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MatemáticaElementar I
Autor Leonardo Brodbeck Chaves
MatemáticaElementar I
Caderno de Atividades
2009
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C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 510
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Leonardo Brodbeck Chaves
Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em
Eletrônica também pela UFPR.
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SumárioContagem | 11
1. A noção básica da Matemática: a contagem | 112. O sistema de numeração decimal | 13
Adição e subtração | 171. A adição | 172. A subtração | 18
Multiplicação e divisão | 211. A multiplicação | 212. A divisão | 23
Frações (I) | 251. As frações | 252. Resolução de problemas com frações | 283. Frações próprias e impróprias | 304. Simplificação de frações | 31
Frações (II) | 351. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 352. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 363. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 374. Multiplicação com frações | 405. Divisão com frações | 41
Potenciação | 431. Potenciação | 43
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Expressões numéricas | 471. Introdução | 472. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47
Geometria (I) | 531. Polígono | 532. Ângulos | 553. Triângulo | 554. Quadrilátero | 565. Perímetro de um polígono | 576. Medida do comprimento da circunferência | 62
Geometria (II) | 651. Unidade de área | 652. Áreas de figuras planas | 663. Volumes | 70
Razão e proporção | 751. Razão | 752. Proporção | 793. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 851. Grandezas diretamente proporcionais | 852. Grandezas inversamente proporcionais | 88
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 951. Proporcionalidade composta | 952. Regra de três composta | 97
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Porcentagem e juro | 1051. Porcentagem | 1052. Juro | 111
Equações do 1.o grau | 1171. Introdução | 117
Equações do 2.o grau | 1251. Noção de equação do 2.o grau | 1252. Forma geral | 1253. Solução de uma equação do 2.o grau | 1274. Resolução de problemas do 2.o grau | 1375. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138
Sistemas lineares 2 x 2 | 1431. Introdução | 1432. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 1443. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 1444. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 1465. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 1516. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153
Radiciação | 1591. Introdução | 1592. Quadrados perfeitos | 1603. Raiz quadrada | 161
Gráfico e função | 1631. Plano cartesiano | 1632. Função afim | 1643. Função quadrática | 168
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Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e
desenvolvimento para a sociedade.
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Multiplicação e divisão
1. A multiplicação1
A operação de multiplicação era efetuada por antigas civilizações, tais como a babilônica e a egípcia. No antigo Egito, por exemplo, há registros do emprego da palavra “sep” entre os números em uma multiplicação, que se traduzia por “vezes”.
A lista dos principais verbos que sugerem multiplicação é a seguinte:
duplicar, dobrar, triplicar, quadriplicar, quintuplicar, centuplicar, replicar, redobrar, repetir etc.
Exemplos:
1. Na sala de aula de Bruno, existem 5 filas com 6 alunos em cada fila.
1 As atuais notações para representarmos a idéia de multiplicação são “x” e “.”, em Matemática Elementar I as duas formas são utilizadas.
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades22
a) Quantos alunos estão presentes na sala se ninguém faltou?
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 alunos
b) Quantos pés de alunos nós temos na sala?2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 60 pés
30 vezes
Logo, temos 60 pés de alunos.
Na situação que acabamos de exemplificar está envolvida mais uma das idéias da multipli-cação, que é a soma de parcelas iguais.
Mas existem outras situações relacionadas à idéia de multiplicação, como a idéia de com-binação.
2. Considere as cidades X, A e Y. Para ir de X até A existem 5 caminhos diferentes. Para ir de A a Y existem 3 caminhos diferentes. Quantos caminhos diferentes existem de X até Y?
X Y
b1
b2
b3
a1
a2
a3
a4
a5
A
As possibilidades de caminho são:
a1b1 a2b1 a3b1 a4b1 a5b1
a1b2 a2b2 a3b2 a4b2 a5b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b4 a5b5
No total, são 15 maneiras diferentes.
3. Um prédio residencial possui 6 andares, com 4 apartamentos por andar. Em cada aparta-mento temos 3 moradores. Responda:
a) Quantos apartamentos tem esse prédio?
6 . 4 = 24 apartamentos
b) Quantas pessoas moram nesse prédio?
24 . 3 = 72 pessoas
4. Joaquina é muito vaidosa. Ela possui 3 calças e 5 camisetas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
3 . 5 = 15 maneiras diferentes.
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Multiplicação e divisão 23
5. O táxi de Antônio gasta em média 1 litro de gasolina por 15 quilômetros rodados. O tan-que do carro é de 42 litros. Quantos quilômetros Antônio pode rodar com o combustível de um tanque cheio?
15 . 42 = 630 quilômetros
6. Uma roda-gigante dá 3 voltas por minuto. Quantas voltas dá em meia hora?
meia hora = 30 minutos
3 . 30 = 90 voltas
2. A divisão2
Desde a Antigüidade a divisão era a partilha de uma determinada quantidade de objetos por um certo número de pessoas. Na evolução das idéias provavelmente foi substituindo-se por sinais até chegarmos ao processo atual da divisão.
Desse modo, a idéia de divisão é associada a situações ligadas aos verbos:
partir, repartir, fracionar, fragmentar, separar, dividir etc.
A divisão pode ser encarada também como a operação inversa da multiplicação.
Veja:
Se 12 x 5 = 60, então 60 : 5 =12 ou 60 : 12 = 5
Vamos acompanhar algumas situações em que usamos a divisão:
1. Uma caixa de bombons será dividida entre 4 irmãos. Se a caixa possui 20 chocolates, quantos cada um recebeu?
20 : 4 = 5 chocolates
Logo, cada irmão recebeu 5 chocolates.
2. Comprei 4 pneus e paguei R$480,00. Quanto custa cada pneu?
480 : 4 = 120
Logo, cada pneu custa R$120,00.
3. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$1.200,00 à vista, que pode ser parcelada em 5 vezes sem juros. Qual é o valor de cada parcela?
1200 : 5 = 240
Logo, cada parcela será de R$240,00.
2 As atuais notações para representarmos a idéia de divisão são “:” e “ ÷”, em Matemática Elementar I as duas formas são utili-zadas.
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades24
Exercícios
1. Um prédio comercial possui 15 andares, com 8 conjuntos por andar e 12 pessoas por con-junto. Responda:
a) Quantos conjuntos tem esse prédio?
b) Quantas pessoas trabalham nesse prédio?
2. Maria é muito vaidosa. Ela possui 2 calças e 7 camisetas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
3. Comprei 4 pneus e paguei R$600,00. Quanto custou cada pneu?
4. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$4.800,00 à vista, que pode ser parcelada em 6 vezes sem juros. Qual será o valor de cada parcela?
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Gabarito
Multiplicação e divisão
1. a) 120 conjuntos.
b) 120 x 12 = 1 440 pessoas.
2. 2 . 7 = 14 maneiras diferentes.
3. Cada pneu custou R$150,00.
4. Cada parcela será de R$800,00.
Gabarito
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
Anotações
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Frações (I)
1. As fraçõesAs frações foram criadas há mais de 3 500 anos, no antigo Egito, principalmente para
expressar medidas que não podiam ser demonstradas apenas com os números naturais. Ainda hoje as frações são muito usadas para expressar medidas.
Na linguagem comum, fração significa “parte”. Na Matemática, fração é um conceito com mais de um significado. Um desses significados relaciona-se com a noção de parte.
Observe as representações fracionárias das partes pintadas em relação à figura toda:
ou
Fração que corresponde Leitura
12 Um meio ou metade
ou
13 Um terço
ou
23 Dois terços
ou
14 Um quarto
ou
35 Três quintos
ou
17 Um sétimo
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades26
1.1 RepresentaçãoNa representação de um número fracionário usamos dois números inteiros separados por
uma barra horizontal chamada traço de fração.
Veja:
numerador
denominador
ab
O número de cima é chamado numerador e o número de baixo é chamado de denominador.
23
representa
a) O numerador indica o número de partes consideradas;
b) o denominador indica o total de partes em que o todo foi dividido.
1.2 NomenclaturaUsamos as palavras meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo para
as frações de denominadores 2 a 10.
Por exemplo:
27
Dois sétimos
34
Três quartos
18
Um oitavo
12
Um meio
310
Três décimos
Para denominadores maiores que 10, acrescenta-se à leitura dos denominadores a palavra avos. Veja alguns exemplos:
137
Um trinta e sete avos
711
Sete onze avos
72168
Setenta e dois cento e sessenta e oito avos
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Frações (I) 27
1.2.1 Frações decimaisAs frações cujos denominadores são potências de 10, chamadas de frações decimais,
recebem denominações especiais.
Acompanhe os exemplos:
110
Um décimo
1100
Um centésimo
11 000 Um milésimo
110 000 Um décimo de milésimo
Exercícios
1. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura.
a)
b)
c)
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades28
2. Ligue as frações indicadas às representações gráficas correspondentes.
25
15
17
33
3. Escreva a forma numérica de cada uma das frações:
a) Dois nonos
b) Doze centésimos
c) Três quartos
d) Sete treze avos
e) Quatro sextos
f ) Vinte e dois trinta e nove avos
2. Resolução de problemas com frações
1. Uma cachorrinha teve 12 filhotes. Desses, 34
eram machos. Quantos eram machos?
A quarta parte de 12 é 12 : 4 = 3.
Assim, 14
de 12 é igual a 3.
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Frações (I) 29
24
de 12 é igual a 2 x 3 = 6.
34
de 12 é igual a 3 x 3 = 9, que é o número de machos.
2. Antônio gasta 35
do seu salário com o aluguel. Se Antônio ganha R$850,00, quanto ele
gasta com o aluguel?
15
de 850 = 8505
= 170
35
de 850 = 3 x 170 = 510
Logo, Antônio gasta R$510,00 com o aluguel.
Exercícios
4. Calcule:
a) 12
de 420
b) 13 de 930
c) 23 de 1 800
d) 23 de 72
e) 56 de 330
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades30
3. Frações próprias e imprópriasObserve a classificação das frações nas figuras abaixo:
34
Fração própria, pois está relacionada com a parte de um todo, sendo menos que a unidade.
64
Fração imprópria, pois é maior que a unidade.
115
Fração imprópria, pois é maior que a unidade.
44
= 1É o inteiro, pois a fração 4
4 representa o
número 1.
Exercícios
5. Escreva a fração correspondente a cada uma das figuras:a)
b)
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Frações (I) 31
c)
4. Simplificação de fraçõesExistem frações que se referem a mesma parte do todo, por exemplo 1
2 e 2
4. Observe nas
figuras a seguir:
12
24
Para simplificar uma fração devemos determinar sua fração equivalente.
Uma maneira de simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um mesmo número quando houver fator comum. Caso esses termos não tenham fator comum, não é possível simplificar a fração. Neste caso, dizemos que a fração está na forma irredutível.
Veja alguns exemplos:
a) Simplificar 68
:
Dividimos o numerador e o denominador por 2:6 = 6 : 2 = 38 8 : 2 4
A fração 34
está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 4.
b) Simplificar 1525
.
Dividimos o numerador e o denominador por 5:
1525
15 : 525 : 5
35
= =
A fração 35
está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 5.
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades32
c) Simplificar 21168
.
Dividimos o numerador e o denominador por 3 e depois por 7:
21168
= 21 : 3168 : 3
756
= = 7 : 756 : 7
= 18
A fração 18
está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 1 e 8.
Exercícios
6. Escreva as frações equivalentes para cada figura a seguir. Observe o modelo:
=
2 = 16 3
a)
=
=
b)
=
=
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Frações (I) 33
c)
=
=
7. Simplifique as frações a seguir:
a) 5
10
b) 69
c) 1624
d) 1428
e) 36
100
f ) 7296
g) 49
105
h) 40
100
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades34
Anotações
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Gabarito
Frações (I)
1. a) 2
12
b) 48
c) 26
2.
25
15
17
33
3. a) 29
b) 12
100
c) 34
d) 7
13
e) 46
f ) 2239
4. a) 210
Gabarito
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
b) 310
c) 1 200
d) 48
e) 275
5. a) 87
b) 94
c) 86
6. a) 3 = 16 2
b) 2 = 110 5
c) 15 = 625 10
7. a) 9
25
b) 9
12
c) 7
15
d) 25
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