conteúdo - ipb.ptmar/matematicaigestao2017.18/apontamentosmati2017.pdf · 5 capítulo 1 conceitos...

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1 Conceitos de Base 51 Números e Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operações elementares da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Adição e subtracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Valor absoluto de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Multiplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Notação com potências de base 10. . . . . . . . . . . . . . . . 10Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Operações com fracções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Proporcionalidade directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 Potências de expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2 Operações com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Multiplicação e divisão de potências. . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Propriedades da radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.2 Radicais escritos sob a forma de potências . . . . . . . . . . 26

1.8 Logaritmação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Prioridade das operações aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Equações e inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Equações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Inequações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Igualdades e desigualdades múltiplas. . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Equação da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes 371 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1 Conceitos Gerais Sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3 Álgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.1 Adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.2 Multiplicação de matrizes por números . . . . . . . . . . . 401.3.3 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.4 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Propriedades da operação de transposição . . . . . . . . . . . 45

1

2 Conteúdo

2 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.2 Resolução de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Sistemas de equações lineares. Exemplo de aplicação . . . . . . . . . 492.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Resolução de sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . 512.3.1 Forma matricial de um sistema de equações lineares . . . . 512.3.2 Os sistemas de equações lineares mais simples . . . . . . . . 522.3.3 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz . . . 532.3.4 Forma escalonada por linhas de uma matriz . . . . . . . . . 552.3.5 Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de

eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.6 Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de

eliminação de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4 Caracterização dos sistemas de equações lineares quanto aos tipos de

soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6.1 Algoritmo para a inversão de uma matriz . . . . . . . . . . 623 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1 Método de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2 Propriedades dos Determinantes. Cálculo do determinante por tri-

angularização da matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Algumas aplicações dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.1 Resolução de sistemas de equações lineares pela regra deCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.2 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Funções reais de variável real 71

1 Noções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1 De�nição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.2 Grá�co de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.3 Classi�cação das funções quanto à sua representação analítica . . . . 761.4 Operações sobre funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Operações racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.5 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Funções constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Funções potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Funções trigonométricas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 81Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 Sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.1 Vizinhança de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.2 De�nição de sequência numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3 Limite de uma sequência numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Limites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Conteúdo Mário Abrantes

Conteúdo 3

Alguns teoremas sobre limites de sequências numéricas . . . . 893 Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.2 Alguns teoremas sobre limites de funções . . . . . . . . . . 903.1.3 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.2.1 Alguns teoremas sobre continuidade . . . . . . . . . . . . . 94

4 Derivadas de Funções reais de variável real 971 Função derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.1 Taxa de variação média de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . 971.2 Taxa de variação instantânea de uma função. Função derivada . . . 991.3 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2 Derivadas de algumas funções elementares. Regras de derivação . . . . . . . 1052.1 Derivadas de algumas funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . 105

Funções constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Funções potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Funções trigonométricas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2 Derivadas de somas, produtos e divisões de funções . . . . . . . . . . 1082.3 Derivada da função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.4 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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Capítulo 1

Conceitos de Base

1 Números e Aritmética

A Aritmética é uma área da matemática que estuda as propriedades das operações comnúmeros, como a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão, o cálculo de potências,raízes, logaritmos, etc. É parte fundamental de uma área de estudo mais alargadadaconhecida por Teoria de Números.

1.1 Representação decimal

Um número diz-se representado na forma decimal se está escrito como uma sequência dedígitos contendo o ponto decimal1, como por exemplo 12.34 ou 0.04 ou 1.333. A sequênciade dígitos à esquerda do ponto diz-se parte inteira do número, designando-se a sequênciade dígitos à direita do ponto por parte fraccionária (ou dízima) do número.

Exemplo 1.

12.34 parte inteira 12, parte fraccionária 0.34

0.04 parte inteira 0, parte fraccionária 0.04

A representação decimal de um número inteiro, por exemplo 25, dispensa o ponto. Pode-riamos, no entanto, escrever 25.0, que é uma representação equivalente.2 Nas �guras 1 e 2indicam-se as designações das posições dos dígitos relativamente ao ponto decimal.

1Também se pode usar um vírgula em vez do ponto decimal. Nestes apontamentos usamos o pontodecimal.

2Chama-se a atenção que, em física e na engenharia em geral, as notações 25 e 25.0 podem ter signi�cadosdistintos. A representação 25.0 pode ser o resultado de uma medição cujo valor resultante é sabido sermaior que 25 mas menor que 25.1.

Capítulo 1. Conceitos de Base Mário Abrantes

6 1. Números e Aritmética

Figura 1: Valor posicional dos dígitos de númerosinteiros. Figura 2: Valor posicional dos dígitos na dízima.

Representação de números por extenso

O número decimal 3.456 pode representar-se em português por 'três unidades e quatrocen-tas e cinquenta e seis milésimas'. Esta representação em português diz-se representaçãopor extenso e é uma maneira de dizer o número. Também podemos simplesmente dizer'três ponto quatro cinco seis' ou 'três ponto quatrocentos e cinquenta e seis'. Mas é maisclaro e prático dizer, por exemplo, o número 0.000006 da forma 'seis milionésimas' do queda forma 'zero ponto zero zero zero zero zero seis'.

Vídeo 1. Escrita/leitura de números por extenso.[02:31]

Exercício 1. Representar por extenso os seguintes números.

(a) 14.256 (b) 0.023 (c) 0.000023 (d) 3222247653

Solução (a). Catorze unidades e duzentas e cinquenta e seis milésimas.

1.2 Operações elementares da aritmética

As operações elementares da aritmética (também designadas por operações racionais) sãoa adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão. São operações que devemos saberresolver para perceber o seu signi�cado nas aplicações práticas. Os símbolos +,−,×,÷designam-se por operadores aritméticos racionais (um operador representa uma certa ope-ração). Os números ou expressões envolvidos numa operação, sejam o número 2 e o número3 envolvidos na soma 2 + 3, designam-se por operandos. O valor obtido depois de efectu-ada a operação, designa-se por resultado da operação. Os operadores +,−,×,÷ dizem-seoperadores binários por operarem sobre dois operandos. O operador `−' é um exemplo deum operador unário, quando usado sobre um só operando, como no caso da expressão −2.

1.2.1 Adição e subtracção

A �gura 3 nomeia os números envolvidos numa adição (operandos e resultado).


https://youtu.be/SbWQBvjarxg

1. Números e Aritmética 7

Figura 3: Os números 123 e 35 também se designam por parcelas.

A �gura 4 exempli�ca a adição de números na forma decimal. A operação decorre ignorandoos pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 4: Adição de números na forma decimal.

Vídeo 2. Adição.[02:43]

Propriedades da adição/subtracção3[a, b e c são números reais]

- Comutativa: a+ b = b+ a

- Associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c)

- Existência de elemento neutro (zero): a+ 0 = a

- Existência de inverso aditivo a+ (−a) = 0

A �gura 5 seguinte nomeia os números envolvidos numa subtracção.

3Se considerarmos o conjunto formado pelos números negativos, juntamente com o zero e com osnúmeros positivos (conjunto R), a subtracção pode considerar-se um caso particular da adição, para efeitoda validade destas propriedades. Por exemplo, a expressão 4− 2 pode ser escrita como 4 + (−2).


https://youtu.be/_Bi0c4wyuys


Figura 5

A �gura 6 exempli�ca a subtracção de números na forma decimal. A operação decorreignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 6: Subtracção de números na forma decimal.

Vídeo 3. Subtracção � 1.[03:32]

Vídeo 4. Subtracção � 2.[01:01]

1.2.2 Valor absoluto de um número

O valor absoluto ou módulo de um número x, corresponde ao próprio número x, se estefor positivo ou se for o número zero, ou então ao seu simétrico −x, se o número x fornegativo. O valor absoluto de um número x indica-se na forma |x|. O operador módulo éum operador unário já que actua sobre um só operando.


https://youtu.be/iLfmMvJqC0I

https://youtu.be/qEZHLKoHT4g


Exemplo 2. |12| = 12 |−2.5| = −(−2.5) = 2.5 |0| = 0

Exercício 2. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

(a) 2.367− 1.902 (b) − 2.367 + 1.902

(c) 2− (−3) + |3− 4| (d)∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|

∣∣Solução (d).

∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|∣∣ =

∣∣|−3| − 4 + |−1|∣∣ = |3− 4 + 1| = |0| = 0

1.2.3 Multiplicação e divisão

Multiplicação. Uma das vantagens da operação de multiplicação envolvendo númerosinteiros, é funcionar como um abreviador de somas. Como exemplo, é mais rápido efectuar aoperação 7×5 (= 35) do que efectuar a operação numericamente equivalente 7+7+7+7+7.4

Para podermos tirar partido desta funcionalidade é necessário conhecer a tabuada da mul-tiplicação5.

A �gura 7 seguinte nomeia os números envolvidos numa multiplicação.

Figura 7: Os números 23 e 35 também se designam por factores.

A �gura 8 exempli�ca a multiplicação de números na forma decimal. A multiplicaçãodecorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Vídeo 5. Multiplicação.[03:47]

Vídeo 6. Multiplicação Real.[06:25]

Propriedades da multiplicação [a, b e c são números reais]

- Comutativa: a× b = b× a

- Associativa: (a× b)× c = a× (b× c)

- Existência de elemento neutro (unidade): a× 1 = a

- Existência de inverso multiplicativo: a× 1a = 1

- Distributiva relativamente à adição: a× (b+ c) = a× b+ a× c

Exemplo 3. Usar as propriedades da multiplicação para demonstrar as leis seguintes.

(a+ b)c = ac+ bc a× b× c× d = a× (b× (c× d))

4Uma sequência de somas designa-se por adição sucessiva, soma sucessiva ou somatório.5Deves treinar-te para saber de cor os valores das expressões numéricas desde 1× 1 a 9× 9.


https://youtu.be/GYreaGZLjbk

https://youtu.be/dOyuwdITwe4


Figura 8: Multiplicação de números na forma decimal.

As propriedades servem para simpli�car e esclarecer o modo como se fazem cálculos. Con-sideremos, por exemplo, o duplo produto 2×3×4. Querendo resolver estas operações, porque operador '×' começamos? Começamos por 2 × 3, por 3 × 4, ou tanto faz? O que apropriedade associativa acima diz é que tanto faz, isto é, podemos calcular primeiro 2×3 emultiplicar em seguida o resultado por 4 � é o que signi�ca (a× b)× c - ou então podemoscalcular primeiro 3 × 4, multiplicando depois o resultado obtido por 2 � é o que signi�caa× (b× c). O resultado �nal é o mesmo.

Exercício 3. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

(a)2.3× 1.9 (b) 23× 0.19 (c) 0.23× 0.19

Solução (b). 23× 0.19 = 23× 19× 10−2 = 437× 10−2 = 4.37

Notação com potências de base 10. Potências de base 10 são números na forma 10n,sendo n um número inteiro.



Exemplo 4. Representação de números usando potências de base 10.

100 = 1 uma unidade (um)

101 = 10 uma dezena (dez)

102 = 100 uma centena (cem)

103 = 1000 um milhar (mil)

106 = 1000000 um milhão (mil milhares)

1012 um bilião (um milhão de milhões)

1018 uma trilião (um milhão de biliões)

10−1 = 0.1 uma décima (um décimo)

10−2 = 0.01 uma centésima (um centésimo)

10−3 = 0.001 uma milésima (um milésimo)

10−6 = 0.000001 uma milionésima (um milionésimo)

10−12 uma bilionésima (um bilionésimo)

10−18 uma trilionésima (um trilionésimo)

Nota. Na terminologia brasileira bilhão refere o número 109 , trilhão o número 1012 , etc; nalíngua inglesa billion refere o número 109, trillion o número 1012, etc. Na terminologia brasileirabilionésima refere o número 10−9, trilionésima o número 10−12, etc; na língua inglesa billionth

refere o número 10−9, trillionth o número 10−12, etc. A terminologia portuguesa corresponde àchamada long scale, enquanto as terminologias brasileira e inglesa correspondem à chamada short-

scale. É preciso cuidado com algumas traduções portuguesas de textos em inglês, ou em portuguêsdo Brasil, que por vezes traduzem 'à letra' estas expressões, usando erradamente, por exemplo,'um bilião' para traduzir `one billion' ou `um bilhão'.

O uso de potências de base 10 simpli�ca a representação de números muito pequenos oumuito grandes e as operações entre eles.

Vídeo 7. Potências de base 10 e expoente inteiro.[05:09]

Exemplo 5. Representação e multiplicação de números usando potências de base 10.

0.002 = 2× 0.001 = 2× 10−3

3000000 = 3× 1000000 = 3× 106

103 × 102 = 1000× 100 = 100000 = 105 = 103+2.

103 × 10−2 = 1000× 0.01 = 10 = 101 = 103−2.

A operação 0.002 × 3000000 efectua-se mais facilmente se for representada naforma 2×10−3×3×106. Fica 2×10−3×3×106 = 2×3×10−3×106 = 6×103 = 6000.

Divisão A �gura 9 nomeia os números envolvidos numa divisão.


https://youtu.be/jGtE3f_1aMg


Figura 9: D = d× q + r ⇔ 13 = 4× 3 + 1.

As �guras 10 e 11 exempli�cam a divisão envolvendo apenas número inteiros, habitualmentedesignada por divisão inteira.

Figura 10: Divisão inteira.

Figura 11: Divisão inteira.

Dados dois números inteiros a e b, diz-se que b divide a (ou que a é divisível por b), sea divisão inteira de a por b tem resto zero. Por exemplo, 30 é divisível por 6 dado que30÷ 6 = 5.



Vídeo 8. Divisão inteira � 1.[05:30]

Vídeo 9. Divisão inteira � 2.[04:11]

Vídeo 10. Divisão real.[07:33]

Vídeo 11. Divisão por zero.[02:26]

Vídeo 12. Divisão exacta.[03:49]

Vídeo 13. Divisão: explicação do algoritmo.[06:52]

A �gura 12 exempli�ca a divisão de números na forma decimal, por vezes designada pordivisão real. A divisão decorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenasno �nal.

Figura 12: Divisão real.

A expressão a ÷ b indica o valor exacto da divisão de a por b (i.e., o resto associado àoperação é zero). Por exemplo 1 ÷ 3 representa a dízima in�nita 0.3333 · · · . A operaçãonão termina.

Exemplo 6. A expressão 12 ÷ 3 = 4 pode ter vários signi�cados. Por exemplo (a) umconjunto de 12 objectos pode ser dividido em 3 grupos de 4 objectos; (b) se 3 unidades deum dado produto custam 12e, então cada unidade custa 4e.

Exercício 4. Sem usar clculadora, efectuar parcialmente cada uma das divisões até obtero resto indicado, e representar a operação efectuada na forma Dividendo = divisor ×quociente+ resto.

(a) 3.24÷ 100, r = 0 (b) 11÷ 12, r = 0.08 (c) 1.1÷ 0.27, r = 0.00002

(d) 35.5÷ 0.29, r = 0.004 (e) 1.02÷ 234, r = 0.084 (f) 142÷ 13, r = 0.3

Solução (d). 35.5 = 0.29× 122.4 + 0.004

Exercício 5. Veri�car que a operação de divisão não possui nem a propriedade comutativa,nem a propriedade associativa.

1. Mostrar com um contra-exemplo6 que a divisão não goza da propriedade comuta-tiva.

6Um contra-exemplo é um exemplo que refuta (=nega a validade de) uma dada a�rmação. Assim, aa�rmação 'a soma de quaisquer dois números inteiros é maior que 100' é refutada pelo contra-exemplo2 + 5 = 7, dado que 2 e 5 são dois números inteiros mas a sua soma não é maior que 100.


https://youtu.be/7gi4rjCVVLI

https://youtu.be/CBMU13YcYng

https://youtu.be/h80VkL0IsZo

https://youtu.be/65zk3Ijzszg

https://youtu.be/cfO_IM7PI7Q

https://youtu.be/gbV6kq2QF7Q


2. Utilizar a expressão 12 ÷ 4 ÷ 2 para mostrar que a operação de divisão não gozada propriedade associativa, i.e. geralmente (a÷ b)÷ c 6= a÷ (b÷ c).Solução. (12÷ 4)÷ 2 = 3÷ 2 = 1.5 6= 12÷ (4÷ 2) = 12÷ 2 = 6

3. Notar porém que, para alguns casos, a igualdade (a÷ b)÷ c = a÷ (b÷ c) é válida.Apresentar dois exemplos de números a, b, c que validam a igualdade.

Exercício 6. Indicar todas as divisões inteiras a÷b sugeridas por cada uma das expressões.

(a) 12 = 4× 3 (b) 8 = 4× 2 (c) 25 = 5× 5

Solução (a). 12÷ 4 = 3 12÷ 3 = 4

Exercício 7. Indicar as divisões sugeridas pelas perguntas.

1. Dez gramas de um produto custam 23cts. Qual o preço de um grama do produto?

2. Dez gramas de um produto custam 23cts. Quantos gramas do produto se podemcomprar com um cêntimo?

3. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Quantas horas leva a percorrer umquilómetro?

4. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Que distância percorre em umahora?Solução. Distância = 120÷ 4.5 ≈ 26.7km/h

5. Uma hora tem 60 minutos. Quantas horas correspondem a 7200 minutos?

1.2.4 Percentagens

Suponhamos a seguinte situação. O senhor Lopes ganha 1500 euros por mês e gasta 25%(por extenso escreve-se 'vinte e cinco por cento') dessa quantia para pagar a renda da casa.Qual o valor desta renda? A expressão 25% signi�ca 25 partes em cada 100. No caso, porcada 100 euros de salário o senhor Lopes gasta 25 euros no pagamento da renda. Como osalário é de 100× 15 euros, então a renda deve ser 25× 15 = 375 euros. O valor da rendapode ser calculado da forma:

25× 15 = (0.25× 100)× 15 = 0.25× 1500.

Em resumo, pretendiamos calcular vinte e cinco por cento de 1500 e veri�cámos que estevalor é traduzido pela expressão numérica 0.25 × 1500, que também podemos escreverna forma 25

100 × 1500. Podemos a�rmar que, dado um número x, `x%' representa o valornumérico da expressão x

100 ; dados dois números x e y, `x% de y' corresponde ao valornumérico da expressão x

100 × y.

Vídeo 14. Percentagens.[05:16]

O uso de percentagens permite tornar mais expressiva a comparação entre duas grandezas.


https://youtu.be/WOM0XT1fm9g


• Numa a�rmação do tipo 'x é igual 45% de y' (ver �gura 13) estamos a considerarque x/y vale 0.45, i.e., x é um pouco menor que metade de y. Analogamente,se dizemos que 'z é igual a 85% de y', �camos a saber que z/y vale 0.85, o quesigni�ca que z é um pouco menor do que y.

• Saber que o custo de uma viagem de combóio entre duas cidades A e B passou de23 para 25.76 euros, e que o custo da viagem entre as cidades C e D, num combóioda mesma empresa, passou de 47 para 52.64 euros, fornece uma informação menosclara do que saber que a empresa resolveu aumentar os preços em 12%, que é acondição que leva à variação de preços indicada (veri�car!).

Figura 13: As percentagens permitem comparar facilmente duas grandezas.

Exercício 8. Escrever o valor decimal correspondente às expressões.

1. (a) 33% (b) 3.3% (c) 8.5% (d) 0.2% (e) 0.008%Solução (d). 0.2% = 0.2

100 = 0.002

2. (a) 33%× 25 (b) 12%× 3.43 (c) 8.5%× 8.5% (d) 0.2%× 23 + 11Solução (d). 0.2%× 23 + 11 = 0.2

100 × 23 + 11 = 4.6100 + 11 = 11.046

Exercício 9. Escrever os valores em percentagem que são equivalentes às expressões.

(a) 0.23 (b) 1.2 (c) 8.5 (d) 0.000034 (e) 1234Solução (c). 8.5 = x% ⇒ 8.5 = x

100 ⇒ x = 8.5× 100 = 850⇒ 8.5 = 850%

Exercício 10.

1. (a) 22, que percentagem é de 36? (b) 36, que percentagem é de 22?

Sol. (b) 3622 =≈ 1.64 = 164

100 = 164%.

2. (a) 2.52, que percentagem é de 36? (b) 36, que percentagem é de 2.52?

3. Que valores correspondem a (a) 10% de 5; (b) 100% de 5; (c) 1000% de 5; (d)10000% de 5?Solução (c). 1000%× 5 = 1000

100 × 5 = 50

4. Mostrar que x% de y é igual a y% de x.

5. Se 25% de y equivale a 13y, qual o valor de y?



1.3 Fracções

Uma fracção é qualquer expressão na forma ab , sendo a, b números inteiros e b 6= 0. A

�gura 14 nomeia os termos envolvidos numa fracção.

Figura 14: Designações dos termos de uma fracção.

A expressão ab representa o mesmo número que a expressão a÷ b.

Exemplo 7.

1. 42 = 4÷ 2 = 2

2. 12 = 1÷ 2 = 0.5

3. 53 = 5÷ 3 = 1.666 · · ·

Nota. Um número de dízima in�nita periódica como 1.666 · · · , também se pode repre-sentar na forma mais compacta 1.6. Outro exemplo: 23.567567567 · · · pode escrever-se23.567. Veremos adiante que todos os números de dízima in�nita periódica podem serrepresentados por fracções.

Vídeo 15. Fraccções: signi�cado elementar; soma.[04:21]

Segue-se uma propriedade muito importante das fracções.

O valor de uma fracção não se altera se multiplicarmos ou

dividirmos o numerador e o denominador pelo mesmo número,

não nulo, isto é, dada a fracção

a

b

e um número c 6= 0, temos

a

b=a× cb× c

=a÷ cb÷ c

.

Exemplo 8.

4

3=

4× 2

3× 2=

8

6

8

6=

8÷ 2

6÷ 2=

4

3.

Dizemos que uma fracção ab , com a, b inteiros positivos, se encontra na forma reduzida, se

não existe uma fracção equivalente com numerador menor que a e denominador menor queb.


https://youtu.be/usj0GiFdlsY


Exemplo 9.

A forma reduzida da fracção9

27é

1

3

A forma reduzida da fracção49

14é

7

2

A forma reduzida da fracção − 8

18é − 4

9

Exercício 11. Escrever as fracções na forma reduzida.

(a)1

5(b)

64

16(c)

18

30

Operações com fracções. Qual o interesse em representar números por fracções? Quevantagens existem em escrever 1

2 em vez de 0.5? O facto é que a representação de númerosusando fracções facilita as operações aritméticas. Este ponto �cará claro depois de falar-mos de operações envolvendo fracções.

Adição/Subtracção

Exemplo 10. Efectuar operação1

24+

3

9

Resolução

1. Para simpli�car, coloca-se a segunda fracção na forma reduzida.

1

24+

1

3

2. Escrevem-se ambas as fracções com o mesmo denominador.

1

24 (×1)+

1

3 (×8)=

1

24+

8

24

3. Somam-se as fracções obtidas.

1

24+

8

24=

1 + 8

24=

9

24=

3

8

Multiplicação/Divisão de fracções

Valem as seguintes regras operatórias para a multiplicação e divisão de fracções.

a

b× c

d=ac

bd(1.1)

a

b÷ c

d=a

b× d

c=ad

bc(1.2)



Exemplo 11. Efectuar a operação3

5× 7

4

Resolução

3

5× 7

4=

3× 7

5× 4=

21

20

Exemplo 12. Efectuar a operação

3

5÷ 7

4

Resolução

3

5÷ 7

4=

3

5× 4

7=

12

35

Vídeo 16. Justi�cação das regras da multiplicação e da divisão de fracções.[07:13]

Vantagem da representação de números por fracções. A representação de números por frac-ções é muito conveniente para a resolução de algumas operações aritméticas. Por exemplo,a soma

1

2+

1

5

é facilmente efectuada usando as notações decimais correspondentes às parcelas.

1

2+

1

5= 0.5 + 0.2 = 0.7

Não há vantagem operacional em efectuar esta soma usando fracções, em vez de notaçãodecimal. O mesmo não acontece com a operação

67

99+

49

99

que é facilmente efectuada usando a soma de fracções

67

99+

49

99=

116

99,

enquanto a mesma operação, usando a representação decimal das parcelas envolvidas, nãopode ser efectuada da forma usual, pois estas têm um número de dígitos in�nito,

67

99+

49

99= 0.676767 · · ·+ 0.494949 · · ·

Uma di�culdade análoga surge se quisermos multiplicar ou dividir estes números usando asua representação decimal.


https://youtu.be/DyyhKqMTC_4


1.4 Proporcionalidade directa e inversa

Consideremos o seguinte problema. Um trabalhador leva 1.5h a descarregar 26 sacos deum camião. Quanto tempo leva o mesmo trabalhador a descarregar 31 sacos? Nada sendodito em contrário, supõe-se que o trabalhador leva o mesmo tempo para descarregar cadaum dos 26 sacos, e que mantém o ritmo de trabalho na descarga de 31 sacos. Podemosresolver este exercício da forma seguinte:

1. Calcula-se o tempo t1 que o trabalhador gasta a descarregar 1 saco: t1 = 1.5÷26 =1.526 horas;

2. Multiplica-se este tempo pelo número de sacos, 31, obtendo-se o tempo t preten-dido: t = 1.5

26 × 31 ≈ 1.79 horas, o que dá aproximadamente 107 minutos, ou 1hora e 47 minutos.

Este cálculo é o mesmo que se realiza recorrendo a uma regra de três simples, como se podever no esquema seguinte.

1.5 horas −−− 26 sacos

t horas −−− 31 sacos

Obtemos para t o valor t = 1.5×3126 = 1.5

26 × 31, no qual se pode reconhecer a multiplicaçãodo tempo gasto na descarga de cada saco, 1.5

26 , pelo número de sacos, 31.

Designando por x o número de sacos descarregados, podemos escrever uma fórmula querelaciona t com x: t = 1.5

26 x. Esta igualdade é um exemplo de uma função: x representaum valor que conhecemos e t um valor que queremos conhecer. Neste caso, conhecendo onúmero de sacos x a descarregar, �camos a saber o tempo total da descarga substituindoesse valor na equação e calculando t

A igualdade t = 1.526 x é equivalente a t

x = 1.526 , cujo signi�cado é o seguinte: o quociente

entre o tempo de descarga t e o número de sacos a descarregar x é constante, para qual-quer par de valores t, x que satisfaça a igualdade. Dizemos por isso que as grandezas t ex são directamente proporcionais. Note-se que a relação t = 1.5

26 x é linear (o seu grá�cocorresponde a uma recta) e quando uma das grandezas é nula a outra também é (a rectacontém a origem). Só quando existe uma relação entre grandezas desta natureza é que éválido relacioná-las por meio de uma regra de três simples.

Só é válido usar regras de três simples para resolver problemas que envolvem grandezasdirectamente proporcionais. Um caso em que não é válido fazê-lo acontece no exemploacima, se considerarmos que o trabalhador vai �cando cansado à medida que a descargaavança, o que faz com que o tempo que leva a descarregar cada saco seja superior ao tempode descarga do saco anterior. Suponhamos que o trabalhador leva 7 minutos a descarregaros dois primeiros sacos e 8 minutos para descarregar os 3o e 4o sacos. Neste caso já nãopodemos dizer `se leva 7 minutos para descarregar dois sacos, então leva 14 minutos paradescarregar 4 sacos'. De facto leva 7 + 8 = 15 minutos a descarregar os 4 sacos.

Consideremos agora outro problema. Três trabalhadores levam 1.5h a descarregar umcamião. Quanto tempo levam cinco trabalhadores para fazer o mesmo trabalho? Nadasendo dito em contrário, supõe-se que os trabalhadores trabalham todos ao mesmo ritmoentre si, não importando quantos estejam a trabalhar. Podemos ser tentados a resolver



este exercício usando uma regra de três simples.

1.5 horas −−− 3 trabalhadores

t horas −−− 5 trabalhadores

Obtemos para t o valor t = 1.5×53 = 2.5 horas, que é um resultado absurdo, porque 5

trabalhadores devem descarregar o camião em menos tempo do que 3 trabalhadores. Porque é incorrecto tentar resolver este problema com esta regra de três simples? Porque asgrandezas `tempo' e `número de trabalhadores' não são directamente proporcionais. Se ofossem, então quando aumenta uma delas deveria também aumentar a outra. Ora nãoé isto que esperamos. O que esperamos é que um aumento do número de trabalhadorescorresponda a uma diminuição do tempo de descarga.

O modo de resolver este problema é o seguinte. Se 3 trabalhadores descarregam o camiãoem 1.5 horas, então cada trabalhador descarrega 1/3 da carga do camião em 1.5 horas.Se forem 5 trabalhadores a fazer a descarga, trabalhando todos ao mesmo ritmo, cada umdeles deve descarregar 1/5 da carga do camião. Se cada trabalhador individual trabalhaa um ritmo constante, então já existe uma proporcionalidade directa entre o tempo quecada um deles leva a fazer a descarga e a quantidade de carga que ele descarrega. A regrade três simples correspondente é a seguinte.

1.5 horas −−− 1/3 da carga

t horas −−− 1/5 da carga

Obtemos para t o valor t = 1/5×1.51/3 = 1.5×3

5 = 4.55 = 0.9 horas, ou 54 minutos.

Designando por x o número de trabalhadores, podemos escrever uma fórmula que relacionat com x: t = 1.5×3

x , que é idêntica a t = 4.5x . Esta igualdade pode ser escrita na forma

tx = 4.5, cujo signigicado é o seguinte: o produto do tempo t de descarga do camiãopelo número x de trabalhadores envolvidos é constante, para qualquer par de valores t, xque satisfaça a igualdade. Dizemos por isso que as grandezas t e x são inversamenteproporcionais. Uma função da forma t = 4.5

x é representada gra�camente por uma hipérbole,sendo que nenhuma das grandezas envolvidas se pode anular. Só quando existe uma relaçãoentre grandezas desta natureza é que temos uma relação de proporcionalidade inversa.

1.5 Conjuntos de números

Ao longo do nosso curso vamos usar vários conjuntos de números. O conjuntos designam-segeralmente por letras maiúsculas, podendo os seus elementos representar-se separando-ospor vírgulas e colocando a sequência obtida entre chavetas. Por exemplo, a expressãoA = {1, 2, 3} de�ne A como o conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3. Há algunsconjuntos su�cientemente importantes (por serem muito utilizados) para serem designadospor símbolos próprios, que são usados para referir apenas esses conjuntos. Indicamos aseguir os mais comuns.

1. Conjunto dos números naturais. Representa-se pelo símbolo N e correspondeao conjunto dos números inteiros positivos.

N = {1, 2, 3, · · · }

Há certos autores que incluem o zero neste conjunto. Neste texto, o símbolo usadoquando queremos considerar também o zero é N0, i.e., N0 = {0, 1, 2, 3, · · · }.



2. Conjunto dos números inteiros. Representa-se pelo símbolo Z e correspondeao conjunto constituido pelos números inteiros positivos, pelos números inteirosnegativos e pelo zero (o zero não tem sinal).

Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }

Para referir apenas os inteiros negativos usa-se o símbolo Z−. Para referir osinteiros negativos (positivos) juntamente com o zero, usa-se o símbolo Z−0 (Z+

0 ),etc. Como é fácil veri�car, o conjunto dos números naturais está contido noconjunto dos números inteiros. Matematicamente escreve-se esta relação da formaN ⊂ Z, que se lê N está contido em Z. Também se pode escrever Z ⊃ N, que selê Z contém N.

3. Conjunto dos números racionais. Representa-se pelo símbolo Q e correspondeao conjunto dos números que se podem representar na forma de fracções, como porexemplo 2

3 e −43 (o termo `racional' vem de `razão' que em matemática signi�ca

divisão).

Q = {ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0} (1.3)

É imediato veri�car que todos os números inteiros são também números racionais.Exemplos: (i) o número 4 pode representar-se pela fracção 4

1 , pela fracção 82 , etc;

(ii) o número −16 pode representar-se pelas fracções −161 , 32

−2 , etc; (iii) o número0 pode representar-se pelas fracções 0

2 ,0−3 , etc.

Podemos escrever Z ⊂ Q. Por ser também N ⊂ Z, podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q.Usa-se o símbolo Q− (Q+) para referir apenas os números racionais negativos(positivos); usa-se também o símbolo Q−0 (Q+

0 ) para referir os números racionaisnegativos (positivos), juntamente com o zero.

4. Conjunto dos números reais. Representa-se pelo símbolo R e corresponde àunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos número irracionais.Número irracional é todo o número que não pode ser representado como umafracção, i.e., é um número que não pertence ao conjunto Q.7 Exemplos destenúmeros são

√2, o número e (≈ 2.72), o número π (≈ 3.14), etc. Como se sabe que

estes números não são representáveis por uma fracção? Existem demonstraçõesdesses factos! No vídeo 17 está a prova para o caso de

√2. Para os casos de e

e π a prova não é tão simples. Existem números dos quais não se sabe se sãoracionais ou irracionais, como por exemplo (π − e) e (π + e). O conjunto dosnúmeros irracionais não tem um símbolo para o designar.

R = Q ∪ Irracionais

Podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Vídeo 17. Raiz quadrada de 2 é irracional.

[em breve]

Vídeo 18. Conjuntos de números.[09:33]

7Obs. a palavra irracional, devido ao pre�xo de negação ir, signi�ca literalmente que não é racional,isto é, que não é representável por uma divisão de inteiros.


https://www.youtube.com/watch?v=gXZ3S5acYLY


1.6 Potências

1.6.1 Potências de expoente inteiro

Uma potência de expoente inteiro positivo, como por exemplo 43 (ver �gura 15), é umaabreviatura para a expressão 4× 4× 4.

Figura 15: Designações dos termos de uma potência.

De um modo geral temos

ab = a× a× · · · × a︸︷︷︸'a' aparece 'b' vezes

se b for um número inteiro positivo.

1.6.2 Operações com potências

A representação de números reais usando potências é útil porque algumas operações sãoresolvidas de modo mais e�ciente se os números estiverem nesta forma. Apresentamos deseguida as propriedades de algumas operações com potências. Todas estas propriedadessão também válidas para potências de expoentes não inteiros, de que falaremos adiante,desde que as bases sejam não-negativas (i.e., pertençam a R+

0 ).

Multiplicação e divisão de potências. Estas são algumas regras operatórias relevantesna multiplicação e divisão de potências.

ab × cb = (ac)b (1.4)

ab × ac = ab+c (1.5)(a

b

)c=ac

bc(1.6)

ab

ac= ab−c (1.7)

Exemplo 13. Multiplicação de potências com o mesmo expoente.

43 × 23 = (4× 4× 4)× (2× 2× 2) = (4× 2)× (4× 2)× (4× 2) = (4× 2)3

De um modo geral temos ab × cb = (ac)b.



Exemplo 14. Multiplicação de potências com a mesma base.

73 × 72 = (7× 7× 7)× (7× 7) = (7× 7× 7× 7× 7) = 75

De um modo geral temos ab × ac = ab+c.

Exemplo 15. (4

5

)3

=4

5× 4

5× 4

5=

4× 4× 4

5× 5× 5=

43

53


(a

b

)c=ac

bc.

Exemplo 16.

43

23=

(4

2

)3

= 23

De um modo geral temosac

bc=

(a

b

)c.

Exemplo 17. Divisão de potências com a mesma base.

75 ÷ 73 =75

73=

7× 7× 7× 7× 7

7× 7× 7=

7× 7× 7 × 7 × 77 × 7 × 7

= 75−3 = 72

De um modo geral temosab

ac= ab−c.

As duas regras operatórias seguintes são consequência das regras para a multiplicação edivisão de potências, atrás apresentadas.

a−b =1

ab, a 6= 0 (1.8)

a0 = 1, a 6= 0 (1.9)

Exemplo 18. Potências com expoentes negativos.

73 ÷ 75 =73

75= 73−5 = 7−2

De um modo geral temos a−b =1

ab.

Exemplo 19. Potências com expoente nulo.

1 = 73 ÷ 73 =73

73= 73−3 = 70

De um modo geral temos a0 = 1, com a 6= 0.



1.7 Radicais

Um radical (ou raiz) é uma expressão da forma n√a, sendo n um inteiro positivo. A

expressão n√a lê-se raiz índice n de a (�gura 16), e é tal que

(n√a

)n= a.

Figura 16: Designações dos termos de um radical.

Exemplo 20. Raiz de índice n de um número.

n√a = b implica bn = a

3√

8 = 2 implica 23 = 85√−32 = −2 implica (−2)5 = −32√

49 = 7 implica 72 = 49

Exemplo 21. Designações de algumas raízes de números.

n√a = b lê-se b é raiz índice n de a

3√

8 = 2 lê-se 2 é raiz cúbica de 85√−32 = −2 lê-se −2 é raiz quinta de −32√

49 = 7 lê-se 7 é raiz quadrada de 49

Observações.

1. Normalmente omite-se o índice da raiz quando este é igual 2. Por exemplo, escreve-se√49 em vez de

√49.

2. A expressão n√a, com n par, representa um número real apenas quando o radicando a

não é negativo. Por consequência, não são números reais as expressões√−4, 4√−6, 12

√−1.

3. Vimos acima que 2√

49 = 7 porque 72 = 49. Mas também se veri�ca (−7)2 = 49. Por issose diz que 7 e −7 são as duas raízes quadradas de 49. A notação

√49 reserva-se para a

raiz quadrada positiva do número 49, i.e.√

49 = 7.

4. Por de�nição de raiz n-ésima de um número, podemos considerar que 1√a = a. Porquê?

O cálculo da raiz de índice n (ou raiz enésima) de um número, também se designa porextracção da raiz de índice n do número. A designação geral para a operação de extracçãode raízes é radiciação.

Vídeo 19. Raízes de números negativos.[04:37]


https://youtu.be/nAsF0aPl5SI


1.7.1 Propriedades da radiciação

Estas são algumas regras operatórias relevantes com radicais.(geralmente, a, b, c são números reais não negativos; os índices das raízes são númerosinteiros positivos.)

n√b× c =

n√b× n√c (1.10)

n

√a

b=

n√a

n√b

(1.11)

n√am = ( n

√a)m (1.12)

m

√n√a = mn

√a (1.13)

Exemplo 22.

1.

3√

64 = 3√

8× 8 =3√

8× 3√

8 = 2× 2 = 4

De um modo geral temosn√b× c =

n√b× n√c ,

não podendo ser b ou c negativos quando n é par.

2. √16

9=

√16√9

=4

3


n

√a

b=

n√a

n√b,

não podendo ser a e b negativos quando n é par.

3. Atendendo a que 64 = 43, temos√

64 =√43 = (

√4)3 = 23 = 8


n√am =

(n√a

)m,

não podendo ser a negativo quando n é par.

4. Atendendo a que 8 =√

64, temos

3√

8 =3

√√64 =

3×2√

64 =6√

64 = 2


m

√n√a = mn

√a ,

não podendo a ser negativo quando m ou n são pares.

Vídeo 20. Cálculo aproximado de radicais.[03:03]


https://youtu.be/L6SZVCGhpsU


1.7.2 Radicais escritos sob a forma de potências

Vamos mostrar que se a ≥ 0, m,n ∈ Z, n > 0, as expressões n√am e a

mn representam o

mesmo número.

Exemplo 23.

Consideremos a expressão 3√

52. Sabemos que o cubo desta expressão é igual a 52,i.e. (

3√

52

)3

=3√

52 × 3√

52 × 3√

52 = 52. (1.14)

Se na expressão anterior substituirmos 3√

52 por 523 e usarmos a regra do produto

de potências com a mesma base (ver exemplo 14, pg. 23), temos(5

23

)3

= 523 × 5

23 × 5

23 = 5

23

+ 23

+ 23 = 5

63 = 52. (1.15)

Na expressão (1.15) usou-se, com expoentes não inteiros, a regra operatória de potênciasindicada na fórmula (1.5), pg. 22, somando os expoentes na expressão 5

23 × 5

23 × 5

23 .

Atendendo às expressões (1.14) e (1.15), veri�camos que 3√

52 e 523 se comportam como

sendo o mesmo número, uma vez que o seu cubo é o mesmo.

Vídeo 21. n√am = a

mn .[05:09]

1.8 Logaritmação

O logaritmo na base b de um número a > 0, com b > 0, b 6= 1, é um número denotadopela expressão logb a que representa o expoente a que se deve elevar a base b para obter a(�gura 17). A operação de cálculo de um logaritmo designa-se por logaritmação:

logb a = c ⇔ bc = a, a > 0, b > 0, b 6= 1.

Figura 17: Designações dos termos de um logaritmo.

Exemplo 24. Cálculo de alguns logaritmos.

log10 100 = 2 signi�ca 102 = 100

log4 2 =1

2signi�ca 4

12 =√

4 = 2

log2

1

2= −1 signi�ca 2−1 =

1

2log0.1 0.01 = 2 signi�ca 0.12 = 0.01


https://youtu.be/teyAEZnS3DQ


Exercício 12.

1. Determinar os valores dos logaritmos.

(a) log10 103 (b) log5 53 (c) log4 45 (d) log2

√2

(e) log0.1 100 (f) log5

1

5(g) log2.5 6.25 (h) log 1

4

1

2

Solução (f). log515 = c signi�ca 5c = 1

5 = 5−1, e por isso c = log515 = −1

2. Determinar os argumentos x dos logaritmos.

(a) log3 x = 2 (b) log5 x = 1.5 (c) log5 x = 1 (d) log2 x =1

4

Solução (b). log5 x = 1.5 signi�ca x = 51.5

3. Determinar as bases b dos logaritmos.

(a) logb 16 = 2 (b) logb 125 = 5 (c) logb 10 = 0.1 (d) logb e2 = 2

Solução (d). logb e2 = 2⇔ b2 = e2 ⇔ b = e

O cálculo do logaritmo logb a, corresponde à resolução da equação na incógnita x, logb a =x, o que é o mesmo que resolver a equação bx = a, se a > 0. Usando este facto, podemosobter facilmente valores aproximados de logaritmos.

Exemplo 25. Determinar dois números inteiros consecutivos que enquadrem o valor dologaritmo.

(a) log10 8 (b) log10 55 (c) log10 300 (d) log2 34.5

(e) log0.1 2 (f) log5 12.3 (g) log2.5 7 (h) loge 12

Solução (b). log10 55 = x. Sabemos que log10 55 = x ⇔ 10x = 55. Usando o facto dafunção 10x ser crescente (falaremos desta função adiante no nosso curso), substituimossucessivos valores inteiros na variável x de modo a enquadramos o valor 55.

x = 1⇒ 10x = 101 = 10 < 55

x = 2⇒ 10x = 102 = 100 > 55

Como 10 < 55 < 100, então log10 10 < log10 55 < log10 100 ⇔ 1 < log10 55 < 2.

1.8.1 Propriedades dos logaritmos

Estas são algumas regras operatórias com logaritmos � a, b, c são números reais positivos;c pode ser qualquer número na fórmula (1.18).

logb(a× c) = logb a+ logb c (1.16)

logba

c= logb a− logb c (1.17)

logb ac = c× logb a (1.18)

blogb a = a (1.19)



Exemplo 26.

1. Logaritmo de um produto.

log2(8× 4) = log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5


logb(a× c) = logb a+ logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma produtos, a× c,

em somas, logb a+ logb c.

2. Logaritmo de um quociente.

log2

8

4= log2 8− log2 4 = 3− 2 = 1


logba

c= logb a− logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma divisões,a

c,

em subtracções, logb a− logb c.

3. Logaritmo de uma potência.

log2 43 = 3× log2 4 = 3× 2 = 6


logb ac = c× logb a.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma potências, ac,

em multiplicações, c× logb a.

4. Vale também a igualdade

blogb a = a

Por exemplo,

3log3 9 = 32 = 9.

A natureza simpli�cadora do operador logaritmo, revelada por estas regras, faz com queeste operador apareça 'por toda a parte' na matemática. Todas estas propriedades podemser demonstradas. Como exemplo, vamos demonstrar a propriedade 2 enunciada acima.

Prova. (da propriedade logbac = logb a− logb c)

Seja logb a = x e logb c = y. Usando a de�nição de logaritmo podemos escrever

logb a = x⇒ a = bx logb c = y ⇒ c = by.

e por isso

logba

c= logb

bx

by.


2. Prioridade das operações aritméticas 29

Como, pela regra da divisão de potências com a mesma base, se pode escrever

bx

by= bx−y ,

obtemos

logba

c= logb

bx

by= logb b

x−y = x− y = logb a− logb c.

Vídeo 22. Mudança de base.[04:45]

Vídeo 23. Não existe logb 0.[04:06]

Vídeo 24. Cálculo aproximado de logaritmos.[06:12]

Exercício 13. Sejam b, c dois números positivos, com b 6= 1. Mostrar que logb a = logc alogc b

.

2 Prioridade das operações aritméticas

O esquema seguinte a ordem em que devem ser resolvidas as operações matemáticas emgeral, de modo a obter-se o valor numérico de uma expressão em que todos os operandossão números.

1. Resolver as expressões entre parênteses.Exemplo. Da expressão (2 + 5)2, está certo dizer que tem o mesmo valor que 75;está errado dizer que tem o mesmo valor que 22 + 52.

2. Resolver as potências (raízes).Exemplo. Da expressão 5× 32, está certo dizer que tem o mesmo valor que 5× 9;está errado dizer que tem o mesmo valor que (5× 3)2.

3. Resolver multiplicações e divisões antes de somas e subtracções.Exemplo. Da expressão 5 × 3 + 2, está certo dizer que tem o mesmo valor que15 + 2; está errado dizer que tem o mesmo valor que 5× 5.

4. Entre operações com a mesma prioridade resolver primeiro as que estão mais àesquerda.Exemplos. Da expressão 15 ÷ 3 × 2, está certo dizer que tem o mesmo valorque 5 × 2; está errado dizer que tem o mesmo valor que 15 ÷ 6. Na expressão15÷ (3× 2), está certo dizer que tem o mesmo valor que 15÷ 6; está errado dizerque tem o mesmo valor que 5× 2 (por causa do ponto 1 acima).

3 Equações e inequações

Equações. Uma equação numérica é uma igualdade em que ambos os membros sãoexpressões numéricas contendo um ou mais termos, geralmente letras, que representamvalores desconhecidos (incógnitas).

Exemplo 27. Exemplos de equações.

2x+ 3 = 5 equação na variável x (1.20)

2x+ 3y = −3x equação nas variáveis xe y


https://youtu.be/hd1dH-QnSfU

https://youtu.be/8myN75VzFsA

https://youtu.be/afLVOFgpZ4k

30 3. Equações e inequações

Uma equação transforma-se numa igualdade numérica verdadeira sempre que as incógnitassão substituidas por valores que tornam iguais os dois membros da equação. Tais valoresdas incógnitas designam-se por soluções ou raízes da equação.

Exemplo 28. x = 1 é uma solução (neste caso a única solução) da equação (1.20), porquesubstituindo x por 1 na equação obtemos a igualdade verdadeira 2× 1 + 3 = 5.

Uma igualdade que se veri�ca para todos os valores da incógnita, designa-se por identidade.

Exemplo 29. A igualdade (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é uma identidade (porquê?). Porvezes representam-se as identidades usando o símbolo '≡' em vez de '=', para realçarque as igualdades em causa são identidades. Assim, a igualdade anterior pode escrever-se(x+1)2 ≡ x2+2x+1. A igualdade x+1 = 3 não é uma identidade, porque não é verdadeirapara todos os valores de x.

Uma equação pode ter uma solução, nenhuma solução ou várias soluções. Uma equaçãoque tem uma ou mais soluções, diz-se possível ou resolúvel. Uma equação que não temsoluções, diz-se impossível ou irresolúvel. O conjunto de todas as soluções de uma equaçãodesigna-se por conjunto solução da equação.

Exercício 14. Nas três equações seguintes há uma que tem uma só solução, outra quenão tem soluções e ainda outra que tem in�nitas soluções. Identi�car estes três casos.

(a) x+ 3 = −3 (b) x+ 1 = x+ 1 (c) x+ 1 = x+ 2

Solução (b). A equação x+ 1 = x+ 1 tem por soluções todos os números reais (éuma identidade). Tem, por isso, in�nitas soluções.

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Existem equações de váriostipos, cada um deles requerendo estratéias próprias de resolução. Há, no entanto, um con-junto de princípios (técnicas de resolução) e de conceitos, que se usam seja qual for o tipode equação considerado.

Um desses conceitos é o de equivalência de equações. Duas equações dizem-se equivalentesse têm as mesmas soluções. Por exemplo, as equações x2 = 1 e (x − 1)(x + 1) = 0 sãoequivalentes, sendo o conjunto solução de ambas {−1, 1}.

Exercício 15. Mostrar que as equações (x2 + 1)(x− 1) = 0 e x− 1 = 0 são equivalentesno conjunto dos números reais.8

Resolver uma equação, consiste em mudar sucessivamente a sua forma, até obter umaequação equivalente à inicial, da qual se pode fazer uma leitura fácil das soluções.

8Se considerarmos o conjunto dos números complexos, C, que é mais amplo que o conjunto dos númerosreais, R, as equações deixam de ser equivalentes porque (x2 + 1)(x− 1) = 0 admite em C as raízes −

√−1

e√−1, que não são números reais.


3. Equações e inequações 31

Exemplo 30. Resolver a equação 5(2+2x)3 = 2x− 6.

5(2 + 2x)

3= 2x− 6⇔

⇔ 5(2 + 2x) = 3(2x− 6) (1.21)

⇔ 10 + 10x = 6x− 18 (1.22)

⇔ 10x− 6x = −10− 18 (1.23)

⇔ 4x = −28 (1.24)

⇔ x =−28

4(1.25)

⇔ x = −7 (1.26)

No exemplo acima partimos da equação 5(2+2x)3 = 2x − 6, cuja forma não torna imediato

saber quais são as raízes da equação. Por transformações de equivalência obtivemos a equa-ção x = −7, que deixa claro que a equação tem como única raiz −7. Uma transformaçãode equivalência é uma transformação de um, ou ambos, os membros de uma equação, quenão muda o conjunto solução desta. As transformações de equivalência são essencialmentede 3 tipos. Elas resultam dos três princípios de equivalência seguintes.

1o Princípio de equivalência: Multiplicando ambos os membros de uma equaçãopor uma mesma expressão, diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente àprimeira. Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, porexemplo, na obtenção da equação (1.21) � multiplicaram-se ambos os membrosda equação inicial por 3.

2o Princípio de equivalência: Substituindo um dos membros de uma equação poruma expressão equivalente a esse membro, obtém-se uma equação equivalente àprimeira. Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu,por exemplo, na obtenção da equação(1.22) � relativamente à equação (1.21), oprimeiro membro 5(2 + 2x) foi substituido pela expressão equivalente 10 + 10x eo segundo membro 3(2x− 6) foi substituido pela expressão equivalente 6x− 18.

3o Princípio de equivalência: Se um membro de uma equação é a soma de duas oumais expressões, obtém-se uma equação equivalente à primeira passando para ooutro membro uma qualquer dessas expressões com o sinal trocado. Na solução daequação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, por exemplo, na obtenção daequação(1.23) � relativamente à equação (1.22), a parcela 10 passou do primeiromembro para o segundo com o sinal trocado; a parcela 10x passou do segundomembro para o primeiro com o sinal trocado.

Exercício 16. No exemplo 30, indicar quais dos três princípios foram usados para obteras equações (1.24), (1.25), (1.26).Solução para a expressão (1.26). Aplicou-se a (1.25) o 1o princípio de equivalência,multiplicando-se ambos os membros pela expressão 1/4.

Vídeo 25. Resolução de equações � 1.[07:06]


https://youtu.be/xy6ssxrN1Bg

32 3. Equações e inequações

Inequações. Uma inequação numérica é uma desigualdade em que ambos os membrossão expressões numéricas contendo um ou mais termos, geralmente letras, que representamvalores desconhecidos (incógnitas). Os sinais que relacionam os dois membros de umainequação podem ser > (maior que), ≥ (maior ou igual a), < (menor que), ≤ (menor ouigual a).9 Notar que, por exemplo, a ≤ b é uma expressão verdadeira quando a é menorque b, ou quando a é igual a b. É falsa quando a é maior que b. Analogamente para a ≥ b,trocando `menor' por `maior'.

Exemplo 31. Exemplos de uso dos operadores relacionais >,≥, <,≤.

2 < 3 é uma expressão verdadeira 2 < −2 é uma expressão falsa

3 > 2 é uma expressão verdadeira 2 > 3 é uma expressão falsa

3 ≥ 3 é uma expressão verdadeira 3 > 3 é uma expressão falsa

3 ≤ 3 é uma expressão verdadeira 3 < 3 é uma expressão falsa

2 ≤ 3 é uma expressão verdadeira

Exemplo 32. Exemplos de inequações.

2x+ 3 > 5 inequação na variável x (1.27)

x2 − 2x+ 1− y ≤ 2x+ 2y inequação nas variáveis xe y

Uma inequação transforma-se numa expressão verdadeira sempre que as incógnitas sãosubstituidas por valores que tornam verdadeira a relação numérica resultante. Tais valoresdas incógnitas designam-se por soluções da inequação.

Exemplo 33. x = 2 e x = 3 são duas das soluções da inequação (1.27), porque substi-tuindo x por 2 obtemos a desigualdade verdadeira 7 > 5 e substituindo x por 3 obtemos adesigualdade verdadeira 9 > 5.

Tal como para as equações, uma inequação pode ter uma solução, nenhuma solução ouvárias soluções. Se uma inequação tem uma ou mais soluções, então diz-se possível ouresolúvel. Se não tem soluções, diz-se impossível ou irresolúvel.

Exercício 17. Identi�car, nas três inequações seguintes, qual a que tem uma só solução,qual a que não tem soluções e ainda qual a que tem in�nitas soluções.

(a) x+ 3 > −3 (b) 2 ≤ 2 + |x| (c) x+ 1 > x+ 2

Solução (c). A inequação x+ 1 > x+ 2 é impossível, porque não existe nenhumvalor de x, tal que a soma desse valor com 1 seja igual à soma desse valor com 2.

Resolver uma inequação é um processo análogo à solução de uma equação, consistindo emmudar a sua forma, obtendo sucessivas inequações equivalentes, até obter uma inequaçãonuma forma su�cientemente simples para que as soluções possam dela ser lidas. Aplicam-se os mesmos princípios de equivalência que se usam na resolução de equações, com umaressalva. Na aplicação do primeiro princípio de equivalência, deve ter-se em atenção oseguinte: se a expressão pela qual se multiplicam ambos os membros da inequação fornegativa, a orientação do operador de desigualdade muda. Para perceber que tem que serassim, consideremos a desigualdade verdadeira 4 ≤ 5. Se multiplicarmos por −2 ambosos membros, obtemos a relação falsa −8 ≤ −10. Para continuarmosa ter uma relaçãoverdadeira depois desta operação devemos escrever −8 ≥ −10.

9Há autores que designam por inequação toda a relação que envolve apenas algum dos operadores <,>.


4. Equação da recta 33

Exercício 18. Resolver a inequação 4x+ 2 > x− 1.Solução

4x+ 2 > x− 1⇔ 4x− x > −1− 2

⇔ 3x > −3

⇔ x > −1

Conjunto solução =]− 1,+∞[

Igualdades e desigualdades múltiplas. Expressões como (a = b = c) ou (a > b ≥c < d) são verdadeiras somente quando é verdadeira a relação de�nida por cada operador epelos operandos imediatamente à sua esquerda e à sua direita. Por exemplo, (3 = 2+1 = 4)é falsa porque, ainda que (3 = 2 + 1) seja uma relação verdadeira, (2 + 1 = 4) não o é.Já (3 < −4 ≤ −5) é uma relação falsa, dado que tanto (3 < −4) como (−4 ≤ −5) sãorelações falsas.

Vídeo 26. Resolução de inequações � 1.[06:53]

Vídeo 27. Resolução de inequações � 2.[06:31]

4 Equação da recta

Na �gura 18 representa-se um segmento da recta r. Suponhamos um referencial cartesiano,constituido por dois eixos, sendo o eixo horizontal o eixo dos xx e o eixo vertical o dosyy. Na parte esquerda da �gura veri�camos que a uma variação ∆x de x, correspondea variação ∆y de y. O quociente ∆y

∆x representa-se geralmente pela letra m e designa-sepor declive da recta. Este quociente é constante, independentemente do valor numéricode ∆x e do ponto x da recta onde esta variação é medida. Na parte direita da �guraexempli�ca-se isto mesmo, produzindo-se uma variação de 2∆x em x. Por semelhança dostriângulos envolvidos, veri�ca-se que a variação em y é 2∆y, pelo que o quociente destasvariações, 2∆y

2∆x = ∆y∆x , continua a ser m. Esta é uma propriedade distintiva da recta, i.e.,

a recta é a única curva10 no plano com a propriedade de o quociente das variações em ypelas correspondentes variações em x ser constante.

Figura 18: m é a taxa de variação de y com x. É uma constante designada por declive da recta.

10Em geometria, a expressão curva designa qualquer linha. Por exemplo, as circunferências e as rectassão exemplos de curvas no plano.


https://youtu.be/6q2kOWafZ9o

https://youtu.be/FkPWk8cdUGg

34 4. Equação da recta

É agora fácil obter a equação da recta na forma reduzida, y = mx + b. Para o fazer,consideram-se dois pontos quaisquer da recta (x, y) e (x0, y0), e procede-se como a seguirse indica.

1. m = ∆x∆y = y−y0

x−x0 .

2. Podemos escrever sucessivamente

m =∆y

∆x=y − y0

x− x0⇔ m(x− x0) = y − y0

⇔ y = mx−mx0 + y0 ⇔ y = mx + b, sendo b = −mx0 + y0

Nas �guras 19 e 20 estão representadas algumas rectas. Salienta-se o seguinte.

- Rectas paralelas têm o mesmo declive m;

- O parâmetro b na equação y = mx + b, corresponde ao ponto de intersecção darecta com o eixo dos yy.

Figura 19: Rectas paralelas com declive m > 0.

Figura 20: Rectas paralelas com declive m < 0.

Figura 21: Rectas horizontais, x = a, e verticais, y = b.

Na �gura 21 estão representadas rectas horizontais (paralelas ao eixo dos xx) e verticais(paralelas ao eixo dos yy). Salienta-se o seguinte:

- As rectas horizontais são da forma x = a, sendo a a abcissa do ponto de intersecçãoda recta com o eixo dos xx;


4. Equação da recta 35

- As rectas verticais são da forma y = b, sendo b a ordenada do ponto de intersecçãoda recta com o eixo dos yy.

Vídeo 28. Recta.[09:31]

Exercício 19. Veri�car analíticamente quais as rectas a que pertence o ponto (x, y) =(1, 2).

(a) x = 1 (b) y = 2 (c) y = 3x− 1 (d) y = 2x+ 2

Solução (c). O ponto (x, y) = (1, 2) pertence à recta, porque substituindo naequação a variável x por 1 e a variável y por 2, obtém-se uma igualdade verdadeira:2 = 3× 1− 1⇔ 2 = 2.


https://youtu.be/5vSG05TkJWc

Capítulo 2

Matrizes. Sistemas de Equações

Lineares. Determinantes

1 Matrizes

1.1 Conceitos Gerais Sobre Matrizes

Matrizes são quadros de números delimitados por parênteses rectos. As matrizes designam--se, geralmente por letras maiúsculas.

Exemplo 34. A =

[1 00 1

]B =

1 0 2.10 −1 2

34 −1 π

C =

1 00 −14 −1

Cada um dos termos que surje numa matriz designa-se por elemento da matriz. Umelemento de uma matriz pode ser um número ou outra expressão qualquer. Cada �lahorizontal de elementos duma matriz designa-se por linha da matriz, designando-se cada�la vertical de elementos por coluna da matriz. Usa-se o termo �la para designar umacoluna ou uma linha. As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerdapara a direita, começando em 1.

Exemplo 35. A linha 1 da matriz B do exemplo 34 é formada pelos elementos 1, 0 e 2.1.A coluna 3 da matriz B é formada pelos elementos 2.1, 2

3 e π.

A expressão �número de linhas x número de colunas� designa-se por tipo da matriz. Amatriz A do exemplo 34 é do tipo 2× 2 (lê-se �dois por dois�); a matriz B do exemplo 34 édo tipo 3×3 (lê-se �três por três�); a matriz C do exemplo 34 é do tipo 3×2 (lê-se �três pordois�).O número total de elementos de uma matriz é igual ao produto do seu número delinhas pelo seu número de colunas. No exemplo 34, a matriz A tem 2× 2 = 4 elementos, amatriz B tem 3× 3 = 9 elementos e a matriz C tem 3× 2 = 6 elementos. A informação dotipo da matriz pode associar-se à letra que a designa. As matrizes acima referidas podemser designadas por A2×2, B3×3, C3×2. A seguir apresenta-se a de�nição formal de matriz.

De�nição 1. Sejam m e n dois inteiros positivos. Designa-se matriz do tipo m por nqualquer quadro com m × n expressões, dispostas em m linhas por n colunas (ver �gura22).

37

38 1. Matrizes

Figura 22: Matriz do tipo m por n: tem m linhas e n colunas.

Os elementos de uma matriz C designam-se por cij , sendo c a letra minúscula correspon-dente à designação C, e i, j respectivamente os números da linha e da coluna da posiçãoem que o elemento se encontra.

Exemplo 36. Para a matriz B do exemplo 34 temos, por exemplo

b13 = 2.1 b22 = −1 b33 = π.

Uma forma sintética de representar uma matriz do tipo m× n é

A =[aij], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Uma �la de uma matriz diz-se nula (linha nula ou coluna nula), se todos os seus elementossão iguais a zero. Duas matrizes A e B do mesmo tipo dizem-se iguais, e escreve-se A = B,se aij = bij , para todos os pares de índices i, j possíveis.

Exercício 20. Substituir os símbolos `∗' pelos valores adequados, de forma a obter-seA = B.

A =

2∗1

B =

∗−3∗

Vídeo 29. Matrizes: terminologia.[03:39]

1.2 Tipos de Matrizes

Apresenta-se abaixo a terminologia usual respeitante a alguns tipos de matrizes que ocor-rem frequentemente em aplicações de diversa natureza.

Matriz linha É toda a matriz com uma só linha, na formaA =[a11 a12 · · · a1n

].

Matriz coluna É toda a matriz com uma só coluna, na forma B =

b11

b21

· · ·bm1

.Capítulo 2. Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes

Mário Abrantes

https://youtu.be/cStctoNMWwY

1. Matrizes 39

Matriz nula É qualquer matriz cujos elementos são nulos. Representa-se geralmente

pela letra O. Por exemplo O2×3 =

[0 0 00 0 0

].

Matriz quadrada É toda a matriz do tipo n× n. Por exemplo A =

[1 3−3 9

].

A diagonal formada pelos elementos 1 e 9 diz-se diagonal principal damatriz. A outra diagonal, formada pelos elementos 3 e −3, diz-se diago-nal secundária. De uma forma geral, dada uma matriz quadrada An×n,a diagonal principal é formada pelos elementos aii, 1 ≤ i ≤ n.

Matriz identidade É toda a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal sãoiguais a 1, sendo os restantes elementos nulos. Representa-se geralmentepela letra I. Por exemplo,

I3×3 =

1 0 00 1 00 0 1

.Uma forma abreviada de representar a matriz identidade do tipo n × né I = [irs] , com irs = δrs, sendo δrs o símbolo de Kronecker:

δrs =

{1 se r = s0 se r 6= s

.

Matriz triangular É toda a matriz quadrada cujos elementos acima ou abaixo da diagonalprincipal são nulos. A matriz identidade é um caso particular de matriztriangular.

Uma matriz triangular diz-se triangular superior se é da forma

A =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann

.Uma matriz triangular diz-se triangular inferior se é da forma

A =

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

.

Vídeo 30. Tipos de matrizes.[04:38]

1.3 Álgebra Matricial

As matrizes são objectos matemáticos. Geralmente os objectos matemáticos existem parapodermos efectuar com eles algum tipo de cálculo. Esta secção descreve algumas dasoperações mais importantes que se efectuam com matrizes.

Capítulo 2. Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes

Mário Abrantes

https://youtu.be/NPnVbfSKyzk

40 1. Matrizes

1.3.1 Adição de matrizes

Dadas duas matrizes A =[aij]e B =

[bij], ambas do tipo m × n, de�ne-se a adição (ou

soma) das matrizes A e B como sendo a operação de que resulta a matriz S =[sij]do

tipo m× n, tal que S = A+B =[sij]

=[aij + bij

], com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Notar que a adição de matrizes está de�nida apenas entre matrizes do mesmo tipo. Apesarde o símbolo da adição de matrizes, '+', ser o mesmo que é utilizado na adição aritmé-tica, no caso das matrizes a operação é de�nida entre matrizes, enquanto na aritmética éde�nida entre números.

Exemplo 37.[12

]+

[34

]=

[1 + 32 + 4

]=

[46

]

[12

]−

[3−4

]=

[1− 3

2− (−4)

]=

[−26

]

2 0 2 −33 4 10 −18 2 3 1

+

12 3 2 53 9 6 −1−1 0 0 −1

=

14 3 4 26 13 16 −27 2 3 0

Exercício 21. Determinar os elementos �∗� na expressão matricial.[14 ∗ ∗ 23 7 ∗ −2

]+

[∗ 3 2 −2−1 ∗ ∗ −1

]=

[2 1 5 02 2 16 −3

].

Exercício 22. Justi�car que a expressão seguinte não tem sentido.[2 23 −2

]+

[−2−1

].

Exercício 23. Qual das seguintes expressões tem signi�cado?

1 + 2 1 + [2]

1.3.2 Multiplicação de matrizes por números

Dada uma matriz A =[aij], do tipo m× n, e um número1α, de�ne-se o produto αA (ou

α×A), da forma αA =[α× aij

], com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

1Alguns autores designam os números por escalares. Nesse caso podemos ter o título Multiplicação dematrizes por escalares, em vez de Multiplicação de matrizes por números. O termo escalar é usado nafísica para referir valores numéricos de grandezas, distinguindo-se de outro tipo de objectos, designadospor vectores, sendo estes de�nidos não só por um valor numérico, mas também por uma direcção espaciale um sentido sobre essa direcção.


Mário Abrantes

1. Matrizes 41

Exemplo 38.

−3

[3 00 4

]=

[−3× 3 −3× 0−3× 0 −3× 4

]=

[−9 00 −12

]

2

[2 0 2 −33 4 10 −1

]=

[4 0 4 −66 8 20 −2

]=

[2 0 2 −33 4 10 −1

]2

Propriedades da adição de matrizes e da multiplicação de matrizes por númerosA adição de matrizes e a multiplicação de matrizes por números, têm algumas propriedadesformalmente comuns2 com a adição e o produto aritméticos (daí as designações adição emultiplicação das operações matriciais).

1) (A+B) + C = A+ (B + C) propriedade associativa

2) A+B = B +A propriedade comutativa

3) 0 +A = A+ 0 = A existência de elemento neutro da adição

4) A+ (−A) = 0 existência de matriz simétrica

5) r(A+B) = rA+ rB distributividade à esquerda da multiplicação por

um número, relativamente à adicão de matrizes

6) (rs)A = r(sA) associatividade na multiplicação de matrizes

por números

Vídeo 31. Adição e produto por um número.[04:22]

1.3.3 Multiplicação de matrizes

A multiplicação (ou produto) de matrizes é uma operação muito importante, devido àqual a álgebra matricial é um instrumento de cálculo largamente utilizado em processosde quanti�cação na economia, nas engenharias, na física e nas ciências em geral. A mul-tiplicação de duas matrizes A, B, pode indicar-se por A × B ou simplesmente por AB.Veremos adiante que a ordem pela qual se indicam as matrizes não é irrelevante, i.e, emgeral AB 6= BA. Vamos começar por efectuar esta operação com alguns exemplos simplesantes de apresentarmos o caso geral.

Exemplo 39. Produto de uma matriz linha por uma matriz coluna.

[1 2 3

]×

456

=[

1× 4 + 2× 5 + 3× 6]

=[

32]

São válidas as seguintes relações entre os números de linhas e de colunas das matrizesenvolvidas no produto U = AB de uma matriz A do tipo m×n, por outra B do tipo n×p.

2I.e. iguais em termos das fórmulas que as exprimem.


Mário Abrantes

https://youtu.be/cdqQ8GFNVSw

42 1. Matrizes

1. O número n de colunas de A tem que ser igual ao número n de linhas de B. Nocaso do exemplo 39, temos n = 3.

2. O número de linhas da matriz produto U é igual ao número de linhas da matrizA. No caso do exemplo 39 esse número é 1.

3. O número de colunas da matriz produto U é igual ao número de colunas da matrizB. No caso do exemplo 39 esse número é 1.

Resumindo as duas últimas relações: a matriz U que resulta do produto AB de uma matrizAm×n por uma matriz Bn×p, é uma matriz do tipo m× p. No caso do exemplo 39 o tipoda matriz produto é 1× 1.

Exemplo 40. Produto de uma matriz linha por uma matriz.

[1 2 3

]×

4 75 86 9

=[

1× 4 + 2× 5 + 3× 6 1× 7 + 2× 8 + 3× 9]

=[

32 50]

Notar que a matriz produto tem tantas linhas (uma linha) quantas a matriz à esquerda dooperador '×' e tantas colunas (duas colunas) quantas a matriz à direita do operador '×'.

Exemplo 41. Produto de duas matrizes.

[1 2 34 5 6

]×

7 −18 −29 −3

=

[1× 7 + 2× 8 + 3× 9 1× (−1) + 2× (−2) + 3× (−3)4× 7 + 5× 8 + 6× 9 4× (−1) + 5× (−2) + 6× (−3)

]

=

[50 −14122 −32

]

Segue a de�nição geral de produto de duas matrizes.

De�nição 2. Sejam A uma matriz do tipo m×n e B uma matriz do tipo n×p. A matrizproduto de A por B, é a seguinte matriz U do tipo m× p,

U = AB = [uij ],

sendo os elementos uij calculados da forma,

uij = ai1b1j + ai2b2j + ...+ ainbnj =n∑k=1

aikbkj ,

com i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n.

Vídeo 32. Operador Sigma.[06:34]

Vídeo 33. Produto de Matrizes.[07:22]


Mário Abrantes

https://youtu.be/SEZgCeOgAAI

https://youtu.be/-e3T5KPC2XE

1. Matrizes 43

Os seguintes esquemas são formas equivalentes de entender a multiplicação de matrizes.Nestes esquemas Li é a designação da i-ésima linha da matriz A e Cj a designação daj-ésima coluna da matriz B.

AB =

L1

L2

· · ·Lm

× [ C1 C2 · · · Cn

]=

L1C1 L1C2 · · · L1CnL2C1 L2C2 · · · L2Cn· · · · · · · · · · · ·LmC1 LmC2 · · · LmCn

(2.1)

AB = A×[C1 C2 · · · Cn

]=[AC1 AC2 · · ·ACn

](2.2)

AB =

L1

L2

· · ·Lm

×B =

L1BL2B· · ·LmB

(2.3)

As três expressões acima salientam os aspectos formais que caraterizam a multiplicação dematrizes.

1. A expressão 2.1 deixa claro que o cálculo do elemento na linha i e coluna j damatriz produto se obtém multiplicando a linha Li da matriz A pela coluna Cj damatriz B.

2. A expressão 2.2 mostra que a matriz produto tem tantas colunas quantas a matrizB.

3. A expressão 2.3 mostra que a matriz produto tem tantas linhas quantas a matrizA.

Vídeo 34. Diferentes formas para o produto de matrizes.[]

Propriedades da multiplicação de matrizes A multiplicação de matrizes tem algu-mas propriedades que são expressas de formas semelhantes (fórmulas com a mesma forma)às das propriedades da multiplicação aritmética (daí a designação multiplicação tambémser usada para a operação com matrizes).

1. (AB)C = A(BC) propriedade associativa

2. IA = A ; BI = B identidade multiplicativa

3. A(B + C) = AB +AC distributividade à esquerda

4. (A+B)C = AC +BC distributividade à direita

5. (rA)B = A(rB) = r(AB) homogeneidade


Mário Abrantes

44 1. Matrizes

Exercício 24. Exempli�car cada uma das propriedades acima indicadas.Resolução Exempli�cação da propriedade 5, com r = 5, A2×2, B2×1.

5×

[2 11 2

][ 34

]=

[10 55 10

][34

]=

[30 + 2015 + 40

]=

[5055

]

[2 11 2

]5×

[34

] =

[2 11 2

][1520

]=

[30 + 2015 + 40

]=

[5055

]

5×

[ 2 11 2

][34

] = 5×

[6 + 43 + 8

]=

[5055

]

Exercício 25. Utilizar as matrizes A,B e C para mostrar que a igualdade AB = ACnão implica sempre B = C, i.e., na álgebra de matrizes não é válida a lei do corte para oproduto.

A =

[1 12 2

]B =

[2 3−3 −4

]C =

[−1 00 −1

]

Exercício 26. Utilizar as matrizes A,B do exercício 25 para veri�car o seguinte.

1. AI = IA = A.

2. AB 6= BA, i.e. em geral não é válida a propriedade comutativa para o produtomatricial.

Exercício 27. Utilizar as matrizes A e B para mostrar que pode ser AB = 0, apesar dese ter A 6= 0 e B 6= 0, i.e. na álgebra de matrizes não é válida a lei do anulamento doproduto.

A =

[1 12 2

]B =

[3 1−3 −1

]

1.3.4 Matriz Transposta

A matriz transposta de uma matriz A representa-se por AT e é a matriz que se obtémtrocando as linhas de A pelas suas colunas, como se exempli�ca a seguir.


Mário Abrantes

1. Matrizes 45

Exemplo 42.

A =

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

AT =

1 5 92 6 103 7 114 8 12

B =[−1 0 1 2

]BT =

−1012

C =

πe√2

d− 1

CT =[π e

√2 d− 1

]

De um modo mais formal, a matriz transposta de uma matriz A do tipo m × n, é umamatriz do tipo n×m, que se designa por AT e se de�ne da forma

AT = [a′ji]

com a′ji = aij , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Uma matriz A diz-se simétrica se A = AT .

Exemplo 43. A matriz A é uma matriz simétrica.

A =

[1 55 −3

]= AT

Exercício 28. Veri�car que as matrizes seguintes são simétricas, i.e. A = AT e B = BT .

A =

1 3 53 −3 75 7 4

B =

[1 33 −3

]

Exercício 29. Mostrar que toda a matriz simétrica é quadrada.

Propriedades da operação de transposição

1. (AT )T = A transposta da transposta

2. (A+B)T = AT +BT transposta da soma

3. (AB)T = BTAT transposta do produto


Mário Abrantes

46 2. Sistemas de Equações Lineares

Prova. (da propriedade 3 � transposta do produto)Sejam as matrizes Am×n = [aij ], AT = [a

′ji], Bn×p = [bij ], BT = [b

′ji], AB = [pij ], sendo os

valores de i, j, em cada caso, referentes à indexação de linhas e colunas respectivas. Valeo seguinte raciocínio:

- Os elementos pij da matriz AB são da forma pij =

n∑k=1

aikbkj ;

- Por ser aik = a′ki e bkj = b

′jk, podemos escrever

pij =n∑k=1

aikbkj =n∑k=1

a′kib′jk =

n∑k=1

b′jka

′ki = p

′ji;

- Comon∑k=1

b′jka

′ki representa um elemento genérico da matriz BTAT (porquê?),

concluimos que (AB)T = BTAT .

Exercício 30. Mostrar que se A é uma matriz quadrada, então A + AT é uma matrizsimétrica.

Vídeo 35. Matriz transposta.[]

2 Sistemas de Equações Lineares

2.1 Equações lineares

2.1.1 De�nição

Uma equação linear nas variáveis x1, x2, · · · , xn, é uma equação que pode ser escrita naforma3

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b (2.4)

sendo a1, a2, · · · , an constantes, designadas por coe�cientes da equação, e b uma constantedesignada por termo independente da equação. Se b = 0, a equação diz-se homogénea.

Exemplo 44. As seguintes são equações lineares.

2x = 3 equação linear na variável x (2.5)1

2x− 2y = 3 equação linear nas variáveis x, y (2.6)

23− x = y − 3z equação linear nas variáveis x, y, z (2.7)

3Designámos aqui as variáveis por uma mesma letra, x, distinguindo-as com os subscritos 1, 2, · · · , n.Esta é uma forma cómoda de designar variáveis quando o seu número é elevado. No caso de as variáveisserem apenas duas ou três, usaremos normalmente as letras x, y, z em vez de x1, x2, x3.


Mário Abrantes

2. Sistemas de Equações Lineares 47

Também nos podemos referir às equações acima dizendo que (2.5) é uma equação linearde uma variável, (2.6)é uma equação linear de duas variáveis e (2.7) é uma equação linearde três variáveis.

Exemplo 45. As seguintes equações não são lineares, porque não têm a forma da equação(2.4).

2 + 1 = 3 não é uma equação (porquê?)

x2 − 2y = 3 o expoente de x não é 1

23− xz = 2y a variável x multiplica a variável z2

x− y + 4z = 0 x aparece no denominador de uma fracção.

Exercício 31. De entre as seguintes equações, quais as que são lineares?

(a)√x+ 2y = 4 (b) xy − z = 2 (c) x+ 2 = 3y (d)

x

x+y

x+ 2

z

x= 0

2.1.2 Resolução de equações lineares

Resolver uma equação linear é encontrar todos os n-uplos de valores para as variáveis(x1, x2, · · · , xn), que substituídos na equação tornam a igualdade verdadeira.

Exemplo 46. A equação x+ y = 2 admite como soluções particulares os pares ordenados(x, y) = (1, 1) e (x, y) = (−5, 7) (veri�car!).

Vamos ver como se resolvem equações lineares.

Equações lineares de uma variável. São equações na forma ax = b, a 6= 0. Têmsempre uma e uma só solução, dada por x = b

a .

Exemplo 47.

3 = 2x ⇔ x =3

2.

Observação. A equação x+ 1 = x+ 2 é uma equação linear de uma variável. No entantonão tem soluções (porquê?). Esta equação não tem a forma da equação (2.4), dado contermais do que um termo na variável x. Quando a�rmamos que as equações lineares de umavariável têm sempre uma e uma só solução, referimo-nos a equações na forma ax = b, coma 6= 0.

Equações lineares de duas variáveis. São equações na forma ax + by = c,a, b 6= 0. Resolvendo a equação em ordem a y, obtém-se y = c−ax

b . Podemos escolherlivremente um valor para x, calculando depois o valor correspondente de y.

Exemplo 48. Dada a equação 2x+3y = 1, temos y = 1−2x3 . Fazendo x = 1 obtemos

y =1− 2× 1

3= −1

3.


Mário Abrantes


O par ordenado (x, y) = (1,−13) diz-se uma solução particular da equação dada. A

solução geral da equação (ou conjunto solução da equação), é o conjunto de todos ospares ordenados que satisfazem a equação{(

x,1− 2x

3

): x ∈ R

}.

Substituindo x por 1 na expressão(x, 1−2x

3

), obtém-se a solução particular acima

calculada. Por podermos escolher livremente o valor de x, para encontramos umasolução particular, dizemos que o conjunto solução da equação tem 1 grau de liber-dade.

De um modo equivalente, podemos escolher primeiro o valor de y e depois calcularo valor de x correspondente, sendo a solução geral{(

1− 3y

2, y

): y ∈ R

}.

Exemplo 49. A Fernanda e o Fernando investem, individualmente, dinheiro em duasaplicações �nanceiras de risco. A aplicação escolhida pela Fernanda pode render até10% de juros anuais, enquanto a aplicação escolhida pelo Fernando pode render até9% de juros anuais. Quanto deve investir cada um de forma que, em conjunto,tenham um rendimento igual ou superior a 300e/ano?

Solução. Desigando por x e y as quantias investidas, respectivamente pelaFernanda e pelo Fernando, estas devem constituir uma solução da inequação10%x+9%y ≥ 300, que se pode escrever 0.1x+0.09y ≥ 300. Esta inequaçãotem in�nitas soluções. Por exemplo, se a Fernanda investir x = 2000e, oFernando deve investir

y ≥ 300− 2000× 0.1

0.09=

100

0.09≈ 1111e.

Equações lineares de n variáveis. A solução geral de uma equação linear de nvariáveis, é uma extensão do tipo de solução que já vimos para sistemas de equaçõeslineares com apenas duas variáveis. O conjunto solução tem, no caso geral, n − 1graus de liberdade.

Exemplo 50. A solução geral da equação 2x+ 3y + 4z = 1, é{(x, y,

1− 2x− 3y

4

): x, y ∈ R

}.

Notar que temos a liberdade de escolher quaisquer dois valores para x e y, calcu-lando depois o valor de z correspondente. Por exemplo, se for x = y = 1 temosz = −1 (veri�car!), sendo (x, y, z) = (1, 1,−1) uma solução particular da equação.Por podermos encontrar uma solução particular escolhendo livremente dois valoresarbitrários para x e y, dizemos que o conjunto solução da equação tem 2 graus deliberdade. Em vez de x e y podemos escolher valores arbitrários para qualquer outropar de variáveis obtido de x, y, z. Por exemplo, se as variáveis livres forem x e z, asolução geral é (veri�car!){(

x,1− 2x− 4z

3, z

): x, z ∈ R

}.

Resumindo, as equações lineares na forma (2.4), pg. 46, ou têm uma só solução, quandotêm uma só variável, ou então têm in�nitas soluções, quando têm duas ou mais variáveis.

Vídeo 36. Equações lineares.[09:05]


Mário Abrantes

https://youtu.be/HMMBqYEooqs


2.2 Sistemas de equações lineares. Exemplo de aplicação

A de�nição geral de sistema de equações lineares é a seguinte.

De�nição 3. Um sistema de m equações lineares a n incógnitas, tem a formaa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.

(2.8)

Os aij são constantes e dizem-se coe�cientes do sistema; os xj são as incógnitas do sistema;os bi são constantes e dizem-se termos independentes do sistema. Diz-se solução particulardo sistema (2.8), qualquer n-uplo de valores para as variáveis (x1, x2, · · · , xn), que subs-tituídos nas equações do sistema tornam verdadeiras todas as igualdades resultantes. Oconjunto de todas as soluções particulares do sistema, designa-se por conjunto solução ousolução geral do sistema.

Vídeo 37. De�nição geral de sistema de equações lineares.[]

Exemplo 51.{2x+ 3y = 4

−x+ y = 1sistema de duas equações nas incógnitas x e y

x = 2y

−x+ y + z = 12

y + z = 8

sistema de três equações nas incógnitas x, y e z

Exemplo 52. O dono de uma rede de lojas de roupa tem o problema seguinte. Em trêsdas suas lojas existem peças de roupa do ano passado, que não foram vendidas. As peçassão de 3 tipos, A,B,C, distribuidas do modo seguinte.

A loja 1 tem 3 peças do tipo A, 2 peças do tipo B, 4 peças do tipo C;

A loja 2 tem 2 peças do tipo A, 4 peças do tipo B, 4 peças do tipo C;

A loja 3 tem 1 peça do tipo A, 1 peça do tipo B, 8 peças do tipo C.

Estas peças devem ser vendidas em saldos no próximo mês de Janeiro. O vendedor querque estas peças lhe garantam um encaixe de 25 euros na loja 1, 30 euros na loja 2 e 28euros na loja 3. O vendedor pretende ainda que o preço das peças de um mesmo tipo sejaigual nas suas três lojas, por razões de imagem de marca. Por que preço deve ser vendidacada peça de roupa de cada um dos tipos A, B, C?

A resolução deste problema começa pela sua formalização matemática, que consistena escrita de um conjunto de equações cujas soluções forneçam as respostas procuradas.Designando por x, y e z os preços unitários das peças de roupa dos tipos, respectivamente A,B e C, os dados do problema permitem escrever o conjunto de equações lineares seguinte.

3x+ 2y + 4z = 25 loja 1 (2.9)

2x+ 4y + 4z = 30 loja 2

x+ y + 8z = 28 loja 3


Mário Abrantes


Pretendemos encontrar o conjunto de todas as soluções (x, y, z) comuns às três equações -queremos que os preços por unidade x, y, z sejam os mesmos nas três lojas. Um conjuntode equações que é resolvido desta forma designa-se por sistema de equações. Se as equaçõesdo sistema forem lineares, como é o caso do sistema (2.9), o conjunto de equações diz-sesistema de equações lineares. Podemos veri�car que o terno de números

(x, y, z) =

(29

13,47

13,36

13

)resolve o sistema de equações. Isto signi�ca que, se em cada uma das equações do sistemasubstituirmos x por 29

13 , y por 4713 e z por 36

13 , as três igualdades são veri�cadas. Dizemosque este terno ordenado de números é uma solução do sistema.

3x+ 2y + 4z = 252x+ 4y + 4z = 30x+ y + 8z = 28

⇔(x,y,z)=( 29

13, 4713, 3613)

329

13 + 24713 + 436

13 = 25

22913 + 447

13 + 43613 = 30

2913 + 47

13 + 83613 = 28

⇔

⇔

3× 29 + 2× 47 + 4× 36 = 25× 132× 29 + 4× 47 + 4× 36 = 30× 13

29 + 47 + 8× 36 = 28× 13⇔

325 = 325390 = 390364 = 364

Vamos ver adiante que esta é a única solução que este sistema admite, ou seja, o conjunto

solução do sistema contém apenas um elemento.4

2.2.1 Exercícios

Para cada um dos problemas seguintes, escrever o sistema de equações lineares que oformaliza matematicamente.

Exercício 32. Uma garrafa de vinho custa 10e. O líquido custa mais 9 euros do quea embalagem. Quais os preços do líquido e da embalagem? Provar que a solução desteproblema é única.

Exercício 33. Um snack-bar oferece um menu de 3 sumos e 2 sandes por 14e, e outromenu de 2 sumos e 1 sandes por 8e. Se cada tipo de produto (sandes ou sumos) tiver omesmo preço, qual o preço de cada sumo e de cada sandes?

Exercício 34. Uma pessoa levanta 90 euros de uma caixa multibanco que só dispõe denotas de 10 e de 20 euros. De quantas formas diferentes pode a caixa entregar a quantiapretendida?

Exercício 35. Antes de entrar no seu turno como caixa num supermercado, a Maria recebede seu gerente uma embalagem selada com moedas, com a seguinte inscrição de conteúdo:250 moedas no valor de 40e. Ao abrir a embalagem ela percebe que existem moedas de20ct e de 10ct. Quantas moedas de cada tipo contém a embalagem?

4Como se verá adiante, podemos ter apenas três casos para as soluções de um sistema de equaçõeslineares: ou o sistema não tem soluções, ou tem uma só solução, ou tem in�nitas soluções.


Mário Abrantes


Exercício 36. Para a produção de um litro de creme são usados sumo de fruta, leite emel. Sabe-se que a quantidade de leite é o dobro da quantidade de sumo de fruta e aquantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A donaTeresa fez um litro de creme. Qual a quantidade de sumo de fruta que utilizou?

Vídeo 38. Formalização matemática de um problema.[05:45]

2.3 Resolução de sistemas de equações lineares

2.3.1 Forma matricial de um sistema de equações lineares

Nesta secção vamos estudar dois métodos de resolução de sistemas de equações lineares: ométodo de Gauss e o método de Gauss-Jordan. Vamos veri�car que o conjunto solução deum sistema de equações lineares pode ser de um dos seguintes tipos: ou é vazio (o sistemanão tem soluções), caso em que o sistema se diz impossível; ou contém apenas uma solução,caso em que o sistema se diz possível e determinado; ou tem in�nitas soluções, caso emque o sistema se diz possível e indeterminado.

O sistema geral apresentado na de�nição 2.8, pg. 49, diz-se na forma normal. Podemosescrever o sistema na forma seguinte, dita forma matricial

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

x1

x2

· · ·xn

=

b1b2· · ·bm

, (2.10)

ou, numa notação mais compacta,

AX = B (2.11)

sendo A = [aij ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, a matriz dos coe�cientes do sistema, tambémdesignada apenas por matriz do sistema; X = [xi], 1 ≤ i ≤ n, é a matriz coluna com asincógnitas e B = [bi], 1 ≤ i ≤ m, é a matriz coluna com os termos independentes.

A forma matricial é conveniente por várias razões. Por um lado facilita a resolução expe-dita de sistemas de equações lineares, usando algoritmos como, por exemplo, o método deeliminação de Gauss-Jordan, de que falaremos adiante. Por outro lado, permite a carac-terização do tipo de soluções destes sistemas de equações por meio de propriedades queincidem sobre parâmetros que se extraem das matrizes A,X e B.

Exemplo 53. O sistema de equações seguinte tem a representação matricial indicada.{2x+ 3y = 4−x+ y = 1

⇔

[2 3−1 1

]︸︷︷︸

A

[xy

]︸︷︷︸X

=

[41

]︸︷︷︸B

(2.12)

Para percebermos a validade desta equivalência de representações, efectuamos o produtode matrizes no primeiro membro da segunda igualdade.[

2x+ 3y−x+ y

]=

[41

]


Mário Abrantes

https://youtu.be/JAklKIzdLuk


Como a igualdade de matrizes signi�ca que os elementos em posições correspondentes nosdois membros são iguais, concluímos que a equação matricial representa as duas equaçõesdo sistema.

Exercício 37. Veri�car que a equação matricial representa o sistema de equações linearesindicado.

x = 2y

−x+ y + z = 12

y + z = 8

⇔

1 −2 0−1 1 10 1 1

xyz

=

0128

Daqui em diante usaremos indiferenciadamente a forma normal (2.8) e a forma matricial(2.10), para referir um sistema de equações lineares.

2.3.2 Os sistemas de equações lineares mais simples

Dois exemplos de sistemas de equações lineares, na formas mais simples possíveis quepodemos encontrar, são

{x = 1

y = 2e

x = 1

y = 2

z = 3

.

Uma simples inspecção do primeiro deste sistemas, por exemplo, deixa claro que a suasolução é o par ordenado (x, y) = (1, 2). Se substituirmos no sistema a variável x porqualquer valor diferente de 1, ou a variável y por qualquer valor diferente de 2, uma ououtra das igualdades �ca falsa. Analogamente para o segundo sistema.

A forma que os sistemas mais simples têm, sugere um processo de resolução semelhanteao usado para resolver equações lineares. Recorde-se como resolvemos uma equação linearcomo 2x + 3 = 5. Efectuámos sobre ela um conjunto de operações algébricas que lhe dãoa forma simples x = 1, a qual permite ler directamente o valor da solução.

2x+ 3 = 5 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1

Ao longo deste processo, vamos obtendo equações intermédias como 2x = 2, que são equi-valentes à equação inicial (isto é, têm as mesmas soluções).

É este tipo de raciocínio que vamos usar para resolver sistemas de equações lineares. Oque vamos fazer é partir de um sistema como

x+ 2y + z = 8

x+ y + 2z = 9

4x+ 3y + 5z = 25,

(2.13)

e efectuar sobre ele um conjunto de operações algébricas que lhe dêem a forma mais simplespossível

x = 1

y = 2

z = 3,

(2.14)


Mário Abrantes


sem alterar o conjunto solução do sistema inicial. Ao longo do processo vão sendo obtidosvários sistemas lineares intermédios, todos eles equivalentes ao sistema inicial.

Exercício 38. Veri�car que a solução do sistema (2.14) é também solução do sistema(2.13).

2.3.3 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz

Vamos de seguida estudar o tipo de operações que podemos efectuar sobre as equaçõesde um sistema, de modo que a forma do sistema mude mas o conjunto solução se man-tenha inalterado. Estas operações designam-se por operações elementares sobre linhase permitem-nos transformar um sistema como (2.13) num sistema equivalente na forma(2.14).

Um processo comum de resolver um sistema de equações lineares, corresponde ao chamadométodo de substituição. Vamos recordar com um exemplo, como se usa este método.Consideremos o sistema {

2x+ y = 2

−x− y = 1.(2.15)

Uma forma de resolver o sistema pelo método de substuição, consiste nos passos seguintes.

• Começamos por resolver a segunda equação em ordem a x (também podemosfazê-lo em ordem a y).{

2x+ y = 2

−x− y = 1⇔

{2x+ y = 2

x = −1− y

• De seguida, substituimos na primeira equação a expressão para x obtida na se-gunda equação.{

2x+ y = 2

x = −1− y⇔

{2(−1− y) + y = 2

x = −1− y⇔

{y = −4

x = −1− y

⇔

{y = −4

x = −1− y

• Finalmente, substitui-se y por −4 na segunda equação do sistema acima obtido,de que resulta a solução do sistema.{

y = −4

x = 3

Neste capítulo vamos estudar um processo de resolução de sistemas de equações lineares,que usa um formalismo mais económico que o método de substituição, no que diz respeitoà quantidade de símbolos escritos, designado por método de Gau-Jordan. Este método, emvez de usar os sistemas na forma normal, como por exemplo

x+ 2y + z = 8

x+ y + 2z = 9

4x+ 3y + 5z = 25,


Mário Abrantes


utiliza antes a chamada matriz aumentada do sistema 1 2 1 81 1 2 94 3 5 25

.O método prossegue efectuando-se sobre as linhas desta matriz uma sequência de operaçõesde um certo tipo, designado por operações elementares sobre linhas, que de�nimos em baixo.

Vídeo 39. Equivalência de sistemas de equações.[06:18]

Vídeo 40. Substituição de variáveis como operação elementar sobre linhas.[08:14]

As operações elementares sobre as linhas de uma matriz (ou apenas operações elementaressobre linhas), são operações que mudam a forma de uma matriz por manipulação das suaslinhas. Estas operações são de 3 tipos, que designamos por O1, O2 e O3, e estão de�nidasabaixo.

1. Operação O1: representa-se por Li ↔ Lj , sendo i, j os números das linhas damatriz sobre a qual a operação O1 é efectuada.Signi�cado da operação: trocar as linhas Li e Lj da matriz. No exemplo abaixo,efectua-se sobre a matriz A uma operação O1 que troca as linhas L2 e L3.

A =

2 1 2−1 −1 10 −1 6

L3 ↔ L2

2 1 20 −1 6−1 −1 1

.2. Operação O2: representa-se por Li ← kLi, sendo k ∈ R, k 6= 0 e i o número da

linha da matriz sobre a qual a operação O2 é efectuada.Signi�cado da operação: substituir a linha Li pelo produto do número não nulok por ela mesma. No exemplo abaixo, troca-se a linha L2 pelo produto de −1 poresta mesma linha. A linha indicada à esquerda de `←' é a nova linha L2; a linhaindicada à direita de `←' é a antiga linha L2.

A =

2 1 2−1 −1 10 −1 6

L2 ← −L2

2 1 21 1 −10 −1 6

.3. Operação O3: representa-se por Li ← Li + sLj , sendo s ∈ R e i, j os números

das linhas da matriz sobre a qual a operação O3 é efectuada.Signi�cado da operação: substituir a linha Li pela soma da linha Li com o produtodo número s pela linha Lj . No exemplo abaixo, troca-se a linha L1 pela sua somacom o produto de −1 pela linha L2. A linha indicada à esquerda de `←' é a novalinha 1; as linhas indicadas à direita de `←' são a antiga linha L1 e a linha L2.

A =

2 1 2−1 −1 10 −1 6

L1 ← L1 − L2

3 2 1−1 −1 10 −1 6

.Capítulo 2. Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes

Mário Abrantes

https://youtu.be/IaaZU0zFOAU

https://youtu.be/GHhHE4YFSKA


No vídeo 41, mostra-se que as operações O1, O2, O3 sobre as linhas da matriz aumentada deum sistema de equações lineares, representam as operações algébricas de troca de equações(O1), multiplicação dos dois membros de uma equação por um número não nulo (O2) esubstituição duma equação pela soma, membro a membro, dessa equação com o produtode outra equação por um número (O3).

Vídeo 41. Operações elementares sobre linhas de uma matriz.[07:59]

Não precisamos de mais do que estas três operações para, dado o sistema (2.13) na pg.52,por exemplo, obtermos o sistema reduzido (2.14), pg. 52, do qual podemos ler explicita-mente a solução.

2.3.4 Forma escalonada por linhas de uma matriz

De�nição 4. Uma matriz diz-se na forma escalonada5 por linhas (ou condensada porlinhas), se e somente se:

1. Não tem linhas nulas acima de linhas não nulas.

2. O primeiro elemento não nulo de cada linha, contando da esquerda para a direita,aparece numa coluna à direita do primeiro elemento não nulo de cada linha acimadesta.

Para cada matriz, o primeiro elemento não nulo de uma linha designa-se por pivot ouelemento redutor dessa linha.

Exemplo 54. Acerca das matrizes

A =

0 0 01 3 20 0 1

B =

2 4 01 3 20 0 0

C =

[0 1 5 20 0 6 0

]

D =

0 0 00 0 00 0 0

E =

1 3 2 50 0 1 30 0 0 10 0 0 0

F =

1 3 2 50 1 0 30 0 1 00 0 0 0

,são válidas as a�rmações seguintes.

• A matriz A não está na forma escalonada por linhas, porque tem uma linha nulaacima duma linha não nula (contraria o ponto 1 da de�nição 4).

• A matriz B não está na forma escalonada por linhas, porque tem o primeiroelemento não nulo da linha 2 na mesma coluna que o primeiro elemento não nuloda linha 1 (contraria o ponto 2 da de�nição 4).

• A matriz C está na forma escalonada por linhas (satisfaz os pontos 1 e 2 dade�nição 4).

• A matriz D está na forma escalonada por linhas (satisfaz os pontos 1 e 2 dade�nição 4 � porquê?).

5'Escalonada' signi�ca 'em forma de escada'.


Mário Abrantes

https://youtu.be/CIlFFpx5lRE


• As matrizes E e F estão na forma escalonada por linhas (satisfazem os pontos 1e 2 da de�nição 4).

Vamos exempli�car como se usam as operações elementares sobre linhas para escalonarpor linhas uma matriz (ver o vídeo 42 a seguir ao exemplo).

Exemplo 55. Vamos escalonar por linhas a matriz aumentada do sistema (2.13), pg.52.

x y z 1 2 1 81 1 2 94 3 5 25

(2.16)

A forma escalonada desta matriz deve ter zeros nas posições indicadas abaixo (porquê?) ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗

, (2.17)

sendo `∗' números quaisquer (alguns deste podem ser zero, desde que se cumpra o ponto 2da de�nição 4, pg. 55). Vamos usar operações do tipo O3 para colocar na matriz (2.16) oszeros que aparecem na primeira coluna da matriz (2.17). Para isso tal alteramos as linhas2 e 3 de (2.16), usando o pivot da linha 1. 1 2 1 8

1 1 2 94 3 5 25

L2 ← L2 − L1

L3 ← L3 − 4L1

1 2 1 80 −1 1 10 −5 1 −7

Para transformar esta última matriz de forma a obter o zero que aparece na coluna 2 de(2.17), usamos novamente uma operação do tipo O3. O pivot é o elemento na linha 2,coluna 2. 1 2 1 8

0 −1 1 10 −5 1 −7

L3 ← L3 − 5L2

1 2 1 80 −1 1 10 0 −4 −12

A matriz encontra-se agora na forma escalonada por linhas. Esta matriz escalonada, é amatriz aumentada do sistema de equações (2.18) abaixo, equivalente ao sistema (2.13) dapg.52. O sistema pode agora ser facilmente resolvido, como veremos adiante.

Vídeo 42. Escalonamento de matrizes.[]

Observação. Quando se escalona uma matriz, de modo a obter a forma∗ ∗ ∗ · · · ∗0 ∗ ∗ · · · ∗0 0 ∗ · · · ∗· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ∗

,os zeros na coluna j são obtidos à custa de operações O3 na forma Li ← Li + kLj , ou seja, usandoo pivot da linha j.


Mário Abrantes


2.3.5 Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de elimi-

nação de Gauss

O sistema correspondente à matriz aumentada (2.16), depois de escalonada, éx + 2y + z = 8

−y + z = 1− 4z = −12.

(2.18)

A forma deste sistema sugere uma resolução simples, que consiste em ir calculando osvalores das incógnitas, partindo da equação mais abaixo e continuando para as equaçõesacima.6 Começa por se resolver a última equação, obtendo-se o valor de z.

x + 2y + z = 8−y + z = 1

− 4z = −12⇔

x + 2y + z = 8

−y + z = 1z = 3

Depois substitui-se z = 3 nas equações acima, e obtém-se, pela segunda delas, o valor dey.

x + 2y + 3 = 8−y + 3 = 1

z = 3⇔

x + 2y = 5

y = 2z = 3

Finalmente, substituindo y = 2 na primeira equação, obtemos a solução do sistema.x + 2× 2 = 5

y = 2z = 3

⇔

x = 1y = 2z = 3

Acabámos de resolver o sistema (2.13), da pg.52, pelo método de redução de Gauss (ousimplesmentemétodo de Gauss). Este método de resolução de sistemas de equações linearestem três etapas:

1. Escrever a matriz aumentada do sistema;

2. Escalonar por linhas a matriz aumentada;

3. Resolver por retro-substituição o sistema correspondente à matriz escalonada ob-tida.

Exercício 39. Resolver os sistemas usando o método de Gauss.

(a)

{2x+ y = 2

−x− y = 1(b)

{2x+ y = 2

x+ y2 = 1

Exercício 40. Escrever três sistemas de equações lineares, de modo que um deles tenhauma só solução, outro tenha in�nitas soluções, e o terceiro não tenha soluções. Resolvê-lospelo método de Gauss. Que tipo de matrizes aumentadas caracterizam cada um dos casos?

Vídeo 43. Exercícios.[]

6Este processo de cálculo das incógnitas, da última equação para a primeira, também se designa pormétodo de resolução de sistemas por retro-substituição.


Mário Abrantes


2.3.6 Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de elimi-

nação de Gauss-Jordan

No método de eliminação de Gauss-Jordan (ou simplesmente método de Gauss-Jordan),a matriz aumentada do sistema inicial é transformada por operações elementares até seencontrar na forma dita escalonada reduzida (ou condensada reduzida). Uma matriz estána forma escalonada reduzida se está na forma escalonada por linhas, com todos os pivotsiguais a 1, sendo nulos todos os elementos acima e abaixo dos pivots de cada linha.

Exemplo 56. As matrizes seguintes estão na forma escalonada reduzida.

A =

1 0 00 1 00 0 1

B =

1 0 0 20 1 0 −10 0 1 7

D =

0 1 00 0 10 0 0

E =

[1 0 2 00 1 −1 0

]F =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

.A solução do sistema pode então ler-se directamente da matriz aumentada, na formaescalonada reduzida, que se obtém.

Exemplo 57. Consideremos a matriz escalonada obtida no exemplo 55 da pg. 56, referenteao sistema (2.13) da pg.52. 1 2 1 8

0 −1 1 10 0 −4 −12

(2.19)

A aplicação do método de Gauss-Jordan consiste em, depois de obter esta matriz, aplicarsobre ela uma sequência de operações elementares sobre linhas, até obter a forma escalonadareduzida 1 0 0 ∗

0 1 0 ∗0 0 1 ∗

, (2.20)

sendo os `*' números que resultam da transformação.Vamos continuar o processo de redução da matriz (2.19) até ela tomar a forma da matriz

(2.20).

1. Obter na matriz (2.19) o zero indicado na linha 1, coluna 2, da matriz (2.20).Usamos como pivot o primeiro elemento não nulo da linha 2. 1 2 1 8

0 −1 1 10 0 −4 −12

L1 ← L1 + 2L2

1 0 3 100 −1 1 10 0 −4 −12

(2.21)

2. Obter na matriz (2.21) os zeros indicados na coluna 3 da matriz (2.20). Usamoscomo pivot o primeiro elemento não nulo da linha 3. 1 0 3 10

0 −1 1 10 0 −4 −12

L2 ← L2 + 14L3

L1 ← L1 + 34L3

1 0 0 10 −1 0 −20 0 −4 −12

(2.22)


Mário Abrantes


3. Obter na matriz (2.22) os `1s' indicados na matriz (2.20). Vamos usar operaçõesdo tipo O2 sobre as linhas 2 e 3. 1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 −4 −12

L2 ← −L2

L3 ← −14L3

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

A matriz aumentada encontra-se agora na forma escalonada reduzida, que permite lerfacilmente as soluções do sistema. Neste caso o sistema tem uma só solução: (x, y, z) =(1, 2, 3). Também podemos escrever a solução como x

yz

=

123

,ou como

x = 1

y = 2

z = 3

,

etc.

Acabámos de resolver o sistema (2.13), da pg.52, pelo método de redução de Gauss-Jordan.Este método de resolução de sistemas de equações lineares tem três etapas:

1. Escrever a matriz aumentada do sistema;

2. Calcular a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada;

3. Obter a solução do sistema por simples observação da matriz escalonada reduzidaobtida.

Os vídeos seguintes, para além de exempli�carem a aplicação do método de Gauss-Jordan,mostram também como determinar a natureza do conjunto solução de um sistema (im-possível, possível e determinado ou possível e indeterminado), por inspecção da matriz naforma reduzida por linhas.

Vídeo 44. Exemplo de resolução de um sistema possível e determinado.[08:30]

Vídeo 45. Exemplo de resolução de um sistema impossível.[09:41]

Vídeo 46. Exemplo de resolução de um sistema possível e indeterminado.[10:00]

2.4 Caracterização dos sistemas de equações lineares quantoaos tipos de soluções

Designa-se por característica ou rank de uma matriz A, e escreve-se car(A) ou r(A), onúmero de linhas não nulas com que a matriz �ca depois de escalonada por linhas.


Mário Abrantes

https://www.youtube.com/watch?v=tdLA1YwZ8IM&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=e2DTkij6p4U&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=tZH7At4FJ-0&feature=youtu.be


Exemplo 58. No exemplo 56, pg. 58, temos car(A) = 3, car(B) = 3, car(D) = 2,car(E) = 2 e car(F ) = 5.

Um sistema de equações lineares diz-se

• Possível e determinado, se tem uma e uma só solução;

• Possível e indeterminado, se tem in�nitas soluções;

• Impossível, se não tem soluções.

Estas são as três caracterizações possíveis dos sistemas de equações lineares, quanto aostipos de soluções.

O exercício seguinte mostra-nos por que é que um sistema de equações lineares não podeter um número �nito de soluções, maior do que 1.

Exercício 41. Seja AX = B um sistema de equações lineares. Mostrar que se X1 e X2

são soluções de AX = B, então o sistema admite, de entre outros, o conjunto in�nito desoluções X2 + k(X2 − X1), com k ∈ R. Fica assim provado que se um sistema de equa-ções lineares admite pelo menos duas soluções, então admite uma in�nidade de soluções.Resolução

A(X2 + k(X2 −X1)) = AX2 + kA(X2 −X1) = AX2 + kAX2 − kAX1 = B + kB − kB = B.

Como A(X2 + k(X2 −X1)) = B, para qualquer valor de k, qualquer expressão da formaX2 + k(X2 −X1) é solução do sistema.

O teorema seguinte caracteriza um sistema de equações lineares, quanto ao tipo de soluções,usando as características das matrizes A e [A|B].

Teorema 1. Seja AX = B um sistema de m equações lineares a n incógnitas. Seja [A|B]a matriz aumentada do sistema.

• O sistema é possível se, e somente se, car(A) = car([A|B]). Neste caso, o sistemaé determinado se car(A) = n e é indeterminado se car(A) < n. Se o sistema forindeterminado, então o seu grau de indeterminação, i.e., o número de variáveislivres do conjunto solução, é igual a n− car(A).

• O sistema é impossível se car(A) 6= car([A|B]).

Vídeo 47. Explicação do teorema.[]

2.5 Exercícios

Exercício 42. Escrever as matrizes na forma escalonada reduzida e indicar as suas carac-terísticas.

(a)

−1 3 0 1 41 −3 0 0 12 −6 2 4 00 0 1 3 4

(b)

0 0 1 2 −1 40 0 0 1 −1 32 4 −1 3 1 1


Mário Abrantes


Exercício 43. Caracterizar os tipos de soluções dos sistemas de equações lineares, cujasmatrizes aumentadas podem ser reduzidas por linhas às matrizes indicadas.

(a)

[−1 −1 2 30 1 4 2

](b)

1 2 3 30 1 2 −10 0 2 4

(c)

1 1 0 3 0 −40 0 1 −1 0 00 0 0 0 1 −2

(d)

1 2 3 30 1 2 −10 0 0 4

Exercício 44. Utilizar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para encontraras soluções gerais dos sistemas de equações lineares.

(a)

{4x+ 5y = −3

3x− 2y = −8(b)

x− 2y + w = −8

2x− y − z − 3w = 0

9x− 3y − z − 7w = 4

Exercício 45. Escrever, se for possível, os seguintes sistemas de equações lineares.

1. Sistema impossível com quatro equações a duas incógnitas.

2. Sistema possível e determinado com duas equações a quatro incógnitas.

3. Sistema possível e indeterminado com duas equações a quatro incógnitas.

4. Sistema impossível com duas equações a quatro incógnitas.

5. Sistema possível e determinado com quatro equações a duas incógnitas.

2.6 Matriz inversa

Dada uma matriz quadrada An×n, diz-se que a matriz Bn×n é a matriz inversa de A se,e e somente se, AB = BA = I, sendo In×n a matriz identidade. A matriz inversa de Arepresenta-se geralmente por A−1. A matriz A também se diz matriz inversa de A−1 (istoé, A e A−1 são mutuamente inversas). As matrizes que admitem inversa dizem-se matrizesinvertíveis. Notar que a existência de inversa só se aplica a matrizes quadradas.

Exemplo 59. A matriz A é inversa da matriz B

A =

[1 20 2

]B =

[1 −10 1

2

],

e vice-versa, porque[1 20 2

][1 −10 1

2

]=

[1 −10 1

2

][1 20 2

]=

[1 00 1

]

(veri�car este resultado!)

Nem todas as matrizes quadradas admitem inversa. Uma matriz quadrada que não éinvertível diz-se singular. Uma matriz quadrada invertível diz-se regular.


Mário Abrantes


Exemplo 60. A matriz

A =

[1 20 0

]

não tem matriz inversa, porque não existe nenhuma matriz

B =

[a bc d

]

tal que

AB =

[1 20 0

][a bc d

]=

[1 00 1

]= I

(porquê?)

Uma matriz não pode ter mais de uma matriz inversa. É o que se prova a seguir.

Teorema 2. Uma matriz quadrada A invertível, admite uma e uma só matriz inversa.

Prova. Seja A uma matriz invertível e suponhamos que as matrizes B e C são ambasmatrizes inversas de A. Se assim for, podemos escrever

AB = BA = I = AC = CA.

Considerando a última destas igualdades, temos sucessivamente

AC = CA ⇔ B(AC) = B(CA) ⇔ (BA)C = B(CA) ⇔(porquê?)

IC = BI ⇔(porquê?)

C = B.

Mostrou-se que, se considerarmos a existência de duas matrizes B,C, inversas de A, somosobrigados a aceitar que B = C, i.e., B e C são a mesma matriz. Concluimos que nenhumamatriz invertível tem mais do que uma matriz inversa.

2.6.1 Algoritmo para a inversão de uma matriz

Apresenta-se um algoritmo para inversão de uma matriz por operações elementares sobrelinhas, que usa uma redução do tipo Gauss-Jordan.

1. Seja A uma matriz quadrada do tipo n× n, que se quer inverter.

2. Formar a matriz aumentada [A|I], sendo I a matriz identidade do tipo n× n.

3. Efectuar sobre a matriz aumentada uma sequência de operações elementares sobrelinhas, de modo a condensar a matriz A na matriz identidade I, i.e., de modo atransformar [A|I] em [I|C], sendo C uma matriz quadrada (se tal transformaçãofor possível).

(a) Se não for possível reduzir a matriz A à matriz identidade I, então a matrizA não tem inversa. (b) Se for possível obter um resultado do tipo [I|C], então amatriz A é invertível e temos A−1 = C. Quando não é possível obter a inversa deA, é porque alguma �la na parte esquerda da matriz aumentada se anula duranteo processo de redução.


Mário Abrantes


Exemplo 61. Determinar, se existir, a inversa da matriz

A =

1 1 01 1 10 1 1

.Escreve-se a matriz aumentada [A|I] e efectua-se sobre ela operações elementares sobrelinhas até se obter a forma [I|B]. 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 1 00 1 1 0 0 1

L2 ← L2 − L1

1 1 0 1 0 00 0 1 −1 1 00 1 1 0 0 1

L2 ↔ L3

1 1 0 1 0 00 1 1 0 0 10 0 1 −1 1 0

L2 ← L2 − L3

1 1 0 1 0 00 1 0 1 −1 10 0 1 −1 1 0

L1 ← L1 − L2

1 0 0 0 1 −10 1 0 1 −1 10 0 1 −1 1 0

.Temos então

A−1 =

0 1 −11 −1 1−1 1 0

.(veri�car que AA−1 = I)

Exercício 46. Mostrar que a lei do corte (ver exercício 25, pg. 44), AB = AC ⇒ B = C,que não é válida no caso geral, é no entanto válida se a matriz A for invertível.ResoluçãoDada uma igualdade da forma AB = AC, podemos escrever sucessivamente, nos casos emque a matriz A é invertível,

AB = AC ⇔ A−1AB = A−1AC ⇔ (A−1A)B = (A−1A)C

⇔ IB = IC ⇔ B = C

sendo I a matriz identidade.

A matriz inversa pode ser usada para resolver alguns sistemas de equações lineares. Umsistema de equações lineares AX = B cuja matriz A seja invertível, é possível e determi-nado, isto é, tem uma só solução. Essa solução pode ser determinada tirando partido darelação AA−1 = I, do modo seguinte:

AX = B ⇒ A−1AX = A−1B ⇒ (A−1A)X = A−1B

⇒ IX = A−1B ⇒ X = A−1B.

Exemplo 62. O sistema

AX = B ⇔

1 1 01 1 10 1 1

xyz

=

5−22


Mário Abrantes

64 3. Determinantes

em que A é a matriz do exemplo 61, é possível e determinado, e a sua solução é

X = A−1B ⇔

xyz

=

0 1 −11 −1 1−1 1 0

5−22

=

−49−7

Exercício 47. Determinar as matrizes inversas, se existirem, usando o método de elimi-nação de Gauss-Jordan. Veri�car os resultados obtidos.

(a)

[1 10 1

](b)

1 0 10 1 10 0 −1

3 Determinantes

Determinante de uma matriz An×n é um número associado à matriz. Só as matrizesquadradas têm determinante. O determinante de uma matriz A indica-se por |A| ou pordet(A). Na breve abordagem que fazemos a este conceito, começamos por apresentar doismétodos para calcular o determinante de uma matriz: o método de Laplace e o método detriangularização da matriz. Concluimos com dois exemplos de aplicação de determinantes:resolução de sistemas de equações lineares pela regra de Cramer e cálculo da matriz adjuntade uma matriz quadrada A.

3.1 Método de Laplace

Exempli�ca-se o uso deste método para matrizes dos tipos 1×1, 2×2 e 3×3, sendo depoisfácil aplicá-lo a matrizes de dimensões superiores.

1. Caso em que A é do tipo 1× 1.

A = [a11] |A| = a11

Exemplo

A = [−2] |A| = −2.


A =

[a11 a12

a21 a22

]|A| =

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Exemplo

A =

[2 7−3 5

]|A| =

∣∣∣∣∣ 2 7−3 5

∣∣∣∣∣ = 2× 5− 7× (−3) = 31


Mário Abrantes

3. Determinantes 65


A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣Exemplo

A =

2 −3 45 6 70 0 2

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣2 −3 45 6 70 0 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣ 6 70 2

∣∣∣∣∣− (−3)

∣∣∣∣∣ 5 70 2

∣∣∣∣∣+ 4

∣∣∣∣∣ 5 60 0

∣∣∣∣∣= 2(12− 0) + 3(10− 0) + 4(0− 0) = 54

No vídeo 48 explica-se com detalhe o método de Laplace. Uma descrição sucinta destemétodo é a seguinte.

1. Designa-se por menor do elemento aij de uma matriz An×n, e representa-se nestetexto porM(aij), o determinante da matriz que se obtém eliminando de A a linhai e a coluna j.

2. Designa-se por cofactor do elemento aij de uma matriz An×n, e representa-seneste texto por Cof(aij), o número (−1)i+jM(aij).

3. O determinante de A pode ser calculado por meio de uma combinação dos ele-mentos de qualquer �la de A e dos respectivos cofactores, conforme o teoremaseguinte.

Teorema 3. (de Laplace) Seja A = [aij ] uma matriz do tipo n × n. Seja r onúmero de uma linha qualquer de A e s o número de uma coluna qualquer de A.Então

|A| =n∑k=1

arkCof(ark) =

n∑k=1

aksCof(aks)

O segundo membro desta dupla igualdade diz-se expansão de |A| por menores deelementos da r-ésima linha de A. O terceiro membro diz-se expansão de |A| pormenores de elementos da s-ésima coluna de A.

Vídeo 48. Cálculo de determinantes pelo método de Laplace.[]


Mário Abrantes

66 3. Determinantes

3.2 Propriedades dos Determinantes. Cálculo do determi-nante por triangularização da matriz

Nas propriedades abaixo enunciadas, A é uma matriz do tipo n× n e r é um número realqualquer.

1. |A| = |AT |, i.e., os determinantes de A e AT são iguais.

2. Seja B a matriz que se obtém de A trocando duas �las do mesmo tipo (duaslinhas ou duas colunas). Veri�ca-se |B| = −|A|.

3. Se duas �las de A são iguais, então |A| = 0.

4. Se uma �la da matriz A é multiplicada pelo número r, então o determinante damatriz resultante é r|A|.

5. Sejam Fi e Fj duas �las de A (ambas linhas ou ambas colunas) e r um número.A operação Fi ← Fi + rFj não altera o valor do determinante.

6. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos dadiagonal principal.

Vídeo 49. Propriedades dos determinantes.[]

As propriedades referidas acima sugerem o seguinte método para calcular determinantes,mais expedito que o método de Laplace.

Cálculo do determinante por triangularização da matriz

1. Reduzir a matriz à forma triangular (superior ou inferior) utilizando operaçõeselementares sobre linhas ou sobre colunas, e atendendo ao seguinte:

- na troca de duas �las, multiplicar por −1 a matriz resultante;

- na multiplicação de uma �la por um escalar r, multiplicar por 1r a matriz

resultante.

Obtém-se uma expressão cH, em que c é um número e H é uma matriz triangular.

2. Vale a igualdade |A| = c|H|.

Vídeo 50. Cálculo de determinantes por triangularização.[]

3.3 Algumas aplicações dos determinantes

Exercício 48. Mostrar que um sistema AX = B, de n equações a n incógnitas, é possívele determinado se, e somente se, |A| 6= 0.


Mário Abrantes

3. Determinantes 67

3.3.1 Resolução de sistemas de equações lineares pela regra de Cramer

A regra de Cramer usa-se para resolver sistemas cujo número de equações é igual ao númerode incógnitas e cuja solução é única (a matriz de um sistema deste tipo tem determinantenão nulo).

Teorema 4. (regra de Cramer) Consideremos o sistema linear AX = B, em que A = [aij ]é uma matriz do tipo n× n, invertível, e

X =

x1...xn

B =

b1...bn

.O sistema tem uma única solução, dada por

xk =|Bk||A|

, k = 1, 2, · · · , n,

sendo Bk a matriz obtida substituindo, na matriz A, a coluna k pelo vector B.

Exemplo 63. Utilizar a regra de Cramer para resolver o sistema5x1 − 2x2 + x3 = 1

2x1 − 2x2 = 3

x1 + x2 − x3 = 1

ResoluçãoTemos

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣5 −2 12 −2 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 10 |B1| =

∣∣∣∣∣∣∣1 −2 13 −2 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1

|B2| =

∣∣∣∣∣∣∣5 1 12 3 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = −14 |B3| =

∣∣∣∣∣∣∣5 −2 12 −2 31 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −23

A solução do sistema é (veri�car!)

x1 =|B1||A|

=1

10

x2 =|B2||A|

= −7

5

x3 =|B3||A|

= −23

10

Vídeo 51. Regra de Cramer.[]


Mário Abrantes

68 3. Determinantes

3.3.2 Matriz adjunta

Dada uma matriz quadrada An×n, de�ne-se a matriz adjunta de A da seguinte forma:

1. Começa por se calcular a matriz B = [bij ] cujos elementos são os cofactores doselementos de A, i.e., bij = Cof(aij).

2. A matriz transposta de B, BT , designa-se por matriz adjunta de A, e escreve-seadj(A).

Exemplo 64. Determinar a matriz adjunta de A =

[2 53 4

].

ResoluçãoSeja bij o cofactor de aij . Temos (veri�car!)

b11 = 4 b12 = −3 b21 = −5 b22 = 2.

(veri�car!)A matriz dos cofactores de A é

B =

[4 −3−5 2

].

Finalmente, a matriz adjunta de A é

adj(A) = BT =

[4 −5−3 2

].

Vídeo 52. Matriz adjunta.[]

O resultado seguinte, para além de oferecer uma outra forma de calcular a matriz inversa,salienta a seguinte proposição: uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se,|A| 6= 0.

Teorema 5. Seja A = [aij ] uma matriz quadrada tal que |A| 6= 0. Então A é invertível e

A−1 =adj(A)

|A|

Exemplo 65. Determinar, se existir, a matriz inversa da matriz A do exemplo 64.Resolução

Começamos por constatar que a matriz é invertível, porque |A| 6= 0.

|A| =

∣∣∣∣∣ 2 53 4

∣∣∣∣∣ = 2× 4− 5× 3 = −7 6= 0.

Usando a matriz adjunta de A calculada no exercício anterior, temos

A−1 =adj(A)

|A|=

[4 −5−3 2

]1

−7=

[−4

757

37 −2

7

]Veri�cação do resultado

AA−1 =

[2 53 4

][−4

757

37 −2

7

]=

[1 00 1

]


Mário Abrantes

3. Determinantes 69

Vídeo 53. Cálculo da matriz inversa usando a matriz adjunta.[]

Exercício 49. Determinar as matrizes inversas, se existirem, usando o método da matrizadjunta. Veri�car os resultados obtidos.

(a)

[3 64 8

](b)

2 1 43 2 50 −1 1


Mário Abrantes

Capítulo 3

Funções reais de variável real

1 Noções elementares

1.1 De�nição de função

Uma função representa uma relação entre grandezas numéricas. No caso de a funçãorelacionar apenas duas grandezas e de essas grandezas tomarem valores numéricos reais(i.e., pertencentes ao conjunto R), a função diz-se função real de variável real. A formagenérica de exprimir uma função deste tipo é y = f(x). Esta expressão deve ser lida daseguinte forma (ver �gura 23):

- f é a designação da função, sendo x e y as designações das grandezas que a funçãorelaciona. Podem usar-se quaisquer outras letras, ou sequências de letras, para osnomes da função e das grandezas relacionadas;

- x representa cada elemento de um conjunto de valores que conhecemos. Designa-sepor variável independente, uma vez que o seu valor pode ser escolhido livrementenesse conjunto de números;

- y representa o valor assumido pela expressão f(x). Designa-se por variável de-pendente, uma vez que o seu valor não pode ser escolhido livremente, dependendodo valor de x e da fórmula y = f(x). A cada valor de x corresponde um só valorde y.

Figura 23: Uma função pode ser vista como uma máquina que recebe x e produz f(x).

Exemplo 66.

1. O termómetro representado na �gura 24, relaciona a temperatura ambiente Tcom a altura h de uma coluna de mercúrio. A escala na esquerda do termómetrorepresenta a temperatura em graus Celsius (◦C), usada na Europa; a escala nadireita representa a temperatura em graus Fahrenheit (◦F ), usada nos EstadosUnidos da América. A temperatura y, em graus Fahrenheit, e a temperatura x,em graus Celsius, relaconam-se por meio da função,

y = 1.8x+ 32.

Por exemplo, x = 20 graus Celsius correspondem a y = 68 graus Fahrenheit.

71

72 1. Noções elementares

2. A distância d, em quilómetros, percorrida por um automóvel que se desloca avelocidade constante, e o tempo t de duração viagem, em horas, relacionam-sepor uma função que tem a representação genérica d = f(t). Se o automóvel sedesloca à velocidade de 50km/h, a função que relaciona a distância percorrida, d,com duração do percurso, t, é dada por

d = 50t.

Se a duração da viagem for de t = 1.5h, a distância percorrida é d = 50 × 1.5 =75km. Se suposermos que o automóvel, quando inicia uma viagem no sentidoPorto-Bragança, à velocidade constante de 50km/h, se encontra à distância de80km do Porto, obtemos a seguinte função para a distância d ao Porto, em funçãodo tempo de viagem, t

d = 50t+ 80.

Uma hora depos de iniciada a viagem a distância a que o automóvel se encontrada cidade do Porto é d = 50× 1 + 80 = 130km.

3. Seja q = f(p) a função relaciona o número de unidades vendidas, q, de um certoproduto, com o preço de mercado p de cada unidade desse produto. Quantomenor for o preço de cada unidade, maior tende a ser o número de unidadesvendidas, porque o que é mais barato vende geralmente mais. Uma função destetipo designa-se por função de procura do produto. Suponhamos que se tem

q = 400− 3p.

Esta função diz-nos que se o preço por unidade do produto for p = 4e, entãoq = 400− 3× 4 = 388, o que signi�ca que são vendidas 388 unidades do produto.

Figura 24: Termómetro de mercúrio.1

Podemos agora estabelecer uma ideia mais formal de função, que vai ser útil no nossoestudo. Uma função y = f(x) é de�nida por três entidades:

1. o conjunto de valores que a variável independente x pode assumir, designadopor domínio da função. Os elementos do domínio designam-se por objectos dafunção. No caso da função no item 1 do exemplo 66, o domínio é o conjunto dastemperaturas ambiente possíveis. Pode ser razoável, num dado local, tomar comodomínio o conjunto [−5, 35], em graus Celsius;

1(https://play.google.com/store/apps/details?id=com.bti.tempMeter).

Capítulo 3. Funções reais de variável real Mário

Abrantes

1. Noções elementares 73

2. um conjunto que contenha todos os valores que a variável dependente y podeassumir, que é designado por contradomínio da função. O conjunto que contémexactamente todos os valores que a função assume, designa-se por imagem dafunção. No ponto 1. do exemplo 66, se o domínio da função for [−5, 35], então aimagem da função é [23, 95] (porquê?). Cada valor que y pode assumir, corres-pondente a um dado valor de x, designa-se por imagem do objecto x, por meioda função f . Mais adiante veremos que nem sempre se podem especi�car facil-mente os valores que uma função assume, pelo que o contradomínio pode ter maiselementos do que a imagem;

3. uma regra que exprime o modo como cada valor de x é feito corresponder à suaimagem y (em geral esta regra é expressa por uma equação).

Para se indicar que uma função f tem por domínio um conjunto A e por contradomínioum conjunto B, escreve-se geralmente f : A→ B.

Exemplo 67.

1. A função que exprime a distância d, no ponto 2. do exemplo 66, a que correspondea fórmula d = 50t+ 80, pode ser de�nida da forma

d : R+0 → R+

0 , d(t) = 50t+ 80.

Esta função é um modelo matemático do movimento do veículo. Podemos usá-lapara conhecer, em qualquer instante t, a posição do veículo relativamente ao pontode partida. Mas não é o único modelo possível. Podemos estar interessados emconhecer a posição do veículo apenas durante as primeiras 2h do seu movimento,que é expressa pela função

d : [0, 2]→ R+0 , d(t) = 50t+ 80.

Neste caso, como conhecemos a imagem da função, podemos antes usar a de�nição

d : [0, 2]→ [80, 180], d(t) = 50t+ 80.

(porquê?)

2. A função que exprime o volume v de uma esfera em função do seu raio r é

v : R+0 → R+

0 , v(r) =4

3πr3.

(se triplicarmos o raio r de uma esfera de volume v, por que factor estamos amultilicar o seu volume?)

É importante salientar que, ao de�nir-se uma variável y como função de outra variável x,tal como aqui o fazemos, é entendido que a cada valor do domínio assumido pela variávelx corresponde um só valor do contradomínio assumido pela variável y.

Exemplo 68. A relação de�nida no esquema da �gura 25 não representa uma função de Aem B, porque ao elemento 1 no conjunto A corresponde, por f , mais do que um elementoem B. Certos autores designam relações deste tipo por funções plurívocas (um objectopode ter várias imagens). Neste texto usa-se o termo função para referir uma relaçãounívoca do domínio para o contradomínio.


Abrantes


Figura 25: f de�ne uma relação entre conjuntos que não é unívoca de A para B.

Vídeo 54. Funções como relações unívocas.[]

Uma função y = f(x) diz-se:

• crescente, se x < y ⇒ f(x) < f(y);

• decrescente, se x < y ⇒ f(x) > f(y);

• não decrescente, se x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y);

• não crescente, se x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y);

• monótona, se é de algum dos 4 tipos anteriores.

Exemplo 69. A funçao representada na �gura 26: é crescente no intervalo ]a, b[ e nointervalo ]c, d[; é não decrescente no intervalo ]a, c[; é decrescente no intervalo ]d, e[.

Figura 26

Vídeo 55. Intervalos de monotonia.[]

1.2 Grá�co de uma função

Grá�co de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)), x ∈ Df ,sendo Df o domínio da função. O grá�co de uma função real de variável real é pois umconjunto de pares de números reais, embora normalmente se designe também por grá�coda função qualquer representação deste conjunto de pontos num referencial cartesiano.

Exemplo 70. O grá�co da função y = x2 é o conjunto que contém, entre outros, oselementos (x, y) seguintes: (1, 1), (−3, 9), (0.1, 0.01).

Vídeo 56. Representação grá�ca do grá�co de uma função.[]


Abrantes


Uma função f : A→ B diz-se

• Injectiva, se cada elemento y ∈ B é imagem de apenas um elemento de x ∈ A(ver �gura 27);2

• Sobrejectiva, se cada elemento y ∈ B é imagem de algum elemento do domíniode f . Dito de outra forma, f é sobrejectiva se a imagem de f e o contradomíniode f são conjuntos iguais. A função representada na �gura 27 não é sobrejectivaporque o elemento b (por exemplo) do contradomínio não pertence à imagem dafunção;

• Bijectiva, se é injectiva e sobrejectiva (ver �gura 28).

Figura 27: f não é injectiva porque os objectos 1 e 2têm a mesma imagem, i.e., f(1) = f(2) = a. Figura 28: f é bijectiva.

Exemplo 71.

1. A função f : R → R+0 , f(x) = x2, representada na �gura 29, não é injectiva,

porque o seu domínio possui elementos diferentes que têm a mesma imagem. Porexemplo, x = −2 e x = 2 pertencem ao domínio da função, e f(−2) = (−2)2 =4 = f(2).

2. A função f : R+0 → R+

0 , f(x) = x2, representada na �gura 30, é injectiva, porqueo seu domínio não possui elementos diferentes que tenham a mesma imagem.

As funções são ambas sobrejectivas

Figura 29: f : R→ R+0 , f(x) = x2. Figura 30: f : R+

0 → R+0 , f(x) = x2.

Exemplo 72. A função f : N→ R+0 , f(x) = ln(x), não é sobrejectiva (�gura 31), porque

o seu contradomínio possui elementos que não são imagem de algum elemento do domínio.

2Não confundir a de�nição de função injectiva com a de�nição de função unívoca (ver exemplo 68).


Abrantes


Figura 31: f : N→ R+0 , f(x) = ln(x).

1.3 Classi�cação das funções quanto à sua representação ana-lítica

As funções admitem uma classi�cação quanto à sua representação analítica, i.e., quantoao tipo de expressão matemática f(x) que lhes corresponde.

1. Funções algébricas: são representadas por expressões algébricas numa dada va-riável, ou seja, expressões envolvendo um número �nito de adições, subtracções,multiplicações, divisões e extracções de raiz. As funções algébricas podem ser dedois tipos:

(a) Racionais: nas operações com raízes, os radicandos não contêm a variávelx. As funções racionais podem ainda classi�car-se como:

• funções inteiras (ou polinómios)

y = 2x3 − 3x+ 2 y =√

3x5 − 3

4x3 y = 3;

• funções fraccionárias. Divisões de polinómios � esta classe defunções contém as funções inteiras;

y = x4 − 3x+ 2 y =1− xx2 + 2x

y =2

x− 3

(b) Irracionais: nas operações com raízes, há radicandos que contêm a va-riável x.

y = 1− 3√x y =

1− x2 + 5√

1− xy = 1− x

14 .

2. Funções transcendentes: são as funções que não são algébricas.

y = ex y = ln(x) y = sen(x).

Vídeo 57. Classi�cação de funções: exemplos[].

1.4 Operações sobre funções

Operações racionais.Sejam f e g duas funções quaisquer, de domínios Df e Dg e contradomínios CDf e CDg.De�nem-se as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão destas duas funçõesdo modo seguinte.


Abrantes


• Adição\Subtracção: (f ± g)(x) = f(x)± g(x), D(f±g) = Df ∩Dg.

• Multiplicação: (f · g)(x) = f(x) · g(x), D(f ·g) = Df ∩Dg.

• Divisão: (f/g)(x) = f(x)/g(x), D(f/g) = (Df ∩Dg) \ {zeros de g(x)}.

Exemplo 73. Para as funções

f : R→ R+0 , f(x) = x2

g : R+0 → R+

0 , g(x) =√x

temos

• (f + g)(x) = x2 +√x, D(f+g) = R ∩ R+

0 = R+0 .

• (f · g)(x) = x2√x = x5/2, D(f ·g) = R ∩ R+0 = R+

0 .

• (f/g)(x) = x2/√x = x3/2, D(f/g) = (R ∩ R+

0 ) \ {0} = R+.

Vídeo 58. Operações racionais sobre funções[].

Função compostaSejam f : A → B e g : B → C duas funções. De�ne-se a função (g ◦ f)(x), que se lê�função composta de g com f � ou �g após f �, da forma

(g ◦ f) : A→ C, (g ◦ f)(x) = g(f(x)

).

Exemplo 74. A �gura 32 representa a composição de duas funções f e g, (g ◦f)(x). Podeaí observar-se que

f(4) = 2 g(2) = 3,

e por isso

(g ◦ f)(4) = g(f(4)

)= g(2) = 3.

Figura 32: Função composta.


Abrantes


Para podermos de�nir a função composta de g com f , não é necessário que o contradomíniode f e o domínio de g sejam iguais, bastando que o primeiro esteja contido no segundo,i.e. CDf ⊂ Dg.

Exercício 50. Calcular (g ◦ f)(1) usando os dados da �gura 32.

Exemplo 75. Dadas as funções f : R→ R, f(x) = 2x2−x+1 e g : R+0 → R+

0 , g(x) =√x,

podemos escrever a função composta de f com g

(f ◦ g)(x) = f(g(x)

)= 2(√x)2 −

√x+ 1 = 2x−

√x+ 1, Df◦g = R+

0 ,

e podemos também escrever a função composta de g com f

(g ◦ f)(x) = g(f(x)

)=√

2x2 − x+ 1.

Veri�camos assim que, em geral, se tem f ◦ g 6= g ◦ f .

Vídeo 59. Função composta.[]

Podemos compor um número qualquer de funções.

Exemplo 76. Considerar as funções f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 3x e h(x) =√x.

1. Temos

(f ◦ g ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x) = f(g(h(x))

).

Como g(h(x)) = 3√x, �ca f

(g(h(x))

)= 2(3

√x)2 + 1 = 18x+ 1.

2. A operação de composição goza da propriedade associativa, i.e.

(f ◦ (g ◦ h))(x) = ((f ◦ g) ◦ h)(x).

Vamos veri�car esta propriedade com as funções deste exemplo. No ponto anteriorcalculámos a expressão no primeiro membro, (f ◦ (g ◦ h))(x). A expressão nosegundo membro é ((f ◦ g) ◦ h)(x) = ((18x2 + 1) ◦ h)(x) = 18x+ 1.

Função inversaSeja f : A→ B uma função bijectiva. De�ne-se a função inversa de f , e escreve-se f−1, afunção f−1 : B → A tal que, para todo elemento y ∈ B se tem f−1(y) = x, sendo y = f(x),i.e. (�guras 33 e 34)

(f−1 ◦ f)(x) = x e (f ◦ f−1)(y) = y.

Figura 33: f é a função inversa de f−1. Figura 34: f−1 é a função inversa de f .


Abrantes


Exemplo 77. A função f : R+0 → R+

0 , f(x) = x2, representada na �gura 30, pg. 75, éuma função bijectiva. A função inversa de f , f−1, determina-se da seguinte forma:

1. Resolver em ordem a x a equação y = x2, x ≥ 0. Obtém-se x =√y;

2. Trocar as letras `x' e `y' nesta equação. Obtém-se y =√x;

3. A função inversa é f−1 : R+0 → R+

0 , f−1(x) =

√x.

Vídeo 60. Função inversa.[]

1.5 Funções elementares

A grande parte das funções que vamos encontrar no nosso curso são funções elementares.Uma função diz-se elementar se é alguma das seguintes funções:

• uma constante

• uma potência

• uma exponencial

• um logaritmo

• uma função trigonométrica directa

• uma função trigonomérica inversa

• uma combinação de funções dos tipos acima referidos, usando um número �nitode operações racionais +,−, /,× e de composição de funções.

Funções constantes

f(x) = c, c ∈ RDf = R Imagemf = {c}Exemplos: f(x) = −2 f(x) = π

Figura 35: Função constante f(x) = c.

Funções potência

f(x) = xr, r ∈ RDf , Imagemf : dependem de r

Exemplos: f(x) = x2 f(x) = 3√x f(x) = x−2.1

(figuras 36, 37, 38, 39)


Abrantes


Figura 36: Df = R, Imagemf = R+0 . Figura 37: Df = R, Imagemf = R.

Figura 38: Df = R+0 , Imagemf = R+

0 . Figura 39: Df = R, Imagemf = R.

Funções exponenciais

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

Df = R Imagemf = R+

Exemplos: f(x) = ex f(x) = 2x f(x) = 0.5x

(figuras 40, 41)

Figura 40: Df = R, Imagemf = R+.Figura 41: Df = R, Imagemf = R+.

Funções logarítmicas

f(x) = loga(x), a > 0, a 6= 1

Df = R+ Imagemf = RExemplos: f(x) = ln(x) f(x) = log0.5(x) f(x) = log10(x)

(figuras 42, 43)


Abrantes


Figura 42: Df = R+, Imagemf = R. Figura 43: Df = R+, Imagemf = R.

Funções trigonométricas directas

Funções seno e coseno

f(x) = sen(x) f(x) = cos(x)

Df = R Imagemf = [−1, 1]

(figuras 44, 45, 46, 47)

Figura 44: Df = R, Imagemf = [−1, 1].Figura 45: Df = R, Imagemf = [−1, 1].

Figura 46 Figura 47

Função tangente


Abrantes


f(x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Df = R \ {x ∈ R : x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z}

Imagemf = R

Figura 48

Definem-se ainda as seguintes funções directas:

Cotangente: cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Secante: sec(x) =1

cos(x)

Cosecante: cosec(x) =1

sen(x)

Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas não admitem funções inversas,

porque não são injectivas. No entanto, para restrições

das funções trigonométricas directas (i.e., versões

das funções directas com os domínios restringidos a

subconjuntos em que são bijectivas), definem-se funções

inversas. Apresentam-se a seguir alguns casos.

Função arcoseno

y = arcsen(x) x = sen(y)

Dy = [−1, 1] Imagemy =

[−π

2,π

2

]

Figura 49

Função arcocoseno


Abrantes


y = arccos(x) x = cos(y)

Dy = [−1, 1] Imagemy = [0, π]

Figura 50

Função arcotangente

y = arctg(x) x = tg(y)

Dy = [−∞,∞] Imagemy =

]−π

2,π

2

[

Figura 51

Definem-se ainda as seguintes funções inversas:

Arcocotangente: arccotg(x)

Arcosecante: arcsec(x)

Arcocosecante: arccosec(x)

Vídeo 61. Funções elementares.[]

Vídeo 62. Funções trigonométricas directas.[]

Vídeo 63. Funções trigonométricas inversas.[]

1.6 Exercícios

Exercício 51. Escrever o domínio natural e o contradomínio das funções. Esboçar osgrá�cos.

1.

(a) y = x (b) y = x2 (c) y = x3 (d) y = x+ 2

(e) y = x2 − 2 (f) y = x3 +1

2(g) y = |x| (h) y = |x+ 2|

(i) y = |x− 1| (j) y = |x− 1| − 2 (k) y = 2x2 (l) y = −4x3


Abrantes


2.

(a) y =1

x(b) y =

1

x2(c) y =

1

x3(d) y =

1

x− 2

(e) y =1

(x− 2)2(f) y =

1

(x+ 1)3(g) y =

1

x2 − 2(h) y = −1

x

3.

(a) y =√x (b) y = 3

√x (c) y = 5

√x (d) y = 2 +

√x

(e) y = −√x (f) y = − 3

√x (g) y = − 4

√x (h) y =

√x− 2

(i) y = 3√x+ 3 (j) y = 4

√−x+ 1

4.

(a) y = ex (b) y = −ex (c) y = e−x (d) y = 0.1x

(e) y = −0.1x (f) y = 2x (g) y = 2−x (h) y = ex+1

(i) y = e−x+1 (j) y = 3ex (k) y = 3 + ex (l) y = −3 + ex

5.

(a) y = ln(x) (b) y = − ln(x) (c) y = ln(x+ 2) (d) y = ln(x− 2)

(e) y = 3 + ln(x+ 2) (f) y = ln |x| (g) y =∣∣ln(x)

∣∣ (h) y =∣∣ln |x|∣∣

6.

(a) y =√|x| (b) y = 3

√|x| (c) y =

∣∣ 3√x∣∣

Exercício 52. Veri�car se as funções assumem, ou não, os valores indicados.

(a) y =√

log10(x− 2), y = 4 (b) y =1

ex, y = 12

(c) y =x2

x2 + x, y = 1 (d) y = 2−x, y = −23

Exercício 53. Indicar, para cada caso, qual a última operação a ser efectuada se quisermoscalcular f(7).

(a) f(x) = sen(|x|) (b) f(x) =∣∣sen(x)

∣∣ (c) f(x) =√log10(x− 3)

(d) f(x) =x+ 2

x− 2(e) f(x) = x2

∣∣∣∣sen1

x

∣∣∣∣ (f) f(x) = 1 + 5x3e−x − 2x

(g) f(x) = (3− x2)13 (h)f(x) = x2(2− x)ex

Exercício 54. Determinar as funções inversas, se existirem.

(a) f(x) = 2x+ 3 f : R→ R (b) g(x) = 2 g : R→ R

(c) f(x) = x3 f : R→ R (d) g(x) =1

2−√x

g : R+0 \ {4} → R


Abrantes

2. Sequências numéricas 85

Exercício 55. Considerar as funções f(x) = 5√x, g(x) = x

23 e h(x) = sen(x)+2. Escrever

as expressões correspondentes às funções abaixo indicadas. Calcular os seus domínios.

(a) f(x− 2) +1

2(b) (f ◦ h)(x) (c) (f ◦ h ◦ g)(x)

(d)

∣∣f(x)∣∣

2− g2(x)− h(2x) (e) g

(f

(x

2

))h(x− t)

2 Sequências numéricas

2.1 Vizinhança de um número real

Consideremos um número real a e um número real positivo ε. A inequação |x− a| < ε ésatisfeita pelos valores de x correspondentes ao intervalo aberto centrado em a e de raioigual a ε:

|x− a| < ε ⇔ −ε < x− a < ε ⇔ a− ε < x < a+ ε.

Um intervalo deste tipo diz-se vizinhança ε do número a.

Exemplo 78. A vizinhança 0.1 do número 2, corresponde ao conjunto de pontos dointervalo ]2 − 0.1, 2 + 0.1[ = ]1.9, 2.1[. Uma vizinhança de�nida por um intervalo aberto,como neste caso, costuma designar-se por vizinhança aberta (diz-se vizinhança fechada, seo intervalo for fechado).

Vídeo 64. Vizinhança de um número real.[]

2.2 De�nição de sequência numérica

Uma sequência (ou sucessão) de números reais é uma �la in�nita de números reais separadospor vírgulas

1,1

2,

1

3, · · · , 1

n, · · ·

Cada um dos números designa-se por termo da sequência. O termo escrito em função davariável inteira n designa-se por termo geral da sequência. Substituindo sucessivamenteneste termo a variável n pelos inteiros positivos 1, 2, 3, · · · , obtêm-se os termos nas posiçõescorrespondentes.

Uma sequência numérica representa-se da forma (un)n∈N, ou simplesmente (un), e podeser encarada como uma função de domínio N e contradomínio R. Pode usar-se qualqueroutra letra no lugar de u.


Abrantes

86 2. Sequências numéricas

Exemplo 79. Algumas sequências numéricas.

(un) =

(1

n2

): 1,

1

4,

1

9, · · · , 1

n2, · · ·

(vn) =

(1

2n

):

1

2,

1

4,

1

8, · · · , 1

2n, · · ·

(wn) =((−1)n

): − 1, 1, −1, · · · , (−1)n, · · ·

(xn) = (1) : 1, 1, 1, · · · , 1, · · ·

(yn) =

(1 +

1

n

): 2, 1 +

1

2, 1 +

1

3, · · · , 1 +

1

n, · · ·

Vídeo 65. Sequências numéricas.[]

Uma sequência numérica (un) diz-se:

• limitada, se existem dois números reais a, b tais que a ≤ un ≤ b para qualquervalor de n, i.e., todos os elementos da sequência pertencem ao intervalo [a, b];

• limitada superiormente, se existe um número real b tal que un ≤ b para qualquervalor de n, i.e., todos os elementos da sequência são inferiores, ou quando muitoiguais a b;

• limitada inferiormente, se existe um número real a tal que a ≤ un para qualquervalor de n, i.e., todos os elementos da sequência são maiores, ou no mínimo iguaisa a.

Exemplo 80.

1. A sequência

(un) =

(1

n2

): 1,

1

4,

1

9, · · · , 1

n2, · · ·

é limitada, dado que para todo n ∈ N se tem

0 ≤ 1

n2≤ 1.

2. A sequência

(un) = (2n) : 2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·

é apenas limitada inferiormente, dado que para todo n ∈ N se tem

2 ≤ 2n.

3. A sequência

(un) = (−2n) : −2, −4, −6, · · · , −2n, · · ·

é apenas limitada superiormente, dado que para todo n ∈ N se tem

−2n ≤ −2.


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2. Sequências numéricas 87

Vídeo 66. Sequências numéricas limitadas e ilimitadas.[]

Uma sequência numérica (un) diz-se:

• crescente, se u1 < u2 < u3 < · · ·un < · · · ;

• decrescente, se u1 > u2 > u3 > · · ·un > · · · ;

• não decrescente, se u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ · · ·un ≤ · · · ;

• não crescente, se u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ · · ·un ≥ · · · ;

• monótona, se é de algum dos 4 tipos anteriores.

Exemplo 81.

1. A sequência 1 do exemplo 80 é decrescente, dado que 1 > 14 >

19 · · · .

2. A sequência 2 do exemplo 80 é crescente, dado que 2 < 4 < 6 · · · .

3. A sequência

1, 1, 2, 2, 3, 3, · · ·

é não decrescente, dado que 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 3 · · ·

Vídeo 67. Sequências numéricas monótonas.[]

2.3 Limite de uma sequência numérica

De�nição 5. Diz-se que uma sequência (un) de número reais converge ou tende para onúmero real L, ou ainda que tem limite igual a L, e escreve-se

limn→+∞

un = L,

se, e somente se, dado qualquer intervalo centrado em L, ]L−ε, L+ε[ (�gura 52), com ε > 0,existe uma ordem n0 tal que para todos os valores de n > n0, se tem un ∈]L− ε, L+ ε[.

Dito de forma equivalente, qualquer intervalo de diâmetro 2ε, centrado em L, contémuma quantidade in�nita de elementos da sequência (un), �cando fora do intervalo umaquantidade �nita de elementos.

Figura 52: Intervalo aberto de raio ε, centrado em L.

Uma sequência que tem limite diz-se convergente. Uma sequência que não tem limite diz-sedivergente.

Vídeo 68. Limite de uma sequência de números reais.[]


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88 2. Sequências numéricas

Exemplo 82. A sequência de termo geral un = 1n tem limite zero, quando n tende para

in�nito, e escreve-se

limn→+∞

1

n= 0,

porque, dado qualquer número positivo ε, existe um valor de n, designemo-lo por nε, talque para todos os valores de n superiores a nε, se tem

1

n∈]− ε, ε[.

Por exemplo, se ε = 0.001, pode veri�car-se que a partir da ordem n = 1001, u1001 =1/1001, todos os termos seguintes, u1002, u1003, · · · , pertencem ao intervalo ] − ε, ε[ =] − 0.001, 0.001[, centrado no ponto zero. Existe uma quantidade �nita de elementos dasequência fora deste intervalo, e uma quantidade in�nita de elementos da sequência dentrodo intervalo.

Limites in�nitosDada uma sequência de números reais (un), escreve-se

limn→+∞

un = +∞, (3.1)

se para todo o número k positivo existe uma ordem n0 tal que, para n > n0, se tem un > k.Não interessando quão grande seja o valor de k, há uma quantidade �nita de termos dasequência que são menores que k e uma quantidade in�nita de termos da sequência quesão maiores que k � ver �gura 53. De modo análogo se de�ne

limn→+∞

un = −∞.

Figura 53: Para qualquer k > 0, se un → +∞, então há uma quantidade �nita de termos de (un) menoresque k e uma quantidade in�nita de termos da sequência maiores que k.

Exemplo 83. Dada a sequência de termo geral un = 2n

(2n) : 2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·

se �zermos k = 1000 veri�camos que a partir do elemento u500 = 2 × 500 = 1000, todosos termos da sequência são maiores que k. Existe uma quantidade �nita de elementosmenores que k = 1000 e uma quantidade in�nita de elementos maiores que k = 1000. Éfácil veri�car que esta última a�rmação é válida qualquer que seja k. Por isso podemosescrever

limn→+∞

un = +∞. (3.2)

Deve notar-se que não é correcto dizer que (un) tem limite in�nito, porque o limite quandoexiste é um número real. Esta sequência não tem limite, é divergente. A expressão (3.2)diz-nos apenas de que forma diverge a sequência (vídeo 69).


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3. Funções contínuas 89

Vídeo 69. Limites in�nitos.[]

Exercício 56. Escrever os primeiros 5 termos de cada sequência numérica. Calcular oslimites das sequências.

(a)

(1

n

)(b)

(1

n2

)(c)

(−100 +

1

n

)(d)

(3 + n2

2 + n3

)

(e)

(3 + n2 − n3

2 + n3

)(f)

(log10(n)

)(g) (en) (h)

(e−n

)(i) (0.99n) (j) (1.01n) (k)

(sen(n)

)(l)

(√n

n

)

Alguns teoremas sobre limites de sequências numéricasCada um dos teoremas seguintes enuncia um resultado importante sobre limites de sequên-cias numéricas.

Teorema 6. (unicidade do limite) Se limun = a e limun = b, então a = b.

Teorema 7. Se limun = a, então toda a subsequência de (un) converge para a.

Teorema 8. Toda a sequência numérica convergente é limitada.

A recíproca do teorema 8 é falsa, i.e., uma sequência numérica pode ser limitada e não terlimite. Por exemplo, a sequência 1, 0, 1, 0, · · · é limitada, visto que todos os seus termospertencem ao intervalo [0, 1], mas não tem limite (porquê?).

Teorema 9. Toda a sequência numérica monótona e limitada é convergente.

Vídeo 70. Teorema 6.[]




3 Funções contínuas

3.1 Limite de uma função

De�nição 6. Diz-se que uma função real de variável real, f(x), converge (ou tende) parao número real L, ou ainda que tem limite igual a L, quando x tende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = L,

se, e somente se, dada qualquer sequência de valores de x convergente para a

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → a

a sequência de imagens por f que lhe corresponde converge para L,

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · → L.


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90 3. Funções contínuas

Exemplo 84. A igualdade limx→4

√x = 2, signi�ca que a diferença

∣∣√x− 2∣∣ pode ser tão

próxima de zero `quanto se queira', bastanto para isso que a diferença |x− 4| seja su�ci-entemente pequena.

Vídeo 74. De�nição 6.[]

3.1.1 Limites laterais

(ver �gura 54)

• Limite à direita de f(x) no ponto x = a: limx→a+

f(x);

• Limite à esquerda de f(x) no ponto x = a: limx→a−

f(x);

Exemplo 85. Na função representada na �gura 56, pg. 92, temos

limx→3−

f(x) = 2 limx→3+

f(x) = 5.

Vídeo 75. Limites laterais.[]

Teorema 10. O limite de f(x) no ponto x = a existe e é igual a b se, e somente se, existemos dois limites laterais de f(x) no ponto x = a e são ambos iguais a b:

limx→a

f(x) = b ⇔ limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = b.

Figura 54: Limites laterais.

3.1.2 Alguns teoremas sobre limites de funções

Cada um dos teoremas seguintes enuncia um resultado importante sobre limites de funções.

Teorema 11. (unicidade do limite) Se limx→a

f(x) = b e limx→a

f(x) = c, então b = c.

Teorema 12. Sejam f, g, h : D → R três funções de domínio D e contradomínio R. Separa todo x ∈ D, x 6= a, tivermos

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

e

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = b

então

limx→a

g(x) = b.


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Teorema 13. Sejam f, g : D → R e limx→a

f(x) = L, limx→a

g(x) = M . Então,

1. limx→a

[f(x)± g(x)] = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) = L±M ;

2. limx→a

[f(x)× g(x)] = limx→a

f(x)× limx→a

g(x) = L×M ;

3. Se M 6= 0, então limx→a

f(x)g(x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x) =LM .

Vídeo 76. Teoremas sobre limites de funções.[]

3.1.3 Limites no in�nito

Dada uma função f : D → R, escreve-se

limx→+∞

f(x) = b,

com b ∈ R, se para todo a sequência (xn) de valores de x, tal que limx→+∞

xn = +∞,

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → +∞

a sequência de imagens por f que lhe corresponde converge para b,

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · → b.

Exemplo 86. A função f(x) = 2+ 1√xtem limite igual a 2, quando x tende para +∞ (ver

�gura 55). De facto, ao aumentarmos ilimitadamente x o valor de 1√xdiminui, tendendo

para zero. Analiticamente temos:

limx→+∞

(2 +

1√x

)= lim

x→+∞2 + lim

x→+∞

(1√x

)= 2 + 0 = 2.

Figura 55: Limites no in�nito


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3.2 Função contínua

Uma função f : D → R diz-se contínua no ponto x = a do seu domínio, se é possíveltornar f(x) arbitrariamente próximo de f(a), fazendo x su�cientemente próximo de a. Ade�nição seguinte apresenta esta ideia de modo formal.

De�nição 7. Uma função f(x) diz-se contínua num ponto x = a do seu domínio, se nãoexiste nenhuma sequência de valores da variável x no domínio de f(x), convergente paraa,

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → a

à qual corresponda uma sequência de imagens por f(x), que não convirja para f(a),

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · ��→f(a).

Observação. Se o ponto a do domínio de f pertence a um intervalo fechado [b, c], contido nodomínio de f , então f é contínua em a se e somente se lim

x→af(x) = f(a).

De�nição 8. Uma função f(x) diz-se contínua num conjuntoD, se e somente se, é contínuaem todos os pontos do conjunto D. Se algum ponto do conjunto D é um ponto de fronteira,como por exemplo os pontos b, c do intervalo fechado [b, c], dizer-se que a função é contínuano intervalo supõe que, nos pontos de fronteira b, c, se considera apenas continuidade lateral- ver o exemplo 87, em baixo. Dizer-se que uma função é contínua, sem referir nenhumintervalo, signi�ca que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio (sendolateralmente contínua nos pontos de fronteira do domínio).

Vídeo 77. De�nição de continuidade num ponto e num conjunto.[]

Exemplo 87.

• A função representada na �gura 56 é descontínua no ponto x = 3. O tipo dedescontinuidade que aí apresenta diz-se de 1a espécie, porque ambos os limiteslaterais existem. Por ser

limx→3+

f(x) = 5 = f(3),

diz-se que a função é contínua à direita no ponto x = 3. No entanto f não écontínua à esquerda no ponto x = 3. Porquê?

Figura 56: Função com descontinuidade de 1a

espécie no ponto x = 3.


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• A função representada na �gura 57 é descontínua no ponto x = 0, pertencenteao seu domínio. O tipo de descontinuidade que aí apresenta diz-se de 2a espécie,porque não existe algum dos limites laterais (neste caso não existe o limite àesquerda no ponto x = 0). A função é contínua à direita no ponto x = 0.

Figura 57: Função com descontinuidade de 2a

espécie no ponto x = 0.

Exemplo 88.

• A função representada na �gura 58 é contínua, dado ser contínua em todos ospontos do domínio. Segundo alguns autores3, no entanto, uma função como estadiz-se descontínua no ponto x = 0, dado existirem sequências de valores de xconvergindo para x = 0, não convergindo a sequência das respectivas imagens porf para f(0) (nem poderiam, dado que a função não está de�nida em x = 0). Oponto x = 0 diz-se um ponto de acumulação do domínio de f . Um ponto diz-seponto de acumulação de um conjunto, se qualquer vizinhança do ponto contémelementos do conjunto, para além do próprio ponto � é possível escrever umasequência de valores no domínio de f convergente para o ponto. Em geral, falamosde continuidade apenas em pontos do domínio de uma função, mas podemos falarde descontinuidade em pontos do domínio da função e nos pontos de acumulaçãodo domínio. Descontinuidades como a desta função no ponto x = 0, dizem-sedescontinuidades assimptóticas.

Observação. Da função na �gura 59 não dizemos que é descontínua no ponto x = −2.A função não está aí de�nida, tal como a função da �gura 58 não está de�nida no pontox = 0. No entanto, ao contrário do ponto x = 0 do domínio da função na �gura 58, oponto x = −2 na �gura 59 não é ponto de acumulação do domínio da função.

• A função representada na �gura 59 é contínua em todos os pontos do seu domínio.O ponto x = −3 diz-se ponto isolado do domínio da função. Um ponto designa-se por ponto isolado de um conjunto, quando existe uma sua vizinhança quenão contém mais nenhum elemento do conjunto, excepto o próprio ponto. Devenotar-se que a única sequência numérica com valores no domínio de f convergentepara −3, é a sequência constante −3, −3, · · · , −3, · · · . Como a sequência dasimagens por f que lhe correspondem é

f(−3), f(−3), f(−3), · · · , f(−3), · · · → f(−3) = 5,

a de�nição 7 diz-nos que a função f é contínua no ponto x = −3.

3Ver, por exemplo, Sebastião e Silva, Compêndio de Álgebra, Tomo I.


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Figura 58: Descontinuidade assimptótica.

Figura 59: Função contínua em todos os pontos doseu domínio {−3} ∪ [0,+∞[.

3.2.1 Alguns teoremas sobre continuidade

Teorema 14. Se f : D → R é contínua num ponto a ∈ D, então f é limitada numavizinhança de a.

Teorema 15. Sejam f, g funções contínuas num ponto x = a comum aos seus domínios.Então:

1. f(x)± g(x) e f(x)× g(x) são funções contínuas em x = a;

2. f(x)g(x)

é uma função contínua em x = a, se g(a) 6= 0.

Teorema 16. Sejam f : D → R e g : F → R duas funções, com f(D) ⊂ F . Se f écontínua no ponto x = a e g é contínua no ponto f(a), então (g ◦ f)(x) = g

(f(x)

)é

contínua no ponto x = a.

Exercício 57. Mostrar que a função f(x) = e−x2

+ 2x−23x+1 é contínua em todos os pontos

do seu domínio natural.SoluçãoO domínio natural da função f é D = R \ {−1

3}. A função é contínua em todos os pontosdo domínio, porque:

• −x2 e ex são contínuas em D. Como e−x2é a composta destas duas, então é

contínua em D, pelo teorema 16;

• 2x− 2 e 3x+ 1 são contínuas em D. Pelo teorema 15, 2x−23x+1 também é.

• Finalmente, pelo teorema 15, como e−x2e 2x−2

3x+1 são contínuas em D, então f(x) =

e−x2

+ 2x−23x+1 também o é.

Teorema 17. (do valor intermédio para funções contínuas) Seja f : [a, b]→ R uma funçãocontínua no intervalo [a, b], tal que f(a) ≤ f(b). Seja d ∈ R tal que f(a) ≤ d ≤ f(b).Então existe pelo menos um ponto c ∈ [a, b], tal que d = f(c).

Exercício 58. (aplicação do teorema 17) Mostrar que o polinómio f(x) = x3 − x + 1 seanula em pelo menos um ponto do intervalo [−2, 0].SoluçãoA função f(x) é contínua em R, pelo teorema 15 (todos os polinómios são funções contínuasem R). Como f(−2) = −5 < 0 e f(0) = 1 > 0, o teorema 17 permite-nos a�rmar queexiste pelo menos um ponto c no intervalo [−2, 0] tal que f(c) = 0, uma vez que 0 ∈ [−5, 1].


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Vídeo 78. Teoremas sobre continuidade.[]


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Capítulo 4

Derivadas de Funções reais de

variável real

No capítulo anterior estudámos funções reais de uma variável real. Dada uma funçãoy = f(x), que representa uma relação entre duas grandezas, estamos interessados emesclarecer quantitativamente e qualitativamente essa relação.

Figura 60

Queremos saber quais os valores de x para os quais f(x)se anula (pontos a, c, e, g na �gura 60), ou nos quaisatinge valores extremos relativos, máximos ou mínimos(pontos b, d, f). É importante sabermos também emque intervalos de valores de x a função cresce (intervalo[b, d], por exemplo), em que intervalos a função decresce(intervalo [d, f ], por exemplo), e a sua taxa de variaçãocom x nos vários pontos desses intervalos (i.e., com querapidez varia a função ao longo de cada intervalo). Que-remos também conhecer os pontos em que a função éestacionária (pontos a, b, d, f). A representação grá�capode dar-nos informação importante, mas carece de ri-gor se for obtida apenas por marcação de uma quantidade maior ou menor de pontos numreferencial. Neste capítulo vamos estudar a operação de derivação, que nos vai permitirobter com rigor a informação acima referida. Mais ainda, esta operação vai revelar-sefundamental para resolver problemas de optimização, e para formalizar matematicamentealguns problemas práticos por meio de equações diferenciais, cujas soluções são funçõesque relacionam grandezas relevantes para responder a esses problemas.

1 Função derivada

Nesta secção vamos de�nir a função derivada f ′(x) de uma função real de variável realf(x).

1.1 Taxa de variação média de uma função

Na �gura 61 está representada a relação entre a distância d percorrida por um automóvel,em quilómetros (km), e o tempo t de duração do percurso, em horas (h), numa viagem queligou dois pontos que distam entre si 80 quilómetros. Da observação do grá�co, podemosobter a seguinte informação.

- A viagem durou 4h;

97

98 1. Função derivada

- Na primeira hora de viagem, o automóvel percorreu 25km;

- Passadas duas horas de viagem, o automóvel percorreu 60km. Isto signi�ca queo automóvel andou mais depressa na segunda hora de viagem (da hora 1 paraa hora 2) do que na primeira hora, já que nesta segunda hora percorreu 35km,contra os 25km da primeira hora (da hora 0 para a hora 1). O grá�co traduz amaior velocidade na segunda hora, sendo mais íngreme no intervalo [1, 2] de t doque no intervalo [0, 1];

- Do instante t = 2 para o instante t = 3, a distância entre o automóvel e o pontode partida diminuiu para 35km, o que signi�ca que o automóvel voltou para trás.

- Do instante t = 3 para o instante t = 4, o automóvel retomou o percurso nosentido do ponto de chegada.

Figura 61

Deve notar-se que a forma do grá�co na �-gura 61, não signi�ca que o carro andou asubir e a descer. O que ela representa éapenas a distância a que o automóvel se en-contra do ponto de partida, nos vários mo-mentos da viagem. O percurso que liga ospontos de partida e chegada pode ter qual-quer forma, podendo até a estrada ser �umarecta�.

Consideremos agora a �gura 62. O segmento derecta que une os pontos (t, d) = (0, 0) e (t, d) =(2, 60) representa a distância em função do temporespeitante a outro automóvel, que partindo no mesmo instante que o automóvel referidono grá�co da �gura 61, se encontra no mesmo ponto do trajecto ao �m de 2h de via-gem. Designemos por automóvel A o automóvel correspondente ao grá�co não linear e porautomóvel B o automóvel correspondente ao grá�co linear.

Figura 62

O facto de o grá�co ser linear para o automóvel B,diz-nos que o veículo efectuou o percurso com umritmo (velocidade) constante, i.e., percorrendo dis-tâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Recor-demos que se um objecto se desloca a uma velocidadeconstante, o valor da velocidade é dado por

velocidade =distância percorrida

tempo gasto a percorrer a distância

sendo as unidades km/h (quilómetros por hora), sea distância vier expressa em quilómetros e o tempoem horas. Assim, se o velocímetro do nosso carroindica 75km/h, sabemos que se mantivermos esseritmo percorreremos 75km a cada hora que passa. No caso da �gura 62, temos que avelocidade constante vB a que se desloca o automóvel B é:

vB =60

2= 30km/h.

Esta velocidade é designada por velocidade média (ou taxa de variação média da distân-cia com o tempo) do automóvel A no intervalo de tempo [0, 2], e representa a velocidade

Capítulo 4. Derivadas de Funções reais de variável real

Mário Abrantes

1. Função derivada 99

constante a que se deve deslocar um automóvel que, saindo ao mesmo tempo que o auto-móvel A, esteja no mesmo ponto do percurso ao �m de duas horas de viagem. O valor devB representa o declive da recta representada na �gura 62. De um modo geral, temos aseguinte de�nição.

Dada uma função f(x), designa-se por taxa de variação médiade f com x, no intervalo [a, b], o quociente

f(b)− f(a)

b− a.

Exemplo 89. Considere-se o grá�co na �gura 61.

1. Quais as velocidades médias do automóvel nos intervalos [0, 1], [1, 2], [1, 3], [3, 4]?

2. A que velocidade constante se deve deslocar um automóvel, de modo a começare a terminar a viagem nos mesmos instantes que o automóvel A?

Solução1. A velocidade média referente a um intervalo de tempo com início no instante t0 e �mno instante t1, é dada por v[t0,t1] = d(t1)−d(t0)

t1−t0 . Temos então:

v[0,1] =d(1)− d(0)

1− 0=

25− 0

1= 25km/h

v[1,2] =d(2)− d(1)

2− 1=

60− 25

1= 35km/h

v[2,3] =d(3)− d(2)

3− 2=

35− 60

1= −25km/h

v[4,3] =d(4)− d(3)

4− 3=

80− 35

1= 45km/h

Notar que a velocidade média v[2,3] é negativa, porque a distância do veículo ao ponto departida diminui entre os instantes t = 2 e t = 3.2. A velocidade constante neste enunciado é precisamente a velocidade média do veículo Ano intervalo [0, 4].

v[0,4] =d(4)− d(0)

4− 0=

80− 0

4= 20km/h.

Um automóvel B que parta ao mesmo tempo que o automóvel A, e que chegue tambémao mesmo tempo que o automóvel A ao local de destino, fazendo todo o percurso comvelocidade constante, deve deslocar-se à velocidade de 20km/h.

Vídeo 79. Signi�cado de uma média numérica.[]

1.2 Taxa de variação instantânea de uma função. Funçãoderivada

Na �gura 62 podemos veri�car que o automóvel se desloca mais rapidamente na segundahora do que na primeira, porque o grá�co aparece mais inclinado no intervalo de tempo[1, 2] do que no intervalo [0, 1]. No intervalo de tempo [0, 1] a velocidade do automóvel éinferior à velocidade média no intervalo [0, 2], sendo-lhe superior no intervalo [1, 2].


Mário Abrantes


Suponhamos agora que calculamos a velocidade média usando instantes de tempo muitopróximos � em vez de intervalos como [0, 2], usamos, por exemplo, [1.99, 2]. Na �gura 63representamos algumas rectas que, por terem sido calculadas desta forma, parecem tan-gentes à curva no grá�co.

Figura 63: Quanto maior é a velocidadenum ponto, maior é o declive da recta tan-gente à curva nesse ponto.

São válidas a seguintes observações.-A velocidade é maior numa vizinhança pequena doponto c, do que em vizinhanças pequenas dos pontosa e b. Isto signi�ca que se no instante a o condutordo automóvel olhar para o velocímetro1, lê um valormenor que o correspondente ao instante c;-Para instantes muito próximos dos instantes d e f ,o automóvel está praticamente parado. Isto tem sen-tido porque em ambos os instantes o automóvel temque parar para inverter a marcha;- Para instantes próximos de e, a velocidade do auto-móvel tem sinal negativo (o declive da recta traçadaé negativo). Isto signi�ca que nas proximidades doinstante e, o automóvel está a diminuir a distânciaque o separa do ponto de partida.

O que pretendemos estabelecer a seguir é que, por muito próximos que estejam os doisinstantes usados para calcular a velocidade média, o valor obtido para esta pode ser sig-ni�cativamente diferente da velocidade que o automóvel atinge em pontos intermédios aesses dois instantes. Veja-se, por exemplo, a velocidade média de 30km/h correspondenteaos instantes t = 0 e t = 2, na �gura 62, que é menor que a velocidade em pontos dointervalo [1.6, 1.7].

Figura 64: A recta r é a `recta limite'de uma sucessão de rectas de�nidas peloponto x0, e por cada um dos pontos dasequência x1, x2, x3, · · · → x0.

Uma forma de calcularmos a velocidade num ins-tante concreto de tempo, é sugerida pela �gura 64.Nela está representado o grá�co de uma função ge-nérica f(x) que, se quisermos, podemos considerarque exprime uma distância em função do tempo x.Fixemos um ponto no eixo das abcissas, x0, e cal-culemos a taxa de variação média da função usandoeste ponto e um outro ponto, x1. Obtemos

f(x1)− f(x0)

x1 − x0.

Este valor representa o declive da recta que uneos pontos

(x0, f(x0)

)e(x1, f(x1)

). Considere-

mos agora esta taxa de variação média usando oponto �xo x0 e pontos de uma sequência numéricax1, x2, x3, · · · , cada vez mais próximos de x0:

f(x1)− f(x0)

x1 − x0,

f(x2)− f(x0)

x2 − x0,

f(x3)− f(x0)

x3 − x0,

f(x4)− f(x0)

x4 − x0, · · ·

Estas taxas correspondem aos declives das rectas de uma sequência de retas, conformemostra a �gura. Podemos perguntar o seguinte: se esta sequência de números x1, x2, x3, . . .

1Dispositivo no tablier do carro que indica a velocidade a que este se desloca.


Mário Abrantes


usados para calcular as variações médias, convergir para o ponto que mantemos �xo, x0, asequência de retas correspondentes converge para alguma �recta limite�? O que se perguntaé se existe o limite

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Se este limite existir, o seu valor diz-se derivada da função f(x) no ponto x0 e representao declive da recta tangente à curva no ponto x0 (a recta r, na �gura 64). Escreve-se

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0. (4.1)

Registamos esta noção importante.

Dada uma função f(x) e um ponto x0 do seu domínio, a

derivada da função no ponto x0, que se escreve f ′(x0),se existir, representa o declive da recta tangente ao

gráfico da função f(x) no ponto x0.

Dado que a derivada da função no ponto x0 corresponde a

uma taxa de variação calculada com pontos �tão próximos

quanto se queira� (não há maior proximidade do que a

atingida por meio do limite), f ′(x0) designa-se por taxa

de variação instantânea da função f(x) no ponto x0.

Exercício 59. Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x = 2.Resolução

f ′(2) = limx→2

f(x)− f(2)

x− 2= lim

x→2

x2 − 22

x− 2= lim

x→2

(x+ 2)(x− 2)

x− 2= lim

x→2(x+ 2) = 4.

Sabemos que m = f ′(2) = 4 é o declive da recta tangente ao grá�co de f(x) no pontox = 2. Podemos determinar a equação desta recta, sabendo que ela contém o ponto(x, y) =

(2, f(2)

)= (2, 4). Obtemos (ver �gura 65)

y = 4x+ b

Cálculo de b: 4 = 4× 2 + b⇔ b = −4

Equação da recta: y = 4x− 4

Exercício 60. Calcular a derivada da função f(x) = x3 no ponto x = 0.Resolução

f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0

x3 − 03

x− 0= lim

x→0

x3

x= lim

x→0x2 = 0.

Sabemos que m = f ′(0) = 0 é o declive da recta tangente ao grá�co de f(x) no pontox = 0. Podemos determinar a equação desta recta, sabendo que ela contém o ponto(x, y) =

(0, f(0)

)= (0, 0). Obtemos (ver �gura 66)

y = 0x+ b = b

Cálculo de b: 0 = 0× 0 + b⇔ b = 0

Equação da recta: y = 0 (a recta coincide com o eixo dox xx)


Mário Abrantes


Figura 65

Figura 66

Torna-se mais cómodo calcular a derivada de um função num ponto, se dermos outra formaà fórmula 4.1. Fazendo h = x− x0 (ver �gura 64), temos x = x0 + h e podemos escrever afórmula 4.1 do modo

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h. (4.2)

Nesta fórmula só aparece uma expressão envolvendo a letra x, que é x0, enquanto na fór-mula 4.1 aparecem duas, x e x0. Para além disto, eliminamos a subtracção no denominadorque aparece na fórmula 4.1.

Vídeo 80. Forma da expressão de cálculo da derivada.[]

Exemplo 90. Usando a fórmula 4.2 para calcular a derivada de f(x) = x2 no ponto x = 2(ver o exercício 59), temos

f ′(2) = limh→0

f(2 + h)− f(2)

h= lim

h→0

(2 + h)2 − 22

h

= limh→0

22 + 2× 2h+ h2 − 22

h= lim

h→0

2× 2h+ h2

h

= limh→0

(2× 2 + h) = 4.

É importante interpretar o signi�cado de f ′(2) = 4 obtido neste exemplo. A primeira coisaa ter presente, é que a derivada é o limite duma taxa de variação média

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0,

sendo que a taxa de variação média envolve uma divisão. O quociente q da divisão def(x)− f(x0) por x− x0, dá-nos a quantidade de variação de f(x)− f(x0) por unidade dex− x0, no intervalo de�nido por x e x0. O que o limite desta variação média faz

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0,

é estabelecer o limite da sequência de quocientes que se obtém calculando as taxas de va-riação média para intervalos em x cada vez mais pequenos. A informação que a expressãof ′(2) = 4 nos dá, é que se calcularmos taxas de variação médias de f(x) = x2 envolvendo oponto x0 = 2 e um outro ponto x, o valor dessas taxas aproxima-se tanto mais de 4 quantomais próximo esse outro ponto x estiver de x0 = 2.


Mário Abrantes


É imediato veri�car que, se quisermos calcular a derivada de f(x) = x2 noutro pontodiferente de x = 2, por exemplo no ponto x = 3, basta repetir os cálculos efectuados noexercício 90, usando x = 3:

f ′(3) = limh→0

f(3 + h)− f(3)

h= lim

h→0

(3 + h)2 − 32

h

= limh→0

32 + 2× 3h+ h2 − 32

h= lim

h→0

2× 3h+ h2

h

= limh→0

(2× 3 + h) = 6.

Podemos obter uma função f ′(x) que nos permita calcular o valor da derivada em qualquer

ponto sem repetir os cálculos acima. Basta efectuá-los uma só vez, trocando o ponto 3pelo ponto genérico x:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

x2 + 2xh+ h2 − x2

h= lim

h→0

2xh+ h2

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x.

A função f ′(x) = 2x diz-de função derivada de f(x) = x2. É agora imediato obter o valorda derivada de f(x) = x2 em qualquer ponto. Por exemplo:

f ′(2) = 2× 2 = 4 f ′(−3) = 2× (−3) = −6.

A interpretação da função f ′(x) = 2x obtida acima é a seguinte (ver �gura 65):

• Para valores de x < 0 a expressão 2x é negativa. Isto signi�ca que, para valoresnegativos de x a função f(x) = x2 é decrescente, e decresce de forma tão maisacentuada quanto menor (mais para a esquerda na recta real) é o valor de x;

• Para valores de x > 0 a expressão 2x é positiva. Isto signi�ca que, para valorespositivos de x a função f(x) = x2 é crescente, e cresce de forma tão mais acentuadaquanto maior (mais para a direita na recta real) é o valor de x.

Em resumo, podemos dizer o seguinte.

Dada uma função y = f(x), a expressão f ′(x) representa uma

nova função de x, cujo domínio é o conjunto de todos

os pontos em que a função f(x) tem derivada finita.

Atribuindo a x diferentes valores x1, x2, · · · , obtêm-se

para f ′(x) determinados valores, f ′(x1), f ′(x2), · · · , que são

as derivadas de f(x) nesses pontos. A função f ′(x) diz-se

função derivada de f(x), ou simplesmente derivada de f(x), e

pode ainda ser representada pelas notações

y′ ,dy

dx, f ′(x) , etc.

A derivada de f(x) num ponto concreto x0, pode

escrever-se:

y′|x=x0 ,

(dy

dx

)x=x0

, f ′(x0) , etc.


Mário Abrantes


Exercício 61. Considerar a função f(x) =√x. Calcular a função derivada f ′(x).

Resolução

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

√x+ h−

√x

h

= limh→0

(√x+ h−

√x)

h

(√x+ h+

√x)

(√x+ h+

√x)

(porquê?)

= limh→0

(x+ h)− xh(√x+ h+

√x)

(porquê?)

= limh→0

h

h× (√x+ h+

√x)

= limh→0

1√x+ h+

√x

=1√

x+√x

=1

2√x

Exercício 62. Mostrar que não existe a derivada da função f(x) = 1x no ponto x = 0.

1.3 Derivadas laterais

O limite na fórmula 4.2 pode não existir (o que signi�ca que a função f ′(x) não está de�nidano ponto x0) mas, apesar disso, existir algum dos limites laterais

limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h(4.3)

limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h. (4.4)

Cada um destes limites designa-se por derivada lateral de f(x) no ponto x0, sendo oprimeiro a derivada lateral de f(x) à direita no ponto x0, que se escreve f ′+(x0), e o outroa derivada lateral de f(x) à esquerda no ponto x0, que se escreve f ′−(x0). Uma funçãoé derivável num ponto x0 se, e somente se, existem e são iguais nesse ponto as derivadaslaterais.

Exemplo 91. A função representada na �gura 67 não tem derivada no ponto x = 1,porque as derivadas laterais no ponto são distintas.

f ′−(1) = limh→0−

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0−

1− 1

h= lim

h→0−

0

h= 0

f ′+(1) = limh→0+

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0−

(1 + h)− 1

h= lim

h→0−

h

h= lim

h→0−1 = 1

Exemplo 92. A função representada na �gura 68 não tem derivada no ponto x = 2,porque não está de�nida nesse ponto.


Mário Abrantes

2. Derivadas de algumas funções elementares. Regras de derivação 105

Figura 67Figura 68

Figura 69

De um modo geral, podemos dizer o seguinte.

Se uma função f(x) é derivável no ponto x0, então ela

é 'lisa' nesse ponto, i.e., o ponto x0 não é um ponto

anguloso (ponto x=1 da figura 67 é um ponto anguloso)

ou um ponto cuspidal (ponto x=0 da figura 69 é um ponto

cuspidal).

2 Derivadas de algumas funções elementares. Re-

gras de derivação

Vamos agora determinar as derivadas de algumas funções elementares e apresentar algumasregras de derivação que nos permitem calcular a função derivada de uma soma ou de umproduto de funções, bem como de uma divisão de funções, de uma composição de funçõese da inversa de uma função. Ficaremos em condições de poder determinar facilmentea função derivada de um grande número de funções, que é depois usada para estudar avariação da função num dado conjunto de pontos.

2.1 Derivadas de algumas funções elementares

Funções constantes

f(x) = k, k ∈ R.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

k − kh

= limh→0

0

h= 0

Como se pode veri�car, a derivada duma função constante é nula em qualquer ponto doseu domínio.


Mário Abrantes

106 2. Derivadas de algumas funções elementares. Regras de derivação

Exemplo 93.

f(x) =1

2f ′(x) =

(1

2

)′= 0

f(x) = log10 12 f ′(x) = (log10 12)′ = 0 notar que log10 12 é uma constante

f(x) = e−2 f ′(x) =(e−2)′

= 0 notar que e−2 é uma constante

Funções potência

f(x) = xr, r ∈ Rf ′(x) = rxr−1

Exemplo 94. Dedução da fórmula da derivada de f(x) = xn, sendo n um número inteiropositivo.

Sabemos que

(x+ h)n =n∑k=0

(n

k

)xn−khk = xn +

(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−2h2 + · · ·+

(n

n− 1

)xhn−1 + hn,

com (n

k

)=

n!

(n− k)!k!.

Podemos escrever

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)n − xn

h

= limh→0

((n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2h+

(n

3

)xn−3h2 + · · ·+

(n

n− 1

)xhn−2 + hn−1

)

=

(n

1

)xn−1 = nxn−1

Exemplo 95.

f(x) = 5√x f ′(x) =

(x

15

)′=

1

5x

15−1 =

1

5x−

45

f(x) = x−4 f ′(x) =(x−4

)′= −4x−4−1 = −4x−5

f(x) = x4 f ′(x) =(x4)′

= 4x4−1 = 4x3

Funções exponenciais

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

f ′(x) = ax ln a

Prova.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − 1

h= ax lim

h→0

ah − 1

h


Mário Abrantes


Vamos calcular o limite limh→0

ah−1h . Designando ah − 1 por t, temos

ah − 1 = t⇔ ah = 1 + t⇔ h = loga(1 + t).

Podemos escrever, notando que se h→ 0 também t→ 0,

limh→0

ah − 1

h= lim

t→0

t

loga(1 + t)

= limt→0

1

loga

(1 + 1

1t

) 1t

=1

limt→0

loga

(1 + 1

1t

) 1t

=1

loga e= ln a

Notar que se a = e temos,

(ex)′ = ex ln e = ex,

o que mostra que a fórmula para a derivada duma exponencial de base a é mais simplesquando se tem a = e (e ≈ 2.72).

Exemplo 96.

f(x) = 2x f ′(x) = (2x)′ = 2x ln 2

f(x) = 0.34x f ′(x) = (0.34x)′ = 0.34x ln 0.34

f(x) = (√

7)x f ′(x) =(

(√

7)x)′

= (√

7)x ln√

7

Sabendo que 0.34x > 0 (porquê?) e que ln 0.34 < 0 (porquê?), temos (0.34x)′ < 0, paraqualquer valor de x. Isto signi�ca que a função f(x) = 0.34x é decrescente em todo o seudomínio.

Funções logarítmicas

f(x) = loga |x| , a > 0, a 6= 1

f ′(x) =1

x ln a

Prova.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

loga |x+ h| − loga |x|h

= limh→0

1

hloga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ .Notar que loga |x+ h| − loga |x| = loga

∣∣∣∣x+ h

x

∣∣∣∣ = loga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ .Temos então

f ′(x) = limh→0

loga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ 1h = limh→0

loga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ xhx

= limh→0

loga

(∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ xh) 1

x

= loga

limh→0

(1 +

1xh

) xh

1x

= loga e1x =

1

xloga e =

1

x ln a


Mário Abrantes


Notar que se a = e temos,

(loge |x|

)′=

1

x ln e=

1

x,

o que mostra que a fórmula para a derivada dum logaritmo de base a é mais simples quandose tem a = e (e ≈ 2.72).

Exemplo 97.

f(x) = log10 |x| f ′(x) = (log10 |x|)′ =1

x ln 10

f(x) = log0.34 |x| f ′(x) = (log0.34 |x|)′ =1

x ln 0.34

f(x) = ln(x) f ′(x) = (lnx)′ =1

x, x > 0

Funções trigonométricas directas

f(x) = sen(x) f ′(x) = cos(x)

f(x) = cos(x) f ′(x) = −sen(x)

Prova. Dedução da fórmula da derivada da função sen(x).

Vamos usar a fórmula sen(p)− sen(q) = 2sen(p−q

2

)cos(p+q

2

).

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

sen(x+ h)− sen(x)

h= lim

h→0

2sen(h2

)cos(

2x+h2

)h

= limh→0

sen(h2

)h2

limh→0

cos

(2x+ h

2

)

Como limh→0

sen(h2

)h2

= 1 e limh→0

cos

(2x+ h

2

)= cos

(2x

2

)= cos(x), temos

f ′(x) = cos(x)

Notar que as igualdades (sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = −sen(x) são válidas se o ângulox vier em radianos (ver exercício 65, pg. 110).

2.2 Derivadas de somas, produtos e divisões de funções

Teorema 18. Sejam f, g : D → R duas funções deriváveis no ponto genérico x. Valem asseguintes regras de derivação.

1. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

2. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3.

(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x), g(x) 6= 0.


Mário Abrantes


Prova. 1. Prova-se a regra da derivada de uma adição de funções. A prova para ocaso da subtracção é análoga.

(f + g)′(x) = limh→0

(f(x+ h) + g(x+ h))− (f(x) + g(x))

h

= limh→0

(f(x+ h)− f(x)) + (g(x+ h)− g(x))

h

= limh→0

f(x+ h)− f(x)

h+ limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

= f ′(x) + g′(x)

2.

(fg)′(x) = limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

(f(x+ h)− f(x)

hg(x+ h)

)+ limh→0

(f(x)

g(x+ h)− g(x)

h

)= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3.

(f/g)′(x) = limh→0

f(x+ h)/g(x+ h)− f(x)/g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)

g(x+ h)g(x)h

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)

g(x+ h)g(x)h

= limh→0

f(x+h)−f(x)h g(x)− f(x)g(x+h)−g(x)

h

g(x+ h)g(x)

=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)

Exemplo 98.

f(x) = 3x− 2ex f ′(x) = (3x− 2ex)′ = (3x)′ − (2ex)′ = 3− ((2)′ex + 2(ex)′) = 3− 2ex

f(x) = xsen(x) f ′(x) =(xsen(x)

)′= (x)′sen(x) + x(sen(x))′ = sen(x) + xcos(x)

f(x) =x

sen(x)f ′(x) =

(x

sen(x)

)′=

(x)′sen(x)− x(sen(x))′

sen2(x)=

sen(x)− xcos(x)

sen2(x)

Exercício 63. Usando as fórmulas para as derivadas de sen(x) e cos(x), obter as derivadasdas funções trigonométricas seguintes.

f(x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

f(x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x)

f(x) = sec(x) =1

cos(x)

f(x) = cosec(x) =1

sen(x)


Mário Abrantes


2.3 Derivada da função composta

Teorema 19. Sejam f : A → R e g : B → R duas funções, com f(A) ⊂ B e a ∈ A, talque b = f(a) (ver �gura 70). Se existem f ′(a) e g′(b), então g ◦ f : A→ R é derivável emx = a e tem-se

(g ◦ f)′(a) = f ′(a)g′(b) = f ′(a)g′(f(a)

). (4.5)

Se na fórmula (4.5) substituirmos a por um ponto genérico x, obtemos a fórmula

(g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(f(x)

).

A expressão g′(f(x)

)determina-se em dois passos: (i) Calcula-se primeiro g′(x); (ii)

substitui-se nesta expressão a variável x por f(x). Pode indicar-se das formas

(g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(f(x)

)ou

(g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(u)|u=f(x).

Esta fórmula para a derivada da função composta, também se designa por regra da cadeia.

Figura 70

Exercício 64. Sejam f = x2 e g = ex duas funções. Determinar

1. (g ◦ f)(x) 2. (g ◦ f)′(x) 3. (g ◦ f)′(−2).

Resolução

1. (g ◦ f)(x) = g(f(x)

)= g

(x2)

= ex2.

2. (g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(f(x)

)= (x2)′(eu)′|u=x2 = 2xex

2.

3. (g ◦ f)′(−2) = 2(−2)e(−2)2 = −4e4.

Exercício 65. Escrever a fórmula para derivada de sen(x) se x vem em graus.

2.4 Derivada da função inversa

Na �gura 71 está representada uma recta de declive m = 2. Trocando o papel dos eixos doreferencial, i.e., considerando como eixo dos xx o eixo dos yy e como eixo dos yy o eixo dosxx, a mesma recta �ca neste novo referencial com o declive m = 1

2 . Consideremos agora a�gura 72. Observa-se o seguinte.

1. A função f(x) = x2 aí representada é bijectiva no intervalo [0,+∞[.


Mário Abrantes


2. Admite, por isso, uma função inversa, na restrição [0,+∞[ do seu domínio. Po-demos ler do grá�co que, por exemplo, f(2) = 4 e por isso f−1(4) = 2.

3. A recta tangente ao grá�co no ponto de abcissa x = 2, cuja equação é y = 4x−4,tem declive m = 4. Isto signi�ca que f ′(2) = 4.

4. Como o grá�co de f−1 se obtém do grá�co de f trocando os papéis dos eixos doreferencial, podemos a�rmar que o valor da derivada de f−1 no ponto x = 4 ém = 1

4 , i.e., (f−1

)′(4) =

1

f ′(2).

Podemos generalizar este resultado da seguinte forma.

Teorema 20. Seja f uma função invertível numa vizinhança do ponto x = a e derivávelnesse ponto. Então, a derivada da função inversa f−1 no ponto b = f(a) é dada por(

f−1)′

(b) =1

f ′(a).

Figura 71 Figura 72: f(x) = x2, f−1(x) =√x, x ≥ 0.

Exercício 66. Calcular a derivada da função f−1(x), sendo f(x) = ex.ResoluçãoSe x = a é um ponto genérico do domínio de f(x) = ex, então a sua imagem por f é ea.Pelo teorema 20, podemos escrever(

f−1)′

(ea) =1

f ′(a)=

1

ea, (4.6)

uma vez que f ′(x) = (ex)′ = ex. Como a função inversa de f(x) = ex é f−1(x) = ln(x), e(f−1(x)

)′= 1

x , podemos escrever

(ln(x)

)′ ∣∣∣∣x=ea =1

ea,

em concordância com o resultado que �gura na expressão (4.6).


Mário Abrantes

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