matemÁtica - 7ª série - capitulo 5 - ed sm - Ângulos

8/17/2019 MATEMÁTICA - 7ª Série - Capitulo 5 - Ed SM - Ângulos

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1 Ângulos5


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O que você vai aprender Definição e classificação dos ângulosOperações com medidas de ângulosÂngulos consecutivos e adjacentesÂngulos complementares, suplementarese opostos pelo vértice

Pense nisto

1 Os ponteiros de um relógio mudam de po-sição com o passar do tempo e, com isso,muda o ângulo (ou a “abertura”) entre eles.Dê exemplos de outros objetos em que é pos-sível perceber o conceito de ângulo.

2 Uma das manobras no skate é um giro no arde 180 graus ao saltar no final da rampa.

Há vários tipos de figuras e objetos presentes em nosso

cotidiano em que o conceito de ângulo está envolvido. Neste

capítulo você vai estudar os diferentes tipos de ângulo, aprender

como medi-los e como efetuar operações com essas medidas.

a) E se o giro fosse de 360 graus, o que sig-nificaria isso?

b) Sandro Dias (“Mineirinho”) é um campeãomundial de skate, famoso por ter sido oprimeiro brasileiro a realizar a manobra“900 graus”. Quantas voltas Sandro Diasdá no ar ao realizar essa manobra?

3 Um dos ângulos mais famosos é o de 90°.Esse é o ângulo formado pelos ponteiros deum relógio às 9 horas da manhã.

Escreva em seu caderno outros exemplos deobjetos que apresentam ângulo de 90°.

4 Os ângulos formados pelos divisores de 360° são ângulos importantes e utilizados nos cálcu-los e na geometria. Escreva os 4 maiores diviso-res de 360.


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Ângulos1 Definição de ângulo e seus elementos

Observe os segmentostraçados em vermelho nasfiguras ao lado.

Nessas figuras, os seg-mentos em vermelho repre-sentam a mesma ideia dereunião de duas semirretasde mesma origem.

Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origemnão contidas numa mesma reta.

Observe o ângulo representado a seguir.

B

A

O x

B

A

O

Nessa representação estão destacados os elementos prin-cipais de um ângulo.

Vértice: origem das semirretas. É o ponto O, nesse caso.

Lados: são as semirretas___

OA e___

OB .

Região interior: também chamada de região angular, é aregião destacada em laranja.

Região exterior: é a região colorida de azul.

É comum o uso da notação A O B para indicar o ângulo de

vértice O e lados___

OA e___

OB . Mas, por uma questão de simpli-cidade, é comum fazer uma pequena marca em forma de arcounindo as duas semirretas para destacar o ângulo ou a me-dida dele. Na figura acima está indicado A O B 5 x.

Observação:

Quando não houver dúvidas quantoao ângulo a que se faz referência, pode--se indicá-lo apenas pelo vértice. Por

exemplo, o ângulo A O B poderia ser indi-

cado apenas por

O .

Tripé de câmerafotográca.

Paraquedas.


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1°

Um pouco de história

MedidaPara medir um ângulo, deve-se escolher um padrão conve-

niente e, a partir desse padrão, determinar a medida da aber-tura entre os lados do ângulo.

360 PARTES

Uma hipótese para explicarpor que a circunferênciafoi dividida em 360 partesiguais para a medida dograu está ligada à culturababilônica e à inuência daAstronomia. As 360 partesestariam relacionadas coma contagem aproximadados dias do ano em360 dias.

A unidade de medida padrão de um ângulo é o grau.

Para determinar essaunidade toma-seuma circunferênciadividida em 360partes iguais. A abertura decada uma des-sas partes échamada de

1 grau e indicadapor 1°.

Medindo ângulosO instrumento usado para medir ângulos é o transferidor,

um instrumento marcado com divisões de 1° em 1°.Para medir um ângulo, posiciona-se o centro do transferi-

dor no vértice do ângulo, ajustando-o de modo que um dos la-dos do ângulo coincida com a marca de 0°. A medida do ângulo

será a marca onde o outro lado intercepta o transferidor. Veja abaixo algumas medidas de ângulos, tomadas com o

transferidor.a)

90 8 0

1 0 0 7 0

1 1 0 6 0

1 2 0

5 0

1 3 0

4 0

1 4 0

3 0

1 5 0

2 0

1 6 0

1 0

1 7 0

0 1 8 0

10 0

8 0 1 1 0 7 0 1 2 0

6 0 1 3 0 5 0

1 4 0 4

0 1 5 0 3

0

1 6 0

2 0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

B

O A

D

CO

90 8 0

1 0 0 7 0

1 1 0 6 0

1 2 0

5 0

1 3 0

4 0

1 4 0

3 0

1 5 0

2 0

1 6 0

1 0

1 7 0

0 1 8 0

10 0

8 0 1 1 0 7 0 1 2 0

6 0 1 3 0 5 0

1 4 0 4

0 1 5 0 3

0

1 6 0

2 0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

A medida do ângulo A

O B é 60°. Pode-se indicar, por sim-plicidade, A O B 5 60°.

b)

A medida do ângulo C

O D é 120°.


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Fique de olho

COORDENADASTERRESTRES

As coordenadas de umponto situado na superfícieterrestre são baseadasna latitude e longitude(distância em relação à linhado equador e em relaçãoao meridiano de Greenwich,respectivamente) e sãodadas em graus, minutose segundos.Exemplo: a cidade de SãoPaulo tem como coordenadas23°38’ de latitude Sul e46°40’ de longitude Oeste.

Submúltiplos do grau e operações commedidasMuitas vezes é importante que a medida de um ângulo

seja extremamente precisa. Para isso foram criados os sub-múltiplos do grau: o minuto e o segundo.

Um minuto equivale a1

___

60 do grau. Para obter essa medida,divide-se um grau em 60 partes e considera-se apenas umadessas partes.

1°5 60’

Para se obter um segundo, divide-se um minuto em60 partes e considera-se apenas uma dessas partes.

um grau sessenta minutos

Simplificação de medidas As medidas dos ângulos são normalmente representadas

na forma mais simples. Veja como simplificar as medidasapresentadas abaixo.

55°60’ ¬ como 60’ é igual a 1°, pode-se representaressa medida como 55°1 1°5 56°

27°42’92’’ ¬ 92’’ é igual a 60’’ 1 32’’, o que equivale a1’1 32’’. Então 27°42’92’’5 27°43’32’’

Adição de medidas de ângulosPara adicionar as medidas de dois ângulos, basta adicionar

graus com graus, minutos com minutos e segundos com se-gundos e depois simplificar as medidas como mostrado acima.

Ou seja, se a soma dos minutos (ou dos segundos) formaior ou igual a 60, deve-se fazer a conversão. Veja osexemplos.

Calcular 13°20’31’’1 31°12’13’’

13° 20’ 31’’1 31° 12’ 13’’44° 32’ 44’’

Calcular 42°51’29’’1 21°20’62’’

42° 51’ 29’’1 21° 20’ 62’’

63° 71’ 91’’63° 72’ 31’’64° 12’ 31’’

sessenta segundosum minuto

1’5 60’’

72’5 60’1 12’5 1°1 12’

91’’5 60”1 31’’5 1’1 31’’


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Subtração de medidas de ângulosPara efetuar a subtração de medidas de ângulos, basta sub-

trair valores com a mesma unidade: graus de graus, minutosde minutos e segundos de segundos. Quando não é possívelsubtrair, deve-se transformar 1° em 60’ ou 1’ em 60”.

Exemplo:

Efetuar 72°15’28”2 35°37’51”

72° 15’ 28”2 35° 37’ 51”

72° 14’ 88”2 35° 37’ 51”

37” 71° 74’ 88”

2 35° 37’ 51”

36° 37’ 37”Multiplicação de medida de ângulo porum número naturalPara efetuar a multiplicação por um número natural, basta

multiplicar o número natural pelos graus, minutos e segun-dos, separadamente. Depois se verifica se é necessário trans-formar unidades.

Exemplo:

Efetuar 8 ? (16°22’20”).

16° 22’ 20”3 8128° 176’ 160”

Como 160” é correspondente a 2’ 1 40”,128° 176’ 160”5 128° 176’1 2’ 40”5 128°178’40”

Como 178” é correspondente a 2° 1 58’,128° 178’ 40”5 128°1 2° 58’ 40”5 130°58’40”

Assim, 8 ? (16°22’20”)5 130°58’40”

Divisão de medida de ângulo por um número naturalPara efetuar a divisão por um número natural, dividem-se

graus, minutos e segundos pelo número natural.Exemplo:

Efetuar (72°26’12”) ; 4

72° 26’ 12” 4272° 224’1120” 18°6’33”

0 2’ 132”2132”

0

132” ; 45 33”

26’ ; 45 6’

Como não se pode subtrair 51” de 28”,transforma-se 15’ em 14’ e 60”.

Como não se pode subtrair 37’ de 14’,transforma-se 72° em 71° e 60’.

Cálculo mental

a) Quantos minutos há em3 graus?

b) Quantos segundos há em1 grau?


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Atividades para classe

1 Responda em seu caderno a cada uma dasperguntas a seguir.

a) O que é o vértice de um ângulo?

b) O que são os lados de um ângulo?

c) Qual é a unidade de medida utilizadapara ângulos?

2 Observe com atenção a figura abaixo eanote em seu caderno as medidas dos ân-gulos pedidos.

a) A

OB e)B

OC

b) A OC f) B OD

c) A OD g)B OE

d) A

OE h)C

OD

3 Use o seu transferidor para medir os ângu-los seguintes e anote em seu caderno asmedidas obtidas.

a) c)

b) d)

4 Converta as medidas abaixo para segundos.

a) 20’ b) 8’ c) 1° d) 2° e) 4°

5 Efetue as adições seguintes.

a) 40°12’13”1 58°20’40”

b) 72°13’40”1 36°12’20”

c) 48°26’43”1 34°21’39”

d) 27°36’38”1 45°42’32”

90 8 0

1 0 0 7 0

1 1 0 6 0

1 2 0

5 0

1 3 0

4 0

1 4 0

3 0

1 5 0

2 0

1 6 0

1 0

1 7 0

0 1 8 0

10 0

8 0 1 1 0 7 0 1 2 0

6 0 1 3 0 5 0

1 4 0 4

0 1 5 0 3

0 1 6 0 2 0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

E

D

C

B

AO

82°

34°

x

30°

x

114°

90°

x

60°

90°

90°

x

26°

30°

60°

180°

40°

x

x

x

180°

x x x

x

65°

75°

60°

40°

50°

70°

C

B

A

F

E

D

0

6 Efetue as seguintes subtrações.

a) 60°30’15”2 40°20’10”

b) 50°12’2 36°10’20”

c) 87°45’12”2 52°50’21”

d) 140°2 32°43’37”

7 Determine, sem usar o transferidor, a me-dida do ângulo assinalado com x.

a) d)

b) e)

c) f)

8 Calcule o triplo de 36°16’56”.

9 Determine a metade de 104°35’14”.

10 Quanto se deve adicionar a um ângu-lo de 31°32’46” para obter um ângulo de78°30’34”?

11 Observe com atenção a figura abaixo e es-creva em seu caderno as medidas dos ân-gulos indicados em cada item.

a) A OC c) A OE e)B OF g) C OE

b) A

OD d)

B

OD f)

B

OE h)

C

OF


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Atividades para casa

Pablo Picasso. Jacqueline de mãos cruzadas, 1954.

2 x

2 x

180°

2 x2 x

2 x

2 x

45°

x23°

12 Escreva em seu caderno as medidas dosângulos indicados em cada item.

b) f)

c) g)

d) h)

14 Quanto se deve subtrair de 68°27’44” paraobter 39°46’54”?

15 Um ângulo que foi triplicado resultou em

81°25’54”. Qual era o valor desse ângulo?

90 8 0

1 0 0 7 0

1 1 0 6 0 1 2

0 5 0

1 3 0

4 0

1 4 0

3 0

1 5 0

2 0

1 6 0

1 0

1 7 0

0 1 8 0

10 0

8 0 1 1 0

7 0 1 2 0 6 0 1 3 0

5 0 1 4 0 4

0 1 5 0 3

0

1 6 0 2 0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

O A

B

CD

E

F

48°

130°

x

180°

x

50°

x 26°

46°

100°

36°

x

90°

5 x5 x

5 x

180°

180°

2 x

40°

16°40’

64°90’ 39°40’

18°30’

16 Nos itens abaixo, meça com o transferidorcada ângulo assinalado, faça a soma dosângulos em cada figura e anote o resulta-do em seu caderno.

a) b)

a) A OB e) B OC i) C OE

b) A O C f) B OD j) D OE

c) A

OE g)B

OE k) D

OF

d) A

OF h)C

OD l) E

OF

13 Determine o valor de x nas medidas dosângulos a seguir.a) e)

17 Calcule o que é pedido.a) O dobro de 23°32’15”.

b) A metade de 48°50’26”.

c) O triplo de 14°12’11”.

d) A terça parte de 54°21’36”.

18 O cubismo foi um movimento artístico na

pintura. O pintor cubista representa os objetos, que estão em três dimensões, em umasuperfície plana, utilizando formas geomé-tricas e principalmente linhas retas. Um dosmais famosos pintores cubistas é Picasso.Observe a obra de arte e meça os ângulosdestacados em azul.

19 Observe as figuras abaixo e calcule a medi-da do ângulo indicado em verde.a) b)


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2 Ampliando o estudo de ângulos

Classificação dos ângulos

Um ângulo muitoimportante nas constru-ções de casas e edifíciosé o ângulo de 90°.

Olhe à sua volta eobserve quantos ângu-los de 90° existem.

Agora que você já sabe que o ângulo reto mede 90°, vejacomo classificar os demais ângulos. Observe as figuras.

Saiba mais

RETAS

PERPENDICULARES

Duas retas concorrentes

que formam um ângulo de

90° são chamadas de retas

perpendiculares.

O ângulo de 90° é chamado de ângulo reto.

Este símbolo é utilizado para

indicar que o ângulo é reto.

O

T

x

AO

L

T O

V

R O S

Ângulo agudo é o que possui medida menor que 90°. Ângulo obtuso é o que possui medida maior que 90°.

Um ângulo que recebeum nome especial é o ângulode 180°. Ele é formado porduas semirretas opostas e é

chamado de ângulo raso.

R OS 5 180°

Note que a medida do ângulo A O L é menor que 90° e que

a medida do ângulo T

O V é maior que 90°. O ângulo A

O L édenominado agudo, e o ângulo T O V é denominado obtuso.

s

t

Indica-se r s.


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Ângulos consecutivos e adjacentes

Ângulos consecutivosObserve a figura.

OC

A

B

OC

A

B

B

C A

O

Os ângulos A O B e B O C possuem o vértice comum e o ladoOB comum. Por isso, esses dois ângulos são chamados de con-secutivos.

Assim,

Quando dois ângulos possuem um lado e o vértice emcomum são denominados consecutivos.

A O B e B O C são ângulos consecutivos. A O B e A O C são ângulos consecutivos. B

O

C

e A

O

C

são ângulos consecutivos.Ângulos adjacentesNa figura, observam-se três ângulos: A O C , A O B e B O C .

A região vermelha é comum aos ângulos A O C e A O B. A região verde é comum aos ângulos A O C e B O C .Os três ângulos possuem, dois a dois, apenas um lado

comum.Os ângulos A O B e A O C são consecutivos e possuem pon-

tos internos comuns: são os pontos internos do ângulo A O B.Os ângulos A O B e B O C são consecutivos, mas não possuem

pontos internos comuns. Por isso são denominados adjacentes.

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e

não possuem pontos internos comuns.

ADjACENTEAdjetivo originado do latimadjacens, que signica “estarsituado junto a”.Essa palavra indica algoque está situado nasproximidades, e é utilizada

quando duas coisas estão juntas, uma ao lado de outra;vizinhas.

Fique de olho

Ângul de isãO ângulo de visão de umapessoa que se locomoveem cadeira de rodas está

a uma altura de 1 m dochão, enquanto uma pessoaque se locomove em pé temesse ângulo a partir de cercade 1,60 m.Por isso, um cadeirantetem visão do ambienteprejudicada por móveis ououtras barreiras com alturasuperior a 80 cm.

Você já conhecia essaparticularidade do ângulode visão de alguém comdificuldade de locomoção?O que poderia ser feitopara ajudá-lo?

E o seu ângulo de visão,a que altura do chão seorigina?


11/26100

Dois ângulos consecutivosmedem 100° e 40°. Quantomede o ângulo formadopelas bissetrizes dessesângulos?

ResluçãHá duas possibilidades.Os ângulos podem serconsecutivos adjacentes (a)ou consecutivosnão-adjacentes (b).

a)

b)

De acordo com as medidasindicadas, o ângulo entre asbissetrizes (em vermelho)pode ser 70° ou 30°.

ATIvIDADE RESoLvIDA

Saiba mais

Ângulos congruentesObserve os ângulos:

ÂNGULoSCoNGRUENTESÉ comum o uso de marcasiguais para indicar ângulos

congruentes (mesmamedida).Exemplos:

As marcas iguais signicam

que os ângulos P OQ e M AN têm mesma medida.

QO

P A

M

N

20°

20°

50°50°

20°

20°

50°

50°

10°

A

P

B

O

25°

25°

O

C B

A

É possível sobrepor os ângulos ilustrados e notar que elespossuem a mesma medida.

Pode-se dizer então que esses dois ângulos são congruentes.

Ângulos congruentes são ângulos que possuem a mes-ma medida.

Bissetriz de um ânguloObserve a figura abaixo.

Note que a semirreta___

OP está dividindo o ângulo A O B emdois ângulos congruentes. Pode-se dizer então que a semir-

reta___

OP é a bissetriz do ângulo A O B.

A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que divide oângulo em dois ângulos congruentes.

Exemplo:

Na figura, se a semirreta___

OB é bissetriz do ângulo A O C ,

então A

O B 5

B

O C.


12/26101


1 Considere a figura abaixo, copie a tabelaseguinte em seu caderno e preencha-a, in-dicando em cada caso qual é o lado comumaos pares de ângulos e classificando-os em

consecutivos e/ou adjacentes.

O

C

B

A

AE

C

O

D

B

x

26°

x

136°

60°

2 x

B

F O

E

C

D

A

Ânguls Lad cmum Classifcaçã

A OB e A OC

A OB e B OC

A OC e B OC

2 Observe a figura e classifique os ângulosindicados nos itens abaixo de acordo coma medida de cada um deles.

a) A

OB c) A

OD e) B

OE g)D

OE

b) A

O C d) A

OE f) C

OE

3 As figuras abaixo mostram alguns ângulose suas bissetrizes. Determine a medida de

x em cada caso.a) c)

b)

4 Dois ângulos consecutivos medem 80° e30°. Faça uma figura em seu caderno pararepresentar os ângulos e determine quan-to mede o ângulo formado pelas bissetri-

zes desses ângulos.

5 Meça os ângulos da figura com seu trans-feridor e elabore uma tabela como a indi-cada para classificar os ângulos A

BC, A

CD, A

DE, D

EF e A

OD.

Ângul Medida Classifcaçã A BC

6 Dois ângulos adjacentes medem 80° e 46°.Faça uma figura em seu caderno e calculea medida do ângulo formado pelas bisse-trizes desses ângulos.

7 Verifique quais afirmações são verdadei-ras e corrija as falsas em seu caderno.a) Dois ângulos adjacentes são consecu-

tivos.

b) Dois ângulos consecutivos são adja-centes.

c) Dois ângulos opostos pelo vértice sãoadjacentes.

d) Dois ângulos consecutivos são opostospelo vértice.

e) Dois ângulos opostos pelo vértice sãocongruentes.

f) A soma de um ângulo agudo e um obtu-so pode ser um ângulo reto.

g) A soma de dois ângulos agudos pode serum ângulo reto.

8 A

OB e B

OC são dois ângulos consecutivose medem 84° e 32°. Calcule a medida do

ângulo A

OC.

9 A soma de dois ângulos adjacentes é iguala 93°, e um é o dobro do outro. Determineas medidas desses ângulos.

10 Dois ângulos adjacentes são tais que umé o dobro do outro. Determine as medidasdesses ângulos, sabendo que as bissetri-

zes deles formam um ângulo de 60°.


13/26102


11 Determine a medida dos ângulos assinala-dos com x em cada caso.a) c)

37°

x

x

x

52º x

x

x

x26º

14ºO

38°

22°

x

O

O

80º

40º

x

O

D

A

B

C

42º

x

y

36º

26º

x

142º

x

5 4 º

x

b) d)

12 Nas figuras abaixo, os ângulos com marcas

iguais são congruentes. Calcule as medidasdos ângulos assinalados com x.a) c)

b)

13 Os ângulos A

OB e B

OC são adjacentes e me-dem 50° e 30°. Calcule a medida de A

OC.

14 A

OB e B

OC são ângulos adjacentes. Se A

OC5 106° eB OC 5 32°, quanto mede A OB?

15 Os ângulos A

OB e B

OC são adjacentes. Osângulos B

OC e C

OD também são adjacentes.Se A

OB 5 70°, B OC 5 80° e C OD 5 90°,calcule as medidas dos ângulos a seguir.a) A

OC b) B

OD c) A

OD

16 Os ângulos A

OB e B

OC são adjacentes,assim como os ângulos C

OD e D

OE. Sendo A

OB congruente a C

OD e B

OC congruentea D

OE, calcule a medida do ângulo B

OD,dado que A

OE 5 132°.

Dica: desenhe uma figura em seu caderno.

17 Na figura abaixo, os ângulos A

OB e C

OD medem 90°. Determine as medidas assi-naladas com x e y.

18 A soma de dois ângulos adjacentes é iguala 140°, e um é o triplo do outro. Quanto

mede o maior?19 As figuras mostram um leque totalmen-

te aberto e o mesmo leque parcialmentefechado. Calcule o ângulo de abertura doleque na figura 2, sabendo que as marcasiguais indicam ângulos congruentes paraas duas figuras.

20 Nas figuras abaixo, determine a medida doângulo assinalado com x.a) c)

b)

21 A soma de dois ângulos adjacentes é igual àmedida de um ângulo raso. Calcule o ânguloformado pelas bissetrizes desses ângulos.

22 O ângulo formado pelas bissetrizes de doisângulos adjacentes é igual a 60°. Calcule a

soma das medidas desses ângulos.

gura 1 gura 2


14/26103


120º

O A

D

C

B

23 A

OB e B

OC são dois ângulos consecutivose medem 120° e 30°, respectivamente.Quanto mede A

OC?

24 Na figura,___

OB é bissetriz do ângulo A O C e___

OD é bissetriz do ângulo A

O B. Determine amedida do ângulo A O D.

42º 22º

x

28 Na figura abaixo,___

OP é bissetriz de A OB,___

OQ é bissetriz de P OB e___

OR é bissetriz de

Q

OB. Calcule a medida do ângulo Q

OR, sa-bendo que A OB 5 90°.

O B

R

Q

P

A

29 A soma de dois ângulos adjacentes é iguala 146°. Determine a medida do ângulo for-

mado pelas bissetrizes desses ângulos.

30 Pedro traçou a bissetriz de um ângulo de 57°.Determine a medida dos ângulos obtidos.

31 Reproduza as figuras abaixo em seu cader-no e determine a medida do ângulo assina-

lado com x.a) c)

b)

x

51º

x 37º

x

32º

x

41º

x38º

x

52º

x

26º

x

18º

x

18º

130º

2 x

3 x

x

62º

x

29º

32 Copie as figuras em seu caderno e determine,sem usar o transferidor, as medidas dos ân-gulos assinalados com x nos casos abaixo.a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

25 Na figura, dois ângulos adjacentes medem84° e 38°. Calcule o ângulo formado pelasbissetrizes desses ângulos.

26 Dois ângulos adjacentes são tais que umé o quádruplo do outro. Calcule esses ân-gulos, sabendo que o ângulo formado porsuas bissetrizes é igual a 50°.

27 Determine a medida do ângulo assinaladocom x.

38º

84º

x

12º


15/26104

3Ângulos complementares, suple-mentares e opostos pelo vértice

Ângulos complementares

Observe os ângulos adjacentes da figura a seguir.

B

C

A

O

N

P23º

67º

M

O

Note que o ângulo A O C é reto, isto é, a medida desse ân-gulo é igual a 90°. Note também que, sem determinar as me-

didas dos ângulos adjacentes A

O B e B

O C , é possível verificarque a soma das medidas dos dois é igual a 90°.

Os ângulos A O B e B O C são complementares.

Cálculo mental

Quanto mede o complementodo complemento de umângulo?

Dois ângulos são complementares quando a soma dasmedidas desses ângulos é igual a 90°.

Exemplo:

Observe os ângulos destacados a seguir.

Determinar o valor do ângulo A OB da gura ao lado.

Resolução

Como a soma dos ângulos complementares é igual a 90°,então, para determinar a medida do ângulo A OB, bastafazer x 1 64°5 90°.

Utilizando a operação inversa da adição, 90°2 64°5 26°.

Portanto, A OB mede 26°.

ATIvIDADE RESOLvIDA

B

C

x

64º

A

O

Os ângulos M O N e N O P são complementares, pois67°1 23°5 90°.


16/26105

Ângulos suplementaresObserve os ângulos destacados a seguir.

F D

P

E

39°141°

P

V

A

S

B

D

O

A

C

O ângulo F E D é raso, ou seja, mede 180°. Note que, semdeterminar as medidas dos ângulos adjacentes F E P e P E D, épossível verificar que a soma deles é igual a 180°.

Os ângulos F E P e P E D são suplementares.

Cálculo mental

Quanto mede o suplementodo suplemento de umângulo?

Dois ângulos são suplementares se a soma das medidasdesses ângulos é igual a 180°.

Exemplo:

Observe os ângulos a seguir.

Os ângulos V A P e P A S são suplementares, pois39°1 141°5 180°.

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)Observe os ângulos A O B, A O C , B O D e C O D destacados

na figura a seguir.

Note que

___

OA e

___

OD são semirretas opostas, assim como

___

OB e ___

OC também são. As semirretas que formam o ângulo A O B são opostas, res-

pectivamente, às que formam C O D. Por isso esses ângulossão chamados de ângulos opostos pelo vértice. Da mesma

forma, os ângulos A O C e B O D são opostos pelo vértice.

Dois ângulos são chamados de opostos pelo vértice(o.p.v.) quando os lados de um ângulo são semirretas opos-tas aos lados do outro ângulo.

Encontrar o complementoe o suplemento do ângulode 15°.

Resolução

Para encontrar o

complemento de 15°, bastaefetuar a operação seguinte.

90° 2 15° 5 75°

Portanto, o complementode 15° é 75°.

Para encontrar osuplemento de 15°, bastaefetuar a operação seguinte.

180° 2 15° 5 165°

Portanto, o suplemento de15° é 165°.

ATIvIDADE RESOLvIDA


17/26106

Propriedade dos ângulos opostos pelo vérticeObserve a figura a seguir.

B

D

O

A

C

B

A

C

O

x

y

B

A

D

O

x

z

Os ângulos A O B e C O D são opostos pelo vértice, assimcomo os ângulos A O C e B O D.

Considere os ângulos A O B e A O C da figura anterior.

Como esses ângulos são adjacentes e suplementares, en-tão, x 1 y 5 180°.

Considere agora os ângulos A O B e B O D.

Como esses ângulos são adjacentes e suplementares, en-

tão, x 1 z 5 180°.Comparando as duas igualdades, pode-se fazer:

x 1 y 5 180°

x 1 z 5 180° ¬ x 1 y 5 x 1 z, logo y 5 z.

Ou seja, os ângulos A O C e B O D são congruentes. Analogamente, pode-se verificar que os ângulos A O B e

C O D também são congruentes.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, istoé, têm a mesma medida.

Na gura ao lado, o ângulo A

OB mede 140°.

Determinar a medida dos ângulos A OC, B OD e C OD.

Resolução

Como A

OB e C

OD são opostos pelo vértice, então C

OD tem medida igual a 140°.

Como os ângulos A OB e A OC são suplementares, A OC tem medida igual a 40°.

Como A OC e B OD são opostos pelo vértice, então B OD tem medida igual a 40°.

Portanto, A

OC e B

OD medem 40° e C

OD mede 140°.

ATIvIDADE RESOLvIDA

B

D

O

A

C

Desafio

O suplemento docomplemento de um ânguloé igual a 100°.Qual é o valor desse ângulo?


18/26107


1 O que são ângulos suplementares?

2 O que são ângulos complementares?

3 Calcule o complemento de cada ânguloabaixo.a) 10° c) 85° e) 26° g) 1°

b) 25° d) 13° f) 87° h) 60°

4 Calcule o suplemento de cada ângulo abaixo.a) 70° c) 100° e) 20° g) 90°

b) 125° d) 50° f) 30° h) 160°

5 Quanto mede o ângulo cujo suplemento éigual ao dobro da medida desse ângulo?

6 Se um ângulo é igual ao seu complemento,quanto mede esse ângulo?

7 Calcule o suplemento de 52°30’.

8 Calcule o complemento de 38°15’34”.

9 Reproduza a figura em seu caderno e res-ponda aos itens abaixo.

40º x

x

40º30º

x

36ºy

z

x

111º

x

x

x

x

112º

x

35º

a) Quais são os pares de ângulos opostospelo vértice da figura?

b) Quais são as triplas de ângulos que so-mam 180°?

10 Dois ângulos são complementares e umé o quádruplo do outro. Quanto mede omaior?

11 A diferença entre dois ângulos suplemen-tares é de 40°. Qual é a medida de cadaângulo?

12 Considere os ângulos x 5 123°45’6” ey 5 11°22’33”. Calcule o complemento dey, o suplemento de x e o suplementode x 1 y.

13 Qual é a diferença entre o suplemento e ocomplemento de um ângulo x qualquer?

14 Dois ângulos opostos pelo vértice são com-

plementares. Quanto mede cada um?

15 Dois ângulos opostos pelo vértice são su-plementares. Quanto mede cada um?

16 Sejam os ângulos A OB, B OC e C OD. Sabe--se que os pontos A, O e D são colineares e

que

___

AD ⊥

___

OC. Se o ângulo A

OB tem medida27°, calcule a medida dos ângulos indica-dos a seguir, depois de fazer uma figura re-presentando o exercício em seu caderno.a) B

OC b)C

OD c) A

OD d) B

OD

17 Lembrando que marcas iguais indicamângulos de mesma medida, determine os ân-gulos assinalados com incógnitas em cadacaso.a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

18 Duas retas se encontram formando doispares de ângulos opostos pelo vértice. Sa-be-se que um dos ângulos obtusos forma-dos mede 2 x1 50° e um dos agudos mede3 x 2 10°. Calcule o valor de cada ângulo

formado.

e)

a

bc

d

e f


19/26108


2 x

2 x2 x

x

18º

x

28º

30º

19 Determine a medida dos ângulos x e y as-sinalados na figura.

20 Calcule o complemento de 28°32’40" e osuplemento de 106°12’57”.

21 Representando por x a medida de um ân-gulo, copie a tabela abaixo e complete-autilizando a linguagem simbólica matemá-tica, seguindo o exemplo.

Conceito Símbolo

O dobro da medida do ângulo. 2 x

A medida do complemento do ângulo.

A medida do suplemento do ângulo.

O dobro da medida do complemento.

A metade da medida do suplemento.

O triplo do complemento mais a quintaparte do suplemento do ângulo.

22 Determine x nas figuras a seguir.a) c)

23 Dois ângulos são suplementares, e um é o

triplo do outro. Quanto mede o menor? 24 Calcule o triplo do complemento de 70°.

25 Determine o quádruplo do suplemento de150°.

26 Calcule a soma do complemento de 40°com o suplemento de 110°.

27 Determine o suplemento do dobro do com-plemento de 36°.

28 Calcule o suplemento do complemento

de 35°.

x

40º

29 Dois ângulos complementares são tais queo dobro de um excede em 21° o outro. Qualé a medida de cada ângulo?

30 Na figura, A OB e B OC são dois ângulos ad-

jacentes e suplementares. A semirreta___

OD

é bissetriz do ângulo B

OC. Se a medida doângulo D

OC é 25°, calcule as medidas doângulo enunciado em cada item.

b) d)

a) D

OB b)B

OC c) A

OB d) A

OD

31 Dois ângulos consecutivos são suplemen-tares. Calcule o ângulo formado pelas bis-setrizes desses ângulos.

32 Dois ângulos consecutivos são comple-mentares. Calcule o ângulo formado pelasbissetrizes desses ângulos.

33 É verdade que um ângulo qualquer soma-do ao dobro do seu complemento é igual

ao seu suplemento?34 Dois ângulos adjacentes têm soma igual a

112°. Calcule o complemento do ângulo for-mado pelas bissetrizes desses ângulos.

35 O dobro de um ângulo somado ao triplo deseu complemento é igual a 265°. Calcule amedida do ângulo.

36 Determine a medida de um ângulo, saben-do que ela ultrapassa em 60° a medida doseu suplemento.

37 Sejam as retas

___

MN e

___

PQ, concorrentes emum ponto O. Se a medida de M OP é igualà terça parte da medida de Q O M, calculequanto mede o ângulo Q ON.

38 Desenhe em seu caderno um segmento___

AB de 5 cm. Desenhe uma reta perpen-dicular a

___

AB passando pelo ponto médiode

___

AB. Tome um ponto P qualquer sobrea reta perpendicular. Meça com seu trans-feridor os ângulos P AB e P B A. O que você

observa?

25º

O A C

B

D

y y

110º

x


20/26109


39 Dois ângulos opostos pelo vértice medem105° e 5 x 2 45°. Faça uma figura em seucaderno representando a situação e calculea medida de x e dos outros dois ângulos.

40 Imagine um relógio analógico (de pontei-ros). Os ponteiros das horas e dos minu-tos formam ângulos que podem ser calcu-lados. Em relação a esses dois ponteiros,responda o que se pede em cada item.

a) Qual é o ângulo agudo formado pelosponteiros às 13h?

b) Qual é o ângulo agudo formado às 2h damanhã?

c) Qual é o ângulo formado às 15h? Comoele pode ser classificado?

d) Qual é o ângulo formado às 6h da ma-nhã? Como ele é classificado?

e) Qual é o suplemento do ângulo agudoformado pelos ponteiros às 8h da noite?

f) Qual é o complemento do ângulo agudoformado às 10h da manhã?

41 Determine as incógnitas nestas figuras.a)

b)

42 Os pontos sobre a semicircunferência a di-videm em 12 partes iguais. Calcule as me-didas dos ângulos assinalados.

x52°

x

32°

264°

x

xy

z

x 1 10°

x

x 1 15°

2x 2 10°

25º

x 1 10°

x 25° 3x 240°

30º

x 1 6°

x 1 24°

43 Em cada uma das figuras abaixo, calcule ovalor de x.a)

c)

b)

c)

d)

e)

f)


21/26110

Tratamento da informação

Construir gráficos de setor circularUma forma muito comum de representar os dados de uma pesquisa é por meio do gráfico

de setor circular. Nesse gráfico, a soma dos dados é sempre igual a 100%, que correspondeao círculo inteiro. Cada porcentagem do total corresponde a uma fração do círculo.

Por exemplo, para representar 50% do total, utiliza-se metade do círculo. No gráfico de

setor circular é possível notar qual é a fração do total que cada parte representa.Coleta de informação

Danilo realizou uma pesquisa com 50 estudantes. Ele queria saber qual é o esportefavorito de cada pessoa. A tabela abaixo mostra o resultado que ele obteve.

Esporte Número de pessoas

Futebol 15

Vôlei 9

Basquete 10

Natação 6

Atletismo 10

Organização da informaçãoPara divulgar os dados obtidos, Danilo quer construir um gráfico de setor circular.Para isso, é necessário calcular a porcentagem que cada resposta representa em relação

ao número total de estudantes consultados.Copie a tabela abaixo em seu caderno e complete-a com as porcentagens

correspondentes.

Esporte Número de pessoas Porcentagem

Futebol 15

Vôlei 9

Basquete 10

Natação 6

Atletismo 10

Cada fatia do gráfico de setor circular é proporcional à porcentagem correspondentea cada resposta dada. Assim, deve-se dividir o arco total em partes proporcionais àporcentagem encontrada em cada caso.

Considera-se então que um arco de 360° representa 100% dos estudantes, de modo que1% dos estudantes corresponde a um arco de um centésimo de 360°, ou seja, 3,6°. A partirdessa relação, pode-se encontrar o arco correspondente a cada resposta dada.

Exemplo: 30% dos entrevistados gostam de futebol.Como 1% corresponde a um arco de 3,6°, 30% correspondem a 30 ∙ 3,6° = 108°.

Portanto, a fatia do gráfico correspondente ao futebol compreenderá um arco de 108°. Assim, os ângulos das demais fatias do gráfico podem ser calculados multiplicando a

porcentagem correspondente por 3,6°.

Após calcular os ângulos correspondentes a cada fatia, faça um círculo e divida-o deacordo com as medidas obtidas, utilizando o transferidor para marcar os ângulos. Pintecada fatia de uma cor diferente, para representar as informações obtidas. Escolha um

título para o gráfico e faça uma legenda.


22/26111

Leitura de dados

a No gráfico que você construiu, existe algum setor circular formado por um arco demedida igual a um ângulo obtuso? Qual?

b Existe alguma fatia que corresponda a um ângulo agudo? Qual(is)?

c Existem fatias iguais? Quais?Comunicação de resultados

Faça um cartaz com o gráfico de setores que você construiu e escreva um parágrafosobre as conclusões que podem ser tiradas a partir desse gráfico e da leitura de dados, parainformar aos colegas de classe sobre os resultados da pesquisa.

Íngrid e Raíssa resolveram fazer uma pesquisa entrevistando alguns alunosda escola onde estudam. Entre outras perguntas que elas fizeram, estava aseguinte:

Qual, dentre as opções abaixo, é a sua sobremesa preferida? Sorvete Pudim de chocolate Gelatina Torta de morango Salada de frutas

A partir das respostas encontradas, elas montaram a tabela abaixo. Utilize asinformações da tabela e monte um gráfico de setor circular.

Sbremes Quntidde de pesss

Gelatina 18

Pudim de chocolate 15

Salada de frutas 24

Sorvete 32

Torta de morango 11

As meninas elaboraram o gráfico abaixo a partir das respostas obtidas nessa mes-ma pesquisa sobre a proveniência do lanche que os alunos comem no recreio.

Analisando os dados do gráfico e as conclusões que você pode obter a partir dosdados da tabela, responda o que se pede nos itens a seguir.

b Quantas pessoas trazem o lanche de casa?

c Quantas pessoas compram o lanche na cantina?

d Quantas pessoas comem a merenda oferecida pela escola?

e Qual é a medida, em graus, de cada arco indicado?

Faça você

45%35%

20%

Traz de casa

Compra na cantina

Come a merenda

LANCHE NO RECREIO


23/26

Instrumento de cálculo

112

Faça sua figura

Em uma folha de papel sulte, trace uma reta e escolha dois pontos dela que distem

8 cm um do outro. Construa então um quadrado utilizando esses dois pontos escolhidos

como vértices consecutivos. Logo, esse quadrado terá lados de medida 8 cm, e um de seus

lados estará sobre a reta desenhada.

Construções de bissetrizes, perpendicularese ângulos de 60°Nas construções seguintes, o material necessário é régua, compasso, lápis e borracha.

Bissetriz

Seja um ângulo A

O B. Com uma abertura docompasso qualquer, coloca-se a ponta-seca no vérticeO do ângulo e desenha-se um arco de circunferência demodo que ele encontre cada uma das semirretas quedefinem o ângulo. Esses pontos de encontro podemser chamados de M e N . Agora, com uma aberturado compasso suficientemente grande (maior que a

metade da distância entre M e N ), coloca-se a ponta-seca em M e desenha-se um arco decircunferência no interior do ângulo. Utilizando a mesma abertura, coloca-se a ponta-secaem N e traça-se outro arco de circunferência, também no interior do ângulo, encontrandoaquele arco em um ponto que pode ser chamado de C . Com a régua, ligam-se os pontos

O e C , e então a semirreta

___

OC será a bissetriz do ângulo A

O C .

PerpendicularDada uma reta r qualquer e um ponto P, a reta

s perpendicular a r que passa por P é única e osângulos formados entre s e r são retos. Para fazer essaconstrução, é necessário abrir o compasso em umtamanho maior que a distância entre o ponto P e a reta r (se o ponto estiver na reta, a abertura é qualquer), e, coma ponta-seca no ponto P, fazer um arco de circunferênciaque encontre a reta r em dois pontos, que serão

chamados de D e E. Com o compasso aberto em umamedida no mínimo igual à anterior, coloca-se a ponta--seca em D e desenha-se um arco em um dos semiplanosdeterminados pela reta r . Depois, coloca-se a ponta-seca em E e desenha-se outro arco,no mesmo semiplano anterior, que encontre com este último arco em um ponto que seráchamado de Q. Ligando os pontos P e Q forma-se a reta s, perpendicular a r .

Ângulo de 60°Para desenhar um ângulo de 60°, inicia-se abrindo o compasso

na medida de um segmento___

OX qualquer, colocando a ponta-secaem uma de suas extremidades e a outra ponta na outra. Com essa

abertura e a ponta-seca em O, desenha-se um arco de circunferência. Ainda utilizando a mesma abertura, coloca-se a ponta-seca em X e traça-se outro arco, de modo que os dois arcos se encontrem no

ponto que será chamado de Y . O ângulo X O Y será um ângulo demedida igual a 60°.

OBN

M

A

C

P

ED

r

s

Q

X

Y

O

60°


24/26113

Lendo Matemática

Antes de ler

Você utiliza cinto de segurança no automóvel?

Considera importante a preocupação com a segurança no trânsito?

Já sofreu ou conhece alguém que tenha sofrido um acidente grave?

De olho no texto

1 Qual é a utilidade do cinto de segurança nos automóveis?

2 Qual é a importância do encosto de cabeça nos bancos do automóvel?

3 De acordo com o texto, qual é a diferença entre o ângulo em que gira o pescoço deuma pessoa que está em um automóvel que não possui encosto e uma pessoa queestá em um carro com esse equipamento, no momento de uma batida?

Boa viagem com o cinto de segurança[...] Nas cidades grandes e médias, além do trânsito cada

vez mais difícil, o número de acidentes também cresce. Poresse motivo, o uso do cinto de segurança já é obrigatório emalgumas cidades brasileiras. [...]

Se, durante o percurso, o motorista precisa dar uma freadarápida, a ação dos freios segura a carcaça do automóvel e tudoo que está preso a ela, como o motor, os faróis e os bancos.

Ocorre que, se as pessoas estiverem soltas dentro do carro,elas não vão sofrer a ação dos freios e continuam a se movimentar com a velocidade queo automóvel tinha anteriormente. Em consequência, acabam se chocando com as partesinternas do automóvel.

Por isso o uso do cinto de segurança é tão importante. Com ele, as pessoas ficamamarradas ao banco, que está fi xado à carcaça do automóvel. Quando o freio diminuia velocidade da carcaça do automóvel, tudo o que está fi xado nela também tem suavelocidade diminuída. [...]

Longe de ser um enfeite, o encosto decabeça é também uma peça importante entreos dispositivos de segurança dos veículos.

Pense num automóvel que não possuiesse encosto. Numa colisão traseira, o corpoé lançado para frente, pois está sustentadopelo banco e o banco está preso à carcaçado automóvel. O pescoço e a cabeça, entre-tanto, ficam acima do banco. Com isso, nãosão empurrados para frente e tendem a ficaronde estavam.

O resultado é que a cabeça faz um giromuito rápido para trás, o que põe em risco a vida da pessoa.

Se um carro parado for atingido na traseira por um veículo a apenas 28 quilômetrospor hora, a cabeça do passageiro, na ausência do encosto, pode girar para trás fazendoum ângulo de até 120 graus. Com o encosto, esse ângulo não passa de 30 graus. [...]

Disponível em: . Acesso em: 1o abr. 2008.

Movimento da cabeçasem o encosto.

Movimento da cabeçacom o encosto.


25/26

114

1 Observe a borboleta e os ângulos assi-nalados com letras. Utilize o transferi-dor para medir os ângulos e completea tabela abaixo.

a

bc

d

e

f

B

C

A

O

COMO VOC VAI AT SUA ESCOLA?

20%10%

30%30%

De carro

De ônibus

A pé

De metrô

De trem

x

32°

50° x

x

76°

111º x

x

37°

x

104°

x

70°

215°

x

45º

Ângulo a b c d e f

Medida

Classifcação

2 Observe a figura abaixo.

4 Encontre o valor de cada ângulo indi-cado com a letra x nas figuras abaixo.a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

5 Determine em seu caderno o que é pe-dido nos itens abaixo e classifique o ân-gulo resultante.

a) Um ângulo cuja medida é metade deum ângulo reto.

b) Um ângulo cuja medida é um terçode um ângulo raso.

c) Um ângulo cuja medida é o dobro deum ângulo reto.

6 Determine em seu caderno a medidade dois ângulos opostos pelo vértice,sabendo que o suplemento de um de-les mede 91º.

7 A diferença entre as medidas de doisângulos consecutivos não-adjacentes éigual a 84°. Determine quanto mede oângulo formado pelas bissetrizes des-

ses ângulos.

Sabendo que o ângulo A OB mede144°30’ e que

___

OC é a bissetriz do ângu-lo A OB, quanto mede o ângulo B OC?

3 O gráfico mostrado abaixo é chamadode gráfico de setores. A razão entre aárea de cada uma das partes e a áreatotal está indicada percentualmenteem cada parte.

Determine a medida do ângulo corres-pondente ao número de pessoas que vai

de trem para a escola.


26/26

Chegamos ao final do estudo de mais um capítulo e torna-se importante realizar umaavaliação de como foi seu desempenho e participação até aqui.

Portanto, pare por alguns instantes e faça uma reflexão sobre seu empenho e rendi-

mento durante os estudos referentes a este capítulo. Para isso, tente responder, em seucaderno, às perguntas seguintes.

a) Você teve uma participação ativa e se esforçou para acompanhar as atividades e dis-cussões propostas?

b) Manteve disciplina, organização e regularidade durante os estudos deste capítulo?

c) O seu caderno contém resumos, anotações e está completo, com toda a matéria?

d) As dúvidas que surgiram foram esclarecidas?

e) Você considera necessário rever ou estudar um pouco mais algum tópico deste capítulo?

Levando em conta suas respostas, elabore uma lista com os pontos que você consideraque devem ser melhorados e trabalhe com afinco nisso, para que possa ter ainda maissucesso nos próximos estudos.

Autoavaliação

8 Dois ângulos consecutivos medem 117°e 39°. Quanto mede o ângulo formadopelas bissetrizes desses ângulos?

9 Observe a tabela abaixo, com a longi-tude de algumas cidades brasileiras, e

calcule o que é pedido.

Cidade Longitude

Belo Horizonte 43°56’16’’

Brasília 47°55’47’’

Curitiba 49°16’23’’

Manaus 60°01’30’’

Salvador 38°30’39’’

São Paulo 46°38’10’’

a) A soma das longitudes de Belo Hori-zonte e São Paulo.

b) A diferença entre as longitudes deManaus e Salvador.

c) A diferença entre as longitudes de

Curitiba e Brasília.

10 O complemento do suplemento de umângulo é igual a 55°. Determine quantomede esse ângulo.

11 As bissetrizes de dois ângulos consecuti-

vos formam um ângulo de 61°. Se um de-les mede 34°, calcule a medida do outro.

12 Calcule em seu caderno o complementodo suplemento de 105º.

13 Determine o quádruplo do suplementode 150°.

14 Sabendo que___

OB é bissetriz do ângulo A OC, calcule x.

a)

b)

15 Determine as medidas dos ângulos as-

sinalados com x nos casos seguintes.a)

b)

41º x

C

B

AOD

130º x

C

E

AOD

20º

25º x

90º

x

matemÁtica - 7ª série - capitulo 5 - ed sm - Ângulos

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