matema tica fundamental notas de...

Matema tica FundamentalNotas de Aula

Adriana M. Adami Adalberto A. Dornelles Filho Magda M. Lorandi (ed.)

Vers~ao 829 de julho de 2008

Sumario

1 Funcao 1

1.1 O que e uma funcao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Grafico a partir de tabela de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Grafico a partir de equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Estudo de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Funcoes definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1 Funcao Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Funcao Afim e Funcao Linear 15

2.1 Definicoes e Principais Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 A Inclinacao da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Funcao Linear Crescente, Decrescente e Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 A equacao da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Funcao Potencia e Funcao Polinomial 27

3.1 Funcao Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Funcao potencia com expoente inteiro positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Funcoes da forma y = xn com n ımpar positivo . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Funcoes da forma y = xn com n par positivo . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Funcoes potencia com expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 As funcoes potencia da forma y = x1/n com n inteiro positivo . . . . . . . . . . . 31

3.6 Comparando funcoes potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6.1 O efeito dos coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6.2 Movimentos dos graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6.3 Funcoes da forma y = k(x− a)r + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.8 Zeros de funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.8.1 Um metodo algebrico para obtencao de zeros . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

iv SUMARIO

3.8.2 Um metodo numerico para obtencao de zeros . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.9 Limite no infinito de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Funcao Racional 49

4.1 Limite no infinito de uma funcao racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Limite em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Funcao Trigonometrica 55

5.1 Medida de angulos em uma circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Funcao Exponencial e Funcao Logarıtmica 63

6.1 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Logaritmo e Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.1 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Operacoes com funcoes 71

7.1 Funcoes algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2 Funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.3 Limites: uma introducao intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3.3 A relacao entre limites laterais e bilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3.5 Limites infinitos (do ponto informal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3.6 Assıntota vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3.7 Limites no infinito (do ponto de vista informal) . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3.8 Assıntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3.9 Limite infinito no infinito (do ponto de vista informal) . . . . . . . . . . . 79

7.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Modelagem Matematica 83

8.1 Promovendo o Ajuste entre Dados e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.2 Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.3 Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.4 Proporcionalidade Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.5 Ajustando uma Funcao Linear a Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.6 A Reta de Regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

SUMARIO v

8.7 Ajustando um modelo em um conjunto de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.8 Uso da reta de regressao para fazer previsoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.9 Interpretacao da inclinacao da reta de regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.10 Regressao Quando a Relacao Nao e Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.11 Como funciona a regressao: o que significa “melhor ajuste” . . . . . . . . . . . . . 91

8.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A Formulas uteis e de emergencia 97

A.1 Produtos especiais e fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.2 Propriedades dos expoentes e logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.3 Zeros de funcoes polinomiais de grau 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.3.1 Funcao quadratica: f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.3.2 Funcao cubica: f(x) = x3 + a2x2 + a1x+ a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.3.3 Funcao quartica: f(x) = x4 + a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0 . . . . . . . . . . . 99

A.4 Extremos locais de funcoes polinomiais de grau 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . 100

A.5 Valores notaveis das funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A.6 Identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B Respostas dos Exercıcios 103

vi SUMARIO

Notas

Os textos que compoem estas Notas de Aula de Matematica Fundamental (MAT0237) foramelaborados, de modo colaborativo, pelos professores da disciplina e serao utilizados, em caraterexperimental, em todas as turmas desse semestre. O que buscamos com essa experiencia e dar oprimeiro passo de um processo de aproximacao da pratica pedagogica nas diversas turmas de umamesma disciplina. Elegemos a elaboracao, colaborativa e cooperativa, de um material proprio doDEME para o estudo dos fundamentos das funcoes, como um elo que pode consolidar a criacaode uma metodologia capaz de auxiliar nos processos de aprendizagem do Calculo Diferenciale Integral, que sera desenvolvido no decorrer das disciplinas Matematica I, II, III e IV para aEngenharia.

Dessa forma, nao somente aos professores mas tambem aos estudantes cabe a tarefa de par-ticipar desse processo de integracao, com sugestoes ou colaboracoes de todas as formas julgadasadequadas para a melhoria desse material didatico, da metodologia e da avaliacao proposta paraa disciplina de Matematica Fundamental.

E saiba que para escrever neste texto, assim como voce, nos tambem precisamos pesquisar,estudar e resolver questoes de varias formas; alem de aperfeicoar varias vezes nossas frases, ateque nos pareceram claras e completas o suficiente para que nossas ideias fossem compreendidasem seu significado real. Ainda assim, vera que muitas coisas ficaram incompletas, algumascom erros e outras que vai achar que nao entende. Mas e assim mesmo que se desenvolvequalquer processo de construcao: o caminho so existe para nos quando o percorremos. Faca entaosua parte, so assim podera aprender: estudando, pesquisando em livros de Calculo, fazendo erefazendo, discutindo com os colegas, explicando quando pode ajudar e recebendo ajuda quandoprecisa. E nos estamos sempre na retaguarda: na sala de aula, no ambiente de apoio e namonitoria. Bom estudo!

Colaboradores

Colaboraram na confeccao, correcao e aperfeicoamento destas Notas de Aula:

• Adalberto A. Dornelles Filho

• Adriana M. Adami

• Helena M. Ludke

• Isolda G. de Lima

• Janaına P. Zingano

• Juliana Dotto

• Laurete T. Z. Sauer

• Luciana M. Somavila

• Magda M. Lorandi

• Marılia S. de Azambuja

• Marina D’Agostini

• Mauren T. Pize

• Simone F. T. Goncalves

vii

viii SUMARIO

A estrutura do texto

ê usando a tecnologia: Os textos dentro de paragrafos como este, dao informacoes importantes para a

melhor compreensao das ferramentas tecnologicas companheiras do estudante de matematica: a calculadora

e o computador. ♦

Atividade 0.1 Os textos dentro de paragrafos como este indicam que e a sua vez de escrever.

ÿAo longo do texto, diversas biografias de matematicos e cientistas foram inseridas. Achamosque isso contribui para o entendimento da matematica como um conhecimento construıdo aolongo dos tempos pelo esforco e engenho de pessoas. O estudante pode (e deve) fazer a sua partenessa tarefa.

Exercıcios precedidos pelo sımbolo Í sao especialmente indicados para o uso exploratoriode um Recurso Grafico Computacional: uma calculadora com recursos graficos (HP48, ...) ouum software matematico (Scientific Notebook, MATLAB, WinPlot, ...).

O texto foi editado usando o processador tipografico LATEX. Os graficos foram elaboradoscom o Matlab.

Creditos das fotografias

p. 13: Jeff Rogers, http://www.coastergallery.com; p. 25: Vicente Viola, http://www.elrollo.

com.ar/vviola1.htm; p. 61: Planet Waves, http://www.amazon.com/Planet-Waves-Tuning-Fork-A;p. 68: National Park Service, Jefferson National Expansion Memorial; http://www.nps.gov/jeff/;p. 82: Adalberto A. Dornelles F., acervo do autor; p. 93: Paulo Pinto, http://www.estadao.com.br/ultimas/cidades/noticias/2006/dez/29/164.htm;

Chegando a Universidade1

Busque ser como uma aguia, voar alto!Tera outra visao das coisas e do mundo!

Bem-vindo!

Chegar a universidade representa um fato marcante na vida de todos os que por ela passam.Nao e por acaso que isto acontece. A expectativa de adquirir novos conhecimentos e novas ami-zades renova as esperancas de um futuro melhor. Alem do mais, nao ha duvida: a universidade,apesar de suas deficiencias, e um local onde as pessoas podem passar bons momentos de suasvidas, desde que interessadas nisso.

Mas para que isso ocorra deve haver uma decisao pessoal firme de aproveitar integralmentetudo o que a universidade oferece. Conhecer em profundidade a instituicao, participando inten-samente de suas atividades, e um bom caminho para alcancar esta meta.

Apenas aguardar que os professores entreguem os conhecimentos previamente elaboradose uma atitude muito comodista, e incompatıvel com os propositos maiores de uma formacaouniversitaria. Alem do mais, agindo desse modo com certeza excelentes oportunidades de cres-cimento intelectual terao sido desperdicadas.

A qualidade de um curso nao depende apenas de corpo docente, laboratorios, equipamentos,bibliotecas e salas de aula. Depende tambem da qualidade do estudante que nele ingressa.Mais ainda, depende de um clima geral, na instituicao, que favoreca os estudos, que estimule acriatividade e que instigue os estudantes a progredir. Para contribuir com este quadro e fazerparte deste ambiente de progresso, deve o estudante participar ativamente do seu processo deformacao, que comeca justamente conhecendo e vivenciando a instituicao.

Para que isto aconteca, e necessario que se esteja motivado a cursar o nıvel superior; casocontrario, com toda a honestidade, deve-se procurar fazer outra coisa. Deve ser extremamentefrustrante estar na universidade, levando seus estudos apenas com o intuito de receber umdiploma, fundamentado na perspectiva futura de ganhar altos salarios - o que e uma premissafalsa - , ou apenas para agradar os pais, que gostariam de ver o filho “doutor”. Um examede consciencia apurado deve ser feito, para que depois o arrependimento nao se faca presente.Todas as profissoes sao honradas e nao dependem, necessariamente, de um curso superior.

Nao e objetivo central desta introducao analisar com pormenores estas ponderacoes, masapenas chamar a atencao do estudante para alguns aspectos relevantes da vida universitaria.Caso isto desperte alguma ansiedade, a ponto de deixar duvidas sobre esta escolha importan-tıssima para o futuro, recomenda-se uma boa reflexao a respeito do assunto, ou mesmo umaconsulta a um orientador vocacional.

O que aqui esta escrito, tem por objetivo auxiliar na ambientacao do estudante dentro dauniversidade e e enderecado especialmente aqueles que tem consciencia do papel que representamperante a instituicao.

1Texto adaptado de Bazzo e Pereira [3].

ix

x SUMARIO

Uma nova fase

Muita coisa muda ao se passar do curso secundario para o universitario. Talvez a forma deabordar os ensinamentos recebidos seja a mais importante delas. De agente passivo, o estudanteagora deve passar a agente ativo do processo educacional.

Pode-se, nesta nova fase, direcionar e programar mais livremente o seu aprendizado, comdoses de acordo com suas potencialidades ou interesses. Esta maior liberdade, entretanto, deveser usufruıda progressivamente, com maturidade. E comum encontrar-se estudantes que, emnome desta liberdade, fogem do esforco exigido pelas leituras recomendadas, chegam tarde ousaem antes do final das aulas, ou mesmo “matam” as aulas. Isto representa, na realidade, umainconsequente falta de seriedade, indigna de futuros profissionais.

Uma mudanca importante que os alunos logo percebem e quanto a relacao professor-aluno.Nesta nova fase o professor passa a ser mais orientador do que fiscalizador.

Por que estudar?

Em muitas empresas modernas, hoje em dia, acredita-se que a meia-vida de um engenheiroseja de apenas dez anos. Isto e, a metade de tudo que ele aprendeu no seu curso de graduacaosera considerado como conhecimento obsoleto no decorrer de uma decada.

No ritmo em que tem evoluıdo a ciencia e a tecnologia, calcula-se que dentro de vinte ecinco anos o montante de conhecimentos no mundo sera quatro vezes maior que atualmente; emcinquenta anos, cerca de trinta vezes maior, e entao noventa e sete por cento de tudo aquilo quefor conhecido tera sido descoberto ou inventado a partir de hoje. Desta forma, o que se sabeagora representara apenas tres por cento das informacoes dominadas daqui a cinquenta anos.Embora essas estimativas requeiram alguma reflexao, elas corroboram a ideia de que o futuroda humanidade estara calcado no domınio e na manipulacao da informacao.

Considerando o fato de que quem esta iniciando um curso superior ja deve ter tido pelomenos uns onze anos de estudos e que, se pretende ser um profissional ativo, devera atualizar-se continuamente, nada mais logico do que aprender, definitivamente, a estudar com eficiencia.Para que isto aconteca, deve-se saber usar adequadamente os recursos disponıveis para conseguiruma boa aprendizagem. Esta perspectiva certamente ja e motivo mais do que suficiente para seaprender a estudar.

Consideracoes sobre um metodo de estudo

A transicao do ensino medio para um curso superior exige do estudante uma serie de altera-coes no seu comportamento, nem sempre faceis de serem efetuadas.

Deve-se aprender a estudar. E isto tanto mais e necessario quanto mais se conscientiza oindivıduo de que, ao passar para um curso superior, deixou de ser aluno - assim entendido aqueleque e ensinado - e passou a ser estudante - que aprende e estuda porque quer, com motivacao esob orientacao - , devendo ele proprio, agora, tomar muitas das iniciativas.

A bem da verdade, ha que se ressaltar que o primeiro objetivo deste topico e o de desmistificara ideia, bastante arraigada ainda no meio universitario, de que possa existir uma maneira deestudar pouco e aprender muito, cujo metodo dispense o trabalho que nao se quer ter.

Outro ponto importante que se deseja deixar bem claro, e a incredulidade dos autores deque se possa conciliar a falta absoluta de tempo para estudar com os estudos. As duas coisas,levadas ao pe da letra, sao inconciliaveis. Quem pretende efetivamente estudar deve descobrirou criar o seu tempo para isto.

SUMARIO xi

Uma boa programacao do tempo, seja para o estudo, para o trabalho ou para o lazer, saoabordadas aqui como condicoes imprescindıveis para se aplicar esta ou qualquer outra tecnicade estudo.

O estudo eficaz e, via de regra, um processo que exige dedicacao exclusiva, nao podendo sercompartilhado com outra atividade. Por esta razao, recomenda-se um verdadeiro isolamentoquando se estuda, intercalando pequenos intervalos, para evitar o cansaco prematuro.

Devem ainda nortear o estudante nas suas atividades, as seguintes observacoes:

1. nao ha regras absolutas no tocante a metodos de estudo; o que existe sao recomendacoesque devem, logicamente, ser adaptadas as particularidades de cada indivıduo, e tambem aspeculiaridades de cada assunto a ser estudado - estudar matematica exige comportamentosdistintos dos necessarios para estudar uma lıngua estrangeira;

2. o estudante deve estar ciente de que deve aprender a ver um determinado assunto sobdiferentes angulos, a compara-los e a refletir criticamente sobre o tema;

3. saber fazer perguntas e uma utilıssima ferramenta para se orientar.

Condicoes para viabilizar o estudo

Uma condicao basica para viabilizar o estudo - um ponto ja abordado no item anterior eaqui ratificado - e a racionalizacao do tempo. Determinar o que fazer a cada momento e umexcelente comeco para um estudar bem sucedido.

Nao subestimar a validade do aproveitamento de pequenos perıodos livres e tambem sabiamedida. E so fazer as contas: 15 minutos de estudo por dia representam mais de 100 minutospor semana; em um mes representam 450 minutos (7,5 horas); em um ano mais de 5 400 minutos(mais de 90 horas). Estes tempos nao podem ser desperdicados.

Nao raras vezes, estudantes que trabalham tem bom desempenho nos seus estudos. Isto sedeve basicamente a dois aspectos. O primeiro e que, participando ativamente do custeio dosseus estudos, acabam por dar-lhes muita importancia. O segundo e que, tendo que conciliarestudo com trabalho, fatalmente terao que valorizar ao maximo todo o seu tempo, pois sabemque dificilmente terao outra oportunidade. Desta forma, eles automaticamente estarao pondoem pratica a racionalizacao de seu tempo.

2a feira 3a feira 4a feira 5a feira 6a feira Sabado DomingoManhaTarde

VespertinoNoite

Tabela 1: Quadro de Atividades Semanais.

Agora escreva na Tabela 1, todas as atividades que voce desenvolve durante a semana, sejamdomesticas, profissionais, escolares, de lazer, etc.

Nesse quadro de atividades, voce incluiu um horario para se dedicar aos estudos? Quantashoras semanais? Se voce nao incluiu um horario para as suas atividades de estudos tera que, apartir de agora, pensar nesse seu horario e se comprometer a cumpri-lo. Por isso, e importanteque planeje muito bem suas outras atividades para que seu horario de estudo seja rigorosamenterespeitado. Sabemos que enfrenta dificuldades. Porem, se seus afazeres estiverem planejados asatividades fluirao com maior produtividade e o tempo rendera mais!

xii SUMARIO

Capıtulo 1

Funcao

O estudo das funcoes e o tema central deste texto. Neste capıtulo faremos uma abordagemintrodutoria dos principais conceitos relacionados: caracterizacao de funcao, domınio e imagem,propriedades algebricas e graficas, funcoes definidas por mais de uma sentenca, etc. Estesconceitos serao usados ao longo de todo o texto.

1.1 O que e uma funcao?

Consideremos um exemplo: Na Tabela 1.1 esta apresentada a producao de automoveis, entre1997 e 2007, pela General Motors do Brasil Ltda., uma das maiores montadoras do paıs.

Ano Producao1997 404 8421998 336 6881999 286 2422000 366 5602001 437 8442002 465 4472003 459 5002004 484 8052005 561 4492006 550 1852007 576 952

Tabela 1.1: Producao de automoveis da General Motors do Brasil Ltda. Fonte: ANFAVEA [1]

Podemos relacionar a producao de automoveis com o ano. Ou seja, a cada ano temos umunico valor que representa a producao de automoveis da GM. Neste caso, temos uma funcaoqua associa a cada ano um unico valor de producao.

De modo geral uma grandeza y e uma funcao de outra grandeza x, se a cada valor de xestiver associado um unico valor de y. Dizemos que y e a variavel dependente e x e a variavelindependente. Assim, por exemplo, podemos considerar a producao de automoveis (variaveldependente) em funcao do ano (variavel independente). Escrevemos y = f(x), onde f e o nomeda funcao.

O domınio da funcao e o conjunto dos possıveis valores da variavel independente e a imageme o conjunto correspondente de valores da variavel dependente.

Uma funcao pode ser representada por tabelas de valores, graficos, expressoes algebricas oupalavras.

1

2 CAPITULO 1. FUNCAO

Na Tabela 1.1 esta representada a producao em funcao do ano. Se designarmos essa funcaopor f podemos escrever, por exemplo, f(1997) = 404 842 ou f(2000) = 366 560.

Em um plano cartesiano, podemos representar os pontos correspondentes a cada associacaodada pela funcao f , como mostra a Figura 1.1.

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008200

250

300

350

400

450

500

550

600

t (ano)

p (

x 10

00 u

nida

des)

Figura 1.1: Producao da GM. Grafico de pontos.

Observe que o grafico e composto de pontos pois as variaveis envolvidas nao sao contınuas.Porem, muitas vezes, uma aproximacao por segmentos de reta e um recurso util para que ocomportamento da funcao possa ser melhor observado. Poderıamos, neste caso, representar afuncao f como na Figura 1.2.

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008200

250

300

350

400

450

500

550

600

t (ano)

p (

x 10

00 u

nida

des)

Figura 1.2: Producao da GM. Grafico de linhas.

Atividade 1.1 Observando o grafico da Figura 1.2 gostarıamos de sugerir as seguintes questoespara discussao. Procure responde-las, apresentando argumentos que justifiquem cada resposta.

1. Aproximadamente, em que ano a producao de automoveis atingiu o seu valor maximo, noperıodo considerado?

1.2. FUNCAO 3

2. E quando atingiu o seu valor mınimo?

3. A funcao em questao e crescente ou decrescente?

4. Quando e que a producao aumentou mais rapidamente?

5. No contexto descrito, procure “traduzir” com suas palavras, a seguintes sentenca:f(2007) = 576 952.

1.2 Funcao

Definicao 1.1 Uma funcao e uma relacao que associa elementos de um conjunto A a um unicoelemento de outro conjunto B. Uma funcao f de R para R e uma relacao que associa numerosreais x a numeros reais f(x).

Geralmente (mas nao necessariamente), a funcao e expressa por uma expressao algebrica(formula) que indica como os valores x e f(x) estao associados, por exemplo, f(x) = x2. Usu-almente, tambem, os valores f(x) sao denotados por alguma variavel, por exemplo, y ou outraletra qualquer. Assim, f(x) = x2 e y = x2 sao formas distintas, mas equivalentes, de se referira mesma funcao. Neste caso, a variavel x e dita independente enquanto y e dita dependente.

Definicao 1.2 O domınio de uma funcao f e o conjunto de todos os valores que se podeatribuir a x. O conjunto de todos os valores de f(x) associados a x e denominado imagem def .

O domınio de uma funcao geralmente esta condicionado a alguma restricao na sua expressaoalgebrica. Por exemplo, o domınio da funcao f definida por y = f(x) = 1

x e Dom(f) = x 6= 0,pois a divisao 1/0 nao e definida. Sua imagem e Img(f) = y ∈ R | y 6= 0, uma vez que paraqualquer valor nao-nulo de y, existe um x tal que y = 1/x.

Neste texto, os conjuntos domınio e imagem sao sempre subconjuntos de R. Assim, o domınioda funcao g definida por g(x) =

√x e Dom(g) = x ∈ R | x ≥ 0, uma vez que se x < 0,

√x e

numero complexo. Alem disso, devido as condicoes de um problema de aplicacao, podem haverrestricoes adicionais no domınio de uma funcao. Por exemplo, a funcao definida por V (l) = l3,onde V e o volume de um cubo de aresta l, tem domınio Dom(V ) = l > 0, uma vez que lrepresenta uma distancia.

Importante:

• Uma funcao f pode ser definida por uma equacao (y = 3x + 5) mas nem toda a equacaodefine uma funcao. Por exemplo, os valores de x e y que satisfazem a equacao x2 + y2 = 1nao formam uma funcao y = f(x) pois para alguns valores de x existem mais de um valorde y associado. Por exemplo, se x = 0 pode-se ter y = 1 ou y = −1. Graficamente,dizemos que uma reta vertical deve interceptar o grafico de uma funcao apenas uma vez.Esse teste e denominado Teste da Reta Vertical.

• Dada uma funcao f qualquer, a notacao f(x) representa o valor da funcao, normalmenteum numero, mas pode estar ser expresso algebricamente. Por exemplo, se f(x) = x2 − 1,entao

f(3) = 32 − 1 = 9− 1 = 8,

masf(3 + h) = (3 + h)2 − 1 = 9 + 6h+ h2 − 1 = 8 + 6h+ h2.


• Uma funcao pode ser descrita por tabelas, graficos, equacoes ou verbalmente. Por exem-plo, “A forca de atracao gravitacional entre dois corpos e inversamente proporcional aoquadrado da distancia entre seus centros” representa a funcao F (x) dada por

F (x) =k

x2,

onde k e a constante de proporcionalidade.

Vejamos outros exemplos nas secoes a seguir.

1.3 Grafico a partir de tabela de valores

Definicao 1.3 Dada uma funcao f definida sobre um domınio D, o grafico de f e definidocomo o conjunto de pontos (x, f(x)) no plano cartesiano. De forma mais tecnica,

G =

(x, f(x)) ∈ R2, x ∈ Dom(f).

Geralmente, esses pontos formam um curva no plano cartesiano.

A Tabela 1.2 mostra a populacao p do Brasil, em milhoes de habitantes, levantada nos censosdemograficos desde 1940.

t (anos) 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000p (×106 hab.) 41,2 51,9 70,1 93,1 119,0 146,8 169,8

Tabela 1.2: Populacao do Brasil. Fonte: IBGE [6]

A Figura 1.3 mostra cada par de valores, isto e, cada associacao, sendo representado no planocartesiano por um ponto de coordenadas (t, p).

1940 1950 1960 1970 1980 1991 20000

25

50

75

100

125

150

175

t (ano)

p (x

106 h

abita

ntes

)

Figura 1.3: Populacao do Brasil.

A partir do grafico e possıvel responder a algumas questoes:

1. A populacao esta crescendo de modo uniforme?

2. E possıvel estimar o crescimento da populacao no perıodo de 1 ano? Como?

1.4. GRAFICO A PARTIR DE EQUACOES 5

3. E possıvel estimar a populacao em 2010?

4. Por que os eixos nao possuem a mesma escala?

ê usando a tecnologia: Um recurso tecnologico muito importante e muito simples pode ajudar no

desenho de graficos: papel quadriculado. Adquira alguns na papelaria e acostume-se a desenhar graficos neles.

Embora uma calculadora ou software grafico possa desenhar graficos ate mais precisos, o esforco do desenho

manual fara com que voce entenda o que esta acontecendo. ♦

ê usando a tecnologia: Alem de lapis e papel quadriculado, os “recursos graficos computacionais”

(calculadora grafica e softwares matematicos) sao muito importantes e uteis. Tente reproduzir os graficos

mostrados nesse capıtulo usando esses recursos. Leia o manual de sua calculadora e verifique se ela possui

recursos graficos e aprenda a usa-los. Se sua calculadora nao possui recursos graficos, uma excelente alternativa

sao os softwares matematicos como, por exemplo, o Matlab, Scientific Notebook, disponiveis nos laboratorios

da universidade. Um software muito interessante e o WinPlot, que possui uma versao gratuita (e em portugues)

disponıvel para download na internet: Procure por “winplot” no buscador Google. ♦

1.4 Grafico a partir de equacoes

Para desenhar o grafico de uma funcao y = f(x) dada por uma equacao, procedemos daseguinte forma:

1. Estabelecemos o domınio da funcao.

2. Atribuımos alguns valores a x dentro do domınio e calculamos os respectivos valores de y.

3. Representamos os pares de valores (x, y) por pontos no plano cartesiano.

Exemplo 1.1 Das leis da Dinamica sabemos que a energia cinetica K associada a um movelde massa m que se desloca com velocidade v e dada por

K =12mv2.

Se a massa e medida em quilogramas (kg) e a velocidade em metros por segundo (m/s), entao aenergia cinetica e medida em joules1(J). Supondo que um movel tenha massa m = 4 kg, qual eo comportamento de K em funcao de v?

Solucao: Primeiramente estabelecemos o seu domınio: Observe que v e uma velocidade e sabemos (dasaulas de fısica) que o sinal de v indica o sentido do movimento: se v > 0 o movel se desloca “para frente”,se v < 0 o movel se desloca “para tras”. Entao v ∈ (−∞,+∞).

Em seguida atribuımos alguns valores a v dentro do domınio: v = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. Calculamosos respectivos valores de K. Ver a Tabela 1.3 a seguir.

v(m/s) -3 -2 -1 0 1 2 3K(J) 18 8 2 0 2 8 18

Tabela 1.3: Conjunto de valores para a funcao dada por K = 12mv

2.

Os valores da tabela foram calculados a partir da equacao. Os pontos e a curva correspondente estaomostradas na Figura 1.4.

A partir do grafico e possıvel responder a algumas questoes:1ÿ James Joule (1818 – 1889), fısico ingles. Estudando a eficiencia de motores eletricos descobriu que a

potencia (calor) dissipada por um resistor e dada por P = i2R. Essa equacao e conhecida como lei de Joule.Motivado por crencas religiosas, iniciou estudo no sentido de buscar uma unificacao das forcas da natureza. Seufeito mais impressionante (em 1840) foi demonstrar o denominado equivalente mecanico do calor, medindo avariacao da temperatura (energia termica) de uma certa quantidade de agua produzida pela agitacao de uma rodacom pas acionada pela queda de um peso (energia mecanica). Como homenagem, seu nome foi dado a unidadede medida de energia, sendo 1 cal = 4,184 J. Adaptado de [26].


−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

v (m/s)

K (

J)

Figura 1.4: K = 12mv

2 com m = 4 kg.

1. Qual e a relacao entre energia e velocidade?

2. O que ocorre com a energia quando a velocidade dobra?

3. A energia e proporcional a velocidade?

Exemplo 1.2 Desenhar o grafico da funcao dada por

y = x√

9− x2.

Solucao: Como no exemplo anterior, primeiramente estabelecemos o domınio da funcao. Para issodevemos levar em conta que 9 − x2 ≥ 0, logo x2 ≤ 9. Assim x ∈ [−3, 3]. Em seguida atribuımos algunsvalores a x dentro do domınio: x = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. Calculamos os respectivos valores de y. Vera Tabela 1.4.

x -3 -2 -1 0 1 2 3y 0,00 -4,47 -2,82 0,00 2,82 4,47 0,00

Tabela 1.4: Conjunto de valores para a funcao dada por y = x√

9− x2.

Representamos os pares de valores (x, y) por pontos no plano cartesiano. A Figura 1.5 (acima, aesquerda) mostra os 7 pontos correspondentes aos pares de valores da tabela acima. Se a quantidades depontos nao sao suficientes para que percebamos como a curva se comporta devemos calcular mais pontos.Como na Tabela 1.5 a seguir.

x -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5y -4,14 -3,89 -1,47 1,47 3,89 4,14

Tabela 1.5: Conjunto adicional de valores para a funcao dada por y = x√

9− x2.

A Figura 1.5 mostra, tambem, graficos com 13 pontos correspondentes aos pares de valores das duastabelas acima e ainda graficos com 25 e “infinitos” pontos calculados via computador.

Saber desenhar os graficos de diversas funcoes e habilidade fundamental no estudo de CalculoDiferencial e Integral. Na medida em que seu conhecimento sobre o comportamento das funcoesfor aumentando, a quantidade de pontos necessarios para compreender a forma do grafico vaidiminuindo. Como diz o ditado: Para o bom entendedor de graficos poucos pontos bastam.

1.5. ESTUDO DE FUNCOES. 7

−3 −2 −1 0 1 2 3−6

−4

−2

0

2

4

6

7 pontos−3 −2 −1 0 1 2 3

−6

−4

−2

0

2

4

6

13 pontos

−3 −2 −1 0 1 2 3−6

−4

−2

0

2

4

6

25 pontos−3 −2 −1 0 1 2 3

−6

−4

−2

0

2

4

6

"infinitos" pontos

Figura 1.5: y = x√

9− x2. Graficos com 7, 13, 25 e “infinitos” pontos.

1.5 Estudo de funcoes.

Nesta e nas demais disciplinas de matematica, estudaremos algumas caracterısticas impor-tantes de uma funcao, como:

• domınio, imagem e grafico.

• pontos ou eixos de simetria.

• interceptos (intersecoes com os eixos, zeros da funcao, entre curvas).

• sinal da funcao (intervalos onde e positiva ou negativa).

• crescimento (intervalos onde e crescente ou decrescente).

• taxa de variacao em determinado intervalo (taxa media) ou ponto (taxa instantanea).

• limites e assıntotas (verticais e horizontais).

• continuidade.

• concavidade (intervalos onde a concavidade e para cima ou para baixo).

• pontos de extremo (maximos e mınimos).

A utilidade fundamental do estudo das funcoes e seus grafico e a resolucao de problemas.

Exemplo 1.3 Uma folha de metal quadrada de lado 15 cm deve ser cortada e dobrada de modoa formar uma caixa sem tampa. Para isso, quatro pequenos quadrados devem ser recortados doscantos da folha e as abas formadas devem ser dobradas e soldadas. Determine, aproximadamente,o lado dos pequenos quadrados do modo que se possa obter uma caixa de maior volume possıvel.

Solucao: Digamos que os pequenos quadrados tenham lado x. Assim caixa obtida tera uma basequadrada de lado 15− 2x e uma altura x. O volume, portanto, sera

v(x) = x(15− 2x)2.

O domınio dessa funcao e Dom(v) = 0 < x < 7,5. Calculamos a tabela de valores a seguir.


x(cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 7,5v(cm3) 0 169 242 243 196 125 54 7 0

Tabela 1.6: Conjunto de valores para a funcao dada por v(x) = x(15− 2x)2.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

300

x ( cm )

v (

cm3 )

Figura 1.6: v = x(15− 2x)2. Qual e o maior volume?

A partir dos valores da Tabela 1.6, desenhamos o grafico da funcao v(x) mostrado na Figura 1.6.

Observando o grafico da funcao notamos que o volume maximo vmax ocorre para algum valor dexmax entre 2 e 3. Supondo que esse valor seja xmax = 2,5 cm obtemos uma caixa de volume maximovmax = 250 cm3.

Note que com as ferramentas que dispomos ate o momento podemos apenas supor que ovolume maximo, vmax = 250 cm3, e obtido quando o quadrado recortado tem lado xmax = 2,5 cm.Com as tecnicas que vamos estudar nas proximas disciplinas de matematica poderemos provarque isso e verdade.

ê usando a tecnologia: Algumas calculadoras conseguem determinar onde uma funcao atinge o seu

maior (ou menor) valor. Leia o manual se sua calculadora e verifique se ela possui tal recurso. ♦

1.6 Funcoes definidas por partes

Em algumas situacoes praticas ou teoricas e necessario mais de uma sentenca para o calculoda imagem de x, dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra. Uma funcao dessetipo e denominada funcao definida por partes ou funcao definida por mais de uma sentenca.Consideremos alguns exemplos:

Atividade 1.2 Um elevador e construıdo segundo as seguintes especificacoes:

• Para cargas de massa x menor ou igual a 900 kg, sao usados cabos de aco de 18 mm dediametro.

• Para cargas de massa x maior que 900 kg, sao usados cabos de aco de x50 mm de diametro.

1. Determine o diametro do cabo de aco para cargas de 100, 500, 890, 900, 910 e 1000 kg.

2. Escreva uma expressao que relaciona o diametro do cabo d em funcao da massa x.

1.7. LIMITES LATERAIS 9

3. Desenhe o grafico de d(x).

Atividade 1.3 Considere a seguinte promocao em uma empresa de fotocopias:

• Ate 100 copias - R$ 0,08 por copia;

• Acima de 100 copias de um mesmo original - R$0,07 por copia excedente.

1. Determine o valor a ser pago pela reproducao de 5, 50, 99, 100, 101, 150 e 200 copias domesmo original.

2. Escreva uma expressao para a funcao P que define o preco pago pela reproducao de x copiasdo mesmo original.

3. Desenhe o grafico da funcao P (x).

Atividade 1.4 Pesquise em livros, internet ou com algum professor de seu curso por situacoesou problemas que possam ser modelados por funcoes definidas por partes. (Sugestoes: valorescobrado em postagem de cartas, corridas de taxi, energia eletrica, etc.)

1.6.1 Funcao Valor Absoluto

Definicao 1.4 O valor absoluto (ou modulo) um numero real x, denotado por |x|, e o propriox quando este for positivo ou nulo, e e o oposto de x quando este e negativo. Ou seja,

|x| =

x, x ≥ 0−x, x < 0

.

Isso significa que o valor absoluto de um numero real e sempre maior ou igual a zero, ou seja,

|x| ≥ 0,∀x.

Atividade 1.5 Calcule as seguintes expressoes:

1. |0|

2.∣∣−3

4

∣∣ 3. |−3 + 2|

4.∣∣√2

∣∣A funcao valor absoluto f(x) = |x| como dada pela Definicao 1.4 e um exemplo de uma

funcao definida por partes no sentido de que a formula (sentenca) para f muda dependendo dovalor de x.

Atividade 1.6 Determine o domınio e a imagem da funcao f(x) = |x| e, a seguir, desenhe seugrafico.

1.7 Limites Laterais

Algumas funcoes exibem diferentes comportamentos em cada um dos lados de um ponto a,e neste caso, e necessario distinguir se x esta proximo de a do lado esquerdo ou do lado direito,para fins de examinar o comportamento no limite.

Por exemplo, considerando a funcao mostrada na Figura 1.7.

limx→1−

f(x) = 1 e limx→1+

f(x) = 2


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

0

1

2

3

4

5

x

y

Figura 1.7: Uma funcao com limites laterais distintos em x = 1.

1.8. EXERCICIOS 11

1.8 Exercıcios

1. Para cada uma das funcoes a seguir, determine odomınio e a imagem e desenhe o grafico.

(a) f(x) = 2x;

(b) g(x) = x2;

(c) F (x) = 2x2 + 3x− 2;

(d) G(x) =√x.

2. Para cada uma das funcoes abaixo, determine odomınio:

(a) f(x) =x+ 4

x− 6;

(b) g(x) =5√

3− x;

(c) h(x) =x

2x2 + 3x− 2;

(d) F (x) =√

2x2 + 3x− 2;

(e) G(x) =1√

2x2 + 3x− 2;

(f) H(x) =√|2x2 + 3x− 2|.

3. Desenhe os graficos das funcoes f , g, F e G quesatisfazem as seguintes condicoes:

(a) Dom(f) = x ∈ R | x ≥ 1;(b) Img(g) = y ∈ R | x ≥ −2;(c) Zeros: −1;(d) G e decrescente e positiva.

4. O domınio de uma funcao f e “o conjunto dos xpositivos” enquanto o domınio de uma funcao g e“o conjunto dos x nao-negativos”. Estes domıniossao os mesmos? Justifique.

5. Suponha que o faturamento f (em milhares dereais) de uma empresa e descrita pela funcaof = 10 + 2p, onde p (em milhares de reais) ea quantia gasta em propaganda.

(a) Qual e o domınio da funcao? Isto e, deacordo com o contexto do problema, quaisos valores que p pode assumir?

(b) Qual sera o faturamento quando nada egasto em propaganda?

(c) Qual sera o faturamento quando for gastoR$ 5 000,00 em propaganda?

(d) Quanto foi gasto em propaganda se o fatu-ramento foi de R$ 18 000,00?

(e) Desenhe o grafico de r(p) e descreva o com-portamento do faturamento na medida queo gasto com propaganda aumenta?

6. Um fabricante de rolamentos verificou que ocusto total de fabricacao C (em reais) de umaquantidade q (em unidades) de rolamentos e mo-delado pela funcao C(q) = 2000 + 12q.

(a) Qual e o domınio da funcao? Isto e, deacordo com o contexto do problema, quaisos valores que q pode assumir?

(b) Qual e o custo total C ao serem fabricadas1, 1000, 2000 e 3000 unidades?

(c) Determine uma expressao para o custo uni-tario medio U(q) (custo por unidade pro-duzida).

(d) Qual e o custo unitario medio U ao seremfabricadas 1, 1000, 2000 e 3000 unidades?

(e) Desenhe o grafico de U(q).

(f) Determine a quantidade mınima de uni-dades que devem ser fabricadas para queo custo unitario medio seja inferior a R$12,50.

7. Responda as questoes do exercıcio anterior, con-siderando que um custo total dado por C(q) =1500 + 12

√q.

8. Para estudar a aprendizagem dos animais, umgrupo de pesquisadores fez uma experiencia naqual um rato branco era colocado diversas vezesem um labirinto. Os pesquisadores notaram queo tempo T (em minutos) necessario para que orato percorresse o labirinto, na n-esima tentativa,era aproximadamente T (n) = 3 + 12

n.

(a) Qual e o domınio da funcao? Isto e, deacordo com o contexto do problema, quaisos valores que n pode assumir?

(b) Quanto tempo o rato gastou para percorrero labirinto na 3a tentativa?

(c) Em qual tentativa o rato percorreu o labi-rinto em 4 minutos?

(d) Se aumentarem o numero de tentativas, oque acontecera com o tempo em que o ratopercorre o labirinto?

(e) O rato conseguira percorrer o labirinto emmenos de 3 minutos? Justifique.

9. A funcao de Heaviside2, dada por

H(t) =

0, t < 01, t ≥ 0

,

e utilizada para descrever a aplicacao instanta-nea de tensao em um circuito quando uma chavee ligada.

(a) Desenhe o grafico da funcao de Heaviside.

2ÿOliver Heaviside (1850 – 1925) cientista ingles. Apos abandonar a escola primaria, estudou por conta

propria eletricidade e lınguas (holandes e alemao) e, aos dezoito anos, tornou-se telegrafista. Leu com grandeinteresse o Treatise on Electricity and Magnetism de Maxwell e, embora nunca tenha tido educacao formal emmatematica ou engenharia, desenvolveu tecnicas matematicas proprias (pouco rigorosas e muito controversas aepoca) para simplificar as 20 equacoes (diferenciais) fundamentais da eletricidade para apenas 4. Num artigointitulado Electromagnetic induction and its propagation publicado em 1887, descreve as condicoes necessariaspara a transmissao, sem distorcoes, de sinais telegraficos a grandes distancias. Em 1902, preve a existencia deuma camada condutora de eletricidade na atmosfera terrestre que permitiria a transmissao de sinais de radioacompanhando a curvatura da Terra. Em sua homenagem, essa camada (confirmada em 1935) e hoje denominadacamada de Heaviside. Adaptado de [15].


(b) A tensao u de 120 V 3 e aplicada a um cir-cuito no instante 0 s. Desenhe o grafico deu(t).

(c) Escreva uma expressao para u(t) usando afuncao H(t).

10. Desenhe os graficos das funcoes dadas a seguir.Observe a notacao de valor absoluto.

(a) f(t) = |t|;

(b) g(t) = 2 |t|;

(c) h(t) = 2 |t| − 1;

(d) i(t) = 2 |t+ 2| − 1.

11. Em um acougue a Promocao do Dia e a seguinte:

Costela: R$ 8,00 por kg. A partir de3 kg, desconto de 20%.

(a) Encontre uma expressao da funcao (defi-nida por partes) V (q) do valor a pagar (emreais) em funcao da quantidade q (em qui-logramas) comprada.

(b) Desenhe o grafico da funcao.

(c) Qual e o valor a pagar se compramos 4 kgde carne?

(d) Quanto de carne se pode comprar com R$20,00?

12. Para cada item a seguir, utilize um mesmo planocartesiano para desenhar o grafico das funcoes fe g.

(a) f(x) = 2x− 4, g(x) = |2x− 4|.

(b) f(x) = −3x+ 2, g(x) = |−3x+ 2|.

13. Considere a funcao dada por

F (x) =|x|x.

(a) Obtenha uma expressao definida por par-tes para F .

(b) Desenhe o grafico da funcao.

(c) Determine os limites seguintes:

i. limx→0−

|x|x

ii. limx→0+

|x|x

iii. limx→0

|x|x

14. Nos graficos a seguir, as funcoes f e g estao re-presentadas em seus domınios plenos.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

x

f(x)

−2 −1 0 1 2 3 4−1

0

1

2

3

x

g(x)

(a) Determine os domınios de f e g.

(b) Escreva as expressoes algebricas para f eg.

15. A tabela a seguir mostra o temperatura maximadiaria ocorrida em uma cidade durante uma se-mana, obtida pela observacao.

d T (C)

12 25,0

13 24,3

14 24,5

15 24,1

16 25,2

17 25,5

18 26,7

Essa tabela representa uma funcao f que asso-cia a cada dia d uma temperatura T : T = f(d)Cada par de valores (cada associacao) pode serrepresentado no plano cartesiano por um pontoP de coordenadas (d, T ) como mostra a figura aseguir.

3ÿAlessandro Volta (1745 – 1827) fısico italiano. Investigando os efeitos da eletricidade animal (uma perna de

ra contraıa-se ao ser tocada por dois metais diferentes) construiu, em 1800, um dispositivo para armazenamentode carga eletrica. Esse dispositivo era constituıdo de varios discos de cobre e zinco separados por discos de papelaoembebidos em solucao salina empilhados uns sobre os outros (daı o nome pilha de Volta). Como homenagem, seunome foi dado a unidade de medida de potencial eletrico. Adaptado de [26].

1.8. EXERCICIOS 13

12 13 14 15 16 17 1824

24.5

25

25.5

26

26.5

27

t (dia)

T (

o C )

(a) Identifique, na tabela e no grafico: qual foio dia mais ameno e

(b) o dia em que a temperatura foi de 25,5 C?

(c) Observando o comportamento do grafico epossıvel estimar a temperatura para o dia19?

16. O grafico de uma funcao com muitos altos e bai-xos parece com o trilho de uma montanha-russa.Quantos pontos de maximo e mınimo voce con-segue contar na figura a seguir?

Capıtulo 2

Funcao Afim e Funcao Linear

Quando utilizamos a Matematica para descrever um fenomeno real tal como o tamanho deuma populacao, a velocidade de um objeto, a concentracao de um produto em uma reacao quı-mica, varios tipos de funcoes podem ser utilizadas para modelar as relacoes observadas no mundoreal. Neste capıtulo, estudaremos a funcao afim e a funcao linear. A principal caracterısticadestas funcoes e que elas variam a uma taxa constante.

Entre as aplicacoes desse tipo de funcao, pode-se citar:

• O movimento retilıneo uniforme.

• O salario mensal de um vendedor que recebe um valor fixo adicionado de uma comissaode vendas.

• A formula para conversao de unidades de medida de temperatura Celsius e Fahrenheit.

• O modelo do ajuste linear nos problemas de modelagem matematica.

2.1 Definicoes e Principais Caracterısticas

Vejamos como a funcao afim e a funcao linear sao definidas.

Definicao 2.1 Chama-se funcao afim a funcao dada por

f(x) = mx+ b, (2.1)

onde x e a variavel independente, m e b sao constantes, com b 6= 0.

Definicao 2.2 Chama-se funcao linear a funcao dada por

f(x) = mx, (2.2)

onde x e a variavel independente e m e constante.

A constante m e denominada coeficiente angular da funcao e a constante b e denominadacoeficiente linear.

Exemplo 2.1 De acordo com as definicoes acima, classifique as funcoes

f(x) = 2x+ 1 e g(x) = 5x.

15

16 CAPITULO 2. FUNCAO AFIM E FUNCAO LINEAR

Solucao: A funcao dada por f(x) = 2x+1 e uma funcao afim com coeficiente angular m = 2 e coeficientelinear b = 1. Ja a funcao dada por g(x) = 5x e uma funcao linear com com coeficiente angular m = 5.

Importante: Note que uma funcao linear e um caso particular da funcao afim com b =0. Embora em algumas situacoes seja importante distinguir funcao afim de funcao linear, osmatematicos muitas vezes costumam usar a mesma designacao de funcao linear em ambos oscasos. Isto se justifica pelo fato de que, em qualquer caso, os graficos dessas funcoes sao retas[25]. Neste texto, seguiremos este costume: designaremos ambas as funcoes por funcao linear.

E importante que voce seja capaz de reconhecer as principais caracterısticas de cada tipo defuncao analisando sua expressao algebrica. Assim, voce sera capaz de desenhar um esboco dografico de uma funcao sem se prender exclusivamente a uma tabela de valores. Vejamos entaoquais sao as principais caracterısticas da funcao linear (2.1):

1. O domınio da funcao linear e o conjunto dos numeros reais, isto e, Dom(f) = R.

2. O grafico de uma funcao linear e uma reta.

3. O sinal do coeficiente angular m (positivo ou negativo) indica a inclinacao da reta.

4. O valor do coeficiente linear b determina o ponto em que a reta corta o eixo vertical, istoe, y = b e o intercepto vertical.

5. O zero da funcao ocorre em − bm , isto e, x = − b

m e o intercepto horizontal.

2.2 A Inclinacao da Reta

O coeficiente angular m tem um importante papel na equacao da reta: ele determina a suainclinacao. O grafico da funcao linear e uma reta pois sua inclinacao e a mesma em toda parte.Vejamos o que esta afirmacao quer dizer atraves de um exemplo.

Exemplo 2.2 Desenhe o grafico da funcao linear f(x) = 2x+ 1.

Solucao: Embora tenhamos dito acima que o grafico de f seja uma reta, e que somente 2 pontos saonecessarios para desenhar o grafico de uma reta, calculamos a tabela de valores para f(x) a seguir commais valores para que possamos tirar algumas conclusoes importantes a respeito do seu grafico.

x -2 -1 0 1 2f(x) -3 -1 1 3 5

Observe na tabela que, a medida que os valores de x crescem de 1 em 1 unidade, os valores corres-pondentes de y tambem crescem de 2 em 2 unidades, isto e, cresce a uma taxa constante 2.

Observe na Figura 2.1 o grafico de f : e uma reta.

Considere dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) da tabela de valores do exemplo anterior, porexemplo, P1(−2,−3) e P2(0, 1). Calculando a variacao de x entre P1 e P2, temos

∆x = x2 − x1 = 0− (−2) = 2,

e a variacao de y entre P1 e P2,

∆y = y2 − y1 = 1− (−3) = 4.

O sımbolo ∆ e a letra maiuscula grega delta, e os sımbolos ∆x e ∆y sao lidos como “delta xis”e “delta ıpsilon”, respectivamente. Veja a Figura 2.2.

2.2. A INCLINACAO DA RETA 17

−2 −1 0 1 2−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

Figura 2.1: O grafico da funcao funcao linear f(x) = 2x+ 1.

Se calculamos a razao entre ∆y e ∆x obtemos

variacao de yvariacao de x

=∆y∆x

=42

= 2.

Observe que essa razao e sempre igual a 2, independentemente dos pontos P1 e P2 considerados.Verifique!

Definicao 2.3 A razao ∆y∆x e denominada taxa media de variacao de y em relacao a x e

representa a variacao media de y por unidade de variacao de x no intervalo ∆x.

Um fato importante e que para a funcao linear como em (2.1) ou (2.2) temos

∆y∆x

=y2 − y1

x2 − x1=mx2 + b−mx1 − b

x2 − x1=m(x2 − x1)x2 − x1

= m, x1 6= x2. (2.3)

De (2.3) podemos deduzir que:

1. A taxa media de variacao ∆y∆x e igual ao coeficiente angular m. Como m e constante, o

grafico da funcao linear e uma reta.

2. Para determinarm basta calcular a razao ∆y∆x dados dois pontos distintos da reta: P1(x1, y1)

e P2(x2, y2).

A razao ∆y∆x e de grande importancia no nosso dia-a-dia, uma vez que convivemos com muitas

variacoes como, por exemplo, a variacao da temperatura exterior, a variacao da populacao denossa cidade, a variacao no preco de uma acao e a velocidade de uma bola de futebol.

Exemplo 2.3 Identifique quais das tabelas de valores a seguir representam uma funcao linear.Justifique.

x f(x)0 251 302 353 40

x g(x)0 102 164 266 40

x h(x)20 2,430 2,240 2,050 1,8

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3


Figura 2.2: As variacoes ∆x e ∆y.

Solucao: Na Tabela 1, a medida que os valores de x crescem de 1 em 1 unidade, os valores correspondentesde y crescem a uma taxa constante de 5 unidades. Logo, f e uma funcao linear. De fato, a funcaocorrespondente aos valores da Tabela 1 e f(x) = 5x+ 25.

Na Tabela 2, a medida que os valores de x crescem de 2 em 2 unidades, os valores correspondentesde y crescem de maneira nao uniforme, isto e, nao aumentam a uma taxa constante. As variacoes sao16− 10 = 6, 26− 16 = 10 e 40− 26 = 14. Assim, g nao e uma funcao linear.

Na Tabela 3, a medida que os valores de x crescem de 10 em 10 unidades, os valores correspondentesde y decrescem a uma taxa constante de 0,2 unidades. Logo, h e uma funcao linear. De fato, a funcaocorrespondente aos valores da Tabela 3 e h(x) = −0,02t+ 2,8.

2.3 Funcao Linear Crescente, Decrescente e Constante

Uma funcao linear e crescente se m > 0 e decrescente se m < 0. No caso em que m = 0 em(2.1), teremos a funcao constante f(x) = b que e representada geometricamente por uma retahorizontal paralela ao eixo horizontal (eixo das abscissas). Neste caso, todos os pontos tem amesma ordenada (o mesmo valor para y), tornando ∆y = 0.

Para retas paralelas ao eixo vertical (eixo das ordenadas) notamos que ∆x = 0 e a razao ∆y∆x

e indefinida. Embora nao seja uma funcao, a equacao correspondente a uma reta paralela aoeixo vertical tem a forma x = c. Para essas retas, o intercepto vertical nao esta definido.

Exemplo 2.4 Para cada funcao representada na Figura 2.3, determine o coeficiente angular eo intercepto vertical.

Solucao: O coeficiente angular da reta correspondente a funcao dada por f(x) = − 12x+ 1 e m = − 1

2 . Ocoeficiente angular da reta correspondente a funcao dada por g(x) = 3 e m = 0. Ja o coeficiente angularda reta correspondente a equacao x = −2 e indefinido.

O intercepto vertical da reta correspondente a funcao dada por f(x) = − 12x + 1 e 1. O intercepto

vertical da reta correspondente a funcao dada por g(x) = 3 e 3. Ja a reta correspondente a equacaox = −2 nao tem intercepto vertical.

Exemplo 2.5 Um reservatorio contem 240 m3 de agua . No inıcio do mes, um duto se rompeue o reservatorio esta perdendo agua. Tecnicos do SAMAE verificaram que a cada dia que passa,o reservatorio perde 4 m3 de agua. Com base nessas informacoes determine:

2.3. FUNCAO LINEAR CRESCENTE, DECRESCENTE E CONSTANTE 19

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

f(x) = −x/2 + 1

g(x) = 3

x = −2

Figura 2.3: Funcoes do Exemplo 2.4.

1. a expressao algebrica de Q(t): quantidade de agua no reservatorio (em metros cubicos) emfuncao de t (em dias decorrido desde o inıcio do mes);

2. o zero da funcao e seu significado no contexto do problema;

3. o domınio da funcao.

4. Desenhe o grafico de Q.

Solucao:

1. A quantidade inicial de agua e 240 m3 e a cada dia que passa 4 m3 sao perdidos, portanto ocoeficiente linear e b = 240 e o coeficiente angular e m = −4. Assim, a quantidade de agua noreservatorio e dada por

Q(t) = 240− 4t.

2. O zero da funcao e o valor t∗ tal que

Q(t∗) = 240− 4t∗ = 0.

Assim240− 4t∗ = 0⇒ t∗ =

2404⇒ t∗ = 60.

Isso significa que (se nenhum conserto for efetuado) o reservatorio ficara vazio em 60 dias.

3. No contexto do problema, t ≥ 0 pois t e o tempo transcorrido desde o inıcio do problema (antesnao ha vazamento) e t ≤ 60 pois nao pode ser negativa a quantidade de agua no reservatorio, logoDom(Q) = t ∈ R | 0 ≤ t ≤ 60.

4. O grafico de Q(t) e dado na Figura 2.4. Observe que a funcao e decrescente e seu domınio elimitado.

Exemplo 2.6 Durante os primeiros anos de olimpıadas, o recorde do salto com vara aumentouaproximadamente como uma funcao linear do tempo. A Tabela 2.1 mostra que a altura comecouem 130 polegadas em 1900 e cresceu 8 polegadas a cada 4 anos entre 1900 e 1912.

1. Determine a coeficiente angular m da funcao H(t), onde H e a altura recorde (em polega-das) e t e o tempo (em anos desde 1900).


−10 0 10 20 30 40 50 60 70−40

0

40

80

120

160

200

240

280

t (dias)

Q (

m3 )

Figura 2.4: A quantidade de agua no reservatorio decresce linearmente com o tempo.

Ano Altura (pol) Recordista1900 130 Irving Baxter (USA)1904 138 Fernand Gonder (FRA)1908 146 Edward Cooke (USA)1912 154 Harry Babcock (USA)

Tabela 2.1: Recordes olımpicos de salto com vara (aproximados) Fonte: Sporting Heroes [23].

2. Determine o coeficiente linear b da funcao.

3. Escreva a expressao algebrica da funcao H e desenhe o seu grafico.

Solucao:

1. Para determinar m fazemos

m =∆H∆t

=138− 130

1904− 1900=

84

= 2 pol/ano.

O calculo de m usando quaisquer outros dois pares de valores da tabela dara o mesmo resultado(verifique!). O coeficiente 2 pol/ano nos diz que, em media, a altura cresce 2 polegadas a cada ano(embora as olimpıadas ocorram apenas a cada 4 anos).

2. Como b = H(0) temos b = 130 pol. Essa constante representa a altura em 1900, quando t = 0.Geometricamente, 130 e o valor do intercepto vertical da funcao.

3. A funcao procurada e

H(t) = 2t+ 130.

Observe que os dados da tabela sao discretos, porque sao dados apenas em pontos especıficos (acada 4 anos). Um grafico desta funcao poderia ser como o da Figura 2.5 a esquerda. Porem, setratamos a variavel t como se fosse contınua (porque a funcao faz sentido para todos os valores det) o grafico e uma reta contınua, com 4 pontos em destaque representando os anos em que houvea Olimpıada, como mostra a Figura 2.5 a direita.

2.4. A EQUACAO DA RETA 21

0 2 4 6 8 10 12125

130

135

140

145

150

155

t (anos após 1900)

H (

pol)

0 2 4 6 8 10 12125

130

135

140

145

150

155

t (anos após 1900)

H (

pol)

Figura 2.5: Recordes olımpicos de salto com vara (aproximados).

2.4 A equacao da reta

Podemos obter a expressao algebrica de qualquer funcao linear (equacao da reta) se conhe-cermos as coordenadas de um ponto qualquer P1(x1,y1) e sua taxa media de variacao, isto e, oseu coeficiente angular m.

Se P (x,y) e um ponto generico dessa funcao, entao

m =∆y∆x

=y − y1

x− x1,

de modo quey − y1 = m(x− x1). (2.4)

Exemplo 2.7 Determine a expressao algebrica da funcao linear que passa pelo ponto A(2,-1)tem coeficiente angular m = 3

2 .

Solucao: Substituindo os valores em (2.4), obtemos

y + (−1) =32

(x− 2)

y =32x+ 2

Exemplo 2.8 A resistencia eletrica R (em ohms1) de um material condutor metalico varialinearmente com a temperatura T (em graus Celsius). Um estudante do curso de Engenhariados Materiais verificou que um filamento de platina apresenta resistencia de 123,4 Ω quando estaa temperatura de 20 C e 133,9 Ω quando esta a 45 C.

1ÿGeorg Simon Ohm (1789 – 1854), fısico e matematico alemao. Desde cedo estudou matematica, quımica,

fısica e filosofia, em casa com ajuda de seu pai. Em 1811, recebe o tıtulo de Doutor em Matematica e torna-se professor da Universidade de Erlangen. Em 1817, transfere-se para o Gymnasium jesuıta de Cologne, queoferece um mais bem equipado laboratorio de fısica e onde inicia seus estudos em eletromagnetismo. A Lei deOhm (a corrente eletrica em um condutor metalico e diretamente proporcional a diferenca de potencial aplicada)aparece pela primeira vez em seu livro Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet em 1827. Pelos avancosque proporcionou a teoria eletromagnetica recebeu premios e distincoes de varias academias cientıficas. Comohomenagem, seu nome foi dado a unidade de medida de resistencia eletrica. Adaptado de [15].


1. Determine a taxa media de variacao ∆R∆T e seu significado no contexto do problema.

2. Determine a expressao da funcao linear R em funcao de T .

3. Qual e a resistencia eletrica do filamento quando sua temperatura e de 100 C?

4. Qual e a temperatura do filamento se sua resistencia eletrica for 128,6 Ω?

Solucao:

1. A taxa media de variacao e

∆R∆T

=133,9− 123,4

45− 20=

10,525

= 0,42 Ω/C.

Esta taxa significa que a resistencia do material aumenta 0,42 Ω para cada aumento de 1 C natemperatura.

2. Usando (2.4) determinamos uma expressao para R em funcao de T .

R− 133,4 = 0,42(T − 20)R = 0,42T − 8,4 + 133,4

R(T ) = 0,42T + 115

3. Substituindo T = 100 na expressao para R(T ) obtida no item anterior, temos

R(100) = 0,42 · 100 + 115 = 157 Ω.

4. Substituindo R = 128,6 na expressao para R(T ), temos

128,6 = 0,42T + 1150,42T = 128,6− 115

T =13,600,42

T = 32,38 C

Neste capıtulo estudamos as caracterısticas das funcoes afim e linear e, atraves de exemplosteoricos e praticos, verificamos como estas funcoes podem ser aplicadas em problemas.

E importante que agora voce realize exercıcios para compreender bem tudo o que foi visto,e esclareca suas duvidas com o professor ou com o monitor da disciplina quando necessario.

Procure tambem identificar em que outras situacoes do dia-a-dia, do seu trabalho, ou deoutra disciplina que voce esteja cursando, os conhecimentos sobre funcao afim e funcao linear seaplicam.

2.5. EXERCICIOS 23

2.5 Exercıcios

Para cada uma das funcoes dadas nos exercıcios 1a 8 a seguir, (a) Determine se a funcao e crescente oudecrescente. (b) Encontre, se existir, o ponto onde ografico corta o eixo vertical. (c) Encontre, se existir, ozero da funcao. (d) Desenhe o grafico da funcao.

1. f(x) = x

2. g(x) = −x

3. h(x) = 2x

4. i(x) = 12x

5. F (x) = 2x− 4

6. G(x) = 1− 3x

7. H(x) = 3

8. I(x) = 32x− 2

3

9. Considere a funcao dada por f(x) = −5x + 3.Quais sao as informacoes que podemos obter arespeito do seu grafico sem realizar nenhum cal-culo?

10. Na figura a seguir estao desenhados os graficosdas funcoes f(x) = x− 1, g(x) = x, h(x) = x+ 2e i(x) = x+ 3.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

(a) Identifique cada um deles.

(b) Observe que as retas sao todas paralelas.Por que isso ocorre?

11. Na figura a seguir estao desenhados os graficosdas funcoes f(x) = 2x + 1, g(x) = −x + 1,h(x) = − 1

2x+ 1 e i(x) = x+ 1.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

(a) Identifique cada um deles.

(b) Observe que as retas se cruzam em ummesmo ponto. Que ponto e esse e por queisso ocorre?

12. Na figura a seguir estao desenhados os grafi-cos das funcoes f(x) = x + 2, g(x) = 2x + 2,h(x) = −x− 1 e i(x) = −x+ 3. Identifique cadaum deles.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

Os pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazemas equacoes dadas nos exercıcios 13 e 14 a seguir estaosobre uma reta. Para cada uma das retas, (a) Determinesua inclinacao. (b) Determine os pontos A e B onde areta intercepta os eixos horizontal e vertical, respectiva-mente. (c) Determine o comprimento do segmento dereta AB.

13. 2x+ 4y = 12.

14. 5x− 3y = −15.

15. Reconsidere as retas cujas equacoes sao dadas nosexercıcios 13 e 14 anteriores. Determine as coor-denadas do ponto onde as retas se interceptam.

16. O grafico de uma funcao linear contem os pontos(1,−2) e (5, 3).

(a) Determine a expressao da funcao.

(b) Determine o zero da funcao.

17. Os valores da tabela seguinte mostram as varia-veis p e q associadas por uma funcao linear.

p 1 2 3 4

q 950 900 850 800

Determine uma expressao linear para:

(a) q como funcao de p;

(b) p como funcao de q.

18. O custo producao de um fabricante consiste emuma quantia fixa de R$ 2 000,00 (equipamentos)e um quantia variavel de R$ 5,00 por unidade(materia-prima).

(a) Expresse o custo total de producao C comofuncao do numero de unidades produzidasq.

(b) Qual e o domınio da funcao, e explique seusignificado no contexto do problema.

(c) Desenhe o grafico da funcao.


19. Um biologo cultiva duas folhagens A e B demesma especie usando um vaso para cada uma,contendo adubos distintos. O crescimento dasplantas e dado respectivamente pelas funcoeshA = t + 1 e hB = 2t + 1, onde t representao tempo em dias e h representa a altura em cen-tımetros.

(a) Desenhe o grafico de ambas as funcoes nomesmo plano cartesiano.

(b) Qual a altura atingida pelas plantas emdois dias?

(c) Qual das plantas voce supoe ter recebido omelhor adubo? Justifique.

(d) Em algum momento as plantas possuem amesma altura?

20. O comprimento L (em qualquer unidade de me-dida) de um fio metalico e funcao de sua tem-peratura T (em graus Celsius2) de acordo com aexpressao

L(T ) = L0 [1 + α(T − T0)] ,

onde L0 e o comprimento do fio a temperaturaT0 e α e o coeficiente de dilatacao linear que ecaracterıstico de cada material. Considere um fiode cobre (α = 1,7× 10−5 C−1) que tem compri-mento de 100 m a temperatura de 0 C.

(a) Substitua os valores na funcao, simplifiqueo que for possıvel e obtenha uma expressaolinear para L(T ).

(b) Determine a taxa de variacao ∆L/∆T .Qual seu significado?

(c) Qual sera o comprimento do fio quando atemperatura for 30 C?

(d) Se o comprimento do fio for de 100,03 m,qual sera sua temperatura?

(e) Desenhe o grafico da funcao.

21. Um fio de alumınio tem 90,0855 m de compri-mento a temperatura de 60 C e 90,1197 m a tem-peratura de 80 C.

(a) Encontre uma expressao linear para a fun-cao L(T ).

(b) Determine α, o coeficiente de dilatacao li-near do alumınio.

22. Em um gerador ideal, a tensao eletrica U (emvolts) depende linearmente da corrente eletricaconsumida i (em amperes3). A tabela a seguirmostra os valores medidos em um gerador.

U (V) 14,24 12,01 7,55

i (mA) 200 300 500

(a) Determine a expressao da funcao U(i).

(b) Calcule a tensao U associada a correntei = 400 mA.

(c) Para qual corrente i esta associada a tensaoU = 13,5 V?

(d) Desenhe o grafico de U(i).

23. A razao entre a tensao de saıda e a tensao deentrada de um amplificador transistorizado e de-nominada ganho G e depende da temperaturade funcionamento T . Um estudante do curso deEngenharia de Automacao verifica que o ganhopara um certo amplificador e 30,2 a temperaturade 15 C e 37,7 a temperatura de 65 C. Supondoque, nessa faixa de temperatura, o comporta-mento do ganho G em funcao da temperaturaT e modelado por uma funcao linear, determine:

(a) uma expressao linear para G em funcao deT ;

(b) o ganho do amplificador quando sua tem-peratura e de 30 C;

(c) a temperatura do amplificador quando oganho e 36,2.

24. Alex e vendedor em um loja de programas decomputador, a CompHouse, e seu salario e com-posto de um valor fixo de R$ 900,00 mais umacomissao de R$ 10,00 por programa vendido.Bruno e vendedor na loja concorrente, a Soft-Mouse, e recebe um fixo de R$ 440,00 mais R$30,00 por programa vendido.

(a) Escreva uma expressao para o salario rece-bido, em funcao do numero de programasvendidos, para cada vendedor.

(b) Assinale, na figura a seguir, qual graficocorrespondente ao salario de cada vende-dor.

(c) No mes de agosto, Alex vendeu 19 progra-mas. Quanto recebeu de salario?

(d) No mesmo mes, Bruno recebeu salario deR$ 1220,00. Quantos programas vendeu?

(e) Em setembro, Alex e Bruno venderama mesma quantidade de programas masBruno recebeu salario maior que Alex.Quantos programas, no mınimo, cada umvendeu?

2ÿAnders Celsius (1701 – 1744), astronomo sueco. Participou da expedicao francesa a Laponia (norte da

Finlandia, proximo ao cırculo polar artico) com o objetivo de verificar as predicoes de Newton a respeito da formada Terra (um esferoide oblato, isto e, achatado nos polos). E invencao sua a escala termometrica (escala Celsius)na qual a agua congela o 0 C e ferve a 100 C. Adaptado de [26].

3ÿAndre Marie Ampere (1775 – 1836), matematico e fısico frances. Teve brilhante carreira como professor

(lecionou na Ecole Polytechnique e no College de France) e como pesquisador. Concebeu a nocao de corrente ele-trica e relacionou fenomenos ate entao dıspares: eletricidade, luz, magnetismo. E considerado um dos fundadoresdo Eletromagnetismo. Suas descobertas foram publicadas em Recueil d’observations electrodynamiques em 1822,e em Theorie des phenomenes electrodynamiques uniquement deduits de l’experience em 1826. Como homenagem,seu nome foi dado a unidade de medida de corrente eletrica. Adaptado de [15].

2.5. EXERCICIOS 25

0 10 20 30 40 500

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

n (programas)

S (

R$)

25. A empresa de aluguel de automoveis Bom Pas-seio cobra uma taxa de aluguel de R$ 40,00 maisR$ 0,15 por quilometro rodado. A empresa con-corrente Boa Viagem cobra R$ 50,00 mais R$0,10 por quilometro rodado.

(a) Para cada empresa, obtenha uma expres-sao para o custo do aluguel do carro emfuncao da distancia percorrida.

(b) Num mesmo plano cartesiano, desenhe ografico de cada uma das funcoes.

(c) Ao planejar o aluguel de um automovel,como decidir qual empresa e mais ade-quada?

26. Um vendedor recebe um salario mensal compostode duas partes: uma parte fixa, no valor de R$1000,00, e uma parte variavel, que correspondea uma comissao de 8% do valor total das vendasque ele realiza durante o mes.

(a) Escreva a funcao que expressa o salariomensal em funcao do valor das vendas re-alizadas.

(b) Calcule o salario desse vendedor no mes noqual ele vendeu R$ 5 000,00 em mercado-rias.

27. O vendedor do exercıcio anterior recebeu ofertade um novo emprego que paga R$ 1 150,00 pormes mais uma comissao de 6% sobre o valor to-tal das vendas. Sendo o valor medio mensal devendas desse vendedor R$ 5 000,00 e aconselha-vel que ele mude de emprego? Para ajudar aresponder essa pergunta, faca o seguinte:

(a) Escreva a funcao que expressa o salariomensal (no emprego novo) em funcao dasvendas realizadas.

(b) Desenhe os graficos das duas funcoes (sa-lario mensal no emprego novo e no antigo)em um mesmo plano cartesiano.

(c) Determine o ponto de encontro entre osdois graficos. O que significa esse ponto?

(d) O vendedor deve mudar de emprego?

28. O estacionamento de uma universidade possuitres formas de cobranca. O estudante avulsopaga R$ 3,00 por dia. O estudante regular com-pra um selo mensal por R$ 25,00 e paga somenteR$ 0,30 por dia. O estudante especial compra umselo mensal por R$ 30,00 e estaciona livremente.

(a) Para cada um dos tipos de pagamento, de-termine uma expressao linear para o custoC do estacionamento em funcao do numerot de dias utilizados durante um mes.

(b) Desenhe, no mesmo plano cartesiano, osgraficos dessas funcoes no intervalo 0 ≤ t ≤30. (Note que as funcoes sao discretas poist assume somente apenas valores inteiros).

(c) Encontre uma maneira de decidir que tipode pagamento e mais vantajoso depen-dendo da quantidade de dias que um es-tudante usa o estacionamento.

29. Avalie a inclinacao da ladeira mostrada na figuraa seguir. [Sugestao: com uma regua, determineas variacoes ∆x e ∆y do calcamento]

Capıtulo 3

Funcao Potencia e Funcao Polinomial

3.1 Funcao Potencia

Definicao 3.1 Uma funcao f e uma funcao potencia de x se x e f(x) representam grandezastais que f(x) e proporcional a uma potencia de x com expoente constante, ou seja, se f(x) = kxr

com k e r constantes reais .

Estao incluıdas nesta definicao as funcoes dadas por f(x) = kx em que k e uma constantereal, ou seja, as funcoes lineares da forma f(x) = mx + b com b = 0. Outras funcoes potenciasao, por exemplo:

g(x) =5x3, h(x) = 2x4, A(r) = πr2, l(s) =

(3s2)3.

Note que, em cada caso, podemos identificar uma constante de proporcionalidade e um expoenteda variavel. Identifique-os!

As funcoes potencia modelam fenomenos em que uma quantidade e proporcional a outra.Veja o caso da funcao A(r) acima. A funcao A, dada por A(r) = πr2, como sabemos, associaa cada numero real r > 0 a area de um cırculo de raio r; a constante π e a constante deproporcionalidade e a expressao πr2 indica que a area A e diretamente proporcional ao quadradodo raio r. Desenhe o grafico da funcao A e comente sobre as caracterısticas que pode observar.

Outra situacao, por exemplo, em que podemos reconhecer duas grandezas diretamente pro-porcionais e encontrada em Biologia, na relacao entre a massa do coracao de um mamıfero e amassa de seu corpo, ou seja: a massa do coracao de um mamıfero e proporcional a massa de seucorpo. Assim:

H = kB,

onde H e a massa do coracao, k e a constante de proporcionalidade e B e a massa do corpo.

Atividade 3.1 Considere a relacao dada acima, por H = kB e use k = 0,006, para calcular:

1. a massa do coracao de um cavalo com massa de corpo de 650 kg;

2. a massa do corpo de um humano que tem massa do coracao de 0,42 kg.

Se na definicao acima r > 0, entao as grandezas representadas por x e f(x) sao tais que f(x)e diretamente proporcional a uma potencia de x e quando r < 0 as grandezas representadas porx e f(x) sao tais que f(x) e inversamente proporcionais a uma potencia de x. Por exemplo:

1. A velocidade media v, num percurso, e inversamente proporcional ao tempo necessariopara percorre-lo, pois v = d

t , onde d e distancia percorrida. Observamos que v = k 1t onde

k = d, ou equivalentemente, v = kt−1.

27

28 CAPITULO 3. FUNCAO POTENCIA E FUNCAO POLINOMIAL

2. O peso w de um objeto e inversamente proporcional ao quadrado de sua distancia r, docentro da Terra. Assim, existe uma constante c tal que w = c

r2 .

Modelos envolvendo proporcionalidade inversa aparecem em varias leis da Fısica. Uma de-las, a lei de Boyle1 - Mariotte afirma que o volume V de uma massa gasosa e inversamenteproporcional a pressao P a que ele esta submetido, quando a temperatura permanece constante.Isto e,

V =k

P,

sendo k, nesse caso, a constante de proporcionalidade.

Atividade 3.2 Considere a lei mencionada acima e que sob certas condicoes o gas exerce umapressao de 1 000 N/m2 quando confinado no volume de 1 litro.

1. Faca uma tabela que mostre as pressoes para volumes de 0,25; 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0 litros.

2. Desenhe o grafico de V (P ) e comente as caracterısticas que pode observar.

Atividade 3.3 Segue, a partir da Lei de Gravitacao Universal de Newton, que o peso P deum objeto, em relacao a Terra, e inversamente proporcional ao quadrado da distancia x entre oobjeto e o centro da Terra, isto e, P = C

x2 .

1. Supondo que um satelite meteorologico pese 900 N na superfıcie da Terra e que ela e umaesfera de raio 6500 km, calcule o valor da constante C.

2. Calcule o peso do satelite quando estiver a 1600 km acima da superfıcie da Terra.

3. Desenhe um grafico do peso do satelite versus sua distancia ao centro da Terra, conside-rando que a constante C foi determinada em 1.

4. Ha alguma distancia do centro da Terra na qual o peso do satelite e zero? Explique seuraciocınio.

3.2 Funcao potencia com expoente inteiro positivo

3.2.1 Funcoes da forma y = xn com n ımpar positivo

Observe, na Figura 3.1, os graficos das funcoes dadas, respectivamente, por y = x, y = x3,y = x5, e y = x7.

Podemos observar, tambem, que para todas elas, a medida que x aumenta infinitamente,y aumenta tambem infinitamente; e que, a medida que x diminui infinitamente, y diminuiinfinitamente. Neste caso, podemos expressar o que ocorre, utilizando a notacao de limite, ouseja, se f for qualquer uma das funcoes representadas na Figura 3.1, temos:

limx→+∞

f(x) = +∞ e limx→−∞

f(x) = −∞,

o que. como visto, le-se: “o limite de f(x) quando x tende ao infinito e infinito” e “o limitede f(x) quando x tende a menos infinito e menos infinito”, respectivamente. Verifique isto,procurando compreender o significado de cada afirmacao!

1ÿRobert Boyle (1627 – 1691) cientista ingles, nasceu em uma famılia de posses e teve excelente educacao,

estudando em boas escolas e tendo tutores particulares. Comecou a estudar os trabalhos de Galileu influenciadopelo rebulico causado por sua morte em 1642 (estava visitando Florenca, na ocasiao). De volta a Londres, estudoumatematica e os fenomenos naturais. Em 1653, torna-se professor em Oxford. Ali fez importantes contribuicoesa nascente disciplina da Quımica. A mais conhecida e a lei que descreve a relacao entre pressao e volume em umgas ideal. Essa lei apareceu pela primeira vez em 1662 em seu New experiments physio-mechanicall, touching thespring of the air and its effects. Nesse trabalho, ele mostra, entre outras coisas, a existencia do vacuo (fenomenomuito controverso, na epoca). Adaptado de [15].

3.3. FUNCOES POTENCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO 29

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

y = x

y = x3

y = x5

y = x7

Figura 3.1: Graficos de funcoes potencia com expoente ımpar positivo.

3.2.2 Funcoes da forma y = xn com n par positivo

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

y = x2

y = x4

y = x6

Figura 3.2: Graficos de funcoes potencia com expoente par positivo.

Atividade 3.4 Considere g qualquer uma das funcoes da Figura 3.2.

1. Complete cada uma das sentencas a seguir, procurando explicar o que significam:

limx→+∞

g(x) = . . . e limx→−∞

g(x) = . . .

2. Analise o sinal de g(x).

3.3 Funcoes potencia com expoente inteiro negativo

Veja, na Figura 3.3, os graficos das funcoes dadas por y = x−1, y = x−3 e y = x−5.


−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

y = x−1

y = x−3

y = x−5

Figura 3.3: Os graficos de y = x−1, y = x−3 e y = x−5.

Atividade 3.5 Como foi feito ao analisar as funcoes potencia da forma y = xn para n inteiropositivo, observando os graficos da Fig. 3.3 apresente:

1. uma descricao, usando a notacao de limite, do comportamento das funcoes definidas pory = x−1, y = x−3 e y = x−5;

2. uma analise do sinal das funcoes.

Veja, na Figura 3.4, os graficos das funcoes dadas por y = x−2, y = x−4 e y = x−6.

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

y = x−2

y = x−4

y = x−6

Figura 3.4: Os graficos de y = x−2, y = x−4 e y = x−6.

Atividade 3.6 Observando os graficos da Fig. 3.4 apresente:

1. uma descricao, usando a notacao de limite, do comportamento das funcoes definidas pory = x−2, y = x−4 e y = x−6;

2. uma analise do sinal das funcoes.

3.4. LIMITES NO INFINITO 31

3.4 Limites no infinito

Se os valores de f(x) ficam cada vez mais proximos de L, a medida que x cresce sem limitacao,entao escrevemos

limx→+∞

f(x) = L.

Da mesma forma, se os valores de f (x) ficam cada vez mais proximos de L, a medida que xdecresce, sem limitacao, entao escrevemos

limx→−∞

f(x) = L

Exemplo 3.1 Desenhe o grafico da funcao f(x) = 1x e analise o comportamento de f(x) quando

x→ ±∞.

Solucao: O grafico de f esta desenhado na Figura 3.5.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

y

Figura 3.5: O grafico de f(x) = 1x .

x -10000 -1000 -100 -10 -1f(x) -0.0001 -0.001 -0.01 -0.1 -1←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

0 1 10 100 1000 10000- 1 0.1 0.01 0.001 0.0001−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

limx→+∞

f(x) = 0 e limx→−∞

f(x) = 0

3.5 As funcoes potencia da forma y = x1/n com n inteiro positivo

As funcoes potencia da forma f(x) = x1/n = n√x tambem podem ser identificadas a partir

da identificacao do que ocorre para n par ou ımpar. Para isso considere os graficos de f(x) =√x

e g(x) = 3√x, desenhados nas Figuras 3.6 e 3.7, respectivamente.

Com relacao a famılia dada por y = x1/n, pode-se afirmar que, para valores pares de n, osgraficos das funcoes dadas por y = n

√x, tem o mesmo aspecto geral que y =

√x e, para valores

ımpares, eles tem o mesmo aspecto geral que y = 3√x.


−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

y = x1/2

y = x1/4

y = x1/6

Figura 3.6: Os graficos de y = 2√x, y = 4

√x e y = 6

√x.

Atividade 3.7 Verifique estas afirmacoes observando nas Figuras 3.6 e 3.7 os graficos dasfuncoes dadas por y = n

√x, para n = 2, 4, 6 e n = 3, 5, 7, respectivamente. A seguir, verifique

qual e o domınio de f e o domınio de g sendo f e g, respectivamente, qualquer uma das funcoesrepresentadas.

ê usando a tecnologia: Quando utilizamos recursos graficos computacionais (calculadoras graficas ousoftwares), devemos ficar atentos ao desenho de graficos de funcoes com expoentes fracionarios y = xp/q comq ımpar. Por exemplo, muitos desses recursos desenham o grafico de y = 3

√x como mostrado na Figura 3.8

quando, na verdade, deveria ser como o mostrado na Figura 3.7 ja que o domınio da funcao e todo o conjuntodos numeros reais. Esse problema aparece pois esses recursos utilizam Logaritmos para avaliar funcoes comexpoentes fracionarios:

y = 3√x = x1/3 =⇒ ln y =

13

lnx =⇒ y = e13 ln x

Como os logaritmos sao definidos apenas para numeros positivos, parte do grafico e omitida. Uma maneirade contornar esse problema (como sugerido em [2, p. 46]) e redefinir

y = xp/q =

|x|p/q , para p par|x|x |x|

p/q, para p ımpar

Porque isso funciona? Verifique se sua calculadora apresenta esse problema e encontre uma maneira de obter

o grafico correto de 3√x. ♦

3.6 Comparando funcoes potencia

Atividade 3.8 Observe os graficos das funcoes f e g definidas por f(x) = x2 e g(x) = x3 naFigura 3.9.

1. Pelos graficos, para quais valores de x tem-se x2 < x3?

2. Compare algebricamente que sua resposta da no item anterior esta correta.

Atividade 3.9 Determine algebricamente para quais valores de x as inequacoes seguintes saovalidas:

3.6. COMPARANDO FUNCOES POTENCIA 33

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

y = x1/3

y = x1/5

y = x1/7

Figura 3.7: Os graficos de y = 3√x, y = 5

√x e y = 7

√x.

1. x2 < x3.

2. x3 < x4.

3. x2 > x3.

4. x3 > x4.

Atividade 3.10 Generalize as respostas das atividades 3.8 e 3.9, procurando comparar as fun-coes potencia da forma f(x) = xk para:

1. x→ +∞.

2. x→ −∞.

3. x = 0, 1.

4. x ∈ (0, 1).

3.6.1 O efeito dos coeficientes

Atividade 3.11 Sabemos que x2 < x3 para todo x > 1. Mas qual e o maior: 50x2 ou x3?

Atividade 3.12 Generalize a resposta dada na atividade 3.11, procurando explicar qual o efeitodos coeficientes nas funcoes potencia do tipo f(x) = xn, para n inteiro e positivo.

Provavelmente voce ja nao tenha duvidas quanto a diferenca entre um coeficiente e umexpoente. E evidente que 4x e diferente de x4 a nao ser para dois valores reais de x. Confira!Alem disto, e tambem evidente, que 2x3 e diferente de x3 (a nao ser para um unico valor de x).Concorda?

Queremos, agora, dar uma atencao especial a este ultimo caso, a fim de examinarmos oefeito causado pela multiplicacao de uma constante por uma funcao. Isto pode ser feito grafica,numerica ou algebricamente.

Vejamos, entao, o caso das funcoes f e g, dadas por f(x) = 2x3 e g(x) = x3, cujos graficosestao na Figura 3.10:

Voce e capaz de identificar f e g? Procure, entao, explicar, como as identificou. Destaforma estamos verificando graficamente qual o efeito e multiplicarmos uma funcao por umaconstante. Poderıamos faze-lo numericamente, isto e, atraves de uma tabela de valores. Ouentao, algebricamente, resolvendo a inequacao 2x3 > x3. Confira!

Atividade 3.13 Verifique que o que observou no exemplo analisado acima, nao se restringeas funcoes f e g, examinadas, e apresente outras, em que o mesmo efeito possa ser observado.Explique.


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Figura 3.8: O grafico (incompleto) de f(x) = 3√x usando recursos computacionais.

3.6.2 Movimentos dos graficos

Consideramos interessante, agora, dar uma atencao especial a alguns outros casos, que podemser examinados a partir dos graficos das funcoes envolvidas, a fim de conhecermos alguns efeitoscausados pela multiplicacao (ou divisao), adicao (ou subtracao) de uma constante a uma funcaoou a sua variavel. Queremos comparar funcoes como por exemplo:

1. x2,x2

2e(x

2

)2;

2. x2, x2 + 3 e x2 − 3;

3. x2, (x+ 3)2 e (x− 3)2.

Quanto as suas formas algebricas, e evidente, em cada caso, que sao diferentes. Ou seja, e

facil compreender que x2 nao e o mesmo quex2

2ou que

(x2

)2. Concorda? Pois bem, podemos

confirmar isto graficamente, bem como, numericamente. Faca isto: apresente argumentos quejustifiquem as diferencas, em cada caso e comente sobre possıveis excecoes.

Atividade 3.14 Encontre outros exemplos que confirmem o que observou nos exemplos ana-lisados acima, verificando tambem que para outros expoentes da variavel, os movimentos dosgraficos sao os mesmos, em cada caso. Explique.

Observe que aplicando-se transformacoes como deslocamento (horizontal ou vertical), expan-sao (ou compressao) ou reflexao ao grafico de uma funcao obtem-se o grafico de novas funcoes aela relacionadas. Considere o grafico de uma funcao y = f(x) e um numero real a > 0:

• Deslocando-se o grafico de f “a” unidades para cima ou para baixo, obtem-se o grafico dasfuncoes y = f(x) + a ou y = f(x)− a, respectivamente.

• Deslocando-se o grafico de f “a”unidades para direita ou para esquerda, obtem-se o graficodas funcoes y = f(x− a) ou y = f(x+ a), respectivamente.

• Refletindo o grafico de f em torno do eixo horizontal, obtem-se o grafico da funcao y =−f(x).

3.6. COMPARANDO FUNCOES POTENCIA 35

−3 −2 −1 0 1 2 3−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

y = x2

y = x3

Figura 3.9: O grafico (incompleto) de f(x) = 3√x usando recursos computacionais.

• Refletindo o grafico de f em torno do eixo vertical, obtem-se o grafico da funcao y = f(−x).

Atividade 3.15 Seja k um numero real tal que k > 1. Descreva como e, em relacao ao graficode y = f(x), o grafico das funcoes:

1. y = kf(x);

2. y = 1kf(x);

3. y = f(kx);

4. y = f(xk

).

3.6.3 Funcoes da forma y = k(x− a)r + c

Considere as funcoes da forma y = k(x − a)r + c em que k, a, r e c sao constantes reais.Aplicando-se transformacoes como as descritas nos graficos das funcoes potencia definidas porf(x) = xrobtemos o grafico de funcoes definidas por g(x) = k(x − a)r + c com k, a, r, e cconstantes reais.

Exemplos dessas funcoes sao as definidas por:

f(x) =5x3

g(x) = 2x4 h(x) = (x− 3)2 + 1

A(r) = πr2 Q(x) = 3(x− 1)2 R(x) = (x− 1)1/2

S(x) = −x2 U(x) = −x1/3 V (x) = (x− 3)−1

algumas delas ja definidas anteriormente.

Atividade 3.16 Determine o domınio das funcoes citadas e desenhe o seu grafico. a partirdos graficos das funcoes da forma f(x) = xr as quais elas estao relacionadas (ou das quaissurgiram).

Funcoes da forma g(x) = k(x− a)r + c com r inteiro positivo e a soma de funcoes desse tipoconstituem a classe das funcoes polinomiais que serao estudadas a seguir


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−15

−10

−5

0

5

10

15

x

y

Figura 3.10: Os graficos de f(x) = 2x3 e g(x) = x3.

3.7 Funcoes polinomiais

Definicao 3.2 Uma funcao polinomial de grau n e da forma

y = f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

onde x e a variavel independente, n ∈ N, e a0, . . . , an sao constantes reais, denominados coefi-cientes.

Na verdade, funcoes polinomiais sao construıdas por operacoes de soma, compressao oudeslocamento de funcoes potencias.

Observe que uma funcao polinomial de grau 0 e uma funcao constante; uma funcao polinomialde grau 1 e uma funcao linear ; uma funcao polinomial de grau 2 e uma funcao quadratica.

Atividade 3.17 Alguns exemplos de funcoes polinomiais:

f(x) = x2 − 7x+ 10 g(x) = x3 − 5x2 + 3x− 1

h(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x i(x) = x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x+ 12

Identifique-os na Figura 3.11 e explique seu raciocınio.

Atividade 3.18 Escolha uma das funcoes da Figura 3.11 e produza alguns movimentos em seugrafico, como foi feito com as funcoes que analisou na atividade 3.14. Comente sobre cada umdeles, justificando seu raciocınio.

Atividade 3.19 Em cada caso determine os limites: limx→+∞

y e limx→−∞

y, procurando apresentar

uma explicacao sobre como concluiu.

3.8 Zeros de funcoes polinomiais

Definicao 3.3 Dada a funcao f , um zero de f e um valor z tal que f(z) = 0. Geometricamente,z e o valor de x em que o grafico de f corta o eixo horizontal.

3.8. ZEROS DE FUNCOES POLINOMIAIS 37

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−30

−20

−10

0

10

20

30

x

y

Figura 3.11: Os graficos de funcoes polinomiais.

Uma funcao pode ter apenas um, nenhum ou muitos zeros. Sao conhecidos alguns proce-dimentos algebricos para determinar zeros de algumas funcoes. Por exemplo, a formula usadapara converter temperatura em Fahrenheit (F) para Celsius (C) define uma funcao linear quepode ser escrita na forma

C =59F − 160

9Neste caso temos C em funcao de F . O zero da funcao definida por C pode ser obtido resolvendo-se a equacao C = 0, ou seja, 5

9F −1609 = 0, o que fornece o valor F = 32. Isto significa que 0 C

correspondem a 32F. Verifique voce mesmo!

Se g e uma funcao quadratica, seus zeros (reais ou complexos) podem ser obtidos diretamenteatraves da formula de Baskara2, bem conhecida. Assim, por exemplo, os zeros da funcao dadapor g(x) = x2 − 5x+ 6, sao 2 e 3.

Quanto as funcoes polinomiais de grau 3 e 4, existem formulas especiais para a determinacaode seus zeros, denominadas de formula de Cardano3 e Ferrari4, respectivamente. No entanto,essas formulas sao bastante complicadas e pouco usadas na pratica. Essas formulas podem serencontradas na secao A.3 do Apendice A. Embora tenham sido buscadas exaustivamente, naoexistem formulas gerais para obtencao direta de zeros de funcoes polinomiais de grau maior ouigual a 5, conforme demonstrado por Abel5. No entanto, com sorte, os zeros reais de funcoes

2ÿBaskara (1114 – 1185) matematico e astronomo indiano, conhecido tambem como Bhaskaracharya (Baskara,

o professor) liderou o observatorio de Ujjain, o mais avancado centro de estudos do seculo XII. As tecnicasmatematicas ali desenvolvidas anteciparam em muitos seculos as redescobertas mais tarde na Europa (a “regrade tres”, a “regra dos sinais” da aritmetica, o zero, os numeros negativos, a resolucao de equacoes quadraticas).Baskara escreveu pelo menos uma meia duzia de livros, dos quais muitos se perderam. Alguns, no entanto,foram preservados como Lilavati (A beleza) e Bijaganita (Contagem de sementes) abrangendo algebra, progressaoaritmetica e geometrica, geometria plana e espacial, astronomia. Entre os muitos resultados interessantes obtidospor Baskara estao sua famosa“formula”para a resolucao de equacoes quadraticas (formulas A.27 e A.28) e algumasidentidades trigonometricas (como A.53) mostradas no Apendice. Adaptado de [15].

3ÿGirolamo Cardano (1501 – 1576), matematico e astrologo italiano, embora protegido do papa Gregorio

XIII, foi acusado de heresia por ter divulgado o horoscopo de Jesus. Foi autor do livro Liber de Ludo Aleae, ondealem de introduzir a ideia de probabilidade usada ate hoje, tambem ensinava a trapacear no jogo de dados. Emais famoso, no entanto pelo livro Ars Magna, considerado por muitos, o primeiro livro de algebra.

4ÿLudovico Ferrari (1522 – 1560), oriundo de condicoes extremamente humildes, foi trabalhar como servo

na residencia de Cardano quando tinha apenas 15 anos, mas sua brilhante inteligencia logo foi reconhecida pelomestre e disto decorreu uma promocao a secretario. Seu temperamento incontrolavel e sua forma blasfema deexpressar-se produziram permanentes atritos com Cardano mas, apesar disso, eram amigos e colaboradores.

5ÿNiels Henrik Abel (1802 – 1829) matematico noruegues. Abel era o segundo filho de uma famılia muito


polinomiais de grau elevado podem ser obtidos sem que haja necessidade de formula especial.Por exemplo, os zeros reais da funcao dada por h(x) = x5−16x podem ser obtidos se observarmosque

x5 − 16x = x(x4 − 16) = x(x2 − 4)(x2 + 4),

donde obtemos que 0, +2 e −2 sao zeros da funcao h, os quais sao zeros dos dois primeirosfatores. Os zeros do ultimo fator sao complexos.

Mostraremos, na secao 3.8.1, que zeros de outras funcoes polinomiais para as quais naopodemos contar com o recurso da fatoracao, ou de uma formula especial, podem ser obtidos,usando-se o Dispositivo Pratico de Briot6 - Ruffini7. Tal dispositivo baseia-se na lei da divisaoeuclidiana, aplicada a um polinomio P (x) , quando dividido por um binomio da forma (x− a).

Teorema 3.1 Teorema Fundamental da Algebra: Todo polinomio de grau n ≥ 1 possui pelomenos uma raiz real ou complexa.

Como consequencia do Teorema Fundamental da Algebra e possıvel provar que o polinomiode grau n ≥ 1 pode ser escrito como produto de n fatores de grau 1.

Teorema 3.2 Teorema da Decomposicao: Todo polinomio p(x) = anxn+an−1x

n−1 + · · ·+a1x+a0, com an 6= 0, pode ser escrito na forma fatorada

p(x) = an(x− r1)(x− r2) · · · (x− rn)

em que r1, r2, . . . , rn sao os zeros ou raızes de p(x).

Diz-se que cada um dos polinomios de grau 1 (x − r1), (x − r2), . . . , (x − rn) e um fator dep(x), pois p(x) e divisıvel por cada um deles. Considerando que a ordem dos fatores nao alterao produto, a decomposicao dada no Teorema e unica. Como e possıvel que algumas das raızessejam repetidas, a forma fatorada p(x) = an(x− r1)(x− r2) · · · (x− rn) mostra que o conjuntosolucao da equacao p(x) = 0 tem no maximo n elementos. Porem, se contarmos cada uma dasraızes com a sua multiplicidade (quantas vezes ela se repete) temos o teorema a seguir comoconsequencia do Teorema da Decomposicao.

Teorema 3.3 Teorema Fundamental da Algebra: Todo polinomio de grau n, n ≥ 1, tem exata-mente n zeros, reais ou complexos.

pobre. Em 1815, ele e seu irmao mais velho foram estudar na Cathedral School onde teve contato com matematicaavancada e iniciou estudos sobre a resolucao de equacoes quınticas por radicais. Em 1821, pensando ter descobertouma solucao, enviou um artigo para a Royal Society de Copenhagen (Dinamarca), no entanto descobriu um errona demonstracao. Em 1824, conseguiu demonstrar exatamente o contrario: nao ha solucao por radicais paraequacoes de grau 5 ou maior. No entanto, devido a uma sucessao de infortunios, seu trabalho nao foi reconhecidoem vida. Adaptado de [15].

6ÿCharles Auguste Briot (1817 – 1882), matematico frances. Com pendor para a matematica desde a infancia,

entra na Ecole Normale Superieure em 1838 (ficou em segundo lugar no concurso admissao). Em 1842, concluisua tese de doutoramento sobre o problema da orbita de um corpo celeste em torno de um ponto fixo e iniciacarreira de professor no Orleans Lycee. Em 1848, conhece Louis Pasteur e com ele estuda as propriedades opticasde certos compostos quımicos. Pesquisou nas areas da optica, eletricidade, analise, calculo integral e funcoeselıpticas e publica Essai sur la theorie mathematique de la lumiere em 1864. Em paralelo a suas pesquisas emtopicos avancados de matematica, foi professor dedicado e publicou muitos livros didaticos em aritmetica, algebra,calculo e geometria. Por suas contribuicoes a matematica recebe, em 1882 (pouco antes de sua morte), o premioPoncelet da Academie des Sciences da Franca. Adaptado de [15].

7ÿPaolo Ruffini (1765 – 1822) medico e matematico italiano. Entrou para a universidade de Modena em

1783 onde estudou matematica, medicina, filosofia e literatura. Em 1788 comeca a lecionar matematica na mesmauniversidade, mas complicacoes polıticas o levam a abandonar a universidade e trabalhar como medico. Mesmosendo medico de prestıgio, nao abandonou os estudos matematicos e em 1799 publica livro de Teoria das Equacoesno qual mostra que as equacoes algebricas de quinto grau nao podem ser resolvidas por radicais. Seu trabalhonao foi reconhecido pela comunidade matematica da epoca. O livro contem o desenvolvimento do que maistarde e conhecido como Teoria dos Grupos Algebricos redescoberta mais tarde por Abel. O unico a reconhecerpublicamente o trabalho de Ruffini foi Cauchy, em 1821. Adaptado de [15].


Desse Teorema podemos concluir que: Toda funcao polinomial de grau n possui no maximon zeros reais.

Por exemplo, os zeros do polinomio p(x) = x3 − 2x2 − x + 2 sao −1, 1, 2; portanto podeser escrito como

p(x) = (x− 1)(x+ 1)(x− 2).

Ja o polinomio q(x) = 3x2 − 3x− 36 possui zeros -3 e 4; portanto pode ser escrito como

q(x) = 3(x+ 3)(x− 4).

Exemplo 3.2 Escreva uma possıvel expressao para o polinomio representado na Figura 3.12.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

p(x)

Figura 3.12: Polinomio do Exemplo 3.2.

Solucao: Observando o grafico, podemos verificar que os zeros reais do polinomio sao aproximadamentex1 = −3,5; x2 = −2,0; x3 = 4,0 e x4 = 5,5. Logo

p(x) = a4(x+ 3,5)(x+ 2,0)(x− 4,0)(x− 5,5).

Para determinar o coeficiente a4 podemos utilizar qualquer ponto do grafico, por exemplo o interceptovertical que e aproximadamente (0; 77,0). Entao:

a4(0 + 3,5)(0 + 2,0)(0− 4,0)(0− 5,5) = 77,0154 a4 = 77,0

a4 =77154

= 0,5

Portanto, uma possıvel expressao para o polinomio da Figura 3.12 e

p(x) = 0,5(x+ 3,5)(x+ 2,0)(x− 4,0)(x− 5,5)= 0,5x4 − 2,0x3 − 11,625x2 + 27,25x+ 77,0

3.8.1 Um metodo algebrico para obtencao de zeros

Pode ser difıcil determinar os zeros de um polinomio de grau maior do que 2. Entretanto,conhecido um dos seus zeros, pode-se usa-lo para reduzir o grau do polinomio. Por exemplo,


como x = 2 e um dos zeros de x3 − 4x2 + 5x − 2, tem-se que (x − 2) e um dos fatores dessepolinomio, ou seja, x3− 4x2 + 5x− 2 = (x− 2)Q(x), em que o grau de Q(x) e igual a 3− 1 = 2.

Podemos usar o metodo da divisao direta para obter a fatoracao

x3 − 4x2 + 5x− 2 = (x− 2)(x2 − 2x+ 1).

Assim a equacao x3 − 4x2 + 5x− 2 = 0 e equivalente a (x− 2)(x2 − 2x+ 1) = 0 e portanto,

x− 2 = 0 ou x2 − 2x+ 1 = 0,

o que mostra que os outros zeros do polinomio sao os zeros de Q(x). Utilizando a Formula deBaskara obtemos que 1 e raiz dupla de Q(x) e portanto tambem e raiz dupla de x3−4x2 +5x−2.Consequentemente a fatoracao completa do polinomio e

x3 − 4x2 + 5x− 2 = (x− 2)(x− 1)(x− 1).

O exemplo ilustra que conhecida uma raiz r1 de um polinomio P (x), de grau n, (n ≥ 2),esta raiz pode ser “eliminada” de P (x). Com isto, obtemos outro polinomio Q(x) de grau n− 1,cujas raızes sao as demais raızes de P(x).

A divisao direta, apresentada acima, pode ser abreviada por meio do dispositivo praticode Briot-Ruffini. Tal dispositivo pode ser utilizado tanto para abreviar o algoritmo da divisaoquanto para verificacao de zeros do polinomio. Por exemplo, se a divisao de x3 − 4x2 + 5x− 2por x − 2 e exata (resto zero) entao x = 2 e um zero do polinomio considerado. O exemplo aseguir apresenta em detalhe a divisao por meio do dispositivo pratico.

Exemplo 3.3 Efetuar a divisao do polinomio p(x) = x3 − 4x2 + 5x− 2 por x− 2 utilizando ometodo de Briot-Ruffini.

Solucao:

1. Na primeira linha do esquema abaixo, sao dispostos todos os coeficientes do polinomio (em ordemdecrescente relativamente a potencia de x). Se algum coeficiente estiver faltando, um 0 deve sercolocado no lugar. Na primeira coluna da segunda linha temos o valor 2 que e a raiz de (x− 2).

1 −4 5 22

2. Copia-se para a segunda linha o primeiro coeficiente do polinomio (em negrito):

1 −4 5 22 1

3. Multiplica-se o valor 2 por este coeficiente (1) e adiciona-se ao produto obtido o proximo coeficiente(-4). O resultado (2 · 1− 4 = −2) e colocado logo abaixo do ultimo coeficiente utilizado (-4):

1 −4 5 22 1 −2

4. Multiplica-se novamente o valor 2 por este ultimo resultado (-2) e adiciona-se ao produto obtido oproximo coeficiente (5). O resultado (2 · −2 + 5 = 1) e colocado logo abaixo do ultimo coeficienteutilizado (5):

1 −4 5 22 1 −2 1

5. Repete-se o procedimento para o ultimo coeficiente (-2) e o resultado (2 ·1−2 = 0) e colocado logoabaixo deste:

1 −4 5 22 1 −2 1 0


6. O fato do ultimo resultado ser zero confirma 2 como uma das raızes do polinomio p pois nao houveresto na divisao.

7. Os demais numeros encontrados na segunda linha do dispositivo, 1, -2 e 1, sao os coeficientes dopolinomio q(x) = x2 − 2x+ 1, tal que

p(x) = q(x)(x− 2) = (x2 − 2x+ 1)(x− 2).

Exemplo 3.4 Dado o polinomio p(x) = x3 − 4x2 + 5x− 2 (como no exemplo anterior)

1. Determine o quociente e o resto da divisao de do polinomio por x− 3 utilizando o metodode Briot-Ruffini.

2. Calcule p(3) mediante a substituicao de 3 na expressao x3 − 4x2 + 5x− 2.

3. Responda: 3 e zero de p?

Note que p(3) e igual ao resto da divisao de p por 3 e que pode-se decidir se 3 e ou nao e zerode p utilizando os resultados dos itens 2 e 3.

Teorema 3.4 Teorema dos zeros racionais: Todos os zeros racionais de um polinomio anxn +an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 de coeficientes inteiros sao da forma pq , onde p e um dos divisores de

a0 e q e um dos divisores de an.

Este teorema permite fazer uma previsao sobre os possıveis zeros racionais de um polinomiode coeficientes inteiros. E importante ressaltar que o teorema nao garante a existencia de zerosracionais, mas, no caso de eles existirem, mostra como obte-los.

Exemplo 3.5 Determinar os possıveis zeros racionais do polinomio por p(x) = 4x3 − 7x2 −5x+ 6.

Solucao: Como p e um divisor de 6, temos que p = ±6,±3,±2,±1. Como q e um divisor de 4, temosque p = ±4,±2,±1. Os possıveis zeros racionais sao dados pela razao p

q , logo:

p

q∈±3

2,±3,±6,±3

4,±1

2,±1,±2,±1

4

.

Exemplo 3.6 Efetue a fatoracao de f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2.

Solucao:

1. De acordo com o teorema 3.4, os possıveis zeros racionais de f sao ±1 e ±2.

2. Agora, e preciso obter um zero de f : vamos testar se x = 1 e um deles. Isto pode ser feito, conformeja visto, de duas formas: calculando f(1) mediante a substituicao de 1 em x3 − 2x2 − x + 2 ouverificando se f(x) e divisıvel por x − 1 utilizando o dispositivo pratico de Briot-Ruffini. Com asegunda opcao, obtemos

1 −2 −1 21 1 −1 −2 0

Temos assim q(x) = x2 − x− 2 e, portanto

f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2 = (x− 1)(x2 − x− 2).


3. Atraves da formula de Baskara, podemos determinar as raızes de q(x): -1 e 2 (que sao, tambem,raızes de p(x)). Assim, obtemos, finalmente

f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2 = (x− 1)(x+ 1)(x− 2).

Observacao: No exemplo acima, como a equacao Q(x) = 0 e quadratica, a obtencao de suasraızes foi feita atraves da formula de Baskara. Porem, o dispositivo de Ruffini, tambem poderiaser utilizado.

Atividade 3.20 Encontre os zeros da funcao g, dada por g(x) = x4 − 7x3 + 13x2 + 3x − 18e, a seguir, escreva-a de forma fatorada. Confirme-os numerica e graficamente e explique seuraciocınio.

Atividade 3.21 Determine as expressoes algebricas das funcoes polinomial f , g e h tais que:

1. f tem grau 3 e seus zeros sao 1, 2 e -1;

2. g tem grau 2, um dos zeros e 1 e seu grafico contem os pontos (0, 5) e (2, 3);

3. h tem grau 3, apresenta 2 e 4 como zeros e contem os pontos (1, 3) e (0, 6).

3.8.2 Um metodo numerico para obtencao de zeros

Embora seja muito simples encontrar os zeros da funcao polinomial dada por f(x) = x2(x−1)(os zeros sao z = 0 e z = 1), o mesmo nao e verdade para g(x) = x2(x− 1)− 0,5.

Um metodo para encontrar zeros de funcoes polinomiais (e tambem nao-polinomiais comoveremos nos proximos capıtulos) consiste basicamente em duas etapas:

1. Isolamento: Mediante a elaboracao de uma tabela de valores ou do desenho do graficoda funcao (manualmente ou via calculadora), determinar um intervalo [a,b] tal que f(a) ef(b) tenham sinais contrarios. Se a funcao for contınua, isso assegura que esse intervalocontem um zero.

2. Refinamento: Mediante um processo iterativo, realizar sucessivas divisoes no intervalo[a,b] ate que seja diminuıdo suficientemente.

Digamos que se deseje encontrar o zero da funcao g dada acima. Inicialmente elaboramos aTabela 3.1 com alguns valores para a funcao.

x g(x)-1,0 -2,500-0,5 -0,8750,0 -0,5000,5 -0,6251,0 -0,5001,5 0,6252,0 3,500

Tabela 3.1: Valores para a funcao g(x) = x2(x− 1)− 0.5

Observando os valores da Tabela 3.1 verificamos que a funcao troca de sinal no intervalo[1,0; 1,5], logo o zero de g deve estar dentro desse intervalo, isto e, 1,0 < z < 1,5 (pouco preciso).A Figura 3.13 mostra, alem dos valores tabelados, o grafico de g e a localizacao de z.


−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

valores tabelados

gráfico de g

zero de g

Figura 3.13: Grafico de g(x) = x2(x− 1)− 0.5.

Para refinar esse valor (determinar mais dıgitos decimais), inicialmente dividimos o intervaloao meio encontrando

c =a+ b

2=

1,0 + 1,52

= 1,25.

Onde esta o zero de g? Esta no intervalo [a, c] ou [c, b]? Calculando g(c) = −0,1094 < 0verificamos que a funcao troca de sinal em [c, b], isto e determinamos que 1,25 < z < 1,5 (precisaoum pouco melhor). Podemos refinar ainda mais o valor de z repetindo o procedimento. Emmedia, a cada 4 divisoes obtemos um dıgito decimal de precisao.

O processo para determinar um zero z de uma funcao continua dada por F (x) pode sersistematizado no seguinte algoritmo, denominado de Metodo da Bissecao:

1. Encontre um intervalo [a, b] tal que F (a) e F (b) tenham sinais contrarios.

2. Determine c = (a+ b)/2 e F (c).

3. Se F (a) e F (c) tem mesmo sinal entao

(a) atribua a a o valor de c, senao(b) atribua a b o valor de c.

4. Se o novo intervalo [a, b] e suficientemente pequeno entao

(a) atribua a z o valor de c e pare. Senao(b) volte ao passo 2.

A Tabela 3.2 a seguir mostra os valores obtidos ao se utilizar o algoritmo acima para adeterminacao do zero de da funcao dada por g(x) = x2(x−1)−0.5. No ultimo passo, o tamanhodo intervalo b − a e menor que 0,005 o que assegura que pelo menos dois dıgitos de z estaoexatos. Assim z ≈ 1,29.

Se o processo for levado adiante pode-se determinar z com maior precisao. De fato, z ≈1,29715650817742, Verifique!

ê usando a tecnologia: Embora o metodo da bissecao seja trabalhoso se efetuado a mao ele pode

ser facilmente implementado em um computador. Verifique se sua calculadora possui recursos para encontrar

zeros de funcoes. Em caso afirmativo, saiba que ela utiliza algoritmos parecidos com o descrito, embora mais

sofisticados. Se voce deseja saber mais sobre esse assunto, consulte um livro de Calculo Numerico como [10].

♦


k a c b g(a) g(c) g(b) b− a1 1.000 1.250 1.500 -0.500 -0.109 0.625 0,5002 1.250 1.375 1.500 -0.109 0.209 0.625 0.2503 1.250 1.312 1.375 -0.109 0.038 0.209 0.1254 1.250 1.281 1.312 -0.109 -0.038 0.038 0.0625 1.281 1.296 1.312 -0.038 -0.001 0.038 0.0316 1.296 1.304 1.312 -0.001 0.018 0.038 0.0157 1.296 1.300 1.304 -0.001 0.008 0.018 0.0078 1.296 1.298 1.300 -0.001 0.004 0.008 0.003

Tabela 3.2: Valores obtidos ao se utilizar o algoritmo de bissecao.

3.9 Limite no infinito de um polinomio

Se an 6= 0, entao

limx→±∞

(anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0) = lim

x→±∞anx

n.

Isto e, um polinomio comporta-se como o seu termo de maior grau, quando x→ +∞ ou x→ −∞.Dependendo do sinal de an e do grau n do polinomio esse limite sera +∞ ou −∞.

Atividade 3.22 Pesquise em livros, internet ou com algum professor de seu curso por situacoesou problemas que possam ser modelados por funcoes potencia ou polinomiais.

3.10. EXERCICIOS 45

3.10 Exercıcios

1. Considere as funcoes dadas por f(x) = x3 eg(x) = 10x2.

(a) Desenhe no mesmo plano cartesiano os gra-ficos de f e g.

(b) Qual funcao tem valores maiores a medidaque x→ +∞?

2. Í Considere as funcoes dadas por f(x) = x5,g(x) = −x3 e h(x) = 5x2.

(a) Desenhe no mesmo plano cartesiano os gra-ficos das funcoes dadas.


(c) E a medida que x→ −∞?

(d) E no intervalo 0 ≤ x ≤ 1?

3. Considere as funcoes dadas por f(x) = x1/2 eg(x) = x2/3 para x ≥ 0.

(a) Desenhe no mesmo plano cartesiano os gra-ficos das funcoes dadas.


4. Considere um quadrado cuja diagonal e d. Ex-presse, em funcao de d,

(a) o lado l;

(b) o perımetro p;

(c) a area A.

Observe que l, p e A sao funcoes potencias de d.

5. De acordo com a Lei da Gravitacao Universal, deNewton, o peso P de um objeto e inversamenteproporcional ao quadrado da distancia x entre oobjeto e o centro da Terra, isto e,

P (x) =C

x2.

(a) Supondo que o peso de um satelite mete-orologico seja 800 N na superfıcie da Terrae que ela seja uma esfera de raio 6 500 km,ache o valor da constante C.

(b) Ache o peso do satelite quando estiver a300 km acima da superfıcie da Terra.

(c) Desenhe o grafico de P .

6. Da Fısica, sabemos que a altura h, acima dosolo, de um objeto lancado em queda livre (sobacao exclusiva da forca gravitacional) e dada pelaequacao

h(t) = h0 + v0t−1

2gt2,

onde h0 e a altura inicial (em metros), v0 ea velocidade inicial (em metros por segundo) eg ≈ 10 m/s2 e a aceleracao gravitacional. Consi-dere um tomate sendo jogado verticalmente paracima, a partir do solo, com velocidade inicial de15 m/s.

(a) Substitua os valores na funcao acima e de-termine uma expressao para h(t).

(b) Determine os zeros de h. O que eles repre-sentam?

(c) Determine o domınio de h e desenhe o seugrafico.

(d) Qual e a altura maxima alcancada pelo to-mate? Em que instante isso ocorre?

Considere as funcoes polinomiais dadas nos exercı-cios 7 a 12 a seguir. Para cada funcao, (a) determine oszeros e (b) desenhe o grafico.

7. f(x) = x2 − 4

8. g(x) = 10− x2

9. h(x) = x2 − 2x+ 4

10. i(x) = x3 + 2x2 + x+ 2

11. j(x) = −x3 − x2 + 8x+ 12

12. k(x) = x4 + 6x3 − 12x2 + 24x− 64

13. Um fazendeiro deseja construir um galinheiro.Para isso, ele pretende cercar uma area retan-gular (justaposta a um muro) com 40 m de tela,conforme a figura a seguir.

Ajude-o a projetar o galinheiro que tem a maiorarea possıvel:

(a) Encontre uma expressao para a funcaoA(x), onde A (em metros quadrados) e aarea do galinheiro e x (em metros) e sualargura.

(b) Determine o domınio de A e desenhe seugrafico.

(c) Observe que A e um polinomio quadraticoe encontre, exatamente, o valor de x quemaximiza a funcao.

(d) Determine as dimensoes otimas do gali-nheiro.

14. Relacione as expressoes algebricas dadas com osgraficos apresentados a seguir:

(a) A(x) = −28 + 34x− 9x2

(b) B(x) = −x2 + x− 2

(c) C(x) = x2 + 2

(d) D(x) = x3 − 4x− 2


−4 −2 0 2 4−6

−3

0

3

6Gráfico I

−4 −2 0 2 4−6

−3

0

3

6Gráfico II

−4 −2 0 2 4−6

−3

0

3

6Gráfico III

−4 −2 0 2 4−6

−3

0

3

6Gráfico IV

15. Suponha que o custo total C (em R$) para se fa-bricar q unidades de um certo produto seja dadopela funcao C(q) = 250+125q+5q2 + 1

27q3. Cal-

cule o custo de fabricacao

(a) de 20 unidades;

(b) da 20a unidade.

16. A temperatura ambiente T (em graus Celsius)em um ponto de uma cidade pode ser mode-lada pela funcao T (t) = − 1

6t2 + 4t + 10, onde

0 ≤ t ≤ 24 e o tempo (em horas).

(a) Qual e a temperatura as 14 h?

(b) Qual e a taxa media de variacao da tempe-ratura entre 18 h e 21 h?

(c) Em que instante a temperatura e maisalta?

17. Í Use um Recurso Grafico Computacional paradesenhar o grafico da funcao dada por

f(x) = x5 − x3

nas “janelas” especificadas a seguir.

(a) −50 ≤ x ≤ 50, −50 ≤ y ≤ 50;

(b) −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5;

(c) −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2;

(d) −1,5 ≤ x ≤ 1,5, −0,2 ≤ y ≤ 0,2.

18. Í Use um Recurso Grafico Computacional paradesenhar o grafico da funcao dada por

g(x) = x4 − 20x3 + 138x2 − 376x+ 305

nas “janelas” especificadas a seguir.

(a) −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5;

(b) −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10;

(c) 0 ≤ x ≤ 10, −20 ≤ y ≤ 20;

(d) 0 ≤ x ≤ 10, −50 ≤ y ≤ 10;

19. Considere a funcao

f(x) =

x+ 2, x ≤ −1x2, −1 < x < 34, x ≥ 3

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

0

1

2

3

4

5

6

x

f(x)

(a) Use os tracejados acima e desenhe o graficoda funcao f .

(b) Determine limx→−1−

f(x), limx→−1+

f(x) e

f(−1);

(c) O que se conclui sobre a continuidade de fem x = −1?

(d) Determine limx→2−

f(x), limx→2+

f(x) e f(2);

(e) O que se conclui sobre a continuidade de fem x = 2?

20. Considere a funcao dada por

f(x) =

(x− 1)3, x < 3p, x = 3qx+ 4, x > 3

(a) Encontre os valores de p e q para que f sejacontınua em x = 3.

(b) Desenhe o grafico de f .

21. Um arame de 100 cm de comprimento deve sercortado em dois pedacos, sendo cada pedaco do-brado de modo a formar um quadrado. De quemodo deve ser cortado o arame para que a somadas areas das regioes formadas seja mınima?Para resolver esse problema faca o seguinte:

(a) Encontre uma expressao para a funcaoA(x), onde A (em centımetros quadrados)e a soma das areas das duas figuras e x (emcentımetros) e o comprimento do primeiropedaco de arame.

(b) Determine o domınio da funcao e desenheseu grafico.

(c) Observe que A(x) e um polinomio quadra-tico. Encontre, exatamente, o valor de xque minimiza a funcao.

22. Resolva o problema anterior supondo que o pri-meiro pedaco do arame e dobrado de modo a for-mar um cırculo.

23. Em um torneio de futebol com n times, se cadaum enfrenta todos os outros uma unica vez entaosao jogadas f(n) = n(n− 1)/2 partidas.

(a) Verifique que f e uma funcao polinomial.De que grau?

(b) Qual e o domınio de f?

(c) Quantas partidas sao realizadas em um tor-neio com 24 times?

3.10. EXERCICIOS 47

(d) Um diretorio academico quer realizar umtorneio com, no maximo, 100 partidas.Qual e o maior numero de times que podemparticipar desse torneio? Quantas partidasserao realizadas?

24. Um retangulo de dimensoes x e y esta inscritoem um triangulo retangulo de base a = 6 cm ealtura b = 8 cm conforme a figura a seguir.

(a) Encontre uma expressao para a funcaoA(x) que da a area A do retangulo em fun-cao do lado x do retangulo.

(b) Verifique que essa e uma funcao quadraticaem x e encontre o seu domınio.

(c) Determine as dimensoes do retangulo demaior area.

25. Resolva o seguinte problema, encontrado no livroLilavati de Baskara:

Em uma floresta, a quantidade totalde macacos e igual ao quadrado deum oitavo do numero total de ma-cacos (que se divertiam em ruidosasbrincadeiras) mais doze (que vigia-vam do alto de uma colina). Quantosmacacos sao?

Considere os polinomios dados nos exercıcios 26 a29 a seguir. Para cada polinomio, use o procedimentode Briot-Ruffini para completar a fatoracao.

26. x2 − 4 = (x− 2)( ).

27. x3 − 2x2 − x+ 2 = (x+ 1)( )( ).

28. 2x3 − x2 − 2x+ 1 = 2(x− 1)( )( ).

29.

x4 − 16x3 + 96x2 − 256x+ 256 =

(x− 4)( )( )( ).

30. A equacao

1,8× 10−5 =x2

10−4 − x ,

e usada para determinar a concentracao x de ıonsde hidrogenio [H+] em uma solucao de 10−4 mo-lar de acido acetico. Encontre o valor de x. (Noteque apenas valores positivos de x devem ser con-siderados pois representam concentracao.)

31. Apos 2 anos, o montante M de um investimentode R$1200,00 a uma taxa anual r de juros, capi-talizados anualmente, e dado por

M = 1200(1 + r)2.

Determine r se M = 1300.

32. O lucro L com as vendas de um certo produto edado pela funcao L(x) = −200x2 +2000x−3800,onde x e o preco de venda. L e x sao dados emreais.

(a) Determine os zeros da funcao. Qual o seusignificado?

(b) Determine o preco de venda que resulta emum lucro de R$ 1100,00.

(c) Determine o preco de venda que resulta nomaior lucro.

Capıtulo 4

Funcao Racional

Definicao 4.1 Uma funcao racional e dada por

f(x) =p(x)q(x)

,

onde p e q sao funcoes polinomiais, com q nao nulo.

O domınio de uma funcao racional consiste de todos os valores de x para os quais q(x) 6= 0.Por exemplo, o domınio da funcao racional

f(x) =x2 + 4x2 − 9

(4.1)

consiste de todos valores reais de x, exceto x = 3 e x = −3.

As Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 mostram alguns exemplos tıpicos de graficos de funcoes racionais.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−30

−20

−10

0

10

20

30

x

y

Figura 4.1: O grafico de y = x2+4x2−9

.

ê usando a tecnologia: Tenha cuidado ao digitar a expressao de uma funcao racional em sua calculadora.

Por exemplo, x^2+4/x^2-9 e (x^2+4)/(x^2-9) sao expressoes distintas e, portanto, seus graficos tambem.

♦

Ao contrario das funcoes polinomiais que sao contınuas as funcoes racionais podem apresen-tar descontinuidades nos pontos onde o denominador se anula. Esses pontos, quando exis-tirem, sequer fazem parte do domınio da funcao, e sao tambem chamados de singularida-des. Quando x esta proximo de uma descontinuidade x0 (supondo existir), o grafico sobe (ou

49

50 CAPITULO 4. FUNCAO RACIONAL

0 1 2 3 4 5−30

−20

−10

0

10

20

30

x

y

Figura 4.2: O grafico de y = x2

x2−4x+3.

desce)indefinidamente, chegando cada vez mais proximo da reta vertical x = x0, que chamamosde assıntota vertical.

ê usando a tecnologia: Em uma funcao racional descontınua, os segmentos de curva, denominados

de ramos, sao desconectados. Cuide para interpretar isso corretamente em sua calculadora pois algumas

(erroneamente) “ligam” os ramos nos pontos de descontinuidade. ♦

4.1 Limite no infinito de uma funcao racional

Diferentemente das funcoes polinomiais, que crescem ou decrescem infinitamente quando seconsidera valores de x de magnitude arbitrariamente grande, as funcoes racionais podem (masnao todas) comecar ou terminar cada vez mais perto de uma reta horizontal y = b, chamadaassıntota horizontal. Isso ocorre se lim

x→+∞f(x) = b ou lim

x→−∞f(x) = b.

Se cn 6= 0 e dm 6= 0, entao

limx→±∞

cnxn + cn−1x

n−1 + · · ·+ c1x+ c0

dmxm + dm−1xm−1 + · · ·+ d1x+ d0= lim

x→±∞

cnxn

dmxm.

Isto e, uma funcao racional comporta-se como a razao entre os termos de mais alto grau, nonumerador e no denominador, quando x → +∞ ou x → −∞. Para desenharmos o grafico dacurva de uma funcao racional, sera util estudar o calculo de limites.

Exemplo 4.1 Dada a funcao racional

f(x) =x2 − 4x2 − 1

,

determine:

1. o domınio de f ;

2. os zeros de f ;

3. a(s) assıntota(s) vertical(is) do grafico de f ;

4.1. LIMITE NO INFINITO DE UMA FUNCAO RACIONAL 51

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−30

−20

−10

0

10

20

30

x

y

Figura 4.3: O grafico de y = x3

x+1 .

4. os limites limx→+∞

f(x) e limx→−∞

f(x);

5. a(s) assıntota(s) horizontal(is).

6. Com as informacoes acima desenhe o grafico de f .

Exemplo 4.2 Seja f(x) =x+ 3x+ 2

. Ver Figura 4.4.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 4.4: O grafico de f(x) =x+ 3x+ 2

.

limx→+∞

f(x) = 1 e limx→−∞

f(x) = 1

Exemplo 4.3 Determine os seguintes limites:

1. limx→+∞5x2+8x−3

3x2+2

52 CAPITULO 4. FUNCAO RACIONAL

2. limx→−∞11x+22x3−5

3. limx→−∞5x2−17x+3

4.2 Limite em um ponto

Se os valores de f(x) ficam cada vez mais proximos de L, a medida que x se aproxima deum valor a, entao escrevemos

limx→a

f(x) = L.

Exemplo 4.4 Seja f(x) =x2 − 1x− 1

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 4.5: O grafico de f(x) =x2 − 1x− 1

.

x f(x)0,9 1,90,99 1,990,999 1,9990,9999 1,9999

x f(x)1,1 2,11,01 2,011,001 2,0011,0001 2,0001

limx→1

f(x) = 2.

ê usando a tecnologia: Ao fazer calculos extensos devemos trabalhar sempre com todos os dıgitos

que a calculadora fornece, nao devemos arredondar valores intermediarios. Arredondamentos intermediarios

mal feitos podem resultar em erros grosseiros ao final do calculo. Se for necessario, arredondamos apenas o

resultado final. ♦

Atividade 4.1 Pesquise em livros, internet ou com algum professor de seu curso por situacoesou problemas que possam ser modelados por funcoes racionais.

4.3. EXERCICIOS 53

4.3 Exercıcios

1. Determine o domınio e os zeros das seguintes fun-coes racionais:

(a) f(x) =2x2 − 32

x2;

(b) g(x) =x2 − 7x+ 12

x− 12;

(c) u(x) =x3 + 2x

9− 5x;

(d) v(x) =9

x5 + 4x.

2. Associe cada funcao racional ao respectivo gra-fico.

(a) f(x) =1

x2 + 1;

(b) g(x) =5

x2 − 9;

(c) h(x) =3x3

x+ 1;

(d) i(x) =x+ 2

x2 + 4x+ 3.

3. Í Determine os valores de a, b e k para que afuncao dada por

y =k

x2 + ax+ b

corresponda ao grafico dado a seguir. Verifiquesua resposta usando um recurso grafico compu-tacional.

4. Para a funcao cujo grafico esta representado nafigura a seguir, determine os seguintes limites:

(a) limx→−2−

f(x);

(b) limx→−2+

f(x);

(c) limx→2−

f(x);

(d) limx→2+

f(x);

(e) limx→−∞

f(x);

(f) limx→+∞

f(x).

5. Para a funcao cujo grafico esta representado nafigura a seguir, determine os seguintes limites:

(a) limx→−3−

f(x);

(b) limx→−3+

f(x);

(c) limx→3−

f(x);

(d) limx→3+

f(x);

(e) limx→−∞

f(x);

(f) limx→+∞

f(x).

Para as funcoes dos exercıcios 6 a 16 a seguir: (a)determine o domınio; (b) encontre os zeros; (c) encon-tre as assıntotas horizontais e verticais, se existirem; (d)desenhe o grafico.

6. A(x) =1

x− 1

7. B(x) =5x

x− 3

8. C(x) =x

2x+ 3

9. D(x) =2x+ 3

5x+ 7.

10. E(x) =3x

x2 − 4

5.1. MEDIDA DE ANGULOS EM UMA CIRCUNFER ENCIA 57

Figura 5.2: As func~oes sen(x) e cos(x).

Denic~ao 5.4 O perodo T de uma func~ao trigonometrica f e o menor valor T tal que f (x) =f (x + T) para todo x.

De modo mais informal, o perodo T e o tamanho do intervalo onde a func~ao descreve umciclo completo. No caso de grandezas que oscilam em func~oes dotempo, o perodo T e o tempotranscorrido durante uma oscilac~ao completa.

As func~oes cos(t) e sen(t) possuem amplitude igual a 1 e perodo igual a 2 . As func~oesA cos(!t ) e A sen(!t ) possuem amplitudeA e perodo T = 2

! , onde ! (denominada freq•uenciaangular) corresponde ao numero de ciclos completos em um intervalo de comprimento 2 . Porexemplo, a func~ao dada porf (x) = 2 sen(4x ) tem amplitude A = 2, freq•uencia angular ! = 4 e perodo T = 2

4 = 12 , como mostra a Figura 5.3.

Figura 5.3: A func~ao f (x) = 2 sen(4x ).

Denic~ao 5.5 Consideremos um numero qualquert, com cos(t) 6= 0 . A func~ao tangente e

5.2. EXERCICIOS 61

13. O prato giratorio de um formo de microondastem 40 centımetros de diametro e demora 10 se-gundos para efetuar uma volta completa. Se co-locarmos um copo de leite na borda do prato eligarmos o forno, observaremos um movimentode oscilacao lateral do copo. Esse movimentopode ser descrito por x = A cos(ωt). Determineos valores de A e ω.

14. Para afinar um piano, um musico usa um diapa-sao que emite a nota LA (440 Hz).

O movimento oscilatorio de uma das extremida-des do diapasao pode ser descrita de forma apro-ximada por

x(t) = 0,01 sen(880πt),

onde x e dado em milımetros e t em segundos.Determine o perıodo e a amplitude do movimentoe desenhe o grafico correspondente.

15. A corrente eletrica i (em amperes) em um cir-cuito e dada, em funcao do tempo (em segundos)por

i(t) = 0,25 cos( π

60t).

(a) Determine a amplitude e o perıodo dessafuncao.

(b) Desenhe o grafico de i(t).

16. Í Use um recurso grafico computacional paradesenhar, em um mesmo plano cartesiano, os gra-ficos de tg(x) e sua aproximacao racional P34(x)como vistos na p. 58. Verifique que, no intervalox ∈ [−π

4, π

4], nao se pode distinguir visualmente

um grafico de outro.

62 CAPITULO 5. FUNCAO TRIGONOMETRICA

Capıtulo 6

Funcao Exponencial e FuncaoLogarıtmica

6.1 Funcao Exponencial

Consideremos uma quantidade inicial de R$ 500 que sofre reajustes mensais, de acordo coma tabela a seguir:

tempo(meses) valor (R$) aumento de 20% (R$)0 500 1001 600 1202 720 1443 864 -

Efetue as operacoes indicadas e compare os resultados:

600500

= .....720600

= .....864720

= .....

Se t e o tempo em meses, temos

quando t = 0, v = 500 = 500(...)0

quando t = 1, v = 500(...)1 = 600

quando t = 2, v = 500(...)2 = 720

quando t = 3, v = 500(...)3 = 864

quando t = k, v = .......... = .................

Definicao 6.1 Toda funcao da forma f(x) = bx, onde b > 0 e b 6= 1, e chamada funcaoexponencial de base b.

Essa funcao esta definida para todo valor real de x, isto e, Dom = x ∈ R.

Atividade 6.1 Na lista a seguir, assinale as funcoes que nao sao exponenciais. Justifique suaresposta.

1. y = 4x;

2. y = −8x;

63

64 CAPITULO 6. FUNCAO EXPONENCIAL E FUNCAO LOGARITMICA

3. y = x2;

4. y = πx;

5. y =(

18

)x.

Atividade 6.2 Com auxılio de sua calculadora, desenhe os graficos das funcoes definidas por:

1. y = 3x, y = 5x e y = 10x;

2. y =(

13

)x, y =(

15

)x e y =(

110

)x;

3. y = −3x, y = −5x e y = −10x;

4. y = 2x e y = 10(2)x;

5. y = 5− 2−x, e y = 5 + 2−x;

6. y =10

1 + 3−xe y =

101 + 3x

.

Atividade 6.3 Para cada funcao da atividade anterior, identifique o limx→+∞

f(x).

Atividade 6.4 Multiplicar, adicionar, subtrair....termos a uma funcao provoca alguns movi-mentos em seu grafico. Analise, em cada um dos ıtens acima, os “movimentos” obtidos medianteas diferentes operacoes acrescidas e descreva essas novas funcoes.

Uma base amplamente usada para a funcao exponencial e o numero irracional e ≈ 2,71831,conhecido como numero de Euler2.

Definicao 6.2 A funcao exponencial de base e, denotada por f(x) = ex, e chamada funcaoexponencial natural.

ê usando a tecnologia: Em algumas calculadoras a funcao exponencial e acessada pela tecla EXP

ou ex . Consulte o manual de sua calculadora e verifique qual e a notacao usada. ♦

A Tabela 6.1 mostra alguns valores da funcao f(x) = ex.

x -3 -2 -1 0 1 2 3ex 0.0498 0.1353 0.3679 1.0000 2.7183 7.3891 20.0855

Tabela 6.1: Alguns valores da funcao f(x) = ex.

(Falta grafico!)

Atividade 6.5 Desenhar, com auxılio da calculadora, os graficos das funcoes definidas pory = ex e y = e−x em um intervalo simetrico [−a, a] , a > 0. Verifique para quais valores de atem-se uma boa visualizacao dos graficos.

1Uma aproximacao com 100 dıgitos decimais e e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 4709369995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274.

2ÿLeonhard Euler (1707 – 1783) matematico suıco. Aos 19 anos, completou seus estudos na Universidade de

Basel (Suıca) e publicou seu primeiro artigo cientıfico (sobre curvas isocronas em meio resistivo). Em 1729 iniciaseus trabalhos na Academia de Ciencias de Sao Petersburgo (Russia). Em 1740 vai trabalhar na Academia deCiencias de Berlim (Alemanha) onde permaneceu por 25 anos (perıodo no qual publicou cerca de 380 artigos).Em 1766, retornou a Sao Petersburgo. Em 1771, um incendio destruiu sua casa e Euler mal conseguiu salvar suafamılia e alguns poucos manuscritos matematicos. Pouco depois ficou totalmente cego devido a uma operacaode catarata mal-sucedida. No entanto, nenhuma dessas dificuldades afetou sua genialidade. Euler continuou aestudar e publicar com a mesma intensidade surpreendente. Sua obra monumental abarcou praticamente todoo saber matematico e cientıfico de sua epoca alem de fundar muitos campos novos. Cerca de 50 anos apos suamorte, a Academia de Sao Petersburgo ainda publicava seus escritos. Devemos a Euler a notacao f(x) para funcoes(1734), e para a base natural (1727), i para

√−1 (1777), π para pi e

∑para o somatorio (1755). Adaptado de

[15].

6.2. LOGARITMO E FUNCAO LOGARITMICA 65

6.2 Logaritmo e Funcao Logarıtmica

6.2.1 Logaritmos

Definicao 6.3 Se b > 0 e b 6= 1, entao para valores positivos de x o logaritmo de x na base be definido como o expoente y no qual b deve ser elevado para se obter x. Escreve-se

y = logb x ⇔ by = x.

Exemplos:

1. log10 100 =

2. log10

(1

1000

)=

3. log2 16 =

4. log5 625 =

5. logb 1 =

6. logb b =

ê usando a tecnologia: Em sua calculadora, provavelmente voce dispoe de recursos para calcular

logaritmos decimais (base 10) e naturais (base e) com as teclas LOG e LN . Leia o Manual para maiores

detalhes. ♦

6.3 Funcao Logarıtmica

A funcao exponencial y = bx, b > 0 e b 6= 1 satisfaz o teste da reta horizontal, o que implicaque possui uma inversa. Para determinar uma expressao para esta inversa, tomemos a equacaox = by e isolemos y, aplicando as propriedades dos logaritmos.

Entao, obtemos a funcao y = logb x a qual chamamos funcao logarıtmica na base b. Essafuncao e definida para todo x positivo, isto e, Dom = x ∈ R | x > 0.

Atividade 6.6 Desenhar, no mesmo plano cartesiano, os pares de graficos das funcoes definidaspor:

1. y = ex e y = lnx;

2. y = log x e y = 2 log x;

3. y = log x e y = 1 + log x;

4. y = log x e y = log(x− 1).

Atividade 6.7 Pesquise em livros, internet ou com algum professor de seu curso por situacoesou problemas que possam ser modelados por funcoes exponenciais ou logarıtmicas.


6.4 Exercıcios

1. Simplifique as expressoes seguintes sem usar acalculadora.

(a) x = 82/3, y = 8−2/3.

(b) u = 90,5, v = 91,5.

(c) p = log2 16, q = log3(1/81).

(d) r = log 0,0001, s = log 100000.

2. Resolva as equacoes seguintes sem usar a calcu-ladora.

(a) 3x = 27, 5√y = 125.

(b) ex+1 = 7, ye−y − 5e−y = 0.

(c) log2 4x = 8, log5(1/y) = −1/2.

(d) ln(e2x) = 4, ln(ln)y = 1.

3. Use as propriedades dos logaritmos para mostrarque, se a > 0, entao logb

1a

= − logb a.

4. Use as propriedades dos logaritmos para mostrarque

y = logb x =logc x

logc b.

Essa formula e conhecida como formula de mu-danca de base e e util para calcular logaritmosem bases nao disponıveis na calculadora.

5. Use a calculadora e determine os valores x e ynas equacoes a seguir.

(a) ex = 7; ln y =√

2;

(b) 5−2x = 3; log3(y + 2) = 5;

(c)4

103x= 1;

1

2 + log y= π.

6. O numero e (numero de Euler) surge com a as-sıntota horizontal ao grafico da funcao definidapor

E(x) =

(1 +

1

x

)x,

como mostra a figura a seguir.

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

y = E(x)A.H. em y ≈ 2,7182

Encontre os valores de E(x) para x = 1, 10, 102,103, . . . Verifique que

limx→+∞

E(x) = e.

7. Certas combinacoes de exponenciais tem impor-tancia suficiente para receber nomes e notacoesespeciais: sao denominadas, respectivamente, deseno hiperbolico de x e cosseno hiperbolico de xe sao denotadas, respectivamente por

senh(x) =ex − e−x

2e cosh(x) =

ex + e−x

2.

(a) Determine os domınios e as imagens dasfuncoes hiperbolicas.

(b) Desenhe os seus graficos.

8. As funcoes hiperbolicas satisfazem varias identi-dades similares aquelas das funcoes trigonometri-cas. Mostre que cosh2(x)− senh2(x) = 1.

9. Sabendo que F (x) = aebx e que F (2) = 10 eF (4) = 30, determine a e b.

10. O algoritmo denominado Quicksort e capaz deordenar uma lista de n elementos usando, emmedia, M = n log2 n operacoes [24, p. 64]. Su-pondo que um computador tenha velocidade deprocessamento de v de 1 000 000 de operacoes porsegundo, quanto tempo ira demorar para ordenaruma lista com 5 000 000 elementos?

11. A populacao do Brasil mostrada na Tabela 1.2(p. 4) pode ser modelada pela funcao

P (t) = 16,0141 e0,0243 t,

onde P e a populacao (em milhoes da habitantes)e t e o tempo (em anos a partir de 1900).

(a) Determine o valor de P estimado pelo mo-delo para os anos de 1940 ate 2000.

(b) Desenhe o grafico de P .

(c) Compare as populacoes estimadas pelo mo-delo e as populacoes do censo. O modelose ajusta adequadamente aos dados?

(d) Qual e o valor de P (0)? Qual e seu signifi-cado?

(e) Segundo o modelo, em que ano a populacaodo Brasil sera de 250 milhoes de habitan-tes?

12. A populacao de bacterias aerobicas em um pe-queno lago e modelada por

P (t) =60

5 + 7e−t,

onde P (t) e a populacao (em bilhoes de bacte-rias) e t e o tempo (em dias) apos a observacaoinicial t = 0.

(a) Desenhe o grafico de P (t).

(b) Descreva o que ocorre com a populacaono decorrer do tempo, isto e, determinelimt→∞

P (t).

(c) Qual e a taxa de variacao media ∆P/∆tno intervalo de tempo de t = 2,0 a t = 2,5dias.

(d) Descreva o que ocorre com a taxa de vari-acao da populacao no decorrer do tempo.

6.4. EXERCICIOS 67

13. Do estudo da Quımica, sabemos que alguns ele-mentos tem a tendencia natural de emitir radia-cao e transformarem-se em elementos diferentes.Sao chamados de elementos radioativos. Com opassar do tempo, a quantidade do elemento origi-nal presente em uma amostra diminui de acordocom a funcao

Q(t) = Q0e−kt,

onde Q e a quantidade do elemento presente naamostra (medido em unidades de massa), Q0 e aquantidade inicial, t e o tempo transcorrido desdea medicao inicial e k e uma constante positivacaracterıstica de cada elemento. Para o iodo-128(usado clinicamente como contraste em radiodi-agnostico) o valor de k e 0,0275 min−1 [11, p.263].

(a) Suponha que 5 mg de iodo-128 sejam in-jetados em um paciente. Desenhe o gra-fico mostrando a quantidade de contrastepresente no paciente ate 2 horas apos suainjecao.

(b) Qual e a taxa media de decaimento du-rante a primeira hora? e durante a segundahora?

14. Uma importante caracterıstica dos elementos ra-dioativos e denominada tempo de meia-vida, queconsiste no tempo τ transcorrido ate que a quan-tidade de elemento presente em uma amostra sejaa metade da quantidade inicial.

(a) Mostre que o tempo de meia-vida e dadopor

τ =ln 2

k.

(b) Verifique o valor de Q(t) para t = 0, τ , 2τ ,3τ , ...

15. Em 25 de abril de 1986, um grave acidente ocor-reu na usina nuclear de Chernobyl (Ucrania).Nesse acidente, varios elementos radioativos va-zaram para a atmosfera, inclusive o estroncio-90, bastante nocivo ao ser humano e ao meio-ambiente. Estima-se que 10 kg de estroncio-90vazaram da usina.

(a) Sabendo que sua meia-vida e de 28 anos,determine o valor da constante k na fun-cao de decaimento.

(b) Quanto estroncio-90 esta presente hoje(2008) na atmosfera? E daqui a 100 anos?

16. Quando uma tensao eletrica constante U (emvolts) e aplicada a um circuito constituıdo porum resistor (de resistencia R, em ohms) e um ca-pacitor (de capacitancia C, em farads) ligados emserie, a corrente eletrica i (em amperes) e dadapor

i(t) =U

Re−RCt,

onde t e o tempo (em segundos) transcorridodesde o momento da aplicacao da tensao.

(a) Dado que U = 300 V, R = 1500 Ω e C =3 × 10−6 F, substitua esses valores na ex-pressao e simplifique o que for possıvel.

(b) Calcule o valor de i nos instantes t = 0,200, 400 e 600 segundos e desenhe o gra-fico de i(t).

(c) Em qual instante de tempo, a correnteatinge a fracao de 10% da corrente inicial?

17. Reconsidere o exercıcio anterior. Se o capacitorfor substituıdo por um indutor (de indutancia L,em henrys) a corrente eletrica i (em amperes)sera dada por

i(t) =U

R

(1− e−(R/L)t

).

(a) Dado que L = 0,2×106 H, substitua os va-lores na expressao e simplifique o que forpossıvel.

(b) Calcule o valor de i nos instantes t = 0,200, 400 e 600 segundos e desenhe o gra-fico de i(t).

(c) Qual e a taxa de variacao media ∆i/∆t nointervalo de tempo de 200 ≤ t ≤ 400 se-gundos?

18. Se depositamos um valor M0 (capital inicial), emreais, em uma caderneta de poupanca, o saldo Me dado por

M(t) = M0(1 + r)t,

onde r e a taxa de juros mensal (na forma de-cimal) e t e o perıodo de aplicacao (em meses).Qual e o tempo de investimento necessario paraque um capital de R$ 1000,00 tenha um rendi-mento de R$ 400,00 considerando uma taxa men-sal de juros de 0,5%?

19. A funcao expressa no exercıcio anterior pode seraproximada por

M(t) ≈M0ert,

se a taxa de juros r for pequena (o que geralmentee verdadeiro).

(a) Responda novamente a pergunta do exer-cıcio anterior, supondo valida a aproxima-cao.

(b) A aproximacao continua valida se a taxamensal de juros for 5%?

20. Se mensalmente depositamos uma quantia m nacaderneta de poupanca, o saldo M e dado por

M(t) =m

r

[(1 + r)t+1 − 1

],

onde r e a taxa de juros mensal (na forma deci-mal) e t e o perıodo de aplicacao (em meses). Aoingressar na universidade, um estudante iniciauma caderneta de poupanca onde deposita men-salmente a quantia de R$ 50,00. Considere umataxa mensal de juros de 0,5% e determine o saldoacumulado apos 60 meses (ele espera graduar-seem 5 anos!).

21. O valor de uma maquina industrial e, inicial-mente, R$ 10 000 e, para efeitos contabeis, de-precia 10% a cada ano.

(a) Encontre uma expressao exponencial paraV (t), o valor da maquina apos t anos deuso.


(b) Determine as taxas medias de variacao∆V/∆t nos intervalo de tempo de 0 ≤ t ≤1 e 1 ≤ t ≤ 2 anos.

(c) A maquina sofre maior depreciacao du-rante o primeiro ou segundo ano de uso?

(d) Apos quanto tempo a maquina valera me-nos da metade do valor inicial?

22. A pressao atmosferica P (em qualquer unidadede medida) na altura h (em metros), acima dasuperfıcie da Terra, pode ser aproximada por

P (h) = P0e−1,25×10−4h,

onde P0 e a pressao atmosferica, no nıvel do mar.

(a) Se voce for ao topo do Pico da Neblina(AM), ponto mais alto do Brasil, com al-tura de 2 994 m, qual sera a pressao atmos-ferica, em percentual, com relacao a pres-sao no nıvel do mar?

(b) A pressao atmosferica na altitude de cru-zeiro de um aviao comercial e de 22% dapressao ao nıvel do mar. Qual e sua alti-tude?

23. Para tratar uma infeccao odontologica, um es-tudante deve tomar amoxilina (um antibiotico)de 12 em 12 horas. A bula do remedio diz: “24horas apos a administracao do remedio, o orga-nismo elimina 90% da substancia ativa”. Intri-gado com essa informacao, o estudante usa ummodelo exponencial para saber quanta substan-cia ainda esta presente no seu organismo no mo-mento de tomar a segunda dose [12]. Que valore esse?

24. O nıvel sonoro N (em decibeis) e a intensidadesonora I (em watts3 por centımetro quadrado)estao relacionados por

I = 100,1N−16.

(a) Calcule o nıvel sonoro N correspondenteao barulho provocado por trafego pesadode veıculos, cuja intensidade e estimada em10−8 W/cm2.

(b) Calcule a intensidade sonora I correspon-dente ao limiar de dor que e cerca de120 dB.

25. Quando um cabo flexıvel e homogeneo esta sus-penso livremente entre dois pontos (como, porexemplo, um cabo de alta tensao) ele toma aforma de um arco denominado catenaria. A fun-cao que descreve uma catenaria e da forma

f(x) = a cosh(x/a),

onde a e um fator relacionado ao tamanho da“barriga” da curva (reveja o exercıcio 7). Em taiscabos, todas as forcas internas estao em equilı-brio, assim, uma catenaria invertida faz uma arcoperfeito, isto e, seu peso se distribui de forma aanular forcas internas. O Gateway Arch (SaintLouis, EUA) e um exemplo de arco construıdodesta forma.

(a) O Gateway Arch e aproximadamente des-crito por h(x) = 231− 39 cosh(x/39) ondeh e x sao dados em metros. Desenhe essegrafico.

(b) Determine a altura e distancia entre as ba-ses do arco.

26. Um ciclista decide descer uma ladeira sem aci-onar os freios. A velocidade v (em metros porsegundo) do ciclista e monitorada e e dada porv(t) = 20,83(1− e−1,875t), onde t e o tempo (emsegundos).

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

t (s)

v (m

/s)

(a) Calcule a velocidade nos instantes t = 0, 1,2 e 3 segundos.

(b) Calcule, exatamente, o instante em que avelocidade e de 20 m/s.

(c) Confirme os seus calculos, assinalando osresultados obtidos na figura acima.

(d) Determine as taxas medias de variacao∆v/∆t nos intervalo de tempo de t ∈ [0, 1]e t ∈ [1, 2] segundos. O que esses valoressignificam?

(e) Descreva o que acontece com a velocidadedo ciclista a medida que o tempo passa.

3ÿ James Watt (1736 – 1819) mecanico e construtor de instrumentos escoces. Aperfeicoou a maquina a vapor

de Newcomen (usada para drenagem de agua em minas de carvao) usando pela primeira vez os aspectos teoricosda incipiente termodinamica. Sua nova maquina (mais eficiente) tornou possıvel a Revolucao Industrial. Comohomenagem, seu nome foi dado a unidade de medida de potencia. Adaptado de [26].

6.4. EXERCICIOS 69

27. A Lei do Resfriamento de Newton,

T (t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt,

descreve o comportamento da temperatura T deum objeto em funcao do tempo t. Nessa expres-sao, T0 e a temperatura inicial do objeto, Ta ea temperatura ambiente a qual esta exposto (su-posta constante, com Ta < T0), k > 0 e um pa-rametro relacionado com a taxa de variacao detemperatura (devido a suas caracterısticas fısi-cas e geometricas). Suponha que um objeto atemperatura inicial de 148 C e colocado em umambiente a temperatura de 18 C e que apos 1minuto, a temperatura caiu para 93 C.

(a) Determine o valor e a unidade de medidade k.

(b) Desenhe o grafico de T (t).

(c) Quanto tempo transcorre ate que a dife-renca das temperaturas do objeto e do am-biente seja menor que 1 C?

28. A Escala Richter4 e uma maneira de medir a in-tensidade de terremotos (abalos sısmicos). Nestaescala, a magnitude M de um terremoto esta re-lacionada com a energia E (em joules) liberadade acordo com

M =2

3log

(E

E0

),

onde E0 = 2,52× 104 J.

(a) O maior terremoto registrado ao longo dostempos o correu em 22 de maio de 1960, eatingiu a capital do Chile, Santiago. Cercade 5 mil pessoas morreram e 2 milhoes fica-ram desabrigadas. Estima-se que a energialiberada pelo terremoto foi de 4,48×1018 J.Determine sua magnitude.

(b) O tremor mais forte de que se tem notıciano Brasil ocorreu em 31 de janeiro de 1955,na Serra do Tombador (MT), com magni-tude 6,6 na escala Richter. Nao provocouvıtimas porque aconteceu em uma regiao

desabitada. Quanta energia esse terremotoliberou?

29. Reconsidere o exercıcio anterior. Um terremotoA liberou o dobro de energia que um terremotoB. Na escala Richter, suas magnitudes diferemde quanto?

30. Í A Lei da Radiacao,

S(λ) =2πc2h

λ5

1

ehc/λkT − 1,

descreve a quantidade de energia luminosa S (emwatt por metro cubico) emitida por um corpo deprova na temperatura T (em Kelvin) em funcaodo comprimento de onda λ (em metros). Nessaexpressao, c = 3,00 × 108m/s e a velocidade daluz, h = 6,63× 10−34J · s e a constante de Planke k = 1,38×10−23J/K e a constante de Boltzmann[11].

(a) Considere um objeto com temperatura T =3 500 K. Substitua as constantes na expres-sao, simplifique o que for possıvel e obtenhauma expressao para S(λ).

(b) Com um recurso grafico computacional,obtenha o grafico de S no intervalo (0,1 ≤λ ≤ 4,0)× 10−6m.

31. No exercıcio anterior, pode-se mostrar [28, p.390] que o maior valor de S ocorre em λmax dadopor

λmax =hc

zkT,

onde z e o zero positivo de

f(x) =x

5+ e−x − 1.

(a) Encontre z, o zero de f , utilizando o me-todo descrito na secao 3.8.2 (p. 42).

(b) Determine o valor de λmax.

Observe que λmax corresponde a radiacao na re-giao do infra-vermelho. Discuta com seu profes-sor de Fısica as implicacoes desse fato.

4ÿCharles Francis Richter (1900 – 1985), sismologo norte-americano, desenvolveu essa escala em 1935 jun-

tamente com Beno Gutenberg (1889 – 1960) no California Institute of Technology (Caltech), onde estudavam osfrequentes sismos da California (estado ao sul dos EUA).

Capıtulo 7

Operacoes com funcoes

Os estudos realizados em Matematica Fundamental, ate esse momento, proporcionaram umafamiliarizacao com as funcoes (polinomiais, racionais, exponenciais, logarıtmicas e trigonometri-cas) que podemos considerar como “funcoes-base” na elaboracao de modelos matematicos querepresentam fenomenos de aplicacao em diversas areas do conhecimento, conforme destacado nosexemplos, exercıcios e atividades. A abordagem aplicativa das funcoes e um dos aspectos primor-diais para os estudantes de Engenharia, e esta deve ser implementado por estudos e pesquisas naarea da Matematica Aplicada no DEME. Mas e proposito em Matematica Fundamental e nasdemais disciplinas de Matematica para Engenharia, alem, sem duvidas, do aspecto formativode engenheiros sintonizados com as necessidades do seu tempo, o entendimento claro das pro-priedades das funcoes (como domınio, imagem, sinal, crescimento/decrescimento, concavidade,taxas de variacao) e das ideias e conceitos do Calculo Diferencial e Integral (limites, derivadase integrais) como fundamento solido para os estudos em disciplinas proprias de cada tipo deEngenharia.

A combinacao dessas funcoes-base e um procedimento comum na modelagem de situacoesaplicadas, como forma de gerar formulas que determinam, de modo mais real possıvel, a relacaoentre as variaveis envolvidas. Mas combinar tais funcoes, mesmo gerando funcoes de caraterpuramente teorico, e uma conduta indispensavel para criar situacoes variadas que possibilitamabordar, especialmente, a fundamentacao matematica das ideias e conceitos do Calculo. E oque faremos nesse Capıtulo, tratar de novas funcoes geradas por combinacoes, melhor dizer, poroperacoes entre as funcoes.

Considerando funcoes ja definidas, podemos gerar novas funcoes atraves de operacoes alge-bricas (soma, subtracao, multiplicacao, divisao, radiciacao). As novas funcoes, assim geradas,sao denominadas de funcoes algebricas. Alem dessas, operacoes especiais definem funcoes clas-sificadas como funcoes compostas ou funcoes definidas por partes.

Voce pode, e deve, ampliar esse estudo em livros de Calculo. Ha uma boa referencia nabibliografia proposta para essa disciplina. Procure, no ındice remissivo, por funcoes algebricas,funcao composta e funcao definida por partes.

7.1 Funcoes algebricas

Definicao 7.1 Uma funcao e chamada de funcao algebrica quando e construıda por operacoesalgebricas (adicao, subtracao, multiplicacao, divisao, potenciacao ou extracao de raızes) compolinomios.

Vejamos, primeiro, como uma mesma funcao pode ser analisada sob varios pontos de vista,considerando a forma de sua apresentacao final. Se tomamos, por exemplo, a funcao f definidapor f(x) = x2 − 4x+ 4 podemos dizer simplesmente que e uma funcao quadratica, cujo grafico

71

72 CAPITULO 7. OPERACOES COM FUNCOES

e uma parabola que ja sabemos muito bem como desenhar. Essa mesma funcao pode tambemser apresentada como f(x) = (x − 2)2 e, assim, interpretar seu grafico como uma translacaohorizontal de g(x) = x2. Agora, se consideramos operacoes com funcoes, podemos tambem dizerque f e a funcao que se obtem, por exemplo, elevando ao quadrado a funcao h(x) = x − 2.Queremos salientar, com isso, que operar com funcoes gera novas funcoes e, nao somente isso,que uma funcao, quando esta definida, pode ser interpretada de varias formas se nos detemos aprocurar regras que determinaram a formula de calcular as imagens que a mesma fornece.

Aproveitemos as funcoes f e g, dadas logo acima, para retomar o estudo da parabola.

Atividade 7.1 Desenhe o grafico da funcao f , considerando o vertice da parabola e outros doispontos simetricos em relacao ao eixo da parabola.

Atividade 7.2 Em novo plano cartesiano, desenhe novamente o grafico da f , agora, transla-dando a funcao g(x) = x2. Depois, descreva que translacao do grafico da g fornece o da f .

Atividade 7.3 Aproveite ainda, para explicar como se fatora o trinomio x2 − 4x+ 4 de modoque o mesmo seja dado tambem por (x− 2)2.

Observe que as funcoes racionais podem ser entendidas tambem como funcoes algebricas.

Atividade 7.4 Defina uma funcao racional q e diga por que ela pode ser classificada comofuncao algebrica.

Atividade 7.5 Desenhe o grafico de q em sua calculadora e reproduza-o. Destaque, em coresdiferentes, as assıntotas e as interseccoes com os eixos.

Atividade 7.6 Escreva as equacoes das assıntotas e explique o que significam as coordenadasdos pontos de interseccoes com os eixos. Caso nao exista algum desses elementos, explique omotivo de tal ausencia.

Nessa unidade, como ja comentamos, vamos analisar novas funcoes alem das estudadas ateaqui (polinomiais, racionais, trigonometricas, exponenciais ou logarıtmicas), nao diferentes des-sas, mas construıdas por operacoes com essas funcoes. Outros exemplos de funcoes algebricas:

f(x) =√x− 5, g(x) =

x3 − 2xx+√x, h(x) = x2/3(x− 3)2.

Atividade 7.7 Explique como surgem as funcoes f , g e h.

Os graficos de tais funcoes assumem formas bastante variadas e atente para a importancia deadequar as janelas de representacao das mesmas para que seja possıvel uma analise geometricacompleta das suas caracterısticas. No caso da funcao f(x) =

√x− 5, podemos obter, em

calculadoras ou softwares, expressoes geometricas como mostradas nas Figuras 7.1, 7.2 e 7.3.

Atividade 7.8 Como podemos explicar o que acontece em cada janela e qual e, dentre essas, amais adequada para a funcao f?

Considerando, agora, a funcao g(x) =x3 − 2xx+√x

, como mostradas nas Figuras 7.4, 7.5 e 7.6.

Atividade 7.9 Qual janela representa melhor a funcao g. Por que?

7.2. FUNCAO COMPOSTA 73

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

Figura 7.1: f(x) =√x− 5, 1a janela grafica.

Atividade 7.10 Considere a funcao h(x) = x2/3(x− 3)2.

1. Determine Dom(h). Justifique.

2. Desenhe o grafico de h. Tenha cuidado com o expoente fracionario de x (veja a notausando a tecnologia na p. 32).

3. Escreva os intervalos (aproximando os extremos, se necessario) onde h positiva, negativaou nula, onde cresce ou decresce e onde o grafico e concavo para cima ou para baixo.

4. Justifique por que h e sempre positiva ou nula.

5. Qual o comportamento de h a medida em que x→ +∞ e x→ −∞? Como se comportamas imagens h(x)? Expresse esses comportamentos usando a notacao de limite.

6. Determine limx→0

h(x) e limx→3

h(x). O que significam esses valores?

7. Argumente sobre como podemos concluir cada um os limites solicitados nos ıtens acima,considerando, primeiro, o grafico da funcao e, segundo, a expressao da funcao.

7.2 Funcao composta

Uma funcao composta e uma funcao de uma funcao, como ocorre em, por exemplo, f(x) =(2x− 1)3, onde ha uma funcao f1(x) = 2x− 1 dentro de outra f2(x) = x3 fora. Observe que sequeremos calcular f(2), primeiro fazemos 2× 2− 1 = 3 e depois elevar o valor obtido ao cubo,33 = 27. Ou seja,

f(2) 1a transformacao= (2× 2− 1)3 2a transformacao= 33.

A composicao de duas funcoes e, entao, uma operacao que coloca uma funcao dentro daoutra. Ou seja, a composta de duas funcoes produz imagens de modo equivalente a obter aimagem, por uma das funcoes, das imagens produzidas pela outra. Antes de nos dedicarmosa tarefa de compor funcoes, vejamos como podemos identifica-la atraves de uma situacao emcontexto aplicado.


−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y


Um estudo ambiental realizado em certa comunidade indica que o nıvel medio diario departıculas de poeira em suspensao no ar sera de Q(p) =

√0,5p+ 19,4 unidades, quando a

populacao dessa comunidade for p milhares de habitantes. Estima-se que, daqui t anos, apopulacao seja de p(t) = 8 + 0,2t2 mil pessoas.

Atividade 7.11 Determine o numero de partıculas suspensas no ar daqui 10 anos.

Atividade 7.12 Quando e que o nıvel de poeira atingira 5 unidades?

Atividade 7.13 O que procuramos acima foi por uma relacao entre as variaveis Q e t. Paraisso, precisamos envolver as duas funcoes: a que relaciona Q com p e a que relaciona p com t.Nesse caso, e possıvel pensar em obter os valores solicitados atraves de uma nova funcao querelaciona Q diretamente com t. Chamemos essa nova funcao de f e vamos determina-la.

Observe o que comentamos no inıcio: aqui, as funcoes p e Q definiram a f , sendo p a funcaoque esta dentro, tambem chamada de funcao interna e Q pode ser dita a funcao de fora. E essafuncao f que chamamos de funcao composta de Q e p e que representaremos tambem por Q p.A nova funcao tem variavel t e e definida como: (Q p) (t) = Q(p(t)).

Atividade 7.14 Escreva, entao, a funcao (Q p) (t) e diga que variaveis a mesma relaciona.

Atividade 7.15 Usando, agora, essa funcao Qp, determine o numero de partıculas suspensasno ar daqui 15 anos e quando teremos 8 unidades como o nıvel de poeira.

Segue, a seguir, a definicao de funcao composta.

Definicao 7.2 Dadas as funcoes f e g, a composicao de f e g, denotada por f g, e a funcaodefinida por (f g)(x) = f(g(x)).

Uma ilustracao dessa definicao pode ser

f g : xg7−→ g(x)

f7−→ f(g(x)).

7.2. FUNCAO COMPOSTA 75

5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

x

y


Atividade 7.16 Vamos tomar, como exemplo, as funcoes f(x) =1

x+ 2e g(x) =

1x

.

1. Escreva o domınio das funcoes de f e g.

2. Determine a funcao f g. Depois, observando com atencao a ilustracao da definicao decomposicao de funcoes que fizemos acima, apresente seu domınio e o grafico f g.

3. Que diferencas podemos destacar entre a funcao f g, determinada em 2, e uma funcao hdefinida por h(x) =

x

2x+ 1?

Portanto, o domınio de f g depende dos domınios de f e de g, de modo que precisamosdeterminar, dentre os valores x que constituem o domınio da g, quais tem g(x) como valores dodomınio da f . Com isso, podemos dizer que o domınio de f g consiste em todo o x no domıniode g para o qual g(x) esta no domınio de f .

Atividade 7.17 Para observar, novamente, essa implicacao entre os domınios das funcoes en-volvidas numa composicao, vamos definir e desenhar o grafico das seguintes funcoes compostas:f g quando f(x) = 2x2 + 1 e g(x) = x− 1 e p q quando p(x) =

√x e q(x) = x2.

Em relacao a operacao de composicao, podemos tambem compor uma funcao com ela mesmaou envolver na composicao qualquer numero finito de funcoes.

Atividade 7.18 Tomando as funcoes f(x) = x2 + 1, g(x) =1√x

e h(x) = 2x + 2, defina as

funcoes compostas f f , f h, g f , f g h e escreva os seus domınios desenhe seus graficos.

Duas observacoes que merecem nossa atencao: 1. A composicao de funcoes nao e umaoperacao comutativa.

Atividade 7.19 Para verificar esse fato, defina duas funcoes f e g e determine as funcoes f ge g f .


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

x

y

Figura 7.4: g(x) =x3 − 2xx+√x

, 1a janela grafica.

2. Funcoes inversas e a composicao de funcoes.

As funcoes f(x) = 2x e g(x) = 12x sao inversas uma da outra. (Verifique e justifique! ). Veri-

ficar se duas funcoes sao inversas uma da outra nao e uma tarefa elementar. Um procedimentoque auxilia nessa analise e determinar e comparar as funcoes compostas f g e g f .

Atividade 7.20 Vejamos o que ocorre considerando as funcoes f e g, definida acima.

Esse resultado pode ser generalizado, como um teste para funcoes inversas: sempre que(f g) (x) = x e (g f) = x temos que f e g sao inversas uma da outra e, reciprocamente,sempre que f e g sao inversas, temos (f g) (x) = (g f) (x) = x. Em linguagem matematica,escrevemos:

(f g) (x) = (g f) (x) = x⇔ f e g sao inversas uma da outra.

Atividade 7.21 Verifiquemos, usando funcao composta, se os pares de funcoes a seguir sao defuncoes inversas. Alem disso, desenhe, no mesmo sistema cartesiano, os graficos de cada parde funcoes e verifique tambem a propriedade geometrica das funcoes inversas.

1. f(x) =x

x− 2e g(x) =

2xx− 1

;

2. f(x) =3x− 2

4e g(x) =

4x− 23

;

3. f(x) =√x e g(x) = x2.

7.3 Limites: uma introducao intuitiva

O uso basico de limites e descrever como uma funcao se comporta quando a variavel inde-pendente tende a um dado valor.

7.3. LIMITES: UMA INTRODUCAO INTUITIVA 77

0 1 2 3 4 5−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

x

y



7.3.1 Limites

Se os valores f(x) puderem ser tornados tao proximos quanto quisermos de L, fazendo xsuficientemente proximos de a (mas nao igual a a), entao escrevemos

limx→a

f(x) = L,

que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a e L”.

7.3.2 Limites Laterais

Se pudermos tornar os valores de f(x) tao proximos quanto quisermos de L, fazendo xsuficientemente proximo de a (porem maior que a), entao escrevemos

limx→a+

f(x) = L,

que e lido como “o limite de f(x) quando x aproxima-se de a a direita e L”.

Da mesma forma, se pudermos tornar os valores de f(x) tao proximos quanto quisermos deL, fazendo x suficientemente proximo de a (porem menor que a), entao escrevemos

limx→a−

f(x) = L,

7.3.3 A relacao entre limites laterais e bilaterais

O limite bilateral de uma funcao existe em um ponto a se e somente se existirem os limiteslaterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto e,

limx→a

f(x) = L, se e somente se limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = L


−1 0 1 2 3 4 5−2

0

2

4

6

8

10

x

y



7.3.4 Continuidade

As curvas planas podem ser divididas em duas categorias - as que tem“quebras” ou“buracos”e as que nao tem. As quebras ou buracos em uma curva sao chamadas de descontinuidades;uma curva sem descontinuidades e chamada de contınua.

Todas as tres condicoes sugeridas devem ser satisfeitas para assegurar que o grafico de umafuncao nao tenha descontinuidade em um dado ponto:

1. A funcao deve estar definida no ponto;

2. O limite bilateral no ponto deve existir;

3. O valor da funcao no ponto e o limite bilateral deve ser o mesmo.

7.3.5 Limites infinitos (do ponto informal)

Se os valores de f(x) crescem indefinidamente quando x tende a a, pela direita ou pelaesquerda, entao podemos escrever

limx→a+

f(x) = +∞, ou limx→a−

f(x) = +∞

conforme for apropriado, e dizemos que f(x) cresce sem limitacao para x → a+ ou x → a−.Analogamente, se o valor de f(x) decresce indefinidamente quando x tende a a pela direita oupela esquerda, entao escrevemos

limx→a+

f(x) = −∞, ou limx→a−

f(x) = −∞

conforme apropriado, e dizemos que f(x) decresce sem limitacao para x → a+ ou x → a−. Damesma forma, se ambos os limites laterais forem +∞, entao escrevemos

limx→a

f(x) = +∞

e se ambos os limites laterais sao iguais a −∞, entao escrevemos

limx→a

f(x) = −∞.

7.3. LIMITES: UMA INTRODUCAO INTUITIVA 79

7.3.6 Assıntota vertical

Uma reta x = a e chamada de assıntota vertical do grafico de uma funcao f se f(x) tende a+∞ ou −∞, quando x tende a a pela esquerda ou direita.

7.3.7 Limites no infinito (do ponto de vista informal)

Se os valores de f(x) ficam cada vez mais proximos de um numero L, a medida que x crescesem limitacao, entao escrevemos

limx→+∞

f(x) = L.

Analogamente, se os valores de f(x) ficam cada vez mais proximos de um numero L, amedida que x decresce sem limitacao, entao escrevemos

limx→−∞

f(x) = L.

7.3.8 Assıntota horizontal

Uma reta y = L e chamada de assıntota horizontal do grafico de uma funcao f se f(x)→ L,quando x→ +∞ ou x→ −∞.

7.3.9 Limite infinito no infinito (do ponto de vista informal)

Se os valores de f(x) crescem sem limitacao quando x→ +∞ ou x→ −∞, entao escrevemos

limx→+∞

f(x) = +∞ ou limx→−∞

f(x) = +∞.

Se os valores de f(x) decrescem sem limitacao quando x→ +∞ ou x→ −∞, entao escrevemos

limx→+∞

f(x) = −∞ ou limx→−∞

f(x) = −∞.


7.4 Exercıcios

1. Observe os graficos a seguir:

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−10

−5

0

5

10Gráfico I

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10Gráfico II

−20 −10 0 10 20−20

−10

0

10

20Gráfico III

0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

4

6Gráfico IV

Associe as funcoes seguintes aos seus respectivosgraficos. Justifique.

(a) F (x) = 4x3 − 22x2 + 40x− 25;

(b) G(x) =4

x+ 2;

(c) K(x) = 2 + ex;

(d) L(x) = x senx.

2. Reconsidere as funcoes do exercıcio 1. Expliquecomo cada funcao pode ser interpretada como re-sultado de operacoes com funcoes mais simples.

3. Reconsidere mais uma vez as funcoes do exercı-cio 1. Determine os seguintes limites:

(a) limx→0

F (x)

(b) limx→−∞

F (x)

(c) limx→−2

G(x)

(d) limx→+∞

G(x)

(e) limx→−∞

G(x)

(f) limx→+∞

K(x)

(g) limx→−∞

K(x)

(h) limx→0

K(x)

(i) limx→0

L(x)

(j) limx→+∞

L(x)

(k) limx→π

2

L(x)

4. Supoe-se que a populacao de uma certa comu-nidade urbana, daqui a t anos, sera de P (t) =

20− 6

t+ 1milhares de habitantes.

(a) Expresse P como uma soma de duas fun-coes.

(b) Explique como podemos interpretar a fun-cao P como uma translacao de uma funcaoracional.

(c) Qual e a populacao atual dessa comuni-dade?

(d) Daqui a 5 anos, qual sera a populacao dacomunidade?

(e) De quanto a populacao crescera durante o5o ano?

(f) Quanto crescera a populacao nos primeiros5 anos?

(g) Qual sera a media de crescimento anual dapopulacao nos primeiros 5 anos?

(h) Nos 5 anos seguintes aos 5 primeiros, qualsera a media de crescimento anual da po-pulacao?

(i) A medida que o tempo passa, o crescimentoda populacao ficara mais rapido ou maislento?

(j) Com o passar do tempo, o que aconteceraao tamanho da populacao? Apresente ar-gumentos em termos do limite da funcaodada, para valores cada vez maiores de t.

(k) Desenhe o grafico de P , identificando e co-mentando sobre os ıtens anteriores.

5. Observe os graficos a seguir:

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

Associe as funcoes seguintes aos seus respectivosgraficos. Justifique.

(a) f(x) =√x;

(b) g(x) =√x− 2;

(c) h(x) =√x− 2;

(d) i(x) = −√x.

6. Reconsidere as funcoes do exercıcio 5. Expliquecomo os graficos de g, h, e i podem ser obtidos apartir do grafico de f .

7. Í Como uma situacao peculiar na construcao defuncoes algebricas, merece mais uma vez nossaatencao especial, e uma boa discussao, o cuidadocom o domınio de uma funcao. Desenhe, comum recurso grafico computacional, o grafico dasfuncoes a seguir, obtidas por divisao entre doispolinomios:

(a) f1(x) =2x2 + 2x− 24

x+ 4;

(b) f2(x) =x4 + 4x3 + x2 − 6x

x2 + 3x.

Procure argumentos que expliquem a forma decada grafico e redesenhe-os, complementando aexpressao geometrica “obscura” na calculadoraou computador.

8. No exercıcio anterior temos funcoes cujos graficosnao sao linhas contınuas, pois apresentam “fu-ros”, caracterizando o que chamamos de funcoesdescontınuas.

(a) Por que, usando a linguagem das funcoes,essas funcoes sao descontınuas? Procurenum livro de Calculo por funcoes contı-nuas. Lembre do ındice remissivo.

7.4. EXERCICIOS 81

(b) Que outras situacoes podem causar a des-continuidade de uma funcao num ponto?Faca uma descricao grafica dessas situa-coes. Procure por descontinuidade finita,descontinuidade infinita e descontinuidadeoscilante.

9. A partir dos grafico a seguir, justifique a descon-tinuidade, em x = 2, para cada uma das funcoesf , g, p e q.

−4 −2 0 2 40

5

10

15y = f(x)

−2 0 2 4 60

2

4

6

8

10y = g(x)

0 1 2 3 4−5

0

5

10y = p(x)

0 1 2 3 4−5

0

5

10

15y = q(x)

10. Encontre as expressoes para as funcoes f e g cu-jos graficos estao representados a seguir.

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

x

y

y = f(x)

y = g(x)

11. Desenhe o grafico de uma funcao f que satisfacaas seguintes condicoes:

(a) f e contınua em toda parte;

(b) f e positiva em (−∞, 5) e negativa em(5,+∞);

(c) f e crescente em (−∞, 2) e decrescente em(5,+∞);

(d) f possui apenas um zero.


(a) f e contınua em toda parte;

(b) 4 e zero de f;

(c) A imagem de 0 e 2;

(d) limx→−∞

f(x) = 0;

(e) limx→+∞

f(x) = 1.


(a) f descontınua apenas em x = 2;

(b) f(2) = 4;

(c) limx→2−

f(x) = +∞;

(d) limx→2+

f(x) = −∞.

14. Sejam f(x) = x2 e g(x) = 3x − 1. Calcule osseguintes valores:

(a) f(2) + g(2)

(b) f(2)− g(2)

(c) f(2)× g(2)

(d) f(2)/g(2)

(e) f(g(2))

(f) g(f(2))

15. Responda aos mesmos itens do exercıcio 14,agora considerando f(x) = 3e−x e g(x) = 1+lnx

16. Suponha que f e g sejam dadas por seus graficos:

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y =

f(x)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

x

y =

g(x

)

Avalie:

(a) f(g(0));

(b) g(f(−2));

(c) f(f(2));

(d) g(g(−1)).

17. Se f(t) = t2 − 1 e g(t) = 3t + 2 e h(t) = ln tdetermine as expressoes algebricas de:

(a) f(t− 4);

(b) f(t)− 4;

(c) h(f(t) + g(t));

(d) f(g(t));

(e) (f h)(t);

(f) (h f g)(t).

18. Considere as funcoes

f(x) =√x2 + 1 e g(x) =

√4− x2.

(a) Determine Dom(f) e Dom(g).


(b) Desenhe os graficos de f e g.

(c) Determine Dom(f g) e Dom(g f).

(d) Desenhe os graficos de f g e g f .

19. Responda as mesmas questoes do exercıcio ante-rior, considerando as funcoes

f(x) =√x2 + 5 e g(x) =

√4− x2.

20. Para cada uma das funcoes y = f(x) mostra-das a seguir, efetue uma decomposicao y = f(u),u = g(x).

(a) y = (x− 3)3

(b) y = cos(2x− 1)

(c) y = e3x+1

(d) y =√x2 + 1

21. Um balao esferico esta sendo inflado a uma taxaconstante de π cm3

/s. Expresse o raio r do balao(em centımetros) em funcao do tempo t (em se-gundos). Sugestao: Determine as expressoes deV (r) e V (t).

22. Considere a funcao dada por H(x) =√x2 + 1.

A curva de seu grafico e denominada hiperbole

e descreve, por exemplo, a borda da mancha deluz que uma lanterna (veja a figura a seguir) ouabajur (de borda circular) projeta na parede [5].

(a) Desenhe o grafico de H no intervalo −4 ≤x ≤ 4.

(b) Desenhe, no mesmo plano cartesiano, osgraficos das funcoes f(x) = x e g(x) = −x.

Observe que o grafico de H aproxima-se assinto-ticamente das retas dadas por f e g.

Capıtulo 8

Modelagem Matematica

8.1 Promovendo o Ajuste entre Dados e Funcoes

Nas ciencias em geral, na engenharia, na economia e mesmo nas ciencias humanas, frequen-temente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenomeno emtermos matematicos. Essa descricao comeca com

1. a identificacao das variaveis que sao responsaveis por mudancas do sistema, e

2. um conjunto de hipoteses razoaveis sobre o sistema.

As hipoteses incluem algumas leis empıricas que sao aplicaveis ao sistema. A estruturamatematica de todas essas hipoteses, ou o modelo matematico do sistema, e muitas vezes umafuncao, um sistema de equacoes, uma equacao diferencial. O que se espera de um modelomatematico e que ele tenha uma solucao consistente com o comportamento conhecido, fornecendoresultados e conclusoes valiosas, do sistema e nao uma representacao completamente precisa.

Neste capıtulo, veremos o processo de modelagem e muitos exemplos ilustrativos.

8.2 Modelos Matematicos

Geralmente, um modelo matematico pode nos ajudar a entender melhor um comportamentoou facilitar o planejamento para o futuro. Vamos pensar em um modelo matematico como umaconstrucao matematica estruturada para estudar um sistema do mundo real ou um compor-tamento que cause interesse. O modelo nos permite chegar a conclusoes matematicas sobre ocomportamento, conforme a ilustracao na Figura 8.1. Essas conclusoes podem ser interpretadas,e isso pode ajudar na tomada de decisoes nos planejamentos para o futuro.

8.3 Proporcionalidade

Como ja foi dito, a maioria dos modelos simplifica a realidade. Geralmente, os modelos so-mente conseguem se aproximar do comportamento do mundo real. Uma relacao muito poderosanesta simplificacao e a proporcionalidade.

Definicao 8.1 Duas variaveis y e x sao proporcionais (uma em relacao a outra) se uma esempre uma constante multipla da outra; isto e, se

y = kx

para alguma constante k diferente de zero.

83

84 CAPITULO 8. MODELAGEM MATEMATICA

Figura 8.1: Um fluxo do processo de modelagem, comecando com um exame dos dados do mundoreal.

Observe esta definicao e pense como fica o grafico de y(x).

A definicao significa que o grafico de y(x) fica ao longo de uma reta que passa pela origem.Essa observacao grafica e util para testar se uma dada colecao de dados assume razoavelmenteuma relacao de proporcionalidade. Se uma proporcionalidade for razoavel, o grafico de umavariavel em relacao a outra deve ser aproximadamente uma reta atraves da origem.

Exemplo 8.1 A resposta de uma mola a varias cargas deve ser modelada para se projetarum veıculo (como um tanque, caminhao de carga, utilitario ou carro de luxo) que respondaa condicoes de rodagem de uma maneira desejada. Realizamos uma experiencia para medir oalongamento y (em centımetros) de uma mola em funcao de um numero x de unidades de massacolocadas na mola. Os dados obtidos foram organizados na Tabela 8.1.

x (u. m.) y (cm)0 0,0001 2,2232 4,3713 6,7084 8,9695 11,1536 13,3127 15,5458 17,7609 19.98710 22,202

Tabela 8.1: Elongacao de uma mola em funcao da carga.

1. Elabore um modelo relacionando o alongamento da mola com o numero de unidades demassa.

2. Com que precisao seu modelo se ajusta aos dados?

8.4. PROPORCIONALIDADE INVERSA 85

3. Faca uma previsao do alongamento da mola para 13 unidades de massa. Voce esta segurosobre essa previsao?

Atividade 8.1 Quanto ainda anda um automovel depois que os freios sao acionados? Consi-dere os dados da Tabela 8.2, onde v e a velocidade do automovel (em quilometros por hora) ey e a distancia (em metros) necessaria para frear o automovel depois que os freios foram acio-nados. Elabore e avalie um modelo relacionando distancia de frenagem com velocidade. Qual o

x (km/h) 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120y (m) 10 14 20 27 34 42 52 62 73 86 99 114

Tabela 8.2: Distancia de frenagem em funcao da velocidade inicial de um automovel.

significado da constante de proporcionalidade neste no contexto do problema?

8.4 Proporcionalidade Inversa

De modo semelhante, diz-se que uma variavel y diz-se inversamente proporcional a umavariavel x, se houver uma constante positiva k (constante de proporcionalidade), tal que

y =k

x.

Uma vez que se supoe k positivo, como fica o grafico desta funcao? E, o que ocorre com avariavel y se:

1. dobramos o valor de x?

2. triplicamos o valor de x?

3. reduzimos x a metade?

Se y for inversamente proporcional a x, entao segue que o produto de y e x e constante, poisyx = k. Isto fornece uma forma vantajosa de identificar os modelos de proporcao inversa emdados experimentais.

Exemplo 8.2 A Tabela 8.3 mostra alguns dados experimentais.

x 0,80 1,00 2,50 4,00 6,25 10,00y 6,25 5,00 2,00 1,25 0,80 0,50

Tabela 8.3: Dados experimentais.

1. Explique por que os dados sugerem que y e inversamente proporcional a x.

2. Expresse um modelo de y como funcao de x.

3. Desenhe o grafico da funcao e dos dados na mesma janela para x ≥ 0.

4. De que fenomeno poderiam ser esses dados?

Atividade 8.2 Os modelos envolvendo proporcao inversa aparecem em varias leis da Fısica.Um exemplo e a lei de Boyle, que estabelece que a uma temperatura constante, a pressao Pexercida por uma quantidade fixa de gas e inversamente proporcional ao volume V ocupado pelogas, isto e,

P =k

V.


1. Determine as unidades apropriadas para a constante k se a pressao (que e forca por unidadede area) for dada em newtons por metro quadrado (N/m2) e o volume em metros cubicos(m3).

2. Determine k se o gas exercer uma pressao de 20 000 N/m2 quando o volume e 1 litro (1 L= 0,0001 m3).

3. Calcule uma tabela de valores e mostre as pressoes para volumes de 0,25; 0,5; 1,0; 1,5 e2,0 litros.

4. Desenhe o grafico de P (V ).

8.5 Ajustando uma Funcao Linear a Dados

Uma companhia quer entender a relacao entre a quantia gasta em propaganda p, e as vendastotais, v. Os dados que coletam poderiam ser como os da Tabela 8.4.

p (× 1000 R$) 3 4 5 6v (× 1000 R$) 100 120 140 160

Tabela 8.4: Propaganda e vendas: relacao linear.

Observe que os dados na Tabela 8.4 sao lineares, de modo que e facil achar uma funcao parase ajustar a ela. A inclinacao da reta e 20 e podemos determinar que o intercepto vertical e 40(como?), e assim a reta e

v = 40 + 20p.

Suponhamos agora que os dados coletados pela companhia sejam os mostrados na Tabela 8.5.

p (× 1000 R$) 3 4 5 6v (× 1000 R$) 105 117 141 152

Tabela 8.5: Propaganda e vendas: relacao nao-linear.

Agora, os dados nao sao lineares. Em geral, e difıcil achar, analiticamente, uma funcaoque se ajuste exatamente aos dados. Devemos nos satisfazer com uma funcao que de uma boaaproximacao.

Os dados na Tabela 8.5 foram marcados na Figura 8.2.

A relacao nao e linear, pois nem todos os dados correspondem a pontos colineares. Mas e“quase” linear e e bem aproximada pela relacao

v = 40 + 20p.

A Figura 8.3 mostra essa reta e os dados.

8.6 A Reta de Regressao

Existe uma reta que se ajuste a dados melhor que a da Figura 8.2? Se sim, como acha-la?O processo de ajustar uma reta a um conjunto de dados chama-se regressao linear e a retade melhor ajuste chama-se a reta de regressao. Para uma justificativa sobre o significado demelhor ajuste, ver secao 8.11. Muitas calculadoras e programas de computador calculam a retade regressao a partir de pontos dados.

8.7. AJUSTANDO UM MODELO EM UM CONJUNTO DE DADOS 87

3 4 5 6100

110

120

130

140

150

160

p (x R$ 1000)

v (x

R$

1000

)

Figura 8.2: Dados de vendas da Tabela 8.5.

Alternativamente, a reta de regressao pode ser avaliada marcando os pontos sobre papel eajustando “a olho” uma reta. Para os dados na Tabela 8.5 a reta de regressao e

v = 54,5 + 16,5p.

Essa reta e tracada e os dados marcados na Figura 8.4.

8.7 Ajustando um modelo em um conjunto de dados

Calculadoras e computadores podem fazer regressao linear, regressao exponencial, regressaologarıtmica e regressao quadratica. No nosso caso especıfico, a calculadora HP48 pode usarqualquer um dos quatro modelos gerais de regressao a seguir na tentativa de quantificar arelacao entre os dados em duas colunas a partir da matriz estatıstica atual (Σ DAT).

Linear Fit y = b+mx

Logarithmic Fit y = b+m lnxExponential Fit y = bemx ou ln y = ln b+mx

Power Fit y = bxm ou ln y = ln b+m lnx

Para cada um desses modelos gerais a ferramenta de regressao encontra um intercepto verticalb e uma inclinacao m que correspondem ao ajuste de mınimos quadrados para aquele modelo(Ver secao 8.11). Alem disso, calcula e retorna a covariancia (da amostra ou populacional) e ocoeficiente de correlacao para a regressao.

ê usando a tecnologia: Muitas calculadoras cientıficas possuem recursos para efetuar regressao linear

(e outros tipos de ajuste) a um conjunto de dados. Leia o manual de sua calculadora e verifique se ela possui

tal recurso. ♦

8.8 Uso da reta de regressao para fazer previsoes

Agora que temos uma expressao para a funcao de vendas, podemos usa-la para fazer pre-visoes. Por exemplo, para prever as vendas totais se forem gastos R$ 3500,00 em propaganda,ponha p = 3.5 na reta de regressao

v = 54,5 + 16,5(3,5) = 112.25


3 4 5 6100

110

120

130

140

150

160

p (x R$ 1000)

v (x

R$

1000

)

Figura 8.3: A reta v = 40 + 20p e os dados da Tabela 8.5.

A reta de regressao prediz vendas de R$ 112,25 (×1000). Para ver que isto e razoavel,compare com as entradas na Tabela 8.4. Quando p = 3, temos v = 105 e quando p = 4, temosv = 117. Vendas previstas de v = 112,25 quando p = 3,5 fazem sentido, porque estao entre 105e 117. E claro que se gastassemos R$ 3 500,00 em propaganda, provavelmente as vendas naoseriam exatamente de R$ 112 250 000,00. A funcao de regressao nos permite fazer previsoes, masnao fornece resultados exatos.

Exemplo 8.3 Faca uma previsao das vendas totais com despesas de propaganda de R$ 4 800,00e R$ 10 000,00.

Atividade 8.3 A Tabela 8.6 mostra o Produto Interno Bruto per capita do Brasil em anosrecentes.

Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005PIB p. c. (R$) 5 771 6 430 6 896 7 631 8 694 9 729 10 520

Tabela 8.6: Produto Interno Bruto per capita do Brasil. Fonte: IBGE [7].

1. Marque esses dados, com o PIB no eixo vertical. Uma reta se ajusta razoavelmente bem aesses dados?

2. Ache a reta de regressao para estes dados e desenhe seu grafico junto com os dados.

3. Use a reta de regressao para avaliar o PIB em 2005 e em 2020. Em qual estimativa vocetem mais confianca? Por que?

8.9 Interpretacao da inclinacao da reta de regressao

Voce deve lembrar que a inclinacao de uma funcao linear e a variacao da variavel dependentedividida pela variacao da variavel independente. Para a reta de regressao de vendas e propa-ganda, a inclinacao e 16,5. Isto nos diz que v cresce de cerca de 16,5 sempre que p aumental,0. Se as despesas de propaganda aumentarem de R$ 1 000,00 as vendas crescerao cerca de R$16 500,00. De modo geral, a inclinacao nos diz qual a variacao a esperar na variavel dependentepara uma variacao de uma unidade na variavel independente.

8.10. REGRESSAO QUANDO A RELACAO NAO E LINEAR 89

3 4 5 6100

110

120

130

140

150

160

p (x R$ 1000)

v (x

R$

1000

)

Figura 8.4: A reta de regressao v = 54,5 + 16,5p e os dados da Tabela 8.5.

Atividade 8.4 Uma companhia coletou os dados exibidos na Tabela 8.7, sobre o custo da pro-ducao C em funcao da quantidade q de produto produzidos. Determine a reta de regressao einterprete a inclinacao dessa reta.

q (unidades) 25 50 75 100 125C (R$) 500 625 689 742 893

Tabela 8.7: Custo para produzir varias quantidades do produto.

8.10 Regressao Quando a Relacao Nao e Linear

Por algum motivo, talvez queiramos predizer o tamanho futuro de uma populacao, como onumero de trutas ou bagres vivendo em uma propriedade onde se criam peixes. A Figura 8.5mostra um grafico da biomassa m (em gramas) de uma cultura de celulas de levedura medidascrescendo em um nutriente ao longo do tempo t (em horas) conforme R. Pearl (1927) [18].

t (h) m (g)0 9,61 18,32 29,03 47,24 71,15 119,16 174,67 257,3

Tabela 8.8: Cultura de celulas de levedura.

Os dados relativos a Figura 8.5 parecem lineares? Nao, na verdade. Para achar a melhorfuncao para um conjunto de dados, o primeiro passo e por os dados num grafico e identificar afamılia de funcoes adequada. Colocando-se em um sistema de coordenadas cartesianas os pontos,nota-se que eles parecem estar em uma curva lisa com uma tendencia ascendente. Podemostentar captar essa tendencia ajustando um polinomio (por exemplo, uma curva quadratica y =ax2 + bx+ c), uma curva de potencia

(y = axb

)ou uma curva exponencial

(y = aebx

).


0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

300

t (h)

m (

g)

Figura 8.5: Biomassa de uma cultura de levedura em funcao do tempo.

O modelo quadratico y = 6,10x2 − 9,28x + 16,43 parece ajustar-se razoavelmente bem aosdados coletados como mostra a Figura 8.6. Usando esse modelo, predizemos que, depois de 17horas, a populacao sera y(17) = 1 622,65. Vamos examinar melhor os dados de Pearl para verse nosso modelo quadratico continua a ser uma boa escolha.

0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

300

t (h)

m (

g)

Figura 8.6: Sobreposicao dos dados e do modelo quadratico.

Na Tabela 8.9, apresentamos todos os dados coletados de Pearl. Agora voce ve que a predicaode y(17) = 1 622,65 superestima precariamente a populacao observada de 659,6. Por que omodelo quadratico falhou ao predizer um valor mais exato?

O problema novamente esta no perigo de fazer previsoes alem do conjunto de dados usadospara elaborar o modelo empırico. (A faixa de dados que permitiu criar nosso modelo foi 0 ≤x ≤ 7.) Esse tipo de extrapolacao e especialmente perigosa quando o modelo escolhido nao estabaseado em algum fundamento racional que sugira a forma do modelo. (Em nosso exemplo dalevedura, por que esperarıamos uma funcao quadratica como base do crescimento populacional?Por que nao uma funcao exponencial?). Em vista disso, como entao podemos predizer os valoresfuturos?

8.11. COMO FUNCIONA A REGRESSAO: O QUE SIGNIFICA “MELHOR AJUSTE” 91

t (h) mo (g) yp (g)0 9,6 16,41 18,3 13,32 29,0 22,33 47,2 43,54 71,1 77,05 119,1 122,66 174,6 180,57 257,3 250,68 350,7 332,89 441,0 427,310 513,3 534,011 559,7 652,912 594,8 784,013 629,4 927,314 640,8 1 082,915 651,1 1 250,616 655,9 1 430,517 659,6 1 622,718 661,8 1 827,0

Tabela 8.9: Cultura de celulas de levedura. Dados completos.

Atividade 8.5 No caso anterior, do crescimento populacional das leveduras, determine a curvade regressao que melhor se ajusta aos dados de Pearl, gere o grafico dessa funcao e analise oque acontece com a populacao passados dois ou tres dias.

8.11 Como funciona a regressao: o que significa “melhor ajuste”

Frequentemente o modo mais facil de ajustar uma reta a um conjunto de dados e marcaros pontos dos dados e depois ajustar a reta “a olho”. Mas e mais exato que uma calculadoraou computador forneca a reta de melhor ajuste. Como e que uma calculadora (ou computador)determina qual reta e a melhor?

A Figura 8.8 ilustra como fazem. Note que estamos assumindo que o valor de y tem algumarelacao com o valor de x embora outros fatores possam tambem influir sobre y. Assim, assumimosque podemos tomar o valor de x exatamente, mas que o valor de y pode ser determinado apenasparcialmente por esse valor de x.

Uma calculadora ou computador acha a reta que minimiza a soma dos quadrados das dis-tancias verticais entre os pontos dados e a reta. Uma tal reta e mostrada na Figura 8.8 e sechama reta dos quadrados mınimos. Existem tecnicas diretas para calcular a inclinacao m e b,o intercepto vertical, da reta dos mınimos quadrados para um determinado conjunto de dados.A reta dos mınimos quadrados tambem e chamada a reta do melhor ajuste.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

200

400

600

800

1000

1200

1400

t (h)

m (

g)

m observado

m previsto

Figura 8.7: Os dados completos de Pearl.

Figura 8.8: Um determinado conjunto de dados e a correspondente reta de regressao dos mınimosquadrados.

8.12. EXERCICIOS 93

8.12 Exercıcios

1. O grafico a seguir mostra a concentracao C demoleculas de Dioxido de Carbono (CO2) presen-tes na atmosfera (em partes por milhao, ppm) aolongo dos ultimos 250 anos [9].

Folhas do aluno página 6

Aqueciemento global Science Across Europe [P] © ASE/BP 1999

ano

360

350

340

330

320

310

300

290

280

2701700 1800 1900 2000

A Figura 5 mostra como variou a quantidade do dióxido de carbono desde 1750. Pode ver seque a quantidade do dióxido de carbono aumentou bastante rapidamente. Tal deve-seprovavelmente à queima dos combustíveis fósseis desde que o mundo se tornouindustrializado.

dióxido de carbono

Figura 5: Quantidade de dióxido de carbono na atmosfera desde 1750(Medidas em bolhas de ar retidas no gelo da Antártida.)

Como pode ver-se da Tabela 1, o dióxido de carbono não é o único gás de estufa. O vapor deágua também é um gás de estufa e, devido à sua quantidade, tem um efeito global muitosuperior ao do dióxido de carbono. Contudo, a quantidade global do vapor de água não ésignificativamente afectada pelas actividades humanas, relativamente às quais as emissõessão pequenas, quando comparadas com as emissões naturais (da evaporação dos oceanos,etc.). Além disso, no ciclo da água remove-se muito do vapor de água extra existente naatmosfera a baixa altitude.

Mas também precisamos de nos preocupar com outros gases na tabela, porque todos eles sãogases de estufa e a quantidade de todos eles na atmosfera está a aumentar – contribuindopara um aumento do efeito de estufa e originando possivelmente o aquecimento global.

(a) A partir das informacoes graficas, deter-mine a taxa de variacao media anual de Centre os anos de 1800 e 1900 e entre 1900 e2000. Interprete a unidade de medida ob-tida.

(b) Uma funcao de ajuste que modela os dadose dada por

C(t) = 272,27× 1,0026t,

onde t e tempo (em anos) a partir de 1900.Qual e a concentracao prevista pelo modelopara o ano de 2010?

2. A Tabela a seguir mostra os valores da concen-tracao C de Dioxido de Carbono medidos no ob-servatorio de Mauna Loa (Hawaii, EUA) entre osanos de entre 1960 e 1990 [4, p. 67].

Ano C (ppm)

1960 316,8

1965 319,9

1970 325,3

1975 331,0

1980 338,5

1985 345,7

1990 354,0

(a) Verifique que os dados da tabela conferemcom os do grafico do exercıcio anterior.

(b) A partir dos dados da tabela, determineuma reta de ajuste para a concentracao deCO2 na atmosfera em funcao do tempo t,contado a partir de 1960.

(c) Faca uma estimativa para a concentracaode CO2 para o ano de 2010. Compare esseultimo resultado com a estimativa feita noexercıcio anterior. Os valores diferem sig-nificativamente?

3. Custos crescentes de tratamento de saude saouma preocupacao contınua. A Tabela a seguirmostra as despesas medicas por pessoa por ano,para varios anos.

Ano Despesa

1970 349

1975 591

1980 1 055

1985 1 596

1990 2 714

(a) Parece-lhe que um modelo linear ou expo-nencial se ajusta melhor aos dados?

(b) Determine uma expressao para a funcao deregressao que voce decidir que e melhor.

(c) Represente, no mesmo grafico, a funcaojunto com os dados e avalie quao bem afuncao se ajusta aos dados.

4. A Tabela a seguir mostra o numero de automo-veis de passageiros no Brasil entre 1950 e 1995[8].

Ano Automoveis

1950 426 621

1960 987 613

1970 3 111 890

1980 10 731 695

1990 15 932 848

1995 25 336 260

(a) A partir dos dados da Tabela, desenhe umgrafico, sendo numero de automoveis a va-riavel dependente.

(b) Usando uma funcao linear, faca uma esti-mativa do numero de automoveis ano 2010.

(c) Interprete a inclinacao da reta de regressaoencontrada no item anterior.

(d) Usando uma funcao exponencial, faca umaestimativa do numero de automoveis ano2010. Compare essa estimativas com a ob-tida com a funcao linear.

(e) Qual e a taxa anual de crescimento relativo(em percentual) no numero de automoveissegundo o modelo exponencial?

5. A Tabela a seguir mostra o numero de vıtimasfatais em acidentes de automovel ocorridos noBrasil entre os anos de 1961 a 2000 [13, p. 9].

Ano Vıtimas

1961 3.356

1971 10.692

1981 19.782

1991 23.332

2000 20.049

(a) A partir dos dados, desenhe um graficosendo o numero de vıtimas fatais a variaveldependente.


(b) Qual modelo lhe parece ajustar-se melhoraos dados: linear ou exponencial? Encon-tre as funcoes de ajuste para cada caso.

6. Use os dados das Tabelas dos exercıcios anterio-res e determine a relacao entre vitimas fatais emacidentes de transito e a frota de automoveis. Oque mostra essa relacao?

7. Graficos de varios dados sao mostrados na Fi-gura a seguir. Em cada caso, indique se a melhorfuncao de ajuste para os dados parece ser linear,exponencial ou polinomial.

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5Gráfico I

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5Gráfico II

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5Gráfico III

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5Gráfico IV

8. A Tabela a seguir da a area de floresta destruıdapela chuva acida [20, p. 131].

Ano Area (×106 ha)

1960 2,21

1970 3,79

1980 4,92

1988 5,77

(a) Desenhe um grafico com esses dados.

(b) Os dados sao crescentes ou decrescentes?Concavos para cima ou para baixo? Emcada caso, interprete sua resposta.

(c) Use a sua calculadora para ajustar umafuncao logarıtmica a esses dados.

(d) Use a curva que voce obteve no item ante-rior para predizer quanta floresta sera des-truıda pela chuva no ano 2000.

9. Verifique se os dados a seguir sustentam a pro-porcionalidade admitida. Se a hipotese parecerrazoavel, entao estime a constante de proporcio-nalidade.

(a) y e proporcional a x.

y x

1 5,9

2 12,1

3 17,9

4 23,9

5 29,9

6 36,2

7 41,8

8 48,2

(b) y e proporcional a x12 .

y x

3,5 3

5 6

6 9

7 12

8 15

(c) y e proporcional a 3x.

y x

5 0

15 1

45 2

135 3

405 4

1 215 5

3 645 6

10 935 7

(d) y e proporcional a 3x.

y x

2,0 2

4,8 5

5,3 6

6,5 9

8,0 14

10,5 35

14,4 120

15,0 150

10. A Digoxina e usada no tratamento de doencascardıacas. Os medicos devem prescrever umaquantidade que mantenha a concentracao de di-goxina circulante acima de um nıvel efetivo semultrapassar um nıvel seguro. Comece conside-rando a taxa de decaimento da digoxina na cor-rente sanguınea. Suponha que uma dose inicialde 0,5 mg esteja na circulacao. Na tabela se-guinte, x representa o numero de dias depois detomar a dose inicial e y representa a quantidadede digoxina remanescente na corrente sanguıneapara um dado paciente.

x y

0 0,500

1 0,345

2 0,238

3 0,164

4 0,113

5 0,078

6 0,054

7 0,037

8 0,026

(a) Elabore um modelo relacionando a quan-tidade de digoxina na corrente sanguıneacom o numero de dias decorridos.

(b) Com que precisao seu modelo se ajusta aosdados?

(c) Faca uma previsao da quantidade de di-goxina na corrente sanguınea depois de 12dias.

11. Com o passar do tempo, a concentracao sanguı-nea de um medicamento ministrado a animais delaboratorio decresce. A concentracao, em partespor milhao (ppm), aparece na tabela a seguir.

8.12. EXERCICIOS 95

Tempo (dias) Concentracao (ppm)

0 853

1 587

2 390

3 274

4 189

5 130

6 97

7 67

8 50

9 40

10 31

(a) Elabore um modelo matematico relacio-nando nıvel de concentracao e tempo de-corrido.

(b) Compare as observacoes com as previsoes.

(c) Desenhe o grafico da funcao.

(d) Use seu modelo para prever quando o nıvelda concentracao estara a seguir de 10 ppm.

12. De cada um dos cenarios seguintes descritos ge-nericamente, escolha um problema que voce gos-taria de estudar. Quais variaveis afetam o com-portamento que voce escolheu? Quais variaveissao as mais importantes?

(a) O crescimento populacional de uma unicaespecie.

(b) Um objeto cai de uma grande altitude.Quando e como ele atingira o solo?

(c) Com que velocidade um esquiador podedescer a encosta de uma montanha?

(d) Um cientista esta interessado em estudaras propriedades da luz. Ele quer entendero caminho do raio de luz quando deixa oar e entra em um lago tranquilo, particu-larmente na interface dos dois meios.

(e) A Agencia Nacional de Vigilancia Sanitaria(ANVISA) quer saber se um novo medica-mento e efetivo no controle de uma certadoenca na populacao.

(f) Uma loja de varejo pretende construir umnovo estacionamento. Como ele deveria seriluminado?

13. Um estudo do crescimento de certa bacteria da acontagem de celulas apresentada a seguir:

Tempo (h) Celulas

0 597

2 893

4 1339

6 1995

8 2976

10 4433

12 6612

14 9865

16 14719

18 21956

20 32763

(a) Elabore um modelo matematico relacio-nando a contagem de celulas com o tempodecorrido.

(b) Compare as observacoes com as previsoes,desenhando o grafico da funcao junto comos dados.

(c) Use o modelo para prever quando a conta-gem atingira 50 000 celulas.

14. A tabela a seguir fornece a quantidade N de bol-sas de iniciacao cientıfica (BIC) distribuıdas en-tre os estudantes da UCS em anos recentes [17,p. 174].

t (ano) N (bolsas)

2000 1552001 1362002 1802003 2812004 2502005 267

(a) Encontre o polinomio p(t) de ajuste degrau 2 (bolsas × tempo).

(b) Use o polinomio de ajuste para prever onumero de bolsas distribuıdas no ano de2006.

15. A eficiencia media para combustıvel (em milhaspor galao de gasolina) de carros americanos de-clinou ate as decadas de 60 e 70 e entao comecoua subir, quando a industria comecou a fazer car-ros de maior eficiencia para combustıvel. Veja atabela a seguir [20, p. 91].

Ano Media (mi/gal)

1940 14,8

1950 13,9

1960 13,4

1970 13,5

1980 15,5

1986 18,3

(a) Desenhe o grafico de dispersao dos dados.Qual famılia de funcoes deveria ser usadapara modelar esses dados: linear, exponen-cial, logarıtmica, funcao potencia, ou po-linomio? Se um polinomio, diga qual ograu e se o coeficiente principal e positivoou negativo.

(b) Use regressao para ajustar aos dados o me-lhor polinomio quadratico; desenhe o gra-fico da funcao obtida junto com os dados.

(c) Usando o modelo obtido, qual seria a me-dia de consumo dos carros americanos em2005?

16. A capacidade de processamento dos computado-res pessoais (PC) tem aumentado continuamentedesde o inıcio da era da Microeletronica. Essacapacidade esta intimamente relacionada com aquantidade transistores colocados dentro de cadamicroprocessador. A tabela a seguir mostra aquantidade de transistores montados dentro decada modelo de microprocessador fabricado pelaempresa Intel [16].


Ano Nome Transistores

1971 4004 2 300

1972 8008 3 500

1974 8080 6 000

1978 8086 29 000

1982 286 134 000

1985 386 275 000

1989 486 1 200 000

1993 Pentium 3 200 000

1997 Pentium II 7 500 000

1999 Pentium III 28 000 000

2000 Pentium 4 42 000 000

2003 Itanium 2 410 000 000

Este crescimento segue aproximadamente ummodelo exponencial e e conhecido como Lei deMoore1.

(a) Desenhe o grafico de dispersao dos dados.

(b) Ajuste uma funcao exponencial aos dados.

(c) Usando o modelo obtido, faca uma estima-tiva para o numero de transistores em ummicroprocessador em 2010.

17. A tabela a seguir, adaptada de [21, p. 305], mos-tra a fracao p (em porcentagem) de luz polarizadarefletida por uma superfıcie em funcao do angulode incidencia θ (em graus).

θ () p (%)

50 2,40

52 1,15

54 0,30

56 0,05

58 0,25

60 1,05

62 2,30

(a) Desenhe o grafico de dispersao dos dados.

(b) Ajuste uma funcao polinomial (de grau 2)aos dados.

(c) Usando o modelo obtido, faca uma estima-tiva para o angulo θB no qual a fracao deluz polarizada e mınima. Na Optica, esseangulo e conhecido como angulo de Brews-ter2 [11, p. 31].

18. A tabela a seguir fornece a energia eletrica, emkilowatt-hora (kWh), consumida no perıodo de12 meses em uma residencia.

Mes Consumo

Jan 159

Fev 148

Mar 176

Abr 203

Mai 250

Jun 230

Jul 289

Ago 291

Set 314

Out 256

Nov 220

Dez 192

(a) Desenhe o grafico de dispersao dos dados(consumo em funcao do mes).

(b) Ajuste uma funcao polinomial (de grau 3)aos dados.

(c) Determine os meses nos quais o valor dopolinomio de ajuste mais se aproxima emais se afasta do valor consumido.

1ÿGordon Earle Moore (1929 – ) cientista norte-americano. Nasceu em San Francisco onde obteve o bachare-

lado em Quımica (1950, Universidade da California) e doutorado em Quımica e Fısica (1954, California Instituteof Technology - Caltech). Foi um dos pioneiros no desenvolvimento do circuito integrado. Em 1957, e co-fundadorda Fairchild Semiconductor. Em 1965, publica artigo [14] onde preve a forma de crescimento da capacidadecomputacional dos microprocessadores. Em 1968, e co-fundador da Intel Corporation onde permaneceu ativoate 1987. Dono de uma das grandes fortunas do mundo, em 2001 doa 600 milhoes de dolares ao Caltech parainvestimentos em pesquisa e tecnologia. (Adaptado de [27])

2ÿDavid Brewster (1781 – 1868), fısico escoces. Estudioso dos fenomenos opticos, descobriu o efeito da bi-

refringencia causada pela compressao de alguns solidos isotropicos. Estudou tambem aspectos da polarizacao daluz, especialmente quando refletida em superfıcies de materiais dieletricos e metalicos.

Apendice A

Formulas uteis e de emergencia

O Binomio de Newton

O binomio de Newton e tao belo como a Venus de Milo.O que ha e pouca gente para dar por isso.oooo - oooooo - ooo - ooooooo - oooooooo

(O vento la fora.)

Fernando Pessoa [19]

Segue uma brevıssima colecao de formulas que podem ser uteis na resolucao de exercıcios.Uma colecao (muito) maior e abrangente pode ser obtida em Manuais de Formulas como [22].

A.1 Produtos especiais e fatoracao

Alguns produtos especiais:

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 (A.1)

(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (A.2)

(x+ y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (A.3)

(x− y)2 = x2 − 2xy + y2 (A.4)

(x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (A.5)

(x− y)4 = x4 − 4x3y + 6x2y2 − 4xy3 + y4 (A.6)

Os produtos dados por (A.1) a (A.6) sao casos especiais da formula binomial

(x+ y)n =n∑k=0

(n

k

)xn−kyk, (A.7)

onde (n

k

)=

n!k!(n− k)!

. (A.8)

Algumas fatoracoes especiais:

x2 − y2 = (x− y)(x+ y) (A.9) x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2) (A.10)

97

98 APENDICE A. FORMULAS UTEIS E DE EMERGENCIA

A.2 Propriedades dos expoentes e logaritmos

Nas expressoes seguintes, b e um numero real positivo; p e q sao numeros reais e m e n saonumeros inteiros positivos. O numero b e denominado base, p e o expoente e bp e a p-esimapotencia de b.

bp · bq = bp+q (A.11)

bp/bq = bp−q (A.12)

(bp)q = bpq (A.13)

b0 = 1 (A.14)

b−p =1bp

(A.15)

(ab)p = apbp (A.16)

n√b = b1/n (A.17)

n√bm = bm/n (A.18)

n

√a

b=

n√a

n√b

(A.19)

Nas expressoes seguintes, a e c sao numeros reais positivos e b, numero real positivo, e a basedo logaritmo.

logb(ac) = logb a+ logb c (A.20)

logb(a

c) = logb a− logb c (A.21)

logb(ar) = r logb a (A.22)

logb 1 = 0 (A.23)

logb(1c

) = − logb c (A.24)

logb a =logc alogc b

(A.25)

A.3 Zeros de funcoes polinomiais de grau 2, 3 e 4

A.3.1 Funcao quadratica: f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0

O discriminante d e dado pord = b2 − 4ac. (A.26)

• Se d > 0, entao f possui dois zeros reais e distintos.

• Se d = 0, entao f possui dois zeros reais e iguais.

• Se d < 0, entao f possui dois zeros complexos conjugados.

Os zeros de f sao dados por

z1 =−b+

√b2 − 4ac

2a, (A.27)

z2 =−b−

√b2 − 4ac

2a. (A.28)

A.3. ZEROS DE FUNCOES POLINOMIAIS DE GRAU 2, 3 E 4 99

A.3.2 Funcao cubica: f(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0

Se a3, o coeficiente de x3, e diferente de 1, dividem-se todos os coeficientes por a3.

Sejam os valores auxiliares

q =3a1 − a2

2

9, r =

9a1a2 − 27a0 − 2a32

54, d = q3 + r2. (A.29)

• Se d > 0, entao f possui um zero real e dois zeros complexos conjugados.

• Se d = 0, entao f possui tres zeros reais e, pelo menos, dois iguais.

• Se d < 0, entao f possui tres zeros reais.


s =3

√r +√d, t =

3

√r −√d. (A.30)


z1 = s+ t− 13a2, (A.31)

z2 = −12

(s+ t)− 13a2 + i

√3

2(s− t), (A.32)

z3 = −12

(s+ t)− 13a2 − i

√3

2(s− t). (A.33)

A.3.3 Funcao quartica: f(x) = x4 + a3x3 + a2x

2 + a1x + a0

Se a4, o coeficiente de x4, e diferente de 1, dividem-se todos os coeficientes por a4.


t1 = −a3

4, t2 = a2

2 − 3a3a1 + 12a0, (A.34)

t3 =2a3

2 − 9a3a2a1 + 27a21 + 27a2

3a0 − 72a2a0

2, (A.35)

t4 =−a3

3 + 4a3a2 − 8a1

32, t5 =

3a23 − 8a2

48. (A.36)

E tambem

r1 =√t23 − t32, r2 = 3

√t3 + r1, r3 =

112

(t2r2

+ r2

), (A.37)

r4 =√t5 + r3, r5 = 2t5 − r3, r6 =

t4r4. (A.38)


z1 = t1 − r4 −√r5 − r6, (A.39)

z2 = t1 − r4 +√r5 − r6, (A.40)

z3 = t1 + r4 −√r5 + r6, (A.41)

z4 = t1 + r4 +√r5 + r6. (A.42)


A.4 Extremos locais de funcoes polinomiais de grau 2, 3 e 4

Se existirem extremos locais (maximos ou mınimos) em uma dada funcao polinomial de graun, suas abscissas se localizam nos zeros de uma funcao f ′ de grau n− 1 associada, denominadaderivada1 de f .

A abscissa do extremo local de f(x) = ax2 + bx+ c e o zero de

f ′(x) = 2ax+ b, (A.43)

isto e,

x = − b

2a. (A.44)

As abscissas x1 e x2 dos extremos locais de f(x) = c3x3 + c2x

2 + c1x+ c0 sao os zeros reaisde

f ′(x) = 3c3x2 + 2c2x+ c1. (A.45)

As abscissas x1, x2 e x3 dos extremos locais de f(x) = c4x4 + c3x

3 + c2x2 + c1x+ c0 sao os

zeros reais def ′(x) = 4c4x

3 + 3c3x2 + 2c2x+ c1. (A.46)

A.5 Valores notaveis das funcoes trigonometricas

θ (grau) θ (radiano) sen(θ) cos(θ) tg(θ) cotg(θ) sec(θ) cossec(θ)0 0 0 1 0 – 1 –30 π/6

12

12

√3 1

3

√3

√3 2

3

√3 2

45 π/412

√2 1

2

√2 1 1

√2

√2

60 π/312

√3 1

2

√3 1

3

√3 2 2

3

√3

90 π/2 1 0 – 0 – 1120 2π/3

12

√3 −1

2 −√

3 −13

√3 -2 2

3

√3

135 3π/412

√2 −1

2

√2 -1 -1 −

√2

√2

150 5π/612 −1

2

√3 −1

3

√3 −

√3 −2

3

√3 2

180 π 0 -1 0 – -1 –210 7π/6 −1

2 −12

√3 1

3

√3

√3 −2

3

√3 -2

225 5π/4 −12

√2 −1

2

√2 1 1 −

√2 −

√2

240 4π/3 −12

√3 −1

2

√3 1

3

√3 -2 −2

3

√3

270 3π/2 -1 0 – 0 – -1300 5π/3 −1

2

√3 1

2 −√

3 −13

√3 2 −2

3

√3

315 7π/4 −12

√2 1

2

√2 -1 -1

√2 −

√2

330 11π/6 −12

12

√3 −1

3

√3 −

√3 2

3

√3 -2

360 2π 0 1 0 – 1 –

A.6 Identidades trigonometricas

tg(a) =sen(a)cos(a)

(A.47)

cotg(a) =cos(a)sen(a)

=1

tg(a)(A.48)

sec(a) =1

cos(a)(A.49)

cossec(a) =1

sen(a)(A.50)

1O estudo das funcoes derivadas sera abordado em maior profundidade nas proximas disciplinas de Matematicade seu curso.

A.6. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 101

sen2(a) + cos2(a) = 1 (A.51)

sec2(a)− tg2(a) = 1 (A.52)

sen(a± b) = sen(a) cos(b)± cos(a) sen(b)(A.53)

cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sen(a) sen(b)(A.54)

tg(a± b) =tg(a)± tg(b)

1∓ tg(a) tg(b)(A.55)

Apendice B

Respostas dos Exercıcios

Capıtulo 1

1. (a) Dom(f) = R, Img(f) = R (b) Dom(g) = R,Img(g) = y ∈ R | y ≥ 0 (c) Dom(F ) = R,Img(F ) = y ∈ R | y ≥ −25/8 (d) Dom(G) =x ∈ R | x ≥ 0, Img(G) = y ∈ R | y ≥ 0;

−4 −2 0 2 4−12

−8

−4

0

4

8

12Gráfico de f

−4 −2 0 2 4−4

0

4

8

12

16

20Gráfico de g

−4 −2 0 2 4−4

0

4

8

12Gráfico de F

0 4 8 12 16−2

0

2

4Gráfico de G

2. (a) Dom(f) = x ∈ R | x 6= 6 (b) Dom(g) =x ∈ R | x < 3 (c) Dom(h) = x ∈ R | x 6=−2 ou x 6= 1/2 (d) Dom(F ) = x ∈ R | x ≤−2 ou x ≥ 1/2 (e) Dom(G) = x ∈ R | x <−2 ou x > 1/2 (f) Dom(H) = R;

3. Graficos a seguir;

−4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4Gráfico de f

−4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4Gráfico de g

−4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4Gráfico de F

−4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4Gráfico de G

4. Nao. Dom(f) = x ∈ R | x > 0 e Dom(g) =x ∈ R | x ≥ 0;

5. (a) Dom(r) = p ∈ R | p ≥ 0 (b) r(0) = 10 (c)r(5) = 20 (d) p = 4 (e) Grafico a seguir;

−1 0 1 2 3 4 5 6−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

p (1000 reais)

r (1

000

reai

s)

6. (a) Dom(C) = q ∈ Z, q ≥ 0 (b) R$ 2 012.00,R$ 14 000.00, R$ 26 000.00, R$ 38 000.00 (c)U(q) = 12 + 2000

q(d) R$ 2 012.00, R$ 14.00, R$

13.00, R$ 12.67 (e) Grafico a seguir (f) Mais de4 000 unidades

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

5

10

15

20

25

30

35

40

q (unidades)

U (

reai

s)

7. (a) Dom(C) = q ∈ Z, q > 0 (b) R$ 1 512.00,R$ 1 879.47, R$ 2 036.66, R$ 2 157.27 (c) U(q) =1500+12

√q

q(d) R$ 1 512.00, R$ 1.88, R$ 1.02, R$

0.72 (e) Grafico a seguir (f) Mais de 130 unida-des

103

104 APENDICE B. RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

0 500 1000 1500 2000 2500 3000−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

q (unidades)

U (

reai

s)

8. (a) Dom(T ) = n ∈ Z, n > 0 (b) 7 mi-nutos (c) 12a tentativa (d) O tempo diminui,aproximando-se de 3 minutos (e) Nao. Como12/n > 0, T (n) > 3

9. (a) Grafico a seguir (b) Grafico a seguir (c)u(t) = 120H(t)

−4 −2 0 2 4−0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

t

H(t

)

−4 −2 0 2 4−20

0

20

40

60

80

100

120

140

t (s)

u (V

)

10. Graficos a seguir

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4−3−2−1

01234

Gráfico de f

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4−3−2−1

01234

Gráfico de g

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4−3−2−1

01234

Gráfico de h

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4−3−2−1

01234

Gráfico de i

11. (a) V (q) =

8 q, 0 ≤ q < 36,4 q, t ≥ 3

(b) Grafico a

seguir (c) R$ 25,60 (d) 2,500 kg ou 3,125 kg;

−1 0 1 2 3 4 5 6 7−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

q

V(q

)

Capıtulo 2

1. (a) Crescente (b) (0, 0) (c) x = 0 (d) Grafico aseguir;

2. (a) Decrescente (b) (0, 0) (c) x = 0 (d) Graficoa seguir;



−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

f

g

h

i

5. (a) Crescente (b) (0,−4) (c) x = 2 (d) Graficoa seguir;

6. (a) Decrescente (b) (0, 1) (c) x = 1/3 (d) Graficoa seguir;

7. (a) Constante (b) (0, 3) (c) Nao existe (d) Gra-fico a seguir;

8. (a) Crescente (b) (0,−2/3) (c) x = 4/9 (d) Gra-fico a seguir;

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

F

G

H

I

9. A funcao e crescente (pois m = −5 < 0) e cortao eixo vertical em y = 3 (pois b = 3).

10. (a) f (linha contınua), g (linha tracejada), h (li-nha ponto-traco), i (linha pontilhada) (b) Todasas funcoes tem o mesmo valor de m;

11. (a) f (linha contınua), g (linha tracejada), h (li-nha ponto-traco), i (linha pontilhada) (b) Ponto(0, 1). Todas as funcoes tem o mesmo valor de b;

105

12. f (linha contnua), g (linha tracejada), h (linhaponto-traco), i (linha pontilhada)

13. (a) m = 1=2 (b) A(6; 0) e B (0; 3) (c) d = 3p

5;

14. (a) m = 5=3 (b) A( 3; 0) e B (0; 5) (c) d =p

34;

15. intercepto: ( 12=13; 45=13)

16. (a) y = 54 x 13

4 (b) x = 135 ;

17. (a) q(p) = 50p + 1000 (b) p(q) = 150 q + 20;

18. (a) C(q) = 2 000 + 5 q (b) f q 2 Z j q 0g (c)Graco a seguir;

19. (a) Graco a seguir (b) hA (2) = 3 cm, hB (2) =5 cm (c) Provavelmente a folhagem B (d) Sim,quando t = 0;

20. (a) L (T ) = 100 + 0 ;0017T (b) L T =

0;0017m= C . Em media, o comprimento do oaumenta 0;0017 m para cada aumento de 1 Cna temperatura (c) 100;051 m (d) 17;6 C(e)Graco a seguir;

21. (a) L (T ) = 0 ;00171T + 89 ;9829 (b) 1;9 10 5 ;

22. (a) U(i ) = 0;0223i + 18 ;70 (b) 9;78 V (c)233;18 mA (d) Graco a seguir;

23. (a) G(T ) = 0 ;15T + 27 ;95 (b) 32;45 (c) 55 C;

24. (a) SA (n) = 900 + 10 n, SB (n) = 440 + 30 n (b)SA (n): linha contnua, SB (n): linha tracejada(c) 1 090 reais(d) 26 programas (e) No mnimo24 programas;

25. (a) CBP (x) = 0 ;15x + 40, CBV (x) = 0 ;10x + 50(b) Graco a seguir (c) Se a distancia a ser per-corrida for maior que 200 quilometros, optar pelaBoa Viagem, caso contrario optar pela Bom Pas-seio;

26. (a) S(v) = 1 000 + 0 ;08v (b) R$ 1 400,00;

27. (a) S2(v) = 1 150+0 ;06v (b) Graco a seguir (c)(7500;1600). Esse ponto indica o valor das ven-das e o correspondente valor dos salarios quandoe indiferente em qual dos dois empregos o vende-dor trabalha (d) N~ao;

28. (a) CA (t) = 3 t, CR (t) = 0 ;30t + 25, CE (t) = 30(b) Graco a seguir (c) Se um estudante estaci-ona ate 9 dias por mes deve optar pelo pagamentoavulso, se usar de 10 a 16 dias deve optar peloregular, caso contrario optar pelo especial;


18. graficos a seguir;

−5 −2.5 0 2.5 5−5

−2.5

0

2.5

5

x

f(x)

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10

x

f(x)

0 2 4 6 8 10−20

−10

0

10

20

x

f(x)

0 2 4 6 8 10−50

−40

−30

−20

−10

0

10

x

f(x)

19. (a) grafico a seguir (b) 1, 1, 1 (c) A funcao econtınua em x = −1 (d) 4, 5, 4 (e) A funcao edescontınua em x = 3;

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

0

1

2

3

4

5

6

x

f(x)

20. (a) p = 8, q = 4/3 (b) grafico a seguir;

−1 0 1 2 3 4 5 6−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

x

f(x)

21. (a) A(x) = 18x2− 25

2x+625 (b) Dom(A) = 0 ≤

x ≤ 100, grafico a seguir (c) xmin = 50 cm;

−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

x (cm)

A (

cm2 )

22. (a) A(x) = 4+π16π

x2 − 252x + 625 (b) Dom(A) =

0 ≤ x ≤ 100, grafico a seguir (c) xmin =44,01 cm;

−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

x (cm)

A (

cm2 )

23. (a) grau 2 (a) Dom(f) = n ∈ N | n ≥ 1 (b)276 (c) n = 14, f(14) = 91;

24. (a) A(x) = 8x− 43x2 (b) Dom(A) = 0 ≤ x ≤ 6

(c) xmax = 3 cm, ymax = 12 cm;

25. 16 ou 48 macacos;

26. (x− 2)(x+ 2);

27. (x+ 1)(x− 1)(x− 2);

28. 2(x− 1)(x− 12)(x+ 1);

29. (x− 4)(x− 4)(x− 4)(x− 4);

30. x = 3,437× 10−5;

31. r = 4,0833× 10−2 = 4,0833%;

32. (a) Zeros: 7,4495; 2,5505, Precos para os quaiso lucro e zero (b) x = 5,7071; 4,2929 (c)xmax = 5,00;

Capıtulo 4

1. (a) Dom(f) = x ∈ R | x 6= 0, Zeros: −4, 4(b) Dom(g) = x ∈ R | x 6= 12, Zeros: 3, 4(c) Dom(u) = x ∈ R | x 6= 9/5, Zeros: 0 (d)Dom(v) = x ∈ R | x 6= 0, nao existem zeros;

2. (a) Grafico II (b) Grafico IV (c) Grafico III (d)Grafico I;

3. y = 6x2+x−6

;

4. (a) −∞ (b) +∞ (c) +∞ (d) −∞ (e) −1 (f)−1;

5. (a) −∞ (b) +∞ (c) −∞ (d) +∞ (e) 0 (f) 0;

6. (a) Zeros: nao possui (b) Dom(A) =x ∈ R | x 6= 1 (c) AH: y = 0, AV: x = 1 (d)Grafico a seguir;

109

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

7. (a) Zeros: 0 (b) Dom(B) = x ∈ R | x 6= 3(c) AH: y = 5, AV: x = 3 (d) Grafico a seguir;

−12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12−10

−5

0

5

10

15

20

x

y

8. (a) Zeros: 0 (b) Dom(C) =x ∈ R | x 6= −3/2 (c) AH: y = 1/2, AV: x = −3/2(d) Grafico a seguir;

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

9. (a) Zeros: −3/2 (b) Dom(D) =x ∈ R | x 6= −7/5 (c) AH: y = 2/5, AV: x = −7/5(d) Grafico a seguir;

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

10. (a) Zeros: 0 (b) Dom(E) = x ∈ R | x 6= ±2(c) AH: y = 0, AV: x = ±2 (d) Grafico a seguir;

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

11. (a) Zeros: −2 (b) Dom(F ) = R (c) AH:y = 0, AV: nao existe (d) Grafico a seguir;

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

12. (a) Zeros: 1 (b) Dom(G) = x ∈ R | x 6= 2(c) AH: nao existe, AV: x = 2 (d) Grafico aseguir;

−4 −2 0 2 4 6 8−4

−2

0

2

4

6

8

x

y

13. (a) Zeros: 1 (b) Dom(H) = x ∈ R | x 6= ±2(c) AH: nao existe, AV: x = ±2 (d) Grafico aseguir;

−9 −6 −3 0 3 6 9−12

−9

−6

−3

0

3

6

9

12

x

y

14. (a) Zeros: 1/ 3√12 (b) Dom(I) = R (c) AH: naoexiste, AV: nao existe (d) Grafico a seguir;


−6 −4 −2 0 2 4 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

15. (a) Zeros: nao existem (b) Dom(J) =x ∈ R | x 6= 0 (c) AH: y = 6, AV: nao existe(d) Grafico a seguir;

−15 −12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15−3

0

3

6

9

12

15

x

y

16. (a) Zeros: − 5√

3/2 (b) Dom(K) =x ∈ R | x 6= 0, x 6= 1 (c) AH: nao existe, AV:x = 0 e x = 1 (d) Grafico a seguir;

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

x

y

17. (a) A(x) = 2x3+8000x

(b) Dom(A) =x ∈ R | x > 0, Grafico a seguir (c) x = 12,6 cm(d) 12,6 cm× 12,6 cm× 12,6 cm, A = 952,4 cm2;

0 5 10 15 20 25 300

500

1000

1500

2000

2500

x (cm)

A (

cm2 )

18. Nao, as dimensoes serao 15,9 cm × 15,9 cm ×7,9 cm, A = 756,0 cm2;

19. (a) I(x) = 10x2 + 100

(50−x)2(b) Grafico a seguir

(c) posicao x = 16,2 cm com luminosidade I =0,126 lux;

−50 −25 0 25 50 75 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x (cm)

I (lu

x)

20. Grafico a seguir;

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

x

y

F

T

21. (a) Dom(Pe) = Re ∈ R | Re ≥ 0 (b) Zeros:0 (se nao ha “carga”, nao ha potencia dissi-pada), AV: nao existe, AH: Pe = 0 (a medidaque a “carga” cresce, a corrente eletrica diminui,logo a potencia tambem) (c) Grafico a seguir (d)Pe = 0,72 W em Re = 50 Ω;

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

Re (Ω)

Pe (

W)

111

Capıtulo 5

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. A = 20 cm e ω = π/5 s−1;

14. ;

15. ;

16. ;

Capıtulo 6

1. (a) x = 4, y = 1/4 (b) u = 3, v = 27 (c) p = 4,q = −4 (d) r = −4, s = 5;

2. (a) x = 3, y = 9 (b) x = ln 7 − 1, y = 5 (c)x = 4, y =

√5 (d) x = 2, y = ee;

3. logb1a

= logb(a−1

)= −1 · logb a = − logb a;

4. y = logb x ⇒ x = by ⇒ logc x = logc by =

y logc b⇒ y = logc x/logc b;

5. (a) x = ln 7 ≈ 1,9456, y = e√

2 ≈ 4,1133(b) x = −0,3413, y = 241 (c) x = 0,2007,

y = 101π−2 ≈ 0,0208;

6. E(1) = 2,0000, E(10) = 2,5937, E(102) =2,7048, E(103) = 2,7169, E(104) = 2,7181,E(105) = 2,7183;

7. (a) Dom(senh) = R, Img(senh) = R,Dom(cosh) = R, Img(cosh) = y ∈ R | y ≥ 1(b) Graficos a seguir

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

x

y

senh

cosh

8.(ex+e−x

2

)2

−(ex−e−x

2

)2

= e2x+2e0+e−2x

4−

e2x−2e0+e−2x

4= 2+2

4= 1;

9. a = 10/3, b = ln√

3;

10. t = 111,267 s;

11. (a) P (40) = 42,33, P (50) = 53,97, P (60) =68,81, P (70) = 87,75, P (80) = 111,88, P (90) =142,66, P (100) = 181,9 (b) Grafico a seguir (c)Sim, pois as diferencas entre os valores da tabelae os modelados sao relativamente pequenas (d)P (0) = 16,0141, indica a populacao (modelada)no ano de 1900 (e) Em 2013, aproximadamente;

1940 1950 1960 1970 1980 1991 20000

25

50

75

100

125

150

175

t (ano)

p (x

106 h

abita

ntes

)Dados

P(t)

12. (a) Grafico a seguir (b) A medida que o tempopassa, a populacao de bacterias estabiliza-se em12 bilhoes de bacterias (c) 1,35 bilhoes de bacte-rias por dia (d) Se a populacao estabiliza-se, aolongo do tempo, a taxa de variacao tende a zero;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

t (dias)

P (

x 10

9 bac

téria

s)

13. (a) Grafico a seguir (b) −0,0673 mg/min,−0,0129 mg/min;

0 15 30 45 60 75 90 105 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t (min)

Q (

mg)


14. (a) Q(τ) = Q0e−kτ = 1

2Q0 ⇒ −kτ = ln 1

2=

− ln 2 (b) Q(0) = Q0, Q(τ) = 12Q0, Q(2τ) =

14Q0, Q(3τ) = 1

8Q0, ...;

15. (a) k ≈ 0,0248 (b) Q(22) = 5,8006 kg, Q(122) =0,4879 kg;

16. (a) i(t) = 0,2e−4,5×10−3t (b) i(0) = 0,2 A,i(200) = 0,0813 A, i(400) = 0,0331 A, i(600) =0,0134 A, grafico a seguir (c) t = 511,7 s;

0 100 200 300 400 500 6000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

t (s)

i (A

)

17. (a) i(t) = 0,2(

1− e−3

400 t)

(b) i(0) = 0,

i(200) = 0,1554 A, i(400) = 0,1900 A, i(600) =0,1978 A, grafico a seguir (c) ∆i

∆t= 1,7334 ×

10−4 A/s;

0 100 200 300 400 500 6000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

t (s)

i (A

)

18. 67,46 meses;

19. (a) 67,29 meses (b) Sim (6,8963 ≈ 6,7294);

20. R$ 3555,94;

21. (a) V = 10 000(0,9)t (b) No primeiro ano:−1 000 reais/ano, No segundo ano: −900 reais/ano

(c) Durante o primeiro ano de uso (d) 7 anos;

22. (a) 68,78% (b) 12 113 m;

23. 31,62%;

24. (a) N = 80 dB (b) 10−4 W/cm2;

25. (falta resposta);

26. (a) v(0) = 0 m/s, v(1) = 17,64 m/s, v(2) =20,34 m/s, v(3) = 20,75 m/s

(b) t = 1,7188 s (d) No primeiro intervalo:17,63 m/s2, No segundo intervalo: 2,70 m/s2 (e)Ao longo do tempo, a velocidade estabiliza em20,83 m/s;

27. (a) k = 0,5500 min−1 (b) Grafico a seguir (c)8,85 min;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

120

140

160

t (min)

T (

o C )

28. (a) M = 9,5 (b) E = 2× 1014 J;

29. ∆M = 23

log 2 ≈ 0,2007;

30. (a) 3,7492×10−16

λ51

e4,1180×10−6/λ−1(b) Grafico a

seguir;

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−6

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

12

λ (m)

S (

W/m

3 )

31. (a) z = 4,9651 (b) λmax = 0,8294× 10−6 m;

Capıtulo 7

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10.

f(x) =

12x+ 4, x ≤ 0

(x− 2)2, 0 < x < 44, x ≥ 4

;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

113

17. (a) t2−8t+15 (b) t2−15 (c) ln(t2 +3t+1) (d)9t2 + 12t+ 3 (e) ln2 t− 1 (f) ln(9t2 + 12t+ 3);

18. (a) Dom(f) = R, Dom(g) = x ∈ R | −2 ≤ x ≤2 (b) [−2, 2], [−

√3,√

3];

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

Referencias Bibliograficas

[1] ANFAVEA. Estatısticas da associacao nacional dos fabricantes de veıculos automotoresanfavea. www.anfavea.com.br, 2008. acesso em 28/04/2008.

[2] Howard Anton. Calculo: um novo horizonte, volume 2. Bookman, 6a edition, 2000.

[3] Walter Antonio Bazzo and Luiz Teixeira do Vale Pereira. Introducao a Engenharia. SerieDidatica da UFSC. UFSC, Florianopolis, 1996.

[4] Lester R. Brown. Vital Signs. W. W. Norton and Co., New York, 1994.

[5] Jose Paulo Carneiro. A sombra do meu abajur. Revista do Professor de Matematica,(59):1–6, 2006.

[6] Instituto Brasileiro de Geografia e Estatıstica IBGE. Populacao residente, por situacao dodomicılio e por sexo, 1940-1996. www.ibge.gov.br, 2005.

[7] Instituto Brasileiro de Geografia e Estatıstica IBGE. Produto interno bruto per capita, 2001- 2005. www.ibge.gov.br/brasil_em_sintese, 2007.

[8] Associacao Nacional de Transportes Publicos ANTP. Polıtica nacional de transito. http://www.antp.org.br/telas/transito/cap_trans.htm, 2007.

[9] Science Across Europe. Aquecimento global. http://www.scienceacross.org/media/aquecirnento_global.pdf [sic], 1999.

[10] Frederico Ferreira Campos Filho. Algoritmos Numericos. Ed. LTC, 2001.

[11] David Halliday, Robert Resnick, and John Merrill. Fundamentos de Fısica, volume 4. LivrosTecnicos e Cientıficos - LTC, Rio de Janeiro, 2 edition, 1991.

[12] Elon Lages Lima. A proposito de contextualizacao. Revista do Professor de Matematica,(58):28–32, 2005.

[13] Ricardo R. A. Lima and Eduardo A. Vasconcellos (org.). Impactos sociais e economicos dosacidentes de transito nas aglomeracoes urbanas brasileiras. Relatorio executivo, Institutode Pesquisa Economica Aplicada - IPEA, Associacao Nacional de Transportes Publicos -ANTP, Brasılia, 2003.

[14] Gordon E. Moore. Cramming more components onto integrated circuits. Electronics, 38(8),1965. Disponıvel para download em ftp://download.intel.com/museum/Moores_Law/Articles-Press_Releases/Gordon_Moore_1965_Article.pdf.

[15] J. J. O’Connor and E. F. Robertson. MacTutor History of Mathematics. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians, 2006.

[16] Neide Oliveira. A corrida continua. Veja, 38(46):69–71, julho 2005. Edicao especial: Tec-nologia.

115

116 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[17] Vania Beatriz Merlotti Heredia (org.). A institucionalizacao da pesquisa: desafios da pes-quisa em uma universidade comunitaria 2002 - 2006. Universidade de Caxias do Sul - UCS,Caxias do Sul, RS, 2006. ISBN 857061396-2.

[18] R. Pearl. The growth of population. Quart. Rev. Biol., 2:532–548, 1927.

[19] Fernando Pessoa. Poesias de Alvaro de Campos. Europa-America, Lisboa, 1a edition.

[20] C. Schaufele and N. Zumoff. Earth Algebra (Preliminary Version). Harper Collins, NewYork, 1993.

[21] PASCO Scientific. PASCO physics catalog and experiment guide. PASCO Scientific Co.,Roseville (USA), 2005.

[22] Murray R. Spiegel. Manual de formulas, metodos e tabelas de matematica. Ed. MakronBooks do Brasil, 1992.

[23] Sporting-Heroes.net. Olympic games results. www.sporting-heroes.net, 2005.

[24] Laira Vieira Toscani and Paulo A. S. Veloso. Complexidade de Algoritmos, volume 13 ofLivros Didaticos do Instituto de Informatica da UFRGS. Ed. Sagra Luzzatto, Porto Alegre,2002.

[25] Geraldo Avila. Introducao as funcoes e a derivada. Atual Ed. Ltda., Sao Paulo, 1995.

[26] Eric W. Weisstein. Eric Weisstein’s World of Scientific Biography. http://scienceworld.wolfram.com/biography, 2007.

[27] Wikipedia. Gordon Earle Moore. http://en.wikipedia.org/wiki/Gordon_Moore, 2007.

[28] Mark W. Zemansky. Calor e termodinamica. Guanabara dois, Rio de Janeiro, 5a edition,1978.

matema tica fundamental notas de...

Documents