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MatemáticaElementar I

Autor Leonardo Brodbeck Chaves

MatemáticaElementar I

Caderno de Atividades

2009

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:

IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

CDD 510


Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade

Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em

Eletrônica também pela UFPR.


Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E

desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações

matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;

b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre

outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias

matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com

menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante

a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da

natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado

a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais


(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de

comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios

de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,

percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua

sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações

que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,

frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de

adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas

de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com

agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma

máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências

lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com

maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias

e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio

de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a

concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma

ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,

que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e

desenvolvimento para a sociedade.


Grandezas proporcionais (I):

regra de três simples

1. Grandezas diretamente proporcionais Vamos considerar o seguinte problema:

Daniela foi ao armazém comprar 1 litro de leite e pagou R$3,00.

1. Quanto pagaria se comprasse 2 litros?

Pagaria 2 x R$3,00 = R$6,00.

2. E se Daniela comprasse 3 litros?

Pagaria 3 x R$3,00 = R$9,00.

Observe então:

Quantidade Preço1 litro R$3,00

2 litros R$6,00

3 litros R$9,00

4 litros R$12,00

5 litros R$15,00


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades86

Perceba que o que ocorre com o valor da capacidade ocorre também com o preço. Assim, podemos estabelecer as seguintes igualdades:

12

= R$3,00R$6,00

23

= R$6,00R$9,00

13

=

R$3,00R$9,00

etc.

Note que a razão entre dois valores quaisquer da primeira (quantidade) é igual à razão entre os dois termos correspondentes da segunda (preço).

Assim, dizemos que no exemplo da compra de leite por Daniela, as duas grandezas – quan-tidade e preço – são diretamente proporcionais.

Definição: duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os dois valores da primeira é igual à razão entre os dois valores correspondentes da segunda.

As grandezas envolvidas na compra de Daniela são diretamente proporcionais, ou seja, se a quantidade comprada por Daniela aumenta, o preço final também aumenta. Da mesma forma, se a quantidade comprada por Daniela diminui, o preço também diminui.

1.1 Regra de três simples diretaA resolução de problemas que envolvem duas grandezas diretamente proporcionais é feita

com o auxílio de uma regra chamada regradetrêssimplesdireta.

Vejamos alguns casos:

a) O preço de 5m de um determinado tecido é R$120,00. Qual é o preço de 8m do mesmo tecido?

Comprimento Preço

5m R$120,00

8m x

Neste caso, comprimento e preço são grandezas diretamente proporcionais.


Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 87

Então,

5m

8m =

120

x

5

8 =

120

x

5 . x = 8 . 120

5x = 960

x =960

5 x =

⇒

⇒ 1192

Resposta: O preço de 8m de tecido é R$192,00.

b) Um carro percorreu 240km em 3h20min. Nas mesmas condições, em quanto tempo esse carro percorrerá 300km?

3h20min = 3 x 60min + 20min = 200min

Distância Tempo240km 200min

300km x

Então,

240km

300km =

200min

x

240

300 =

200

x

240 . x = 300 . 200

2

⇒

440x = 300 . 200

x =60 000

240

x = 250min∴

Transformando 250min, temos aproximadamente 4h10min.

Resposta: O carro percorrerá 300km em 4h10min.



2. Grandezas inversamente proporcionaisVamos considerar o seguinte problema:

Um operário faz um serviço em 6 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria feito por dois operários?

Seria feito em 3 horas, ou seja, na metade do tempo gasto por um operário.

E por três operários?

Seria feito em 2 horas, ou seja, na terça parte do tempo gasto por um operário.

Pois bem, agora observe:

Operário Tempo1 6h

2 3h

3 2h

Perceba que o que ocorre com o número de operários ocorre de maneira inversa com o tempo. Se o número de operários aumenta, o tempo para realizar o serviço diminui. Portanto, operário e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Neste caso, podem-se estabelecer as seguintes igualdades:

1 operário 3h 1 operário 2h 2 operários 2h = = =

2 operários 6h 3 operários 6h 3 operários 3h

Definição: duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão inversa dos dois valores da segunda.

2.1 Regra de três simples inversa

Os problemas que envolvem duas grandezas inversamente proporcionais são resolvidos com o auxílio de uma regra chamada regradetrêssimplesinversa.



Acompanhe a resolução de alguns problemas:

a) Um automóvel, com velocidade de 80km/h percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse trajeto seria percorrido, se o carro estivesse com a velocidade de 64km/h?

Velocidade Tempo80km/h 4h

64km/h x

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Note que se a velocidade diminui, o tempo aumenta.

80km/h

64km/h =

x

4h

80

64 =

x

4

64 . x = 80 . 4

64x = 320

x =32

⇒

00

64

x = 5∴

Resposta: O automóvel percorrerá o trajeto em 5 horas.

b) Uma turma de 40 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local do acampamento, encontraram mais 10 alunos. Quantos dias durarão os alimentos com a nova turma?

Alunos Tempo40 10 dias

40 + 10 = 50 X

Aluno e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Se o número de alunos aumenta o tempo que os alimentos vão durar diminui.



2.1.1 Aplicando a regra de três em medidas agrárias

Para medirmos a área de sítios, fazendas, chácaras e terrenos em geral, usa-se unidade de medida de área chamada hectares (ha), are (a) e centiare (ca).

Para convertermos as unidades agrárias para o metro quadrado e vice-versa, precisamos saber que:

1ca = 1m2

1a = 100m2

1ha = 10 000m2

Exemplos:

a) Temos uma chácara medindo 2,5ha. Qual é a sua área em metros quadrados?

ha m2

1 10 000

2,5 x

Aplicando regra de três, temos:

12,5

= 10 000x

x = 2,5 10 000

x =

∴ .

25 000m2

40 alunos50 alunos

= x10 dias

4050

= x10

50 . x = 40 . 10

50

⇒

xx = 400

x = 40050

x = 8∴

Resposta:Os alimentos vão durar apenas 8 dias.



b) Temos uma fazenda medindo 65 000m2 de área. Qual é a sua área em hectares?

ha m2

1 10 000

x 65 000

Aplicando regra de três, temos:

1x

=10 00065 000

10 000x = 65 000

x =65 00010 000

x =

∴

6,5ha

Exercícios

1. Resolva o exercício a seguir:

Observe as tabelas a seguir e conclua se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. A seguir, complete as frases e as respectivas proporções com os valores indicados nas tabelas:

a)

Grandeza X Grandeza Y12 4

15 5

18 6

As grandezas X e Y são _____________ proporcionais, pois:

12 =

4

5 18 =

4

6e

15

18 =

6



b)

Grandeza A Grandeza B2 30

5 12

6 10

As grandezas A e B são _____________ proporcionais, pois:

2

5 =

30

2

6 =

10 e

6 =

10

12

2. Resolva os seguintes problemas:

a) Um tecido tem 15m de comprimento e custa R$450,00. Qual é o preço de 75m desse mesmo tecido?

b) Uma indústria gastou 600m de um determinado tecido para fazer 200 uniformes. Quantos metros desse tecido serão gastos para fazer 700 uniformes?

c) Uma indústria empregou 38kg de plástico para fabricar 300 carrinhos de brinquedo. Quantos carrinhos idênticos serão fabricados com 57kg de plástico?



d) Um automóvel, com velocidade de 90km/h, demora 6h para ir de uma cidade a outra. Com que velocidade deverá retornar para percorrer o mesmo trajeto em um prazo de 4h?

e) Uma casa é construída em 2 meses por 10 pedreiros. Em quantos dias a mesma casa seria construída por 15 pedreiros?

f ) Um carro, com velocidade de 45km/h, leva 3h20min para percorrer uma determinada distância. Em quanto tempo fará esse mesmo percurso com a velocidade de 72km/h?

g) Um jardineiro experiente tem de semear um campo de futebol medindo 64m de largura por 90m de comprimento. Quantos quilos de semente ele vai precisar, sabendo que um quilo é suficiente para 16m2?



Anotações


Gabarito

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples

1. a) diretamente

1215 = 45

1218 = 46e 1518 = 56

b) inversamente

25 = 1230

26 = 1030

e 56 = 1012

2. a)

Tecido Preço15m R$450,00

75m x

Quantidade de tecido e preço são grandezas diretamente proporcionais.

15m75m

= 450x

15 . x = 33 750

15x = 33 750

x = 33 75015

x =

⇒

⇒ 2 250

Resposta: 75m de tecido custam R$2.250,00.

b)

Tecido Uniformes600m 200

x 700

Quantidade de tecido e quantidade de uniformes são grandezas diretamente proporcionais.

600mx

= 200700

200 . x = 42 0000

x = 2 100m

⇒

Resposta: a indústria necessitará de 2 100m.

Gabarito


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

c)

Plástico Carrinhos de brinquedo38kg 300

57kg x

Quantidade de plástico e quantidade de carrinhos de brinquedo são grandezas diretamente proporcionais.

38kg57kg

= 300x

38 . x = 17 100

x = 450

⇒

Resposta: a indústria fabricará 450 carrinhos.

d)

Velocidade Tempo90km 6h

x 4h

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Então:

90x = 46

4 . x = 90 . 6

4x = 540

x = 5404

x =135

⇒

⇒

Resposta: o automóvel deverá retornar com velocidade de 135km/h.

e)

Pedreiros Tempo10 60 dias

15 x

O número de pedreiros e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Então:

1015 = x60

15 . x = 600

15x = 600

x = 60015

x =40

⇒

⇒

Resposta: 15 pedreiros irão demorar apenas 40 dias.


Gabarito

f ) 3h20min = 3 x 60min + 20min = 200min

Velocidade Tempo45km/h 200min

72km/h x

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Então:

4572 = x200

72 . x = 9 000

x = 125 m in

125 m in 2h8m in

⇒

≅

Resposta: fará o percurso em 2h8min.

g) Calculando a área total do campo de futebol:

A = 64 x 90

A = 5760m2

Quantidade Área1kg 16m2

x 5760m2

Quantidade e área são grandezas diretamente proporcionais.

Então:

1x

= 165760

→ 16 . x = 1 . 5760

16x = 5760

x = 576016

x = 360kg

Resposta: o jardineiro vai precisar de 360kg de sementes.


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Anotações


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