3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 1

Matemática 5 aula 13 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. I) Dada a equação tgx + cotgx = 4. Como senx

tgxcosx

=

e cosx

cotg x= ,senx

então:

II)

1

2 2senx cosx sen x cos x4 4

cosx senx cosx . senx+

+ = ⇒ = ⇒

6447448

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = =

14424434 . cosx . senx 1 2 . 2 . senx . cosx 1

sen(2x)1

sen(2x) 0,52

Resposta correta: D

2. I) Desenvolvendo a expressão tg35o + tg55o, temos:

o o o o o o

o o o o

sen35 sen55 sen35 .cos55 sen55 .cos35

cos35 cos55 cos35 cos55

++ = =

+

o o

o o

sen(35 55 )

cos35 . cos55

+=

Como cos55o = sen35o, temos:

II) o

o o o o

sen90 1 2 2.

2sen35 . cos35 2sen35 . cos35

== =

o o

2 2sen(2 . 35 ) sen70

= =

Resposta correta: B

3. I) Da equação cotgθ - tgθ = 8, temos:

2 2

2 2

cos sen cos sen8 2 . 4

sen cos sen . cos

cos sen4.

2 . sen . cos

θ θ θ − θ− = ⇒ = ⇒

θ θ θ θ

θ − θ⇒ =

θ θ

Como cos2θ – sen2θ = cos(2θ) e 2senθ . cosθ = sen(2θ), temos:

II) cos(2 )

4 cotg(2 )=4sen(2 )

θ= ⇒ θ

θ

Resposta correta: A

4. Para efeito de operação aproximaremos 3 ≅ 1,73. Atenção!

cos2 θ2FHGIKJ =

12

+cosθ

I) cos2 15° = cos2 302FHGIKJ =

1 302

+ °cos =

= 1

32

2

+ =

2 34+

II) 20 . cos2 15° = 20

5

. 2 3

4+FHG

IKJ =

10 + 5 3 = 10 + 5 . 1,73 = 10 + 8,65 = 18,65

Resposta correta: D

5. Seja a expressão

21

|x|ee

x15x

x

|x | . log

(I )

− + 1442443

+ 2cos (2x) 2.cos x

(II )

−144424443

.

I.

21

|x|ee

x15x

x

|x |.log

− + =

2

ee1

x15x

1x

|x |.| x | . log

+

=

2 2

2

x 15x

|x |

+=

16 2

2

x

x| | = 16, x > 0

II. cos (2x) – 2 . cos2x = →

cos2x – sen2x – 2 . cos2x = → – sen2x – cos2x = –(sen2x + cos2x) = –1

III. Somando (I) com (II), temos:

16 – 1 = 15

Resposta correta: E

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Seja a razão senθ

θ1+cos. Podemos escrevê-la como:

senθθ1

2

+FHG

IKJcos

= sen2

21

θθ( cos )+

= 1

1

2

2

−+

cos

( cos )

θθ

=

( cos )( cos )( cos ) ( cos )1 11 1+ −+ +

θ θθ θ

= 11−+

coscos

θθ

= tgθ2FHGIKJ

Resposta correta: D

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 2

2. Observe a figura e lembre-se que o raio maior é quatro vezes o raio menor:

Pegando o triângulo destacado na figura, temos:

Como R = 4r, temos:

sen β = 35

rr

→ sen β = 35

e cos β = 45

.

Pela figura, temos que θ = 2β, assim: cos θ = cos (2β) = cos2β – sen2β = →

45

2FHGIKJ –

35

2FHGIKJ =

1625

– 925

= 7

25

Resposta correta: E

3. Temos a expressão

20 51 1

sen tgθ θ+

.

É preciso encontrar o senθ e tgθ para simplificá-la.

I) Sabemos que tg 2

2θFHGIKJ =

11−+

coscos

θθ

.

Como tgθ2FHGIKJ =

54

, temos:

54

2FHGIKJ =

11−+

coscos

θθ

→ 5

16 =

11−+

coscos

θθ

→

16 – 16 cos θ = 5 + 5 cos θ →

21 cos θ = 11 → cos θ = 1121

.

Aplicando o valor do cosseno no triângulo retângulo abaixo, temos:

y2 = 212 – 112 y2 = 441 – 121

y = 8 5

Com isso temos que sen θ = 8 521

e tg θ = 8 511

.

Assim:

20 51

8 521

1

8 511

+ =

20 521

8 5

11

8 5+

= 20 5

32

8 5

= 20 5 . →

8 532

1

4

= 20 5

4

5

. = 25

Resposta correta: A

4. Temos a igualdade:

sen x + cos x = m → (sen x + cos x)2 = m2 → sen2x + 2 sen x . cos x + cos2x = m2 → 2 sen x cos x = m2 – 1 →

1

2 sen x cos x = m2 1

2−

Substituindo os valores encontrados em “y”, temos:

y = sen x

sen x x

( )

cos

23 3+

= 2

1senx x

senx x senx xcos

( cos )( cos )+ − =

m

mm

2

2

1

11

2

−

−−F

HGIKJ

LNMM

OQPP

= m

mm

2

2

1

2 12

−

− +LNM

OQP

= m

m m

2

3

1

32

−−

=

(m2 – 1) – 2

3 3m m− =

2 1

3

2

3

( )

( )

m

m m

−−

Resposta correta: D

5. Substituindo:

ƒ(x) = senx + cosx

ƒFHGIKJ = +

π π π12 12 12

sen cos

ƒFHGIKJ = +FHG

IKJ

π π π12 12 12

2

sen cos

ƒFHGIKJ = +

π12

15 152

sen o ocose j

ƒFHGIKJ = + ⋅ +

π12

15 2 15 15 152 2sen seno o o ocos cos

ƒFHGIKJ = + + ⋅

π12

15 15 2 152 2sen seno o ocos

ƒFHGIKJ = +

π12

112

ƒFHGIKJ =

π12

32

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 3

Desta maneira:

612

⋅ ƒ FHGIKJ

π

632

⋅ FHGIKJ = 9 = 3

Resposta correta: C

6. Observe a figura:

I) cosα =QL

II) senr

α =1

Q = cosα r = senα

Desta maneira:

tgr

asenα α

α2 1 1=

+=

+ cos

Resposta correta: B

7. Atenção! Seja a seqüência (a, b, c). Se a seqüência é

uma PA, então temos que a razão é constante.

Assim b – a = c – b ↔ 2b = a + c → b = a c+

2, ou seja,

o termo central é média aritmética dos extremos ou dos termos eqüidistantes aos extremos.

Temos a seqüência sen sena senπ π

12512

; ;FHG

IKJ . Transfor-

mando em graus, temos (sen 15°, sen a, sen 75°).

Assim, temos: sen a = sen sen15 75

2° + °

, em que

I) sen 15° = sen (45° – 30°) =

sen 45° . cos 30° – cos 45° . sen 30° =

22

. 3

2 –

22

. 12

= 64

–24

→

sen 15° = 64

– 24

.

II) sen 75° = sen (45° + 30°) =

sen 45° . cos 30° + cos 45° . sen 30° =

22

. 3

2 +

22

. 12

= 64

+24

→

sen 75° = 64

+ 24

.

III) Substituindo (I) e (II) na expressão, temos:

sen a =

64

24

64

24

2

−FHG

IKJ + +FHG

IKJ

=

2 64

2 =

2 64

. 12

= 64

2ª Solução: Em toda PA a soma dos termos eqüidistantes é igual ao

dobro do termo médio:

212

512

sena sen sen= +π π

2 15 75sena sen seno o= +

( ) ( cos )2 2 15 152 2sena sen o o=

4 15 2 15 15 152 2 2sen a sen seno o o= + ⋅ +cos cos

4sen2a = sen215o + cos215o + sen2 . 15o

4sen2a = 1 + sen30o

4 112

2sen a = +

432

2sen a =

sen a2 38

=

sena = ±38

sena = ⋅ =3

2 2

2

2

64

Resposta correta: D

8. y = 4 cos 15o . cos 75o, como cos 75o = sen 15o, então:

y = 4 cos 15o sen 15o y = 2 . 2 sen15o cos 75o, Sabemos que sen (2 . 15o) = 2 sen 15o cos 75o y = 2 . sen (2 . 15o) y = 2 sen 30o

y = 2 . 12

y = 1

Resposta correta: A

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 4

9. Atribuindo valores a n:

ƒ =⋅FHGIKJ =( ) cos cos1

3 2 61

π π

ƒ =⋅FHGIKJ =( ) cos cos2

3 2 122

π π

ƒ =⋅FHGIKJ =( ) cos cos3

3 2 243

π π

ƒ =⋅FHGIKJ =( ) cos cos4

3 2 484

π π

ƒ =⋅FHGIKJ =( ) cos cos5

3 2 965

π π

Calculando K:

K sen= ƒ ⋅ƒ ⋅ ƒ ⋅ ƒ ⋅ ƒ ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 596π

K sen= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos cos cos cos cosπ π π π π π6 12 24 48 96 96

x 2

26 12 24 48

296 96

K sen= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅FHG

IKJcos cos cos cos cos

π π π π π π

26 12 24 48

296

2K sen x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos cos cos cos ( )π π π π π

46 12 24

248 48

K sen= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅FHG

IKJcos cos cos cos

π π π π π

46 12 24

248

2K sen x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos cos cos ( )π π π π

86 12

224 24

K sen= ⋅ ⋅ ⋅FHG

IKJcos cos cos

π π π π

86 12

224

2K sen x= ⋅ ⋅ ⋅cos cos ( )π π π

166

212 12

K sen= ⋅ ⋅FHG

IKJcos cos

π π π

166

212

2K sen x= ⋅ ⋅cos ( )π π

32 26 6

K sen= ⋅cosπ π

32 26

K sen= ⋅π

323

K sen=π

323

2K = K =

364

Resposta correta: A

10. Desenvolvendo a expressão: 3 sen10o (tg 5o + cotg 5o)

3 sen10o . sen

sen

o

o

o

o

5

5

5

5cos

cos+

FHG

IKJ

3 sen10o . sen

sen

o o

o o

2 25 5

5 5

+FHG

IKJ

cos

cos

3 sen10o . 1

5 5

2

2sen

x

x° °cos

6 102 5 5

sensen

°° °cos

6 102 5

sensen

°°( . )

= 6

Resposta correta: E

11. Observe que:

I) ( ) ( )2 27 1 sen 3 2 10+ θ = +

49 (1 + senθ) = 32 + 2 . 3 . 2 10 + 2 102

e j

49 (1 + senθ) = 9 + 12 10 + 40

49 + 49 senθ = 49 + 12 10

senθ = 12 10

49

2 senθ2

. cosθ2

= 12 10

49

II) 2

2 2sen cos sen 2.sen .cos cos2 2 2 2 2 2θ θ θ θ θ θ + = + +

senθ θ2 2

2

+FHG

IKJ =cos 2 2 12 10

sen cos2 2 49θ θ+ +

senθ θ2 2

2

+FHG

IKJ =cos 1 +

12 1049

senθ θ2 2

2

+FHG

IKJ =cos

49 12 1049

+

senθ θ2 2

2

+FHG

IKJ =cos

3 2 3 2 10 2 10

7

22

2

+ +. . e j

senθ θ2 2

2

+FHG

IKJ =cos

3 2 10

7

2

2

+e j

senθ θ2 2+ cos =

3 2 107

28+ ( )x

28 senθ θ2 2+F

HGIKJcos = 28 .

3 2 10

7

+e j

28 senθ θ2 2+F

HGIKJcos = 12 + 8 10

Resposta correta: D

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 5

12. Sendo K = 1 4

12 2 2

2

2 2(cos ) ( )x sen x

tg x

tg x−−

−, teremos:

K = 2

2 2

1 2tgx

(cos2x) 1 tg x

−

−

K = 1

22cos x – tg22x

K = 1

2

2

22

2

2cos cosx

sen x

x−

K = 1 2

2

2

2

− sen x

xcos, como 1 – sen22x = cos22x, então:

K = cos

cos

2

2

2

2

x

x

K = 1 Resposta correta: C

13. Sendo E = 2 – 2

2tgx

tg x, então:

E = 2 – 22

1 2

tgxtgxtg x

.−

E = 2 – 2tg x . ( )1

2

2− tg xtgx

E = 2 – (1 – tg2 x) E = 1 + tg2 x, como sec2 x = 1 + tg2 x, então: E = sec2 x

Resposta correta: C

14. Na expressão:

tg x2FHGIKJ + cotg

x2FHGIKJ = 8, chamaremos

x2FHGIKJ = y.

Assim, podemos reescrever a expressão como:

tg y + cotg y = 8 → seny

ycos +

cos yseny

= 8 →

sen y yseny y

2 2+coscos

= 8seny yseny y

coscos

→

1 = 8 sen y cos y → 1 = 4 . 2 sen y . cos y →

1 = 4 . sen (2y) → sen (2y) = 14

Como y = x2

, temos:

sen 22

.xFHGIKJ =

14

→ sen x = 14

Resposta correta: B

15. (sen 22°30’ + cos 22°30’)2 =

sen 2 22 30° '1 244 344

+ 2 . sen 22°30’ . cos 22°30’ + cos '2 22 30°1 24 34

1

1 + 2 22 30 22 30. '.cos 'sen

ARCO DUPLO

° °1 24444 34444

→

1 + sen (2 . 22°30’) = 1 + sen 45° = 1 + 2

2 =

2 22+

Resposta correta: C