3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4 1

Matemática 4 aula 1

COMENTÁRIOS –ATIVIDADES PARA SALA

1. Pelo algoritmo da divisão, temos: I. n1 = n2 ⋅ q + r

II. n1 + 21 = (n2 + 3) ⋅ q + r n1 + 21 = 2

1

n q r 3qn⋅ + +

14243

1n 121 n+ = 3q q 7+ ⇒ =

Resposta correta: D

2. O resto da divisão por 7 é obtido dividindo a diferença

entre a soma das classes ímpares e das classes pares:

97 381 281

3a C 2a C 1a C

Soma das classes ímpares 97 + 281 = 378 Soma das classes pares – 381

– 3 O resto é –3 + 7 = 4 Resposta correta: E

3. Seja “x” o número inteiro que dividido por 92 dá 19 e

sobra o maior resto. O maior resto possível é 91, pois se fosse 92, a divisão seria exata. Assim temos:

x = 92 ⋅ 19 + 91 x = 1839 ⇒ 1 + 8 + 3 + 9 = 21

Resposta correta: B

4. Fatorando 360:

360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 360 = 23 . 32 . 51

a) O número de divisores positivos é (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)

= 24 divisores positivos. b) Considerando os divisores negativos teremos um to-

tal 2 . 24 = 48 divisores. c) O número de divisores pares e positivos é dado por

3 . (2 + 1) (1 + 1) = 18 d) O número de divisores positivos impares é 24 – 18 = 6

divisores. e) Os divisores que são quadrados perfeitos são 1, 22,

32, 22 . 32, ou seja, são 4.

5. I. Como temos 366 dias e cada semana tem 7 dias,

temos: 366 = 52 ⋅ 7 + 2 →

II. Número de dias até 9 de março Janeiro : 31 dias Feveiro : 28 dias Março : 9 dias

69 dias

III. 69 = 9 ⋅ 7 + 6 → sexto dia que sobra! ↑

semanas

completas

IV. S S D S T Q Q

1º 2º 3º 4º 5º 6º

Resposta correta: C

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Do enunciado, temos:

i) x + y = 565 ii) x y

(15) 21 x = 21y + 15

Substituindo (ii) em (i): x + y = 565 x + y = 565 21y + 15 + y = 565 x + 25 = 565 22y = 550 x = 540 y = 25

Resposta correta: D 2. Lembrando...

Se N = 2a ⋅ 3b ⋅ 5c ⋅ 7d. ... , a quantidade de divisores posi-tivos de N é dada por n[D(N)] = (a + 1) ⋅ (b + 1)(c + 1) (d + 1). ...

I. Se K tem 264 divisores (positivos e negativos), então

ele tem 132 positivos e 132 negativos)

II. K = 23 ⋅ 32 ⋅ 49x ⇒ K = 23 ⋅ 32 ⋅ (72)x ⇒ K = 23 ⋅ 32 ⋅ 72x

III. n[D(K)] = (3 + 1)(2 + 1)(2x + 1)

132 = (4 ⋅ 3)(2x + 1)

11 = 2x + 1 ⇒ x = 5

Resposta correta: E

Como sobram dois dias e tem que ter 53 domin-gos, então 1º de janeiro é sexta-feira. (Semanas completas)

+

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3. Fatorando 3600: 3600 2 1800 2 900 2 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1

x = 3600 = 24 . 32 . 52

O número de divisores naturais é p = (4 + 1) (2 + 1) (2+ 1) = 45, enquanto o número de divisores pares e naturais é dado por q = 4 . (2 + 1) (2 + 1) = 36

Resposta correta: A

4. O século XXI vai de 2001 até 2100, os anos múltiplos de

4 são 2004, 2008, ... , 2096, existindo 24 anos bissextos, o ano 2100 não é bissexto, pois é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400.

Resposta correta: B 5. Fatorando 9 x 10m:

9 x 10m = 32 . (2 . 5)m 9 x 10m = 32 . 2m . 5m

O número de divisores positivos é dado por (2 + 1) (m + 1) (m + 1) que é igual a 48: 3 (m + 1)2 = 48 (m + 1)2 = 16 m + 1 = ± 4 m + 1 = 4 ou m + 1 = – 4 m = 3 m = – 5 (Não convém) Resposta correta: 03

6. I. 2310 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11

II. 1300 = 22 ⋅ 52 ⋅ 13 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 13 III. Para que 2310 ⋅ x seja divisível por 1300, devemos ter

que “x”, no mínimo que o que sobra em 1300, ou se-ja, 2 ⋅ 5 ⋅ 13 = 130

Resposta correta: 130

7. Sendo q o resto da divisão de a por 6, teremos:

a 6 4 q

a = 6q + 4 Dividindo-se a + 1 por 3: i) a = 6q + 4 a + 1 = 6q + 4 + 1 a + 1 = 6q + 5 ii) 6q + 5 3

– 6q – 3 2q + 1 2

Resposta correta: D

8. 500241a Para ser múltiplo de 2, a tem de ser par, a ⇒ 0, 2, 4, 6, 8. Para ser múltiplo de 3, a soma 5 + 0 + 0 + 2 + 4 + 1 + a = a + 12 tem de ser múltiplo de 3. Desta maneira, a pode ser 0, 3, 6, 9. Para ser múltiplo de 4, 1a tem de ser múltiplo de 4 podendo ser 12 ou 16.

a = 2 a = 6 Para ser múltiplo de 9, a soma 5 + 0 + 0 + 2 + 4 + 1 + a = a + 12 tem de ser múltiplo de 9. Desta maneira, a pode ser 6. O único algarismo que satisfaz a todas as condições é o 6, que é múltiplo de 2 e de 3. Resposta correta: E

9. Para o número ser divisível por 2 e por 5 é necessário

que termine em zero, ou seja, b = 0. Para o número ser divisível por 7 é necessário que a dife-rença entre as classes ímpares e pares seja múltiplo de 7:

57 a 30 Classe ímpar ⇒ a30 Classe par ⇒ 57 Diferença ⇒ a30 – 57

Como a30 = 100a + 3 . 10, então a diferença é: a30 – 57 = 100a + 30 – 57 a30 – 57 = 100a – 27 O valor que torna 100a – 27 divisível por 7 é a = 3, pois: 100a – 27 = 100 . 3 – 27 = 273

273 7 63 39 (0)

Resposta correta: B

10. Lembrando... Para um número ser divisível por: I. Dois ⇒ O número deve ser par (terminar em 0, 2, 4,

6, 8) II. Nove ⇒ A soma dos seus algarismos seja múltiplo

de nove) Considere todos os pontos da forma 7a1b. Para que esses números sejam divisíveis por 2, (não esqueça b > 4), os valores b são: 6,8.

I. 7 ______ 16 ⇒ 7416 2, 3, 4, 5, 8, 9 II. 7 ______ 18 ⇒ 7218 2, 3, 4, 5, 8, 9 Resposta correta: B

Somente o 4, pois o número também é divisível por 9. Como são algarismos distintos não tentarei 7, 1 e 6.

mesma argumentação acima

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11. A classe é formada por 3 algarismos, dividindo-se 1999 por 3:

19’9’9 3 19 666

19 (1)

Existem 333 classes de ordem par e 333 classes de or-dem ímpar completos N = 1 111

Classe par2

111Classe ímpar2

111Classe par2 ... 111

Classe par2 111

Classe ímpar2

Soma das classes ímpares ⇒ 1 + 333 . 111 Soma das classes pares ⇒ 333 . 111 Diferença ⇒ 1 Desta maneira o resto da divisão de N por 7 é 1. Resposta correta: C

12. Temos que:

N 7 5 q

Substituindo N = 7q + 5 na expressão: N2 + N + 1 = (7q + 5)2 + 7q + 5 + 1 N2 + N + 1 = 49q2 + 70q + 25 + 7q + 5 + 1 N2 + N + 1 = 49q2 + 77q + 31 Dividindo-se a expressão por 7:

N N q q2 217

49 77 317

+ +=

+ +

N N q q2 217

497

777

317

+ += + +

N Nq q

221

77 11

317

+ += + +

Para obtermos o resto da divisão de N por 7, basta divi-dirmos 31 por 7:

31 7 (3) 4

O resto 3. Resposta correta: C

⇒ N = 7q + 5