apostila - fundamentos de matemática elementar

Curso: Engenharia CivilDisciplina: Fundamentos de Matemática ElementarProfessora: Marcele Câmara Aluno (a): ________________________________________________ 2012/02

Fundamentos de Matemática Elementar

Profª. Marcele Câmara

Email : [email protected]

mailto:[email protected]


ÍNDICE

Página

Relação Binária 3

Exercícios de Fixação 5

Funções Reais 6


Função do 1º Grau

Exercícios de Fixação

Função do 2º Grau


12

18

23

31

Funções Composta e Função Inversa 37


Equação e Função Exponencial


Logaritmos e Função Logarítmica


42

45

47

49

Bibliografia 50

2


I - RELAÇÃO

1 - Par Ordenado

Definição: É um elemento de um conjunto formado por dois números reais a e b colocados entre parênteses e separados por vírgula, que se apresenta da seguinte forma:

(a, b)

Um par ordenado representa as coordenadas de um ponto P, onde o primeiro elemento do par representa a abscissa do ponto e o segundo elemento representa a ordenado do ponto P.

2 - Representação Gráfica

2.1 - Sistema Cartesiano Ortogonal

Definição: É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si, onde o eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

P(a, b)

Exemplo: Marque no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), B(-4, -5), C(0, 5), D(3, 0) e E(1/2, 5/2).

3

y 2˚ quadrante 1˚ quadrante

b

0 a x

3˚ quadrante 4˚ quadrante


2.2- Produto Cartesiano A B

Definição: É o conjunto A B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, sendo A e B dois conjuntos não vazios.

A B ={(x, y) / x A e y B}

Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, determine A B. Construa o Diagrama de setas e faça a representação gráfica.

Exemplo: Se A = [2,5] e B = {1}, determine A B.

Exemplo: Se A = [1,3] e B = [2,5], determine A B.

Exemplo: Se A = ]-2,1] e B = [3,5[, determine A B.

2.3- Produto Cartesiano B A

Definição: É o conjunto B A cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a B e o segundo elemento pertence a A, sendo A e B dois conjuntos não vazios.

B A ={(x, y) / x B e y A}

Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, determine B A. Construa o Diagrama de setas e faça a representação gráfica.

Exemplo: Se A = [2,5] e B = {1}, determine B A.

3 – Relação Binária de A em B

4


Definição: É todo subconjunto R de A B, sendo A e B dois conjuntos dados.

R é uma relação binária de A em B R A B

Exemplo: Dados A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}, quais são os elementos da relação R = {(x, y)/x < y} de A em B? Faça a representação gráfica e o diagrama de Venn.

4 – Domínio e Imagem

Definição: O conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a um conjunto R é chamado domínio da Relação.

Definição: O conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a um conjunto R é chamado Imagem da Relação.

Exemplo 1: Se A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4}, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(x, y) A B / y = 2x}?

Exemplo 2: Se A = {0,2,3,4} e B = {1,2,3,4,5,6}, qual é o domínio e a imagem da relação ?

5 - Exercícios de Fixação

5


1. Dados A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os

seguintes produtos:

a) c) e)

b) d) f)

2. Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, 3), B(0, -4), C(-4, -5), D(-1, 0), E(0, 5), F(5, 4), G(3, 0),

H(-3, 2) e I(1/2, 5/2).

3. Faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}

definidas por:

a) b)

c) d)

4. Estabelecer o domínio e a imagem das relações do exercício 3.

5. Determine o produto cartesiano dos conjuntos:

a) [-1,4] x {6}

b) {2; 2,5; 3} x [1,5[

c) [1,4] x [2,6]

d) ]-3,-1[ x ]2,6[

e) ]1,3] x [3,5[

II - FUNÇÕES REAIS

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1 – IntroduçãoNo estudo científico de qualquer fenômeno, sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis

ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas duas grandezas. Veja dois exemplos de situações do cotidiano.

Exemplo 1: O quiosque do Luiz vende empadas ao preço de R$ 1,50 a unidade. Como vende muitas empadas durante o verão, Luiz montou a seguinte tabela para facilitar seus cálculos:

Quantidade de Empadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Preço (R$) 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00 10,50 12,00 13,50 15,00

Nesse exemplo, estão sendo medidas duas grandezas: a quantidade de empadas vendidas e o respectivo preço. A cada quantidade de empada corresponde um único preço. Dizemos que o preço é função do número de empadas vendidas. Aqui é possível encontrar uma fórmula que estabelece a relação de interdependência entre preço (y) e a quantidade de empadas (x):

y = 1,50 . x

Exemplo 2: Para fretar um ônibus de excursão com 40 lugares paga-se ao todo R$ 360,00. Essa despesa deverá ser igualmente repartida entre os participantes. Para saber a quantia que cada um deverá desembolsar (y), basta dividir o preço total (R$ 360,00) pelo número de passageiros (x). A fórmula que relaciona y com x é:

Observe a tabela com alguns valores referentesa correspondência entre x e y:

O preço y que cada passageiro pagará pelo ônibus dependerá da quantidade de passageiros x que fará a excursão. Esse é um exemplo de função.

2 – Definição de Função

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Número de Passageiros (x) 4 12 15 18 20 24 36 40Preço por passageiro (y) 90 30 24 20 18 15 10 9


Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que associa a cada elemento x A um único elemento y B recebe o nome de função de A em B.

O conjunto de todos os valores admissíveis de x é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores resultantes de y é chamado de imagem da função.

Exemplo 1: Considere o conjunto A = {a,b,c,d,e} e B = {1,2,3,4,5,6,7}. A relação descrita pela tabela em que cada x A tem um único correspondente y B é uma função de A em B porque a todo elemento de A corresponde um único elemento de B.

x A

y B

a 2b 3c 5d 7e 1

Exemplo 2: Considere o conjunto A = {0,1,2,3} e B = {-1,0,1,2,3}. Vamos associar a cada elemento x A o elemento y B tal que y = x + 1.

Para cada elemento que x A, com exceção do 3, existe um só y B tal que y é o correspondente de x. Para o elemento 3 A não existe correspondente y B. Logo essa relação não representa uma função. Como exercício, represente essa relação pelo diagrama de Venn.

3 - Notação

Toda função é uma relação binária de A em B. Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x A, determina-se y B tal que (x, y) f, logo

f = {(x, y)/ x A, y B e y = f(x)}

Isso significa que dados os conjuntos A e B, a função tem a lei de correspondência y = f(x).Retornando ao exemplo 1 temos: f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 7, f(e) = 1.

4 - Domínio e Contradomínio

Definição: Seja f: A → B uma função. O conjunto A é chamado domínio de f, e o conjunto B é chamado contradomínio de f.

Exemplo: Sendo A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, a função f: A → B tal que f(x) = x + 1 tem domínio A e contradomínio B, ou seja, f = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)}

D(f) = A e CD(f) = B

8

Essa relação ainda poderia ser descrita pelo conjunto f de pares ordenados do tipo (x,y) em que x A e y B, e y é o correspondente de x:

f = {(a,2),(b,3),(c,5),(d,7),(e,1)}Como exercício represente essa relação pelo diagrama de Venn e determine o domínio e a imagem de f.

x y0 11 22 3


Observe que todo elemento x do domínio tem uma única imagem y no contradomínio, embora possam existir elementos no contradomínio que não são imagem de nenhum x do domínio. Note que no exemplo anterior 0 e 5 não são imagens de x A.

5 - Imagem

Definição: Se f: A → B é uma função, chama-se conjunto imagem de f o subconjunto Im do contradomínio constituído pelos elementos y que são correspondentes de algum x A. Retomando o exemplo anterior, temos:

Im(f) = {1,2,3,4}

6 - Determinação do Domínio

Muitas vezes se faz referência a uma função f, dizendo apenas qual é a lei de correspondência que a define. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, efetuando os cálculos, resulte um y real. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos: Dê o domínio das seguintes funções reais: y = 3x + 4 D = R

D = x ≥ 2 ou D = R

D = x ≥ 0 e x ≠ 1 ou

7 – Funções Iguais

Definição: Duas funções f: A B e g: C D são iguais se, e somente se, apresentarem:

i) domínios iguais (A = C)ii) contradomínios iguais (B = D)iii) f(x) = g(x) para todo x do domínio.

8 – Exercícios de Fixação9


1. Dê o domínio das seguintes funções reais:

2. Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1,0,1,2} em B = { -2,-1,0,1,2,3}.

3. Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {0,1,2} em B = {-1,0,1,2}.

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4. Quais das relações de R em R, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções ? Justifique.

5 - Em experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um camundongo

percorrer um labirinto, na n-ésima tentativa, era dado pela função minutos.a) Qual é o tempo necessário para o camundongo percorrer o labirinto na terceira tentativa? E na quinta tentativa?

b) Em qual tentativa o camundongo leva 3 minutos e 30 segundos para percorrer o labirinto?

6 - Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as

residências de um bairro seja dado pela função , em que x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros. Se forem necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que receberam, é:

a) 300b) 340c) 400d) 420e) 460

Respostas:

11


1.

2.

3.

4.

FUNÇÃO DO 1˚ GRAU

5. a) 7 min e 5,4 min = 5 min 24sb) n = 24

6. letra a.

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III - FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM

1 - Introdução

Antes de apresentar o conceito de função afim, veja dois exemplos de problemas envolvendo situações do dia a dia.

Exemplo 1: Luciana pegou um táxi para ir a faculdade que fica a 18 km de distância. O valor cobrado engloba o preço da parcela fixa (bandeirada) de R$ 4,80 mais R$ 1,70 por quilômetro rodado. Ou seja, ela pagou 18 . R$ 1,70 = R$ 30,60 pela distância percorrida mais R$ 4,80 pela bandeirada, isto é:

R$ 30,60 + R$ 4,80 = R$ 35,40.

Se a faculdade ficasse a 30 km de distância, Luciana teria pago:

30 . R$ 1,70 + R$ 4,80 = R$ 51,00 + R$ 4,80 = R$ 55,80.

Podemos notar que, para cada distância x percorrida pelo táxi, há certo preço p(x) para a corrida.O valor p(x) é uma função de x.Para encontrar a fórmula que expressa p(x) em função de x, fazemos:

p(x) = 1,70 . x + 4,80

que é um exemplo de função polinomial do 1º grau ou função afim.

Exemplo 2: Michel é vendedor da empresa “Tô mentindo” e recebe mensalmente um salário compostos de duas partes:

uma parte fixa, que corresponde ao salário mínimo; outra parte variável, que corresponde a comissão de 2% sobre o valor das vendas realizadas no mês.

Considerando o salário mínimo no valor de R$ 545,00 e que o salário total mensal de Michel não sofre qualquer desconto, qual o saláriodesse vendedor se suas vendas em certo mês somaram R$ 300 000,00 ?Solução:Para calcular quanto o vendedor recebeu de salário nesse mês, fazemos:

= 545 + 2% . 300 000 = 545 + 0,02 . 300 000 = 545 + 6000 = 6545

Portanto o salário de Michel nesse mês foi de R$ 6 545,00.

Observamos que, para cada total x de vendas no mês, há um certo salário s(x) pago ao vendedor. O valor s(x) é uma função de x. A fórmula que expressa s(x) em função de x é:

s(x) = 545 + 0,02 . x

que é exemplo de função afim.

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2 – DefiniçãoChama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada por uma

lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0.Na lei f(x) = ax + b, o número a é chamado coeficiente de x e o número b é chamado termo constante

ou independente. O gráfico de uma função afim é uma reta.

Exemplos: f(x) = 3x + 5, em que a = 3 e b = 5; f(x) = - x + 6, em que a = -1 e b = 6;

f(x) = - 2x - , em que a = -2 e b = - ;

f(x) = , em que a = e b = ;

f(x) = 3x, em que a = 3 e b = 0.

3 - Função Identidade

Definição: É uma aplicação de R em R que a cada elementox R associa o próprio x. Está função é representada por f(x) = xO gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1˚ e 3˚ quadrantes.A imagem é Im = R.

4 – Função Linear

Definição: É um caso particular da função do 1˚ grau definida por f(x) = ax, onde a 0 é um número real dado e b = 0. O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem.A imagem é Im = R.

Exemplos: a) f(x) = 3x, em que a = 3 e b = 0;b) f(x) = - x, em que a = -1 e b = 0;c) f(x) = - 2x, em que a = -2 e b = 0;

x

y

x

y

x

y

(a) (b) (c)

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x

y


5 – Função Constante

Definição: Quando em f(x) = ax + b temos a = 0, essa lei não define uma função afim, mas sim outro tipo de função denominada função constante. É a função cuja imagem consiste em um único número. Está função é representada por

f(x) = 0x + bou seja,

f(x) = b para todo x.

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, b).A imagem é o conjunto Im = {b}

Exemplo: Dê o domínio, a imagem e esboce o gráfico de f(x) = 5.Solução: D(f) = R e Im(f) = {3}

x

y

6 – CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Conjunto domínio: o domínio da função do 1º grau é o conjunto dos números reais: D(f) = R.Conjunto imagem: o conjunto imagem da função do 1º grau é o conjunto dos números reais: Im(f) = R.Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado coeficiente angular.Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado coeficiente linear.

7 – Zero da Função do 1º Grau (ou Raiz da Função)

Definição: É o valor de x que anula a função, ou seja, torna f(x) = 0.

Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = - 2x + 5 e representar a função geometricamente.Solução: - 2x + 5 = 0 - 2x = - 5 x = 5/2

15


8 – Gráfico

Exemplo 1: Construa o gráfico das seguintes funções:

a) y = 2x + 1 b) f(x) = - x + 3

x

y

x

y

Exemplo 2: O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado.

Solução: Seja x o número de unidades produzidas e C(x) o custo total correspondente. Nesse caso,

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x

y


Custo total = (custo unitário)(número de unidades) + custo fixo

C(x) = 50 . x + 200

que é o custo total em função do número x de unidades produzidas. O gráfico dessa função de custo é uma linha reta cuja ordenada aumentade 50 unidades cada vez que a abscissa aumenta de 1.

9 – Função Crescente

Definição: Uma função y = f(x) é crescente, para todo x D se, e somente se para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao seu domínio, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2).

10 – Função Decrescente

Definição: Uma função y = f(x) é decrescente, para todox D se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentesao seu domínio, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Exemplos: Construa o gráfico das funções e verifique se são crescentes ou decrescentes:

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a) f(x) = x + 2 b) f(x) = - 2x + 3

x

y

x

y

Exemplo: Conhecendo a função determinar:a) coeficientes angular e linearb) se a função é crescente ou decrescentec) f(-1) e f(2)d) x para que se tenha f(x) = 20

Exemplos: Determinar a lei da função que é do tipo f(x) = ax + b e calcular f(2), sabendo que f(1) = 2 e f(3) = 8.

11 - INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE

Considerando f(x) e g(x) funções do 1º grau, chamamos de inequação-produto uma desigualdade do tipo:

Ex.: Resolver a inequação-produto:

a) (x – 3).(x + 6) > 0

b) (3x – 12).(-2x + 6) 0

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Considerando f(x) e g(x) funções do 1º grau, chamamos de inequação-quociente uma desigualdade do tipo:

Ex.: Resolver a inequação-quociente:

a)

b)

12 - Exercícios de Fixação

1. Construa o gráfico cartesiano das funções:

a) y = 2x –1 b) y = 3x + 2 c) y = - x + 1 d) y =

2. Uma empresa recebeu 5750 currículos de profissionais interessados em participar do processo de seleção para preenchimento de vagas de estágios. O departamento de Recursos Humanos (RH) da empresa é capaz de, por meio de uma primeira triagem, descartar 300 currículos por semana, até que sobrem 50 nomes de candidatos que participarão do processo de seleção.a) Como se expressa a quantidade de currículos (y) existentes após x semanas do inicio da triagem feita pelo RH ?b) Após quantas semanas serão conhecidos os nomes dos 50 candidatos ?

3. Em uma cidade, a empresa de telefonia está promovendo a linha econômica. Sua assinatura é R$ 20,00, incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para telefone fixo. O tempo de ligação excedente é tarifado em R$ 0,10 por minuto.a) Se x é o número de minutos excedentes, qual é a lei de formação da função que representa o valor (v) mensal da conta ? b) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80, 120 e 200 minutos em ligações locais.

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4. Um vendedor recebe um salário fixo e mais uma parte variável, correspondente à comissão sobre o valor total vendido em um mês. O gráfico seguinte informa algumas possibilidades de salário em função das vendas.

a) Encontre a lei da função cujo gráfico é essa reta.

b) Qual é a parte fixa do salário ?

c) Alguém da loja disse ao vendedor que, se ele conseguisse dobrar as vendas, seu salário também dobraria. Isso é verdade ? Explique.

5. Durante uma década, verificou-se que uma empresa apresentou um decréscimo linear no quadro de funcionários, como mostra o gráfico seguinte:

a) Qual era o número de funcionários dessa empresa em 2007 ?

b) Qual foi a perda de funcionários de 2001 a 2011 ?

6. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 5 000,00 e um custo variável de R$ 60,00 por unidade. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado.

7. Cintia leu a seguinte informação numa revista:“Conhece-se há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em

função da altura: onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros, k = 4,

para homens e k = 2 para mulheres.”a) Cintia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k = 2 e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo de seu peso ideal. Calcule a altura de Cintia.

8. A academia Cia. Do Corpo cobra uma Taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A academia Energia e Saúde cobra uma taxa de inscrição de R$ 70,00 e uma mensalidade de R$ 40,00. E a academia Oficina do Corpo não cobra taxa de inscrição, mas cobra uma mensalidade de R$ 60,00. a) Expresse o valor total pago y por um aluno em função do tempo t em meses.b) Qual academia oferece o menor custo para um aluno que deseja “malhar” durante um ano ? Por quê ?9. Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d’água; no dia 21, está apenas com 164 milhões de litros.a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo.b) Quanta água havia no reservatório no dia 8?

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10. Uma pizzaria oferece serviço de entrega e cobra por isso uma taxa fixa de R$ 1,50 mais R$ 0,60 por quilometro rodado no trajeto entre o estabelecimento e o local da entrega.a) Qual será o valor da taxa se o local da entrega for a 13 km da pizzaria? E se o local for a 8,5 km? b) Escreva uma função que permita calcular o valor v da taxa de entrega em função da distância d percorrida.

11. Um técnico de informática, que presta serviços a empresas, realizou um trabalho em 3horas e cobrou R$ 130,00. Sabendo que esse técnico cobra R$ 30,00 por hora de trabalho mais um valor fixo, escreva uma função que represente o preço p que ele cobra por h horas de trabalho.

12. Seu Renato assustou-se com sua última conta de celular. Ela veio com o valor 250,00 (em reais). Ele, como uma pessoa que não gosta de gastar dinheiro à toa, só liga nos horários de descontos e para telefones fixos (PARA CELULAR JAMAIS!). Sendo assim a função que descreve o valor da conta telefônica é P = 31,00 + 0,25t, onde P é o valor da conta telefônica, t é o número de pulsos, (31,00 é o valor da assinatura básica, 0,25 é o valor de cada pulso por minuto). Quantos pulsos seu Renato usou para que sua conta chegasse com este valor absurdo (250,00)?

a) 492 b) 500 c) 876 d) 356

13. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$140,00 e R$20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$110,00 e R$25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré-estabelecido. Vamos determinar: a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação os dois planos se equivalem.

14. Diga se cada uma das funções f: R R é crescente ou decrescente:

a) y = - x + 3 b) f(x) = c) g(x) = x – 5

d) y = 2x e) h(x) = x f) f(x) = - x3

15. Construa o gráfico das seguintes funções:

16. Construa o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = b) g(x) =

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17. Para ser aprovado, um aluno precisa ter média maior ou igual a 5. Se ele obteve notas 3 e 6 nas provas parciais (que têm peso 1, cada uma), quanto precisa tirar na prova final (que tem peso 2) para ser aprovado?

18. As tarifas praticadas por duas agências de locação de automóveis, para veículos idênticos, são:Agência A: R$144 por dia (seguros incluídos) + R$ 1,675 por km rodado.Agência B: R$141 por dia (seguros incluídos) + R$ 1,70 por km rodado.

a) Para um percurso diário de 110 km, qual agência oferece o menor preço?

b) Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência A do que na B.

19. (Mack-SP) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Qual o valor de f(3)?

20. Resolva as inequações:

a) (-3x + 3).(- x + 5) < 0b) (2x – 1).(-5x + 10) 0c) (x + 1).(x - 2) > 0

d)

e)

Respostas:

1.a) b)

x

y

x

y

c) d)

22


x

y

x

y

2. a) Após x semanas foram descartados 300x currículos e, dos 5750 iniciais, sobram 5750 – 300x. Entao, y = 5750 – 300x, b) 19 semanas;

3. a) v(x) = 20 + 0,10 . x; b) v(80) = 20, pagando somente a assinatura, pois não alcançou os 100 minutos de franquia. R$ 20,00. v(120) = 20 + 0,10 . 20 = 22, R$ 22,00 e v(200) = 20 + 0,10 . 100 = 30, R$ 30,00;

4. a) y = 0,05x + 300, b) R$ 300,00, c) Não. Se as vendas fossem iguais a 2x, o salário seria y = 0,05.2x + 300 = 0,1x + 300, que não é o dobro do salário para vendas iguais a x;

5. a) 1440, b) 400;

6. C(x) = 60x + 5000; Gráfico:

7. a) 1,64m;

8. a) Academia Cia. Do Corpo → y = 50x + 60, Academia Energia e Saúde → y = 40x + 70, Academia Oficina do Corpo → y = 60x, b) Durante 1 ano, o aluno matriculado na academia Cia. Do Corpo vai pagar R$ 660,00, se for para a academia Energia e Saúde pagará R$ 550,00 e se for para a academia Oficina do Corpo pagará R$ 720,00, assim a que oferece menor custo em um ano é a Academia Energia e Saúde;

9. a) f(t) = -4t + 248; b) No dia 8 havia no reservatório 216 milhões de litros d’água;

10. a) R$ 9,30 e R$ 6,60, b) v(d) = 1,50 + 0,60d;

11. p( h ) = 30h + 40;

12. c;

13. a) yA = 140 + 20x e yB = 110 + 25x, b) yA = yB quando 140 + 20x = 110 + 25x → 20x – 25x = 110 – 140 → - 5x = - 30 → 5x = 30 → x = 6 consultas.

14. decrescente: a, f.; crescente: b, c, d, e;15.

23


17. x >= 5,25.

18. a) A agência B oferece o menor preço.b) x > 120.

19. -1.

20. a)

b)

c)

d)

e)

24


IV - FUNÇÃO DO 2˚ GRAU OU QUADRÁTICA

1 - Introdução

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções. Veja a resolução do seguinte problema:

Exemplo 1: Um campeonato de futebol vai ser disputado por 5 clubes pelo sistema em que todos jogam contra todos em dois turnos. Vamos verificar quantos jogos serão realizados. Contamos o número de jogos que cada clube fará “em casa”, ou seja, no seu campo: 4 jogos. Como são 5 clubes, o total de jogos será 5 . 4 = 20 jogos.Se o campeonato fosse disputado por 20 clubes,poderíamos calcular quantos jogos seriam realizados usando o mesmo raciocínio: 20 . 19 = 380 jogos

Enfim, para cada número de clubes (x), épossível calcular o número de jogos do campeonato (y). O valor de y é função de x.A regra que permite calcular y a partir de x é a seguinte: y = x . (x - 1), ou seja, y = x2 – x

Esse é um exemplo de função polinomial do 2º grau ou função quadrática.

2 – Recordando: Equação do Segundo GrauDefinição: Toda equação representada na forma com a 0 é chamada de equação de 2º

grau.

Exemplos:

a) b) c)

d)e) f)

Resolução de equações do Segundo grau25


Temos sempre que lembrar que resolver uma equação na variável x significa determinar o valor de x

que satisfaça a equação dada.

No caso de uma equação de 2º grau do tipo , os valores de x que satisfazem esta

equação são chamados de raízes da equação e são obtidos pela “Fórmula de Bhaskara”.

Podemos optar por calcular os valores que estão dentro da raiz quadrada separadamente, então

dizemos b2 – 4ac = (lê-se, Delta ou Discriminante). A fórmula fica: .

Numa equação de 2º grau:

Se > 0, teremos duas raízes reais e diferentes

Se = 0, teremos duas raízes reais e iguais;

Se < 0, não teremos raízes reais.

Tipos de equações do Segundo grau

Equações Completas

Quando a equação apresentar todos os coeficientes a, b e c, diferentes de 0, a equação é denominada

equação completa do segundo grau.

Neste caso, o melhor método para a determinação das raízes da equação é utilizar a “Fórmula de Bhaskara”

descrita acima.

Toda equação de 2º grau pode ser resolvida com a utilização desta fórmula. Portanto devemos

começar a resolver uma equação de 2º grau identificando os coeficientes a, b e c.

Exemplo: Calcule as raízes da equação . Solução: Coeficientes: a = 1, b = - 4 e c = 3, substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

Logo o conjunto solução da equação é S = {1,3}.

Equações Incompletas

26


Quando uma equação do segundo grau apresentar o coeficiente b = 0, o coeficiente c = 0 ou os dois

coeficientes iguais a zero, dizemos que a equação é incompleta.

Exemplo:a) b) c) d) e)

Embora as soluções de equações incompletas também posam ser feita pela fórmula Bhaskara,

existem para elas, métodos mais simples de solução. Vejamos:

1.º.Caso: Quando c = 0

A equação é do tipo . A variável x é um fator comum, portanto podemos colocá-la em

evidência: .

Neste caso as raízes da equação são: e

Exemplo: Calcule as raízes da equação Solução: Como c = 0, então: x1 = 0

Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = 2 e o conjunto solução é S = {0,2}.

2.º.Caso: Quando b = 0.

A equação é do tipo . Isolando a variável x no primeiro membro, obtemos;

Exemplo: Calcule as raízes da equação

Solução:

Logo as raízes da equação são: x1 = 5 e x2 = -5 e o conjunto solução é S = {-5,5}.

3.º.Caso: Quando c = 0 e b = 0

27


A equação é do tipo . Neste caso as raízes da equação serão e e o conjunto solução é S = {0}.

Exemplo: Calcule as raízes da equação

Solução:

Logo o conjunto solução é S = {0}.

3 – Definição

É uma função f: R R dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Exemplos: f(x) = x2 – 3x + 2 (a = 1, b = -3 e c = 2). f(x) = 2x2 + 4x – 3 (a = 2, b = 4 e c = -3). f(x) = x2 – 4 (a = 1, b = 0 e c = -4). f(x) = -2x2 + 5x (a = -2, b = 5 e c = 0). f(x) = -3x2 (a = -3, b = 0 e c = 0).

Valor Numérico de uma Função do Segundo Grau

Para se calcular o valor numérico de uma função f(x) = a.x2 + bx + c para xn é dado por

f(xn) = a.(xn)2 + b.xn + c.

Exemplo: Calcule o valor numérico da função , para f(3).Solução:

4 – Raízes da Função Quadrática

Definição: São os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Para determinar os zeros ou raízes de uma função quadrática, basta resolver a equação do 2˚ grau ax2 + bx + c = 0.

O número de raízes da equação do segundo grau fica condicionado ao valor do , onde = b2 – 4ac. Assim, temos três casos:

Se > 0, a equação terá duas raízes reais distintas, que são: e .

Se = 0, a equação terá duas raízes reais iguais, que são: .

Se < 0, então a equação não possui raízes reais.

Os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.

Exemplo: Calcule as raízes da função Solução: Fazendo , e aplicando Bhaskara, temos:

28


Logo as raízes da equação são: x1 = 12 e x2 = - 20 e S = { -20,12}.

Exemplo: Calcule as raízes da função

Solução: Fazendo , temos: e

Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = -2 e S = { -2,0}.

5 - Gráfico da Função do Segundo Grau

O gráfico da função definida de IR em IR por: . É uma curva chamada

parábola. Ao observarmos uma montanha russa, podemos visualizar uma parábola.

Ao construir o gráfico de uma função quadrática, notaremos sempre que:

Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada

para cima;

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada

para baixo;

A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado: vértice.

Vértice

29


Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de ordenada mínima (a > 0).

A este ponto V (x, y), chamamos de vértice da parábola. É o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.

Para calcular as coordenadas do vértice usamos:

Para calcular o valor da abscissa x e Para calcular o valor da ordenada y,

Portanto: .

Tome Nota

Podemos calcular o valor da ordenada y do vértice, substituindo na função, o valor da abscissa x

encontrado anteriormente e calcular seu valor numérico.

A fórmula só é interessante quando você já calculou o valor do delta ou quando o valor do x é

na forma de fração.

Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função

Para calcular o valor da abscissa x Para calcular o valor da ordenada y

O vértice da parábola é: .

Pontos notáveis do gráfico

Para construir o gráfico da função de 2º grau devemos seguir o mesmo procedimento utilizado para

função do primeiro grau, porém é importante você determinar alguns pontos da parábola que facilitarão a

construção do gráfico.

Determinamos as raízes da função;

Determinamos as coordenadas do vértice;

Atribuímos a x dois valores menores e dois

30


maiores que o x do vértice e calculamos os

correspondentes valores de y (Caso seja necessário).

Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano.

Traçamos o gráfico.

Exemplo: Construa o gráfico da função

Cálculo das raízes Cálculo

Vértice

Dois maiores e dois menores que xv

Construção do Gráfico.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

INEQUAÇÃO DO 2˚ GRAU

A resolução de uma inequação do 2º grau, isto é, a determinação dos valores de x que a satisfazem, envolve o estudo dos sinais de uma função do 2º grau.

31


Ex.: a) x2 – 6x + 8 < 0

b) x2 – 2x + 1 > 0

6 – Exercícios de Fixação

1. Seja a função y = , o seu gráfico terá concavidade:

a) voltada para cima b) voltada para baixo c) será uma reta d) não terá

concavidade

2. Se uma função do 2° grau tiver a > 0 e o valor do discriminante (∆) < 0, ela possuirá o gráfico:

a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x.

b) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x.

c) com concavidade voltada para cima e nenhum ponto de intercessão com o eixo x.

d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x.

3. Se uma função do 2° grau tiver a < 0 e o valor do discriminante (∆) > 0, ela possuirá o gráfico:

a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x.

b) com concavidade voltada para cima e 1 ponto de intercessão com o eixo x.

c) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x.

32


d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x.

4. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e o valor do discriminante (∆) = 0.

5. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e raízes -1 e 4.

6. Construa o gráfico das funções abaixo:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f) y =

7. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50 – x/2. Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de R$ 1250,00, qual foi a quantidade vendida?

8. A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?

9. Dada a função , faça o que se pede:

a) Identifique a concavidade. b) Determine os zeros da função. c) Determine o vértice da função. d) Identifique o valor máximo ou o valor mínimo da função. e) Esboce o gráfico de f.

10. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no ano x é

dado pela função onde x = 0 corresponde ao ano de 2000, x = 1 corresponde ao ano de

2001 e assim sucessivamente.

a) O que e quanto f(0) representa?

b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2005.

c) Qual a quantidade de aparelhos de fax vendidos em 2008?

11. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por . Nessas condições, calcule:a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo.b) o valor mínimo do custo.

12. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula: L = R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que

33


e . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo ?

13. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por , em que x é a quantidade mensal vendida, qual o lucro mensal máximo possível?

14. (UFPB/PSS) A função representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações:I) Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro.II) Se vender exatamente 4 unidades, a empresa terá lucro máximo.III) Se vender 5 unidades, a empresa terá prejuízo.Estão correta(s) apenas:a) I b) II c) III d) I e II e) II e III

15. Resolva as inequações:

a) b) c)

Respostas: 1. b;

2. c;

3. d;

4. e 5. Resposta pessoal;

6.

x

y

x

y

(a) (b)34


x

y

x

y

(c) (d)

x

y

x

y

(e) (f)

7. 50;

8. Valor mínimo; -25/4;

9. a) Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima;

b) x =1 e x = 3; c) V(2, -1); d) ym = -1, e)

x

y

10. a) 50 fax foram vendidos em 2000, b) f(5) = 95, c) f(8) = 146;

11. a) Xv = 40 unidades,

35


b) Cv = 1400;

12. Xv = 2500 unidades; 13. Lucro máximo = 220;

14. I) 700, portanto lucro, II) lucro máximo: Xv = -1600/-400 = 4, portanto é verdadeira, III) L(5) = 1300, portanto lucro. Logo resposta d;

15. a)

b)

c)

V - FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA

1- FUNÇÃO COMPOSTA

Def.: Sejam três conjuntos distintos A, B e C, tal que entre eles existem as seguintes funções: f: A → B e g: B → C. Chama-se função composta de g em f à função h: A → C, indicada por h(x) = g(f(x)).

Uma função composta também pode ser indicada por g o f (lê – se: g composta com f), assim:

O domínio de g o f é o conjunto de todos os números x no domínio de f, tal que f(x) esteja no domínio de g.

A composta g o f pode ser representada graficamente ou pelo diagrama, vejamos um exemplo da representação de uma função composta utilizando diagramas:

Ex.: Sejam as funções reais definidas por f(x) = 4x + 2 e g(x) = 7x – 4. As composições fog e gof são possíveis e

neste caso serão definidas por:

(fog)(x) = f(g(x)) = g(7x - 4) = 4(7x - 4) + 2 = 28x - 14

(gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 10

36


Ex.: Dados três conjuntos A = {-2, -1, 0, 3}, B = {3, 0, -1, 8} e C = {6, 0, -2, 16}, tal que entre eles existem as seguintes funções: f: A → B definida por f(x) = x2 – 1 e g: B → C definida por g(x) = 2x. Veja o diagrama abaixo que representa essas funções:

Observe que, para cada elemento de A existe um elemento em B tal que f(x) = x2 – 1 e para cada elemento de B existe um elemento de C tal que g(x) = 2x, onde f(3) = 8 e g(8) = 16. Podemos obter g(f(x)) simplesmente tomando g(x) e trocando x por f(x), assim temos uma função h: A → C definida por h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = 2(x2 – 1) = 2x2 – 2, onde h(3) = 16. Veja sua representação no diagrama abaixo:

Observação: Em geral, fog é diferente de gof.

2 - FUNÇÃO INJETORA - Uma função f : A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:

x1 x2 implica que f(x1) f(x2)

ou de forma equivalente

f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2

Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para

x, obtemos dois valores diferentes para f(x).

3 - FUNÇÃO SOBREJETORA - Uma função f : A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y = f(x).Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um

elemento de R pela função.

4 - FUNÇÃO BIJETORA - Uma função f : A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

37


Ex.: A função f : R R dada por f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.

5 - FUNÇÃO INVERSA

Def.: Se f for uma função bijetora, então existirá uma função f -1, chamada de inversa de f, tal que

O domínio de f -1 é a imagem de f e a imagem de f -1 é o domínio de f.

O gráfico de f e f -1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

Ex.: Determine a função inversa das funções abaixo:

a) b) Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções bijetoras que admitem função inversa:

Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções que não admitem função inversa:


Exercício 1. Dada a função f(x) = 2x + 5, determine:

a) f(5) b) f(0) c) f(-1)

Exercício 2. Classifique em injetora, sobrejetora ou bijetora as funções representadas pelos diagramas abaixo e marque as funções que admitem inversa:

38


Exercício 3. Marque a alternativa certa.

Para ser função:

a) Todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A pode ter várias imagens em B.

b) Nem todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A só tem uma única imagem em B.

c) Todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A só tem uma única imagem em B.

d) Nem todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A pode ter várias imagens em B.

Exercício 4. Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde A = {a, b, c} e B =

{1, 2, 3}.

39


Exercício 5. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3}.

Exercício 6. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x)

= x² - 4x + 7?

Exercício 7. Para a função real f(x) = 2x + 4, qual é o conjunto f-1(8)?

Exercício 8. Dadas às funções reais f(x) = 3x - 1 e g(x) = x + 2, obter gof, fog, gog e fof.

Exercício 9. Calcule a inversa das funções:

a. y = 2x + 4 b. y = 3x – 1 c. y = 3x d. y = 3x + 5

Exercício 10. Sejam f: R -> R tal que f(x) = x2 -2x e g: R -> R tal que g(x) = x + 1. Determine:

a) f o g(1) c) f(g(f(4)))

b) g o f(2) d) f(f(-1))

Exercício 11. Sejam as funções f e g reais definidas por f(x) = x2 - 3x + 1 e g(x) = x2. Determine:

a) f(g(x)) b) g(f(x))

Respostas: 1. a) 15, b) 5, c) 3;

2. Injetora: a, b, f, g, h, k, l, Sobrejetora: b, c, d, f, g, i, j, l, m, Bijetora e Inversa: b, f, g, l.

3. c;

4. b;

5. b;

6. 7, 28, 3, 67;

7. {2}; 40


8. (gof)(x) = 3x+1; (fog)(x) = 3x+5; (gog)(x) = x+4; (fof)(x) = 9x –4;

9. a) , b) , c) , d) .

10. a) 0 b) 1 c) 63 d) 3

11. a) x4 -3x2 + 1 b) x4- 6x3 + 11x2- 6x + 1

VI – EQUAÇÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos:1) 3x = 81 (a solução é x = 4)2) 2x-5 = 16 (a solução é x = 9)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;2º) aplicação da propriedade:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) 3x = 81Resolução: Como 81 = 34, podemos escrever 3x = 34

E daí, x = 4.

2) 9x = 1Resolução: 9x = 1 9x = 90 ; logo x=0.

41


FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.A função f:IRIR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de

base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar: quando a > 1; quando 0 < a < 1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a = 2, logo a > 1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2y 1/4 1/2 1 2 4

2) y = (1/2)x (nesse caso, a = 1/2, logo 0 < a < 1)

42


Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar quea) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto

imagem é Im = IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2 > x1 y2 > y1 (as desigualdades têm

mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2 > x1 y2 < y1 (as desigualdades têm

sentidos diferentes)

43



Exercício 1: Gráficos das funções f1(x) = 3x, f2(x) = 5x, f3(x) = 7x, f4(x) = 1 e f5(x) = 0, estão traçados na figura abaixo.

Quais dos gráficos não são funções exponenciais?

Exercício 2: 1. Dado o gráfico da função exponencial f(x) = 9x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(4), e o

que ocorre com os valores de y = f(x) quando x aumenta?

Exercício 3. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada abaixo como crescente ou decrescente.

1. f1(x)=7x, f2(x)=7-x , f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x

44


Exercício 4. Resolva as equações exponenciais:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) (1/ 5)x = 125 j) 8

x = 0,25 k) 100

x = 1000

Exercício 5. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula:

. Supondo que o capital aplicado é de R$ 155 000,00 a uma taxa de 1% am durante 2 meses, qual o montante no final da aplicação ?

Exercício 6. (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o inicio de certo experimento, é dado pela expressão . Nessas condições, quanto tempo após o inicio do experimento a cultura terá 38 400 bactérias ?

Exercício 7. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula:

. Supondo que o capital aplicado é de R$ 10 000,00 a uma taxa de 2% am durante 3 meses, qual o montante no final da aplicação ?

Respostas: 1. As funções f4(x) = 1 e f5(x) = 0 são constantes e não são funções exponenciais, 2. a) f(1/2) = 3, f(2) = 81, f(3) = 729, f(4) = 6561, b) Os valores de y também aumentam, pois esta é uma função crescente. Geometricamente, uma função f é crescente se para valores crescentes de x, f também cresce. 3. crescentes: f1 e f4, decrescentes: f2, f3 e f5; 4. a) x = 5, b) x = 0, c) x = 5/3, d) x = ½, e) x = -1, f) x = 2, g) x = 1, h) x = -2, i) x = -3, j) x = -2/3, k) x = 3/2. 5. R$ 158 115,50; 6. 12,5 horas ou 12h e 30 min; 7. R$ 10 612,08.

45


VII – LOGARITMOS e FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1 – Definição

Sendo a e b números reais e positivos, com a 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x

ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b.

Na expressão , temos:

a é a base do logaritmo;b é o logaritmando;x é o logaritmo.

Exemplos:

1) log2 4 = 2

2) log3 81 = 4

3) log2 = -3

4) log7 7 = 1

5) log5 1 = 0

OBS.: As restrições para a (0 < a 1) e para b (b > 0), colocadas na definição, garantem a existência e a unicidade de .

Consequências da definição:

1)

2)

3)

46


4)

Propriedades:

1) Logaritmo do produto

2) Logaritmo do quociente

3) Logaritmo da potência

Exemplos:

1) Calcular , sabendo que e .

2) Se log E = 1 + log a + 2. log b – log c, vamos determinar E.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Dado um número real a (com 0 < a 1), chama-se função logarítmica de base a a função de em R dada pela lei f(x) = .

São logarítmicas, por exemplo, as funções y = , y = e y = .

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Exemplos:

47


1) y = , x > 0.

2) ) y = , x > 0.Exercícios de Fixação

1) Calcule pela definição os seguintes logaritmos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k)

2) Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (suponha a, b e c reais positivos):

a) b)

c) d)

3) Se log 2 = a e log 3 = b, calcule em função de a e b os seguintes logaritmos decimais:

a) log 6 b) log 4

c) log 20 d) log

e) log 0,5 f) log 5

g) log 15 h) log 0,2

i) log 0,036 j) log 180

48


4) Construa os gráficos das seguintes funções:

a) f(x) =

b) f(x) =

BIBLIOGRAFIA

* (LIVRO TEXTO)

[1] * IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. Editora Atual, 1993.

[2] BEZERRA, M. J. PUTNOKI, M. J. Novo Bezerra Matemática. Editora Scipione, Volume Único, 1995.

[3] JR. GONÇALVES, Oscar. Matemática por Assunto. Volume 1, Editora Scipione, 1988.

[4] MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática Temas e Metas. Volume 6 - Funções e Derivadas. Editora

Atual, 1988.

[5] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo. Editora Atual, 1991.

[6] IEZZI, Gelson, et all. Matemática Ciência e Aplicações. Volume 1. São Paulo. Editora Atual, 2004.

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apostila - fundamentos de matemática elementar

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