ 7.

Solução:

Da propriedade 6 temos:

𝐴) 6 − 2𝑥 ≤ −7

−2𝑥 ≤ −7 − 6

−2𝑥 ≤ −13 → 𝑥 ≥13

2

OU

𝐵) 6 − 2𝑥 ≥ 7

−2𝑥 ≥ 7 − 6

−2𝑥 ≥ 1 → 𝑥 ≤−1

2

-1/2

13/2

-1/2 13/2

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𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ| 𝑥 ≤−1

2 𝑜𝑢 𝑥 ≥

13

2}

2.3. Módulo

A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, representado por |𝑥| definido por:

|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

• O módulo de um número positivo ou nulo é o próprio

número

|4| = 4 ; |0| = 0

• O módulo de um número negativo é o oposto dele

mesmo

|−3| = −(−3) = 3 ; |−√5| = −(−√5 ) = √5

De acordo com a definição acima, para todo 𝑥 ∈ ℜ tem-se |𝑥| ≥ 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. Geometricamente, o módulo um número real é, na reta numérica, a distância entre este número e a origem.

0 -2 3

2 3

ℜ

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O número -2 está a 2 unidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distância à origem é 2. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de -2 é 2, indicado por |−2| =2.

O número 3 está a 3 unidades de medida à direita da origem. Assim, sua distância à origem é 3. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de 3 é 3, indicado por |3| =3.

Se considerarmos dois números reais 𝑥 e 𝑦 associados aos pontos 𝑋 e 𝑌 na reta real, então |𝑥 – 𝑦| corresponde a distância entre os dois pontos.

2.3.1. Propriedades 1) |𝑥| ≥ 0

2) |𝑥| = | − 𝑥|

3) |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|

4) |𝑥/𝑦| = |𝑥|/|𝑦| com 𝑦 ≠ 0

5) |𝑥| = |𝑦| 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦

6) √𝑥𝑛𝑛= {

|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

; 𝑥 ∈ ℛ

Observação:|𝑥 ± 𝑦| ≠ |𝑥| ± |𝑦|

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Exemplos:

1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo,

calcule:

𝑎) |−3 + 5| = | 2| = 2

𝑏) |−3 − 5| − |−3| = |−8| − |−3| = 8 − 3 = 5

𝑐) |(−2). 3| = |−2|. |3| = 2 . 3 = 6

𝑑) √(−3)2 = |−3| = 3

𝑒) √(−3)33 = −3

𝑓) |2 𝑥 + 1

𝑥| 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3

|2 (−3) + 1

−3| = |

−5

−3| =

| − 5|

| − 3|=

5

3

2) Sejam |𝑎| = 10, |𝑏| = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:

𝑎) |𝑎2. 𝑏|=|𝑎2|. |𝑏| = |𝑎|. |𝑎|. |𝑏| = 10.10.2 = 200

𝑏) |𝑎

𝑐| =

|𝑎|

|𝑐|=

10

| − 5|=

10

5= 2

𝑐) √𝑐22= |𝑐| = |−5| = 5

𝑑) √𝑐33= 𝑐 = −5

3) Resolva as equações abaixo:

𝑎) |𝑥 + 2| = 8

Solução:

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𝑠𝑒 𝑥 + 2 ≥ 0

|𝑥 + 2| = (𝑥 + 2) = 8 ∴ 𝑥 = 8 − 2 = 6

𝑠𝑒 𝑥 + 2 < 0

|𝑥 + 2| = −(𝑥 + 2) = 8

𝑥 + 2 = −8 ∴ 𝑥 = −8 − 2 ∴ 𝑥 = −10

Portanto 𝑥 = 6 ou 𝑥 = −10

𝑏) |2𝑥 + 1| = 3.

Solução:

se (2𝑥 + 1) ≥ 0 → |2𝑥 + 1| = 2𝑥 + 1 = 3

2𝑥 + 1 = 3 → 2𝑥 = 3 − 1 → 2𝑥 = 2 →

𝑥 =2

2= 1

se (2𝑥 + 1) < 0 → |2𝑥 + 1| = −( 2𝑥 + 1) = 3

-(2𝑥 + 1) = 3 → 2𝑥 + 1 = −3 →

2𝑥 = −4 → 𝑥 =−4

2→ 𝑥 = −2


𝑐) |4𝑥 + 1| = |5 − 2𝑥|

Solução:

Pela propriedade 5 temos:

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4𝑥 + 1 = ±(5 − 2𝑥)

• 4𝑥 + 1 = 5 − 2𝑥 → 6𝑥 = 4 → 𝑥 =2

3

• 4𝑥 + 1 = −5 + 2𝑥 → 2𝑥 = −6 → 𝑥 = −3

Portanto 𝑥 = −3 ou 𝑥 =2

3

𝑑) √𝑥2 = 8

Solução:

√𝑥2 = |𝑥| = 8

𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 → |𝑥| = 𝑥 = 8 ∴ 𝑥 = 8

𝑠𝑒 𝑥 < 0 → |𝑥| = −𝑥 = 8 ∴ − 𝑥 = 8 ∴ 𝑥 = −8


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LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Escreva na forma de intervalo cada representação

geométrica dada abaixo.

2) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de

intervalo:

a) {𝑥 ∈ 𝑅|6 ≤ 𝑥 ≤ 10}

b) {𝑥 ∈ 𝑅| − 1 < 𝑥 ≤ 5}

c) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ −4}

d) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 1}

3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma

geométrica:

a) [1

2, +∞)

b) (0, 7]

c) (−∞, 3)

d)[−6, +∞)

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4) Sendo A=]-3,4[ e B =[-1,6[, calcule 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 −

𝐵 𝑒 𝐵 − 𝐴.

5) Dados A = ]-3,2]; B = ]-1,4[ e C = (-∞, +∞) determine:

a) (𝐴 𝑈 𝐶) ∩ 𝐵

b) (𝐵 𝑈 𝐶) − 𝐴

c) 𝐴 – 𝐵

d) 𝐵 – 𝐶

e) (𝐶 – 𝐴) ∩ 𝐵

f) 𝐴 ∩ 𝐵

6) Resolva a seguinte inequação:

a) 4𝑥 − 43 − 2𝑥 − 2 > 3𝑥 + 13

b) 2𝑥 − 43 + 𝑥 + 14 > 𝑥 − 12 + 𝑥

c) 𝑥² + 1 < 2𝑥² − 3 ≤ −5𝑥

7) Resolva as equações:

a) |5𝑥 − 3| = 12 b) |3𝑥 + 2| = 5 − 𝑥 c) |3𝑥 + 1| = |𝑥 − 3| d) |𝑥2 − 6𝑥| = 9 e) 2|𝑥|2 + 3|𝑥| = 2

f) |𝑥|2 + |𝑥| − 6 = 0

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8) Elimine o módulo:

a) |𝑥 + 1| + |𝑥| b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1| c) |2𝑥 − 1| + |𝑥 − 2| d) |𝑥| + |𝑥 − 1| + |𝑥 − 2|

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GABARITO 1) a) (−2, 3] b) [4, +∞) c) (−∞, −5) d) (0, 1) 2) a) [6, 10] b) (−1, 5] c) [4, +∞) d) (−∞, −1)

3)

a) [1

2, +∞) -

b) (0, 7] -

c) (−∞, 3) -

d)[−6, +∞) -

4) 𝐴 ∪ 𝐵 = ] − 3, 6[ 𝐴 ∩ 𝐵 = [−1, 4[ 𝐴 − 𝐵 = ] − 3, −1[ 𝐵 − 𝐴 = [4, 6[

Página | 28


5) a) 𝐵 b) ] − ∞, −3] ∪]2, +∞[ c) ] − 3, −1] d) ∅ e) ]2, 4[ f) ] − 1, 2]

6) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < −58} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 > −17} c) 𝑆 = ∅

7) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < −6 𝑜𝑢 − 1 ≤ 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 6}

a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −9/5} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3/4 𝑜𝑢 𝑥 = −7/2} c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 + 3√2 𝑜𝑢 𝑥 = 3 − 3√2 𝑜𝑢 𝑥 = −3}

e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = ±1/2} f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2} 8)

a) 𝑆 = {−2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 11, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 02𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0

}

b) 𝑆 = {−1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1

−2𝑥 − 3, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 21, 𝑠𝑒 𝑥 > 2

}

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c) 𝑆 = {−3𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 1/2

−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 1/2 ≤ 𝑥 ≤ 23𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 2

}

d) 𝑆 = {

−3𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 0−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 + 1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 23𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 2

}

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