parte 2 an´eis - professores.uff.br · inteiros: curso de algebra,´ volume 1 de abramo hefez,...

Parte 2

Aneis

R e f e r e n c i a s

Sobre a aritmetica dos

inteiros: Numeros-Uma

Introducao a Matematica de

Cesar Polcino Milies e Sonia

Pitta Coelho. Editado pela

Editora da Universidade de

Sao Paulo (Edusp), 2000.

Para saber mais sobre aneis

e o domınio principal dos

inteiros: Curso de Algebra,

Volume 1 de Abramo Hefez,

Colecao Matematica

Universitaria, Sociedade

Brasileira de Matematica

(SBM), 1998.

Sobre aneis, extensoes

algebricas de corpos e

grupos: Introducao a

Algebra de Adilson

Goncalves, Projeto Euclides,

IMPA, 2000.

A Matematica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos

aos numeros para descrever diversas situacoes do dia a dia.

Contamos com os numeros naturais, repartimos um bolo usando os

numeros racionais, medimos comprimentos com os numeros reais, contabili-

zamos prejuızos com numeros negativos. Comparamos dois numeros inteiros,

dois numeros racionais e dois numeros reais. Calculamos raızes de polinomios

com coeficientes reais com numeros complexos.

Estamos familiarizados com numeros naturais, inteiros, racionais, reais

e complexos, que estao relacionados pelas seguintes inclusoes:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Esses conjuntos estao munidos com operacoes de adicao e multiplicacao,

que tem diversas propriedades.

Nosso objetivo e introduzir o estudo de estruturas algebricas, abor-

dando os conceitos de anel, domınio, domınio ordenado e domınio principal,

ideais de um anel comutativo, homomorfismo de aneis e a fatoracao unica

em domınios principais.

O conjunto dos inteiros e o primeiro exemplo de domınio principal, sera

estudado sobre o ponto de vista algebrico e aritmetico e faremos um estudo

detalhado das suas propriedades no contexto dos domınios principais.

Introduziremos o conceito de inducao, uma tecnica muito utilizada em

demonstracoes.

Nao faremos a construcao axiomatica dos numeros naturais, usaremos

apenas as nocoes intuitivas.

Instituto de Matematica

31 UFF

Mostraremos que Q e um corpo ordenado e e o corpo de fracoes de Z

e faremos a construcao dos numeros racionais a partir dos numeros inteiros

no contexto dos domınios ordenados.

Usaremos a divisao euclidiana para escrever os numeros inteiros nao-

negativos em uma base b > 1.

M.L.T.Villela

UFF 32

Conceito de anelPARTE 2 - SECAO 1

Conceito de anel

Vamos introduzir a estrutura algebrica de anel e dar exemplos. Veremos

os conceitos de anel comutativo e de anel com unidade, assim como diversos

exemplos.

Voces conhecem varios conjuntos, onde estao definidas operacoes de

adicao e multiplicacao entre seus elementos e essas operacoes tem diversas

propriedades. Lembramos algumas dessas estruturas algebricas:

• os numeros naturais N = { 0, 1, 2, 3, . . . }.

• os polinomios com coeficientes reais, denotados por R[x];

• as matrizes Mn×n(R);

• os numeros inteiros Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . };

• os numeros racionais Q ={

m

n| n, m ∈ Z e n 6= 0

};

• os numeros reais R;

• os numeros complexos C = { a + bi | a, b ∈ R e i2 = −1 };

• os numeros inteiros, racionais e reais podem ser comparados com uma

relacao de ordem ≤. Veremos que as operacoes de adicao e multi-

plicacao, a ordem e as propriedades que as relacionam caracterizarao

os numeros inteiros.

Definicao 1 (Operacao)

Dizemos que um conjunto A esta munido com operacoes de adicao ( + ) e

multiplicacao ( · ) se, e somente se, para todo par (a, b) ∈ A × A sabemos

associar um unico elemento c ∈ A e um unico elemento d ∈ A denotados,

respectivamente, por:

Lembre que uma associacao

desse tipo e uma funcao.

c = a + b e d = a · b.

Nesse caso, dizemos que as operacoes estao fechadas no conjunto A,

isto e, para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b ∈ A e a · b ∈ A.

A adicao e a multiplicacao sao descritas por funcoes

+ : A × A −→ A

(a, b) 7−→ c = a + be

· : A × A −→ A

(a, b) 7−→ d = a · b


33 UFF

Conceito de anel

Exemplo 1

Todos os conjuntos listados acima sao conjuntos munidos de operacoes de

adicao e multiplicacao.

Definicao 2 (Anel)

Um anel A e um conjunto munido com operacoes de adicao ( + ) e de

multiplicacao ( · ), tendo as seguintes propriedades:

A1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a+b)+c = a+(b+c).

A2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b = b + a.

A3 (Existencia de elemento neutro para a adicao)

Existe θ ∈ A, tal que a + θ = θ + a = a, para todo a ∈ A.

A4 (Existencia de simetrico)

Para cada a ∈ A, existe a′ ∈ A, tal que a + a′ = a′ + a = θ.

M1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a · b) · c = a · (b · c).

AM (Distributiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos a ·(b+c) = a ·b+a ·ce (a + b) · c = a · c + b · c.

Exemplo 2

N nao e um anel.

A adicao e multiplicacao tem as propriedades A1, A2, A3, M1 e AM, mas

nao vale a propriedade A4.

Exemplo 3

Z, Q, R e C, respectivamente, inteiros, racionais, reais e complexos sao aneis,

onde o elemento neutro para a adicao e o numero inteiro 0.

Exemplo 4

Mn×n(R) = { X = (Xij) ; Xij ∈ R, onde 1 ≤ i, j ≤ n } e um anel, com as

operacoes usuais de adicao e multiplicacao de matrizes, definidas por:

Z = X + Y, onde Zij = Xij + Yij, para 1 ≤ i, j ≤ n;

Z = X · Y, onde Zij =

n∑

k=1

Xik · Ykj, para 1 ≤ i, j ≤ n,

para X, Y ∈ Mn×n(R).

De fato, a adicao e multiplicacao tem as propriedades A1, A2, A3, A4, M1 e

AM, conforme ja foi verificado em um curso basico de Algebra Linear.

Volte a um texto de Algebra

Linear, para recordar as

operacoes com matrizes e

suas propriedades.

M.L.T.Villela

UFF 34


Para ilustrar vamos verificar duas dessas propriedades: AM e M1.

Sejam X, Y, Z ∈ Mn×n(R). Para quaisquer i, j tais 1 ≤ i, j ≤ n, temos

Usamos a definicao da

multiplicacao e adicao de

matrizes e, sucessivamente,

as seguintes propriedades

das operacoes do anel R:

AM, A2, A1. Depois,

novamente, usamos a

definicao de multiplicacao e

adicao de matrizes.

(X · (Y + Z))ij =

n∑

r=1

Xir · (Y + Z)rj

=

n∑

r=1

Xir · (Yrj + Zrj)

=

n∑

r=1

(Xir · Yrj + Xir · Zrj)

=

n∑

r=1

Xir · Yrj +

n∑

r=1

Xir · Zrj

= (X · Y)ij + (X · Z)ij

= (X · Y + X · Z)ij,

mostrando que X · (Y + Z) = X · Y + X · Z e vale AM.

Usamos duas vezes a

definicao de multiplicacao de

matrizes e apos,

sucessivamente, as seguintes

propriedades das operacoes

do anel R: AM, M1, A2, A1.

Depois, novamente, usamos

duas vezes a definicao de

multiplicacao de matrizes.

(X · (Y · Z))ij =

n∑

r=1

Xir · (Y · Z)rj

=

n∑

r=1

Xir ·(

n∑

s=1

Yrs · Zsj

)

=

n∑

r=1

(

n∑

s=1

Xir · (Yrs · Zsj)

)

=

n∑

r=1

n∑

s=1

(Xir · Yrs) · Zsj

=

n∑

s=1

(

n∑

r=1

(Xir · Yrs)

)

· Zsj

=

n∑

s=1

(X · Y)is · Zsj

= ((X · Y) · Z)ij ,

mostrando que X · (Y · Z) = (X · Y) · Z e vale M1.

A matriz n por n com todos os elementos nulos, Xij = 0 para 1 ≤ i, j ≤ n,

denotada por O, e o elemento neutro da adicao.

Lembramos que o simetrico de X e a matriz Y, tal que Yij = −Xij, para todo

1 ≤ i, j ≤ n. Costumamos escrever Y = −X.

Exemplo 5

Consideremos o intervalo I = (−1, 1) e seja F(I) o conjunto de todas as

funcoes de I em R, isto e, Voce tem familiaridade com

as funcoes de variavel real e

valores reais.F(I) = { f : I −→ R | f e uma funcao }.


35 UFF

Conceito de anel

Para quaisquer f, g ∈ F(I), as operacoes usuais de adicao e multiplicacao de

funcoes sao definidas por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ I e

(f · g)(x) = f(x) · g(x), para todo x ∈ I .

Com essas operacoes, F(I) e um anel.

De fato, vamos mostrar que valem as seis propriedades das operacoes da

Definicao 2.

Primeiramente, para quaisquer f, g, h ∈ F(I), temos:

((f + g) + h)(x)(1)= (f + g)(x) + h(x)(2)= (f(x) + g(x)) + h(x)(3)= f(x) + (g(x) + h(x))(4)= f(x) + (g + h)(x)(5)= (f + (g + h))(x), para todo x ∈ I,

implicando que (f + g) + h = f + (g + h), portanto vale a propriedade A1;

Em (1),(2),(4) e (5) usamos

a definicao da adicao de

funcoes e em (3) a

propriedade (A1) da adicao

de numeros reais.

substituindo a adicao pela multiplicacao, de modo analogo,

((f · g) · h)(x)(1)= (f · g)(x) · h(x)(2)= (f(x) · g(x)) · h(x)(3)= f(x) · (g(x) · h(x))(4)= f(x) · (g · h)(x)(5)= (f · (g · h))(x), para todo x ∈ I,

implicando que (f · g) · h = f · (g · h), portanto vale a propriedade M1;

Em (1),(2),(4) e (5) usamos

a definicao da multiplicacao

de funcoes e em (3) a

propriedade (M1) da

multiplicacao de numeros

reais.

((f + g) · h)(x)(1)= (f + g)(x) · h(x)(2)= (f(x) + g(x)) · h(x)(3)= f(x) · h(x) + g(x) · h(x)(4)= (f · h)(x) + (g · h)(x)(5)= ((f · h) + (g · h))(x), para todo x ∈ I,

implicando que (f + g) · h = f · h + g · h, portanto, vale a propriedade AM.

Em (1) e (4) usamos a

definicao da multiplicacao de

funcoes, em (2) e (5), a

definicao de adicao de

funcoes e em (3), a

propriedade distributiva

(AM) da multiplicacao

numeros reais.

Vale que (g + h) · f = g · f + h · f, porque a multiplicacao de funcoes e

comutativa (verifique).

Para quaisquer f, g ∈ F(I) e x ∈ I, temos:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= g(x) + f(x)

= (g + f)(x)

Lembre que . . .

a adicao de numeros reais e

comutativa.

M.L.T.Villela

UFF 36


implicando que f + g = g + f e, assim, vale a propriedade A2.

O elemento neutro e a funcao o, tal que o(x) = 0, para cada x ∈ I. Note

que, para toda f ∈ F(I) e para todo x ∈ I,

(o + f)(x) = o(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x) ⇐⇒ o + f = f.

O numero real zero e

elemento neutro aditivo, no

anel R.

O elemento neutro aditivo e a funcao constante e igual a zero no intervalo I,

valendo a propriedade A3.

Vale, finalmente, a propriedade A4, pois o simetrico de f e a funcao g definida

por g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. O grafico do simetrico de f e obtido

fazendo a simetria com respeito ao eixo x dos pontos do grafico de f .

Exemplo 6

Consideremos 2Z = { 2x | x ∈ Z }, o conjunto dos numeros inteiros pares.

Vamos mostrar que 2Z e um anel com a adicao e a multiplicacao de numeros

inteiros.

Primeiramente, observe que para quaisquer a, b ∈ 2Z, existem x, y ∈ Z, tais

que a = 2x, b = 2y e

a + b = 2x + 2y = 2(x + y) ∈ 2Z e a · b = 2x · 2y = 2(2x · y) ∈ 2Z.

Observe que

x+y ∈ Z e 2x · y∈ Z.

Logo, a adicao e a multiplicacao de numeros inteiros e fechada em 2Z.

As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em 2Z, pois essas propriedades

valem em Z e 2Z e um subconjunto de Z.

Como 0 = 2 · 0 ∈ 2Z, entao 2Z tem elemento neutro aditivo.

Alem disso, o simetrico de a = 2x e a ′ = −2x = 2(−x) ∈ 2Z. x ∈ Z ⇐⇒ −x ∈ Z.

Portanto, valem as propriedades A3 e A4 e 2Z e um anel.

Observamos que a multiplicacao nos aneis dos Exemplos 3, 5 e 6 e

comutativa, enquanto no anel do Exemplo 4 e nao-comutativa sempre que a

ordem da matriz e maior do que 1.

O que e M1×1(R)?

De fato, e claro que a multiplicacao nos inteiros, nos racionais e nos

reais e comutativa.

Sejam x = a + bi, y = c + di ∈ C. Entao, a, b, c, d ∈ R, i2 = −1 e

Usamos aqui que

a multiplicacao de numeros

reais e comutativa.

x · y = (a + bi) · (c + di)

= (a · c − b · d) + (a · d + b · c)i= (c · a − d · b) + (d · a + c · b)i

= (c + di) · (a + bi)

= y · x ,


37 UFF

Conceito de anel

mostrando que a multiplicacao de numeros complexos e comutativa.

Para verificar a comutatividade da multiplicacao em F(I), consideremos

f, g ∈ F(I) e x ∈ I, entao

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

= g(x) · f(x)

= (g · f)(x)

Lembre que . . .

a multiplicacao de numeros

reais e comutativa.

implicando que f · g = g · f.Para n ≥ 2, o produto de matrizes n por n e nao-comutativo, pois

X · Y 6= Y · X para as seguintes matrizes:

X11 = 1, X12 = 1, X21 = 0 e X22 = 0 ; Y11 = 1, Yij = 0, para todo

(i, j) 6= (1, 1).

Temos que

X · Y =

(

1 1

0 0

)

·(

1 0

0 0

)

=

(

1 0

0 0

)

e

Y · X =

(

1 0

0 0

)

·(

1 1

0 0

)

=

(

1 1

0 0

)

A multiplicacao em 2Z e a multiplicacao de numeros inteiros, logo

tambem e comutativa.

Os fatos acima motivam a seguinte definicao.

Definicao 3 (Anel comutativo)

Dizemos que um anel A e comutativo se, e somente se, tem a propriedade:

M2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, a · b = b · a.

Exemplo 7

Nos aneis Z, Q, R, C, F(I) e 2Z vale M2.

No anel Mn×n(R), onde n ≥ 2 nao vale M2.

Os aneis dos Exemplos 3, 4 e 5 tem um elemento neutro multiplicativo,

a saber:

• o numero inteiro 1 satisfaz

para todo a ∈ A, temos a · 1 = 1 · a = a , nos casos A = Z, A = Q,

A = R ou A = C;

• A matriz identidade I ∈ Mn×n(R), com os elementos da diagonal iguais

a 1 e os elementos fora da diagonal iguais a 0, tem a propriedade

Matriz identidade I

Iij =

{1 , se i = j

0 , se i 6= j ,

para qualquer i,j com

1 ≤ i,j ≤ n.

M.L.T.Villela

UFF 38


para qualquer X ∈ Mn×n(R), X · I = I · X = X.

• a funcao constante e igual a 1 no intervalo I, isto e, e(x) = 1, para todo

x ∈ I, satisfaz

para qualquer f ∈ F(I) e para todo x ∈ I, temos

(f · e)(x) = f(x) · e(x) = f(x) · 1 = f(x), tambem

(e · f)(x) = e(x) · f(x) = 1 · f(x) = f(x),

mostrando que f · e = f · e = f.

Entretanto, o anel 2Z nao tem elemento neutro multiplicativo, moti-

vando a seguinte definicao.

Definicao 4 (Anel com unidade)

Dizemos que o anel A tem unidade, se e somente se, A tem a propriedade:

M3 (Existencia de elemento neutro multiplicativo)

Existe um elemento e ∈ A, tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ A.

Exemplo 8

Nos aneis Z, Q, R, C, Mn×n(R) e F(I) vale M3.

No anel 2Z nao vale M3.

Resumindo, ha aneis que tem propriedades adicionais e sao chamados

de nomes especiais: quando a multiplicacao e comutativa (M2) o anel e

chamado comutativo; quando o anel tem elemento neutro multiplicativo (M3)

e chamado de anel com unidade.

Exercıcios

1. Seja n um numero natural com n ≥ 2.

Mostre que nZ = { n · x | x ∈ Z } e um anel comutativo com as

operacoes de adicao e multiplicacao de numeros inteiros.

2. Seja Z[√

2] = { a + b√

2 | a, b ∈ Z }.

(a) Mostre que a adicao e multiplicacao de numeros reais e fechada

em Z[√

2], verificando que:

para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a + b√

2 e y = c + d√

2


39 UFF

Conceito de anel

x + y = (a + c) + (b + d)√

2 ∈ Z[√

2]

x · y = (a · c + 2b · d) + (a · d + b · c)√

2 ∈ Z[√

2]

(b) Mostre que Z[√

2] e um anel.

(c) Mostre que Z[√

2] e um anel comutativo com unidade.

x+y e a adicao e x · y e a

multiplicacao de numeros

reais, apenas reescrevemos

as parcelas de modo

conveniente, usando as

propriedades comutativa,

associativa e distributiva das

operacoes dos numeros reais.3. Seja Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z e i2 = −1 }.

(a) Mostre que a adicao e multiplicacao de numeros complexos e fe-

chada em Z[i], verificando que:

para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a + bi e y = c + di

x + y = (a + c) + (b + d)i

x · y = (a · c − b · d) + (a · d + b · c)ix+y e a adicao de numeros

complexos e

x · y e a multiplicacao de

numeros complexos.

Z[i] e conhecido como o anel

dos inteiros de Gauss.

(b) Mostre que Z[i] e um anel.

(c) Mostre que Z[i] e um anel comutativo com unidade.

4. Seja A =

{

X =

(

x11 x12

x21 x22

)

; xij ∈ Z, para todo 1 ≤ i, j ≤ 2

}

,

o conjunto das matrizes 2 por 2 com coeficientes inteiros.

Para X, Y, Z ∈ A, definimos a adicao e multiplicacao em A por:

Z = X + Y ⇐⇒ zij = xij + yij, com 1 ≤ i, j ≤ 2

Z = X · Y ⇐⇒ zij = xi1y1j + xi2y2j, com 1 ≤ i, j ≤ 2

Observe que as operacoes de

adicao e multiplicacao sao as

usuais.

Costumamos denotar A por

M2×2(Z).

(a) Mostre que A e um anel com as operacoes acima.

(b) Mostre que A e um anel nao-comutativo com unidade.

5. Seja F(R) = { f : R −→ R, f funcao }.

Para qualquer f, g ∈ F(R), as operacoes usuais de adicao e multi-

plicacao de funcoes sao definidas por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), para qualquer x ∈ R e

(f · g)(x) = f(x) · g(x), para qualquer x ∈ R .

(a) Mostre que com essas operacoes F(R) e um anel.

Copie o que foi feito no

Exemplo 5, fazendo as

modificacoes convenientes.

Na verdade, voce pode

verificar que F(I) e um anel,

para qualquer intervalo I da

reta real.

(b) Mostre que F(R) e um anel comutativo.

(c) Mostre que F(R) e um anel com unidade.

M.L.T.Villela

UFF 40

Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2

Propriedades elementares

Mostraremos agora algumas propriedades elementares, validas em um

anel, tais como: a unicidade do elemento neutro aditivo, do simetrico e,

quando existe, do elemento neutro multiplicativo.

Proposicao 1 (Unicidade)

Seja A um anel. Entao,

(i) o elemento neutro aditivo e unico;

(ii) o elemento neutro multiplicativo, se existe, e unico;

(iii) o simetrico e unico.

Demonstracao:

(i): Sejam θ e θ′

elementos neutros aditivos do anel A. Entao,

θ = θ′ + θ = θ′,

onde a primeira igualdade segue do fato de θ′ ser elemento neutro da adicao

e a segunda, de θ ser elemento neutro da adicao.

Logo, θ = θ′ e o elemento neutro aditivo e unico.

(ii): Seja A um anel com unidades e e e′. Entao,

e = e′ · e = e′,

onde a primeira igualdade segue do fato de e′ ser unidade e a segunda, de e

ser unidade.

Logo, e = e′ e o elemento neutro multiplicativo e unico.

(iii) Sejam a′ ∈ A e a′′ ∈ A simetricos de a ∈ A.

Entao, θ = a + a′′, θ = a′ + a e

a′ = a′ + θ = a′ + (a + a′′) = (a′ + a) + a′′ = θ + a′′ = a′′,

onde na terceira igualdade usamos a associatividade da adicao.

Logo, o simetrico e unico. �

Pela unicidade do elemento neutro aditivo, do simetrico e do elemento

neutro multiplicativo (se existe), daqui por diante, denotaremos num anel A:

• o elemento neutro da adicao pelo sımbolo 0;


41 UFF


• o simetrico de a pelo sımbolo −a;

• a unidade ou elemento neutro multiplicativo, se existe, pelo sımbolo 1.

Alem disso, escrevemos

a − b = a + (−b),

e chamamos de subtracao.

A subtracao e a adicao com

o simetrico.

As seguintes propriedades sao muito uteis e importantes.

Proposicao 2 (Outras propriedades)

Seja A um anel. Entao, para quaisquer a, b e c ∈ A, temos:

(i) a · 0 = 0 e 0 · a = 0;

(ii) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b);

(iii) a · (b − c) = a · b − a · c e (b − c) · a = b · a − c · a;

(iv) se A e um anel com unidade, entao (−1) · a = −a = a · (−1).

Demonstracao:

Lembre que . . .

Em um anel A a

multiplicacao nem sempre e

comutativa.

(i): Como 0 = 0 + 0, multiplicamos a esquerda, ambos os membros dessa

igualdade, pelo elemento a, e usamos a distributividade (AM), obtendo

a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0,

que e equivalente a a · 0 = a · 0 + a · 0.

Somando o simetrico −(a ·0) de a ·0 a ambos os membros da igualdade

acima e usando em (1) a propriedade associativa da adicao (A1), temos:

0 = a · 0 − a · 0 = (a · 0 + a · 0) − a · 0(1)= a · 0 + (a · 0 − a · 0)

= a · 0 + 0

= a · 0,

Multiplicando por a a

direita, tomando o simetrico

−(0 · a) de 0 · a e fazendo as

modificacoes convenientes,

mostre que 0 · a = 0.

donde concluımos que 0 = a · 0.

(ii) Vamos mostrar que −(a · b) = (−a) · b.

Como 0 = a + (−a), multiplicando a direita ambos os membros dessa

igualdade por b, usando (i) e a distributividade AM, obtemos:

0 = 0 · b = (a + (−a)) · b= a · b + (−a) · b

Faca as modificacoes

convenientes para

demonstrar que

−(a · b) = a · (−b).A igualdade acima significa que (−a) · b e o simetrico de a · b.

M.L.T.Villela

UFF 42


Logo, −(a · b) = (−a) · b.

(iii): Vamos demonstrar a primeira igualdade e deixamos a segunda para

voce tentar, fazendo as modificacoes convenientes.

a · (b − c)(1)= a · (b + (−c))(2)= a · b + a · (−c)(3)= a · b − a · c.

Em (1) usamos a definicao

de subtracao, em (2), a

distributividade AM e em

(3), o item (ii).

(iv) Seja A um anel com unidade 1. Entao, 0 = 1 + (−1). Multiplicando a

direita ambos os membros dessa igualdade por a, usando (i) e a distributi-

vidade, obtemos:

O sımbolo −1 deve ser lido

como ”o simetrico da

unidade”.

0 = 0 · a = (1 + (−1)) · a = 1 · a + (−1) · a = a + (−1) · a,

significando que (−1) ·a e o simetrico de a. Como denotamos o simetrico de

a por −a, da unicidade do simetrico, temos −a = (−1) · a.

A igualdade −a = a · (−1) e analoga e voce deve tentar fazer repetindo

a ideia acima, mas fazendo a multiplicacao por a a esquerda. �

Vimos na Secao anterior que ha aneis sem unidade.

Quando um anel A tem unidade, escrevemos a sua unidade com o

sımbolo 1, propositadamente, diferente do sımbolo 0 do elemento neutro

aditivo. Por que?

Suponhamos que no anel A temos 1 = 0. A igualdade ao lado deve ser

lida como ”os elementos

neutros aditivo e

multiplicativo sao iguais”.

Entao, para todo a ∈ A, temos

a = a · 1 = a · 0 = 0,

onde a primeira igualdade e consequencia de 1 ser o elemento neutro multi-

plicativo e a ultima, do item (i) da Proposicao 2. Logo, A = { 0 }.

Nao tem a menor graca estudar esse anel.

Portanto, quando tratamos, teoricamente, de aneis com unidade supo-

mos sempre que os elementos neutros aditivo e multiplicativo sao diferentes,

isto e, 1 6= 0.

Definicao 5 (Divisores de zero)

Seja A um anel. O elemento nao-nulo a ∈ A e um divisor de zero se, e

somente se, existe um elemento nao-nulo b ∈ A tal que a ·b = 0 ou b ·a = 0.

Exemplo 9

a. No anel F(I), onde I = (−1, 1), sao divisores de zero as funcoes

f, g : I −→ R definidas por


43 UFF


f(x) =

{1, se x ∈ (−1, 0)

0, se x ∈ [0, 1)e g(x) =

{0, se x ∈ (−1, 0)

2, se x ∈ [0, 1)f · g = 0, pois f(x) · g(x) = 0,

para todo x ∈ (−1,1).

b. No anel M2×2(R) sao divisores de zero as seguintes matrizes

X =

(

1 0

0 0

)

e Y =

(

0 0

0 1

)

Os aneis comutativos com unidade sem divisores de zero sao chamados

de domınios.

Definicao 6 (Domınio)

Seja A um anel comutativo com unidade. A e um domınio se, e somente se,

tem a propriedade:

M4 se a · b = 0, entao a = 0 ou b = 0.

Observamos que a propriedade M4 e equivalente a:

Sejam P e Q propriedades e

∼P e ∼Q, respectivamente,

suas negacoes. Entao,

P =⇒ Q

e equivalente a

∼Q =⇒∼ P.

M4′ se a 6= 0 e b 6= 0, entao a · b 6= 0.

Exemplo 10

O anel dos numeros inteiros Z e um domınio, pois o produto de dois inteiros

nao-nulos e um inteiro nao-nulo.

Proposicao 3 (Lei do cancelamento)

Seja A um domınio. Se a · b = a · c com a 6= 0, entao b = c.

Demonstracao: Se a · b = a · c, entao somando −a · b a ambos os membros

dessa igualdade, obtemos 0 = a · b − a · b = a · c − a · b = a · (c − b). Como

a 6= 0, pela propriedade M4, 0 = c−b. Somando b, a essa ultima igualdade,

temos b = 0 + b = (c − b) + b(1)= c + (−b + b) = c + 0 = c. �

Em (1) usamos a

propriedade associativa da

adicao (A1).

Definicao 7 (Elemento invertıvel)

Seja A um anel com unidade. Um elemento a ∈ A e dito invertıvel se, e

somente se, existe um elemento a′ ∈ A, tal que a · a′ = a′ · a = 1.

Nesse caso, dizemos que a′ e inverso de a e a e inverso de a′.

Exemplo 11

No anel M2×2(Z) das matrizes 2 por 2 com coeficientes no anel dos inteiros,

a matriz X =

(

2 3

1 2

)

e invertıvel e X′ =

(

2 −3

−1 2

)

e seu inverso, pois

verificamos, facilmente, que X · X′ = X′ · X = I.

Volte ao Exercıcio 4 da

Secao anterior. Nesse anel, a

unidade, conhecida como

matriz identidade, e

I =

1 0

0 1

!

M.L.T.Villela

UFF 44


Exemplo 12

Consideremos o anel comutativo com unidade Z[√

2] do Exercıcio 2, da Secao

anterior. O inverso de 1 +√

2 e −1 +√

2, pois

(1 +√

2)(−1 +√

2) = (−1 +√

2)(1 +√

2) = 1.

Exemplo 13

Os elementos invertıveis do anel Z sao 1 e −1.

Proposicao 4 (Unicidade do inverso)

Sejam A um anel com unidade e a ∈ A. Se a e invertıvel, entao seu inverso

e unico.

Demonstracao: Digamos que b e c sejam inversos de a, isto e,

a · b = b · a = 1 e a · c = c · a = 1.

Entao,

Em (1) usamos que a

multiplicacao e associativa

(M1).

b = b · 1 = b · (a · c) (1)= (b · a) · c = 1 · c = c. �

Da unicidade do inverso no anel A, costumamos denotar o inverso de

a por a−1.

Seja B = Mn×n(A), onde A

e um anel comutativo com

unidade. Entao, B e um anel

com unidade e, para

qualquer X ∈ B, temos

X · adj(X) = adj(X) · X =

det(X)In , onde adj(X) e a

adjunta classica de X. Alem

disso, X e invertıvel se, e

somente se, det(X) e

invertıvel em A.

Exemplo 14

a. Os elementos invertıveis no anel Mn×n(R) sao as matrizes X com deter-

minante nao-nulo, isto e, det(X) 6= 0.

b. Os elementos invertıveis no anel Mn×n(Z) sao as matrizes X com deter-

minante invertıvel em Z, isto e, det(X) ∈ {−1, 1}.

c. Todo numero racional nao-nulo e invertıvel.

d. Todo numero real nao-nulo e invertıvel.

Definicao 8 (Corpo)

Um anel comutativo com unidade e chamado de corpo se, e somente se, todo

elemento nao-nulo e invertıvel.

Exemplo 15

Q, R e C sao exemplos de corpos.

Definicao 9 (Subanel)

Um subconjunto nao-vazio B de um anel A e um subanel de A se, e somente

se, B e um anel com as operacoes de A.


45 UFF


Exemplo 16

a. Pelo exercıcio 1 da secao anterior, nZ e um subanel de Z.

b. Pelo exercıcio 2 da secao anterior, Z[√

2] e um subanel de R.

c. Pelo exercıcio 3 da secao anterior, Z[i] e um subanel de C.

d. Pelo exercıcio 4 da secao anterior, M2×2(Z) e um subanel de M2×2(R).

Proposicao 5

Um subconjunto nao-vazio B de um anel A e um subanel de A se, e somente

se,

(i) se a, b ∈ B, entao a + b ∈ B;

(ii) se a, b ∈ B, entao a · b ∈ B;

(iii) 0A ∈ B;

(iv) se b ∈ B, entao −b ∈ B.

Demonstracao : Suponhamos que B e um subanel de A. Entao, as operacoes

de A estao fechadas em B e logo, (i) e (ii) sao validas; alem disso, todo

elemento de B tem simetrico em B e vale (iv). Por outro lado, tomando

b ∈ B, por (iv), −b ∈ B e, por (i), 0A = b + (−b) ∈ B. Logo, 0B = 0A ∈ B.

Reciprocamente, suponhamos validas as propriedades (i) a (iv) em B.

Logo, as operacoes de A estao fechadas em B e valem A3 e A4. As propri-

edades A1, A2, M1 e AM valem em B porque sao validas em A e B ⊂ A.

Portanto, B e um anel com as operacoes de A. �

Exemplo 17

Z[√

3] e um subanel de R.

De fato, sejam a, b, c, d ∈ Z. Entao, com a adicao e multiplicacao de numeros

reais, temos:

(a + b√

3) + (c + d√

3)(1)= a + c + b

√3 + d

√3

(2)= (a + c) + (b + d)

√3;Em (1) usamos A1 e A2 e

em (2), A1 e AM do anel R.

Em (3) usamos AM, M2 e

em (4), A2 e A1 do anel R.(a + b

√3)(c + d

√3)

(3)= a · c + a · d

√3 + b · c

√3 + 3b · d

(4)= (a · c + 3b · d) + (a · d + b · c)

√3.

Alem disso,

a + b√

3 = 0, a, b ∈ Z se, e somente se, a = b = 0 e

−(a + b√

3) = (−a) + (−b)√

3 ∈ Z[√

3], para quaisquer a, b ∈ Z.

Definicao 10 (Subcorpo)

Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K e um subcorpo de L se, e

somente se, K e um corpo com as operacoes de L.

M.L.T.Villela

UFF 46


Exemplo 18

(1) Q e um subcorpo de R.

(2) R e um subcorpo de C.

(3) Q e um subcorpo de Q(√

2).

(4) Q(√

2) e um subcorpo de R.

(5) Q(i) e um subcorpo de C.

Veja os exercıcios 12 e 13,

item (a)

Agora, para cada domınio D vamos construir um corpo K, chamado

corpo de fracoes de D, tal que

(i) D ⊂ K

(ii) as operacoes de adicao e multiplicacao de D sao as de K.

(iii) se L e um corpo contendo D como subanel, entao K ⊂ L.

As condicoes acima significam que todo domınio D e subanel de um

corpo e o menor corpo com as propriedades (i) e (ii) acima e o corpo de

fracoes de D.

Para isto, consideramos o conjunto

S = D × D\{0} = {(a, b) ; a, b ∈ D e b 6= 0}.

Para (a, b), (c, d) ∈ S, definimos

(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c.

Proposicao 6

A relacao binaria acima e uma relacao de equivalencia em S.

Demonstracao: De fato, para todo (a, b) ∈ S, temos a · b = b · a, logo

(a, b) ∼ (a, b).

Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d). Entao, a · d = b · c e

d · a M2= a · d = b · c M2

= c · b. Logo, (c, d) ∼ (a, b).

Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f). Entao, a · d(1)= b · c

e c · f(2)= d · e. Multiplicando a igualdade (1) por f e a igualdade (2) por

b, obtemos a · d · f = b · c · f = b · d · e. Pelas propriedades M2 e M1 da

multiplicacao em D, temos d · (a · f) = d · (b · e). Como d 6= 0, pela lei do

cancelamento em D, temos a · f = b · e. Portanto, (a, b) ∼ (e, f). �


47 UFF


Consideremos o conjunto quociente K = S/ ∼. Entao,

K = D × D\{0}/ ∼ = { (a, b) ; (a, b) ∈ D × D\{0}}.

Denotamos por ab

a classe de equivalencia de (a, b), isto e, ab

= (a, b).

Desta maneira,

ab

= (a, b) = (c, d) = cd

⇐⇒ (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c .

K ={

ab

; a, b ∈ D e b 6= 0}, onde a

b= c

dse, e somente se, a · d = b · c.

Chamamos o elemento ab

de K de fracao e a e b 6= 0 em D, respectiva-

mente, de numerador e denominador da fracao.

Podemos dar a K uma estrutura de corpo.

Proposicao 7 (Corpo de fracoes de um domınio D)

Seja K ={

ab

; a, b ∈ D e b 6= 0}

com as operacoes

ab

+ cd

= a·d+b·cb·d

e ab· c

d= a·c

b·d,

onde no numerador e no denominador as operacoes sao as do domınio D.

Entao, valem as seguintes propriedades:

(i) K e um corpo,

(ii) D e um subanel de K,

(iii) se L e um corpo contendo D como subanel, entao K ⊂ L.

O corpo K e chamado corpo de fracoes do domınio D e, pelas proprie-

dades (iii) e (ii), e o menor corpo contendo D como subanel.

Demonstracao:

(i) Primeiramente, precisamos mostrar que a soma e o produto independem

do representante da classe, isto e, que as operacoes estao bem definidas.

De fato, suponhamos que ab

= a′

b′e c

d= c′

d′.

Entao, a · b′ (1)= b · a′, c · d′ (2)

= d · c′ eNao esqueca que todo

domınio e um anel

comutativo com unidade.

Em (3) usamos AM, M2,

M1. Em (4) usamos M2, (1)

e (2). Em (5) usamos M2,

M1, AM. Em (6) usamos M2

e M1. Em (7) usamos M2,

(1) e (2). Em (8) usamos

M2.

b′ · d′ · (a · d + b · c) (3)= (b′ · a) · (d′ · d) + (b′ · b) · (d′ · c)(4)= (a′ · b) · (d′ · d) + (b′ · b) · (c′ · d)(5)= b · d · (a′ · d′ + b′ · c′) .

Logo, a·d+b·cb·d

= a′·d′+b′·c′

b′·d′.

(a · c) · (b′ · d′)(6)= (a · b′) · (c · d′)(7)= (a′ · b) · (c′ · d)(8)= (b · d) · (a′ · c′)

M.L.T.Villela

UFF 48


Logo, a·cb·d

= a′·c′

b′·d′.

Agora devemos mostrar: A1, A2, A3, A4, AM, M1, M2, M3, concluindo

que K e um anel comutativo com unidade. Observe que as propriedades das

operacoes de K sao induzidas das propriedades das operacoes de D.

Faremos algumas delas.

A2: ab

+ cd

= a·d+b·cb·d

= c·b+d·ad·b

= cd

+ ab

Em D valem M2 e A2.

A3: O elemento neutro da adicao e 01, pois para todo a

b∈ K temos

01

+ ab

= 0·b+1·a1·b

= ab.

M1:(

ab· c

d

)

· ef

= a·cb·d

· ef

=(a·c)·e

(b·d)·f=

a·(c·e)

b·(d·f)= a

b· c·e

d·f= a

b

(

cd· e

f

)

M3: O elemento neutro multiplicativo, a unidade de K, e 11, pois para todo

ab∈ K temos

11· a

b= 1·a

1·b= a

b

Falta verificar as

propriedades: A1, A4 e M2.Verifique as outras propriedades.

Observe que ab

= 01

se, e somente se, a = a · 1 = b · 0 = 0.

Assim, todo ab6= 0

1e invertıvel e b

a∈ K e seu inverso, pois a

b·ba

= a·bb·a

= 11.

(ii) Observamos que a1

= b1∈ K se, e somente se, a = b.

Podemos ver D como um subconjunto de K, identificando cada a ∈ D

com a1∈ K. Neste caso, D = {a

1; a ∈ D} e

a1

+ b1

= a·1+b·11·1

= a+b1

, a1

+ −a1

= 01

e a1· b

1= a·b

1·1= a·b

1.

A segunda igualdade

significa que

−a1

= −a1

.

Logo, D e um subanel de K.

(iii) Se L e um corpo que contem D como subanel, entao para quaisquer

a, b ∈ D com b 6= 0 temos: a · b−1 ∈ L e

a ·b−1 = c ·d−1 se, e somente se, a ·d = (a ·b−1)(b ·d) = (c ·d−1)(b ·d) = b ·c.

Logo, K ⊂ L. �.

Veja os Exercıcios 12 e 13,

item (d).

Exemplo 19

(1) O corpo dos numeros racionais Q ={

ab

; a, b ∈ Z e b 6= 0}

e o corpo de

fracoes do domınio Z.

(2) O corpo Q(√

2) e o corpo de fracoes do domınio Z[√

2].

(3) O corpo Q(i) e o corpo de fracoes do domınio Z[i].


49 UFF


Exercıcios

1. Mostre que num anel A valem as seguintes propriedades:

(a) Se a + c = b + c, entao a = b.

(b) Se a + b = a para algum a, entao b = 0.

(c) −(a + b) = −a − b.

(d) Se A tem unidade 1, entao −1 e invertıvel.

2. Seja A um domınio. Mostre que valem as seguintes propriedades:

(a) a2 = 0 se, e somente se, a = 0.

(b) se a · b = 0 e b 6= 0, entao a = 0.

(c) a2 = a se, e somente se, a = 0 ou a = 1.

3. Mostre que todo corpo e um domınio.

4. Sejam A e B aneis e A × B = {(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}.

(a) Mostre que A × B e um anel com as operacoes:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d),

onde na primeira coordenada a adicao e a multiplicacao sao do

anel A e na segunda coordenada, do anel B.

(b) Mostre que se A e B sao aneis com unidades 1A e 1B, respectiva-

mente, entao A × B e anel com unidade.

(c) Mostre que A × B tem divisores de zero.

(d) Determine os elementos invertıveis de A × B, se A e B sao aneis

com unidades 1A e 1B, respectivamente.

5. Seja A um anel com unidade. Definimos A∗ = {a ∈ A ; a e invertıvel }.

Para cada anel A determine A∗:

(a) A = M2×2(Z).

(b) A = Z × Z.

(c) A = Z[i] = {a + bi ∈ C ; a, b ∈ Z}.

(d) A = Q.

6. Sejam A = Z × Z e B = Z × {0}. Mostre que:

M.L.T.Villela

UFF 50


(a) A e um anel comutativo com unidade e nao e um domınio.

(b) B e um subanel de A.

(c) B e um domınio e 1B 6= 1A.

7. Mostre que se A e um domınio e B e um subanel de A tal que B tem

unidade 1B, entao 1B = 1A.

8. Mostre que B e um subanel do anel A:

(a) A = Q e B ={ x

2n; x ∈ Z e n = 0, 1, 2, . . .

}.

(b) A = F(R) e B = C(R) = { f ∈ F(R) ; f e contınua }.

(c) A = C(R) e B = { f ∈ C(R) ; f e derivavel }.

9. Sejam A um anel, a ∈ A e B = { x ∈ A ; x · a = 0 }.

(a) Mostre que B e um subanel de A.

(b) Se A = Z e a ∈ Z e nao-nulo, determine B.

(c) Se A = Z × Z e a = (b, 0) com b 6= 0, determine B.

(d) Se A = M2×2(Z) e a =

(

1 1

0 0

)

, determine B.

10. Mostre que todo numero racional pode ser representado por uma fracao

com denominador positivo.

11. Seja Q(√

3) = { x + y√

3 ; x, y ∈ Q }. Mostre que:

(a) Q(√

3) e um subanel de R.

(b) Q(√

3) e um corpo.

(c) Z[√

3] e um subanel de Q(√

3).

(d) Q(√

3) e o corpo de fracoes de Z[√

3].

12. Seja Q(√

2) = { x + y√

2 ; x, y ∈ Q }. Mostre que:

(a) Q(√

2) e um subanel de R.

(b) Q(√

2) e um corpo.

(c) Z[√

2] e um subanel de Q(√

2).

(d) Q(√

2) e o corpo de fracoes de Z[√

2].

13. Seja Q(i) = { x + yi ; x, y ∈ Q }. Mostre que:


51 UFF


(a) Q(i) e um subanel de C.

(b) Q(i) e um corpo.

(c) Z[i] e um subanel de Q(i).

(d) Q(i) e o corpo de fracoes de Z[i].

M.L.T.Villela

UFF 52

Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidadePARTE 2 - SECAO 3

Polinomios com coeficientes em um anel

comutativo com unidade

Nesta secao definiremos o anel dos polinomios com coeficientes em um

anel comutativo com unidade. Veremos que as propriedades das operacoes

dos polinomios estao relacionadas diretamente com as propriedades da adicao

e multiplicacao do anel, e aprenderemos a efetua-las na pratica.

Voces estao familiarizados com expressoes do tipo ax2 + bx + c e

ax + b, sendo a, b e c numeros reais fixados e a 6= 0, sob o ponto de vista

geometrico. Estas expressoes sao polinomios com coeficientes reais e vao ser

estudadas agora sob o ponto de vista algebrico, isto e, essas expressoes serao

manipuladas, usando operacoes de adicao e multiplicacao.

Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja x um sımbolo nao

pertencente ao anel A, chamado uma indeterminada ou variavel sobre A.

Para cada numero natural j ≥ 1, designamos a j-esima potencia de x

por xj e escrevemos x1 = x.

Definicao 11 (Polinomio)

Um polinomio com coeficientes em A e uma expressao do tipo

O sımbolo∑

le-se como

somatorio ou soma e

convencionamos escrever

a0x0 = a0 .

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn =

n∑

j=0

ajxj,

onde n e um numero natural e aj ∈ A, para 0 ≤ j ≤ n.

Para 0 ≤ j ≤ n, os elementos aj sao chamados de coeficientes, as

parcelas ajxj de termos e os termos ajx

j tais que aj 6= 0 de monomios de

grau j do polinomio f(x). O coeficiente a0 e chamado de termo constante.

Convencionamos:

(a) Para cada numero natural n, chamar 0(x) = 0+0x+· · ·+0xn de polinomio

identicamente nulo e escrever 0(x) = 0.

(b) Chamar f(x) = a0 de polinomio constante.

(c) Escrever o polinomio f(x) com as j-esimas potencias de x em ordem

crescente ou em ordem decrescente, a saber, f(x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn

ou f(x) = anxn + · · · + a2x2 + a1x + a0.

(d) Nao escrever o termo ajxj sempre que aj = 0, quando houver algum

termo nao-nulo no polinomio.


53 UFF

Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidade

Exemplo 20

a. Dados os numeros reais a0 =3

2, a1 = −1, a2 =

√2 e a3 = 1, temos

f(x) =3

2− x +

√2x2 + x3 ∈ R[x].

b. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −√

5, a2 = 0, a3 = −π, a4 = 0

e a5 = −2,4, temos g(x) = 2 −√

5x − πx3 − 2,4 x5 ∈ R[x].

c. Dados os numeros reais a0 = 0, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,

temos h(x) = −x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].

d. Dados os numeros reais a0 = 5, a1 = −1 e a2 = 3, temos r(x) =

5 − x + 3x2 ∈ R[x].

e. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,

temos s(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].

f. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0, a4 = −3

e a5 = a6 = 0, temos t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].

g. As expressoes u(x) = x−2 + 3√

x + x5 e v(x) = 6√

x3 − 4x2 + 5

nao sao polinomios porque nem todos os expoentes da variavel x sao

numeros naturais.

O polinomio f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ A[x] pode tambem ser

escrito como f(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn+0xn+1+0xn+2+ · · ·+0xn+m, para

todo numero natural m ≥ 1. Portanto, quando comparamos dois polinomios

f(x), g(x) ∈ A[x], e possıvel assumir que os termos de ambos tem as mesmas

potencias de x.

Igualdade de polinomios:

Os polinomios f(x) = a0 + a1x1 + a2x

2 + · · · + anxn ∈ A[x] e

g(x) = b0 + b1x1 + b2x

2 + · · · + bnxn ∈ A[x] sao iguais se, e somente

se, aj = bj para todo j, tal que 0 ≤ j ≤ n. Escrevemos f(x) = g(x).

Isto e, f(x) e g(x) sao iguais apenas quando todos os coeficientes das

correspondentes potencias de x em f(x) e g(x) sao iguais.

Observe que, se f(x) e g(x) nao sao iguais, entao existe algum numero

natural j, com 0 ≤ j ≤ n e aj 6= bj. Neste caso, dizemos que f(x) e g(x) sao

diferentes e escrevemos f(x) 6= g(x).

No Exemplo 20, os coeficientes dos termos constantes dos polinomios

h(x) = −x + 3x2 − 3x4 e t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 sao diferentes; logo

h(x) 6= t(x). Enquanto s(x) = t(x), pois todos os coeficientes das mesmas

potencias de x em s(x) e t(x) sao iguais.

M.L.T.Villela

UFF 54


Exemplo 21

Os polinomios f(x) = x4−x5+4x2+3−2x e g(x) = 3+4x2−2x−x5 +x4

sao iguais, porque os seus coeficientes aj da j-esima potencia xj sao: a0 = 3,

a1 = −2, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1 e a5 = −1.

Escrevendo os polinomios com as potencias de x em ordem crescente, visua-

lizamos imediatamente a igualdade dos polinomios. Temos

f(x) = g(x) = 3 − 2x + 4x2 + x4 − x5.

O sımbolo 6≡ le-se como nao

e identico.

O sımbolo grau(f(x)) le-se

como grau de f de x.

Em todo polinomio nao identicamente nulo, f(x) 6≡ 0, algum coeficiente

deve ser diferente de zero, entao ha um maior numero natural n, tal que

an 6= 0. Definimos o grau de f(x) por grau(f(x)) = n e, nesse caso, an e

chamado de coeficiente lıder de f(x).

Os polinomios de grau n com coeficiente lıder an = 1 sao chamados de

polinomios monicos.

Importante: Nao definimos o grau do polinomio identicamente nulo, 0(x) ≡ 0.

Exemplo 22

O polinomio constante w(x) = 5 nao e identicamente nulo e grau(w(x)) =

0. Volte ao Exemplo 20 e observe que grau(f(x)) = 3, grau(g(x)) = 5,

grau(h(x)) = 4, grau(r(x)) = 2, grau(s(x)) = 4, grau(t(x)) = 4 e que f(x) e

o unico polinomio monico.

Note que:

grau(f(x)) = 0 se, e somente se, f(x) = a 6= 0, a ∈ A.

Denotamos o conjunto de todos os polinomios na variavel x com coefi-

cientes no anel comutativo com unidade 1A por A[x].

A[x] = { f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn | n ∈ N, aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n }.

No conjunto A[x] estao definidas as operacoes de adicao e multiplicacao

de polinomios.

Definicao 12 (Adicao de polinomios)

Definimos a adicao dos polinomios f(x) =

n∑

j=0

ajxj e g(x) =

n∑

j=0

bjxj de

A[x] por

f(x) + g(x) =

n∑

j=0

cjxj, onde cj = aj + bj, para 0 ≤ j ≤ n.

O resultado da adicao de

dois polinomios e chamado

de soma.


55 UFF


Exemplo 23

Sejam f(x) = 4x3 − 3x2+ 4x + 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2 e h(x) = −4x3 + 5x2− 3x + 1

em Z[x]. Entao,

Lembre que

a−b = a+(−b),

para quaisquer a e b no anel

A.

f(x) + g(x) = (4 + 0)x3 + (−3 + 2)x2 + (4 + (−5))x + (5 + (−2))

= 4x3 − x2 − x + 3,

f(x) + h(x) = (4 − 4)x3 + (−3 + 5)x2 + (4 − 3)x + (5 + 1)

= 0x3 + 2x2 + x + 6

= 2x2 + x + 6.

No exemplo anterior, observamos que

grau(f(x)) = grau(h(x)) = 3 e grau(f(x)+h(x)) = 2, enquanto grau(g(x)) =

2 e grau(f(x) + g(x)) = 3 = maximo { grau(f(x)), grau(g(x)) }.

Na adicao de polinomios vale a seguinte propriedade do grau.

Propriedade do grau: (Adicao de polinomios)

Sejam f(x) =

n∑

j=0

ajxj, com an 6= 0, e g(x) =

m∑

j=0

bjxj, com bm 6= 0.

Se f(x) + g(x) 6≡ 0, entaoO sımbolo max significa o

maior ou o maximo dos

numeros.grau(f(x) + g(x)) ≤ max{ grau(f(x)), grau(g(x)) } = max { n, m }

valendo a igualdade sempre que grau(f(x)) = n 6= m = grau(g(x)).

A adicao de polinomios tem diversas propriedades, que sao

consequencia das propriedades da adicao no anel A, conforme veremos a

seguir.

Propriedades da adicao:

Sejam f(x) =

n∑

j=0

ajxj, g(x) =

n∑

j=0

bjxj e h(x) =

n∑

j=0

cjxj em A[x].

(A1) Associativa: (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) ,

Lembre que

a adicao no anel A e

associativa (A1) e

comutativa (A2).

pois para quaisquer aj, bj, cj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos que

(aj + bj) + cj = aj + (bj + cj) .

(A2) Comutativa: f(x) + g(x) = g(x) + f(x) ,

pois para quaisquer aj, bj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos aj + bj = bj + aj.

(A3) Existencia de elemento neutro:

Como o polinomio identicamente nulo 0 =

n∑

j=0

0xj, entao f(x) = 0+f(x),

pois para qualquer aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n, temos aj = 0 + aj.

Lembre que no anel A

0 e o elemento neutro

aditivo.

M.L.T.Villela

UFF 56


(A4) Existencia de simetrico:

Dado f(x) =

n∑

j=0

ajxj, o polinomio −f(x) =

n∑

j=0

(−aj)xj e o simetrico de

f(x), sendo

f(x) + (−f(x)) =

n∑

j=0

0xj ,

Lembre que no anel A

−a e o simetrico de a.pois aj + (−aj) = 0 para qualquer aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n.

Exemplo 24

Consideremos os polinomios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x + 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2

e h(x) = −4x3 + 5x2 − 3x + 1 do Exemplo 23.

a. No Exemplo 23 determinamos f(x) + g(x) = 4x3 − x2 − x + 3.

Assim, (f(x) + g(x)) + h(x) = (4x3 − x2 − x + 3) + (−4x3 + 5x2 − 3x + 1)

= (4−4)x3+(−1+5)x2+(−1−3)x+(3+1) = 0x3+4x2−4x+4 = 4x2−4x+4.

b. A adicao de polinomios pode ser feita facilmente se escrevemos os po-

linomios numa tabela, onde nas primeiras linhas estao cada um dos po-

linomios com as potencias xj em ordem decrescente, e na ultima linha o

resultado da adicao, de maneira similar a adicao de numeros reais. Calcula-

remos g(x) + h(x) desse modo.

2x2 − 5x − 2

(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1

− 4x3 + 7x2 − 8x − 1

Nesse caso, g(x) + h(x) = −4x3 + 7x2 − 8x − 1.

c. Podemos usar este processo para calcular a soma de m polinomios,

construindo uma tabela com m + 1 linhas e tantas colunas quantas forem

necessarias. Por exemplo, para calcular f(x) + g(x) + h(x) a tabela tera

quatro linhas

4x3 − 3x2 + 4x + 5

2x2 − 5x − 2

(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1

0x3 + 4x2 − 4x + 4

Logo, f(x) + g(x) + h(x) = 4x2 − 4x + 4.

Definicao 13 (Multiplicacao de polinomios)

Definimos a multiplicacao dos polinomios f(x) =

n∑

j=0

ajxj e g(x) =

m∑

j=0

bjxj

em A[x] por


57 UFF


f(x) · g(x) =

n+m∑

j=0

cjxj

O resultado da multiplicacao

de dois polinomios e

chamado de produto.

sendoc0 = a0 · b0

c1 = a0 · b1 + a1 · b0

c2 = a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0

...

cj = a0 · bj + a1 · bj−1 + · · ·+ aj · b0 =∑

λ+µ=j

aλ · bµ

...

cn+m = an · bm .

Propriedade do grau: (Multiplicacao de polinomios)

Sejam A um domınio e f(x) =

n∑

j=0

ajxj, com an 6= 0, e g(x) =

m∑

j=0

bjxj,

com bm 6= 0. Entao,

Lembre que

em um domınio

a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0.

grau(f(x) · g(x)) = n + m

pois o coeficiente lıder de f(x) · g(x) e cn+m = an · bm 6= 0 .

A multiplicacao de polinomios tem as seguintes propriedades.

Propriedades da multiplicacao:

Sejam f(x) =

n∑

j=0

ajxj, g(x) =

m∑

j=0

bjxj e h(x) =

r∑

j=0

cjxj elementos

de A[x].

(M1) Associativa: (f(x) · g(x)) · h(x) = f(x) · (g(x) · h(x)) .

(M2) Comutativa: f(x) · g(x) = g(x) · f(x) ,Lembre que

no anel A a multiplicacao e

associativa e comutativa. pois para todo j com 0 ≤ j ≤ n + m , vale a identidade∑

λ+µ=j

aµbλ =∑

λ+µ=j

bλaµ .

Note que, em vista da definicao das operacoes:

• Para quaisquer j, k ∈ N, vale a identidade: xj · xk = xj+k.

• Se f(x) = a e g(x) = b0 + b1x + · · · + bmxm, entao

f(x) · g(x) = a · g(x) = a ·(

m∑

k=0

bkxk

)

=

m∑

k=0

(a · bk)xk

= (a · b0) + (a · b1)x + · · ·+ (a · bm)xm ,

M.L.T.Villela

UFF 58


pois, nesse caso, a0 = a, n = 0, e cj = a0 · bj = a · bj, para todo j ∈ N.

Em particular, A[x] tem a propriedade M3:

(M3) Existencia de elemento neutro multiplicativo :

1A · f(x) = f(x), para qualquer f(x) ∈ A[x] e 1A[x] = 1A.

• Se f(x) = axj com j ≥ 1, e g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm, entao

f(x) · g(x) = (axj) · g(x) = (axj) ·(

m∑

k=0

bkxk

)

=

m∑

k=0

(a · bk)xk+j

= (a · b0)xj + (a · b1)x

j+1 + · · ·+ (a · bm)xj+m ,

pois, nesse caso, temos a0 = 0, . . . , aj−1 = 0 aj = a, n = j, n+m = j+m,

c0 = 0, . . . , cj−1 = 0, cj = aj · b0 = a · b0, cj+1 = aj · b1 = a · b1, . . .,

cj+m = aj · bm = a · bm.

Combinando as tres observacoes anteriores com o fato da adicao de

polinomios corresponder a adicionar os coeficientes das potencias de x de

mesmo expoente em ambos os polinomios, obtemos mais uma propriedade,

que envolve as duas operacoes.

Propriedade da adicao e multiplicacao:Lembre que

no anel A a adicao e a

multiplicacao tem a

propriedade distributiva:

a(b+c) = ab+ac .

Sejam f(x) =

n∑

j=0

ajxj, g(x) =

n∑

j=0

bjxj e h(x) =

m∑

j=0

cjxj.

(AM) Distributiva: (f(x) + g(x)) · h(x) = f(x) · h(x) + g(x) · h(x) .

Com as propriedades acima da adicao e multiplicacao de polinomios

em A[x], obtivemos a seguinte proposicao.

Proposicao 8

Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Entao, A[x] e um anel co-

mutativo com unidade. Mais ainda, se A e um domınio, entao A[x] e um

domınio.

Demonstracao: So falta a ultima afirmacao. Suponhamos que A e um domınio

e sejam f(x), g(x) ∈ A[x] nao-nulos.

Digamos que grau(f(x)) = m e grau(g(x)) = n. Entao, pela proprie-

dade do grau, temos que grau(f(x) · g(x)) = m + n e logo, f(x) · g(x) 6= 0.

�

Exemplo 25

Sao aneis de polinomios muito importantes: Z[x], Q[x], R[x] e C[x].

Agora podemos fazer exemplos da multiplicacao de polinomios.


59 UFF


Exemplo 26

Consideremos os polinomios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x + 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2

e h(x) = −4x3 − 3x + 1 em Z[x].

a. Vamos calcular f(x) · g(x).

Usando a propriedade distributiva da multiplicacao de polinomios, temos

f(x) · g(x) = (4x3 − 3x2 + 4x + 5) · (2x2 − 5x − 2)(1)= 4x3·(2x2−5x−2)+(−3x2)·(2x2−5x−2)+4x·(2x2−5x−2)+5·(2x2−5x−2)(2)= (8x5−20x4−8x3)+(−6x4+15x3+6x2)+(8x3−20x2−8x)+(10x2−25x−10)(3)= 8x5 + (−20 − 6)x4 + (−8 + 15 + 8)x3 + (6 − 20 + 10)x2 + (−8 − 25)x − 10(4)= 8x5 − 26x4 + 15x3 − 4x2 − 33x − 10.

Observe que as igualdades acima foram obtidas:

(1) distribuindo as parcelas de f(x) na multiplicacao por g(x);

(2) distribuindo cada multiplicacao com respeito as parcelas de g(x);

(3) usando a definicao da adicao de polinomios

(4) fazendo a adicao dos coeficientes das potencias de x de mesmo expoente.

b. Vamos calcular h(x) · g(x).

Construiremos uma tabela, escrevendo h(x) na primeira linha e g(x) na se-

gunda, com as potencias de x em ordem decrescente. Fazemos a multiplicacao

usando a propriedade distributiva e calculando a multiplicacao dos termos

do polinomio g(x) por h(x), em ordem crescente das potencias de x e orga-

nizando na tabela os resultados parciais em ordem decrescente das potencias

de x. A ultima linha da tabela sera a adicao das multiplicacoes parciais.

− 4x3 − 3x + 1

(×) 2x2 − 5x − 2

8x3 + 0x2 + 6x − 2 −2 · (−4x3 −3x+1)

20x4 + 0x3 + 15x2 − 5x −5x · (−4x3 −3x+1)

−8x5 + 0x4 − 6x3 + 2x22x2 · (−4x3 −3x+1)

−8x5 + 20x4 + 2x3 + 17x2 + x − 2 adicao das 3 parcelas

Temos grau(h(x) · g(x)) = 5 = 3 + 2 = grau(h(x)) + grau(g(x)).

M.L.T.Villela

UFF 60


Exercıcios

1. Sejam f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, g(x) = x5 − x4 + x3 − 2x − 3,

h(x) = 2x3−2x2−x+2, r(x) = −2x3+3x2+5x−3 e s(x) = −x2+x−3

em Z[x]. Efetue a operacao e de o grau dos resultados nao identica-

mente nulos:

(a) f(x) + g(x) (b) x2 · f(x) − g(x) + x · h(x)

(c) g(x) + (3 − 2x2) · h(x) (d) g(x) + h(x) + r(x) + s(x)

(e) h(x) + r(x) (f) h(x) · s(x) + r(x) · s(x)

(g) (2x − 1) · r(x) − (3x + 2) · s(x) (h) (x2 − 1) · (x2 + 1) − (s(x))2

2. Determine em Z[x]:

(a) (x4 − 3x2 + 5)(2x + 3) + (x2 + 3x)(4x3 − 6x).

(b) 9x2(2x2 + 3) + 4x(3x3 − 2).

Se f(x) e um polinomio em

A[x], onde A e um anel e

n≥ 1 e um numero natural,

entao

(f(x))n = f(x) · f(x) · · · f(x)︸︷︷︸

n fatores

Convencionamos nao

escrever o sinal da operacao

de multiplicacao de

polinomios. Assim,

f(x)g(x) = f(x) · g(x).

3. Considere o anel Q[x]. Determine:

(a) (x2 + 2)(x2 − 2) (b) (x − 2)3 (c) (x − 1)2(x + 1)2

(d) (x + 3)(x + 1)(x − 4) (e) (x + 2)4 (f)(

1

2x − 4

)2

(g)(

1

3x + 3

)3

Lembre da formula do

binomio de Newton em Q

(a+b)n =

n∑

k=0

“n

k

”

an−kbk

4. Determine os numeros reais a, b, c e d para que as identidades de

polinomios sejam verdadeiras em R[x]:

(a) (a + 5)x3 + (1 − b)x2 + (2c − 1)x + (d + 2) ≡ 0.

(b 3ax7 − 2bx5 + 3cx4 + (d + 3) = x5 − x4 + 3.

(c) ax2 + bx + c = (ax − d)2.

(d) (b + d)x4 + (d + a)x3 + (a − c)x2 + (c + b)x = 4x4 + 2x2.

5. Determine numeros reais a, b, c e d tais que

f(x) + 2g(x) − 3h(x) = −3x4 + 5x3 − 3x2 + x + 2,

sabendo que f(x) = ax3 + 2x2 − x + d, g(x) = x3 + bx2 − 2x − 4 e

h(x) = x4 + 2x3 + dx2 + cx + c estao em R[x].

6. Dado o polinomio g(x) ∈ R[x], determine, em cada item, o polinomio

f(x) ∈ R[x], tendo a condicao indicada:

(a) f(x) + g(x) = 0, g(x) = x2 − x + 3.

(b) 2f(x)+3g(x) = 4x5+x3 +x2−x+1, g(x) = 2x4−x3−x2 +3x+5.

(c) 3f(x)−2g(x)+5x−3 = 6x3+5x2−3x−2, g(x) = 5ax3−bx2+2x+c.

7. Discuta, para a ∈ R, o grau do polinomio f(x) ∈ R[x]:

(a) f(x) = (a2 − 1)2x3 + (a2 − 3a + 2)x + a + 3


61 UFF


(b) f(x) = ax2 + 2ax + 9

(c) f(x) = (a3 − a)x3 + a(a − 1)x2 + a3 − 1

8. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Mostre que:

(a) A e um subanel de A[x].

(b) A[x]∗ = A∗, se A e um domınio.

(c) Se A e um corpo, entao A[x]∗ = A\{0}.

M.L.T.Villela

UFF 62

Aneis ordenados e aneis bem ordenadosPARTE 2 - SECAO 4

Aneis ordenados e aneis bem ordenados

Seja A um anel comutativo com unidade 1A.

Definicao 14 (Anel ordenado)

Um anel A, comutativo com unidade, e chamado de anel ordenado se existir

uma relacao binaria a ≤ b (menor ou igual), que tem as seguintes proprie-

dades:

Quando a≤ b, tambem

dizemos que b e maior ou

igual a a e escrevemos

b≥ a.

O1 (Reflexiva) Para qualquer a ∈ A, temos a ≤ a.

O2 (Antisimetrica) Para quaisquer a, b ∈ A, se a ≤ b e b ≤ a, entao a = b.

O3 (Transitiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, se a ≤ b e b ≤ c, entao a ≤ c.

O4 (Total) Dados a, b ∈ A, uma das afirmacoes e verdadeira:

a ≤ b ou b ≤ a.

OA (Compatıvel com a adicao) Para quaisquer a, b, c ∈ A,

se a ≤ b, entao a + c ≤ b + c.

OM (Compatıvel com a multiplicacao) Para quaisquer a, b, c ∈ A,

se a ≤ b e c ≥ 0, entao a · c ≤ b · c.

Usamos as seguintes notacoes:

a < b ⇐⇒ a ≤ b com a 6= b.

b > a (b maior do que a) ⇐⇒ a < b.

Observamos que num anel ordenado A, para cada a ∈ A vale uma das

seguintes propriedades: a > 0 ou a = 0 ou a < 0.

Definicao 15 (Positivo ou negativo)

Seja A um anel ordenado. Seja a ∈ A. Se a > 0 dizemos que a e positivo e

se a < 0 dizemos que a e negativo.

A ordem em Q e induzida

pela ordem de Z.

Exemplo 27

(1) Z e um domınio ordenado.

(2) Q ={

mn

; m, n ∈ Z, n 6= 0}

e um corpo ordenado, pois definimos:

a, b ∈ Q, a ≤ b ⇐⇒ b − a ≥ 0, onde


63 UFF

colombo

Nota

colombo

Realce


mn

> 0 ⇐⇒ m, n sao ambos positivos ou ambos negativos.

(3) R e um corpo ordenado.

Proposicao 9 (Propriedades de anel ordenado)

Seja A um anel ordenado e seja a ∈ A. Entao:

(i) Se a ≤ 0, entao −a ≥ 0.

(ii) Se a ≥ 0, entao −a ≤ 0.

(iii) a2 ≥ 0.

(iv) 1 > 0.

Demonstracao:

(i) a ≤ 0OA=⇒ a + (−a) ≤ 0 + (−a) =⇒ 0 ≤ −a ⇐⇒ −a ≥ 0.

(ii) a ≥ 0OA=⇒ a + (−a) ≥ 0 + (−a) =⇒ 0 ≥ −a ⇐⇒ −a ≤ 0.

(iii) a ≥ 0OM=⇒ a · a ≥ 0 · a =⇒ a2 ≥ 0.

a ≤ 0(i)

=⇒ −a ≥ 0OM=⇒ a · (−a) ≤ 0 · (−a) =⇒ −a2 ≤ 0

(i)=⇒ a2 ≥ 0.

(iv) 1 = 12 ≥ 0 e 1 6= 0 =⇒ 1 > 0. �

Atencao: Observamos que o corpo dos numeros complexos nao e um anel

ordenado pois, caso contrario, i 6= 0 e, pelo item (iii) da proposicao anterior,

−1 = i2 > 0 entao, pelo item (ii), 1 < 0, uma contradicao com o item (iv).

Proposicao 10

Se D e um domınio ordenado, entao o corpo de fracoes de D e um corpo

ordenado.

Demonstracao: Primeiramente, observe que se x = ab

∈ K, entao x pode

ser representado por uma fracao com denominador positivo. De fato, se

b > 0, nada ha a fazer. Suponhamos que b seja negativo. Entao, −b > 0 e

x = ab

= −a−b

.

A ordem em K e induzida pela ordem em D. Definimos

ab≤ c

d, com b > 0 e d > 0, se, e somente se, ad ≤ bc. (⋆)

Agora devemos verificar as seis propriedades da ordem em K.

O1 (Reflexiva): E claro que ab≤ a

b, pois ab − ba = 0.

O2 (Antisimetrica): Sejam ab≤ c

de c

d≤ a

b, com b > 0 e d > 0. Entao,

ad ≤ bc e bc ≤ ad. Pela propriedade O2 em D, temos ad = bc. Portanto,ab

= cd.

O3 (Transitiva): Dados ab≤ c

de c

d≤ e

fem K, com b > 0, d > 0 e f > 0,

entao ad ≤ bc e cf ≤ ed. Como f > 0 e b > 0, pela propriedade OM em

M.L.T.Villela

UFF 64


D, temos que (ad)f ≤ (bc)f e b(cf) ≤ b(ed). Pela propriedade O3 em D,

obtemos que adf ≤ bed. Como d > 0, pela propriedade OM em D, temos

af ≤ be. Pela definicao (⋆) da ordem em K, temos ab≤ e

f.

O4 (Total): Dados ab

e cd

em K, com b > 0 e d > 0, temos que, pela

propriedade O4 em D, ad ≤ bc ou bc ≤ ad. Logo, ab≤ c

dou c

d≤ a

b.

OA (Compatıvel com a adicao): Dados ab

≤ cd

e ef

em K, com b > 0,

d > 0 e f > 0, entao ad ≤ bc, com b > 0, d > 0 e f > 0. Pela propriedade

OM em D, f2 > 0 e (ad)f2 ≤ (bc)f2. Pela propriedade OA em D, obtemos

(ad)f2 + bedf ≤ (bc)f2 + bedf. Logo,

(af + be)(df) ≤ (cf + de)(bf), com df > 0 e bf > 0,

que e equivalente a,

ab

+ ef

= af+bebf

≤ cf+dedf

= cd

+ ef.

OM (Compatıvel com a multiplicacao): Dados ab≤ c

de e

f≥ 0, com b > 0,

d > 0 e f > 0, entao ad ≤ bc, com b > 0, d > 0, f > 0 e e ≥ 0. Pela

propriedade OM em D, temos ef ≥ 0 e (ad)(ef) ≤ (bc)(ef), com b > 0,

d > 0. Logo, (ae)(df) ≤ (bf)(ce), com df > 0 e bf > 0, que e equivalente aaebf

≤ cedf

. �

Voce deve verificar OM e

OA.

Definicao 16 (Valor absoluto)

Seja A um anel ordenado. Definimos o valor absoluto de a ∈ A por

| a |=

{a, se a ≥ 0

−a, se a < 0

O valor absoluto tem as seguintes propriedades.

Proposicao 11

Sejam A um anel ordenado e a, b ∈ A. Entao:

(i) | a |≥ 0 e | a |= 0 se, e somente se, a = 0.

(ii) − | a |≤ a ≤| a |.

(iii) | −a |=| a |.

(iv) | a · b |=| a | · | b |.

A desigualdade ao lado e

conhecida como

desigualdade triangular.

(v) | a + b | ≤ | a | + | b |.

(vi) | | a | − | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b |.

Demonstracao: Faca como exercıcio.

Agora vamos introduzir o conceito de anel bem ordenado.


65 UFF


Definicao 17 (Conjunto limitado inferiormente)

Seja S 6= ∅ um subconjunto de um anel ordenado A.

Dizemos que S e limitado inferiormente se existir um elemento a ∈ A,

tal que para todo s ∈ S temos s ≥ a.

Dizemos que S tem um menor elemento, se existir s0 ∈ S, tal que, para

todo s ∈ S, temos s ≥ s0.

Observacao (unicidade do menor elemento): O menor elemento, se existe, e

unico.

De fato, digamos que s0 e s1 sao menores elementos de um subconjunto

nao-vazio S de um anel ordenado A, entao:

s1 ≥ s0, pois s0 e um menor elemento de S e

s0 ≥ s1, pois s1 e um menor elemento de S,

logo, pela propriedade antisimetrica (O2) da relacao de ordem, s0 = s1. �

Definicao 18 (Domınio bem ordenado)

Um domınio ordenado A e chamado bem ordenado se, e somente se, todo

subconjunto nao-vazio de A limitado inferiormente tem menor elemento.

Exemplo 28

(1) Z, Q, R sao domınios ordenados.

(2) R nao e bem ordenado.

Consideremos o intervalo S = (0, +∞) ⊂ R. Entao, S e limitado inferior-

mente por 0 e S nao tem menor elemento.

(3) Q nao e bem ordenado.

Consideremos S ={

1n

; n = 1, 2, 3, . . .}⊂ Q. Temos

1 > 12

> 13

> 14

> · · · > 1n

> 1n+1

> · · · > 0.

S e limitado inferiormente por 0 e S nao tem menor elemento.

Para entender melhor um domınio bem ordenado, vamos ver mais pro-

priedades.

Proposicao 12

Seja A um domınio bem ordenado e seja a ∈ A. Se a > 0, entao a ≥ 1.

Demonstracao: Suponhamos, por absurdo, que existe um elemento a ∈ A,

tal que 0 < a < 1. Logo, o conjunto

S = {x ∈ A ; 0 < x < 1}

M.L.T.Villela

UFF 66


e nao-vazio e limitado inferiormente.

Portanto, S tem um menor elemento s0 e 0 < s0 < 1.

Segue de OM que 0 = 0 · s0 < s0 · s0 < 1 · s0 = s0, isto e, 0 < s02 < s0.

Como s0 < 1, pela transitividade da relacao de ordem, temos 0 < s02 < 1 e

logo, s02 ∈ S com s0

2 < s0, contradizendo o fato de s0 ser o menor elemento

de S. �

Corolario 1

Sejam A um domınio bem ordenado e a, b ∈ A. Se a > b, entao a ≥ b + 1.

Demonstracao: Como a > b, de OA segue que a − b > b − b = 0. Da

proposicao anterior temos que a − b ≥ 1 e, de OA, a ≥ b + 1. �

Observacao: Seja A um domınio bem ordenado. Seja a ∈ A tal que a > 0.

Entao, a ≥ 1. Se a 6= 1, entao a > 1 e, do corolario anterior, obtemos

a ≥ 1+1. Se a 6= 1+1, entao a > 1+1 e, do corolario anterior, a ≥ 1+1+1.

Prosseguindo com esse processo, temos

0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < 1 + 1 + 1 + 1 < · · · .

A propriedade acima nos lembra o domınio bem conhecido dos inteiros.

O domınio dos inteiros Z tem a propriedade da boa ordenacao, a saber:

Axioma (Princıpio da Boa Ordenacao): Todo conjunto nao-vazio de inteiros

nao-negativos tem menor elemento.

Como consequencia do Axioma da Boa Ordenacao de Z, temos que Z

e um domınio bem ordenado.

Proposicao 13

Todo subconjunto nao-vazio de inteiros limitado inferiormente tem menor

elemento.

Demonstracao: Seja S ⊂ Z, S 6= ∅ e limitado inferiormente, digamos por

k ∈ Z.

Consideremos T = {x − k ; x ∈ S}. Entao, T ⊂ Z e T 6= ∅, pois S 6= ∅.Como x ≥ k, para todo x ∈ S, entao x − k ≥ 0 e logo, T e um subcon-

junto nao-vazio de inteiros nao-negativos. Pelo axioma da boa ordenacao,

existe t0 ∈ T o menor elemento de T . Afirmamos que s0 = t0 + k e o menor

elemento de S.


67 UFF


De fato, t0 ∈ T . Logo, existe s0 ∈ S tal que t0 = s0 − k. Assim,

s0 = t0 + k ∈ S. Precisamos apenas mostrar que se x ∈ S, entao x ≥ s0.

Com efeito, suponhamos, por absurdo, que existe y ∈ S, tal que y < s0.

Entao, y − k < s0 − k = t0, com y − k ∈ T , contradizendo o fato de t0 ser o

menor elemento de T . �

Na verdade, mostraremos adiante que Z e o unico domınio bem orde-

nado. Deve ser estudado com mais cuidado.

Proposicao 14 (Propriedade Arquimediana de Z)

Dados a, b ∈ Z com b 6= 0, existe n ∈ Z tal que n · b ≥ a.

Demonstracao: Como b 6= 0, entao | b |> 0 e logo | b |≥ 1.

Como | a |≥ 0, por OM, temos | a | · | b |≥| a | ·1 =| a |≥ a.

Se b > 0, tome n =| a |, entao n · b =| a | · | b |≥ a.

Se b < 0, tome n = − | a |, entao

n · b = − | a | ·b =| a | ·(−b) =| a | · | b |≥ a. �

Proposicao 15 (Propriedade Arquimediana de Q)

Dados a, b ∈ Q com b 6= 0, existe n ∈ Z tal que n · b ≥ a.

Demonstracao: Escrevemos a = cd

e b = rs

com c, d, r, s ∈ Z, d > 0, s > 0 e

r 6= 0.

Consideremos os inteiros r·d 6= 0 e c·s . Pela propriedade arquimediana

de Z, existe n ∈ Z tal que n · (r · d) ≥ c · s.Como s · d > 0, entao 1

s·d> 0 e

n · b = n · rs

= n · r·ds·d

= n · (r · d) · 1s·d

≥ c · s · 1s·d

= c·sd·s

= cd

= a. �

Exercıcios

1. Demonstre as propriedades do valor absoluto num anel ordenado A.

2. Seja A um anel ordenado. Mostre que:

(a) Se a + c ≤ b + c, entao a ≤ b.

(b) Se a ≤ b e c ≤ d, entao a + c ≤ b + d.

(c) Se a ≤ b e c ≤ 0, entao a · c ≥ b · c.

(d) Se a < b e b < c, entao a < c.

M.L.T.Villela

UFF 68


(e) Se a < b e b ≤ c, entao a < c.

(f) Se a < b, entao a + c < b + c, para todo c.

(g) Se a ≥ 0 e b ≤ 0, entao a · b ≤ 0.

(h) Se a ≤ 0 e b ≤ 0, entao a · b ≥ 0.

3. Seja A um domınio ordenado. Mostre que:

(a) Se a < b e c > 0, entao a · c < b · c.

(b) Se a · c ≤ b · c e c > 0, entao a ≤ b.

(c) Se a · c ≤ b · c e c < 0, entao a ≥ b.

4. Seja A um domınio ordenado. Mostre que:

(a) Se a 6= 0, entao a2 > 0.

(b) 1 > 0 e −1 < 0.

5. Seja A um domınio ordenado.

(a) Mostre que para cada a ∈ A, | a | e o unico elemento x ≥ 0 tal

que x2 = a2.

(b) Para a ≥ 0, definimos o sımbolo√

a ∈ A como o unico x ∈ A, tal

que x ≥ 0 e x2 = a, se tal elemento existe.

Mostre que se a ≥ 0 e b ≥ 0 e√

a e√

b existem, entao√

a · bexiste e

√a · b =

√a ·

√b.

(c) Mostre que | a |=√

a2, para todo a ∈ A.

6. Seja A um domınio bem ordenado e sejam a, b ∈ A.

Mostre que se a · b = 1, entao a = b = 1 ou a = b = −1.

7. Seja A um domınio e suponhamos que existe P ⊂ A tendo as seguintes

propriedades:

(a) Para cada x ∈ A, temos x ∈ P, ou x = 0, ou −x ∈ P e essas tres

possibilidades sao mutuamente excludentes.

(b) Se x ∈ P e y ∈ P, entao x + y ∈ P e x · y ∈ P.

Mostre que A e um domınio ordenado com a seguinte relacao de ordem:

para a, b ∈ A, a < b ⇐⇒ b − a ∈ P.


69 UFF


8. Mostre que se A e um domınio ordenado, entao

P = {x ∈ A ; x > 0}

tem as propriedades (a) e (b) do exercıcio anterior.

Conclua que a relacao de ordem de um domınio ordenado esta perfei-

tamente determinada pelo conjunto dos elementos positivos.

9. Seja A um anel ordenado. Dizemos que um subconjunto T de A e

limitado superiormente se, e somente se, existe a ∈ A, tal que, para

todo t ∈ T , temos t ≤ a. Dizemos que um subconjunto T de A tem

maior elemento se, e somente se, existe t0 ∈ T , tal que, para todo t ∈ T ,

temos t ≤ t0.

Seja A um domınio ordenado. Mostre que A e bem ordenado se, e

somente se, todo subconjunto T de A limitado superiormente tem maior

elemento.

Sugestao: O conjunto S = {−t ; t ∈ T } e limitado inferiormente.

M.L.T.Villela

UFF 70

InducaoPARTE 2 - SECAO 5

Inducao

Uma tecnica muito utilizada em demonstracoes e o Princıpio de

Inducao Finita.

Apresentaremos este conceito e mostraremos que e consequencia do

Axioma da Boa Ordenacao do domınio dos numeros inteiros Z.

Consideremos, para n ∈ N, a seguinte afirmacao P(n): 3n < 2n.

Observamos que:

0 = 3 · 0 < 1 = 20 =⇒ P(0) e verdadeira

3 = 3 · 1 > 2 = 21 =⇒ P(1) e falsa

6 = 3 · 2 > 4 = 22 =⇒ P(2) e falsa

9 = 3 · 3 > 8 = 23 =⇒ P(3) e falsa

12 = 3 · 4 < 16 = 24 =⇒ P(4) e verdadeira

15 = 3 · 5 < 32 = 25 =⇒ P(5) e verdadeira

Na verdade, para todo n ≥ 4 e valida a desigualdade 3n < 2n. Podemos

demonstrar essa desigualdade, usando o princıpio da inducao finita.

O metodo de demonstracao por inducao finita consiste de se especificar

uma afirmacao ou proposicao P(n), dependendo de numeros inteiros n ≥ n0,

tais que P(n) pode ser verdadeira ou falsa. O princıpio assegura que para a

validade de P(n), para todo n ≥ n0, basta mostrar que:

(i) P(n0) e verdadeira;

(ii) para cada n ≥ n0, se P(n) e verdadeira entao, P(n + 1) e verdadeira.

Proposicao 16 (Princıpio de Inducao Finita - 1a forma)

Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirmacao P(n), tal

que:


(ii) para cada n ≥ n0, se P(n) e verdadeira, entao P(n + 1) e verdadeira.

Entao, para todo n ≥ n0, a afirmacao P(n) e verdadeira.

Demonstracao: Seja P(n) uma afirmacao, para n ≥ n0, tendo as propriedades

(i) e (ii) do enunciado. Consideremos

S = {n ∈ Z ; n ≥ n0 e P(n) e falsa }.

Vamos mostrar que S = ∅.


71 UFF

Inducao

Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Como S e um subconjunto dos

inteiros limitado inferiormente, pelo axioma da boa ordenacao, existe s0 ∈ S,

o menor elemento de S. Entao, s0−1 6∈ S, s0 ≥ n0 e, como P(n0) e verdadeira,

temos que s0 > n0. Portanto, P(s0 − 1) e verdadeira com s0 − 1 ≥ n0 e, pela

propriedade (ii), concluımos que P(s0) e verdadeira, contradizendo o fato que

s0 ∈ S. �

Na verificacao da propriedade (ii), quando supomos a afirmacao P(n)

verdadeira, chamamos de hipotese de inducao.

Exemplo 29

Vamos mostrar a validade da desigualdade 3n < 2n, para todo n ≥ 4.

Seja P(n) : 3n < 2n, para n ≥ 4.

Ja vimos que P(4) e verdadeira.

Seja n ≥ 4 e suponhamos P(n) verdadeira. Vamos mostrar que P(n + 1)

tambem e verdadeira.

Temos

2n+1 = 2 · 2n(1)

> 2 · (3n) = 3n + 3n(2)

≥ 3n + 12OA> 3n + 3 = 3(n + 1).

Portanto, P(n + 1) e verdadeira. Logo, P(n) e verdadeira, para todo n ≥ 4.

Em (1) usamos a hipotese de

inducao: 2n > 3n e OM.

Em (2) usamos que n≥ 4 e,

por OM, 3n≥ 12.

Exemplo 30

A soma dos n primeiros numeros inteiros positivos e n(n+1)

2.

Seja P(n) a igualdade 1 + 2 + · · · + n =n(n+1)

2, para n ≥ 1.

Para n = 1 temos 1 = 1·22

. Logo, P(1) e verdadeira.

Seja n ≥ 1 e suponhamos P(n) verdadeira, isto e, 1 + 2 + · · · + n =n(n+1)

2.

Vamos mostrar que a igualdade vale para n + 1. Temos:


inducao.(1 + · · · + n) + n + 1

(1)=

n(n+1)

2+ n + 1 =

n(n+1)+2(n+1)

2=

(n+1)(n+2)

2.

Portanto, P(n + 1) e verdadeira. Logo, P(n) e verdadeira para todo n ≥ 1.

Exemplo 31

Seja f(x) = 1x, para x ∈ R\{0}. Para todo n ≥ 1, temos f(n)(x) =

(−1)nn!

xn+1 .

De fato, para n = 1, a derivada de f(x) e f′

(x) = −1x2 =

(−1)1 ·1!

x1+1 e a igualdade

e verdadeira.

Seja n ≥ 1 e suponhamos que f(n)(x) =(−1)nn!

xn+1 . Entao,

M.L.T.Villela

UFF 72


f(n+1)(x)(1)= d

dx(f(n)(x))

(2)= d

dx

(

(−1)nn!

xn+1

)

(3)= (−1)nn!(−n − 1)x−n−2

=(−1)n+1(n+1)!

xn+2

Em (1) usamos a definicao

de derivada de ordem n+1,

em (2) usamos a hipotese de

inducao e em (3), as

formulas de derivacao.

Logo, a igualdade vale para n + 1.

Portanto, a igualdade vale para todo n ≥ 1.

Agora apresentamos a segunda formulacao do princıpio de inducao.

Proposicao 17 (Princıpio de inducao finita - 2a forma)

Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirmacao P(n), tal

que:


(ii) Para cada n > n0, se P(k) e verdadeira para n0 ≤ k < n, entao P(n) e

verdadeira.

Entao, a afirmacao P(n) e verdadeira para todo inteiro n ≥ n0.

Demonstracao: Seja P(n) uma afirmacao, para n ≥ n0, tendo as propriedades

(i) e (ii) do enunciado.

Seja S = {n ∈ Z ; n ≥ n0 e P(n) e falsa}.

Vamos mostrar que S = ∅.Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Entao, S e um subconjunto nao-

vazio de inteiros limitado inferiormente e, pelo axioma da boa ordenacao, S

tem um menor elemento, digamos s0. Como s0 ≥ n0 e P(n0) e verdadeira,

entao s0 > n0. Portanto, s0 − 1 ≥ n0 e, pela escolha de s0, para todo inteiro

k com n0 < k ≤ s0 − 1, temos k 6∈ S, o que significa que P(k) e verdadeira.

Pela propriedade (ii), P(s0) e verdadeira, contradizendo o fato que s0 ∈ S.

�

Exemplo 32

Seja xn uma sequencia definida por:

x1 = 1, x2 = 3 e xn = xn−1 + xn−2, para todo n ≥ 3.

Vamos mostrar que xn <(

74

)n, para todo n ≥ 1.

De fato, x1 = 1 < 74

e x2 = 3 < 4916

=(

74

)2.

Seja n ≥ 3 e suponhamos xk <(

74

)k, para todo k tal que 1 ≤ k < n. Entao,


73 UFF

Inducao

xn = xn−1 + xn−2

(1)

<(

74

)n−1+(

74

)n−2

=(

74

)n−2 (74

+ 1)

=(

74

)n−2 · 114

(2)

<(

74

)n−2 · 4916

=(

74

)n−2 ·(

74

)2

=(

74

)n


inducao e em (2), a

desigualdade 114

< 4916

e OM.

Pela transitividade da relacao de ordem, temos xn <(

74

)n. Portanto, a

desigualdade e verdadeira para n.

Logo, a desigualdade e verdadeira para todo n ≥ 1.

Exercıcios

1. Para n ≥ 0 seja P(n) : n2 + 5 > 6n.

(a) Verifique que P(0) e verdadeira e P(1), P(2), P(3), P(4) e P(5) sao

falsas.

(b) Mostre, por inducao sobre n, que n2 + 5 > 6n, para todo n ≥ 6.

2. Mostre, por inducao sobre n:

(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n + 1) = (n + 1)2;

(b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+1)(2n+1)

6;

(c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =(

n(n+1)

2

)2

;

(d) 14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 =n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)

30.

3. Mostre, por inducao sobre n:

(a) 2n ≥ 1 + n, para todo n ≥ 1;

(b) 2n3 − 3n2 + n + 31 ≥ 0, para todo n ≥ −2;

(c) n! ≥ 2n, para todo n ≥ 4;

(d) n! ≥ 3n, para todo n ≥ 7;

(e) n! ≥ 4n, para todo n ≥ 9;

(f) n + 3 < 5n2, para todo n ≥ 1;

(g) n2 < 2n, para todo n ≥ 5.

M.L.T.Villela

UFF 74


4. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja n ∈ N com n ≥ 1.

Definimos

an =

{a , se n = 1

a · an−1 , se n > 1

Para quaisquer a, b ∈ A\{0} e m, n ∈ N tais que m ≥ 1 e n ≥ 1,

mostre que:

(a) am · an = am+n.

(b) (am)n = am·n.

(c) an · bn = (a · b)n.

(d) Se a 6= 0, definimos a0 = 1A e se a e invertıvel e n < 0, definimos

an = (a−1)−n.

Mostre que se a, b sao invertıveis em A, entao as igualdades dos

itens anteriores valem em Z.

5. Seja x ∈ R. Mostre que xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1),

para todo n ≥ 2.

6. Sejam a1, r ∈ R. Para cada n ≥ 2, definimos an = an−1 + r. A sequencia a1,...,an e

uma progressao aritmetica.

(a) Mostre, por inducao sobre n, que an = a1 + (n − 1)r.

(b) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an mostre, por inducao sobre n, que

Sn =n(a1+an)

2.

7. Sejam a1, q ∈ R, com q 6= 0 e q 6= 1. Para cada n ≥ 2, definimos

an = an−1 · q.

A sequencia a1,...,an e

uma progressao geometrica.

(a) Mostre, por inducao sobre n, que an = a1 · qn−1.

(b) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an mostre, por inducao sobre n, que

Sn = an·q−a1

q−1.

8. Para n, m ∈ N, com n ≥ m ≥ 1, temos(

n

m

)

= n!(n−m)!m!

, onde n ≥ 1,

n! = n(n − 1) · . . . · 1, 0! = 1 e(

n

0

)

= 1.

(a) Mostre a seguinte igualdade

(

n

m−1

)

+(

n

m

)

=(

n+1

m

)

, para todo n ≥ 1 e n ≥ m ≥ 1. Essa igualdade e conhecida

como relacao de Stifel.

(b) Mostre, por inducao sobre n, que(

n

m

)

e um numero natural, para

todo n ≥ 1, n ≥ m ≥ 0.


75 UFF

Inducao

(c) Seja A um anel comutativo com unidade. Para quaisquer x, y ∈ A

e para todo n ≥ 1, mostre que

(x + y)n = xn +(

n

n−1

)

xn−1y1 +(

n

n−2

)

xn−2y2 + · · ·+(

n

1

)

x1yn−1 + yn

=

n∑

i=0

(

n

i

)

xn−iyi

Na expressao do somatorio

ao lado, convenciona-se

escrever yn = x0yn e

xn = y0xn.

9. Seja A um domınio ordenado e seja c ∈ A, tal que c ≥ −1.

Desigualdade de Bernoulli Mostre que, para todo numero natural positivo n, (1 + c)n ≥ 1 + nc.

M.L.T.Villela

UFF 76

Divisao euclidianaPARTE 2 - SECAO 6

Divisao euclidiana

Vamos estudar propriedades especıficas do domınio bem ordenado dos

inteiros.

A divisao no domınio dos inteiros nem sempre e exata, e possıvel fazer

a divisao com “resto pequeno”.

Teorema 1 (Divisao euclidiana)

Dados inteiros a, b com b 6= 0 existem inteiros q e r, unicamente determina-

dos, tais que:

a = b · q + r, onde 0 ≤ r <| b |.

Demonstracao: Consideremos o conjunto

S = {x ∈ N ; x = a − b · n, para algum n ∈ Z}.

S e nao-vazio pois, pela propriedade arquimediana dos inteiros, existe

um inteiro n0 tal que n0 · (−b) ≥ −a, logo x = a − n0 · b ≥ 0 e x ∈ S. Alem

disso, S e limitado inferiormente pois, por construcao, S ⊂ N. Pelo princıpio

da boa ordenacao, S tem menor elemento r.

Portanto, r = a − b · q, para algum q ∈ Z e, como r ∈ S, temos r ≥ 0.

Vamos mostrar que r <| b |.

Suponhamos, por absurdo, que r ≥| b |.

Entao, r =| b | +m. E claro que 0 ≤ m < r, pois | b |> 0. Portanto,

a = b · q + r

= b · q+ | b | +m =

{b · q + b + m = b · (q + 1) + m, se b > 0

b · q − b + m = b · (q − 1) + m, se b < 0

Assim, 0 ≤ m = a− b(q± 1) ∈ S, com m < r, contradizendo o fato de

r ser o menor elemento de S.

Agora vamos mostrar a unicidade de q e r. Suponhamos que

a = b · q1 + r1 = b · q2 + r2, com 0 ≤ r1 <| b | e 0 ≤ r2 <| b |.

Entao, − | b |< −r2 ≤ r1 − r2 <| b | −r2 ≤| b |.

Portanto, − | b |< r1 − r2 <| b |, que e equivalente a | r1 − r2 |<| b |.

Como b(q1 −q2) = r2 − r1, entao | b | · | q1 −q2 |=| r1 − r2 |<| b |, com

| b |> 0. Logo, 0 ≤ | q1 − q2 |< 1. Portanto, | q1 − q2 |= 0, isto e, q1 = q2.

Daı, obtemos r1 = r2 �


77 UFF

Divisao euclidiana

Na divisao euclidiana do inteiro a pelo inteiro b 6= 0, onde a = b ·q+ r

e 0 ≤ r <| b |, chamamos a de dividendo, b de divisor, q de quociente e r de

resto.

Exemplo 33

(1) Com a = 32 e b = 5, temos q = 6 e r = 2, pois 32 = 6 · 5 + 2.

(2) Com a = 27 e b = −4, temos q = −6 e r = 3, pois 27 = (−6) · (−4) + 3.

O nosso sistema de numeracao utiliza a base 10 e os algarismos 0, 1,

2,. . . , 9 para descrever os numeros inteiros. Por exemplo,

2.347.568 = 2×106+3×105 +4×104 +7×103 +5×102 +6×101 +8

Em geral, anan−1 . . . a1a0 = an10n+an−110n−1+ · · ·+a110+a0, onde

0 ≤ aj ≤ 9 e an 6= 0.

Podemos representar os inteiros em uma base b ≥ 2 e, de maneira

similar, usamos os algarismos 0, 1, . . . , b − 1.

Nos computadores e utilizado o sistema de numeracao de base 2, com

os algarismos 0, 1. Nesse sistema de numeracao temos que 101011 e a repre-

sentacao do numero 25 + 23 + 21 + 1 = 43.

Teorema 2

Dados inteiros a, b com a ≥ 0 e b > 1, existem naturais a0, a1, . . . , an, . . .,

determinados de modo unico, tendo as seguintes condicoes:

(i) existe um numero natural m tal que an = 0, para todo n ≥ m;

(ii) para todo n, temos que 0 ≤ an < b;

(iii) a = a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ anbn + · · · .

Quando a > 0, escrevemos (a)b = amam−1 . . . a1a0, onde m e o maior

ındice tal que am 6= 0.

Demonstracao: Fixemos b > 1. Consideremos

S = {x ∈ N ; x tem as condicoes do enunciado }.

Vamos mostrar que S = N, que e equivalente a mostrar que S′, seu

complementar em N, e o conjunto vazio.

Suponhamos, por absurdo, que S′ 6= ∅. Como S′ ⊂ N, S′ e limitado

inferiormente. Pelo princıpio da boa ordenacao, S′ tem menor elemento c e

c > 0, pois 0 ∈ S.

Pela divisao euclidiana de c por b, temos c = b ·q+ r, onde 0 ≤ r < b.

Observamos que 0 < q < c e logo, q 6∈ S′, isto e, q ∈ S. Portanto,

q = a1 + a2b + · · · + ambm−1,

M.L.T.Villela

UFF 78


com a1, . . . , am, unicamente determinados e 0 ≤ aj < b, para j = 1, . . . , m.

Tomando a0 = r, temos c = b · q + r = a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ ambm,

com 0 ≤ aj < b e j = 0, 1, . . . , m.

Suponhamos que:

c = a′0 + q′b com 0 ≤ a′

0 < b e q′ = a′1 + a′

2b + · · · + a′nbn−1.

Pela unicidade do quociente e do resto na divisao euclidiana de c por b,

temos que a′0 = a0 e q′ = q. Como q ∈ S, temos a unicidade de a1, . . . , am.

Logo, n = m e a′j = aj, para j = 1, . . . , m. Portanto, c ∈ S, contradizendo

o fato de c ∈ S′ = N\S. Logo, S′ e vazio e S = N. �

Exemplo 34

Vamos escrever 26 na base 2, isto e, vamos determinar (26)2.

Procuramos a maior potencia de 2 que nao ultrapassa 26.

Temos que 16 = 24 < 26 < 32 = 25. Fazemos a divisao euclidiana de 26 por

24. Logo, 26 = 1 · 24 + 10.

Procuramos a maior potencia de 2 que nao ultrapassa 10.

Temos que 23 = 8 < 10 < 16 = 24. Fazemos a divisao euclidiana de 10 por

23. Logo, 10 = 1 · 23 + 2. Portanto,

26 = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 =⇒ (26)2 = 11010

Exemplo 35

Qual o numero a, sabendo que (a)3 = 1021 ?

Temos que a = 1 · 33 + 0 · 32 + 2 · 31 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34.

Exercıcios

1. Sejam a, b ∈ Z com a ≥ 0 e b > 0. Mostre, por inducao sobre a, que

existem inteiros q, r com 0 ≤ r < b, tais que a = q · b + r.

2. Determine q e r na divisao euclidiana:

(a) de a = 25 por b = 7.

(b) de a = 25 por b = −7.

(c) de a = −25 por b = 7.

(d) de a = −25 por b = −7.


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Divisao euclidiana

(e) de a = 32 por b = 6.

(f) de a = 32 por b = −6.

(g) de a = −32 por b = 6.

(h) de a = −32 por b = −6.

(i) de a = 9 por b = 11.

(j) de a = 9 por b = −11.

(k) de a = −9 por b = 11.

(l) de a = −9 por b = −11.

3. Se o quociente e o resto da divisao euclidiana de a por b sao, respecti-

vamente, q e r, determine o quociente e o resto da divisao euclidiana

de a por −b e de −a por b.

4. Quais os numeros inteiros que quando divididos por 4 dao resto igual

(a) a metade do quociente;

(b) ao quociente;

(c) ao dobro do quociente;

(d) ao triplo do quociente.

5. Mostre, usando a divisao euclidiana, que todo numero inteiro e da forma

2n ou 2n+1 com n ∈ Z. Os numeros da forma 2n sao chamados pares

e os da forma 2n + 1 sao chamados ımpares. Mostre que:

(a) a soma de dois numeros pares e par;

(b) a soma de dois numeros ımpares e par;

(c) a soma de um numero par com um ımpar e ımpar;

(d) o produto de dois numeros e par, se um deles e par;

(e) o produto de dois numeros ımpares e ımpar;

(f) o produto de dois inteiros consecutivos e par.

6. Seja a ∈ Z. Mostre que:

(a) se 2 divide a2 entao 2 divide a;

(b) se 3 divide a2 entao 3 divide a.

7. Mostre que se a, b, c sao tres inteiros consecutivos, entao apenas um

deles e divisıvel por 3.

M.L.T.Villela

UFF 80


8. Mostre que se a, b, c, d sao quatro inteiros consecutivos, entao apenas

um deles e divisıvel por 4.

9. Escreva uma propriedade que generaliza os dois exercıcios anteriores e

demonstre esta propriedade.

10. Dado o natural n e a base b, determine (n)b:

(a) n = 123 e b = 8;

(b) n = 123 e b = 5;

(c) n = 123 e b = 3;

(d) n = 123 e b = 2.

11. Dada a base b e (n)b, determine o natural n:

(a) b = 2 e (n)2 = 11011;

(b) b = 3 e (n)3 = 21201;

(c) b = 5 e (n)5 = 1432;

(d) b = 4 e (n)4 = 1032.


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Divisao euclidiana

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