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Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Fundamental, 6º AnoCalculo da média aritmética, moda e mediana em situações do cotidiano

Matemática, 6º Ano do Ensino FundamentalCálculo da média aritmética, moda e mediana

Cálculo da média aritmética, moda e medianaem situações do cotidiano

Objetivos:

• Entender como se dá a distribuição de dados em uma amostra e como obter informações importantes do universo amostral;

• Conhecer os conceitos das medidas de tendência centrais: média aritmética (simples e ponderada), moda e mediana de uma amostra finita;

• Aplicar esses conceitos em diversas situações do nosso cotidiano.


Cálculo da média aritmética, moda e medianaem situações do cotidiano

Um pouco de história:

• A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS (Estado). Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, China e Egito e até mesmo o 4o livro do Velho Testamento faz referência à uma instrução dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear.

• Seus fundamentos do ponto de vista matemático foram estabelecidos no século XVII com o surgimento da teoria das probabilidades, devido a Pascal e Fermat, inicialmente aplicados ao estudo dos jogos de azar.

• Atualmente, o uso de computadores modernos permite a computação e a análise de dados estatísticos em larga escala e também tornam possíveis novos métodos antes impraticáveis. http://pt.wikipedia.org/wiki/História_da_estatística

Confira o link!

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_estat%C3%ADstica


Estatística e organização dos dados

Como sabemos, a estatística é o ramo da Matemática que de modo geral coleta, organiza, analisa e fornece informações quantitativas sobre uma determinada população ou coleção de elementos.

Como quase sempre não é possível obter as informações sobre todos os elementos da população, nos limitamos a pesquisar uma pequena parte dela, a qual chamaremos de amostra.

Assim, a amostra representará a população e por isso deve ser formada de modo imparcial, sem privilegiar ou diminuir nenhum de seus componentes, para que as conclusões sejam imparciais e consistentes.

Ainda em relação à amostra, estudaremos as variáveis, ou seja, as características da população representada pela amostra que queremos analisar.


Situação-problema:

Em uma turma de uma escola de Medicina, um aluno registrou o batimento cardíaco por minuto de seus colegas, obtendo os seguintes dados:

75 76 77 78 79 80 85 88 90 92 75 76 78 78 90 7678 76 90 92 75 76 77 8585 85 88 77 77 92 90 7885 79 90 76 78 76 77 9290 76 85 80 90 80 78 76

Observe que nesta tabela, muitos valores aparecem repetidas vezes. Mais ainda, os dados encontram-se dispostos de modo aleatório, complicando uma análise mais detalhada de seus elementos.

Assim, somos levados a produzir um tipo especial de tabela, a fim de facilitar o entendimento e a análise dos seus dados. A esse tipo de tabela chamaremos de distribuição de frequências. A frequência de um valor será o número de vezes que esse valor aparece na amostra (tabela):


Número de batimento cardíacos por minuto

75 76 77 78 79 80 85 88 90 92

Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4

Deste modo, podemos expressar os dados de acordo com a seguinte distribuição de frequências:

Observamos, por exemplo, que ao todo 5 alunos da turma apresentaram 77 batimentos cardíacos por minuto.

Observamos ainda que a menor frequência cardíaca observada foi 75 batimentos por minuto e que a maior foi 92 batimentos por minuto, correspondendo a 3 e 4 alunos, respectivamente.

Mais ainda, podemos afirmar que 76 batimentos por minuto foi a frequência cardíaca que apareceu mais vezes na tabela.


Medidas Estatísticas

Como vimos, a distribuição de frequências é uma ferramenta que facilita a descrição de um modo mais resumido de nossa população ou amostra e proporciona uma primeira análise que valores de uma determinada variável em estudo pode assumir.

Para obter uma análise mais aprofundada, podemos fazer uso de medidas que expressam tendências de determinada característica ou valores de nossa amostra.

Deste modo, estudaremos algumas medidas de tendência central, que de modo simplificado, trazem consigo informações do comportamento geral da população ou amostra estudada. Assim, consideramos as seguintes medidas estatísticas:

Média Aritmética Média Aritmética PonderadaModa Mediana


Média Aritmética

A média aritmética, ou simplesmente média, é uma medida de tendência central que se comporta com o ponto de equilíbrio dos valores obtidos a partir de um conjunto de dados.

Dentre todas as medidas de tendência, talvez seja a mais popular, pois desde o início de nossa vida escolar somos obrigatoriamente apresentados a ela e nos habituamos com seu cálculo, que por ser simples é bastante utilizada no nosso cotidiano.

Quando nossa amostra ou população apresenta uma distribuição de frequências aproximadamente simétrica e não apresenta valores muito deslocados, isto é, valores extremamente afastados uns dos outros, sua utilização para estimar informações da amostra se torna mais eficiente.


Média Aritmética

Para calcular a média aritmética de dois ou mais dados numéricos, dividimos a soma desses números pela quantidade dos números dados.

Vejamos com isso se aplica na nossa situação-problema:

Considerando inicialmente as frequências cardíacas que apareceram, isto é, desconsideramos as frequências de cada uma delas.

Assim, os valores para os quais calcularemos a média aritmética serão:


75 76 77 78 79 80 85 88 90 92

Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4

.9290,88,85,80,79,78,77,76,75 e


Média Aritmética

Assim, podemos ver que a média aritmética, ou simplesmente a média, será dada por:

De modo geral, podemos dizer que na média a frequência cardíaca dos alunos da turma foi de 82 batimentos por minuto. Isso significa dizer que se todos os batimentos fossem iguais, esse seria o valor encontrado.

Observe ainda que o valor da média aritmética é sempre maior ou igual que o menor valor e menor ou igual que o maior valor da lista de números.

.8210

820

10

92908885807978777675

Média


Média Aritmética Ponderada

Para calcular a média aritmética ponderada dos dados numéricos de uma tabela de distribuição de frequências, dividimos a soma desses números, multiplicados pelas suas respectivas frequências, pela quantidade total dos dados, isto é, pela soma de todas as frequências.

Voltemos à nossa situação-problema:

Agora, consideramos as frequências cardíacas que apareceram na tabela de distribuição de frequências, bem como suas respectivas frequências.

Ou seja, calculamos a média aritmética ponderada utilizando os valores dos batimentos cardíacos que aparecem na tabela, bem como suas respectivas frequências.


Média Aritmética Ponderada

Assim, temos que sua média aritmética ponderada será dada por:

Observe que este valor representa melhor os valores encontrados, pois dá a devida contribuição de todos os valores de batimentos cardíacos presentes na tabela.

.7,8148

3922

4726327593

492790288685380279778577976375

Média


75 76 77 78 79 80 85 88 90 92

Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4


Moda

Por definição, a moda de uma coleção de dados amostrais ou populacionais é simplesmente o valor que aparece o maior número de vezes, isto é, aquele que apresenta a maior frequência observada na tabela de distribuição de frequências.

Em amostras grandes ou com valores muito repetidos, há casos em que a moda não é única, situações em que dois ou mais valores amostrais tenham ocorrido com a mesma frequência e esta quantidade de ocorrências seja máxima.

Assim, dependendo de cada caso, podemos ter distribuições monomodais, ou simplesmente modais, bimodais, trimodais ou ainda multimodais. Pode acontecer ainda o caso em que todos os valores amostrais tenham apresentado o mesmo número de ocorrências, significando que neste caso não há moda, pois nenhum valor se destacou, configurando assim uma distribuição amodal.


Moda

Moda é o elemento (ou os elementos) que aparece com a maior frequência na lista de todos os dados pesquisados, isto é, aqueles elementos que se destacam pela maior quantidade na tabela de distribuição de frequências analisada.

Assim, vejamos nossa tabela de distribuição de frequências da situação-problema:

Observe que 76 batimentos cardíacos por minuto é o valor que mais aparece na tabela e que sua frequência é 9.

Neste caso, dizemos 76 é a moda dessa amostra de dados estatísticos.


75 76 77 78 79 80 85 88 90 92

Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4


Moda

Agora, considerando uma outra distribuição de frequências, poderíamos obter resultados diferentes:

Neste caso, temos uma distribuição trimodal com os valores de 77, 80 e 90 batimentos cardíacos por minuto.

Por outro lado a distribuição abaixo é amodal, visto que todos os valores apresentam a mesma frequência:


75 76 77 78 79 80 85 88 90 92

Frequência 2 4 8 7 2 8 6 2 8 4


75 76 77 78 79 80 85 88 90 92

Frequência 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5


Mediana

A mediana de uma distribuição de frequências é definida como o valor ocupante da posição central da coleção ordenada de modo crescente ou decrescente dos dados amostrais.

Deste modo, sua principal propriedade é dividir o conjunto das informações em dois subconjuntos iguais com o mesmo número de elementos: os valores que são menores ou iguais à mediana e os valores que são maiores ou iguais à mediana.

Note que se um valor for extremamente deslocado, ou seja, muito afastado dos outros, a mediana não será influenciada por este, ao contrário da média, pois, por definição, é uma medida estatística vinculada à posição ocupada e não à proximidade dos valores apresentados.

Assim, se um valor for extremamente pequeno ou grande, não influenciará no cálculo da mediana.


Mediana

Para calcular a mediana dos dados numéricos de uma tabela de distribuição de frequências, ordenamos estes valores de modo crescente ou decrescente, repetindo-os de acordo com as suas respectivas frequências, e tomamos o valor que divide esta tabela em dois grupos iguais, isto é, com a mesma quantidade de elementos.

De modo simples, se o número de elementos da amostra N for um número ímpar, ou seja, N=2n+1, tomamos o elemento de ordem n+1.

Agora, no caso que este número de elementos é par, N=2n, tomamos a média aritmética dos termos de ordem n e n+1.

Desse modo, a situação-problema tem 48 elementos que a compõem.Assim, tomamos os termos de ordem 24 e 25, respectivamente dados por 79 e 79, e calculamos sua média aritmética, obtendo, assim, o valor da mediana desta amostra como sendo igual a 79.


Quando usar a média, a moda ou a mediana?

Usamos a média quando a distribuição dos dados for simétrica (ou quase) e não apresenta valores muito deslocados, visto que é a medida de tendência central mais popular e fácil de ser calculada.

Devemos usar a mediana quando aparecem valores deslocados na distribuição dos dados, pois ela não é influenciada por valores extremos.

Usamos a moda quando existirem variáveis qualitativas e nominais, visto que neste caso é a única medida de tendência central que podemos obter. Além disso, quando queremos evidenciar o valor (ou valores) que mais aparece na distribuição de frequências dos dados.


http://www.youtube.com/watch?v=TIaURF9ieM4

HORA DO FILME!

Ficou alguma dúvida?

Antes de alguns exemplos e exercícios, vamos assistir a um vídeo postado no Youtube para revisar o que acabamos de aprender!

Clique no link ao lado para assistir ao filme:

http://www.youtube.com/watch?v=TIaURF9ieM4


Exercícios Resolvidos

1. Uma fábrica do Complexo Industrial de SUAPE para estimar o número de lâmpadas consumidas por ano, registrou o tempo de duração das lâmpadas utilizadas em dias, obtendo a seguinte tabela:

21 25 23 28 19

23 23 20 25 21

20 19 19 20 20

25 28 28 20 21

20 19 19 25 19

a) Construa uma tabela de distribuição de frequências associada a esta tabela;

b) Determine a média aritmética ponderada, obtendo o tempo médio de duração de uma lâmpada;

c) Estime o número de lâmpadas necessárias durante um ano comercial para um ponto de luz desta empresa.


Solução:

Duração de uma lâmpada (em dias) 19 20 21 23 25 28

Frequência 6 6 3 3 4 3

Inicialmente construímos uma tabela de distribição de frequências, respondendo assim o item (a):

(b) Agora, podemos então calcular o tempo médio de duração de uma lâmpada:

(c) Finalmente, podemos estimar o número de lâmpadas necessárias para manter um ponto de luz durante um ano comercial:

.2225

550

343366

328425323321620619diasTM

.1722

360360lâmpadas

TN

M



2. O IBOPE pesquisou qual é o esporte preferido pelos moradores de uma certa cidade. Para isto, entrevistou 2.500 pessoas, obtendo o seguinte resultado:

a) Qual é o esporte que apresenta maior frequência nesta tabela?

b) E qual é o esporte que apresenta menor frequência?

c) Qual o percentual da população prefere voleibol?

d) Você saberia dizer qual é o esporte da moda? Justifique sua opinião!

Esporte preferido Número de pessoas

Futebol 650

Voleibol 350

Natação 420

Tênis 280

Basquete 300

Boxe 220

Corrida 280


Solução:

a) Note que o esporte que apresenta a maior popularidade nesta tabela é o futebol com a preferência de 650 pessoas.

b) Por outro lado, o esporte que apresenta a menor popularidade é o boxe, preferido por 220 pessoas.

c) O percentual da população que prefere o voleibol é

Esporte preferido Número de pessoas

Futebol 650

Voleibol 350

Natação 420

Tênis 280

Basquete 300

Boxe 220

Corrida 280

%.1450

7

2500

350

d) O esporte da moda é o futebol, pois como o próprio nome indica é a moda da tabela de frequências acima.



3. Insatisfeito com seu salário, um funcionário pesquisou nas empresas vizinhas quanto ganhavam seus colegas que exerciam a mesma função:

1200,00 1400,00 1000,00

1050,00 1500,00 1400,00

1350,00 1100,00 1300,00

1200,00 1300,00 1400,00

a) Construa uma tabela de distribuição de frequências associada aos valores encontrados;

b) Determine o salário médio desses funcionários;

c) Determine o salário modal desses funcionários;

d) Sabendo que ele ganha R$ 1200,00, você acha que ele deve pedir aumento? Justifique!


Solução: 1200,00 1400,00 1050,00

1050,00 1500,00 1400,00

1350,00 1100,00 1300,00

1200,00 1300,00 1400,00

a) Da tabela ao lado contruímos a seguinte tabela de distribuição de frequências associada aos salários encontrados;

Salário de cargo equivalente

1050,00 1100,00 1200,00 1300,00 1350,00 1400,00 1500,00

Frequência 2 1 2 2 1 3 1

Deste modo, temos que:b) O salário médio destes funcionários é reais.

c) O salário modal dos funcionários é R$ 1400,00.

d) Sim, pois o salário médio e o salário modal encontrados na vizinhança são maiores do que o salário do funcionário.

00,127112

15250MS



4. No edifício em que moro foi feito um censo dos moradores e identificados os jovens com idade entre 15 e 20 anos conforme o seguinte gráfico:

a) Quantos jovens residem no edifício?

b) Calcule a média de idade dos garotos e das garotas, bem como a média de idade dos jovens;

c) Determine a idade modal das garotas, dos garotos e dos jovens do edifício;

d) Calcule a idade mediana dos garotos, das garotas e dos jovens.

0

2

4

6

8

10

12

14

15anos

16anos

17anos

18anos

19anos

20anos

GarotosGarotas


Solução:

a) É fácil ver que no edifício moram 53 garotos e 47 garotas, totalizando 100 jovens.

b) As médias de idades aproximadamente são: 19 anos é a média de idade dos garotos,18 é a média de idade das garotas e 18 é a média de idade dos jovens. c) A idade das garotas é bimodal

com valores 16 e 19 anos, dos garotos é modal com valor de 20 anos e dos jovens é trimodal com valores 16, 19 e 20 anos.d) As idades medianas dos garotos,

das garotas e dos jovens são todas 18 anos.

0

2

4

6

8

10

12

14

15anos

16anos

17anos

18anos

19anos

20anos

GarotosGarotas


Exercícios Propostos:

1. Uma concessionária de veículos vendeu no primeiro semestre de um ano as quantidades de automóveis indicadas no quadro abaixo:

a) Qual foi o número total de carros vendidos no semestre?

b)Qual foi o número médio de carros vendidos por mês?

c) Quantos carros foram vendidos acima da média no mês de maio?

Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Qtd de carros vendidos 38 30 25 36 38 31

d) Tomando como referência os três primeiros meses, faça uma estimativa de quantos carros deveriam ter sido vendidos no primeiro semestre. e) Compare os resultados dos itens (a) e (d). Por que eles não são iguais? Justifique!



2. Em uma turma com 30 alunos, foram obtidas as seguintes notas em Matemática:

2,0 3,0 4,0 3,0 4,0 5,0

4,0 5,0 6,0 6,0 5,0 4,0

6,0 7,0 5,0 3,0 4,0 8,0

7,0 5,0 2,0 9,0 9,0 9,0

10,0 2,0 9,0 7,0 10,0 8,0

a) Construa uma tabela de distribuição de frequências associada às notas dos alunos da turma;

b) Calcule a média aritmética das notas;

c) Determine a nota mediana da turma;

d) Obtenha a nota modal desta tabela.



3. (PUC-SP) A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se um desses números, a média aritmética dos 99 números restantes passará a se 40,5. O número retirado equivale a:

a) 9,5 % d) 750%

b) 75% e) 950%

c) 95%

4. (UNICAMP-SP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o números de pessoas de cada sexo, no grupo?



5. (PUC-SP) O gráfico abaixo apresenta a distribuição de frequências das faixas salariais numa pequena empresa:

Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente:

02468

10121416

500 1000 1500 2000 2500

Salários em reais

Núm

eros

de

func

ioná

rios

a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 652,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00


Respostas:

1. (a) 198 carros (b) 33 carros c) 5 carros d) 186 carros

(e) Os resultados são diferentes, pois no segundo trimestre foram vendidos mais carros que o esperado.

2. (a)

(b) 5,7 (c) 5,0 (d) bimodal: 4,0 e 5,0

3. (e) 950% 5. (e) R$ 708,004. 40 homens e 80 mulheres

Notas dos alunos

2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Frequência 3 3 5 5 3 3 2 4 2


Referências Bibliográficas:

[1] Toledo, G. L.& Ovalle, I. I. Estatística básica, 2a edição, São Paulo: Atlas, 1986.

[2] Bolfarine, H. & Bussab, W.O. Elementos de amostragem, Edgard Blucher, 1999.

[3] Moore, D. S. A estatísitica básica e sua prática, 2a edição, São Paulo: LTC, 2005.

[4] Bussab, W. O. & Morettin, P. A. Estatística básica, 4a edição, São Paulo: Atual, 1987.

[5] Larson, R. & Fraber, B. Estatística aplicada, tradução de Cyro C. de Patarra, São Paulo: Prentice Hall, 2004.

[6] Triola, M. F. Introdução à estatística, tradução de Alfredo A. de Farias, 7a edição, Rio de Janeiro: LTC, 1999.

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