matematica

Matemática S U M Á R I O

1

SUMÁRIO

ABERTURA ................................................................................................................................ 13

APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 13

ANTES DE COMEÇAR .............................................................................................................................................................. 13

OBJETIVO E CONTEÚDO ....................................................................................................................................................... 13

ATIVIDADES ............................................................................................................................................................................... 14

SEÇÕES ........................................................................................................................................................................................ 14

MATERIAL .................................................................................................................................................................................... 15

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................................... 15

NAVEGAÇÃO .............................................................................................................................................................................. 16

PROFESSOR-AUTOR ................................................................................................................................................................. 17

EQUIPE DE PRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 17

SUPORTE ..................................................................................................................................................................................... 18

MÓDULO 1 ................................................................................................................................. 19

APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 19

UNIDADE 1 – FRAÇÕES ....................................................................................................................... 19

1.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 19

1.1.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 20

1.2 FRAÇÕES EQUIVALENTES .............................................................................................................................................. 20

1.2.1 SIMPLIFICAÇÃO DAS CONTAS .................................................................................................................................. 20

1.2.2 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 20

1.3 LEITURA ................................................................................................................................................................................ 21

1.4 ADIÇÃO ................................................................................................................................................................................. 21

1.4.1 EXERCÍCIO ........................................................................................................................................................................ 22

1.4.2 MAIS DE DUAS FRAÇÕES ............................................................................................................................................ 22

1.4.2.1 EXERCÍCIO ..................................................................................................................................................................... 22

1.5 MULTIPLICAÇÃO ............................................................................................................................................................... 22

1.5.1 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 23

1.5.2 DENOMINADORES DIFERENTES ............................................................................................................................... 23

1.5.3 MAIS DE DUAS FRAÇÕES ............................................................................................................................................ 23

1.5.3.1 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................................... 23

1.6 DIVISÃO ................................................................................................................................................................................ 24

1.7 FRAÇÕES PRÓPRIAS VERSUS FRAÇÕES IMPRÓPRIAS ........................................................................................... 24

1.7.1 FRAÇÃO IMPRÓPRIA ................................................................................................................................................... 24

1.7.1.1 EXERCÍCIO ..................................................................................................................................................................... 24

1.8 EXEMPLO ............................................................................................................................................................................. 25

1.9 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 25

UNIDADE 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................................ 25

2.1 NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS ............................................................................................................................... 25

2.2 NÚMEROS RACIONAIS .................................................................................................................................................... 25

2.2.1 DECIMAIS E DÍZIMA PERIÓDICA .............................................................................................................................. 26

2.2.1.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 26

2.2.1.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 27

2

MatemáticaS U M Á R I O

2.2.1.3 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................................... 27

2.3 NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................................................................................................. 27

2.4 NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................................................... 27

2.5 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 28

UNIDADE 3 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO .................................................................................... 28

3.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 28

3.2 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................................................................... 29

3.2.1 PROPRIEDADES ............................................................................................................................................................... 29

3.3 RADICIAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 31

3.3.1 PROPRIEDADES ............................................................................................................................................................... 31

3.3.2 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 32

3.4 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 33

UNIDADE 4 - RAZÃO E PROPORÇÃO ................................................................................................. 33

4.1 RAZÃO ................................................................................................................................................................................... 33

4.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 34

4.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 34

4.2 PROPORÇÃO ........................................................................................................................................................................ 35

4.2.1 PROPORÇÃO E FRAÇÕES EQUIVALENTES ............................................................................................................. 35

4.2.2 PROPORÇÃO DIRETA ..................................................................................................................................................... 35

4.2.2.1 EXEMPLO ....................................................................................................................................................................... 36

4.2.3 PROPORÇÃO INVERSA .................................................................................................................................................. 36

4.3 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 37

UNIDADE 5 – PORCENTAGEM ............................................................................................................ 37

5.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 37

5.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 38

5.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 38

5.1.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 39

5.1.3.1 SOLUÇÃO ...................................................................................................................................................................... 39

5.1.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 39

5.1.4.1 SOLUÇÃO ...................................................................................................................................................................... 39

5.1.5 EXEMPLO 5 ...................................................................................................................................................................... 40

5.1.5.1 SOLUÇÃO ...................................................................................................................................................................... 40

5.1.6 EXEMPLO 6 ...................................................................................................................................................................... 40

5.1.6.1 DESCONTO EM PORCENTAGEM VERSUS DESCONTO EM UNIDADES MONETÁRIAS ....................... 41

5.1.6.2 SOLUÇÃO ...................................................................................................................................................................... 41

5.2 CALCULADORA – EXEMPLO 1 ..................................................................................................................................... 41

5.3 CALCULADORA – EXEMPLO 2 ..................................................................................................................................... 42

5.4 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 42

UNIDADE 6 – MÚLTIPLOS E DIVISORES .............................................................................................. 42

6.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 42

6.1.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 43

6.2 CONJUNTOS DOS DIVISORES E MÚLTIPLOS .......................................................................................................... 43

6.3 PROPRIEDADE TRANSITIVA ............................................................................................................................................ 43

6.4 NÚMEROS PRIMOS ........................................................................................................................................................... 44

6.5 NÚMEROS COMPOSTOS ................................................................................................................................................ 44


3

6.5.1 NÚMEROS COMPOSTOS MAIORES ......................................................................................................................... 45

6.5.2 ORDEM DOS FATORES ................................................................................................................................................. 45

6.6 MDC ....................................................................................................................................................................................... 46

6.6.1 CÁLCULO .......................................................................................................................................................................... 46

6.6.2 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI ..................................................................................................................................... 47

6.7 MMC ...................................................................................................................................................................................... 47

6.7.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 48

6.7.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 48

6.7.3 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 48

6.8 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 48

UNIDADE 7 – SISTEMAS DE MEDIDAS ................................................................................................ 49

7.1 TIPOS ..................................................................................................................................................................................... 49

7.2 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ...................................................................................................................................... 49

7.2.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 49

7.3 MEDIDAS DE MASSA ....................................................................................................................................................... 50

7.3.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 50

7.4 MEDIDAS DE TEMPO ....................................................................................................................................................... 50

7.4.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 50

7.5 MEDIDAS DE ÁREA ........................................................................................................................................................... 51

7.5.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 51

7.6 MEDIDAS DE CAPACIDADE ........................................................................................................................................... 51

7.6.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 52

7.7 MEDIDAS DE VOLUME ................................................................................................................................................... 52

7.7.1 RELAÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME .......................................................................................................... 52

7.8 CONVERSÃO ........................................................................................................................................................................ 52

7.9 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 53

UNIDADE 8 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ............................................................................................ 53

8.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 53

8.2 VALOR NUMÉRICO ........................................................................................................................................................... 53

8.2.1 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 54

8.3 TIPOS ..................................................................................................................................................................................... 54

8.4 TERMOS SEMELHANTES ................................................................................................................................................ 54

8.5 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 54

UNIDADE 9 – FATORAÇÃO ................................................................................................................. 55

9.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 55

9.2 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA ....................................................................................................................................... 55

9.2.1 EXEMPLOS 1 E 2 ............................................................................................................................................................. 56

9.2.2 EXEMPLOS 3 E 4 ............................................................................................................................................................. 56

9.3 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................................... 56

9.4 PRODUTOS NOTÁVEIS .................................................................................................................................................... 57

9.4.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 57

9.4.2 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 57

9.5 DIFICULDADE ..................................................................................................................................................................... 57

9.6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ................................................................................................................................................... 57

9.6.1 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 58

4


9.7 MULTIPLICAÇÃO ............................................................................................................................................................... 58

9.8 DIVISÃO ................................................................................................................................................................................ 58

9.8.1 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 59

9.9 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 59

UNIDADE 10 – CENÁRIO CULTURAL .................................................................................................. 59

10.1 FILME .................................................................................................................................................................................. 59

10.2 OBRA LITERÁRIA .............................................................................................................................................................. 59

10.3 OBRA DE ARTE ................................................................................................................................................................. 59

MÓDULO 2 ................................................................................................................................. 60

UNIDADE 1 – EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS ...................................................................................... 60

1.1 EQUAÇÃO ............................................................................................................................................................................ 60

1.1.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 60

1.1.2 CONCEITUAÇÃO ............................................................................................................................................................. 61

1.1.3 RAIZ .................................................................................................................................................................................... 61

1.1.4 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 62

1.1.5 - GRAUS ............................................................................................................................................................................. 62

1.1.6 EQUAÇÃO DO 1° GRAU ............................................................................................................................................... 63

1.1.6.1 RESOLUÇÃO ................................................................................................................................................................. 63

1.1.6.2 PROPRIEDADES MATEMÁTICAS ............................................................................................................................. 63

1.1.7 EQUAÇÃO DO 2 GRAU ................................................................................................................................................. 64

1.1.7.1 RESOLUÇÃO ................................................................................................................................................................. 64

1.1.7.2 COEFICIENTE C NULO .............................................................................................................................................. 65

1.1.7.3 FÓRMULA DE BHÁSKARA ....................................................................................................................................... 65

1.1.7.4 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 66

1.1.7.5 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 67

1.1.7.6 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 68

1.1.7.7 RESOLUÇÃO POR FATORAÇÃO .............................................................................................................................. 68

1.1.7.8 EXEMPLO 4 ................................................................................................................................................................... 68

1.1.7.9 RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES ...................................................................................................... 69

1.1.7.10 PROPRIEDADES ......................................................................................................................................................... 70

1.1.7.11 EXERCÍCIO ................................................................................................................................................................... 70

1.1.7.12 EXEMPLO 5 ................................................................................................................................................................. 71

1.1.7.12.1 RESOLUÇÃO ............................................................................................................................................................ 71

1.2 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 72

UNIDADE 2 – SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................... 72

2.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 72

2.2 SISTEMA COM DUAS E TRÊS VARIÁVEIS .................................................................................................................. 72

2.3 SISTEMA INDETERMINADO ........................................................................................................................................... 73

2.4 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO ........................................................................................................................................... 73

2.4.1 ADIÇÃO .............................................................................................................................................................................. 73

2.4.1.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 74

2.4.1.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 75

2.4.1.3 EXERCÍCIO ..................................................................................................................................................................... 75

2.4.1.4 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 75


5

2.4.1.5 EXEMPLO 4 ................................................................................................................................................................... 76

2.4.1.6 EXEMPLO 5 ................................................................................................................................................................... 76

2.4.2 SUBSTITUIÇÃO ............................................................................................................................................................... 77

2.4.2.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 77

2.4.2.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 77

2.4.2.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 78

2.4.2.4 EXEMPLO 4 ................................................................................................................................................................... 79

2.4.2.5 EXERCÍCIO ..................................................................................................................................................................... 80

2.4.2.5.1 RESOLUÇÃO .............................................................................................................................................................. 80

2.4.2.5.2 RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO ..................................................................................................................... 81

2.4.2.6 MAIS DE UMA SOLUÇÃO ........................................................................................................................................ 81

2.4.2.6.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................ 81

2.4.2.6.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................ 82

2.4.2.6.3 SISTEMA INDETERMINADO ................................................................................................................................. 82

2.4.2.7 SISTEMA IMPOSSÍVEL ............................................................................................................................................... 83

2.4.2.7.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................ 84

2.4.2.7.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................ 84

2.5 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 84

UNIDADE 3 – REGRA DE CRAMER ....................................................................................................... 85

3.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 85

3.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 85

3.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 86

3.1.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 87

3.2 TRÊS VARIÁVEIS E TRÊS EQUAÇÕES........................................................................................................................... 87

3.2.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 88

3.2.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 88

3.2.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 89

3.2.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 90

3.2.5 EXEMPLO 5 ...................................................................................................................................................................... 91

3.2.6 EXEMPLO 6 ...................................................................................................................................................................... 91

3.3 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 92

UNIDADE 4 – INEQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................... 92

4.1 EQUAÇÃO ............................................................................................................................................................................ 92

4.2 INEQUAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 92

4.3 INEQUAÇÃO ALGÉBRICA ................................................................................................................................................ 93

4.3.1 RESOLUÇÃO COM EQUAÇÃO ................................................................................................................................... 93

4.3.1.1 EXEMPLO ....................................................................................................................................................................... 93

4.3.1.2 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................................... 94

4.3.2 RESOLUÇÃO SEM EQUAÇÃO ..................................................................................................................................... 94

4.3.2.1 EXEMPLO ....................................................................................................................................................................... 95

4.4 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 95

UNIDADE 5 – REGRA DE TRÊS SIMPLES .............................................................................................. 95

5.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 95

5.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 96

5.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 96

6


5.1.3 PROPORCIONALIDADE ENTRE AUMENTO DAS GRANDEZAS ....................................................................... 97

5.1.4 PROPORCIONALIDADE ENTRE GRANDEZAS ........................................................................................................ 97

5.1.5 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 98

5.1.6 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 98

5.1.7 EXEMPLO 5 ...................................................................................................................................................................... 99

5.1.8 EXEMPLO 6 ...................................................................................................................................................................... 99

5.1.9 EXEMPLO 7 ...................................................................................................................................................................... 99

5.2 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 100

UNIDADE 6 – REGRA DE TRÊS COMPOSTA ...................................................................................... 100

6.1 CONCEITUAÇÃO .............................................................................................................................................................. 100

6.1.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 100

6.1.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 101

6.1.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 101

6.1.4 EXEMPLO 4 .................................................................................................................................................................... 102

6.1.5 EXEMPLO 5 .................................................................................................................................................................... 102

6.1.6 EXEMPLO 6 .................................................................................................................................................................... 103

6.1.7 EXEMPLO 7 .................................................................................................................................................................... 103

6.1.8 EXEMPLO 8 .................................................................................................................................................................... 103

6.1.9 EXEMPLO 9 .................................................................................................................................................................... 104

6.1.10 EXEMPLO 10 ............................................................................................................................................................... 104

6.1.11 EXEMPLO 11 ............................................................................................................................................................... 105

6.1.12 EXEMPLO 12 ............................................................................................................................................................... 105

6.1.13 EXEMPLO 13 ............................................................................................................................................................... 106

6.1.14 EXEMPLO 14 ............................................................................................................................................................... 106

6.1.15 EXEMPLO 15 ............................................................................................................................................................... 107

6.2 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 107

UNIDADE 7 – CENÁRIO CULTURAL ................................................................................................... 107

7.1 FILME .................................................................................................................................................................................. 107

7.2 OBRA LITERÁRIA .............................................................................................................................................................. 107

7.3 OBRA DE ARTE ................................................................................................................................................................. 107

MÓDULO 3 ............................................................................................................................... 108

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 108

UNIDADE 1 – PROGRESSÃO ARITMÉTICA ....................................................................................... 108

1.1 SEQÜÊNCIA NUMÉRICA ................................................................................................................................................ 108

1.1.1 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................ 109

1.2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA .......................................................................................................................................... 109

1.2.1 EXEMPLOS ...................................................................................................................................................................... 109

1.2.2 TIPOS ................................................................................................................................................................................ 110

1.2.3 EXEMPLOS ...................................................................................................................................................................... 110

1.2.4 TERMO GERAL ............................................................................................................................................................... 110

1.2.4.1 FÓRMULA .................................................................................................................................................................... 111

1.2.4.2 n-ÉSIMO TERMO ....................................................................................................................................................... 111

1.2.4.3 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................................. 111

1.2.4.4 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................. 111


7

1.2.4.5 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................112

1.2.5 SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS .......................................................................................................................112

1.2.5.1 PROPRIEDADE ............................................................................................................................................................113

1.2.5.2 FÓRMULA .................................................................................................................................................................... 113

1.2.5.3 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................114

1.2.5.4 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................114

1.2.5.5 EXERCÍCIO ...................................................................................................................................................................115

1.2.5.6 DESCOBERTA DE GAUSS ......................................................................................................................................115

1.2.6 SÍNTESE ........................................................................................................................................................................... 115

UNIDADE 2 – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ...................................................................................... 116

2.1 SEQÜÊNCIA NUMÉRICA ................................................................................................................................................116

2.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ........................................................................................................................................116

2.2.1 RAZÃO NEGATIVA ........................................................................................................................................................ 116

2.2.2 EXEMPLOS ......................................................................................................................................................................117

2.2.3 TIPOS ................................................................................................................................................................................ 117

2.2.4 TERMO GERAL ............................................................................................................................................................... 117

2.2.4.1 FÓRMULA .................................................................................................................................................................... 118

2.2.5 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................................... 118

2.2.6 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................118

2.2.7 SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS .......................................................................................................................119

2.2.7.1 PROPRIEDADE ............................................................................................................................................................120

2.2.7.2 FÓRMULA .................................................................................................................................................................... 120

2.2.7.3 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................121

2.2.8 SOMA DOS TERMOS ................................................................................................................................................... 121

2.2.9 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................................... 122

2.3 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 122

UNIDADE 3 – JUROS SIMPLES ........................................................................................................... 122

3.1 JUROS SIMPLES COMO PA ...........................................................................................................................................122

3.1.1 FÓRMULA .......................................................................................................................................................................122

3.1.2 CONCEITUAÇÃO ...........................................................................................................................................................123

3.1.3 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 123

3.1.4 EXERCÍCIO ......................................................................................................................................................................124

3.1.5 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 124

3.1.6 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 125

3.2 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 125

UNIDADE 4 – JUROS COMPOSTOS .................................................................................................. 125

4.1 JUROS COMPOSTOS COMO PG .................................................................................................................................125

4.1.1 FÓRMULA .......................................................................................................................................................................126

4.1.2 CONCEITUAÇÃO ...........................................................................................................................................................126

4.1.3 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................126

4.1.4 EXERCÍCIO ......................................................................................................................................................................127

4.2 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 127

UNIDADE 5 – MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ..................................................................................... 128

5.1 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................128

5.2 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................................................128

8


5.3 EXEMPLO 3 ........................................................................................................................................................................ 128

5.4 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ..................................................................................................................................... 129

5.4.1 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................................... 129

5.5 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 129

UNIDADE 6 – MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ............................................................................. 130

6.1 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................ 130

6.2 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................................................ 130

6.3 MÉDIA ARITMÉTICA PPONDERADA .......................................................................................................................... 131

6.3.1 EXERCÍCIO ...................................................................................................................................................................... 131

6.3.2 VARIÁVEIS ....................................................................................................................................................................... 131

6.3.3 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................ 131

6.3.3.1 DIFERENÇA ................................................................................................................................................................. 132

6.3.3.2 CÁLCULO CORRETO ................................................................................................................................................ 133

6.3.3.3 OUTRA FORMA DE CÁLCULO .............................................................................................................................. 133

6.4 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 133

UNIDADE 7 – MÉDIA HARMÔNICA ................................................................................................... 134

7.1 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................ 134

7.1.1 HARMÔNICO GLOBAL ............................................................................................................................................... 134

7.1.1.1 FÓRMULA .................................................................................................................................................................... 134

7.2 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................................................ 135

7.3 MÉDIA HARMÔNICA ...................................................................................................................................................... 135

7.3.1 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................ 135

7.3.2 MÉDIA HARMÔNICA PONDERADA ........................................................................................................................ 136

7.3.2.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................. 136

7.3.2.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................. 136

7.3.2.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................. 137

7.3.2.4 CONCEITUAÇÃO ....................................................................................................................................................... 138

7.3.2.5 EXEMPLO 4 ................................................................................................................................................................. 138

7.4 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 138

UNIDADE 8 – MÉDIA GEOMÉTRICA .................................................................................................. 139

8.1 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................ 139

8.2 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................................................ 139

8.3 EXEMPLO 3 ........................................................................................................................................................................ 140

8.4 EXEMPLO 4 ........................................................................................................................................................................ 140

8.5 EXEMPLO 5 ........................................................................................................................................................................ 141

8.6 FÓRMULA .......................................................................................................................................................................... 141

8.7 MÉDIA ARITMÉTICA VERSUS MÉDIA GEOMÉTRICA ............................................................................................ 141

8.7.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 142

8.7.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 142

8.7.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 143

8.8 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 143


9.1 FILME .................................................................................................................................................................................. 143

9.2 OBRA LITERÁRIA .............................................................................................................................................................. 143

9.3 OBRA DE ARTE ................................................................................................................................................................. 143


9

MÓDULO 4 ............................................................................................................................... 144

APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................................144

UNIDADE 1 – FUNÇÕES ELEMENTARES DE 1° E 2° GRAUS ............................................................... 144

1.1 EXPRESSÃO ALGÉBRICA ...............................................................................................................................................144

1.1.1 VARIÁVEIS .......................................................................................................................................................................144

1.1.2 EXPRESSÕES DE UMA VARIÁVEL ........................................................................................................................... 145

1.2 EQUAÇÃO ..........................................................................................................................................................................145

1.2.1 VALOR NUMÉRICO ...................................................................................................................................................... 145

1.3 CORRESPONDÊNCIA .......................................................................................................................................................146

1.3.1 EXEMPLOS ......................................................................................................................................................................146

1.3.2 CONDIÇÕES PARA FUNÇÃO ..................................................................................................................................... 147

1.3.3 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 149

1.3.4 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 150

1.3.5 EXERCÍCIO ......................................................................................................................................................................150

1.4 SEM CORRESPONDÊNCIA ............................................................................................................................................ 150

1.5 COM CORRESPONDÊNCIA ...........................................................................................................................................151

1.5.1 FUNÇÃO ..........................................................................................................................................................................151

1.5.2 FUNÇÃO DO 1º GRAU ................................................................................................................................................152

1.5.2.1 EXEMPLOS .................................................................................................................................................................. 152

1.5.2.2 FUNÇÃO CRESCENTE ..............................................................................................................................................153

1.5.2.3 FUNÇÃO DECRESCENTE ........................................................................................................................................153

1.5.2.4 FUNÇÃO CONSTANTE .............................................................................................................................................154

1.5.2.5 FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................................................................................................ 154

1.5.2.6 RAIZ ...............................................................................................................................................................................155

1.5.2.7 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................155

1.5.2.8 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................156

1.5.2.9 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................156

1.5.3 FUNÇÃO DO 2º GRAU ................................................................................................................................................157

1.5.3.1 RAIZ ...............................................................................................................................................................................157

1.5.3.2 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................158

1.5.3.3 EXERCÍCIO ...................................................................................................................................................................158

1.5.3.4 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................159

1.5.3.5 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................159

1.5.3.6 EXEMPLO 4 .................................................................................................................................................................160

1.5.3.7 EXEMPLO 5 .................................................................................................................................................................161

1.6 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 161

UNIDADE 2 – SISTEMA CARTESIANO ............................................................................................... 161

2.1 OBJETIVO ........................................................................................................................................................................... 161

2.2 PLANO CARTESIANO ...................................................................................................................................................... 162

2.3 PAR ORDENADO ..............................................................................................................................................................163

2.4 GRÁFICO DA CORRESPONDÊNCIA ............................................................................................................................164

2.5 GRÁFICO DA FUNÇÃO ..................................................................................................................................................166

2.5.1 RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO ....................................................................................................................................167

2.5.2 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 167

2.5.3 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 168

10


2.5.4 FUNÇÃO REAL ............................................................................................................................................................... 169

2.5.5 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 171

2.5.6 EXEMPLO 4 .................................................................................................................................................................... 171

2.5.7 EXEMPLO 5 .................................................................................................................................................................... 172

2.5.8 EXEMPLO 6 .................................................................................................................................................................... 173

2.5.9 EXEMPLO 7 .................................................................................................................................................................... 174

2.5.10 EXEMPLO 8 .................................................................................................................................................................. 175

2.5.11 EXEMPLO 9 .................................................................................................................................................................. 176

2.5.12 EXEMPLO 10 ............................................................................................................................................................... 177

2.5.13 CONCAVIDADE DA PARÁBOLA ............................................................................................................................. 178

2.5.14 MÍNIMO E MÁXIMO ................................................................................................................................................. 178

2.5.15 VÉRTICE DA PARÁBOLA .......................................................................................................................................... 179

2.5.16 NÚMERO DE RAÍZES ................................................................................................................................................ 179

2.5.17 VALOR DO DELTA ...................................................................................................................................................... 180

2.6 SÍNTESE ............................................................................................................................................................................. 180

UNIDADE 3 – FUNÇÃO INVERSA ...................................................................................................... 181

3.1 CONDIÇÕES PARA FUNÇÃO ........................................................................................................................................ 181

3.2 LEI DE CORRESPONDÊNCIA ........................................................................................................................................ 181

3.3 CORRESPONDÊNCIA INVERSA ................................................................................................................................... 182

3.4 VIOLAÇÃO DA SEGUNDA CONDIÇÃO .................................................................................................................... 182

3.4.1 FUNÇÃO INJETORA ..................................................................................................................................................... 183

3.4.1.1 EXEMPLOS .................................................................................................................................................................. 183

3.5 VIOLAÇÃO DA PRIMEIRA CONDIÇÃO ...................................................................................................................... 183

3.5.1 FUNÇÃO SOBREJETORA ............................................................................................................................................ 184

3.5.1.1 EXEMPLOS .................................................................................................................................................................. 184

3.5.2 FUNÇÃO BIJETORA ...................................................................................................................................................... 184

3.5.2.1 EXEMPLOS .................................................................................................................................................................. 185

3.5.2.2 FUNÇÃO INVERSA .................................................................................................................................................... 185

3.5.2.3 Y EM FUNÇÃO DE X ................................................................................................................................................. 185

3.5.2.4 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................. 186

3.5.2.4.1FUNÇÃO INVERSA .................................................................................................................................................. 186

3.5.2.4.2 BISSETRIZ ................................................................................................................................................................. 187

3.5.2.5 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................. 187

3.5.2.5.1 FUNÇÃO INVERSA ................................................................................................................................................. 188

3.5.2.5.2 BISSETRIZ ................................................................................................................................................................. 188

3.6 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 188

UNIDADE 4 – FUNÇÃO EXPONENCIAL ............................................................................................. 189

4.1 CONCEITUAÇÃO .............................................................................................................................................................. 189

4.1.1 EXEMPLOS ...................................................................................................................................................................... 189

4.1.2 BASE NEGATIVA ............................................................................................................................................................ 189

4.1.3 BASE IGUAL A 1 ........................................................................................................................................................... 190

4.1.4 PROPRIEDADES ............................................................................................................................................................. 190

4.1.5 CRESCIMENTO EXPONENCIAL ................................................................................................................................ 190

4.1.6 GRÁFICO .......................................................................................................................................................................... 191

4.1.7 PAR ORDENADO (0,1) .................................................................................................................................................. 192


11

4.1.8 x NEGATIVO ...................................................................................................................................................................192

4.1.9 BASE ENTRE 0 E 1 ........................................................................................................................................................ 193

4.1.10 GRÁFICO .......................................................................................................................................................................193

4.1.11 SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO y .................................................................................................................... 194

4.2 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 194

UNIDADE 5 – LOGARITMO ............................................................................................................... 194

5.1 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................194

5.2 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................................................195

5.3 CONCEITUAÇÃO ..............................................................................................................................................................195

5.4 EXEMPLOS ......................................................................................................................................................................... 195

5.5 LOGARITMO VERSUS FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................... 196

5.6 PRIMEIRA PROPRIEDADE ..............................................................................................................................................196

5.6.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 196

5.6.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 197

5.7 SEGUNDA PROPRIEDADE .............................................................................................................................................198

5.8 TERCEIRA PROPRIEDADE ..............................................................................................................................................198

5.9 PROPRIEDADES ................................................................................................................................................................199

5.10 QUARTA PROPRIEDADE ..............................................................................................................................................199

5.10.1 EXEMPLO ......................................................................................................................................................................200

5.11 NOÇÃO DE APRENDIZAGEM ....................................................................................................................................200

5.11.1 CURVA DE APRENDIZAGEM ..................................................................................................................................201

5.11.1.1 EXEMPLO 1 ............................................................................................................................................................... 201

5.11.1.2 EXEMPLO 2 ............................................................................................................................................................... 202

5.11.1.3 EXEMPLO 3 ............................................................................................................................................................... 203

5.12 RETORNO MÉDIO DE INVESTIMENTO .................................................................................................................. 203

5.12.1 PRIMEIRA ABORDAGEM .......................................................................................................................................... 203

5.12.2 SEGUNDA ABORDAGEM ........................................................................................................................................204

5.12.3 COM LOGARITMO .....................................................................................................................................................205

5.13 ESCALA LOGARÍTMICA ...............................................................................................................................................205

5.13.1 GRÁFICO .......................................................................................................................................................................206

5.13.1.1 APLICAÇÕES ............................................................................................................................................................. 206

5.13.1.2 LINEARIZAÇÃO ........................................................................................................................................................ 207

5.13.1.3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS ...................................................................................................................................208

5.13.1.3.1 EXEMPLO 1 ...........................................................................................................................................................208

5.13.1.3.2 EXEMPLO 2 ...........................................................................................................................................................209

5.13.1.3.3 EXEMPLO 3 ...........................................................................................................................................................209

5.13.1.3.4 EXEMPLO 4 ...........................................................................................................................................................210

5.13.1.3.5 EXEMPLO 5 ...........................................................................................................................................................210

5.14 SÍNTESE ............................................................................................................................................................................210


6.1 FILME ..................................................................................................................................................................................210

6.2 OBRA LITERÁRIA ..............................................................................................................................................................210

6.3 OBRA DE ARTE .................................................................................................................................................................210

12


MÓDULO 5 – ENCERRAMENTO .............................................................................................. 211

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 211

CONCLUSÃO DO TRABALHO ........................................................................................................... 211

AVALIAÇÃO .............................................................................................................................................................................. 211

FECHAMENTO ......................................................................................................................................................................... 211

ANEXO ..................................................................................................................................... 212

PREENCHENDO O QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO .................................................................................................. 212

Matemática

13

ABERTURA

ABERTURA

APRESENTAÇÃO

A Matemática é a ciência que tem por objeto de estudo as relações entre os números, as formas,

as grandezas e as operações entre estes elementos.

ANTES DE COMEÇAR

Assista, no ambiente on-line, a um desenho animado.

OBJETIVO E CONTEÚDO

Este material didático de auto-estudo de Matemática é voltado à consulta e solução de dúvidas

relativas a problemas matemáticos do cotidiano, informações numéricas, e elaboração e

interpretação de gráficos.

Este será um trabalho intensivo, pois você terá pouco tempo de estudo.

Sob esse foco, este material foi estruturado em cinco módulos, nos quais foi inserido o seguinte

conteúdo...

Módulo 1

unidade 1: frações

unidade 2: conjuntos numéricos

unidade 3: potenciação e radiciação

unidade 4: razão e proporção

unidade 5: porcentagem

unidade 6: múltiplos e divisores

unidade 7: sistemas de medidas

unidade 8: expressões algébricas

unidade 9: fatoração

Módulo 2

unidade 1: equações de 1° e 2° graus

unidade 2: sistema de equações lineares

unidade 3: regra de Cramer

unidade 4: inequações lineares

unidade 5: regra de três simples

unidade 6: regra de três composta

Observação: este material não dá acesso direto à Graduação Tecnológica em

Processos Gerenciais. Ele faz parte de um programa de preparação para o processo

seletivo.

MatemáticaABERTURA

14

Módulo 3

unidade 1: progressão aritmética

unidade 2: progressão geométrica

unidade 3: juros simples

unidade 4: juros compostos

unidade 5: média aritmética simples

unidade 6: média aritmética ponderada

unidade 7: média harmônica

unidade 8: média geométrica

Módulo 4

unidade 1: funções elementares de 1° e 2° graus

unidade 2: sistema cartesiano

unidade 3: função inversa

unidade 4: função exponencial

unidade 5: logaritmo

Módulo 5 – Encerramento

ATIVIDADES

Aqui foi definido o seguinte tipo de atividade...

Exercícios de fixação: cujo objetivo é possibilitar que você verifique até que ponto

apreendeu o conteúdo tratado no módulo. Essas tarefas são constituídas de questões

objetivas devidamente gabaritadas, além de questões subjetivas que visam à fixação

dos conteúdos dos módulos.

SEÇÕES

Aqui você poderá navegar pelas seguintes seções...

área de estudos – aqui você terá acesso ao material didático de auto-estudo – aos

módulos, às unidades e às seções, onde está estruturada a parte teórica –, além das orientações

para os exercícios de fixação. Pela área de estudos, você também poderá acessar os seguintes

recursos...

biblioteca virtual – esta área funciona como um centro de recursos multimídia. Neste

espaço, ficarão a sua disposição as questões colocadas com mais freqüência pelos alunos que já

fizeram esta disciplina, verbetes, biografias, textos, estudos de caso, indicações de filmes, sites...

sala de aula – por ser este espaço interativo, você poderá interagir com os demais

candidatos e tirar possíveis dúvidas de conteúdo com o Professor-Tutor.

Matemática

15

ABERTURA

MATERIAL

Aqui você terá acesso aos seguintes materiais via web...

§ textos teóricos relativos à temática tratada;

§ atividades diversas;

§ jogos didáticos;

§ vídeos e desenhos animados;

§ textos complementares de diversos tipos;

§ biografias das pessoas citadas nos textos;

§ verbetes de termos técnicos, conceitos, processos...

§ links para diversos sites;

§ modelos específicos de documentos.

Todos os direitos reservados. A reprodução não autorizada deste material, no todo ou em parte,

constitui violação do copyright – Lei nº 9.610/98. Em relação às imagens que compõem as diferentes

telas, ou elas foram criadas pelo FGV Online ou foram capturadas no Corel Gallery™Gallery 1.3

Million, tendo sido a titularidade dos direitos autorais assim definida: Direitos Autorais/Copyright

(c) 1999 FGV Online e seus licenciantes. Em relação aos desenhos animados, eles foram criados pela

AB2 Comunicação e por Rodrigo Padua, a partir de roteiros criados pelo FGV Online.

BIBLIOGRAFIA

DOLCE, O.; IEZZI, G. MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 2, 9ª. Ed., São Paulo:

Editora Atual, 2004.

HAZZAN, S.; IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1, 8ª Ed., São Paulo: Editora Atual,

2004.

LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1, São Paulo: Editora Harbra, 1994.

MUNEM, M.; FOULIS, D. Cálculo, Vol. 1, Rio de Janeiro: Editora LTC, 1982.

TAHAN, M. O homem que calculava, 22ª Ed., Rio de Janeiro: Record, 1998.

WEBER, J. Matemática para Economia e Administração, 2ª Ed., São Paulo: Editora Harbra, 2001.

Sites:

http://www.exatas.hpg.ig.com.br

http://www.somatematica.com.br

MatemáticaABERTURA

16

NAVEGAÇÃO

O Moodle é um sistema de aprendizado baseado na web, criado para atividades individuais, em

equipe ou orientadas por um Professor-Tutor. Todo o trabalho on-line é feito por meio de um

browser.

A maioria das atividades é inserida na área de estudos. Desta seção, você poderá se dirigir a

outras seções, tais como a sala de aula – para interagir com seu Professor-Tutor – ou a biblioteca

virtual – para ler ou consultar um material.

Para acessar o material didático de auto-estudo, clique no botão . A seguir, clique no material

que lhe interessa para exibir seu conteúdo programático na janela à direita. Nesta seção, você

acessará o conteúdo teórico disponibilizado e as atividades propostas. Para acessar a biblioteca

virtual, clique em , na barra de ferramentas.

Para acessar, adequadamente, este material, você deverá observar a seqüência em que as seções

foram organizadas. Para isso, fique atento, ao final de cada seção, às seguintes possibilidades de

navegação...

§ navegação a partir dos botões específicos da disciplina, localizados na barra de

ferramentas, na base das telas;

§ navegação a partir da função back/retorna do browser.

Para acompanhar a seqüência de telas, em qualquer seção, é suficiente clicar no botão ,

localizado na base de cada tela.

Por meio dos botões que aparecem na barra inferior de tarefas, você poderá locomover-se,

livremente, revendo textos, exercícios...

Na base da tela, você encotra uma barra de controle...

Arrastando este botão, você controla o ritmo da tela.

Quando você encontrar palavras sublinhadas, você terá a opção de clicar sobre elas para ter

acesso a mais informações sobre seu conteúdo. Ao final, basta clicar no botão da caixa aberta

para fechá-la.

Quando aparecer o ícone ao lado , você terá acesso a exercícios que suscitam a prática

da leitura e da escrita.

Ao final de algumas seções, indicamos alguns materiais que complementam o conteúdo que

está sendo trabalhado.

Matemática

17

ABERTURA

Clique no ícone para acessar as informações disponibilizadas. Algumas palavras aparecem

marcadas na tela. Clique nelas para ter acesso a mais informações sobre seu conteúdo. Ao terminar

qualquer consulta a esses materiais complementares, clique em back/retorna, na barra superior

de ferramentas do browser.

PROFESSOR-AUTOR

Rodrigo Leone é professor do Mestrado Profissional em Administração da

Universidade Potiguar – RN – e dos cursos de MBA do IBMEC Business School

– RJ – nas disciplinas Métodos Quantitativos, Finanças Corporativas e Previsão

de Vendas. É autor de cursos para o Programa de Certificação de Qualidade da

FGV – RJ – e para o FGV Online. Sócio-diretor da Quick Finanças Pessoais e

diretor da E & B Participações Sociedade Civil Ltda., presta consultoria e

assessoria em Gestão Empresarial. É Professor visitante da Universidad Carlos

III de Madrid e professor visitante da École Superieure des Affaires de Grenoble,

França. É autor dos livros Dicionário de custos, publicado pela Editora Atlas e

Os 12 mandamentos da gestão de custos, a ser publicado pela FGV Editora, e de vários artigos

publicados em revista científicas nacionais e internacionais.

EQUIPE DE PRODUÇÃO

Rodrigo Leone – Professor-Autor

Coordenação

Prof. Stavros Panagiotis Xanthopoylos – Diretor Geral

Profª. Elisabeth Silveira – Coordenadora Pedagógica

Profª. Mary Murashima – Coordenadora da Área de Produção

Andréa Rabello – Coordenadora Adjunta da Área de Produção

Profª. Maristela Rivera – Coordenadora da Área de Recursos

Sandro Bonadia – Coordenador Adjunto da Área de Recursos

Profª. Claudia Capello – Coordenadora de Tutoria e Turmas

Profª. Marta Costa Rego – Coordenadora Adjunta de Tutoria e Turmas

Aloysio Bezerra – Coordenador de Operações

João Carlos Freitas – Coordenador de Tecnologia

Profª. Sophia Pimenta – Coordenadora de E-Learning

Felipe Spinelli – Coordenador de Marketing

Prof. Beethoven Barreto Alvarez – Coordenador de Integração

Operações

Ângela Campos – Suporte Operacional

Gustavo Silva Villela – Suporte Operacional

Rita Filippo – Suporte Operacional

MatemáticaABERTURA

18

Produção

Adriana Corrêa – Designer Gráfico

Alessandra Maia – Instructional Designer Trainee

Carlos Gonçalves – Supervisor de Design

Carolina Mendonça – Supervisora de Instructional Design

Daiane de Oliveira Silva – Instructional Designer Trainee

Fábio Baptista de Oliveira – Instructional Designer Trainee

Felipe Acioli – Supervisor de Vídeo

Felippe Esteves – Diagramador

Flávia Lourenço – Instructional Designer Trainee

Jaime Dias e Silva – Instructional Designer Trainee

Juliana Serpes – Designer Gráfico

Maria Clara Antonio Jeronimo – Instructional Designer Trainee

Maria Clara Pontes – Instructional Designer Trainee

Marina Morani – Supervisora de Biblioteca

Miguel Gonçalves Castilho de Azevedo – Instructional Designer Trainee

Orebe Quaresma – Instructional Designer Trainee

Patricia Simões Rosa – Supervisora de Atividades

Renata Pontes – Instructional Designer Trainee

Renata Vasques – Instructional Designer Jr.

Rodrigo Padua – Supervisor de Animação

Tatiana Bernacci Sanchez – Supervisora de Diagramação

Tatiany Pessoa – Instructional Designer Jr.

SUPORTE

Caso você tenha qualquer dúvida sobre questões administrativas ou financeiras, em relação a

pagamento, trancamento, emissão de boleto, etc., entre em contato com a Secretaria Acadêmica

dos cursos do FGV Online pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (21) 2197-5100...

Caso sua dúvida seja sobre a utilização do programa, clique no ícone , na barra de ferramentas.

Nesse momento, será aberta uma janela de ajuda com vários itens. Selecione aquele a que se

refere sua questão. Caso não consiga esclarecê-la, entre em contato com o suporte técnico do

FGV Online, pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (21) 2197-5050...

§ de segunda a sexta-feira, das 9h às 22h30min;

§ aos sábados e aos domingos, das 9h às 18h.

Lembre-se...

Estamos aqui, no FGV Online, prontos para ajudá-lo a realizar bem este trabalho!

Bom trabalho...

Matemática

19

M Ó D U L O 1

MÓDULO 1

APRESENTAÇÃO

O módulo 1, que se inicia agora, está dividido em nove unidades...

§ frações;

§ conjuntos numéricos;

§ potenciação e radiciação;

§ razão e proporção;

§ porcentagem;

§ múltiplos e divisores;

§ sistemas de medidas;

§ expressões algébricas;

§ fatoração.

Vamos lá?

UNIDADE 1 – FRAÇÕES

1.1 CONCEITUAÇÃO

Olhe para a pizza.

Como ela foi dividida em 8 pedaços,

dizemos que cada pedaço é uma

oitava parte da pizza, ou, então, que

cada pedaço é um oitavo da pizza.

Essa parte da pizza é escrita,

matematicamente, como 1 / 8, isto é, 1

divido por 8.

Formalmente, uma fração é uma parte ou algumas partes do inteiro.

Por exemplo, cada menino comeu duas frações iguais a 1 / 8 da pizza. A pizza, nesse caso, é o

inteiro.

Chamamos o número de cima da fração de numerador e o de baixo de denominador.

MatemáticaM Ó D U L O 1

20

1.1.1 EXEMPLO

Mais ainda...

Cada menino comeu duas vezes 1 / 8 da pizza.

Dessa forma, cada menino comeu 2 / 8 da pizza, ou, ainda, 1 / 4 da pizza.

1.2 FRAÇÕES EQUIVALENTES

A garçonete poderia ter dividido a pizza em 4 partes iguais.

Cada menino comeria uma dessas partes.

O resultado seria o mesmo!

2 / 8 e 1 / 4 são frações equivalentes.

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte de um todo.

1.2.1 SIMPLIFICAÇÃO DAS CONTAS

As frações 1 / 3, 2 / 6 e 4 / 12 são equivalentes.

Isso é de extrema importância para simplificarmos nossas

contas.

Vendo apenas o lado matemático do processo, temos que...

Ou seja, podemos cancelar os quatros que estão embutidos no numerador e no denominador.

1.2.2 EXEMPLOS

Vejamos outros exemplos de simplificação de frações...

� � �

� � ��

�

��

��

�

��

�

��

��

��

�

��

��

�

��

�

�

Matemática

21

M Ó D U L O 1

1.3 LEITURA

Vejamos como se lê uma fração...

1.4 ADIÇÃO

Você se lembra de como somar, subtrair, multiplicar ou dividir frações?

Vamos primeiro relembrar a adição...

Adição com denominadores iguais

Adição com denominadores diferentes

*


22

1.4.1 EXERCÍCIO

Há uma questão sobre esse assunto proposta no ambiente on-line. Não deixe de resolvê-la!

1.4.2 MAIS DE DUAS FRAÇÕES

Se você tiver de somar ou subtrair mais de duas frações, não tem segredo...

1.4.2.1 EXERCÍCIO

Não deixe de resolver a questão proposta no ambiente on-line.

1.5 MULTIPLICAÇÃO

Vejamos agora como multiplicar frações...

Esse resultado ainda pode ser simplificado. Veja...

Observe que multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

*MMC...

Atenção!

Nem sempre o MMC dos denominadores é igual ao produto entre eles. Veja só...

3/4 + 5/6 = ?

O MMC de 4 e 6 é 12. Assim, nossa expressão é equivalente a...

9/12 + 10/12 = 19/12

��

� ��

�

�

�

� � �

��

�

��

��

��

� � �

��

�

��

��

��

� � �

��

�

��

Matemática

23

M Ó D U L O 1

1.5.1 EXERCÍCIOS

Não deixe de resolver as questões propostas no ambiente on-line.

1.5.2 DENOMINADORES DIFERENTES

Quando o denominador não for o mesmo nas duas frações, não é preciso encontrar o MMC dos

denominadores.

Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador da mesma maneira

que fizemos anteriormente.

Por exemplo...

1.5.3 MAIS DE DUAS FRAÇÕES

Se você tiver de multiplicar mais de duas frações, não tem segredo...

1.5.3.1 EXERCÍCIOS



24

1.6 DIVISÃO

Das quatro operações, só falta vermos a divisão...

Dividir frações é o mesmo que multiplicá-las por sua inversa. Dessa forma...

1.7 FRAÇÕES PRÓPRIAS VERSUS FRAÇÕES IMPRÓPRIAS

É de se esperar que uma fração possua sempre o numerador menor do que o denominador.

Chamamos essas frações de frações próprias.

Claro! Afinal, como é que vamos distribuir 9 pedaços de uma pizza que foi dividida em

8 pedaços apenas?

Na prática, isso não é possível, a menos que tivéssemos outra pizza.

Contudo, matematicamente, isso pode acontecer – uma fração pode possuir o numerador maior

do que o denominador.

Nesses casos, chamamos a fração de fração imprópria, justamente porque isso não é o normal.

1.7.1 FRAÇÃO IMPRÓPRIA

Quando a fração for imprópria, podemos denotá-la da seguinte forma...

Esses números são chamados de números mistos.

1.7.1.1 EXERCÍCIO


��

Matemática

25

M Ó D U L O 1

1.8 EXEMPLO

Vejamos como dividir um bolo em 8 partes iguais com apenas 3 cortes!

Notou como é simples?

Primeiro dividimos o bolo ao meio. Em seguida, partimos as duas partes ao meio novamente. Por

fim, dividimos as quatro partes ao meio de novo, mas, desta vez, cortando na horizontal.

1.9 SÍNTESE

Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.

UNIDADE 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

2.1 NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS

Conjunto dos números naturais...

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos números inteiros...

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Você está vendo que o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números

inteiros?

2.2 NÚMEROS RACIONAIS

Conjunto dos números racionais...

Q = {a/b, em que a, b Z, b 0}

Ou seja...

Q = {a/b, em que a e b pertencem a Z, com b de 0}

Esse conjunto contém todos os números que podem ser escritos em forma de fração.


26

Como um inteiro qualquer pode ser escrito em forma de fração, todo número inteiro é um

número racional.

2.2.1 DECIMAIS E DÍZIMA PERIÓDICA

Há alguns números racionais bem interessantes – os decimais e aqueles que possuem uma

dízima periódica*.

Por exemplo...

2.2.1.1 EXEMPLO 1

Você sabe como transformar uma dízima periódica em fração?

Vamos relembrar!

Como escrever 0,8888... em forma de fração?

*dízima periódica...

Número decimal, em que certo número de algarismos se repete, periódica e

indefinidamente, na mesma ordem.

- 4 =- 4

1

Matemática

27

M Ó D U L O 1

2.2.1.2 EXEMPLO 2

Vejamos outro exemplo...

Como transformar 2,4545... em fração?

O que está por trás do raciocínio é a multiplicação do valor original por 10, 100, 1.000 ou qualquer

outro múltiplo de 10, de forma a deixar, depois da vírgula, números semelhantes.

No primeiro caso, tivemos 8888... e, no segundo, 4545...

2.2.1.3 EXERCÍCIOS


2.3 NÚMEROS IRRACIONAIS

Conjunto dos números irracionais...

I = {x, x não pode ser expresso na forma de fração}

Vejamos alguns exemplos...

2.4 NÚMEROS REAIS

Conjunto dos números reais...

R = Q U I

Ou seja…

R = Q U I

π 2 3


28

Perceba, finalmente, que N está contido em Z...

...que está contido em Q...

...que está contido em R.

2.5 SÍNTESE


UNIDADE 3 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

3.1 CONCEITUAÇÃO

Potenciação e radiciação são operações matemáticas.

Com certeza, você as conhece, mas talvez não pelos nomes de batismo.

Potenciação acontece quando temos um número elevado a outro número natural, que

chamamos de potência.

Radiciação é uma generalização da potenciação... A potência pode ser um número racional.

23 4

Matemática

29

M Ó D U L O 1

3.2 POTENCIAÇÃO

Vamos à definição de potenciação...

Seja a um número real e n um número natural. Definimos a n-ésima potência de a como...

Outras definições para um número real a e um número natural n...

3.2.1 PROPRIEDADES

Vejamos agora as propriedades da potenciação...

�

��

��

��

� ��

��

�

��

*

*Podemos entender essa propriedade como um exemplo da primeira.

Veja só...

am : an = am x = am x a(-n) = a(m - n)1

an


30

Matemática

31

M Ó D U L O 1

3.3 RADICIAÇÃO

Vamos à definição de radiciação...

Seja um número real a e um número natural n 2.

A raiz n-ésima de a é um número real r, tal que...

Se n for par, a deve ser positivo. Caso contrário, não existirá r, satisfazendo à definição. Veja...

Dessa forma, por definição, devemos ter r2 = -3.

Ora, um número ao quadrado nunca será negativo!

3.3.1 PROPRIEDADES

Agora vejamos as propriedades da radiciação...

-3 = r


32

3.3.2 EXEMPLOS

Lembra-se de quando eu disse que a radiciação era uma generalização da potenciação*?

Dessa maneira, todas as propriedades de potenciação e radiciação são equivalentes...

*radiciação é uma generalização da potenciação...

Com base nessa propriedade, temos um número elevado a uma fração.

Matemática

33

M Ó D U L O 1

3.4 SÍNTESE


UNIDADE 4 - RAZÃO E PROPORÇÃO

4.1 RAZÃO

A razão entre dois números a e b, com b 0, é o quociente – fração – dado por a/b.

Por exemplo...

Em uma sala de aula, existem 20 meninos e 15 meninas. A razão entre meninos e meninas é de

20/15, ou, ainda, 4/3.

Isto é, para cada 4 meninos, existem 3 meninas.

A fração 4/3 é equivalente à fração 20/15.


34

4.1.1 EXEMPLO 1

Existem algumas aplicações interessantes para o conceito de razão. Por exemplo, a leitura de

escalas...

Ao abrir um atlas com o mapa do Brasil, você percebe, no cantinho da página, a escala 1:400M.

Isso significa que cada 1 centímetro medido equivale a 400 milhões de centímetros em escala

real.

Portanto, se, no mapa, você mediu a distância entre a cidade do Rio de Janeiro e a cidade de São

Paulo, e obteve 1 cm...

...você deve concluir que a distância real entre essas cidades é de 400 milhões de

centímetros, ou seja, 400 Km.

4.1.2 EXEMPLO 2

Densidade demográfica é outro exemplo de aplicação do conceito de razão...

O Brasil tem 8.547.403 km² de área. A população brasileira, em 2003, era estimada em

170 milhões de habitantes. Dessa forma, para cada km² de área, tínhamos 19,89

habitantes.

Essa é a densidade demográfica do Brasil – 19,89 habitantes por km². Obtivemos esse

valor dividindo 170 milhões de habitantes por 8.547.403 km² de área.

O Japão, por sua vez, tem uma área de 377.864 km² e, em 2001, tinha uma população

estimada em 127,3 milhões. Dessa forma, sua densidade demográfica, naquele ano,

era de 336,89 habitantes por km². Bem maior que a do Brasil...

Matemática

35

M Ó D U L O 1

4.2 PROPORÇÃO

Vamos estudar agora a proporção!

Você percebeu que esses retângulos são proporcionais?

Quatro números racionais – a, b, c e d –, diferentes de zero, estão em proporção quando…

a e c são chamados antecedentes da proporção, enquanto que b e d são chamados

conseqüentes da proporção.

A razão entre a e b, que é equivalente à razão entre c e d, é um número k chamado de constante

de proporcionalidade da razão.

4.2.1 PROPORÇÃO E FRAÇÕES EQUIVALENTES

Fácil, não? Proporção é o mesmo que frações equivalentes. São, inclusive, conceitos que se

sobrepõem. Esse conceito servirá de base para nosso estudo de regra de três*.

4.2.2 PROPORÇÃO DIRETA

Vejamos um exemplo...

Um carro percorre 5 km a cada 10 minutos.

Um carro percorre 10 km a cada 20 minutos.

Um carro percorre 15 km a cada 30 minutos e assim por diante.

*regra de três...

É uma regra ou um procedimento para descobrir o valor de uma incógnita com

base no valor de outras variáveis predeterminadas. Existem dois tipos de regra

de três: a simples e a composta.


36

Nesse exemplo, as razões equivalentes são 5/10, 10/20 e 15/30. A igualdade entre elas é a

proporção...

O resultado de qualquer um dos quocientes é a constante de proporcionalidade da razão. Nesse

caso, ela vale 0,5 km por minuto.

As grandezas distância percorrida e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois sempre

que uma delas aumenta, a outra também aumenta, mantendo a proporção. A proporção encontrada

é uma proporção direta.

4.2.2.1 EXEMPLO


Uma hidrelétrica possui duas turbinas, cada uma com vazão igual a 700 metros cúbicos

por segundo, ou seja, a cada segundo, passam 700.000 litros de água por cada uma

dessas turbinas.

Esse valor é a constante de proporcionalidade da razão entre litros e segundos na turbina.

Basta fazer uma simples conta para concluirmos que, após 1 minuto (= 60 segundos), terão

passado 42 milhões de litros de água (= 60 x 700.000).

Essas grandezas são diretamente proporcionais.

É água que não acaba mais...

4.2.3 PROPORÇÃO INVERSA

A Mega-Sena, com prêmio acumulado de R$ 24 milhões, foi sorteada. Houve apenas um ganhador,

que levou para casa o prêmio inteiro.

Se houvesse 2 ganhadores, cada um levaria para casa R$ 12 milhões.

Havendo 3 ganhadores, cada um levaria R$ 8 milhões.

Havendo 12 ganhadores, cada um levaria apenas R$ 2 milhões para casa.

5 10 15

10 20 30= =

Perceba que a proporção, nesse caso, é inversa! O aumento do número de

ganhadores diminui o prêmio individual na mesma proporção...

Matemática

37

M Ó D U L O 1

Quando o número de ganhadores foi dobrado – multiplicado por 2 –, o prêmio individual

ficou pela metade – dividido por 2 ou multiplicado por 1/2.

Quando o número de ganhadores foi triplicado – multiplicado por 3 –, o prêmio

individual foi reduzido a 1/3 do original.

Quando o número de ganhadores foi igual a 12, o prêmio individual foi dividido por 12.

A constante de proporcionalidade, nesse caso,* é igual a 2, mas deve ser usada com cuidado.

Se multiplicamos o antecedente da primeira razão por 2, para obter o antecedente da segunda

razão, devemos dividir por 2 o conseqüente da primeira razão, para encontrar o conseqüente da

segunda razão.

Na próxima unidade, vamos estudar porcentagem.

4.3 LISTA DE EXERCÍCIOS


4.4 SÍNTESE


UNIDADE 5 – PORCENTAGEM

5.1 CONCEITUAÇÃO

A porcentagem de um número a sobre um número b diferente de zero é a razão x/100,

equivalente à razão a/b.

Representamos a razão x/100 por x% e lemos x por cento...

Para facilitar, vamos ver isso em relação ao exemplo da população brasileira...

*nesse caso...

...temos a razão 1/24, isto é, 1 ganhador leva R$ 24 milhões.

A segunda razão é 2/12, isto é, 2 ganhadores levam R$ 12 milhões. Os

antecedentes são 1 e 2, e os conseqüentes são 24 e 12.

Perceba que multiplicamos o primeiro antecedente por 2 e dividimos o primeiro

conseqüente por 2.

Qual a porcentagem de mulheres do Brasil? Ops... Sou muito apressado...

Vejamos antes o que vem a ser porcentagem...


38

5.1.1 EXEMPLO 1

Na manchete do jornal, temos o número de homens e de mulheres do Brasil.

Para calcularmos a porcentagem de mulheres do Brasil, precisamos saber o número total de

habitantes (número de homens + número de mulheres = 169.872.856)...

Dessa forma, a razão entre o total de mulheres e o total de habitantes é....

86.270.539/169.872.856 = 0,507854 (formato decimal)

Considere que a porcentagem e a razão a/b sejam diretamente proporcionais...

Se 0,507854 = 50,7854/100...

O percentual de mulheres no Brasil é de 50,7854%.

5.1.2 EXEMPLO 2

A porcentagem também é uma fração.

Vejamos dois exemplos...

Simples, não?

45% significa 45/100!

Consideremos agora uma outra situação...

Divulgados os novos dados do censo – IBGE 2005O número de mulheres (86.270.539) é superior ao de homens (83.602.317)

*75%...

Esses 75% também podem ser escritos no formato decimal, ou seja, 0,75.

*

Matemática

39

M Ó D U L O 1

5.1.3 EXEMPLO 3

– Professor, hoje é o último dia de aula!!!

– É... Seus 20 alunos estão presentes...

– Queremos saber se passamos...

– Pois é... E os 4 alunos que só apareceram hoje estão em recuperação!

5.1.3.1 SOLUÇÃO

O menino quer encontrar o percentual de alunos em recuperação...

Esse percentual pode ser obtido rapidamente, se observarmos que a constante de

proporcionalidade deve ser mantida.

No caso, essa constante é igual a...

Vejamos outra situação...

5.1.4 EXEMPLO 4

– Nossas vendas aumentaram 20% em relação ao trimestre anterior...

– Se, no trimestre anterior, o número já foi bom, de 50.000 unidades, quantas unidades

vendemos nesse trimestre?

5.1.4.1 SOLUÇÃO

Precisamos saber qual foi o aumento em unidades nas vendas...

Deixa eu ver se entendi alguma coisa dessa matéria... Qual a porcentagem de

alunos em recuperação?

Acho que teremos de dar uma ajuda ao colega...

= 0,2

Essa é a forma decimal de se expressar a

porcentagem 20%.

4

20

Incógnita (x) = aumento em unidades nas vendas

Dados...

Aumento das vendas = 20%

Unidades vendidas no trimestre anterior = 50.000


40

Com base nos dados, temos que a razão entre x e as vendas no trimestre anterior é equivalente

à razão 20/100...

Conferindo... Total de vendas do trimestre atual...

Fácil, não? Vejamos uma última situação...

5.1.5 EXEMPLO 5

– Se a TV que quero comprar custa R$ 800,00, qual o valor de meu desconto?

Vamos ajudá-los?

5.1.5.1 SOLUÇÃO

Vejamos...

5.1.6 EXEMPLO 6

– O desconto dessa TV de R$ 800,00 é de R$ 80,00.

– E para aquela TV menor de R$ 450,00, o desconto é o mesmo? R$ 80,00?

Precisamos ajudá-los novamente... Vamos lá?

Incógnita (x) = aumento em unidades nas vendas

Dados...

Aumento das vendas = 20%

Unidades vendidas no trimestre anterior = 50.000

Raciocínio... Nesse sentido...

O valor do desconto é nossa incógnita. Vamos denotá-la por y. Mais uma vez, as razões 10/100 e y/800 são equivalentes. Para mantermos a constante de proporcionalidade – ou, simplesmente, a

proporção –, devemos multiplicar 10 por 8, já que 100 foi multiplicado por 8

para atingir 800. Dessa forma, y = 80. Perceba que 80/800 = 10/100 = 10%. O desconto para pagamento à vista é de

R$ 80,00, ou seja, o cliente desembolsaria apenas R$ 720,00 (800,00 - 80,00).

Matemática

41

M Ó D U L O 1

5.1.6.1 DESCONTO EM PORCENTAGEM VERSUS DESCONTO EM UNIDADES MONETÁRIAS

Nesse caso, o cliente está pensando que o desconto é igual em unidades monetárias...

Por isso, perguntou se o desconto da TV de R$ 450,00 também era de R$ 80,00...

Contudo...

...não devemos confundir desconto igual em porcentagem com desconto igual em

unidades monetárias. O vendedor quis dizer que o percentual de desconto seria o

mesmo.

Dessa forma...

...devemos manter a proporção.

Qual o valor do desconto em reais então?

Vejamos...

5.1.6.2 SOLUÇÃO

Vejamos, então, qual o valor do desconto da TV de R$ 450,00...

Mais uma vez, o valor do desconto é nossa incógnita.

Vamos denotá-la por z...

10/100 = z/450

Multiplicamos 100 por 4,5. Dessa forma, devemos multiplicar 10 por 4,5, resultando 45. Esse é o

desconto – R$ 45,00. A televisão sairia por R$ 405,00 à vista.

Perceba que...

10% = 10/100 = 45/450 = 80/800.

Se o desconto para qualquer artigo na loja fosse igual em unidades monetárias, um produto de R$

80,00 sairia de graça!

5.2 CALCULADORA – EXEMPLO 1

Encontrar a porcentagem em uma calculadora é simples.

Por exemplo, quanto é 30% de 400?

Observe, no ambiente on-line, a simulação de como encontrar a porcentagem usando a calculadora.


42

5.3 CALCULADORA – EXEMPLO 2

Observe, no ambiente on-line, outra simulação de como encontrar a porcentagem usando a

calculadora.

5.4 SÍNTESE


UNIDADE 6 – MÚLTIPLOS E DIVISORES

6.1 CONCEITUAÇÃO

Se o resultado da divisão de um número natural m por outro número natural n for um número

natural, dizemos que n é um divisor de m.

Em outras palavras, para que n seja um divisor de m, a divisão m/n deve ser exata, ou seja, não

pode deixar resto.

Nas condições anteriores, m é dito múltiplo de n.

Por exemplo...

2 é um divisor de 8, pois 8/2 = 4. Dessa forma, 8 é um múltiplo de 2.

4 também é um divisor de 8, pois 8/4 = 2.

Dessa forma, 8 é um múltiplo de 4.

1 também é divisor de 8, pois 8/1 = 8.

O número 1 é divisor de todos os números.Em nosso exemplo, vimos que 8/1 = 8.

Aliás, um número qualquer será sempre múltiplo de 1 e divisor de si mesmo – em nosso exemplo,

vimos que 8 é divisor de 8, pois 8/8 = 1.

Essa última observação é conhecida como propriedade reflexiva.

*resto...

Número que sobra após a divisão de um número por outro não divisor exato

daquele.

Matemática

43

M Ó D U L O 1

6.1.1 EXEMPLO

Vejamos...

6.2 CONJUNTOS DOS DIVISORES E MÚLTIPLOS

Vamos às definições...

6.3 PROPRIEDADE TRANSITIVA

Se n é divisor de p, e p é divisor de m, então n é divisor de m.

Verificação...

3 é divisor de 6, já que 6/3 = 2

6 é divisor de 24, já que 24/6 = 4

Denotamos por D(n) o conjunto dos divisores naturais no número n. Exemplos... D(8) = {1, 2, 4, 8} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(15) = {1, 3, 5, 15} D(7) = {1, 7} Denotamos por M(n) o conjunto dos múltiplos naturais no número n.

Exemplos... M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, ...}. Esse conjunto é conhecido como o conjunto

dos números pares. M(3) = {0, 3, 6, 9, ...} M(12) = {0, 12, 24, 36, ...}

Pela propriedade, 3 é divisor de 24.

Veja!


44

6.4 NÚMEROS PRIMOS

Um número natural diferente de 1 é dito primo, se apenas ele próprio e o número 1 são seus

divisores.

De outra forma...

Um número natural p será primo, se D (p) = {1, p}.

Por exemplo...

5 é um número primo, pois 1 e 5 são seus únicos divisores.

6.5 NÚMEROS COMPOSTOS

Um número natural é dito composto, se não é primo.

Atenção ao teorema!

Todo número composto pode ser escrito como produto de números primos.

Este teorema será utilizado adiante, quando falarmos sobre mínimo múltiplo comum e

máximo divisor comum.

Veja como essa decomposição é simples de ser feita...

6 = 2 . 3

15 = 3 . 5

18 = 2 . 3 . 3

25 = 5 . 5

54 = 2 . 3 . 3 . 3

90 = 2 . 32 . 5

De fato...

5 : 1 = 5, com resto zero

5 : 5 = 1, com resto zero

Mas...

5 : 2 = 2, com resto 1

5 : 3 = 1, com resto 2

5 : 4 = 1, com resto 1

Matemática

45

M Ó D U L O 1

6.5.1 NÚMEROS COMPOSTOS MAIORES

Para números maiores, existe o seguinte procedimento...

6.5.2 ORDEM DOS FATORES

Você não é obrigado a perceber qual primo usar.

Por exemplo, quando obtivemos 637 no caso anterior, poderíamos ter dividido por 13 antes de

dividi-lo por 7.

No final, o resultado seria o mesmo. Vejamos...

Dessa forma...

7.644 = 2 . 2 . 3 . 13 . 7 . 7

Lembre-se!

A ordem dos fatores* não altera o produto*.

7.644 2

3.822 2

1.911 3

637 5

127,5

Esse resultado não é exato! Vamos tentar dividir

por 7, para ver se obtemos um número exato.

637 13

49 7

7 7

1

7.644 2

3.822 2

1.911 3

637 7

91 7

13 13

1

Dessa forma...

7.644 = 2 . 2 . 3 . 7 . 7 . 13

ou

7.644 = 22 . 3 . 77 . 13


46

Em Engenharia, essa propriedade é conhecida como a ordem dos tratores não altera o viaduto.

6.6 MDC

Dados dois números naturais n e m diferentes de zero, chamamos de máximo divisor

comum – MDC – o maior número natural que divide, simultaneamente, n e m.


6.6.1 CÁLCULO

Uma forma de encontrarmos o MDC de dois números é decompô-los em um produto de números

primos.

Por exemplo...

Então multiplicamos os números que se repetem...

*fatores...

Cada uma das quantidades que se multiplicam para formar um produto.

*produto...

Resultado de uma multiplicação.

Matemática

47

M Ó D U L O 1

6.6.2 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Se o MDC de dois números for igual a 1, dizemos que esses dois números são primos entre si.

É o caso de...

6.7 MMC

Dados dois números naturais n e m diferentes de zero, chamamos de mínimo múltiplo comum

– MMC – o menor número natural diferente de zero e, ao mesmo tempo, múltiplo de n e m.

Vejamos os exemplos…

� �

� ��

��

�


48

6.7.1 EXEMPLO 1

Nem sempre o MMC de dois números é o produto entre eles.

Por exemplo...

MMC (6, 8) = 24

Esse resultado é diferente do produto entre 6 e 8...

6.8 = 48

Vejamos...

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}

M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, ...}

O primeiro múltiplo diferente de zero é 24.

6.7.2 EXEMPLO 2

A decomposição dos números envolvidos em um produto de primos ajuda bastante na obtenção

do MMC.

Por exemplo...

MMC (6, 8)= ?

6 = 2 . 38 = 2 . 2 . 2

Devemos multiplicar todos os fatores que aparecem, no caso, 2 e 3, utilizando

a maior potência.

Dessa forma...

MMC (6, 8) = 2³ . 3 = 24.

6.7.3 EXERCÍCIOS


6.8 SÍNTESE


Matemática

49

M Ó D U L O 1

UNIDADE 7 – SISTEMAS DE MEDIDAS

7.1 TIPOS

Nesta unidade, veremos diversos sistemas de medidas.

Veremos as medidas de...

§ comprimento;

§ massa;

§ área;

§ tempo;

§ capacidade;

§ volume.

7.2 MEDIDAS DE COMPRIMENTO

Vejamos as medidas de comprimento...

7.2.1 EXEMPLOS

Ao medir um painel, estou lidando com medidas de comprimento...

Vejamos alguns exemplos de equivalência de medidas...

12 km = 12.000 m

25 cm = 0,25 m

25 cm = 250 mm

0,7 hm = 70 m


50

7.3 MEDIDAS DE MASSA

Hummm... Vou levar esta embalagem de 1 kg!

Nos supermercados, usamos muito as medidas de massa... Vamos conhecê-las!

7.3.1 EXEMPLOS

Vejamos alguns exemplos de equivalência dessas medidas...

360 g = 0,36 kg

2.500 mg = 2,5 g

7.600.000 mg = 7,6 kg

8 dag = 800 dg

7.4 MEDIDAS DE TEMPO

Vamos ver agora as medidas de tempo...

7.4.1 EXEMPLOS

O homem contemporâneo vive tentando gerenciar seu tempo...

Vejamos agora alguns exemplos de equivalência de medidas de tempo...

4 dias = 96 h3 meses = 90 dias

48 meses = 4 anos15 min = 1/4 h = 0,25 h

2.400 s = 40 min

Matemática

51

M Ó D U L O 1

7.5 MEDIDAS DE ÁREA

Para medir um terreno, precisamos usar uma medida de área... Vamos conhecê-las!

7.5.1 EXEMPLOS

Vejamos agora alguns exemplos de equivalência de medidas de área...

2 hm² = 20.000 m²

10 km² = 1.000 hm²

4,5 m² = 45.000 cm²

170 dm² = 1,7 m²

3.800.000.000.000 mm² = 3,8 km²

7.6 MEDIDAS DE CAPACIDADE

Passemos às medidas de capacidade...

��


52

7.6.1 EXEMPLOS

As medidas que encontrarmos em garrafas de bebidas são, geralmente, litros ou mililitros...

Vejamos alguns exemplos de equivalência dessas medidas...

480 l = 0,48 kl

1.500 ml = 15 l

7.900.000 ml = 7,9 kl

6 dal = 600 dl

0,18 hl = 1.800 cl

7.7 MEDIDAS DE VOLUME

Para medir a quantidade de água em uma piscina, usamos as medidas de volume...

Vamos conhecê-las!

7.7.1 RELAÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME

Há uma relação entre as medidas de capacidade e de volume.

Vejamos...

1 l = 1 dm³

1 ml = 1 cm³

1 kl = 1 m³

7.8 CONVERSÃO

Às vezes, a unidade é uma composição de sistemas de medidas.

Nesses casos, a equivalência exige transformação em cada um dos sistemas de medidas

envolvidos.

Por exemplo, um carro com velocidade igual a 20 m/s está em que velocidade medida

em quilômetros por hora?

Matemática

53

M Ó D U L O 1

Em 1 segundo, o carro anda 20 metros. Dessa forma, a cada hora, ou seja, a cada 3.600

segundos, o carro anda 72.000 metros.

7.9 SÍNTESE


UNIDADE 8 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

8.1 CONCEITUAÇÃO

Uma expressão algébrica é uma expressão que apresenta valores numéricos e literais em seus

termos.

Por exemplo...

2x + 4y - 5

Os valores literais das expressões algébricas são chamados de variáveis, pois, apesar de

representarem, a princípio, um número real, não têm valor definido.

Os valores numéricos são chamados de constantes.

Nesse exemplo, as variáveis são x e y...

...e as constantes são 2, 4 e 5.

8.2 VALOR NUMÉRICO

O valor numérico da expressão é obtido quando substituímos as variáveis por números.

Voltemos ao exemplo anterior...

2x + 4y - 5

Se x = 3 e y = 2, teremos...

(2 x 3) + (4 x 2) - 5 =

= 6 + 8 - 5 = 9

72.000 metros é igual a 72 quilômetros.

Sendo assim, a velocidade do carro é de 72 km/h.


54

8.2.1 EXERCÍCIOS


8.3 TIPOS

As expressões algébricas podem ser classificadas segundo o número de termos que as compõe.

Vejamos os principais tipos...

8.4 TERMOS SEMELHANTES

Termos com partes literais iguais são chamados de termos semelhantes.

São exemplos de termos semelhantes...

3x e 5x

2xy e 4xy

2x2 e 3x2

xy3 e 3xy3

3x2yz3 e 4x2yz3

Você deve-se lembrar dessa definição para as operações de adição e subtração de expressões

algébricas!

8.5 SÍNTESE


Matemática

55

M Ó D U L O 1

UNIDADE 9 – FATORAÇÃO

9.1 CONCEITUAÇÃO

Você sabe o que significa fatorar uma expressão?

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de

expressões mais simples, chamadas de fatores.

A expressão resultante da fatoração é chamada expressão fatorada.

9.2 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

Veja alguns exemplos de fatoração...

Esses são exemplos em que se põe um fator comum em evidência.

A fatoração se baseia na propriedade distributiva* de um produto*.

*propriedade distributiva...

Acontece quando uma operação pode ser distribuída em outra operação.

Por exemplo, a multiplicação é distributiva em relação à adição e à subtração...

a x (b + c) = a x b + a x c

a x (b - c) = a x b - a x c

Observe que a operação “multiplicação” de a pelo resultado da soma de b e c

foi distribuída dentro dos parênteses, tornando-se a soma de dois produtos.

*produto...

Resultado de uma multiplicação.


56

9.2.1 EXEMPLOS 1 E 2

Vamos observar o primeiro exemplo...

No segundo exemplo...

Mais ainda...

9.2.2 EXEMPLOS 3 E 4

Continuando... No terceiro exemplo, temos...

O quarto exemplo dá um pouco mais de trabalho...

Precisamos entender o 6xy como 3y . 2x, para perceber que existe o fator comum 3y.

9.3 EXERCÍCIOS


ax+ bx

Note que x é o fator comum, por isso,

vamos colocá-lo em evidência...

(a + b) . x

ax - ay + a

...a é o fator comum, por isso, vamos

colocá-lo em evidência...

(x - y + 1) . a

2x - 4x

Note que 2 é o fator comum, por isso,

vamos colocá-lo em evidência...

2 . (x - 2y)

3y + 6xy

Portanto, teremos...

3y + 3y . 2x

3y . (1 + 2x)

Matemática

57

M Ó D U L O 1

9.4 PRODUTOS NOTÁVEIS

Existe uma série de produtos que nos auxiliam na fatoração. Eles são conhecidos como produtos

notáveis.

São eles...

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b) . (a - b) = a2 - b2

9.4.1 EXEMPLOS


exemplo 1...

(x + 4)² = x² + 2 . x . 4 + 4² = x² + 8x + 16

exemplo 2...

(2x + 3)² = (2x)² + 2 . (2x) . 3 + 3² = 4x² + 12x + 9

exemplo 3...

(y - 3)² = y² - 2 . y . 3 + 3² = y² - 6y +9

exemplo 4...

(x + 5) . (x - 5) = x² - 5² = x² - 25

9.4.2 EXERCÍCIOS


9.5 DIFICULDADE

Concordo que a fatoração não seja um processo fácil, quando a expressão é grande.

É difícil arrumar os termos, e escolher o que fatorar e o que não fatorar. Só conseguimos

com muito exercício...

Vamos ver agora adição e subtração de expressões algébricas...

9.6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Para realizar a adição e subtração de expressões, não há segredo...

...basta somarmos ou subtrairmos os termos semelhantes. Os termos que não forem

semelhantes permanecem inalterados!


58

Exemplo...

4x + y + 3x =

7x + y

Observe que, ao somarmos 4x e 3x, fatoramos, sem perceber, a expressão como

(4 + 3) . x = 7x.

Algumas fatorações são tão imediatas que nem percebemos...

9.6.1 EXERCÍCIOS


9.7 MULTIPLICAÇÃO

Vejamos a multiplicação das expressões algébricas...

Talvez você ache que a multiplicação de expressões algébricas seja o processo inverso à fatoração!

Eu também penso assim...

exemplo 1... exemplo 2...

(4x + y) . 5y = (4x² + 3y - 5xy³) . x² =

4x . 5y + y . 5y = 4x² . x² + 3y . x² - 5xy³ . x² =

20xy + 5y² 4x + 3x²y - 5x²y³

9.8 DIVISÃO

Vejamos agora a divisão das expressões algébricas...

Essas foram fáceis... As expressões já estavam fatoradas. Vamos ver se você aprendeu?

Matemática

59

M Ó D U L O 1

9.8.1 EXERCÍCIOS




9.10 SÍNTESE


Ufa! Terminamos o primeiro módulo!

UNIDADE 10 – CENÁRIO CULTURAL

10.1 FILME

Para refletir um pouco mais sobre questões relacionadas ao conteúdo deste módulo, assista a

uma cena do filme Mickey e o Pé de Feijão.

10.2 OBRA LITERÁRIA

Para refletir um pouco mais sobre questões relacionadas ao conteúdo deste módulo, leia um

trecho do texto Memórias Póstumas de Brás Cubas no ambiente on-line.

10.3 OBRA DE ARTE

Para refletir um pouco mais sobre questões relacionadas ao conteúdo deste módulo, aprecie a

escultura Equivalente VIII no ambiente on-line.


60

MÓDULO 2

Este módulo está dividido em seis unidades...

§ equações de 1º e 2º graus;

§ sistema de equações lineares;

§ regra de Cramer;

§ inequações lineares;

§ regra de três simples;

§ regra de três composta.

Vamos começar?

UNIDADE 1 – EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS

1.1 EQUAÇÃO

Sabemos que elas são formadas por valores numéricos e literais, e que, quando estes são

substituídos por números, obtemos o valor numérico da expressão.

Se, ao invés de atribuir valores numéricos às variáveis para encontrar o valor numérico da expressão,

igualássemos a expressão algébrica a um valor numérico, teríamos uma equação.

O objetivo da equação seria encontrar o valor das variáveis, de modo que a igualdade fosse

satisfeita.

1.1.1 EXEMPLO

2x + 4

Vejamos...

Atribua um valor para x – digamos 3.Dessa forma, a expressão algébrica assumiria o

valor...

2 . 3 + 4 = 6 + 4 = 10

Igualamos a expressão a 10, isto é, 2x + 4 = 10. Isso é uma equação.

Qual deve ser o valor de x para que essa igualdade seja satisfeita?

2x + 4 2? + 4

Já estudamos o que são as expressões algébricas...

Vamos a um exemplo?

Matemática

61

M Ó D U L O 2

1.1.2 CONCEITUAÇÃO

Vejamos a definição de equação...

Uma equação* algébrica é uma igualdade entre uma expressão algébrica e um valor

numérico.

Resolver a equação significa encontrar o(s) valor(es) da(s) variável(is) envolvida(s), de forma a

termos a igualdade satisfeita. Também costumamos chamar essa igualdade de identidade.

1.1.3 RAIZ

Exemplos...

3x = 9

5x² = 20

3x + 2y = 7

3xy + 5x - 2y = 6

5a³ - 7bc + 2ab = 3

As equações podem ter uma ou mais variáveis.

Vamos falar mais sobre os exemplos?

*equação...

A palavra equação tem o prefixo latino aequ-, cujo significado é igual.

A solução de uma equação algébrica é chamada de raiz da equação...

��


62

1.1.4 EXEMPLOS

Exemplos...

3x = 9

5x² = 20

3x + 2y = 7

3xy + 5x - 2y = 6

5a³ - 7bc + 2ab = 3

As duas primeiras equações têm uma variável apenas – x.

A terceira e a quarta têm duas variáveis – x e y.

A última equação tem três variáveis – a, b e c.

1.1.5 - GRAUS

O maior expoente – ou a maior potência – da variável, em uma equação, denomina o grau da

equação. O termo que contém a variável elevada ao maior expoente é denominado termo

dominante.

Lembre-se de que estamos tratando apenas de equações de uma só variável...

Exemplos...

2x + 4 = 6 é uma equação de grau 1, ou uma equação do primeiro grau. 2x é o

termo dominante.

2x + 3x² - 6 = 2 é uma equação de grau 2, ou uma equação do segundo grau. 3x²

é o termo dominante.

2x + 3x³ - 1 = 0 é uma equação de grau 3, ou uma equação do terceiro grau. 3x³

é o termo dominante.

Vamos trabalhar apenas com equações de uma variável. Ufa!

Matemática

63

M Ó D U L O 2

1.1.6 EQUAÇÃO DO 1° GRAU

Vejamos as definições...

Uma equação do 1º grau na variável x é uma igualdade que pode ser escrita na forma

ax + b = 0, na qual os coeficientes a e b são números reais, e a é diferente de zero.

Uma equação do 1º grau também pode ser chamada de equação linear. O coeficiente

b também pode ser chamado de termo independente. Quando o termo

independente é igual a zero, dizemos que a equação é linear homogênea.

1.1.6.1 RESOLUÇÃO

Vejamos...

Resolver uma equação do 1º grau é muito simples. Basta passar o termo constante para o outro

lado da igualdade e, em seguida, dividi-lo pelo coeficiente da variável...

1.1.6.2 PROPRIEDADES MATEMÁTICAS

A resolução de equações envolve propriedades matemáticas básicas, geralmente, esquecidas

pelos estudantes. Entre elas...

§ somar ou subtrair valores iguais dos dois lados da igualdade não altera o resultado

da equação;

§ multiplicar ou dividir – por um número diferente de zero – os dois lados da igualdade

por valores iguais não altera o resultado da equação.

Exemplos...

3x + 9 = 0; 3x - 9 = 0; (3/2)x - 9= 0; -1,6x + 8 = 0;

2 x - 7 = 0; 3x - 3 = 0; (3/2)x + πππππ = 0; 2x + 4 = 6,

pois podemos escrevê-la como 2x - 2 = 0.

��

Dessa forma, o passo a passo da resolução da equação 3x - 9 = 0 é o seguinte...

3x - 9 = 0

3x - 9 + 9 = 9

3x = 9

3x/3 = 9/3

x = 3


64

1.1.7 EQUAÇÃO DO 2 GRAU

Uma equação do 2º grau na variável x é uma igualdade que pode ser escrita na forma ax² + bx +

c = 0, em que os coeficientes a, b e c são números reais, e a é diferente de zero.

Veja exemplos de equações...

1.1.7.1 RESOLUÇÃO

A resolução de uma equação do 2º grau não é tão simples quanto a resolução de uma equação do

1º grau...

...a menos que a equação seja incompleta...

Se o coeficiente b for nulo...

De uma forma geral, quando

b for nulo, teremos...

Matemática

65

M Ó D U L O 2

1.1.7.2 COEFICIENTE C NULO

Continuando...

Se o coeficiente c for nulo...

3x² - 6x = 0

3x . (x - 2) = 0

Para que esse produto seja igual a zero, devemos ter 3x = 0 ou x - 2 = 0.

Para 3x = 0, devemos ter x = 0.

Para x - 2 = 0, devemos ter x = 2.

Dessa forma, as soluções para a equação são...

x = 0 ou x = 2

De uma forma geral, quando c for nulo, teremos...

ax2 + bx = 0

x . (ax + b) = 0

Sendo assim, devemos ter x = 0 ou ax + b = 0, ou seja, x = -b/a.

1.1.7.3 FÓRMULA DE BHÁSKARA

Se a equação for completa, você deve-se lembrar...

Teremos de encontrar o ∆∆∆∆∆ e, em seguida, as soluções, usando aquelas fórmulas...

Nessa passagem, foi omitido o processo para a fatoração de 3x² - 6x, a saber...

= 3x² - 6x

= 3x . x + 3x . 2

= 3x . (x - 2)


66

Essa fórmula é conhecida como fórmula de Bháskara*.

Veja um exemplo de aplicação da fórmula de Bháskara...

1.1.7.4 EXEMPLO 1

Para uma equação do 2º grau dada por...

ax² + bx + c = 0

...temos que ∆∆∆∆∆ é dado por...

∆∆∆∆∆ = b² - 4 . a . c

*Bháskara foi um astrólogo indiano que viveu, aproximadamente, entre 1114 e

1185. Seu livro mais famoso é o Lilavati, bem elementa, e dedicado a problemas

simples de Aritmética, Geometria Plana e Combinatória.

Consideremos a equação do 2º grau dada por ax² + bx + c = 0...

Multiplicando os dois lados da igualdade por 4a, temos...

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

4a²x² + 4abx = - 4ac

Somando b² aos dois lados da igualdade, temos...

4a²x² + 4abx + b²= b² - 4a

O lado esquerdo da igualdade é um produto notável. Dessa forma...

(2ax + b)² = b² - 4ac

Chamando o lado direito de ∆∆∆∆∆, temos ∆∆∆∆∆ = b² - 4ac...

...e (2ax + b)² = ∆∆∆∆∆

Daí...

2ax + b = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Finalmente, passando b para o lado direito e, em seguida, dividindo por 2a,

temos...

x = - b ∆ ∆ ∆ ∆ ∆2a

+-

Matemática

67

M Ó D U L O 2

...e que as raízes da equação são dadas por...

Vamos a um exemplo?

1.1.7.5 EXEMPLO 2

Quando ∆∆∆∆∆ é positivo, a equação admite duas raízes reais e distintas...

A raiz real é um número pertencente ao conjunto dos números reais.



68

1.1.7.6 EXEMPLO 3


x² - 6x + 9 = 0

Temos que...

Tínhamos de obter o mesmo resultado... somar e subtrair zero não muda em nada o valor do

quociente*...

Dessa forma, você percebeu que, quando ∆∆∆∆∆ é igual a zero, a equação possui duas raízes reais e

iguais.

Vamos resolver essa questão de maneira mais simples?

1.1.7.7 RESOLUÇÃO POR FATORAÇÃO

Para resolver a equação de uma forma bem mais simples, basta perceber que a expressão x² - 6x

+ 9 é um produto notável e que, por isso, poderia ser fatorada como (x - 3)².

Dessa forma, encontrar as raízes de x² - 6x + 9 = 0 é o mesmo que encontrar as raízes de (x - 3)²

= 0. No caso, x = 3.

1.1.7.8 EXEMPLO 4

Vejamos mais um exemplo...

2x² + 4x + 3 = 0

Temos que...

a = 2, b = 4 e c = 3

∆∆∆∆∆ = 4² - 4 . 2 . 3 = 16 - 24 = -8

* quociente...

Número que indica quantas vezes o dividendo contém o divisor; resultado de

uma divisão.

Matemática

69

M Ó D U L O 2

Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de um número negativo, não

podemos prosseguir com a resolução.

Isso indica que a equação não terá nenhuma raiz real.

1.1.7.9 RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

Dada a equação ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero, denotemos suas raízes por x1 e x2.

Conheça a demonstração dessas propriedades...

Quando ∆∆∆∆∆ é negativo, a equação não possui raiz real...

Dessa forma...

x1 + x2 = -b/a

x1 . x2 = c/a


70

1.1.7.10 PROPRIEDADES

Usando essas propriedades, podemos escrever a equação do 2º grau como...

x² - Sx + P = 0, em que S é a soma das raízes, e P é o produto das raízes.

Temos que...

ax² + bx + c = 0

Daí, dividindo todos os termos por a, temos...

x² + (b/a) . x + c/a = 0

x² - (-b/a) . x + c/a = 0

x² - Sx + P = 0

1.1.7.11 EXERCÍCIO

Essas propriedades, muitas vezes, facilitam a obtenção das raízes...

Veja só este exemplo...

Quais as raízes da equação x² - 5x + 6 = 0?

Pelas propriedades, sabemos que estamos procurando por dois números que somados

dão 5 e multiplicados dão 6....

Quais são esses números?

_____ e _____

Acesse, no ambiente on-line, a resposta do exercício.

Esse fato é fácil de provar...

Matemática

71

M Ó D U L O 2

1.1.7.12 EXEMPLO 5

Consideremos a = b...

Multiplicando os dois lados da igualdade por a, temos...

a . a = b . a

Diminuindo (b . b) dos dois lados, temos...

a . a - b . b = b . a - b . b

Fatorando, temos...

(a + b) . (a - b) = b . (a - b)

Dividindo os dois lados por (a - b), temos...

(a + b) . (a - b)/(a - b) = b . (a - b)/(a - b) =

(a + b) = b

Como a = b, podemos substituir b por a. Então...

a + a = a

2a = a

Dividindo os dois lados por a, temos...

2 = 1

1.1.7.12.1 RESOLUÇÃO

Quando fatoramos, encontramos...

(a + b) . (a - b) = b . (a - b)

Como a = b, (a - b) = 0.

Multiplicar os dois lados de uma igualdade pelo mesmo número não altera a solução

se esse número for diferente de zero.

Agora veja que caso interessante – você acha que 1 é diferente de 2?

Pois veja só...

Onde está o erro? Se desejar, reveja o exemplo...


72

1.2 SÍNTESE


UNIDADE 2 – SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

2.1 CONCEITUAÇÃO

Um sistema de equações é simplesmente um conjunto de equações.


Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares.

Costumamos apresentar um sistema de equações colocando uma chave para englobar

todas as equações envolvidas.

2.2 SISTEMA COM DUAS E TRÊS VARIÁVEIS

Para resolver um sistema de equações, você precisa ter tantas equações independentes* quantas

forem as variáveis envolvidas.

Sistema de equações com duas variáveis...

Sistema de equações com três variáveis...

* equações independentes...

Duas equações são independentes quando não são proporcionais e...

...duas equações são ditas proporcionais se uma delas pode ser obtida a partir

da multiplicação da outra por uma constante.

Por exemplo...

6x + 4y = 8 é proporcional a 3x + 2y = 4, pois a primeira pode ser obtida a partir

da multiplicação da segunda por 2.

Matemática

73

M Ó D U L O 2

2.3 SISTEMA INDETERMINADO

Se tivermos mais incógnitas do que equações, o sistema será indeterminado, pois não será

possível encontrar valores únicos para cada variável. O sistema terá infinitas soluções.

Contudo, se tivermos mais equações do que incógnitas – e nenhuma equação for

redundante* –, o sistema pode não ter solução!

2.4 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO

Resolver um problema de equações é bem simples. Há, basicamente, dois métodos.

ADIÇÃO SUBSTITUIÇÃO

Vejamos um de cada vez!

2.4.1 ADIÇÃO

O método da adição consiste em somar as duas equações, de forma a eliminar uma das variáveis.

Para tanto, algumas vezes, é preciso trabalhar com as equações.

*equações redundantes...

Uma equação é redundante, em um sistema de equações, se ela puder ser

obtida por meio de operações elementares envolvendo as demais equações

do sistema.

Por exemplo, se uma equação for proporcional a, pelo menos, uma das demais

equações do sistema, ela será redundante no sistema.

Outro exemplo de equação redundante é o seguinte...

Perceba que a terceira equação em nada contribui

para o sistema, pois é a soma das duas primeiras

equações.

2x - 5y = 3

x + 2y = 15

3x - 3y = 18{


74


2.4.1.1 EXEMPLO 1


Considere o seguinte sistema de equações...

Veja que continuamos sem poder definir os valores das variáveis.

Matemática

75

M Ó D U L O 2

2.4.1.2 EXEMPLO 2

Continuando...

Este é um caso em que precisamos trabalhar com uma das equações antes de somá-las.

Precisamos multiplicar uma delas por um número, de forma a podermos eliminar uma

das variáveis quando somarmos as equações...

Se multiplicarmos a segunda equação por -2, teremos -2x -4y = 30. Daí, somando a

primeira e a terceira, temos...

Substituindo esse valor na primeira equação, temos...

2.4.1.3 EXERCÍCIO


2.4.1.4 EXEMPLO 3

Se o sistema contiver três equações, podemos utilizar o mesmo raciocínio, repetindo-o algumas

vezes.


76

2.4.1.5 EXEMPLO 4

Agrupando as equações 4 e 5 temos...

Agora temos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Vamos resolvê-lo...

2.4.1.6 EXEMPLO 5

Para calcularmos c, basta-nos substituir os valores encontrados para a e b em qualquer uma das

equações do sistema original!

Lembre-se de que a = 3 e b = 2!

A solução encontrada foi a = 3, b = 2 e c = 1.

Se você desejar, pode substituir esses valores em qualquer uma das equações do sistema, para

verificar se a solução está correta.

Matemática

77

M Ó D U L O 2

2.4.2 SUBSTITUIÇÃO

Vejamos um exemplo para ficar mais claro!

2.4.2.1 EXEMPLO 1

Considere o seguinte sistema de equações...

Veja que no lugar do y da segunda equação, colocamos o valor encontrado para y dependendo

de x.

2.4.2.2 EXEMPLO 2

Se o sistema contiver três equações, vamos repetir o raciocínio mais vezes. Vejamos...

O método da substituição consiste em usar uma das equações para

encontrar o valor de uma das variáveis em função da outra variável e substituir

esse resultado na outra equação do sistema.


78

Dessa forma, temos que...

8 - a - 2b = -3 + 2a - b

Isolando a variável b de um lado da igualdade, temos...

Da terceira equação, temos que...

2c = 3 - a + b

Ou seja...

c = 3/2 - a/2 + b/2

Utilizando o resultado para c com base na primeira equação, temos que...

8 - a - 2b = 3/2 - a/2 + b/2

Para simplificar essa igualdade, multipliquemos ambos os lados por 2...

16 - 2a - 4b = 3 - a + b

2.4.2.3 EXEMPLO 3

Continuando...

Vamos isolar a variável b na equação que encontramos...

Esse resultado, em conjunto com o resultado b = 11 - 3a*, permite nos encontrar o valor de a.

Veja...

*b = 11 - 3a...

Temos que...

8 - a - 2b = -3 + 2a - b

Isolando a variável b de um lado da igualdade, temos...

-2b + b = -3 + 2a - 8 + a

-b = -11 + 3a

b = 11 - 3a

Matemática

79

M Ó D U L O 2

13/5 - a/5 = 11 - 3a

Multiplicando os dois lados da igualdade por 5, temos...

13 - a = 55 - 15a

Vamos encontrar agora os valores de b e c!

2.4.2.4 EXEMPLO 4

Continuando... Vamos encontrar os valores de b e c!

Lembre-se de que a = 3!

Como b = 11 - 3a, temos que...

Como c = 8 - a - 2b*, temos que...

A solução encontrada foi então...

a = 3, b = 2 e c = 1

��

��

��

��

��

��!��"��"��!��#��

��

��

��!��"��"��!��#��

��

��

*c = 8 - a - 2b...

Da primeira equação, temos...

a + 2b + c = 8

c = 8 - a - 2b


80

2.4.2.5 EXERCÍCIO

Agora você deve estar pronto para um desafio! Vamos lá?

– Minha idade é 5 vezes a idade do meu filho.

– Minha idade somada à do meu pai é igual a 54.

Qual é a idade de cada um deles?...

2.4.2.5.1 RESOLUÇÃO

Vamos ver se você acertou...

Nosso primeiro passo é transformar o problema proposto em um sistema de equações.

Como as duas idades são desconhecidas, vamos atribuir um valor literal para cada uma delas.

Chamemos a idade do pai de p e a idade do filho de f.

Se a idade do pai é 5 vezes a idade do filho...

p = 5f

Se as duas idades somadas dão 54...

p + f = 54

Temos o seguinte sistema...

Vejamos como resolver...

p = 5f

p + f = 54{

Matemática

81

M Ó D U L O 2

2.4.2.5.2 RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Vamos resolvê-lo pelo método da substituição...

Concluímos que o pai tem 45, e o filho 9 anos!

2.4.2.6 MAIS DE UMA SOLUÇÃO

Vamos ver alguns exemplos em que não conseguimos determinar uma única solução!

2.4.2.6.1 EXEMPLO 1

Considerando o seguinte sistema de equações.

Sem cálculo nenhum, apenas por tentativa, conseguimos obter uma solução. Veja!

Suponha que x = 1.

Dessa forma, o sistema se reduz a...


82

Resolvendo-o pelo método da adição, temos...

y = 9 e, conseqüentemente, z = 22.

A solução encontrada foi x = 1, y = 9 e z = 22.

2.4.2.6.2 EXEMPLO 2

Considerando o seguinte sistema de equações...

Suponha agora que x = 2...

Dessa forma, o sistema se reduz a...

Resolvendo-o pelo método da adição, temos...

y = 2 e, conseqüentemente, z = 5.

A solução encontrada foi x = 2, y = 2 e z = 5.

Observe que, se supuséssemos x igual a qualquer outro valor, encontraríamos valores para y e z

satisfazendo ao sistema de equações.

2.4.2.6.3 SISTEMA INDETERMINADO

Nos dois exemplos anteriores, todas as soluções encontradas resolvem o sistema.

Não há uma única solução como nos primeiros exemplos...

Em casos como esses, dizemos que o sistema é indeterminado.

Matemática

83

M Ó D U L O 2

2.4.2.7 SISTEMA IMPOSSÍVEL

Vejamos agora outro tipo de problema envolvendo sistema de equações...

Pelas duas primeiras equações desse sistema, encontramos que x = 9* e y = 3*.

Ou seja, esses valores de x e de y são os únicos valores que resolvem, simultaneamente, as duas

primeiras equações do sistema.

Substituindo-os na terceira equação, temos...

9 - 3 = 2

O que não é verdade.

Observe que a única solução para as duas primeiras equações não resolve a terceira

equação.

Logo, não existe uma solução para as três equações simultaneamente.

Em casos como esse, dizemos que o sistema é impossível.

*x = 9...

Utilizando o método da adição e multiplicando a segunda equação por 2,

encontramos o y. Substituindo, na primeira equação, temos...

2x - 5 . 3 = 3

2x - 15 = 3

2x = 18

x = 9

*y = 3...

Utilizando o método da adição e multiplicando a segunda equação por 2,

temos...

9y = 27

y =

y = 3

279

6 = 2


84

2.4.2.7.1 EXEMPLO 1

Vamos analisar o mesmo sistema, alterando apenas a terceira equação...

Note que se a terceira equação fosse redundante no sistema, existiria uma solução.

A solução para as duas primeiras

equações é x = 9 e y = 3.

Substituindo esses valores na terceira equação, temos...

Ou seja, a solução encontrada

com base nas duas primeiras

equações também satisfaz

à terceira equação.

Isso aconteceu porque a terceira equação pode ser obtida com operações elementares envolvendo

as duas primeiras equações...

Vejamos...

2.4.2.7.2 EXEMPLO 2

Vamos ver como conseguimos obter a terceira equação...

Dividindo essa equação resultante por 3, temos...

x - y = 6

Chegamos a uma equação exatamente igual à terceira equação do sistema!



2.6 SÍNTESE


Matemática

85

M Ó D U L O 2

UNIDADE 3 – REGRA DE CRAMER

3.1 CONCEITUAÇÃO

A regra de Cramer* é uma regra para a solução de sistemas lineares com o número de equações

igual ao número de incógnitas.

Para utilizar essa regra, precisamos montar a matriz dos coeficientes das variáveis nas equações

do sistema e calcular alguns determinantes.

Vejamos, a seguir, alguns exemplos...

3.1.1 EXEMPLO 1

Do sistema, extraímos a matriz dos coeficientes das equações...

Agora vamos achar o determinante...

*Gabriel Cramer foi um matemático suíço que viveu entre 1704 e 1752.


86

3.1.2 EXEMPLO 2

Continuando...

Vamos encontrar o valor da variável x...

Você deve estar-se perguntando de onde veio esse 9 no denominador...

Ele é o determinante da matriz dos coeficientes das equações do sistema*...

Foi o que descobrimos logo no início desse exemplo...

*Reveja como achamos o determinante da matriz dos coeficientes das

equações do sistema...

2 - 51 2

(2 . 2) - [(- 5) . 1] = 4 + 5 = 9

Matemática

87

M Ó D U L O 2

3.1.3 EXEMPLO 3

Vamos adiante!

Agora devemos encontrar o valor de y...

Para isso, seguimos os mesmos passos...

Mais uma vez, temos o 9 como denominador...

Ele é o determinante da matriz dos coeficientes das equações do sistema...

3.2 TRÊS VARIÁVEIS E TRÊS EQUAÇÕES

Esse tal de Cramer era um gênio mesmo, hein?

Mas vamos resolver um sisteminha maior...

Que tal três variáveis e três equações?

Vejamos...


88

3.2.1 EXEMPLO 1

Do sistema, extraímos a matriz dos coeficientes das equações...

Não é o caso desse sistema, mas...

...se alguma equação do sistema não apresentar uma ou mais de uma das variáveis

envolvidas, o coeficiente a ser inserido na matriz é zero.

Vamos avançar para ver como achamos o determinante dessa matriz.

3.2.2 EXEMPLO 2

Vamos agora achar o determinante da matriz...

Precisamos criar duas colunas incrementais,

repetindo as duas primeiras colunas da matriz...

Multiplicamos os valores das três diagonais e somamos os resultados...

1 . (-1) . 1 + 1 . (-1) . (-1) + 2 . 2 . 2 = -1 + 1 + 8 = 8

�

�

1 2 1

2 -1 -1

1 -1 2

1 2 1 1 2

2 -1 -1 2 -1

1 -1 2 1 -1

�

�

�

�

Então subtraímos -6 - 8 = -14

Matemática

89

M Ó D U L O 2

3.2.3 EXEMPLO 3

Para encontrar os valores das variáveis...

...precisamos criar as matrizes auxiliares para cada uma delas e calcular seus determinantes.

Vamos começar pela variável a!

Montamos a nova matriz com os valores numéricos exigidos para as expressões no lugar da

coluna dos coeficientes de a na matriz...




8 . (-1) . 2 + 2 . (-1) . 3 + 1 . 3 . (-1) = -16 - 6 - 3 = -25

Multiplicamos os valores das três diagonais e subtraímos os resultados...

1 . (-1) . 3 + 8 . (-1) . (-1) + 2 . 3 . 2 = -3 + 8 + 12 = 17

$�� %��

��&��'��

��

a + 2b + c = 8

2a - b - c = 3

a - b + 2c = 3{ 1 2 1

2 -1 -1

1 -1 2

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Obtemos o determinante somando -25 - 17 = -42


90

3.2.4 EXEMPLO 4

Agora vejamos a variável b!


coluna dos coeficientes de b na matriz...




1 . 3 . 2 + 8 · (-1) . 1 + 1 . 2 . 3 = 6 - 8 + 6 = 4


1 . 3 . 1 + 1 . (-1) . 3 + 8 . 2 . 2 = 3 - 3 + 32 = 32

$�� %��

��&��'��

��

Obtemos o determinante somando 4 - 32 = -28

Matemática

91

M Ó D U L O 2

3.2.5 EXEMPLO 5

Vejamos agora a variável c!


coluna dos coeficientes de c na matriz...




1 . (-1) . 3 + 2 . 3 . 1 + 8 . 2 . (-1) = -3 + 6 - 16 = -13


8 . (-1) . 1 + 1 . 3 . (-1) + 2 . 2 . 3 = -8 - 3 + 12 = 1

3.2.6 EXEMPLO 6

Finalmente, encontramos os valores de a, b e c dividindo os determinantes de cada matriz auxiliar

que criamos...

...pelo determinante da matriz original, que é -14.

$�� %��

��&��'��

��

Obtemos o determinante somando -13 - 1 = -14


92

Dessa forma…

Assista, no ambiente on-line, a um vídeo sobre essa explicação.

3.3 LÍSTA DE EXERCÍCIOS


3.4 SÍNTESE


UNIDADE 4 – INEQUAÇÕES LINEARES

4.1 EQUAÇÃO

Você se lembra de que, igualando uma expressão algébrica a um valor numérico, obtemos uma

equação?

Como vimos, o objetivo da equação é encontrar o valor das variáveis, de modo que a igualdade

seja satisfeita.

4.2 INEQUAÇÃO

Se, ao invés de procurarmos os valores das variáveis de modo a termos uma igualdade, estivéssemos

interessados nos valores que originassem uma desigualdade, estaríamos tentando resolver uma

inequação.

Vejamos...

Matemática

93

M Ó D U L O 2

Qual deve ser o valor de x para que essa desigualdade seja satisfeita?

4.3 INEQUAÇÃO ALGÉBRICA

Uma inequação algébrica é uma desigualdade do tipo maior que (>), menor que (<), maior ou

igual a ( ) ou menor ou igual a ( ) entre uma expressão algébrica e um valor numérico.

Resolver a inequação significa encontrar os valores das variáveis envolvidas, de forma a termos a

desigualdade satisfeita.

4.3.1 RESOLUÇÃO COM EQUAÇÃO

É interessante que o processo de resolução da inequação passe pela resolução de uma equação.

Dessa forma, para resolver a inequação 2x + 4 = 10, é mais fácil resolvermos, primeiramente, a

equação 2x + 4 = 10.

Vamos resolvê-la?

4.3.1.1 EXEMPLO

Ora, como queremos valores numéricos maiores ou iguais a 10...

...a solução será qualquer número

maior ou igual a 3.

Assim sendo, a solução de uma inequação não será apenas um valor para

cada variável, e sim um conjunto de valores.

2x + 4 > 10

Isso é uma inequação.

?

2x + 4 > 102x + 4 = 102x = 10 - 42x = 6x = 3

>

4 6 8 10 12 14 16

0 1 2 3 4 5 6


94

4.3.1.2 EXERCÍCIOS


4.3.2 RESOLUÇÃO SEM EQUAÇÃO

As inequações que resolvemos aqui podem ser resolvidas, diretamente, sem o uso da equação.

Até porque são todas lineares.

O benefício de resolvermos primeiramente a equação fica mais evidente quando tivermos

inequações não-lineares ou um sistema de inequações.

Vamos resolvê-las diretamente!

Matemática

95

M Ó D U L O 2

4.3.2.1 EXEMPLO

Continuemos com a inequação 5 - 2x < 3...

Lembre-se de que os valores de x que satisfazem a essa desigualdade são x = 1...

Se você ficasse na dúvida se deveria tomar os valores de x = 1 ou x = 1...

...você poderia fazer um teste!

Atenção! Podemos testar para qualquer inequação!

4.4 SÍNTESE


UNIDADE 5 – REGRA DE TRÊS SIMPLES

5.1 CONCEITUAÇÃO

Regra de três simples é um procedimento para resolução de um problema envolvendo quatro

variáveis, das quais três são conhecidas.

O procedimento é muito simples... Basta-nos montar uma tabelinha em que as proporções

envolvidas fiquem evidentes.

Por exemplo...

Um carro de Fórmula 1 dá 8 voltas na pista em 24 minutos. Mantendo a mesma

velocidade, em quanto tempo esse carro dará 12 voltas na mesma pista?

Os outros dados do problema permanecem constantes, a pista e a velocidade são as

mesmas.

Vejamos...

Atribuímos valores diferentes da raiz da equação – nesse caso, diferentes de 1...

valor da expressão (5 - 2x) 7 5 3 1 -1

valor de x -1 0 1 2 3

x > 1

Dessa forma, confirmamos que o que interessa são os valores de x = 1...


96

5.1.1 EXEMPLO 1

Se cada volta dura 3 minutos, então as 12 voltas serão completadas em 36 minutos.

Usando a regra de três, precisaríamos montar a seguinte tabelinha...

5.1.2 EXEMPLO 2

A partir da tabelinha, temos que...

A razão entre 8 e 12 deve ser a mesma que entre 24 e x.

Multiplicando em diagonais, temos...

Ou seja, o tempo gasto para que o carro dê 12 voltas é de 36 minutos.

Note que as grandezas voltas e tempo são diretamente proporcionais*.

Você consegue perceber que cada volta dura 3 minutos? Essa é a proporção

que deve ser mantida.

.voltas

8

12

tempo – min

24

x

8 24 12 ?

=

*diretamente proporcionais...

Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando o aumento de uma

delas acarreta o aumento da outra na mesma proporção. Por exemplo, se

multiplicarmos a primeira grandeza por 5, a segunda também deverá ser

multiplicada por 5.

8 24 12 ?

=

8x = 12 . 24

8x = 288

x = 288/8

x = 36

Matemática

97

M Ó D U L O 2

5.1.3 PROPORCIONALIDADE ENTRE AUMENTO DAS GRANDEZAS

Para dar mais de 8 voltas na pista, será necessário mais do que 24 minutos.

A pergunta é...

Quanto tempo?

Podemos resolver esse problema por duas maneiras...

A maneira mais intuitiva é...

...a proporcionalidade entre os aumentos das grandezas.

Ou seja, aumentar o número de voltas de 8 para 12 significa aumentar em 50% o

número de voltas. Veja...

8 + 50% . 8 =

8 + 8/2 =

8 + 4 = 12 voltas

Dessa forma, devemos aumentar o tempo também em 50%...

24 + 50% . 24 =

24 + 24/2 =

24 + 12 = 36 minutos

Vejamos a outra forma de resolver esse problema…

5.1.4 PROPORCIONALIDADE ENTRE GRANDEZAS

Vejamos a outra forma…

Para entender melhor a regra de três, vejamos mais um exemplo...

...proporcionalidade entre as grandezas...

8 voltas duram 24 minutos.

Então cada volta dura 3 minutos.

Essa proporção deve ser mantida.

Dessa forma, para calcular o tempo de 12 voltas, basta multiplicar o número de voltas

pelo tempo de uma volta. Nesse caso, 12 . 3...

Logo, as 12 voltas deverão durar 36 minutos.

Para entender melhor a regra de três, vejamos mais um exemplo...


98

5.1.5 EXEMPLO 3

Três operários levam 8 dias para construir um muro.

Em quanto tempo 6 operários, mantendo o mesmo ritmo individual, construiriam o mesmo

muro?

Note que quanto maior for o número de operários menor será o tempo necessário para construir

o muro.

Essas grandezas são inversamente proporcionais*...

Quando uma cresce, a outra diminui.

5.1.6 EXEMPLO 4

Em nosso exemplo, o novo número de operários – 6 – é o dobro do número original – 3.

É intuitivo acreditar que eles precisarão da metade do tempo para levantar o muro, não é?

Ou seja, os 6 operários precisarão de apenas 4 dias.

Já que o número de operários foi multiplicado por 2...

...e as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais...

...o tempo necessário para construir o muro será divido por 2.

3 operários constroem um muro em 8 dias.

Se eles tivessem de construir apenas metade do muro, levariam 4 dias, concorda?

Estamos preocupados com a relação existente entre o número de operários

e o tempo para construírem um muro. Apenas esses dois dados são alterados.

Os demais dados – ritmo de trabalho e tamanho do muro – permanecem

inalterados.

*inversamente proporcionais...

Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o aumento de uma

delas acarreta a diminuição da outra na mesma proporção.

Por exemplo, se multiplicarmos a primeira grandeza por 5, a segunda deverá

ser dividida por 5.

Podemos entender esse problema de outra maneira...

Matemática

99

M Ó D U L O 2

5.1.7 EXEMPLO 5

Se dividíssemos os 6 operários em 2 grupos de 3...

...poderíamos pedir que cada grupo construísse metade do muro.

Logo, ao final de 4 dias, teríamos um muro inteiro.

5.1.8 EXEMPLO 6

Se tivéssemos 6 operários, no mesmo ritmo de trabalho, a cada dia, construiríamos 2 / 8 do muro.

Logo, em 4 dias, teríamos o muro pronto.

5.1.9 EXEMPLO 7

Usando a regra de três, precisamos organizar nossos dados em uma tabelinha...

Temos a proporção dada por 3/6...

Chamemos a incógnita de x.

Como as grandezas são inversamente proporcionais...

...a proporção para a grandeza tempo deve ser a proporção inversa da calculada para a grandeza

número de operários.

Logo...

Podemos concluir que 6 operários levariam apenas 4 dias para levantar o muro.

Outra maneira de entender a resolução... Você consegue perceber que, a

cada dia, 1 / 8 do muro é construído pelos 3 operários?

número de operários tempo – dias

3 8

6 ?

6 8 8 x

=

6 8 8 x

=

Multiplicando em diagonais...

6x = 3 . 8

6x = 24

x = 24/6

x = 4


100

Não tem segredo... Basta montar a tabelinha, perceber se as grandezas são direta* ou inversamente

proporcionais e montar a igualdade entre as proporções.

5.2 SÍNTESE


UNIDADE 6 – REGRA DE TRÊS COMPOSTA

6.1 CONCEITUAÇÃO

Você se lembra de que, na regra de três simples, tínhamos 4 variáveis, das quais 3 eram conhecidas,

e uma era desconhecida?

No caso da regra de três composta, teremos mais do que 4 variáveis, guardando algum tipo de

proporcionalidade.

6.1.1 EXEMPLO 1

Por exemplo...

Um carro de Fórmula 1 dá 8 voltas na pista em 24 minutos com uma velocidade de 150 km/h.

Em quanto tempo esse carro dará 12 voltas, na mesma pista, se a velocidade for de 100 km/h?

Temos um problema parecido com o primeiro problema de regra de três simples...

A diferença é a variação na velocidade...

No caso da regra de três simples, a velocidade mantinha-se constante.

Nesse caso, a velocidade passa de 150 km/h para 100 km/h. Temos de levar em

consideração essa complicação a mais...

*diretamente proporcionais...

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma

delas acarreta o aumento da outra na mesma proporção. Por exemplo, se

multiplicarmos a primeira grandeza por 5, a segunda também deverá ser

multiplicada por 5.

O precedimento é semelhante. Podemos usar o mesmo raciocínio da tabelinha.

Matemática

101

M Ó D U L O 2

6.1.2 EXEMPLO 2

Vamos montar a tabelinha de sempre...

Já sabemos que voltas e tempo são grandezas diretamente proporcionais...

Para dar mais voltas, é preciso mais tempo, desde que a velocidade se mantenha

constante.

Dessa forma, temos a proporção...

6.1.3 EXEMPLO 3

Como tempo e velocidade são grandezas inversamente proporcionais...

...quanto mais rápido o carro estiver, menos tempo será necessário para dar o mesmo número de

voltas na pista.

Dessa forma, de acordo com a tabelinha, temos a proporção...

Perceba que tratamos da grandeza tempo com as duas outras grandezas separadamente...

...sempre supondo a que ficava de fora como constante.

No caso da relação direta entre tempo e voltas, supusemos que a velocidade era

constante.

Mas é intuitivo que se a velocidade variar, nossa proporção também deverá variar.

voltas tempo – minutos velocidade – Km/h

8 24 150

12 ? 100

8 24 12 ?

=

Porém, Tempo e Velocidade são grandezas inversamente

proporcionais... Vejamos...


8 24 150

12 ? 100

100 24 150 ?

= Note que invertemos a fração porque as grandezas são inversamente

proporcionais...


102

Desse modo, precisamos, de alguma forma, inserir esse ajuste na proporção!

Vejamos...

6.1.4 EXEMPLO 4

Esse ajuste nada mais é do que considerar a interferência da variação na velocidade na razão 8/

12...

Regra de três simples é bem mais fácil, não?

Então por que não transformar a regra de três composta em uma regra de três simples?

24 . 1.800 = 800 . x

x = 43.200/800

x = 54 minutos

Na verdade, o que precisamos fazer é identificar o tipo de proporcionalidade existente

entre a grandeza na qual está a incógnita e as demais grandezas uma a uma...

...e, em seguida, montar a proporção.

Veja uma outra maneira de resolver o problema...

6.1.5 EXEMPLO 5

Temos a seguinte tabela...

Vejamos a relação entre voltas e velocidade, mantendo o tempo constante...

Quanto maior for a velocidade, maior será o número de voltas na pista.

Ou seja, essas grandezas são diretamente proporcionais.

24 8 100 x 12 150

= .

24 800 x 1800

=


8 24 150

12 ? 100

Matemática

103

M Ó D U L O 2

6.1.6 EXEMPLO 6

Vamos além...

Se o carro dá 12 voltas a 100 km/h...

...quantas voltas deveria dar a 150 km/h, se nenhuma outra grandeza interferisse?

Veja a tabelinha...

6.1.7 EXEMPLO 7

Podemos substituir a segunda linha da tabela por...

Já que a proporção é a mesma, vamos ver o que essa mudança ocasionou...

6.1.8 EXEMPLO 8

Temos, então, uma nova tabela...

Agora, a velocidade é constante.

voltas velocidade – Km/h

? 150

12 100

x 100

12 150=

100 . x = 12 . 150

x = 1.800/100

x = 18


8 24 150

12 ? 100

18 ? 150


8 24 150

18 ? 150


104

Como a velocidade é a mesma, podemos esquecê-la e considerar apenas a relação

entre voltas e tempo...

6.1.9 EXEMPLO 9

Note que temos um problema de regra de três simples em que as grandezas são diretamente

proporcionais...

6.1.10 EXEMPLO 10

3 operários levam 8 dias para construir 1 muro.

Em quanto tempo 6 operários, mantendo o mesmo ritmo individual, construiriam 4 muros do

mesmo tipo?

As grandezas número de operários e tempo são inversamente proporcionais...

Logo, invertemos uma das frações...

É uma possibilidade de resolver o problema pela regra de três simples.

8 . x = 18 . 24

x = 432/8

x = 54 minutos

8 24

18 x

Diga-me se tem segredo. Vejamos outro exemplo para fixar...

3 x

6 8=

voltas tempo – minutos

8 24

18 ?

voltas tempo – minutos

8 24

18 ?

Matemática

105

M Ó D U L O 2

6.1.11 EXEMPLO 11

As grandezas tempo e quantidade de muros são diretamente proporcionais...

Logo, quanto maior a quantidade de muros a construir, maior o tempo dispensado para a tarefa...

Se o número de operários mudar, temos de ajustar a proporção...

Temos de ajustar a proporção porque as grandezas tempo e número de operários são inversamente

proporcionais.

Vamos resolvê-lo de outra forma...

6.1.12 EXEMPLO 12

Podemos, novamente, transformar esse problema de regra de três composta em um de regra de

três simples...

Para isso, precisamos eliminar o efeito da variação na quantidade de muros construídos.

Observe que quanto maior for o número de operários trabalhando...

...maior será a quantidade de muros construídos...

...durante o mesmo tempo.

Ou seja, essas grandezas são diretamente proporcionais.

3 x 6 8

=

8 1 x 4

=

Lembre-se de que para analisar essa relação, estamo-nos esquecendo de

que a quantidade de muros varia...

...desde que o número de operários envolvidos mantenha-se constante...

É isso que estamos supondo para analisar essa relação!

8 1 6 x 4 3

= .

número tempo em dias quantidade de muros

de operários

3 6 1

6 ? 4


106

6.1.13 EXEMPLO 13

Vamos além...

Se 3 operários constroem 1 muro...

...quantos operários seriam necessários para construir 4 muros, sem interferência de nenhuma

outra grandeza?

3/x = 1/4

x = 3 . 4

x = 12 operários

Dessa forma, podemos substituir a primeira linha da tabela...

...por...

...pois é a mesma proporção.

6.1.14 EXEMPLO 14

Temos então uma nova tabela...

Temos agora a mesma quantidade de muros. Como essa grandeza é constante, podemos

esquecê-la...

...e considerar apenas a relação

entre números de operários e

tempo...

Vamos resolver a questão...

número de operários quantidade de muros

3 1

? 4

número tempo em dias quantidade de muros

de operários

3 8 1

6 ? 4

12 8 4

número de operários tempo – dias quantidade de muros

12 8 1

6 ? 4

número de operários tempo – dias

12 8

6 ?

Matemática

107

M Ó D U L O 2

6.1.15 EXEMPLO 15

...que são grandezas inversamente proporcionais. Daí...

6x = 8.12x = 96/6x = 16 dias

6.2 SÍNTESE



7.1 FILME


uma cena do seriado Numb3rs no ambiente on-line.

7.2 OBRA LITERÁRIA

Para refletir um pouco mais sobre questões relacionadas ao conteúdo deste módulo, leia o texto

A Cidade e as Serras no ambiente on-line.

7.3 OBRA DE ARTE

Para refletir um pouco mais sobre questões relacionadas ao conteúdo deste módulo, aprecie o

quadro Jovem mãe no ambiente on-line.

12 x 6 8

=

O problema original foi substituído por um problema de regra de três

simples...


108

MÓDULO 3

APRESENTAÇÃO

Este módulo está dividido em oito unidades...

§ progressão aritmética;

§ progressão geométrica;

§ juros simples;

§ juros compostos;

§ média aritmética simples;

§ média aritmética ponderada;

§ média harmônica;

§ média geométrica.

Vamos começar?

UNIDADE 1 – PROGRESSÃO ARITMÉTICA

1.1 SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

Você se lembra de progressão aritmética?

Qual o próximo número da seqüência numérica*?

Veja, no ambiente on-line, a resposta certa.

Veja, a seguir, como chegamos à resposta certa...

{ 3, 5, 7, 9, 11, __ }

* seqüência numérica...

Chama-se seqüência ou sucessão numérica qualquer conjunto ordenado de

números reais.

Por exemplo, os conjuntos C = {3, 5, 6, 8, 10, 12, 15} e D = {17, 16, 14, 12, 9, 7, 5}

são seqüências numéricas. No caso, C é uma seqüência crescente e D é uma

seqüência decrescente. Já o conjunto N = {2, 5, 7, 6, 10, 14, 11, 17} não é uma

seqüência numérica, pois não está ordenado.

Existem seqüências numéricas cujos termos obedecem a uma lei de formação.

Por exemplo, as progressões aritmética e geométrica.

Matemática

109

M Ó D U L O 3

1.1.1 EXEMPLO

Você percebeu que o número seguinte é sempre o anterior mais 2.

Dessa forma, o número depois de 11 é 11 + 2, que é igual a 13.

O número seguinte é sempre o anterior mais 2, indicando

que essa é a lei de formação da seqüência.

Você acaba de trabalhar com uma progressão aritmética!

1.2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Uma progressão aritmética é um tipo especial de seqüência numérica. Nela a diferença entre

quaisquer dois termos sucessivos é constante.

No exemplo que vimos, essa diferença foi sempre igual a dois, inclusive para a obtenção do

número seguinte a 11... Esse valor constante é chamado de razão da progressão aritmética,

mas vamos à definição formal...

Progressão aritmética – PA – é uma seqüência numérica, cujos termos, a partir do

segundo, são iguais ao anterior somado a um valor constante denominado razão –

denotado por r.

1.2.1 EXEMPLOS

Vejamos mais alguns exemplos...

§ A = {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}

é uma PA de razão igual a 3;

§ B = {5, 10, 15, 20, 25,...}

é uma PA de razão 5;

§ C = {14, 10, 6, 2, -2, -6,...}

é uma PA de razão igual a -4;

§ D = {3, 3, 3, 3, 3,...}

é uma PA de razão igual a zero.

{ 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

{ 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

11 + 2 = 13

��

�

�

�

�


110

1.2.2 TIPOS

Se a razão da PA for positiva, dizemos que a PA é crescente.

Se a razão for negativa, dizemos que a PA é decrescente.

Se a razão foi igual a zero, dizemos que a PA é constante.

1.2.3 EXEMPLOS

A seqüência A é uma PA crescente...

A = {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}

é uma PA de razão igual a 3.

A seqüência B também é uma PA crescente...

B = {5, 10, 15, 20, 25, ...}

é uma PA de razão 5.

A seqüência C é uma PA decrescente...

C = {14, 10, 6, 2, -2, -6, ...}

é uma PA de razão igual a -4.

A seqüência D é uma PA constante...

D = {3, 3, 3, 3, 3, ...}

é uma PA de razão igual a zero.

1.2.4 TERMO GERAL

Seja uma PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão igual a r.

Em que...

§ a1 é a notação para o primeiro termo da PA;

§ a2 é a notação para o segundo termo da PA;

§ a3 é o terceiro termo;

§ an é o n-ésimo termo da PA.

Podemos afirmar que o termo geral da PA é dado por...

Vejamos como se obtém essa igualdade...

Vamos voltar aos exemplos...

an = a1 + (n-1) . r

Matemática

111

M Ó D U L O 3

1.2.4.1 FÓRMULA

Se...

...temos imediatamente que...

1.2.4.2 n-ÉSIMO TERMO

Substituindo a2 e a3 por seu valor em função de a1..

Perceba que...

Para obtermos a3 a partir de a1, somamos 2 vezes a razão.

Para obtermos a4 a partir de a1, somamos 3 vezes a razão.

Dessa forma, para obtermos o n-ésimo termo a partir de a1, tudo indica que

devemos somar a razão (n - 1) vezes.

1.2.4.3 EXERCÍCIOS


1.2.4.4 EXEMPLO 1

O primeiro passo é encontrarmos a razão da PA.

an = an-1 + r

a3 = a2 + r a3 = (a1 + r) + r = a1 + 2 . r

a4 = a3 + r a4 = (a1 + 2r) + r = a1 + 3 . r

Vamos dificultar um pouco mais! Sabendo que o 5º termo de uma PA é igual

a 18, e que o 12º é igual a 32, qual é o valor do primeiro termo?

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r

a4 = a3 + r


112

Para isso...

Valor do termo:

Ou seja, temos de transformar 18 em 32, somando o mesmo número 7 vezes...

18 + 7 . r = 32 7 . r = 32 – 18 7 . r = 14

r = 2

1.2.4.5 EXEMPLO 2

Conhecendo o valor da razão, utilizamos a fórmula do termo geral da PA para encontrar a1.

a5 = a1 + (5 – 1) . r

18 = a1 + 4 . 2

-a1 = 8 -18

a1 = 10

1.2.5 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS

Seja uma PA genérica (a1, a2, a3, ... , an - 1, an, an + 1, ...) com razão igual a r...

Seja Sn a soma dos n primeiros termos...

Sn = a1 + a2 + ... + an - 1 + an

Também podemos escrever...

Sn = an + an - 1 + ... + a2 + a1

Somando, membro a membro, as duas igualdades, temos...

2 . Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

18 __ __ __ __ __ __ 32

5º 12º

E se quisermos somar os n primeiros termos de uma PA? Vejamos...

Matemática

113

M Ó D U L O 3

1.2.5.1 PROPRIEDADE

(a1 + an) = (a2 + an - 1) = ... = (an - 1 + a2) = (an + a1)

Sendo uma PA genérica (a1, ... , an - 1, an, an + 1, ...) de razão igual a r, sabemos que...

an = a1 + (n - 1) . r

an - 1 = a1 + (n - 2) . r

an - 2 = a1 + (n - 3) . r

...

a3 = a1 + 2 . r

a2 = a1 + r

Daí...

a1 + an = a1 + a1 + (n - 1) . r = 2a1 + (n - 1) . r

a2 + an - 2 = (a1 + r) + (a1 + (n - 3) . r)

a1 + a1 + r + (n - 3) . r = 2a1 + (1 + n - 3) . r = 2a1 + (n - 2) . r

Mais ainda...

1.2.5.2 FÓRMULA

a3 + an - 2 = (a1 + 2 . r) + (a1 + (n - 3) . r) =

a1 + a1 + 2 . r + (n - 3) . r = 2a1 + (2 + n - 3) . r =

2a1 + (n - 1) . r

(a1 + an) = (a2 + an - 1) = (a3 + an - 2)

Ou seja, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Dessa forma...

2 . Sn = (a1 + an) . n

É propriedade de uma PA...

Vamos verificar a validade dessa afirmativa...

Percebemos que...

(a1 + an) . n

2Sn =


114

1.2.5.3 EXEMPLO 1

Qual a soma dos 8 primeiros termos da PA dada por {5, 7, 9, 11, ...}?

Temos que a1 = 5 e que r = 2.

Utilizamos a fórmula do termo geral da PA para encontrar o termo a8.

a8 = a1 + 7 . r = 5 + 7 . 2 = 5 + 14 = 19

1.2.5.4 EXEMPLO 2

Temos a seguinte PA: {5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...}.

Queremos somar seus 8 primeiros termos, isto é...

5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

Invertendo essa seqüência, temos...

19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5

...o que dá no mesmo!

Somando membro a membro, temos...

(5 + 19) + (7 + 17) + (9 + 15) + (11 + 13) + (13 + 11) + (15 + 9) + (17 + 7) + (19 + 5)

Vamos ver um exemplo de soma dos termos de uma PA...

Utilizando a fórmula da soma dos termos, temos...

(a1 + a8) . 8

2S8 =

(5 + 19) . 8

2S8 =

24 . 8

2S8 =

192

2S8 =

S8 = 96

Vamos verificar que precisamos realmente multiplicar (a1 + a8) por 8?

Observe...

Matemática

115

M Ó D U L O 3

Ou seja, somar isso tudo é o mesmo que multiplicar 24 por 8.

24 . 8 = 192

Como queremos a metade disso... 192 / 2 = 96

1.2.5.5 EXERCÍCIO


1.2.5.6 DESCOBERTA DE GAUSS

Dizem que Gauss*, sem perceber, descobriu a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma

PA. Não há consenso quanto a sua idade nem quanto ao problema que foi proposto.

Uns dizem que ele tinha 7 anos, outros dizem que ele tinha 8. Também há quem diga que ele

tinha 10 anos.

Quanto ao problema, uns dizem que o professor de Gauss pediu para que a turma somasse os

números de 1 a 100.

Outros dizem que o problema era somar os 100 termos da seguinte seqüência {81.297, 81.395,

81.693, ... , 100.899}, em que a diferença de um número para o próximo era sempre 198.

Independente dessas variações, diz a história que, em poucos segundos, Gauss, para a surpresa de

seu professor, encontrou a resposta correta.

Ele tinha, justamente, percebido que a soma dos termos eqüidistantes dos extremos era constante

e se repetia 50 vezes.

1.2.6 SÍNTESE

Agora que já vimos PA, vamos para a próxima unidade, onde veremos PG.


Temos então um total de 8 parcelas e cada uma das parcelas é igual a 24.

*Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)...

Nasceu em Brunswick, na Alemanha. Foi matemático, astrônomo e físico.


116

UNIDADE 2 – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

2.1 SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

Perceba que o número seguinte é sempre o anterior multiplicado por 2.

Dessa forma, o número depois de 16 é...

16 . 2 = 32

Essa é a lei de formação da seqüência.

2.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Assim como a progressão aritmética, a progressão geométrica é um tipo especial de seqüência

numérica.

Na progressão geométrica, a divisão entre quaisquer dois termos sucessivos é constante.

Progressão geométrica – PG – é uma seqüência numérica, cujos termos, a partir do

segundo, são iguais ao anterior multiplicado por um valor constante e positivo

denominado razão e denotado por q.

2.2.1 RAZÃO NEGATIVA

Sendo a1 = 2 e a razão = -3...

... o conjunto resultante é {2, -6, 13, -54, 162, -486, ...}

Esse conjunto não é ordenado e, portanto, não é uma seqüência.

Não sendo seqüência, não pode ser uma progressão geométrica.

Qual o próximo número da seqüência 1, 2, 4, 8, 16?

Se você pensou em 32, acertou!

Você acaba de trabalhar com uma progressão geométrica. Parabéns!

Esse valor constante é chamado de razão. Mas vamos à definição formal.

Sabe por que não podemos ter razão negativa? Veja só este exemplo...

Matemática

117

M Ó D U L O 3

2.2.2 EXEMPLOS

Veja alguns exemplos de PG...

A = {1, 2, 4, 8, 16, ...} é uma PG com q = 2.

B = {-3, -9, -27, -81, ...} é uma PG com q = 3.

C = {50, 10, 2, 2/5, ...} é uma PG com q = 1 / 5.

D = {-1.000, -100, -10, -1, ...} é uma PG com q = 1 / 10.

E = {6, 6, 6, 6, 6, ...} é uma PG com q = 1.

2.2.3 TIPOS

Assim como a PA, essas PGs também podem ser classificadas em...

2.2.4 TERMO GERAL

Seja uma PG genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão igual a q.

O termo geral da PG é dado por...

an = a1 . q(n-1)

A = {1, 2, 4, 8, 16, ...} é uma PG com q = 2.

B = {-3, -9, -27, -81, ...} é uma PG com q = 3.

C = {50, 10, 2, 2/5, ...} é uma PG com q = 1 / 5.

D = {-1.000, -100, -10, -1, ...} é uma PG com q = 1 / 10.

E = {6, 6, 6, 6, 6, ...} é uma PG com q = 1.

crescentes

decrescentes

constantes

Vejamos agora o termo geral de uma progressão geométrica.

Vamos ver como obtemos essa igualdade?


118

2.2.4.1 FÓRMULA

Temos, imediatamente, que...

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q

Substituindo a2 por seu valor em função de a1 e q, temos...

a3 = (a1 . q) . q = a1 . q²

a4 = a3 . q

Substituindo a3 por seu valor em função de a1 e q, temos...

a4 = (a1 . q²) . q = a1 . q³

Dessa forma, para obtermos o n-ésimo termo a partir de a1, tudo indica que devemos

multiplicar a1 por q(n - 1)...

an = a1 . q(n - 1)

2.2.5 EXERCÍCIOS


2.2.6 EXEMPLO

O primeiro passo deve ser encontrar a razão dessa PG.

Valor do termo:

Ou seja, temos de transformar 125 em 390.625 multiplicando 125 pelo mesmo

valor 5 vezes...

Seja uma PG genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão igual a q...

Vamos dificultar um pouco mais!

Sabendo que o 3º termo de uma PG é igual a 125 e que o 8º é igual a 390.625...

Qual é o valor do primeiro termo?

__ __ 125 __ __ __ __ 390.625

3º termo 8º termo

Matemática

119

M Ó D U L O 3

2.2.7 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS

Seja uma PG genérica (a1, a2, a3, ... , an - 1, an, an + 1, ...) de razão igual a q > 1.

A soma dos n primeiros termos, Sn, é dada por...

390.625 = 125 . q5

q = 5 Logo...

a3 = a1 .q²

125 = a1 .5²

125 = a1 . 25

125

25

a1 = 5

390.625

125= q5

a1 =

a1 . (qn - 1)

q - 1Sn =

Vejamos agora como fazer a soma dos n primeiros termos de uma PG...

Vamos verificar essa eqüidade?


120

2.2.7.1 PROPRIEDADE

Observe...

Seja uma PG genérica (a1, a2, a3, ... , an - 1, an, an + 1, ...) de razão igual a q > 1...

Logo...

A soma dos n primeiros termos, Sn, é dada por...

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 1 + na

Multiplicando os dois lados da igualdade por q, temos...

Sn . q = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an - 1 . q + an .q

Podemos reescrever a igualdade acima como...

Sn . q = a2 + a3 + a4 + ... + an + an . q

Somando a1 aos dois lados da igualdade, temos...

a1 + Sn . q = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + an .q

2.2.7.2 FÓRMULA

Teremos...

a1 + Sn . q = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + an . q

a1 + Sn . q = Sn + an . q

Sn . q - Sn = -a1 + an . q

Sn . (q - 1) = -a1 + (a1 . q(n - 1)) . q

Sn . (q - 1) = -a1 + a1 . qn

Sn . (q - 1) = a1 . (qn - 1)


a1 . q(n - 1)

q - 1Sn =

Matemática

121

M Ó D U L O 3

2.2.7.3 EXEMPLO 1

Vejamos a soma dos termos da PG dada por {2, 1, 1/2, 1/4, 1/8}...

Temos que a1 = 2, q = 1/2 e que a PG tem 5 termos.

Dessa forma...

2.2.8 SOMA DOS TERMOS

Podemos verificar o resultado da soma dos termos da PG dada por {2, 1, 1/2, 1/4, 1/8} da seguinte

forma...

S5 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8

Lembre-se de que, para efetuar essa soma, é preciso, primeiramente, calcular o MMC

dos denominadores das frações...

...depois transformar essas parcelas em frações equivalentes com denominador igual

ao MMC encontrado.

O MMC de 1, 2, 4 e 8 é 8. Dessa forma...

2 é equivalente a 16/8; 1 é equivalente a 8/8; 1/2 é equivalente a 4/8; 1/4 é equivalente

a 2/8; 1/8 é 1/8 mesmo.

A soma S5 é então equivalente a...

S5 = 16/8 + 8/8 + 4/8 + 2/8 + 1/8

S5 = (16 + 8 + 4 + 2 + 1)/8

S5 = 31/8

S5 = 2 . (1 / 32 - 1) . (-2)

S5 = -4 . (1 / 32 - 1)

S5 = -4 . (1 / 32 - 32 / 32)

S5 = -4 . (-31 / 32)

S5 = 31 / 8

a1 . ( q5-1)

(q - 1)S5 =

2 . ((1/2) 5 - 1)

(1/2 - 1)S5 =

2 . (1/32 - 1)

(- 1/2)S5 =


122

2.2.9 EXERCÍCIOS


2.3 SÍNTESE

Na próxima unidade veremos Juros


UNIDADE 3 – JUROS SIMPLES

3.1 JUROS SIMPLES COMO PA

Nesta unidade, queremos que você perceba o cálculo do montante em um regime de juros

simples como uma aplicação de progressão aritmética.

Vamos começar?

3.1.1 FÓRMULA

O regime de juros simples é...

VF = VP . (1 + i . n)

Em que...

§ VF é o valor futuro – montante* – ao final do prazo;

§ VP é o valor presente – valor atual, principal*;

§ i é a taxa de juros*;

§ n é o prazo da operação.

*valor futuro/montante...

Quando vamos receber ou pagar ou aplicar algum valor no futuro, no ano que

vem, no mês que vem, isso significa que tal valor é um valor futuro. O Valor

futuro é usualmente representado pela sigla VF. Nas calculadoras financeiras, é

comum encontrarmos FV – future value.

* valor presente...

Quando recebemos ou aplicamos algum valor hoje...agora... neste instante...

Isto significa que este valor é o valor presente. O Valor presente é, usualmente,

representado pela sigla VP. Nas calculadoras financeiras, é comum encontrarmos

PV – present value.

* taxa de juros...

Quando temos de calcular os juros de uma operação, precisamos da taxa de

juros pactuada entre as partes. A taxa de juros, como o próprio nome indica, é

uma taxa, geralmente expressa em base percentual, por exemplo, 10% ao ano.

Matemática

123

M Ó D U L O 3


A igualdade do regime de juros simples pode ser entendida como...

A parcela (VP . i . n) é o valor dos juros – J*.

Ou seja, o montante final – VF – é igual ao montante inicial – VP – mais os juros

referentes ao prazo da operação – J.

O regime de juros simples se caracteriza pela taxa de juros incidindo sempre

sobre o valor presente da operação.

3.1.3 EXEMPLO 1

Ernesto foi ao banco conversar com seu gerente, pois precisava de um empréstimo.

– Boa tarde, Sr. Fagundes, estou precisando de um empréstimo de R$ 10.000,00...

– Para esse valor, o pagamento pode ser realizado daqui a 6 meses, a uma taxa de juros de

10%. Veja...

Sr. Fagundes aplica a fórmula do regime de juros simples e mostra a Ernesto quanto que ele irá

pagar...

Se n = 1...

...temos J = 10.000 . 10% . 1 = 1.000.

Conseqüentemente, VF = 11.000.

Se n = 2...

...temos J = 10.000 . 10% . 2 = 2.000.


Se n = 3...

...temos J = 10.000 . 10% . 1 = 1.000.


VF = VP + VP . i . n

*juros...

Lucro calculado sobre determinada taxa de dinheiro emprestado ou de capital

empregado; rendimento, interesse.

Em outras palavras, os juros serão calculados com base no valor presente da

operação e se diferenciarão apenas devido ao prazo da operação.

Vejamos um exemplo!


124

Se n = 4...

...temos J = 10.000 . 10% . 4 = 4.000.


Se n = 5...

...temos J = 10.000 . 10% . 5 = 5.000.


Se n = 6...

...temos J = 10.000 . 10% . 6 = 6.000.


Note que a seqüência de valores de VF é...

{11.000, 12.000, 13.000, 14.000, 15.000, 16.000}

Ou seja, uma PA de razão igual a 1.000.

3.1.4 EXERCÍCIO


3.1.5 EXEMPLO 2

Um banco cobra uma taxa de juros de 6% ao mês no cheque especial em regime de juros

simples.

Quanto de juros deverá pagar um cliente que teve saldo negativo constante de R$ 500,00 na

conta durante 2 meses?

Sabemos que os juros mensais contam...

J = VP . i . 1 = 500 . 6% = 30

Substituímos n por 1 porque estamos interessados no valor dos juros para cada período de 1 mês.

Os juros mensais são exatamente iguais à razão da PA.

Dessa forma, temos a seguinte PA: {500, 530, 560}.

Observe que o cálculo dos juros se baseia em uma taxa fixa, um VP fixo. E só

mudam porque há mais períodos envolvidos.

Podemos resolver o problema proposto usando nossos conhecimentos de

PA... Veja...

Matemática

125

M Ó D U L O 3

Observe que, apesar de 560 ser o 3º termo da PA, ele é o resultado após 2 meses.

530 é o a2, mas exprime o resultado após 1 mês...

...tudo porque o a1 = 500 é o resultado atual.

Mais ainda...

3.1.6 EXEMPLO 3

Suponhamos que todos os meses tenham 30 dias. Dessa forma, 15 dias equivaleriam à metade de

1 mês.

Dessa forma...

VF = 500 . (1 + 6% .0,5)

VF = 500 . (1 + 3%)

VF = 500 . (1 + 0,03)

VF = 500 . (1,03)

VF = 515

3.2 SÍNTESE

Na próxima unidade, veremos juros compostos.


UNIDADE 4 – JUROS COMPOSTOS

4.1 JUROS COMPOSTOS COMO PG

Agora queremos que você perceba o cálculo do montante em um regime de juros compostos

como uma aplicação de progressão geométrica.

Veja o que acontece se o cliente ficar apenas 15 dias com o saldo negativo!


126

4.1.1 FÓRMULA

O regime de juros compostos é...

VF = VP . (1 + i)n

Em que...

§ VF é o valor futuro – montante – ao final do prazo;

§ VP é o valor presente – valor atual, principal;

§ i é a taxa de juros;

§ n é o prazo da operação.


O regime de juros compostos caracteriza-se pela taxa de juros incidindo sempre sobre o valor

presente do período em questão.

4.1.3 EXEMPLO

Ernesto foi ao banco conversar com seu gerente, pois precisava de um empréstimo.

– Boa tarde, Sr. Fagundes, estou precisando de um empréstimo de R$ 10.000,00...

– Para esse valor, o pagamento pode ser realizado daqui a 6 meses, a uma taxa de juros de

10%. Veja...

Sr. Fagundes aplica a fórmula do regime de juros compostos e mostra a Ernesto quanto que ele irá

pagar...

Se n = 1...

...temos VP = 10.000 . J = 10.000 . 10% = 1.000.

Logo, VF = 10.000 + 1.000 = 11.000.

Se n = 2...

...para o 2° período, temos VP = 11.000.

Daí, J = 11.000 . 10% = 1.100.

Logo, VF = 11.000 + 1.100 = 12.100.

Em outras palavras, os juros serão calculados, periodicamente, e se

diferenciarão devido ao aumento do valor presente a cada início de período.

Vejamos como fica o caso de Ernesto com juros compostos.

Matemática

127

M Ó D U L O 3

Se n = 3...


Daí, J = 12.100 . 10% = 1.210.

Logo, VF = 12.100 + 1.210 = 13.310.

Se n = 4...


Daí, J = 13.310 . 10% = 1.331.

Logo, VF = 13.310 + 1.331 = 14.641.

Se n = 5...


Daí, J = 14.641 . 10% = 1.464,10.

Logo, VF = 14.641 + 1.464,10 = 16.105,10.

Se n = 6...

...para o 6° período, temos VP = 16.105,10.

Daí, J = 16.105,10 . 10% = 1.610,51.

Logo, VF = 16.105,10 + 1.610,51 = 17.715,61.

Note que a seqüência de valores de VF é...

{11.000; 12.100; 13.310; 14.641; 16.105,10; 17.715,61}

Ou seja, uma PG de razão igual a 1,1!

Perceba que a razão é justamente igual a 1 + 10%, fator de multiplicação do VP

na fórmula do VF para juros compostos.

4.1.4 EXERCÍCIO


4.2 SÍNTESE

Na próxima unidade, veremos média aritmética simples.



128

UNIDADE 5 – MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

5.1 EXEMPLO 1

Estamos falando ao vivo do estádio El Balero e a expectativa é grande para assistir ao

jogador Xexéo...

O jogador Xexéu marcou 28 gols no campeonato, no qual participou de 40 partidas...

Uma média de 0,7 gol por partida!

Observe que não importa se Xexéu passou alguns jogos sem marcar gols, se marcou

vários gols em outros jogos ou se marcou um gol quase sempre.

Importa que, na soma total, ele marcou 28 gols no campeonato.

5.2 EXEMPLO 2

Nesse exemplo, também podemos fazer média aritmética dos preços de aluguel...

A média dos valores dos aluguéis é obtida pelo quociente entre a soma...

700 + 800 + 900 + 800 + 900 + 1.000 + 800 + 1.000 = 6.900

...e o número total de aluguéis pesquisados – no caso, 8. Logo...

6.900/8 = 862,50

Podemos concluir que a média aritmética do valor dos aluguéis é R$ 862,50.

5.3 EXEMPLO 3

Ana 8,0...

João 7,0...

Marcos 10,0...

Até que meus alunos foram bem no teste... A média da turma foi 7,5...

Esse caso apresenta o conceito de média aritmética... A média de gols por

partida é obtida pela divisão 28/40.

Matemática

129

M Ó D U L O 3

Se a média foi igual a 7,5 e há 30 alunos na turma...

...temos que a soma das notas foi igual a...

7,5 . 30 = 225

Não importa se houve notas muito baixas e notas muito altas, ou se as notas

concentraram-se em torno de 7,5.

Só importa que a soma de todas elas foi igual a 225.

5.4 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

Podemos definir a média aritmética simples da seguinte forma...

Seja um conjunto de n números reais x1, x2, x3, ... , xn.

A média aritmética simples, Ma, ou, simplesmente, média aritmética desses n números

é dada por...

5.4.1 EXERCÍCIOS


5.5 SÍNTESE

Na próxima unidade, veremos média aritmética ponderada.


A média da turma é igual à soma das notas de todos os alunos dividida pelo

número de alunos.

(x1 + x2 + x3 + ... + xn)n

Ma =


130

UNIDADE 6 – MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

6.1 EXEMPLO 1

– Professor, por que eu fui reprovada se eu tirei 6,0 na prova oral e 4,0 na prova escrita?

– Isso não dá uma média de 5,0?

– Você ficou reprovada porque sua média final foi 4,6...

– Você tirou 6,0 na prova oral, que tinha peso 3, e nota 4,0 na prova escrita, que tinha peso 7!

(6 . 3 + 4 . 7)/10 = (18 + 28)/10 = 46/10 = 4,6

Se os pesos fossem iguais, ela teria sido aprovada...

(6 . 5 + 4 . 5)/10 = (30 + 20)/10 = 50/10 = 5,0

Nesse caso, a média aritmética ponderada seria exatamente igual à média aritmética

simples...

(6 + 4)/2 = 10/2 = 5,0

6.2 EXEMPLO 2

Banana R$ 2,00, Limão R$ 8,00, Maçã R$ 13,00!!!

Nossa! Hoje o dia foi bom... Vendi 40kg de banana, 20kg de limão e 30kg de maçã!

Ou seja, ele vendeu cada kg por R$ 7,00 em média.

Na verdade, ela não somou 5 pontos, e sim 4,6, devido aos pesos atribuídos a

cada uma das provas.

Com mais detalhes...

Se quisermos calcular a média ponderada por Kg que o feirante vendeu,

devemos fazer o seguinte...

40 . 2 + 20 . 8 + 30 . 13

90

80 + 160 + 390

90

630

90

Mp = 7

Mp =

Mp =

Mp =

Matemática

131

M Ó D U L O 3

6.3 MÉDIA ARITMÉTICA PPONDERADA

Podemos então definir a média aritmética ponderada da seguinte forma...

Seja um conjunto de n números reais x1, x2, x3, ... , xn, cada um deles sujeito,

respectivamente, aos pesos p1, p2, p3, ... , pn.

A média aritmética ponderada, Mp, ou, simplesmente, média ponderada desses n

números é dada por...

6.3.1 EXERCÍCIO


6.3.2 VARIÁVEIS

No primeiro caso, a aluna estava interessada em sua média final. Naturalmente, entendemos que

as variáveis são as notas das duas provas que ela prestou.

No segundo caso, o feirante queria definir o preço médio de cada quilograma vendido naquele

dia. Naturalmente, as variáveis serão os preços – o feirante está interessado em preço. Lembre-se

de que os pesos serão as quantidades vendidas.

6.3.3 EXEMPLO

João e Pedro são vendedores ambulantes de garrafinhas de suco de laranja. Na maior

parte do tempo, os locais de trabalho são os pontos de ônibus.

Como já estão nisso há um bom tempo, sabem perfeitamente que as vendas giram em

torno de 30 unidades por dia e, por isso, só levam essa quantidade de garrafinhas.

Só há uma diferença entre eles...

João vende 3 garrafinhas por R$ 1,00 enquanto Pedro vende 2 garrafinhas por R$ 1,00.

Um dia desses, João estava com dengue e pediu a seu amigo que vendesse suas

garrafinhas...

No final do dia, ele receberia os R$ 10,00 referentes à venda das 30 garrafinhas e daria R$

0,50 ao amigo como forma de agradecimento.

(x1 . p1 + x2 . p2 + x3 . p3 + ... + xn . pn)

(p1 + p2 + p3 + ... + pn)Mp =

Diferenciar a variável dos pesos não é uma tarefa difícil. Veja só!


132

Entretanto, nesse dia, Pedro também estava muito cansado e não queria ficar o dia todo

rodando.

Resolveu vender 5 garrafinhas por R$ 2,00 – 3 garrafinhas do João a R$ 1,00 mais 2

garrafinhas dele a R$ 1,00.

No fim do dia, daria no mesmo. Infelizmente, não foi o que aconteceu....

6.3.3.1 DIFERENÇA

A diferença se deve ao seguinte...

A cada venda de 5 por R$ 2,00, Pedro entrega 3 do João e 2 dele mesmo.

Isso se repete até a décima venda de 5 por R$ 2,00, pois essa venda encerra as 30

garrafinhas de Pedro.

Nesse momento, então, as 10 garrafinhas que restam estão do lado de João e deveriam

ser vendidas a 2 por R$ 1,00...

...mas João continua vendendo a 5 por R$ 2,00...

Ou seja, ele faz 2 vendas e recebe 2 . 2,00 = 4,00, quando deveria fazer 5 vendas a 2 por

R$ 1,00 e receber R$ 5,00.

Logo...

O raciocínio utilizado por Pedro ao vender 5 garrafinhas por R$ 2,00 não está correto.

Por esse raciocínio, cada garrafinha seria vendida por R$ 0,40.

Vejamos qual seria o raciocínio correto...

As 60 garrafinhas vendidas a 5 por R$ 2,00 renderam R$ 24,00. Pedro

guardou os R$ 15,00 referentes a sua parte e só tinha R$ 9,00 para entregar a

João. Vejamos para onde tinha ido a diferença...

Matemática

133

M Ó D U L O 3

6.3.3.2 CÁLCULO CORRETO

Pedro deveria ter feito uma conta de média ponderada...

Para seu amigo, cada 3 garrafinhas equivalem a R$ 1,00.

Para ele, cada 2 garrafinhas equivalem a R$ 1,00.

Dessa forma, temos as frações...

1/2 (R$ 1,00 para 2 garrafinhas) e 1/3 (R$ 1,00 para 3 garrafinhas)

A média entre elas é...

(1/2 + 1/3)/2 = (3/6 + 2/6)/2 = (5/6)/2 = 5/12 0,4167

Logo, cada garrafinha deveria ser vendida por R$ 0,4167.

Dessa forma, após vender 60 garrafinhas, Pedro teria arrecadado os R$ 25,00 esperados...

30 . 0,4167 = 25,00

6.3.3.3 OUTRA FORMA DE CÁLCULO

Outra forma de chegar a esse resultado é calcular o preço unitário da garrafinha para cada um dos

amigos...

João vende 2 garrafinhas por R$ 1,00.

Ou seja, cada garrafinha é vendida por R$ 0,50.

Pedro vende 3 garrafinhas por R$ 1,00.

Ou seja, o preço unitário é de, aproximadamente, R$ 0,3333.

A média entre esses preços é dada por...

(0,50 + 0,3333)/2 = 0,4167

6.4 SÍNTESE

Na próxima unidade, veremos média harmônica...

Acesse, no ambiente on-line a síntese desta unidade.


134

UNIDADE 7 – MÉDIA HARMÔNICA

7.1 EXEMPLO 1

A torneira 1 sozinha enche a pia em 6 horas.

A torneira 2 sozinha enche a pia em 3 horas.

Em quanto tempo as duas torneiras juntas encherão a pia?

7.1.1 HARMÔNICO GLOBAL

Torneira 1 – 6 horas para encher

Torneira 2 – 3 horas para encher

Dividindo a mesma pia em 6 partes iguais...

...a torneira 1 enche cada uma dessas partes em 1 hora...

As duas juntas encherão 3 dessas partes em 1 hora.

A pia toda será enchida em 2 horas.,

...e a torneira 2 enche cada uma dessas 6 partes em 1/2 hora. Logo...

Esse valor, 2, não é a média harmônica ainda.

Esse valor é conhecido como o harmônico global de 3 e 6.

7.1.1.1 FÓRMULA

Vejamos a fórmula do harmônico global...

Seja um conjunto de n números reais x1, x2, x3, ... , xn.

O harmônico global, Hg, desses n números é dado por...

1/Hg = 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + ... + 1/xn

Matemática

135

M Ó D U L O 3

7.2 EXEMPLO 2

Um carro percorre um trecho de 100 km a uma velocidade de 100 km/h e leva 1 hora para

completar o percurso...

Em seguida, percorre o mesmo trecho a uma velocidade de 50 km/h, levando 2 horas...

Será que a velocidade média nos 200 km percorridos foi de 75 km/h? Vejamos...

7.3 MÉDIA HARMÔNICA

Veja então a definição de média harmônica...

Seja um conjunto de n números reais x1, x2, x3, ... , xn. A media harmônica, Mh, desses

n números é dada por...

7.3.1 EXEMPLO

Usando a fórmula no caso do carro, teríamos...

Um carro percorre um trecho de 100 km a uma velocidade de 100 km/h e leva 1 hora

para completar o percurso...

Em seguida, percorre o mesmo trecho a uma velocidade de 50 km/h, levando 2

horas...

Mh = 2/(1/100 + 1/50)

Mh = 2/(1/100 + 2/100)

Mh = 2/(3/100)

Mh = 200/3

Mh = 66,67 km/h

Tempo total = 1 hora + 2 horas = 3 horas

Percurso total = 100 km + 100 km = 200 km

Logo...

Velocidade média = 200/3 = 66,67 km/h

n (1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + ... + 1/xn)

Mh =


136

7.3.2 MÉDIA HARMÔNICA PONDERADA

Assim como a média aritmética ponderada, também existe a média harmônica ponderada.

Vejamos um exemplo que é extremamente comum...

7.3.2.1 EXEMPLO 1

Um carro percorre um trecho de 20 km a 100 km/h. Em seguida, percorre um trecho de 80 km a

50 km/h. A velocidade média nos 100 km percorridos foi de...

...temos...

Vm = (100 . 20 + 50 . 80)/(20 + 80)

Vm = (2.000 + 4.000)/(100)

Vm = 6.000/100

Vm = 60 km/h

Mas não é bem assim...

7.3.2.2 EXEMPLO 2

Vm = (100 . 20 + 50 . 80)/(20 + 80)

Vm = (2.000 + 4.000)/(100)

Vm = 6.000/100

Vm = 60 km/h

75 km/h é a média aritmética entre 100km/h e 50 km/h.

Dá para perceber que isso não faz muito sentido já que os quilômetros percorridos

em cada trecho são diferentes. Levando esse fato em consideração...

A partir desse exemplo, observe que o tamanho dos trechos foram os pesos,

já que a variável de interesse era a velocidade!

Mas isso também está errado. Veja só...

Matemática

137

M Ó D U L O 3

7.3.2.3 EXEMPLO 3

Observe, no ambiente on-line, que o carro percorre um trecho de 20 km a 100 km/h.

Ou seja, 100 km em 1h ou 100 km em 60 minutos.

Mas em quantos minutos ele percorre 20 km?

Tempo = 20 . 60/100

Tempo = 1.200/100

Tempo = 12 minutos = 1/5 de hora

Em seguida, percorre um trecho de 80 km a 50 km/h...

...ou seja, 50 km em 1 hora ou 50 km em 60 minutos...

...mas em quantos minutos ele percorre 80 km?

tempo = 80 . 60 / 50

tempo = 4.800 / 50

tempo = 96 minutos = 8/5 de hora

tempo total = 12 minutos + 96 minutos

tempo total = 108 minutos

...ou...

tempo total = 1 / 5 + 8 / 5 = 9 / 5 de hora

percurso total = 20 km + 80 km = 100 km

Velocidade média = 100 / (9 / 5)

Velocidade média = 100 . 5 / 9

Velocidade média = 55,56 km/h

Agora para obter a velocidade média dos percursos, calculamos o tempo

total gasto! Veja!


138

7.3.2.4 CONCEITUAÇÃO

Vejamos então a definição de média harmônica ponderada...

Seja um conjunto de n números reais x1, x2, x3, ... , xn, cada um deles sujeito a,

espectivamente, pesos p1, p2, p3, ... , pn. A média harmônica ponderada, MHp, desses

n números é dada por...

7.3.2.5 EXEMPLO 4

Quando aplicarmos essa fórmula ao caso do carro, teremos...

7.4 SÍNTESE

Na próxima unidade, veremos média geométrica...


(p1 + p2 + p3 + ... + pn)

(p1 / x1 + p2 / x2 + p3 / x3 + ... + pn / xn)MHp =

(20 + 80)

(20 / 100 + 80 / 50)

100

(20 / 100 + 160 / 100)

100

(180 / 100)

10.000

180

MHp = 55,56 Km/h

MHp =

MHp =

MHp =

MHp =

Matemática

139

M Ó D U L O 3

UNIDADE 8 – MÉDIA GEOMÉTRICA

8.1 EXEMPLO 1

Dados da FGV...

Inflação em 1999 – 8,9%



Como foi que o jornal chegou a 7,5198%, se a média entre 8,94%, 5,97% e 7,67% é...

8.2 EXEMPLO 2

O jornal chegou à conclusão de que a inflação era de 7,5198%, porque esse caso não se trata de

média aritmética! Suponhamos que um par de tênis custasse R$ 100,00 no início de 1999.

Ou seja, em três anos, o preço do par de tênis pulou de R$ 100,00 para R$ 124,298. Um

crescimento de 24,298%!

Somando os três anos de inflação, obtemos 22,58% (8,94% + 5,97% + 7,67%).

Resultado diferente, portanto, do crescimento observado no preço do tênis.

O crescimento do preço do tênis em três anos é obtido acrescentando-se a inflação ao

preço corrigido ao fim de cada ano. Isso é uma composição de percentuais.

Somar percentuais de inflação é diferente de compor percentuais de inflação.

(8,94% + 5,97% + 7,67%)/3 =

= 22,58%/3

= 7,5267%

1999

100 + 0,0894 . 100 = R$ 108,94

2000

108,94 + 0,0597 . 108,94 = R$ 115,444

2001

115,444 + 0,0767 . 115,444 = R$ 124,298


140

8.3 EXEMPLO 3

Vejamos de outra forma.

Podemos entender os R$ 108,94 como...

100 + 8,94% . 100 = 100 . (1 + 8,94%)

Entendendo a inflação como uma taxa de juros, R$ 100,00 como o valor inicial, 1

ano como o prazo, temos que R$ 108,94 é o valor futuro.

Utilizando a fórmula de juros compostos, obteríamos a mesma coisa...

VF = VP .(1 + i)n

108,94 = 100 . (1 + 8,94%)¹

108,94 = 100 . (1 + 8,94%)

Isso também se aplica aos valores dos anos seguintes.

8.4 EXEMPLO 4

Contudo, queremos entender a inflação média anual...

Procurar a inflação média anual significa determinar um valor constante para a inflação

anual, de forma que...

...repetindo-se em 1999, 2000 e 2001, originasse o mesmo crescimento no preço do

par de tênis.

Vamos chamar esse valor constante incógnito de i...

1999

100 + 0,0894 . 100 = R$ 108,94

2000

108,94 + 0,0597 . 108,94 = R$ 115,444

2001

115,444 + 0,0767 . 115,444 = R$ 124,298

Esse 1 representa os R$ 100,00 iniciais.

Dessa forma, o fator 1 + 8,94% significa que queremos encontrar um valor

8,94% superior ao que já tínhamos.

Matemática

141

M Ó D U L O 3

Para essa inflação, o par de tênis que custava R$ 100,00, no início de 1999, estaria custando 100

. (1 + i) ao final de 1999.

Ao final de 2000, o par de tênis estaria custando 100 . (1 + i) . (1 + i).

Ao final de 2001, o preço seria 100 . (1 + i) . (1 + i) . (1 + i).

Ou seja, 100 . (1 + i)³

8.5 EXEMPLO 5

Para que o resultado fosse equivalente, após os três anos, o preço do tênis deveria ser R$ 124,298.

Sem problemas! Basta resolvermos a seguinte equação...

8.6 FÓRMULA

Podemos definir a média geométrica da seguinte forma...

Seja um conjunto de n números reais, não negativos, x1, x2, x3, ... , xn. A média

geométrica, Mg, desses n números é dada por...

8.7 MÉDIA ARITMÉTICA VERSUS MÉDIA GEOMÉTRICA

Antes de terminar este módulo, vejamos um exemplo para entendermos a diferença entre as

médias aritmética e geométrica...

100 . (1 + i)3 = 124,298

(1 + i)3 = 124,298 / 100

(1 + i)3 = 1,24298

1 + i = 3 1,24298

1 + i = 1,075197

i = 1,075197 - 1

i = 0,075197 = 7,5197%

Mg = n (x1 + x2 + x3 + ... + xn)= (x1 + x2 + x3 + ... + xn)1 / n


142

8.7.1 EXEMPLO 1

Um ação vale hoje R$ 100,00...

Um mês depois, vale R$ 105,00...

No mês seguinte, volta a valer R$ 100,00.

Note que, do primeiro para o segundo mês, houve um crescimento de 5%...

Do segundo para o terceiro mês, o índice foi de -4,762%...

O valor do segundo mês foi obtido da seguinte forma...

105 / 100 = 1,05 = 1 + 0,05 = 1 + 5%

Lembre-se de que o 1 representa o que já tínhamos. 5% é o crescimento.

O valor do terceiro mês foi obtido da seguinte forma...

100 / 105 = 0,95238 = 1 - 0,04762 = 1 - 4,762%

Como esperávamos, houve um decréscimo, e, por isso, uma taxa negativa de crescimento.

8.7.2 EXEMPLO 2

Olhando para os dois meses como um todo, os R$ 100,00 se mantiveram inalterados. Ou seja, a

variação foi de 0%, concorda?

Mas se tirarmos a média aritmética dos crescimentos, teremos...

Logo, por esse enfoque, concluiríamos que houve valorização da ação, nesses dois

meses, de 0,119%.

Contudo, se tirarmos a média geométrica...

(5% + (-4,762%))

2

0,238%

2

0,119%

=

=

Matemática

143

M Ó D U L O 3

8.7.3 EXEMPLO 3

Se tirarmos a média geométrica, chegaremos à conclusão correta...

O valor final é igual ao inicial multiplicado por 1.

Ou seja, o valor final é igual ao inicial e, portanto, não há crescimento.

Esse 1 representa o que já tínhamos no início. Como não há nada a ser somado ao que já tínhamos,

não há crescimento.

Ou de outra forma...

1 = 1 + (crescimento em percentual)

crescimento em percentual = 1 - 1 = 0%

8.8 SÍNTESE



9.1 FILME


uma cena do filme Pi no ambiente on-line.

9.2 OBRA LITERÁRIA


Sete anos de pastor Jacó servia no ambiente on-line.

9.3 OBRA DE ARTE


quadro Garçom no ambiente on-line.

(1 + 5%) . (1 - 4,762%) =

(1,05) . (0,95238) =

1 = 1


144

MÓDULO 4

APRESENTAÇÃO

Este módulo está dividido em cinco unidades...

§ funções elementares de 1º e 2º graus;

§ sistema cartesiano;

§ função inversa;

§ função exponencial;

§ logaritmo.

Vamos começar?

UNIDADE 1 – FUNÇÕES ELEMENTARES DE 1° E 2° GRAUS

1.1 EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Você se lembra do conceito de expressão algébrica, não?

Por exemplo...

2x + 4y – 5

2x² - 3x + 7

xy – y³ - 3x²

Essas são expressões algébricas.

1.1.1 VARIÁVEIS

As expressões algébricas podem apresentar uma ou mais variáveis.

2x + 4y - 5 expressão com duas variáveis

Nessa expressão, as duas variáveis estão elevadas a 1. Trata-se, portanto, de uma

expressão do 1º grau ou, ainda, de uma expressão linear.

2x2 - 3x + 7 expressão com duas variáveis

Essa expressão tem grau 2.

xy - y3 - 3x2 expressão com duas variáveis

Essa expressão contém um termo em que as duas variáveis estão em produto.

Além disso, as variáveis podem vir elevadas à potência igual ou diferente de 1, ou mesmo em

forma de produto entre elas.

Matemática

145

M Ó D U L O 4

1.1.2 EXPRESSÕES DE UMA VARIÁVEL

Nesta unidade, vamos nos preocupar apenas com expressões de uma variável de grau 1 ou de

grau 2.

Ou seja, expressões do tipo...

1.2 EQUAÇÃO

Você se lembra de que, igualando as expressões a zero, obtemos as equações?

Dessa forma...

Essa é uma das abordagens possíveis...

1.2.1 VALOR NUMÉRICO

Se, ao invés de forçarmos a igualdade a zero, atribuíssemos um valor para a variável x, teríamos o

valor numérico da expressão...

Vamos encontrar os valores da expressão 2x + 5 para alguns valores de x?

Essa associação entre o valor de x e o valor numérico da expressão nos leva ao conceito de

correspondência.

ax + b

com o coeficiente

a 0

ax² + bx + c

com a 0

...igualando a expressão

a zero...

ax + b = 0

ax² + bx + c = 0

...obtemos uma

equação...

...do 1º grau na variável x.

...do 2º grau na variável x.

x -2 -1 0 1 2 32x + 5 1 3 5 7 9 11


146

1.3 CORRESPONDÊNCIA

Dados dois conjuntos de valores, uma correspondência é um conjunto de pares ordenados em

que o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto, e o segundo elemento pertence ao

segundo conjunto.

Daí dizermos que o par de elementos é ordenado!

Por exemplo, os conjuntos...

A B

...têm a seguinte correspondência...

(-2, 1), (-1, 3), (0, 5), (1, 7), (2, 9) e (3, 11)

1.3.1 EXEMPLOS

Vejamos outros exemplos de correspondência...

exemplo 1 A B

exemplo 2 A B

-2

-1

0

1

2

3

1

3

5

7

9

11

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10

Matemática

147

M Ó D U L O 4

exemplo 3 A B

exemplo 4 A B

exemplo 5 A B

Não sabemos por que um número do conjunto A corresponde a um determinado número do

conjunto B...

Não nos interessa neste momento. Só nos interessam os pares ordenados formados!

Todos esses casos representam correspondências, mas nem todos definem uma função!

1.3.2 CONDIÇÕES PARA FUNÇÃO

Para que uma correspondência seja uma função, devemos respeitar as seguintes condições...

1 – Todos os elementos do primeiro conjunto possuem um correspondente no segundo

conjunto.

2 – Cada elemento do primeiro conjunto possui somente um correspondente no

segundo conjunto.

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10


148

Voltemos aos exemplos que vimos há pouco...

exemplo 1

A B

Essa correspondência respeita as duas condições...

Então é uma função!

exemplo 2

A B

Essa correspondência também satisfaz às duas

condições. É, portanto, uma função!

exemplo 3

A B

Essa correspondência também é uma função. Todos

os elementos do primeiro conjunto têm um, e apenas

um, elemento correspondente no segundo conjunto.

Pouco importa se o correspondente é o mesmo!

exemplo 4

A B

Essa correspondência não é uma função porque há

um elemento no primeiro conjunto que não está

associado a nenhum elemento do segundo conjunto.

Isso fere a condição 1.

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10

Sobrar um elemento no

segundo conjunto não

desrespeita nenhuma

das duas condições.

Matemática

149

M Ó D U L O 4

exemplo 5

A B

Essa correspondência tampouco é uma função... Há

um elemento no primeiro conjunto que está associado

a dois elementos no segundo conjunto. Isso fere a

condição 2.

1.3.3 EXEMPLO 2

Voltemos ao exemplo 2...

exemplo 2

A B Já sabemos que essa correspondência é uma função.

O conjunto de partida A é chamado de domínio da

função e denotado por D(f).

O conjunto B é chamado de contradomínio da

função e denotado por C(f).

Correspondência: (1, 2), (2, 8), (3, 8) e (4, 10)

Os elementos do contradomínio, correspondentes a algum elemento do domínio, são

chamados de Imagem.

Por exemplo...

O 2 é a imagem do 1, o 10 é a imagem do 4, o 8 é imagem tanto do 2 quanto do 3.

O conjunto {2, 8, 10}, subconjunto do contradomínio, formado por todas as imagens, é

chamado de conjunto das imagens da função ou, simplesmente, Imagem, e

denotado por Im(f).

1

2

3

4

2

5

8

10

1

2

3

4

2

5

8

10


150

1.3.4 EXEMPLO 1

exemplo 1

A B

Para o exemplo 1, temos...

D(f ) = {1, 2, 3, 4}

C(f ) = {2, 5, 8, 10}

f(1) = 2

f(2) = 5*

f(3) = 8*

f(4) = 10*

Portanto...

Im(f) = {2, 5, 8, 10}

Nesse exemplo, a imagem da função é igual ao contradomínio.

1.3.5 EXERCÍCIO


1.4 SEM CORRESPONDÊNCIA

Como você percebeu, nesses casos que acabamos de ver, não tínhamos a lei de correspondência,

tínhamos apenas os pares ordenados. Quando temos a lei, é fácil encontrar as imagens e,

conseqüentemente, os pares ordenados. Vamos então retomar o caso da correspondência dada

por (x, 2x + 5) que vimos anteriormente...

1

2

3

4

2

5

8

10

Esta é a notação para a imagem de um elemento.

Isso quer dizer que 2 é a imagem de 1.

*f(2) = 5...

Essa notação nos diz que 5 é a imagem de 2.

*f(3) = 8...


*f(4) = 10...


Matemática

151

M Ó D U L O 4

1.5 COM CORRESPONDÊNCIA

No caso da correspondência dada por (x, 2x + 5)...

§ x é a variável;

§ 2x + 5 é a imagem de x.

Como todos os elementos do domínio, A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}, têm uma única imagem, a

correspondência é uma função cuja imagem pode ser indicada por...

f é a função de correspondência entre os dois conjuntos A e B.

f(x) = 2x + 5 é a lei de correspondência entre os elementos da A e B.

1.5.1 FUNÇÃO

Costumamos denotar uma função f da seguinte maneira...

Lê-se essa notação como...

...f é uma função de D(f) em C(f) que associa cada elemento de D(f) a um elemento de C(f) igual

a f(x).

Por exemplo...

Será denotada por...

f(x) = 2x + 5, com x assumindo qualquer valor do domínio

Observe que o par ordenado pode ser denotado de uma forma geral por

(x, f(x)).

f: D(f)* C(f)**

x f(x)

*D(f)...

Lê-se domínio da função.

**C(f)...

Lê-se contradomínio da função.

D(f ) = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

C(f ) = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

f(x) = 2x + 5

f: {-2, -1, 0, 1, 2, 3} {1, 3, 5, 7, 9, 11}

x f(x) = 2x + 5


152

1.5.2 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Chama-se função do primeiro grau – ou função afim – a função...

...quando, para cada elemento x do domínio, existe um, e somente um, elemento f(x)

correspondente no contradomínio, tal que...

a é chamado de coeficiente angular*, e b de coeficiente linear ou termo

constante.

Se o termo constante é igual a zero, dizemos que a função afim é uma função

linear.

1.5.2.1 EXEMPLOS

Vejamos alguns exemplos de funções do 1º grau...

Se a lei de correspondência é uma expressão do 1º grau, dizemos que a

correspondência é uma função do 1º grau.

f: A R B R

f(x) = ax + b, em que a e b são números reais e a 0

*coeficiente angular...

Coeficiente que multiplica a variável independente de uma função do 1º grau.

Em termos gráficos, o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo que a

reta – representação gráfica da função de 1º grau – faz com o eixo das abscissas.

f: {1, 2, 3, 4} {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} função linearx f(x) = 2x

f: {10, 15, 20, 30, 50} Zx f(x) = x / 5 - 3

f: Z Qx f(x) = -7x + 5 / 2

f: R Rx f(x) = x - 1

Matemática

153

M Ó D U L O 4

1.5.2.2 FUNÇÃO CRESCENTE

Se o coeficiente angular for positivo, dizemos que a função é crescente.

F(x) = a*x + b**

Vejamos...

À medida que aumentamos o valor de x no domínio...

...sua imagem também aumenta de valor no contradomínio.

Conseguiu perceber? Se não, atribua um valor para a e um para b, e faça o teste...

1.5.2.3 FUNÇÃO DECRESCENTE

Se o coeficiente angular for negativo, dizemos que a função é decrescente.

f(x) = ax +b

Nesse caso...

*a...

a é o coeficiente angular.

**b...

b é o coeficiente linear.

f(1) -a +b

f(2) -2a +b

f(3) -3a +b

f(4) -4a +b

À medida que o

valor de x cresce...

...o valor de f(x)

decresce...

f(1) +a +b f(3) +3a +b

f(2) +2a +b f(4) +4a +b


154

1.5.2.4 FUNÇÃO CONSTANTE

Se o coeficiente angular for igual a zero, temos uma função constante.

Ou seja, para qualquer valor da variável x, o valor de f(x) é constante.

Por exemplo...

Como não existe o termo dependente de x na lei de formação, a imagem não é

influenciada pelas variações em x. Por isso, mantém-se constante.

A função constante fere a exigência de termos o coeficiente angular diferente de

zero.

Por isso, de acordo com a definição, não podemos considerá-la como uma função

do 1º grau.

1.5.2.5 FUNÇÃO IDENTIDADE

Se o coeficiente linear é igual a zero – função linear – e o coeficiente angular é igual a 1, temos

a função...

Essa função se chama função identidade.

f(x) = ax +b

a = 0

b = 7

f(x) = 0 . x +7

f(x) = 7

f: R R

x f(x) = 7

f: R R

x f(x) = 7

Lembre-se... f(x) = ax + b

Matemática

155

M Ó D U L O 4

1.5.2.6 RAIZ

O valor de x cuja imagem é igual a zero* é a raiz ou o zero da função. Para encontrá-lo, precisamos

resolver a equação do 1º grau dada por f(x) = 0.

Sendo f(x) = ax + b, temos que...

...exatamente igual ao valor da raiz da equação do 1º grau.

Não poderia deixar de ser... Afinal, isso aqui é Matemática!

1.5.2.7 EXEMPLO 1

Por exemplo, vamos encontrar o zero da função...

Devemos resolver...

Ou seja, x = 15 é tal que f(15) = 0.

*x cuja imagem é igual a zero...

Isto é...

x tal que f(x) = 0.

f(x) = ax + b = 0

ax = -b

-b

ax =

x

5

x

5

x = 5 . 3 = 15

f(x) = - 3 = 0

= 3

f: {10, 15, 20, 30, 50} Z

xx f(x)

5= - 3


156

1.5.2.8 EXEMPLO 2

Obviamente, pode acontecer que a solução da equação do 1º grau originada não pertença ao

domínio.

Por exemplo...

Vamos encontrar o zero da função...

O elemento 0 faz parte do contradomínio, mas não é imagem de nenhum elemento do domínio.

1.5.2.9 EXEMPLO 3

Vejamos um exemplo prático de função do 1º grau...

Um vendedor ganha um salário fixo de R$ 800,00 mais R$ 6,00 por unidade vendida.

Qual será seu salário total se ele vender 300 unidades durante o mês?

Temos que o salário total é o somatório da parcela variável e da parcela fixa. A parcela

variável depende do número de unidades vendidas.

Se o vendedor vender 10 unidades durante o mês, terá seu salário fixo acrescido de

6,00 . 10 = R$ 60,00. Se ele vender 100 unidades, seu salário fixo será aumentado em

6,00 . 100 = R$ 600,00.

Se o número de unidades vendidas for a incógnita, digamos x, a parte variável do

salário será uma função de x, dada por 6x. Nesse caso, o salário total, S, também será

função de x, dada por...

Se o vendedor vender 300 unidades, seu salário total atingirá...

f: {10, 15, 20, 30, 50} Z

x - 5x f(x)

5=

Devemos resolver...

f(x) = - 1 = 0

x = 5

x = 5 . 5 = 25

x5

Nesse caso, dizemos que a função não possui raiz no domínio.

S(x) = 800 + 6x

S(300) = 800 + 6 . 300 = 800 + 1.800 = R$ 2.600,00

Matemática

157

M Ó D U L O 4

1.5.3 FUNÇÃO DO 2º GRAU

Se a lei de correspondência é uma expressão do segundo grau, dizemos que a correspondência

é uma função do 2º grau.

Chama-se função do 2º grau – ou função parabólica* – a função f: A Ñ R > B Ñ R, quando

para cada elemento x do domínio existe um, e somente um, elemento f(x) correspondente no

contradomínio, tal que f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais, e a? 0.


1.5.3.1 RAIZ

O valor de x, cuja imagem é igual a zero, isto é, x tal que f(x) = 0, é uma raiz ou um zero da função.

Para encontrá-lo, precisamos resolver a equação do 2º grau dada por f(x) = 0.

Sendo f(x) = ax2 + bx + c, já vimos quando estudamos a equação do 2° grau que suas raízes são

dadas por...

*função parabólica...

é a função do 2º grau. Damos esse nome, porque o gráfico de uma função do

2º grau é uma parábola.

f: {1, 2, 3} {2, 5, 8, 15, 18}

x f(x) = 2x2

f: {-2, 0, 2, 4} N

x f(x) = x2 - 3x + 4

f: Z Q

x f(x) = -7x2 + 5 / 2

f: R R

x f(x) = x2 - 2

-b + ∆∆∆∆∆ 2a

-b - ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2a

em que ∆∆∆∆∆ = b2 - 4 . a . c

x =

x =


158

Também já sabemos que...

...quando (delta) é positivo, a equação admite duas raízes reais e distintas...

...quando (delta) é igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais...

...quando (delta) é negativo, a equação não possui raiz real.

1.5.3.2 EXEMPLO 1

Por exemplo, vamos encontrar os zeros da função...

Devemos resolver f(x) = x² - 5x + 6 = 0

Temos que...

a = 1

b = -5

c = 6

∆ = (-5)² - 4 . 1 . 6 = 25 - 24 = 1

1.5.3.3 EXERCÍCIO


f: N N

x f(x) = x² - 5x + 6

Lembre-se das fórmulas...

-b + ∆∆∆∆∆ 2a

-b - ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2a

em que ∆∆∆∆∆ = b2 - 4 . a . c

x =

x =

-(-5) + 1 5 + 1 6 2 . (1) 2 2

-(-5) - 1 5 − 1 4 2 . (1) 2 2

x =

x =

= = = 3

x = = = = 2

Matemática

159

M Ó D U L O 4

1.5.3.4 EXEMPLO 2

Obviamente, pode acontecer que a solução da equação do 2º grau originada não pertença ao

domínio.

Por exemplo...

Se, no caso anterior, o domínio da função fosse o conjunto dos números inteiros – Z –,

as raízes não pertenceriam ao domínio.

Apesar de o elemento 0 fazer parte do contradomínio, ele não é imagem de nenhum

elemento do domínio.

Ou seja, a função não possui raiz no domínio.

1.5.3.5 EXEMPLO 3

Vejamos um exemplo prático...

Suponha que o número de unidades vendidas – x – de determinada mercadoria, durante o

período de um mês, seja inversamente proporcional a seu preço de venda unitário – p.

Quanto mais caro, menos vendas...

Quanto mais barato, mais vendas...

...na seguinte relação...

x = 100 – p

Suponha também que a receita bruta – R – dependa unicamente do preço de venda unitário –

p – e das unidades vendidas – x – pela seguinte relação...

R = p . x

z

Z 4

-1

6z

2-3

1-2

30

-1

Q

Lembre-se... O resultado do exercício foi x = 4/3 e x = -1/2, ou seja, frações...


160

1.5.3.6 EXEMPLO 4

Lembre-se...

x = número de unidades vendidas

p = preço de venda unitário

R = receita bruta

Vamos à solução... Podemos resolver esse problema, entendendo a receita bruta como

função quadrática do preço unitário...

A receita bruta – R –, a princípio, depende do preço de venda unitário – p – e das unidades

vendidas – x –, isto é, R é uma função de p e x dada por...

R = p . x

Mas acontece que x depende de p. Isto é, x é uma função de p dada por...

x = 100 – p

Substituindo x em R = p . x por seu valor em função de p, temos...

R = p . (100 - p)

Daí, R é expressa simplesmente em função de p...

R(p) = 100p - p²

Dessa forma, para o preço de venda igual a R$ 20,00, temos...

Qual será a receita bruta se o preço de venda unitário ficar

estabelecido em R$ 20,00?

R(20) = 100 . 20 - 202 = 2.000 - 400 = R$ 1.600,00

Matemática

161

M Ó D U L O 4

1.5.3.7 EXEMPLO 5

Lembre-se...

x = número de unidades vendidas

p = preço de venda unitário

R = receita bruta

Temos que...

R = p . x

Como p = 20, imediatamente, temos R = 20x.

Para calcularmos a receita, precisamos conhecer a quantidade vendida.

Ora, essa quantidade depende do preço de venda pela seguinte relação...

x = 100 – p

Como p = 20, imediatamente, temos x = 100 - 20 = 80 unidades vendidas.

Substituindo esse valor na função R(x) = 20x, temos...


1.6 SÍNTESE


UNIDADE 2 – SISTEMA CARTESIANO

2.1 OBJETIVO

Nosso objetivo, nesta unidade, é interpretar os gráficos das funções da seção anterior.

Antes disso, precisamos entender como esses gráficos são desenhados.

Tudo começa com o entendimento do sistema de coordenadas cartesianas.

Podemos resolver esse problema de outra forma, usando a noção de função

de 1º grau...

R(80) = 20 . 80 = R$ 1.600,00


162

Esse nome é homenagem ao seu criador René Descartes*.

2.2 PLANO CARTESIANO

O plano cartesiano é um plano determinado por duas retas perpendiculares, chamadas de

eixos.

O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas ou eixo x, e o eixo vertical é chamado eixo das

ordenadas ou eixo y.

Esses eixos, além de serem perpendiculares, são coordenados. Dessa forma, podemos representar

qualquer par ordenado nesse plano.

*René Descartes...

Filósofo e matemático francês. Viveu entre 1596 e 1650.

Como filósofo se preocupou com a escolha do ponto de partida sobre o qual

construir todo o conhecimento: “Penso, logo existo”.

Como matemático, é o criador da Geometria Analítica, que tem como base o

sistema cartesiano.

O nome cartesiano vem de Cartesius, forma latina para o nome Descartes.

x

y

eixo

das

ord

enad

as

eixo das abscissas0

Uma característica facilitadora dessa representação é que os dois eixos

perpendiculares se cruzam em suas respectivas origens – marco zero.

Matemática

163

M Ó D U L O 4

2.3 PAR ORDENADO

Para definir, no plano, o ponto que representará o par ordenado (x, y), devemos respeitar a

ordenação...

O primeiro número do par ordenado – x –, chamado de abscissa, determina o

deslocamento horizontal a partir da origem. Positivos para o lado direito e negativos

para o lado esquerdo.

O segundo número do par ordenado – y –, chamado de ordenada, determina o

deslocamento vertical a partir da origem. Positivos para cima e negativos para baixo.

No ambiente on-line, passe o mouse sobre o plano cartesiano para ver como isso acontece...

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O par ordenado (0,0) é o ponto de origem do plano cartesiano.


164

2.4 GRÁFICO DA CORRESPONDÊNCIA

Vamos agora representar, graficamente, uma correspondência.


Exemplo 1

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 5, 8, 10}

Correspondência:

(1, 2), (2, 5), (3, 8) e (4, 10)

Os pontos que representam os

pares ordenados, no plano

cartesiano, formam o gráfico

da correspondência.

Exemplo 2

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 5, 8, 10}

Correspondência:

(1, 2), (2, 8), (3, 8) e (4, 10)





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Matemática

165

M Ó D U L O 4

Exemplo 3

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 5, 8, 10}

Correspondência:

(1, 5), (2, 5), (3, 5) e (4, 5)





Exemplo 4

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 5, 8, 10}

Correspondência:

(1, 2), (3, 8) e (4, 10)





Lembre-se...

Essa correspondência não

é uma função.

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166

Exemplo 5

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 5, 8, 10}

Correspondência:

(1, 2), (1, 5), (2,5), (3,8) e (4, 10)





Lembre-se...

Essa correspondência não

é uma função.

2.5 GRÁFICO DA FUNÇÃO

Vamos traçar o gráfico da função...

Como f(x), segundo valor do par

ordenado, é o deslocamento no eixo

y – eixo das ordenadas –, costumamos

indicá-lo, simplesmente, por y.

Dessa forma...

y = 2x

Os pares ordenados são...

(-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) e (4, 8)

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f: {-1, 0, 1, 2, 3, 4} {-2, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

x f(x) = 2x

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da função.

Matemática

167

M Ó D U L O 4

2.5.1 RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO

Vamos continuar com o gráfico construído há pouco...

A raiz dessa função é x = 0.

Raiz ou zero de uma função –

visualização gráfica.

A raiz ou o zero de uma função é a

abscissa do par ordenado

representado pelo ponto em que o

gráfico corta o eixo das abscissas.

Nesse exemplo, esse par ordenado

é (0, 0).

2.5.2 EXEMPLO 1

Outra função...


(10, -1), (15, 0), (20, 1), (30, 3) e (50, 7)

Os pontos que representam os pares

ordenados, no plano cartesiano, formam

o gráfico da função.


f: {-1, 0, 1, 2, 3, 4} {-2, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

x f(x) = 2x

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f: {10, 15, 20, 30, 50} Z

xx y = f(x)

5= - 3

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168

2.5.3 EXEMPLO 2

Outra função...

Alguns pares ordenados são...

(-3, 26), (-2, 19), (-1, 12), (0, 5), (1, -2), (2, -9) e (3, -16)

Os pontos que representam os pares ordenados,

no plano cartesiano, formam o gráfico da função.

f: Z Z

x y = f(x) = -7x + 5

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Essa função não possui raiz em seu domínio. Usando a fórmula da raiz de

uma função do 1º grau, temos que a raiz é igual a 5/7. Como esse valor não é um

número inteiro, não há raiz no domínio.

Matemática

169

M Ó D U L O 4

2.5.4 FUNÇÃO REAL

Vejamos alguns exemplos de funções com domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos

números reais – R.

Esse tipo de função é chamada função real.

Exemplo 1


(-4, -8), (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2),

(2, 4), (3, 6) e (4, 8)

O gráfico de uma função do 1º grau dos reais nos reais é sempre uma reta*.

f: R R

x y = f(x) = 2x

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Lembre-se... O domínio e o contradomínio são todos os números reais.

*Para conhecer a prova desse teorema, sugerimos a consulta de...

IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 1. 7ª Ed.

São Paulo: Atual, 1993, pp. 100-101.


170

Exemplo 2


(-4, 5), (-3, 4), (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 0),

(2, 1), (3, 2) e (4, 3)

Exemplo 3


(-4, 7), (-3, 7), (-2, 7), (-1, 7), (0, 7), (1, 7),

(2, 7), (3, 7) e (4, 7)

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

f: R R

x y = f(x) = x + 1

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f: R R

x y = f(x) = 7

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Matemática

171

M Ó D U L O 4

2.5.5 EXEMPLO 3

Dada a função do 1º grau...

Sobre o gráfico dessa função, podemos afirmar que...

2.5.6 EXEMPLO 4

Vejamos mais alguns exemplos de gráficos...

Os pares ordenados são (1, 2), (2, 8) e (3, 18)

Os pontos que representam os pares ordenados, no plano cartesiano, formam o gráfico

da função.

Essa função não possui raiz em seu domínio.

A raiz da equação, dada por f(x) = 0, é x = 0. Se x = 0 fizesse parte do domínio, aí sim

a função teria uma raiz.

Se a > 0, a reta é crescente.

Se a < 0, a reta é decrescente.

f: R R dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais, com a 0.

f: {1, 2, 3} {2, 5, 8, 15, 18}

x y = f(x) = 2x2

!

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"

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(

�

�

��

��

��


172

2.5.7 EXEMPLO 5



(-2, 14), (0, 4), (2, 2) e (4, 8)


da função.


�

�

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��

��

��

�

��

��

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�

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��

��

��

��

��

��

f: {-2, 0, 2, 4} N

x y = f(x) = x2 - 3x + 4

Matemática

173

M Ó D U L O 4

2.5.8 EXEMPLO 6



(-3, -22), (-2, -7), (-1, 2), (0, 5), (1, 2), (2, -7) e (3, -22)


da função.


Perceba que as raízes da equação f(x) = 0 são...

A função só teria raízes no domínio, se o domínio fosse o conjunto dos números reais.

f: Z Z

x y = f(x) = -3x2 + 5

�

�

�

�

��

�

�# �� #��

��

�+��

��

�+��

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#��$��

x1 = 5/3

x2 = - 5/3


174

2.5.9 EXEMPLO 7



(-4, 14), (-3, 7), (-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (1, -1), (2, 2), (3, 7) e (4, 14)

Essa parábola é o gráfico da função.

Como o coeficiente a é positivo, a parábola tem concavidade voltada para cima.

As raízes dessa função são

f: Z Z

x y = f(x) = -3x2 + 5

�

�

�

(

�� ( (

�

#

�

�+

�

)

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��

��

��

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�

��

, ,�

Lembre-se... O domínio e o contradomínio são todos os números reais!

x1 = 2 e x

2 = - 2 .

Matemática

175

M Ó D U L O 4

2.5.10 EXEMPLO 8

Vejamos mais uma função...


(-4, -3), (-3, 2), (-2, 5), (-1, 6), (0, 5), (1, 2), (2, -3), (3, -10) e (4, -19)


Como o coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

f: R R

x y = f(x) = -x2 - 2x + 5

�

�

�� ( (

��

��

��

��

��

��

$��

�,-��



176

2.5.11 EXEMPLO 9

Agora outra função...


(-1, 16), (0, 9), (1, 4), (2, 1), (3, 0), (4, 1), (5, 4), (6, 9) e (7, 16)




f: R R

x y = f(x) = x2 - 6x + 9

�

�

"+ �� #��" (

�

#

) * !

�)


Matemática

177

M Ó D U L O 4

2.5.12 EXEMPLO 10

Finalmente, uma última função...


(-4, 19), (-3, 9), (-2, 3), (-1, 1), (0, 3), (1, 9) e (2, 19)



Essa função não tem raiz real. O gráfico não corta o eixo das abscissas – eixo x – em

nenhum ponto.

f: R R

x y = f(x) = x2 - 6x + 9


�

�

��( � �� )�* �

�

�

� �

�


178

2.5.13 CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

Sobre o gráfico dessa função, podemos afirmar que...

2.5.14 MÍNIMO E MÁXIMO

A função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c admite o valor mínimo* ym = -? / 4a para

xm = -b / 2a.

A função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c admite o valor máximo* yM = -? / 4a para

xM = -b / 2a.

Dada a função quadrática f: R R, dada por f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números

reais, com a 0.

Se a > 0... Se a < 0...

�

�

�

�

...a concavidade da parábola

está voltada para cima.

...a concavidade da parábola

está voltada para baixo.

Se a > 0...

* valor mínimo...

Dizemos que o número ym, pertencente à Im(f), é o valor mínimo da função

y = f(x) se, e somente se, ym = y para qualquer y pertencente à Im(f).

O número xm, pertencente ao D(f), tal que f(xm) = ym, é chamado ponto

mínimo da função.

Se a < 0...

* valor máximo...

Dizemos que o número yM, pertencente à Im(f), é o valor máximo da função

y = f(x) se, e somente se, yM = y para qualquer y pertencente à Im(f).

O número xM, pertencente ao D(f), tal que f(xM) = yM, é chamado ponto

máximo da função.

Matemática

179

M Ó D U L O 4

Para conhecer a prova desses teoremas, sugerimos a consulta de...

IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 1. 7ª ed. São Paulo: Atual,

1993, p. 147.

2.5.15 VÉRTICE DA PARÁBOLA

O ponto V = (-b / 2a, -? / 4a) é chamado vértice da parábola, que representa a função quadrática

y = ax² + bx + c.

Vejamos...

2.5.16 NÚMERO DE RAÍZES

Lembra-se de que falamos sobre o número de zeros da função quadrática definida nos reais?

Se ∆∆∆∆∆ > 0...

...a função possui duas raízes reais e distintas.

Se ∆∆∆∆∆ = 0...

...a função possui duas raízes reais e iguais.

Se ∆∆∆∆∆ < 0...

...a função não possui raiz real.

Sabemos que uma função real tem tantas raízes quantos forem os pontos de corte do eixo das

abscissas pelo gráfico da função.

Cientes disso, e com base nas informações do ∆∆∆∆∆, podemos ter uma idéia do gráfico da função.

-��.��/ �0��1/��2


180

2.5.17 VALOR DO DELTA

Com base nas informações do ∆∆∆∆∆, vejamos como deve ser o gráfico da função...

Se ∆∆∆∆∆ > 0...

O gráfico da função deve cortar o eixo das abscissas

em dois pontos diferentes.

A função tem duas raízes reais e distintas.

Se ∆∆∆∆∆ = 0...

O gráfico da função deve cortar o eixo das abscissas

em apenas um ponto.

A função tem duas raízes reais e iguais.

Se ∆∆∆∆∆ < 0...

O gráfico da função não corta o eixo das abscissas

em nenhum ponto.

A função não possui raiz real.



�3� �4�

�3� �4�

�3� �4�

Matemática

181

M Ó D U L O 4

2.7 SÍNTESE


UNIDADE 3 – FUNÇÃO INVERSA

3.1 CONDIÇÕES PARA FUNÇÃO

Com essa relação, obtemos os pares ordenados. Veja...

Pares ordenados = (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)

Essa correspondência é uma função, já que satisfaz as duas condições necessárias...

§ todos os elementos do primeiro conjunto possuem um correspondente no segundo

conjunto;

§ cada elemento do primeiro conjunto possui somente um correspondente no

segundo conjunto.

3.2 LEI DE CORRESPONDÊNCIA

A lei de correspondência da função é...

y = f(x) = 2x + 1

O domínio da função é o conjunto A, e o contradomínio é o conjunto B. Nesse caso, a

imagem da função se confunde com o contradomínio. Imaginemos agora as setinhas

voltando...

)��5��0� 0��0��6 7��5��0��0��0� �6

)��5��0� 0��0��6 7��5��0��0��0� �6


182

3.3 CORRESPONDÊNCIA INVERSA

y = f(x) = 2x + 1

Essa correspondência também satisfaz as condições para ser uma função.

y = (y - 1) / 2

O domínio agora é o conjunto B, e o contradomínio é o conjunto A. A imagem da função também

é o conjunto A.

3.4 VIOLAÇÃO DA SEGUNDA CONDIÇÃO

Costumamos denotá-la por f(-1).

Agora observe o seguinte, com relação à função f...

Não é o caso, mas se dois elementos diferentes do domínio de f tivessem a mesma imagem...

...a correspondência inversa não seria uma função, pois 3 teria duas imagens diferentes,

violando a segunda condição.

)��5��0� 0��0��6 7��5��0��0��0� �6

)��5��0� 0��0��6 7��5��0��0��0� �6

Essa função g: B A, dada por x = g(y) = (y - 1) / 2, é a função inversa de f.

Matemática

183

M Ó D U L O 4

3.4.1 FUNÇÃO INJETORA

Uma função com essa característica é chamada de função injetora.

Uma função f: A ? B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam x e x

pertencentes a A, x1 ? x

2, então f(x

1) ? f(x

2).


3.4.1.1 EXEMPLOS

As seguintes funções são injetoras...

Mas agora, observe essa função...

Mais ainda...

3.5 VIOLAÇÃO DA PRIMEIRA CONDIÇÃO

Se algum elemento do contradomínio não fosse imagem de nenhum elemento do

domínio...

Observe que nenhum elemento do conjunto A está ligado ao 6 do conjunto B logo...

A correspondência inversa não seria uma função, pois 6 não teria imagem, violando a primeira

condição.

Mais ainda...

Lembre-se de que, para existir a função inversa, as imagens de elementos

diferentes serão obrigatoriamente diferentes também.

)��5��0� 0��0��6 7��5��0��0��0��0� �6

f: {-2, -1, 0, 1} {1, 2, 3, 4}

x y = f(x) = -x + 2

f: {-2, -1, 0, 1} {1, 2, 3, 4, 5, 6}

x y = f(x) = -x + 2

f: Reais Reais

x y = f(x) = -x + 2

f: {-2, -1, 0, 1} {0, 1, 2}, dada

por f(x) = x2, não é injetora.


184

3.5.1 FUNÇÃO SOBREJETORA

Para que a primeira condição não seja violada na correspondência inversa...

...todo elemento do contradomínio deve ser imagem de pelo menos um elemento do domínio

original.

Mais ainda...

3.5.1.1 EXEMPLOS

As seguintes funções são sobrejetoras...

3.5.2 FUNÇÃO BIJETORA

Para existir a função inversa, a função original deve ser injetora e sobrejetora.

Se você desejar conhecer uma demonstração, sugerimos a consulta de IEZZI,

G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 1, 7ª ed., São

Paulo: Atual, 1993, p. 235.


Uma função com essa característica é chamada de função sobrejetora.

f: {-2, -1, 0, 1} {1, 2, 3, 4}

x y = f(x) = -x + 2

f: {-2, -1, 0, 1} {1, 2, 4}

x y = f(x) = x2

f: Reais Reais

x y = f(x) = -x + 2

Já...

f: {-2, -1, 0, 1} {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dada

por f(x) = -x + 2, não é sobrejetora.

Uma função que é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora é dita função

bijetora.

Seja f: A B. A correspondência f(-1) será uma função de B em A se, e somente se, f for bijetora.

Uma função f: A B é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B, existir um

elemento x pertencente a A, tal que y = f(x).

Matemática

185

M Ó D U L O 4

3.5.2.1 EXEMPLOS

As seguintes funções são bijetoras...

Estas últimas funções admitem inversas. Para

encontrar as funções inversas, podemos usar

uma regra bem simples... Vejamos...

3.5.2.2 FUNÇÃO INVERSA

1º) Na expressão original y = f(x), fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos x por y, e y

por x. Dessa forma, obtemos x = f(y).

2º) Transformamos, algebricamente, a expressão x = f(y) de forma a obtermos, novamente, y em

função de x. Essa expressão resultante é a função inversa f(-1)(x).

Para algumas das funções bijetoras anteriores, temos...

3.5.2.3 Y EM FUNÇÃO DE X

1º) Na expressão original y = f(x), fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos x por y, e y

por x. Dessa forma, obtemos x = f(y).

2º) Transformamos, algebricamente, a expressão x = f(y), de forma a obtermos, novamente, y em

função de x. Essa expressão resultante é a função inversa f(-1)(x).

f: {-2, -1, 0, 1} {1, 2, 3, 4}

x y = f(x) = -x + 2

f: Reais Reais

x y = f(x) = -x + 2

f: {0, 1, 2} {0, 1, 4}

x y = f(x) = x2

f: Reais Positivos Reais Positivos

x y = f(x) = x2

A partir da regra, poderíamos, simplesmente, isolar o x em função de y.

y = f(x) = -x + 2

1º) x = f(y) = -y + 2

2º) De x = -y + 2, temos...

-y = 2 - x

y = x - 2

Daí, y = f(-1)(x) = x - 2

y = f(x) = x²

1º) x = f(y) = y²

2º) De x = y², temos...

y = x

Daí, y = f(-1)(x) = x


186

O motivo dessa troca, no primeiro passo da regrinha, é termos uma função inversa

expressando, como pede o costume, y em função de x.

3.5.2.4 EXEMPLO 1

Vamos considerar o seguinte exemplo...

O gráfico da função é...

Vejamos agora a função inversa...

3.5.2.4.1FUNÇÃO INVERSA

A função inversa é...

O gráfico da inversa é...

Vejamos agora a bissetriz...

Se você preferir, pode continuar entendendo a função inversa como uma

função que leva y em x.

f: Reais Reais

x y = f(x) = -2x + 2

� " �� " ��

��

�"

��

�

"

�

�

�

f: Reais Reais

x y = f(x) = 1 - x/2

� " �� " ��

��

�"

��

�

"

�

�

�

Matemática

187

M Ó D U L O 4

3.5.2.4.2 BISSETRIZ

Note que as retas que foram formadas pela função e pela inversa são simétricas à bissetriz* dos

quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.


3.5.2.5 EXEMPLO 2

Considerando a seguinte função...


Vejamos a inversa...

*bissetriz...

Reta que divide um ângulo ao meio.

Fonte: Dicionário Aurélio – Séc. XXI.

� " �� " ��

��

�"

��

�

"

�

�

�

f: Reais Positivos Reais Positivos

x y = f(x) = x2

+�( � �

�

"

�

#

(

)

*

!

��( " "�(

�+


188

3.5.2.5.1 FUNÇÃO INVERSA

A função inversa é...


Vejamos a bissetriz das curvas...

3.5.2.5.2 BISSETRIZ

Note que as curvas são simétricas à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

f(-1): Reais Positivos Reais Positivos

x y = f(-1)(x) = x

+�( � �

�

"

�

#

(

)

*

!

��( " "�(

�+

+�( � �

�

"

�

#

(

)

*

!

��( " "�(

�+

Matemática

189

M Ó D U L O 4



3.7 SÍNTESE


UNIDADE 4 – FUNÇÃO EXPONENCIAL

4.1 CONCEITUAÇÃO

...chamamos de função exponencial de base a função f: Reais em Reais que associa a cada x

o número ax.

Em notação matemática, uma função exponencial é a função...


4.1.1 EXEMPLOS

São exemplos de função exponencial...

4.1.2 BASE NEGATIVA

Observe o seguinte exemplo...

f(x) = (-5)x

Essa não é uma função exponencial, porque a base é negativa.

O problema de a base ser negativa pode ser percebido facilmente...

f: Reais Reais

x ax

com 0 < a 1

f(x) = 3x

f(x) = (1 / 3)x

f(x) = 100x

f(x) = ( 5 )x

Dado um número real a > 0 e a 1...


190

Temos que a variável x pode assumir qualquer valor real.

Se x for igual a 1/2, a função anterior será igual a...

4.1.3 BASE IGUAL A 1

Observe agora este outro exemplo...

f(x) = 1x

Essa também não é uma função exponencial, porque a base é igual a 1.

Se a base for igual a 1, a função é semelhante à função constante igual a 1...

4.1.4 PROPRIEDADES

Podemos encontrar uma série de propriedades para a função exponencial...

Tomemos o exemplo f(x) = 3x.

Para x = 0, a função assume o valor 30 = 1.

Para x = -1, a função assume o valor 3(-1) = 1 / 3.




Ou seja, quanto mais negativo for x, mais próximo de zero estará sua imagem.

4.1.5 CRESCIMENTO EXPONENCIAL

Vamos manter o mesmo exemplo, porém mudando os valores de x...

Tomemos o exemplo f(x) = 3x.




Lembre-se de que 1 elevado a qualquer potência é sempre igual a 1.

f(x) = (-5)(1 / 2) = (-5), que não existe.

Lembre-se de que raiz quadrada só está definida para valores não

negativos... Vejamos mais um exemplo...

Matemática

191

M Ó D U L O 4


Veja que quando x passou de 1 para 2, f(x) passou de 3 para 9... 6 de diferença.

Quando x passou de 2 para 3, f(x) passou de 9 para 27... 18 de diferença.

Quando x passou de 3 para 4, f(x) passou de 27 para 81... Diferença de 54!

4.1.6 GRÁFICO

f(x) = 3x

O gráfico dessa função é...

Como o coeficiente a é maior do que 1, a curva é crescente.

Costumamos dizer que o crescimento é exponencial. Logo, a função

exponencial será crescente, se a base for maior do que 1.

Vejamos o gráfico dessa função...

Observe que o domínio e o contradomínio são todos os números reais.

Ou seja, quanto maior for o valor de x, maior será o valor de sua imagem...


192

4.1.7 PAR ORDENADO (0,1)

Tomemos agora outro exemplo...

f(x) = (1 / 3)x

Para x = 0, a função assume o valor (1 / 3)0 = 1.

Você percebeu que, tanto no exemplo anterior quanto neste último exemplo, a imagem da

função, quando x é igual a zero, foi sempre 1?

Lembre-se! Propriedade de potenciação...

Qualquer número elevado a 0 é igual a 1.

Isso nos leva à seguinte conclusão...

Para qualquer base a positiva e diferente de 1, a imagem de x = 0 será sempre 1.

Ou seja, o par ordenado (0, 1) fará parte do gráfico de qualquer função exponencial!

4.1.8 X NEGATIVO

Mantendo o exemplo, observamos que...

f(x) = (1 / 3)x

Para x = -1, a função assume o valor (1 / 3)(-1) = 3.

Para x = -2, a função assume o valor (1 / 3)(-2) = 32 = 9.



Vamos então atribuir outros valores a x...

Ou seja, quanto mais negativo for x, maior será sua imagem. Vejamos o

mesmo exemplo, atribuindo valores positivos a x!

Matemática

193

M Ó D U L O 4

4.1.9 BASE ENTRE 0 E 1

Mantendo o exemplo, observamos que...

f(x) = (1/3)x

Para x = 1, a função assume o valor (1 / 3)1 = 1 / 3.




Desse exemplo, concluímos que a função exponencial é decrescente, se a base estiver entre

0 e 1.

Vejamos o gráfico dessa função...

4.1.10 GRÁFICO

f(x) = (1/3)x

O gráfico dessa função é...

Como o coeficiente a é menor que 1 e maior que zero, a curva é decrescente.

Mas ainda...

Ou seja, quanto maior for o valor de x, maior será sua imagem.

O domínio e o contradomínio são todos os números reais.


194

4.1.11 SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y

Vejamos as duas curvas no mesmo plano cartesiano...

Dadas duas funções exponenciais, se a base de uma delas for o inverso da base da

outra, seus gráficos sempre serão simétricos ao eixo y.



4.3 SÍNTESE


UNIDADE 5 – LOGARITMO

5.1 EXEMPLO 1

3x = 81

Você se lembra de como encontrar o valor de x?

A resposta para x é chamada de logaritmo!


Perceba que esses gráficos são simétricos em relação ao eixo y.

Nesse caso, log3 81 = 4.

Lê-se... logaritmo de 81 na base 3.

Visto de outro modo, a base 3 deve ser elevada à 4ª potência para obtermos o

número 81.

Matemática

195

M Ó D U L O 4

5.2 EXEMPLO 2

53 = 125

Veja mais um exemplo...

A base 5 precisa ser elevada a 3 para obtermos 125.

Vamos à definição formal...

5.3 CONCEITUAÇÃO

Sejam a e b dois números reais positivos, com a (diferente de) 1...

O logaritmo de b na base a é o expoente de a, tal que a potência resultante seja igual a b.

Denotamos o logaritmo de b na base a por... Loga b.

Sendo que...

Veja...

5.4 EXEMPLOS


Log28 = 3, pois 2³ = 8

Log(1/2)

(1/8) = 3, pois (1/2)³ = 1/8

Log10

100 = 2, pois 10² = 100

a e b Reais

0 < a 1 e b > 0


196

Lembre-se de que 1 elevado a qualquer número é sempre igual a 1. Logo...

Log13 não existe, pois a base deve ser diferente de 1.

Já que não existe uma potência x tal que 1x = 3...

...Log-2

4 também não existe, pois a base, por definição, deve ser positiva.

5.5 LOGARITMO VERSUS FUNÇÃO EXPONENCIAL

O logaritmo é a operação inversa da exponencial. Dessa forma, devemos respeitar as exigências

feitas para a função exponencial.

Lembre-se de que tínhamos percebido que a base da função exponencial deveria ser positiva e

diferente de 1.

Vejamos as propriedades do logaritmo...

5.6 PRIMEIRA PROPRIEDADE

1 – O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos desses

fatores...

Loga(b . c) = Log

ab + Log

ac

Com a ajuda de tabelas logarítmicas, essas multiplicações se tornaram tão rápidas quanto uma

adição.

5.6.1 EXEMPLO 1

Suponha o problema de multiplicar...

925 . 237

Daria um trabalhão!

Se entendermos que o logaritmo desse produto é a soma dos logaritmos dos

dois fatores – em qualquer base –, temos...

Loga(925 . 237) = Log

a925 + Log

a237

Você já deve ter percebido o motivo de a base ser positiva e diferente de 1...

Essa propriedade foi o ponto inicial para o desenvolvimento dos logaritmos.

Como não havia calculadoras, as multiplicações eram uma operação bastante

demorada.

Matemática

197

M Ó D U L O 4

Considerando a base neperiana – nesse caso, a base é o número neperiano*,

representado por e –, temos, com a ajuda de uma tabela logarítmica**, que...

Quando a base do logaritmo é o número neperiano e, chamamos o logaritmo

de logaritmo neperiano e o denotamos por ln.

Dessa forma, loge925 = ln 925.

Mais ainda...

5.6.2 EXEMPLO 2

Vejamos a segunda propriedade de logaritmo...

Loge925 = ln 925 ˜ 6,82979=

*número neperiano...

é a base dos logaritmos naturais. O nome neperiano vem de Napier ou Néper

em homenagem ao matemático John Napier, quem primeiro se referiu a essa

constante. Sugerimos acessar o link http://pt.wikipedia.org/wiki/

Número_de_Euler para maiores informações.

**tabela logarítmica...

é uma tabela que apresenta o resultado do logaritmo para diferentes

logaritmandos e diferentes bases.

925 . 237 loge925 = ln 925

Daí...

ln (925 . 237) ̃ 6,82979 + 5,46806

ln (925 . 237) ˜ 12,29795

Outra consulta à tabela de logaritmos nos informaria que o logaritmando é

˜ 219.224,15.

Com a ajuda de uma calculadora científica, podemos verificar o resultado...

925 . 237 ̃ 219.225

=

=

=

=


198

5.7 SEGUNDA PROPRIEDADE

2 – O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e

o logaritmo do divisor...

Loga(b / c) = Log

ab - Log

ac

Vejamos o exemplo...

Vamos à terceira propriedade...

5.8 TERCEIRA PROPRIEDADE

3 – O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente dessa potência pelo

logaritmo da base dessa potência.

Logabc = c . Log

ab


Essa propriedade, juntamente com a primeira, demonstra a segunda. Veja!

Log2(1024 / 64)

Resolvendo o quociente entre parênteses...

Log216 = 4

Pela propriedade...

Log2(1024 / 64) = Log

21024 – Log

264 = 10 - 6 = 4

ln 65 = ?

Resolvendo, primeiramente, a potência...

ln 65 = ln 776 ˜ 8,9588

Pela propriedade...

ln 65 = 5 . ln 6 = 5 . 1,79176 ˜ 8,9588

=

=

Matemática

199

M Ó D U L O 4

5.9 PROPRIEDADES

Propriedades

1) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos desses

fatores.

2) O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e

o logaritmo do divisor.

3) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente dessa potência pelo

logaritmo da base dessa potência.

- log c = log c(-1) pela terceira propriedade.

Loga(b / c) = log

a(b . c(-1)) pela propriedade de potenciação.

Loga(b / c) = log

ab + log

ac(-1) pela propriedade do produto.

Daí...

Loga(b / c) = log

ab – log

ac

Vejamos mais uma propriedade...

5.10 QUARTA PROPRIEDADE

4 – Mudança de base...

Logab = (Log

cb) / (Log

ca)


Temos que log464 = 3.

Embora a base não seja um ponto crucial, é interessante escolher a base mais adequada para

facilitar as contas.

Pela propriedade, podemos entender Log464 = 3 como, por exemplo...

Log464 =

Log264 / Log

24 =

6 / 2 = 3

A primeira propriedade e a terceira juntas demonstram a segunda.

Vejamos...


200

5.10.1 EXEMPLO


Log7432 = ?

Para verificarmos a solução, podemos utilizar a definição de logaritmo.

Nossas contas indicaram que...

Log7432 = 3,11856

Então devemos ter...

7(3,11856) = 432

Usando uma calculadora científica, obtemos...

7(3,11856) = 432,00517

5.11 NOÇÃO DE APRENDIZAGEM

Você concorda que quanto mais prática temos sobre determinada tarefa, menos tempo utilizamos

para desenvolvê-la? Essa é a noção de aprendizagem.

Vamos considerar um marceneiro, por exemplo, fazendo cadeiras.

A primeira leva certo tempo para ficar pronta...

...a segunda leva menos tempo...

...a terceira, menos tempo ainda e assim por diante...

A noção de curva de aprendizagem é utilizada quando lidamos com processos ainda

imaturos...

Log7432 = ln 432/ln 7 ˜ 6,0684/1,9459 ˜ 3,11856= =

Matemática

201

M Ó D U L O 4

5.11.1 CURVA DE APRENDIZAGEM

A principal característica da curva de aprendizagem é a diminuição do número médio de horas de

mão-de-obra direta trabalhadas para a fabricação do produto.

Os efeitos da aprendizagem podem ser reflexos de vários fatores...

...eficiência, padronização, ganhos de escala...

A maneira mais usual de representar o fenômeno da curva de aprendizagem é pela

fórmula potencial a seguir...

Em que...

§ y é o número médio de horas de mão-de-obra direta por unidade;

§ a é o número de horas de mão-de-obra direta da primeira unidade;

§ x é o número acumulado de unidades produzidas até o momento;

§ b é o índice da curva de aprendizagem (0 < b < 1).

5.11.1.1 EXEMPLO 1

Vejamos, novamente, o caso do marceneiro...

Vamos supor que as 10 primeiras cadeiras tenham sido feitas em uma média de 6 horas cada,

enquanto as 20 primeiras tenham levado 5 horas para ficar prontas.

Quanto tempo a 50ª unidade levará para ser feita?

Usando a fórmula, temos...

6 = a . 10(-b)

5 = a . 20(-b)

y = a . x(-b)


202

Log 6 = log [a . 10(-b)]

Log 6 = log a + log 10(-b)

Log 6 = log a - b . log 10

e...

Log 5 = log [a . 20(-b)]

Log 5 = log a + log 20(-b)


Precisamos resolver o sistema de equações...

5.11.1.2 EXEMPLO 2

Multiplicando a segunda equação por -1, temos...


-Log 5 = -log a + b . log 20

Somando-as, temos...

Log 6 - log 5 = b . log 20 - b log 10

Log 6 - log 5 = b . (log 20 - log 10)

Usando as propriedades de logaritmo...

Log 6 / 5 = b . log 20/10

b = ( log 6 / 5 ) / ( log 20 / 10 )

b = 0,18232 / 0,69315

b = 0,26303

Utilizamos a base neperiana* para esses cálculos, mas você sabe que qualquer

base originaria o mesmo resultado. Vamos então encontrar o valor de a...

Passando o logaritmo...


Log 5 = log a - b . log 20{

*base neperiana...

Diz-se da base logarítmica igual ao número neperiano.

Matemática

203

M Ó D U L O 4

5.11.1.3 EXEMPLO 3

Sendo b = 0,26303

3Substituindo o valor de b em qualquer uma das equações originais, temos...

6 = a . 10(-0,26303)

a = 6/0,54572

a = 11

Ou seja, por definição, a primeira cadeira levou 11 horas para ser produzida.

A 50ª levará então...


5.12 RETORNO MÉDIO DE INVESTIMENTO

Vejamos agora a aplicação de logaritmo para retorno médio de investimento...

5.12.1 PRIMEIRA ABORDAGEM

Imagine um ativo* que valia R$ 100,00 em 1º de março...

...R$ 105,00 em 1º de abril...

...novamente, R$ 100,00 em 1º de maio.

Qual a rentabilidade média desse ativo nesse período de 2 meses?

Vejamos essa conta de duas maneiras...

No primeiro mês, a rentabilidade foi de 5% – R$ 100,00 viraram R$ 105,00.

No segundo mês, a rentabilidade foi de -4,7619% – R$ 105,00 viraram R$ 100,00.


Log 5 = log a - b . log 20{

y = 11 . 50(-0,26303)

y = 11 . 0,35737

y = 3,931 horas

*ativo...

Bens, direitos e valores pertencentes a uma empresa ou pessoa. Por exemplo,

imóveis, caderneta de poupança, ações, jóias.


204

Na média, temos...

(5% + (-4,7619%))/2 = 0,2381%/2 = 0,11905%

Por essa abordagem, parece que o ativo se valorizou, mas sabemos, claramente, que

isso não aconteceu.

Vejamos a outra abordagem...

5.12.2 SEGUNDA ABORDAGEM

Imagine um ativo que valia R$ 100,00 em 1º de março...

...R$ 105,00 em 1º de abril...



Na segunda maneira, que é a correta, temos...

Como a segunda valorização vem depois do efeito da primeira, estamos trabalhando

com juros compostos.

A conta anterior – média aritmética simples – tratou o problema via juros simples.

Para calcularmos a média, precisamos calcular a média geométrica...

Lembre-se de que estamos tratando de crescimento. Por isso, precisamos somar 1 à

rentabilidade.

Ou, então, lembre-se da fórmula do valor futuro em juros compostos... VF = VP . (1 + i).

Isso indica, como esperado, que não houve crescimento nesses 2 meses.

Esse 1 é justamente a manutenção dos R$ 100,00 originais.

Vejamos agora com o auxílio do logaritmo...

(1 + 5%) . (1 – 4,7619%) = 1 = 1 + 0%

Matemática

205

M Ó D U L O 4

5.12.3 COM LOGARITMO

Imagine um ativo que valia R$ 100,00 em 1º de março...

...R$ 105,00 em 1º de abril...



Com o auxílio do logaritmo...

Consideramos o crescimento mensal como o logaritmo do quociente.

Por exemplo, o crescimento de R$ 100,00 para R$ 105,00, normalmente entendido

como 105 / 100, será agora considerado como log (105 / 100)...

...não importando, como sabemos, a base do logaritmo.

Já o decrescimento de R$ 105,00 para R$ 100,00 será entendido como log (100 /

105).

Dessa forma, podemos calcular a média aritmética simples dos crescimentos...

(log (105/100) + log (100/105))/2 =

(log (105/100) - log (105/100))/2 = 0 / 2 = 0

Portanto, crescimento zero no período.

5.13 ESCALA LOGARÍTMICA

Não podemos considerar, igualmente, os R$ 500,00.

Claro que R$ 500,00, de R$ 100,00 para R$ 600,00, valem 10 vezes mais do que R$ 500,00 de R$

1.000,00 para R$ 1.500,00.

600 = 100 + 500% . 100

...e...

1.500 = 1.000 + 50% . 1.000

Imagine uma ação cujo valor passou de R$ 100,00 para R$ 600,00... Isso é

muito mais significativo do que a valorização de R$ 1.000,00 para R$ 1.500,00,

concorda? Você sabe o que é uma escala logarítmica? Vejamos um exemplo...


206

Se mantivermos a escala linear, esse fato não será levado em conta.

Já em uma escala logarítmica, sim.

Temos idéia da variação relativa ao ponto de partida – nesse caso, primeiramente, R$ 100,00 e

depois R$ 1.000,00.

Vejamos o gráfico desse caso...

5.13.1 GRÁFICO

O gráfico em escala logarítmica seria assim representado...

Em uma escala linear, além de não percebemos que há diferença entre esses

incrementos...

...precisaríamos de um eixo das ordenadas bem mais extenso para atingirmos o

ponto 1.000.

5.13.1.1 APLICAÇÕES

A maioria dos gráficos de longo prazo para cotação de aplicação em bolsa utilizam a escala

logarítmica.

Além da vantagem que destacamos anteriormente...

...essa escala termina por suavizar os movimentos oscilatórios, dando maior ênfase à evolução da

aplicação.

Matemática

207

M Ó D U L O 4

Compare, por exemplo, os gráficos da evolução de R$ 1,00 corrigido pela valorização do Índice

Ibovespa de dezembro de 1994 a dezembro de 1999.

Veja que, na escala linear, o valor em junho de 1997 é bem menor do que em dezembro de 1999.

Já na escala logarítmica, essa diferença não é tão acentuada – quase não é percebida.

5.13.1.2 LINEARIZAÇÃO

Outro objetivo da escala logarítmica, que, de certa forma, confunde-se com a afirmativa anterior,

é a linearização dos gráficos.

Geralmente, a relação entre as grandezas físicas* não é linear.

*grandezas físicas...

Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas, sempre em comparação a uma

escala pré-definida. São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa,

volume, velocidade, temperatura, tempo. Em relação a grandezas monetárias

(ex. dólares, reais, euros), a grandeza física tem a vantagem de não sofrer

interferência de inflação, correção monetária, custo de capital ou custo de

oportunidade. Por isso, é mais indicada para avaliação de desempenho.

#�(

#

��(

�

"�(

"

��(

�

+�(

+

�+

�

+��


208

Entretanto, é óbvio que, se pudermos tratá-la linearmente, nosso trabalho será bastante diminuído.

É muito mais simples buscar uma relação linear entre duas ou mais variáveis do que uma relação

não linear.

5.13.1.3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS

No caso da relação linear – você deve-se lembrar de geometria analítica* –, basta-nos determinar

os coeficientes angular e linear.

Além disso, a interpretação do resultado fica facilitada.

Por isso, sempre que possível, é interessante utilizarmos uma técnica chamada mudança de

variáveis para tornar um gráfico, a princípio curvilíneo, em uma reta.

Além disso, a interpretação do resultado fica facilitada. Você já deve ter feito uma

mudança de variáveis. Vejamos...

5.13.1.3.1 EXEMPLO 1

Lembra-se de como se resolve uma equação biquadrada?

Por exemplo, quais as raízes da equação...

x4 – 5x² + 6 = 0

Para facilitar, podemos utilizar a técnica de mudança de variáveis...

Vamos considerar y = x².

Dessa forma, podemos expressar a equação da seguinte maneira...

y² - 5y + 6 = 0

...e temos uma equação do 2º grau...

Mais ainda...

Por exemplo, uma relação potencial ou exponencial.

*geometria analítica...

É o estudo da geometria através dos princípios da álgebra.

Matemática

209

M Ó D U L O 4

5.13.1.3.2 EXEMPLO 2

Resolvendo a equação de 2º grau...

y² - 5y + 6 = 0

...encontraremos...

y = 2 ou y = 3

Como y = x², as raízes originais são...

Esse caso, obviamente, facilitou as contas, mas não se propôs a linearizar a

equação.

Para esses casos, é comum mudarmos as variáveis, entendendo as variáveis

originais como iguais ao logaritmo das novas variáveis.

5.13.1.3.3 EXEMPLO 3

Imagine a função...

f(x) = 3 . x5

Esse gráfico, certamente, não é linear.

Entretanto, se passarmos o logaritmo – de base qualquer –, teremos...

Log f(x) = log 3 . x5

Log f(x) = log 3 + log x5

Log f(x) = log 3 + 5 . log x

A mudança de variável é considerar f(x) como log f(x), e x como log x...

f(x) = log 3 + 5 . x

Temos que log 3 é uma constante, e que essa equação é linear.

x = + 2

x = - 2

x = + 3

x = - 3


210

5.13.1.3.4 EXEMPLO 4

Você sabia que a Escala Richter*, que mede a magnitude dos abalos sísmicos, é uma escala

logarítmica?

Por isso, a diferença entre um terremoto de 5 pontos para um terremoto de 6 pontos...

...é muito menor que a diferença de um terremoto de 6 pontos para um terremoto de

7 pontos!

Dito de outra maneira, um terremoto de 7 pontos é 10 vezes maior que um terremoto

de 6 pontos...

...e 100 vezes maior que um terremoto de 5 pontos.

5.13.1.3.5 EXEMPLO 5

O software Excel possui uma ferramenta de transformação de escala linear em escala logarítmica.

Veja, no ambiente on-line, como funciona!

5.14 SÍNTESE



6.1 FILME


uma cena do filme A prova no ambiente on-line.

6.2 OBRA LITERÁRIA


Numa e a Ninfa no ambiente on-line.

6.3 OBRA DE ARTE


quadro René Descartes no ambiente on-line.

*Escala Richter...

Escala utilizada para quantificar a magnitude sísmica de um terremoto.

Matemática

211

M Ó D U L O 5

MÓDULO 5 – ENCERRAMENTO

APRESENTAÇÃO

Sabemos que o novo – e o material didático de acessar enquadra-se em uma modalidade de

ensino muito nova para todos nós, brasileiros – tem de estar sujeito a críticas... a sugestões... a

redefinições. Por estarmos cientes desse processo, contamos com cada um de vocês para nos

ajudar a avaliar nosso trabalho.

CONCLUSÃO DO TRABALHO

AVALIAÇÃO

Caro participante,

O processo de aperfeiçoamento profissional implica reflexão, diagnóstico, eliminação

de deficiências, caminhos alternativos, estímulo, auto-estima, avaliação... Para alguns

de nós, professores, o aperfeiçoamento pode implicar maior clareza do que é o processo

de construção/reconstrução de conhecimento, refinamento de nosso desempenho,

adensamento de conhecimentos...

Podemos contar, nesse processo de aperfeiçoamento, com alguns instrumentos...

As auto-avaliações que podemos fazer de nosso trabalho.

A avaliação de nossos pares, isto é, de nossos colegas professores.

As avaliações dos participantes.

Tendo como foco essas diretrizes e visando ao contínuo aperfeiçoamento dos cursos do FGV

Online, gostaríamos que você nos auxiliasse na avaliação deste trabalho.

Entre na sala de aula para acessar o questionário de avaliação.

Para saber como localizar e preencher o questionário, leia o Anexo.

FECHAMENTO

Para isso, neste módulo, você encontrará um questionário para avaliação do

material.

Essas avaliações nos permitem refletir, a partir da visão do outro, sobre o que

fazemos... Sobre o que estamos fazendo bem... Sobre o que precisa mudar.

Merecido descanso! Até a próxima disciplina, é claro!

MatemáticaANEXOS

212

ANEXO

PREENCHENDO O QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO

Para preencher um questionário de avaliação...

§ vá à sala de aula;

§ localize a entrada para o questionário de avaliação, na área de <discussões gerais>,

abaixo das discussões listadas. O questionário pode ser identificado pelo ícone .

Digite seu nome e seu curso, caso ele não esteja preenchido. Responda às questões e, ao fim da

página, clique no botão <enviar>.

matematica

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