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Page 1: Matemática Elementar I - GOPEM · Matemática Elementar I Autor Leonardo Brodbeck Chaves Matemática Elementar I Caderno de Atividades 2009 Esse material é parte integrante do Aulas

MatemáticaElementar I

Autor Leonardo Brodbeck Chaves

MatemáticaElementar I

Caderno de Atividades

2009

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© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Todos os direitos reservadosIESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR

www.iesde.com.br

C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:

IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

CDD 510

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Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade

Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em

Eletrônica também pela UFPR.

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SumárioContagem | 11

1. A noção básica da Matemática: a contagem | 112. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 171. A adição | 172. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 211. A multiplicação | 212. A divisão | 23

Frações (I) | 251. As frações | 252. Resolução de problemas com frações | 283. Frações próprias e impróprias | 304. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 351. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 352. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 363. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 374. Multiplicação com frações | 405. Divisão com frações | 41

Potenciação | 431. Potenciação | 43

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Expressões numéricas | 471. Introdução | 472. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 531. Polígono | 532. Ângulos | 553. Triângulo | 554. Quadrilátero | 565. Perímetro de um polígono | 576. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 651. Unidade de área | 652. Áreas de figuras planas | 663. Volumes | 70

Razão e proporção | 751. Razão | 752. Proporção | 793. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 851. Grandezas diretamente proporcionais | 852. Grandezas inversamente proporcionais | 88

Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 951. Proporcionalidade composta | 952. Regra de três composta | 97

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Porcentagem e juro | 1051. Porcentagem | 1052. Juro | 111

Equações do 1.o grau | 1171. Introdução | 117

Equações do 2.o grau | 1251. Noção de equação do 2.o grau | 1252. Forma geral | 1253. Solução de uma equação do 2.o grau | 1274. Resolução de problemas do 2.o grau | 1375. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138

Sistemas lineares 2 x 2 | 1431. Introdução | 1432. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 1443. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 1444. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 1465. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 1516. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

Radiciação | 1591. Introdução | 1592. Quadrados perfeitos | 1603. Raiz quadrada | 161

Gráfico e função | 1631. Plano cartesiano | 1632. Função afim | 1643. Função quadrática | 168

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Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E

desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações

matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;

b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre

outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias

matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com

menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante

a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da

natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado

a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de

comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios

de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,

percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua

sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações

que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,

frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de

adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas

de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com

agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma

máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências

lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com

maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias

e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio

de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a

concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma

ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,

que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e

desenvolvimento para a sociedade.

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Multiplicação e divisão

1. A multiplicação1

A operação de multiplicação era efetuada por antigas civilizações, tais como a babilônica e a egípcia. No antigo Egito, por exemplo, há registros do emprego da palavra “sep” entre os números em uma multiplicação, que se traduzia por “vezes”.

A lista dos principais verbos que sugerem multiplicação é a seguinte:

duplicar, dobrar, triplicar, quadriplicar, quintuplicar, centuplicar, replicar, redobrar, repetir etc.

Exemplos:

1. Na sala de aula de Bruno, existem 5 filas com 6 alunos em cada fila.

1 As atuais notações para representarmos a idéia de multiplicação são “x” e “.”, em Matemática Elementar I as duas formas são utilizadas.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades22

a) Quantos alunos estão presentes na sala se ninguém faltou?

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 alunos

b) Quantos pés de alunos nós temos na sala?2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 60 pés

30 vezes

Logo, temos 60 pés de alunos.

Na situação que acabamos de exemplificar está envolvida mais uma das idéias da multipli-cação, que é a soma de parcelas iguais.

Mas existem outras situações relacionadas à idéia de multiplicação, como a idéia de com-binação.

2. Considere as cidades X, A e Y. Para ir de X até A existem 5 caminhos diferentes. Para ir de A a Y existem 3 caminhos diferentes. Quantos caminhos diferentes existem de X até Y?

X Y

b1

b2

b3

a1

a2

a3

a4

a5

A

As possibilidades de caminho são:

a1b1 a2b1 a3b1 a4b1 a5b1

a1b2 a2b2 a3b2 a4b2 a5b2

a1b3 a2b3 a3b3 a4b4 a5b5

No total, são 15 maneiras diferentes.

3. Um prédio residencial possui 6 andares, com 4 apartamentos por andar. Em cada aparta-mento temos 3 moradores. Responda:

a) Quantos apartamentos tem esse prédio?

6 . 4 = 24 apartamentos

b) Quantas pessoas moram nesse prédio?

24 . 3 = 72 pessoas

4. Joaquina é muito vaidosa. Ela possui 3 calças e 5 camisetas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?

3 . 5 = 15 maneiras diferentes.

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Multiplicação e divisão 23

5. O táxi de Antônio gasta em média 1 litro de gasolina por 15 quilômetros rodados. O tan-que do carro é de 42 litros. Quantos quilômetros Antônio pode rodar com o combustível de um tanque cheio?

15 . 42 = 630 quilômetros

6. Uma roda-gigante dá 3 voltas por minuto. Quantas voltas dá em meia hora?

meia hora = 30 minutos

3 . 30 = 90 voltas

2. A divisão2

Desde a Antigüidade a divisão era a partilha de uma determinada quantidade de objetos por um certo número de pessoas. Na evolução das idéias provavelmente foi substituindo-se por sinais até chegarmos ao processo atual da divisão.

Desse modo, a idéia de divisão é associada a situações ligadas aos verbos:

partir, repartir, fracionar, fragmentar, separar, dividir etc.

A divisão pode ser encarada também como a operação inversa da multiplicação.

Veja:

Se 12 x 5 = 60, então 60 : 5 =12 ou 60 : 12 = 5

Vamos acompanhar algumas situações em que usamos a divisão:

1. Uma caixa de bombons será dividida entre 4 irmãos. Se a caixa possui 20 chocolates, quantos cada um recebeu?

20 : 4 = 5 chocolates

Logo, cada irmão recebeu 5 chocolates.

2. Comprei 4 pneus e paguei R$480,00. Quanto custa cada pneu?

480 : 4 = 120

Logo, cada pneu custa R$120,00.

3. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$1.200,00 à vista, que pode ser parcelada em 5 vezes sem juros. Qual é o valor de cada parcela?

1200 : 5 = 240

Logo, cada parcela será de R$240,00.

2 As atuais notações para representarmos a idéia de divisão são “:” e “ ÷”, em Matemática Elementar I as duas formas são utili-zadas.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades24

Exercícios

1. Um prédio comercial possui 15 andares, com 8 conjuntos por andar e 12 pessoas por con-junto. Responda:

a) Quantos conjuntos tem esse prédio?

b) Quantas pessoas trabalham nesse prédio?

2. Maria é muito vaidosa. Ela possui 2 calças e 7 camisetas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?

3. Comprei 4 pneus e paguei R$600,00. Quanto custou cada pneu?

4. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$4.800,00 à vista, que pode ser parcelada em 6 vezes sem juros. Qual será o valor de cada parcela?

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Gabarito

Multiplicação e divisão

1. a) 120 conjuntos.

b) 120 x 12 = 1 440 pessoas.

2. 2 . 7 = 14 maneiras diferentes.

3. Cada pneu custou R$150,00.

4. Cada parcela será de R$800,00.

Gabarito

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

Anotações

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Frações (I)

1. As fraçõesAs frações foram criadas há mais de 3 500 anos, no antigo Egito, principalmente para

expressar medidas que não podiam ser demonstradas apenas com os números naturais. Ainda hoje as frações são muito usadas para expressar medidas.

Na linguagem comum, fração significa “parte”. Na Matemática, fração é um conceito com mais de um significado. Um desses significados relaciona-se com a noção de parte.

Observe as representações fracionárias das partes pintadas em relação à figura toda:

ou

Fração que corresponde Leitura

12 Um meio ou metade

ou

13 Um terço

ou

23 Dois terços

ou

14 Um quarto

ou

35 Três quintos

ou

17 Um sétimo

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades26

1.1 RepresentaçãoNa representação de um número fracionário usamos dois números inteiros separados por

uma barra horizontal chamada traço de fração.

Veja:

numerador

denominador

ab

O número de cima é chamado numerador e o número de baixo é chamado de denominador.

23

representa

a) O numerador indica o número de partes consideradas;

b) o denominador indica o total de partes em que o todo foi dividido.

1.2 NomenclaturaUsamos as palavras meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo para

as frações de denominadores 2 a 10.

Por exemplo:

27

Dois sétimos

34

Três quartos

18

Um oitavo

12

Um meio

310

Três décimos

Para denominadores maiores que 10, acrescenta-se à leitura dos denominadores a palavra avos. Veja alguns exemplos:

137

Um trinta e sete avos

711

Sete onze avos

72168

Setenta e dois cento e sessenta e oito avos

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Frações (I) 27

1.2.1 Frações decimaisAs frações cujos denominadores são potências de 10, chamadas de frações decimais,

recebem denominações especiais.

Acompanhe os exemplos:

110

Um décimo

1100

Um centésimo

11 000 Um milésimo

110 000 Um décimo de milésimo

Exercícios

1. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura.

a)

b)

c)

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades28

2. Ligue as frações indicadas às representações gráficas correspondentes.

25

15

17

33

3. Escreva a forma numérica de cada uma das frações:

a) Dois nonos

b) Doze centésimos

c) Três quartos

d) Sete treze avos

e) Quatro sextos

f ) Vinte e dois trinta e nove avos

2. Resolução de problemas com frações

1. Uma cachorrinha teve 12 filhotes. Desses, 34

eram machos. Quantos eram machos?

A quarta parte de 12 é 12 : 4 = 3.

Assim, 14

de 12 é igual a 3.

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Frações (I) 29

24

de 12 é igual a 2 x 3 = 6.

34

de 12 é igual a 3 x 3 = 9, que é o número de machos.

2. Antônio gasta 35

do seu salário com o aluguel. Se Antônio ganha R$850,00, quanto ele

gasta com o aluguel?

15

de 850 = 8505

= 170

35

de 850 = 3 x 170 = 510

Logo, Antônio gasta R$510,00 com o aluguel.

Exercícios

4. Calcule:

a) 12

de 420

b) 13 de 930

c) 23 de 1 800

d) 23 de 72

e) 56 de 330

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades30

3. Frações próprias e imprópriasObserve a classificação das frações nas figuras abaixo:

34

Fração própria, pois está relacionada com a parte de um todo, sendo menos que a unidade.

64

Fração imprópria, pois é maior que a unidade.

115

Fração imprópria, pois é maior que a unidade.

44

= 1É o inteiro, pois a fração 4

4 representa o

número 1.

Exercícios

5. Escreva a fração correspondente a cada uma das figuras:a)

b)

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Frações (I) 31

c)

4. Simplificação de fraçõesExistem frações que se referem a mesma parte do todo, por exemplo 1

2 e 2

4. Observe nas

figuras a seguir:

12

24

Para simplificar uma fração devemos determinar sua fração equivalente.

Uma maneira de simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um mesmo número quando houver fator comum. Caso esses termos não tenham fator comum, não é possível simplificar a fração. Neste caso, dizemos que a fração está na forma irredutível.

Veja alguns exemplos:

a) Simplificar 68

:

Dividimos o numerador e o denominador por 2:6 = 6 : 2 = 38 8 : 2 4

A fração 34

está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 4.

b) Simplificar 1525

.

Dividimos o numerador e o denominador por 5:

1525

15 : 525 : 5

35

= =

A fração 35

está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 5.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades32

c) Simplificar 21168

.

Dividimos o numerador e o denominador por 3 e depois por 7:

21168

= 21 : 3168 : 3

756

= = 7 : 756 : 7

= 18

A fração 18

está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 1 e 8.

Exercícios

6. Escreva as frações equivalentes para cada figura a seguir. Observe o modelo:

=

2 = 16 3

a)

=

=

b)

=

=

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Frações (I) 33

c)

=

=

7. Simplifique as frações a seguir:

a) 5

10

b) 69

c) 1624

d) 1428

e) 36

100

f ) 7296

g) 49

105

h) 40

100

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades34

Anotações

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Gabarito

Frações (I)

1. a) 2

12

b) 48

c) 26

2.

25

15

17

33

3. a) 29

b) 12

100

c) 34

d) 7

13

e) 46

f ) 2239

4. a) 210

Gabarito

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

b) 310

c) 1 200

d) 48

e) 275

5. a) 87

b) 94

c) 86

6. a) 3 = 16 2

b) 2 = 110 5

c) 15 = 625 10

7. a) 9

25

b) 9

12

c) 7

15

d) 25

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