08 - aritmética computacional

Arquitetura e Organizao de Computadores

Aritmtica Computacional

Prof. Slvio Fernandes

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO DEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E NATURAIS

CURSO DE CINCIA DA COMPUTAO

Unidade Lgica e Aritmtica (ULA)

Do ingls ALU Faz os clculos. Tudo o mais no computador existe para atender

a essa unidade. Trata de inteiros. Pode tratar de nmeros de ponto flutuante

(reais). Pode ser FPU separada (coprocessador

matemtico). Pode estar em chip de FPU separado (486DX +).

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Unidade Lgica e Aritmtica (ALU)

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Representao de Nmeros Inteiros

No sistema de numerao binria, possvel representar nmeros inteiros negativos usando:

Dgitos 0 e 1

Sinal de subtrao

Vrgula

Exemplo:

-1101,01012 = -13,312510

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Para armazenar e processar nmeros inteiros

negativos no computador, so usados apenas

os dgitos 0 e 1

Se uma sequencia de n bits de dgitos binrios

na-1 na-2 ... a1 a0 for um inteiro sem sinal A, seu

valor

5

1

0

2n

i

i

iaA


Como representar nmeros negativos?

Representao Sinal-Magnitude

Representao em Complemento de Dois

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Em uma palavra de n bits

O bit mais esquerda representa o sinal do nmero inteiro

Os n-1 bits mais direita representam a magnitude do nmero inteiro

Exemplo:

+18 = 00010010

-18 = 10010010 7


H duas representaes para o zero

+0 = 00000000

-0 = 10000000

mais difcil testar se um valor igual a zero do que no caso em que h apenas uma representao para o zero

Por isso, essa representao raramente usada na implementao da parte inteira de uma ULA

8

9


Para nmeros inteiros positivos, an-1 = 0

O nmero 0 tratado como um nmero inteiro positivo

Usada para representar nmeros na faixa -2n 2n-1

Usada quase universalmente para representar nmeros inteiros dentro do P

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2

0

1

1 22n

i

i

i

n

n aaA

Decimal S-M C-2

+8 - -

+7 0111 0111

+6 0110 0110

+5 0101 0101

+4 0100 0100

+3 0011 0011

+2 0010 0010

+1 0001 0001

+0 0000 0000

Decimal S-M C-2

-0 1000 -

-1 1001 1111

-2 1010 1110

-3 1011 1101

-4 1100 1100

-5 1101 1011

-6 1110 1010

-7 1111 1001

-8 - 1000


Converso complemento de 2 decimal

Converso decimal complemento de 2

-128 +2 +1 = -125

-120 =

12


-128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 0 0 0 1 1

-128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 0 1 0 0 0

-128 +8

s vezes desejvel converter a representao de um nmero inteiro com n bits para sua representao com m bits, onde m > n

Na representao sinal-magnitude, isso pode ser feito facilmente

Basta mover o bit de sinal para a posio mais esquerda e preencher as demais posies novas com 0

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Representao em Sinal-Magnitude

Exemplos:

+18 = 00010010 (s-m, 8 bits)

+18 = 0000000000010010 (s-m, 16 bits)

-18 = 10010010 (s-m, 8 bits)

-18 = 1000000000010010 (s-m, 16 bits)

Esse procedimento no funciona para nmeros inteiros negativos representados em complemento de dois

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Exemplos:

+18 = 00010010 (c-2, 8 bits)

+18 = 0000000000010010 (c-2, 16 bits)

-18 = 11101110 (c-2, 8 bits)

-32.658 = 1000000001101110 (c-2, 16 bits)

A regra mover o bit de sinal para a posio mais esquerda e preencher as demais com valor igual ao bit de sinal

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Exemplos:

+18 = 00010010 (c-2, 8 bits)

+18 = 0000000000010010 (c-2, 16 bits)

-18 = 11101110 (c-2, 8 bits)

-18 = 1111111111101110 (c-2, 16 bits)

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Negao

Para representao s-m, basta inverter o valor do bit de sinal

Para a representao em complemento de dois:

Toma-se o complemento booleano de cada bit do nmero

Adiciona-se 1 ao resultado

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Exemplos:

+18 = 00010010 (c-2)

Complemento booleano = 11101101

+1

11101110 = -18

-18 = 11101110 (c-2)


+1

00010010 = +18

18


Casos especiais de negao

0 = 00000000 (c-2)


+1

100000000 = 0

Bit vai um (carry in) - ignorado

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Casos especiais de negao (cont.)

-128 = 10000000 (c-2)


+1

10000000 = -128

Anomalia se deve ao fato que uma palavra de n bits pode conter 2n representaes distintas

2n um nmero par

Sendo representados nmeros positivos, negativos e o 0, a qtde de nmeros positivos e negativos so diferentes

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Adio

1001 +0101 1110

(a) (-7) + (+5) = -2

1100 +0100 10000

(b) (-4) + (+4) = 0

0011 +0100 0111

(c) (+3) + (+4) = +7

1100 +1111 11011

(d) (-4) + (-1) = -5

0101 +0100 1001

(e) (+5) + (+4) = +9 (overflow)

1001 +1010 10011

(f) (-7) + (-6) = -13 (overflow) 21


Subtrao

0010 +1001 1011

(a) M = 2 = 0010 S = 7 = 0111

-S = -7 = 1001 (+2) + (-7) = -5

1011 +1110 11001

(c) M = -5 = 1011 S = 2 = 0010

-S = -2 = 1110 (-5) + (-2) = -7

0111 +0111 1110

(e) M = 7 S = -7 = 1001 -S = 7 = 0111

(+7) + (+7) = 14 (overflow)

0101 +1110 10011

(b) M = 5 = 0101 S = 2 = 0010

-S = -2 = 1110 (+5) + (-2) = +3

0101 +0010 0111

(d) M = 5 = 0101 S = -2 = 1110 -S = 2 = 0010 (+5) + (+2) = +7

1010 +1100 10110

(f) M = -6 = 1010 S = 4 = 0100

-S = -4 = 1100 (-6) + (-4) = -10 (overflow)

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23



Hardware para adio e subtrao

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Multiplicao

Complexa.

Calcule produto parcial para cada dgito.

Cuidado com o valor da casa (coluna).

Some produtos parciais.

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Exemplo de Multiplicao

Nota: precisa de resultado com tamanho duplo.

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Hardware para Multiplicao

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Multiplicao de 1101 e 1011

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Fluxograma para Multiplicao

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Multiplicando nmero negativos

Isso no funciona!

Soluo 1:

Converta para positivo, se for preciso.

Multiplique como antes.

Se sinais diferentes, negue a resposta.

Soluo 2:

Algoritmo de Booth.

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Fluxograma do algoritmo de Booth

31


Exemplo do algoritmo de Booth (7 x 3)

32 Nota: usado deslocamento aritmtico para preservar o sinal


Exemplo do algoritmo de Booth para negativos

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Diviso

Mais complexa que a multiplicao.

Nmeros negativos so realmente maus!

Baseada na diviso longa.

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Diviso de inteiros sem sinal

35

001111

1011

00001101

10010011

1011

001110

1011

1011

100

Quociente

Dividendo

Resto

Restos

Parciais

Divisor


Diviso de inteiros sem sinal

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Representao de Ponto Flutuante

Usada para representar nmeros muito grandes ou muito pequenos

Para nmeros decimais, usa-se a notao cientfica

976.000.000.000.000 = 9,76 x 1014

0,0000000000000976 = 9,76 x 10-14

Para nmeros binrios, temos:

EBM

Sinal Mantissa

Expoente

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Um mesmo nmero pode ser vrias representaes em ponto flutuante

24 = 0,110 x 25 = 110 x 22 = 0,0110 x 26

Para simplificar as operaes, requerido que os nmeros sejam normalizados

Enbbbb

2...1,1 210

implcito

Dgitos binrios

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Expoente polarizado

Significando

23 bits 8 bits

32 bits Sinal da

mantissa o sinal armazenado no primeiro bit da palavra o primeiro bit da significando verdadeira sempre 1

- por isso no precisa ser armazenado o valor 127 adicionado ao expoente verdadeiro, sendo o resultado denominado Expoente Polarizado

Exemplos: 856.064 = 0,11010001 x 2

10100 = 0 10010011 10100010000000000000000 -856.064 = -0,11010001 x 210100 = 1 10010011 10100010000000000000000 209 x 2-28 = 0,11010001 x 2-10100 = 0 01101011 10100010000000000000000 -209 x 2-28 = -0,11010001 x 2-10100 = 1 01101011 10100010000000000000000

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Intervalos de representao para 32 bits:

Nmeros negativos:

[-(1-2-24) x 2128 , -0,5 x 2-127] -(1-2-24) x 2128 = 1 11111111 11111111111111111111111

-0,5 x 2-127 = 1 00000000 00000000000000000000000

Nmeros positivos:

[0,5 x 2-127 , (1-2-24) x 2128] 0,5 x 2-127 = 0 00000000 00000000000000000000000

(1-2-24) x 2128 = 0 11111111 11111111111111111111111

40


Nmeros positivos representveis

Nmeros negativos representveis

-(1-2-24) x 2128 -0,5 x 2-127 -0,5 x 2-127 -(1-2-24) x 2128 0

Overflow em Nmeros Negativos

Overflow em Nmeros Positivos

Underflow em Nmeros Negativos

Underflow em Nmeros Positivos

Nmeros inteiros representveis

0 -231 231-1

Overflow em Nmeros Negativos

Overflow em Nmeros Positivos

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O underflow menos crtico que o overflow, pois o valor pode ser aproximado para 0

No h, princpio, representao para 0

Na verdade, h um padro de bits especial para representao do 0

O nmero mximo de valores distintos representveis continua sendo 232

A representao em ponto flutuante apenas divide esses valores em duas faixas

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H uma relao estreita entre os tamanhos dos campos reservados ao significando e ao expoente

Para um tamanho fixo de palavra:

Se o nmero de bits reservados ao significando aumentar, aumenta-se a preciso, mas diminui-se a faixa de valores representveis

Se o nmero de bits reservados ao expoente aumentar, aumenta-se a faixa de valores representveis, mas diminui-se a preciso

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Padro IEEE 754

44

Expoente polarizado

Significando

52 bits 11 bits

64 bits Sinal do

significando

Expoente polarizado

Significando

23 bits 8 bits

32 bits Sinal do

significando

Formato Simples

Formato Duplo


Sinal

Expoente Polarizado

Mantissa Valor Formato

Simples

Formato

Duplo

0 0 0 0 0

1 0 0 0 -0

0 255 2047 0

1 255 2047 0 -

0 ou 1 255 2047 0 NaN

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Valores especiais definidos no IEEE 754


Parmetros do formato IEEE 754

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Parmetro Formato Simples Formato Duplo

Tamanho da palavra 32 64

Tamanho do expoente 8 11

Polarizao do expoente 127 1023

Expoente mximo 127 1023

Expoente mnimo -126 -1022

Tamanho da mantissa 23 52

Nmero de expoentes 254 2046

Nmero de mantissas 223 252

Nmero de valores 1,98 x 231 1,99 x 263

Referncias

STALLINGS, W. Arquitetura e organizao de computadores: projeto para o desempenho. 8. ed. Prentice Hall, 2009.

DELGADO, J.; RIBEIRO, C. Arquitetura de Computadores. 2 ed. LTC, 2009.

PATTERSON, D. A. ; HENNESSY, J.L. Organizao e projeto de computadores a interface hardware software. 3. ed. Editora Campus, 2005.

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