CASDVestibulares www.casdvest.org.br

Um projeto educacional viável. Iniciativa de sucesso dos alunos do ITA. CASD DICAS – Vale Paraibano

Matemática

REVISÃO EM TRIGONOMETRIA - Relações Trigonométricas Olá galera! Tá chegando a hora do vestibular né? Começa a surgir aquele “friozinho” na barriga e um desespero de ter que decorar tanta fórmula!!! Em trigonometria então... nem se fala... Pára com isso gente! É claro que não há necessidade de decorar todas aquelas relações que o professor mostrou na sala de aula, basta que você memorize as mais importantes e todas as outras podem ser derivadas destas depois de algumas “continhas” até bem intuitivas. Tenha em mente sempre quais funções trigonométricas certamente se relacionam entre si (tenha a visão geral destas relações) e isso será o suficiente para, se preciso, deduzí-las. Mostraremos aqui as principais relações trigonométricas e exemplificaremos o que acabamos de dizer. Terminaremos com dois exercícios aplicativos. Antes de mais nada, lembre-se do ciclo trigonométrico:

RELAÇÕES PRINCIPAIS Há apenas 4 relações trigonométricas e 4 definições que são o ponto de partida para todas as outras relações trigonométricas. São fundamentais pois são deduzidas geometricamente, com certa facilidade, no ciclo trigonométrico a partir da noção de distância entre dois pontos, usando-se, portanto, apenas do Teorema de Pitágoras (veja exercício extra). Estas certamente, você deve memorizar com carinho:

sen( ) cos2π α α− = e cos( )

2senπ α α− =

2 2sen α+cos α=1 sen(a+b)=sena cos b+cosa senb⋅ ⋅ cos(a+b)=cosa cosb-sena senb⋅ ⋅

senαtgαcosα

=

cosαcotgαsenα

=

1secαcosα

=

1cossecα

senα=

CASDVestibulares www.casdvest.org.br

Um projeto educacional viável. Iniciativa de sucesso dos alunos do ITA. CASD DICAS – Vale Paraibano Lembre-se: para saber as fórmulas para a diferença “a-b” não há a necessidade de decorar mais fórmulas. Basta saber que “a-b=a+(-b)”, aplicar nas fórmulas de adição e saber as relações entre cosa e cos(-a); sena e sen(-a). RELAÇÕES DERIVADAS As principais relações derivadas das relações fundamentais são deduzidas algebricamente e também com certa facilidade. Veja: não há necessidade de desespero para “decorá-las”!! Se esquecer alguma delas, basta fazer umas “continhas” rápidas para lembrá-las. Estas “continhas” serão mostradas aqui: Relações entre os arcos α, π-α, π+α, 2π-α e -α

sen( -a)=sena e cos( -a)=-cosasen( +a)=-sena e cos( +a)=-cosasen(2 -a)=-sena e cos(2 -a)=cosasen(-a)=-sena e cos(-a)=cosa

π ππ ππ π

Não seja louco de decorá-las. Se você conhece o ciclo trigonométrico, você irá concluí-las geometricamente (para saber as relações análogas das outras relações trigonométricas, lembre-se que todas elas são derivadas do seno e cosseno):

Relações derivadas de sen(a+b) e cos(a+b)

tga+tgbtg(a+b)= 1-tga tgb

cotga cotgb-1cotg(a+b)=cotga+cotgb

⋅⋅

2 2

2

2

(Arco duplo) sen2a=2 sena cos acos2a=cos a-sen a

2 tgatg2a=1-tg a

cotg a-1cotg2a=2 cotga

⋅ ⋅

⋅

⋅

p+q p-qsenp+senq=2 sen cos2 2

p-q p+qsenp-senq=2 sen cos2 2p+q p-qcosp+cosq=2 cos cos

2 2p+q p-qcosp-cosq=-2 sen sen

2 2

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

CASDVestibulares www.casdvest.org.br

Um projeto educacional viável. Iniciativa de sucesso dos alunos do ITA. CASD DICAS – Vale Paraibano Exemplo: Como exemplo, determinaremos tg(a+b). Primeiro apliquemos a própria definição de tangente e as relações sen(a+b) e cos(a+b):

sen(a+b) sena cosb+cosa senbtg(a+b)=cos(a+b) cosa cos b-sena senb

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

Como procuramos tangentes, vamos dividir por cossenos:

sena cosb+cosa senb sena cosb cosa senb+sena cosb+cosa senb cosa cosb cosa cosb cosa cosbcosa cos b-sena senb sena senbcosa cosb-sena senb 1

cosa cosb cosa cosbsena senb+ tga+tgbcosa cosb

sena senb 11cosa cosb

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ −⋅ ⋅

= =− ⋅

⋅ =

tga tgb− ⋅

A fórmula para cotangente segue o mesmo raciocínio. Exemplo: Para determinar as fórmulas de arco duplo, basta fazer 2a=a+a nas fórmulas de adição! Por exemplo,

2 2cos(a+a)=cosa cosa-sena sena=cos a-sen a⋅ ⋅ As outras fórmulas de arco duplo seguem o mesmo raciocínio. Exemplo: Vamos determinar a primeira relação entre somas de senos. As outras são inteiramente análogas. Queremos a soma de dois senos. Escrevamos então duas relações de senos que conhecemos:

sen(a+b)=sena cos b+cosa senbsen(a-b)=sena cos b-cosa senb

⋅ ⋅⎧⎨ ⋅ ⋅⎩

Se somarmos os membros caímos diretamente em: sen(a+b)+sen(a-b)=2sena cos b⋅ Comparando:

sen(a+b)+sen(a-b)senp+senq⎧⎨⎩

CASDVestibulares www.casdvest.org.br

Um projeto educacional viável. Iniciativa de sucesso dos alunos do ITA. CASD DICAS – Vale Paraibano “Salta aos olhos” que devemos fazer:

a+b=pa-b=q⎧⎨⎩

Basta então, resolver rapidamente este sistema para obter a e b em função de p e q:

p+qa=2

p-qb=2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Para então substituir em sen(a+b)+sen(a-b)=2sena cos b⋅ e chegar na relação desejada. Relações derivadas de sen2α+cos2α=1

2 2tg a+ 1 =sec a2 2cotg a+ 1 =cossec a

Exemplo: Como queremos tangente e secante, vamos dividir por cosseno:

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2

sen α+cos α 1 sen α cos α 1sen α+cos α=1 = + = tg α+1=sec αcos α cos α cos α cos α cos α

⇒ ⇒ ⇒

A fórmula entre cotangente e cossecante segue o mesmo raciocínio. EXERCÍCIOS 1. Determine o valor da expressão:

oE=ln(tg27º)+ln(tg60 )+ln(tg63º)+ln(tg41,93º)+ln(tg30º)+ln(tg48,07º) Solução:

o

o

o

E=ln(tg27º)+ln(tg60 )+ln(tg63º)+ln(tg41,93º)+ln(tg30º)+ln(tg48,07º)==ln(tg27º tg60 tg63º tg41,93º tg30º tg48,07º)=

ln[(tg27º tg63º) (tg60 tg30º) (tg41,93º tg48,07º)]=sen27º sen63º= ln[( )cos 27º cos 63º

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅sen60º sen30º sen41,93º sen48,07º( ) (cos60º cos30º cos 41,93º cos 48,07º

⋅ ⋅ ⋅ )]

Usando as relações dos arcos complementares:

CASDVestibulares www.casdvest.org.br

Um projeto educacional viável. Iniciativa de sucesso dos alunos do ITA. CASD DICAS – Vale Paraibano sen27º=cos63º e sen63º=cos27ºsen60º=cos30º e sen 30º=cos60ºsen41,93º=cos48,07º e sen48,07º=cos41,93º

Logo, temos que

sen27º sen63º sen60º sen30º sen41,93º sen48,07ºE ln[( ) ( ) ( )]cos63º cos 27º cos30º cos60º cos 48,07º cos 41,93º

ln[(1 1) (1 1) (1 1)] ln1 0

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

=

2

2. Mostre que: 2 2(1-tgx) +(1-cotgx) =(secx-cossecx) Solução:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

senx cosx cosx-senx senx-cosx(1-tgx) +(1-cotgx) =(1- ) +(1- ) =( ) +( ) =cosx senx cosx senx

cos x-2cosx senx+sen x sen x-2senx cosx+cos x= + =cos x sen x

(cos x+sen x)-2cosx senx (sen x+cos x)-2senx cosx= + =cos x sen x

⋅ ⋅

⋅ ⋅

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

22 2

1-2cosx senx 1-2senx cosx 1 1= + =(1-2senx cosx) + =cos x sen x cos x sen x

sen x+cos x 1=(1-2senx cosx) =(1-2senx cosx) =cos x sen x cos x sen x

1-2senx cosx= =(secx-cossecx) (verifique!cos x sen x

⋅ ⋅ ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⋅

⋅)

EXERCÍCIO EXTRA Mostre a relação cos(a+b)=cosa cosb-sena senb⋅ ⋅ utilizando o ciclo trigonométrico e a fórmula de distância entre dois pontos da geometria analítica (Teorema de Pitágoras):

2PQ P Q P Qd = (x -x ) +(y -y )2 e a figura abaixo:

Material dos Professores de Matemática do CASD Vestibulares