3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 4 1

Matemática 4 Aula 6 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. A formação de palavras leva em consideração a ordem das letras se tratando, então, de um arranjo, no caso A4,2 já a formação de um grupo não leva em consideração a ordem das pessoas, se tratando de uma combinação, no caso C4,2.

m + n = A4,2 + C4,2

m + n = 44 2

!( )!−

+ 4

4 2 2!

( )! !−

m + n = 4 3 2

2x x !

!+

4 3 22 2 1

x xx x

!!

m + n = 12 + 6 m + n = 18 Resposta correta: C

2. Das n pessoas devemos escolher 2 para receberem o prêmio, se os prêmios forem iguais a ordem da escolha não tem importância (Combinação), enquanto se forem diferentes a ordem tem importância (Arranjo). i) Cn,2 = K + 20

Cn,2 – 20 = K ii) An,,2 = 4K – 10 Substituindo (i) em (ii), teremos: An,2 = 4K – 10 An,2 = 4 (Cn,2 – 20) – 10 An,2 = 4 Cn,2 – 80 – 10

nn

!( ) !−2

= 4 . n

n!

( ) ! !−2 2– 90

n n nn

( )( ) !( )!− −−1 2

2 = 4 .

n n nn x( )( ) !( )!− −−

1 22 2 1

– 90

n2 – n = 2n2 – 2n – 90 n2 – n – 90 = 0 n = 10 ou n = – 9 Não convém Resposta correta: B

3. Para formar um triângulo devemos escolher 3 pontos

dentre os 7 disponíveis, lembrando que ∆EFG = ∆FEG, por-tanto estamos tratando de uma combinação, porém não podemos escolher 3 pontos dentre os quatro do lado AC, pois dessa maneira não formamos um triângulo.

C7,3 – C4,3 = 7

7 3 3!

( )! !−–

44 3 3

!( )! !−

⇒

= 7 6 5 44 3 2 1x x x

x x!

!–

4 31 3

xx

!!

⇒

= 35 – 4 = 31 Resposta correta: D

4. A ordem das turmas que cada professor recebe não tem

importância, portanto estamos tratando de uma combi-nação. Para o primeiro professor temos 6 turmas para serem escolhidas duas, C6,2, já para o segundo professor temos 4 turmas para serem escolhidas 2, C4, 2, já para o terceiro professor, C2, 2. C6, 2 . C4, 2 . C2, 2 15 x 6 x 1 90 formas Resposta correta: E

5. a) Das dez dezenas jogadas, o apostador acertou seis, assim:

6,510! 10. 9

C4!.6!

= =

3.8 .7.6!

4 .3 .2.6!210=

b) 1) O apostador jogou 8 dezenas. Para acertar a qui-

na, ele tem que acertar cinco e errar uma. Assim te-mos:

Acertos:

6,56! 6.5!

C 65!.1! 5!

= = =

Erros: 2. 6 = 12

2,12!

C 21!1!

= =

2) Para acertar uma quadra, o apostador acerta qua-tro das seis e erra as duas que sobram (das seis sor-teadas).

Acertos:

6,46! 6

C4!.2!

= =

3.5.4!4! 2

15=

Erros: 15. 1 = 15

2,2C 1=

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Para arrumar os livros, levaremos em consideração a ordem dos elementos. Desta maneira, estaremos tratando de uma questão de arranjo de 8 livros escolhidos 5 a 5:

A8,5 = 8

8 58 7 6 5 4 3

3!

( )!!

!−=

x x x x x = 6720 maneiras

Resposta correta: B

2. I. Am,3 = ( ) ( )m,3

m! m!; C

m 3 ! 3! m 3 !=

− −

II. Am,3 – Cm,3 = 25 . Cm,(m – 1)

III. ( ) ( ) ( )

m! m! m!25 .

m 3 ! 3! m 3 ! m 1 ! . 1− = ⇒

− − −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

m! 1 m!. 1 25 .

m 3 ! 3! m 1 !

1 1 1. 1 25 .

m 3 ! 6 m 1 !

1 5 25.

m 3 ! 6 m 1 !

1 1 5.

m 3 ! 6 m 1 !

1 1 5.

m 3 ! 6 m 1 m 2 m 3 !

⇒ − = ⇒ − −

⇒ − = ⇒ − −

⇒ = ⇒− −

⇒ = ⇒− −

⇒ = ⇒− − − −

⇒ (m – 1)(m – 2) = 30 ⇒ m2 – 3m + 2 – 30 = 0 ⇒ ⇒ m2 – 3m – 28 = 0

m' = –4 (F); m'' = 7 Resposta correta: A

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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 4 2

3. I. Considere o esquema abaixo:

II. Para formar quadriláteros, temos que pegar dois pontos (dos cinco) em r e dois (dos três) em s. Assim:

5,25! 5 . 4

r : C3! 2!

= =

2. 3!

3! 2

3,1

10

10 . 3 30

3! 3 . 2s : C

2!1!

=

=

= =!

23

!=

ou

5,15! 5. 4!

r : C4!.1!

= =4!

3,2

5.1!

5.3 15

3. 2!3!s : C

2!.1!

=

=

= =2!

3=

Resposta correta: D 4. I.

Deixando fixa as vogais, temos:

____ E ____ U____ ____ I ____ A II. Fora as vogais, ficam 5 consoantes que vão se per-

mutar. III.

5!

R, P, B, L, C1442443

Resposta correta: A

5. O conjunto A é {–5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},

devemos formar subconjunto escolhendo 3 ímpares dos 6 números existentes e 2 pares dentre os 5 existentes. Como no subconjunto a ordem dos elementos não tem importância, então:

C6, 3 x C5,2 = 6

6 3 3!

( ) ! !− x

55 2 2

!( ) ! !−

⇒

= 6 5 4 33 3 2 1x x xx x x

!!

x 5 4 33 2 1

x xx x

!!

= 200

Resposta correta: E 6. Existem 2 possibilidades de formação: homem que não

usa óculos com mulher que usa óculos, existindo 8 . 6 = 48 possibilidades, e homem que usa óculos com mulher que não usa óculos, existindo 4 . 10 = 40 possibilidades. Portanto serão 48 + 40 = 88 possibilidades. Resposta correta: D (Retificação do gabarito))

7. Ao todo temos 30 pessoas e devemos escolher 3 pesso-

as sem levar em consideração a ordem das pessoas, por-tanto teremos C30,3 possibilidades, devemos descontar as comissões formadas apenas de homens (C18,3) e as comis-sões formadas apenas de mulheres (C12,3). C30,3 – C18,3 – C12,3

3030 3 3

1818 3 3

1212 3 3

!( )! !

!( ) ! !

!( ) ! !−

−−

−−

30 29 28 2727 3 2 1

18 17 16 1515 3 2 1

12 11 10 99 3 2 1

. . . !! . . .

. . . !! . . .

. . . !! . . .

− −

4060 – 816 – 220 = 3024

Resposta correta: A (Retificação do gabarito)

8. As possibilidades são: • 4 rapazes e 2 garotas ⇒ C8,4 . C12,2 • 5 rapazes e 1 garota ⇒ C8,5 . C12,1 • 6 rapazes ⇒ C8,6

O total de possibilidades é dado por: C8,4 . C12,2 + C8,5 . C12,1 + C8,6

88 4 4

1212 2 2

88 5 5

1212 1 1

88 6 6

!( )! !

.!

( ) ! !!

( ) ! !.

!( ) ! !

!( ) ! !− −

+− −

+−

8 7 6 5 44 4 3 2 1

12 11 1010 2 1

8 7 6 53 2 1 5

12 1111 1

8 7 62 1 6

. . . . !! . . .

.. . !

! .. . . !. . . !

.. !!.

. . !. . !

+ +

4620 + 672 + 28 = 5320

Resposta correta: A (Retificação do gabarito) 9. O total de anagramas da palavra VOLUME é:

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

As três letras E, O e U podem se dispor de P3 = 3! = 6 maneiras diferentes. A quantidade de palavras que pos-suem as letras E, O e U nessa ordem é igual à quantida-de de palavras que possuem as letras O, E e U nessa or-dem, e assim por diante. Dividindo as 720 palavras entre

as 6 possibilidades, 7206

= 120.

E O U ⇒ 120 anagramas

E U O ⇒ 120 anagramas

O U E ⇒ 120 anagramas

O E U ⇒ 120 anagramas

U E O ⇒ 120 anagramas

U O E ⇒ 120 anagramas

Resposta correta: C 10. Para formação do grupo, a ordem das pessoas não pos-

sui importância, se tratando de uma questão de combi-nação. Das 10 pessoas devemos escolher as 5 pessoas para o primeiro grupo (C10,5), das 5 pessoas restantes de-vemos escolher 3 para o segundo grupo (C5,3) e as duas restantes formarão o terceiro grupo (C2,2).

C10,5 x C5,3 x C2,2 = 10

10 5 55

5 3 32

2 2 2!

( )! !.

!( ) ! !

.!

( ) ! !− − −

= 10 9 8 7 6 55 5 4 3 2 1

5 4 32 1 3

10

x x x x xx x x x x

xx xx x

x!

!!! !

= 2.520 maneiras

Resposta correta: D

30 + 15 = 45