PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SULFACULDADE DE MATEMTICAMATEMTICA PARA QUMICOS IVETORESProf. Francisco LealMoreira2005/2SUMRIO1.OS CONJUNTOS E......................................................................................................................................1 1.1. O CONJUNTO ........................................................................................................................................11.2. O CONJUNTO .........................................................................................................................................12.VETORES.......................................................................................................................................................22.1. INTRODUO.........................................................................................................................................22.2. REPRESENTAES DE UM VETOR....................................................................................................4 2.3. VETOR NULO ........................................................................................................................................52.4. VETORES IGUAIS ..................................................................................................................................52.5. VETORES OPOSTOS..............................................................................................................................62.6. OPERAES COM VETORES ..............................................................................................................62.7. VETORES COLINEARES.......................................................................................................................82.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES ...................................................................................................92.9. RESPOSTAS...........................................................................................................................................103.PRODUTO ESCALAR.................................................................................................................................113.1. MDULO DE UM VETOR....................................................................................................................113.2. VETOR UNITRIO................................................................................................................................113.3. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS...................................................................................................123.4. VERSOR DE UM VETOR.....................................................................................................................123.5. NGULO DE DOIS VETORES.............................................................................................................123.6. VETORES ORTOGONAIS....................................................................................................................133.7. PROJEO DE UM VETOR.................................................................................................................133.8. RESPOSTAS...........................................................................................................................................144.PRODUTO VETORIAL...............................................................................................................................154.1. INTERPRETAO GEOMTRICA DO MDULO DOPRODUTOVETORIAL..............................164.2. RESPOSTAS...........................................................................................................................................165.PRODUTO MISTO.......................................................................................................................................185.1. INTERPRETAO GEOMTRICA DO MDULO DO PRODUTO MISTO....................................195.2. RESPOSTAS...........................................................................................................................................206.BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................................................201.OS CONJUNTOS 2E 3 1.1. O CONJUNTO 2 2= x ={ } y , x / ) y , x (y y1P(x1,y1) P(x,y)Ox y = 0

P(x,y)Oy x = 00x1 xE1) Represente graficamente os conjuntos:1) {(x,y)2 / y = x}2) {(x,y)2 / yx}3) {(x,y)2 / y < x} 4) {(x,y)2 / y < 3 - x}5) {(x,y)2 / x < 2}6) {(x,y)2 / 2 y 1 < } 7) {(x,y)2 / 20 e sentido contrrio se e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. Seu = (x1, y1)2 ev= ( x2, y2 ) 2 ento u.v = x1.x2 + y1.y2 . Seu = (x1, y1 , z1)3 e v= ( x2, y2 , z2) 3 ento u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.E1) Determinar u . v ,sabendo que u =(1,-2) e v =(4,2).

E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular BC . AB3.1. MDULO DE UM VETORChama-se mdulo(ou comprimento) do vetorvo nmero real no negativo calculado por v . v . No 2 , sev =(x,y ) ento2 2y x | v | + No 3 ,sev =(x,y,z ) ento2 2 2z y x | v | + + E3) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,3), calcular | u | e | v | .E4) Dados os pontos A(1,3,0)e B(-2,m,-2), calcular m para que |AB| = 7.PROPRIEDADES DO MDULO: a) | u | 0 e | u | = 0 u= 0 b) | -u | = | u | c)| u | = | |.| u |d) | u + v | | u | + | v |3.2. VETOR UNITRIO Chama-se vetor unitrio qualquer vetor v de comprimento igual a 1(um), isto | v| =1.

E5) Determinar o valor de n para que o vetor )54, n ( w seja unitrio.113.3. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOSA distnciad entre dois pontos A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) o comprimento do vetor No2 , se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) ento AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ) edAB =21 221 2) y y ( ) x x ( + . No3 , se A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) ento AB =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e dAB =21 221 221 2) z z ( ) y y ( ) x x ( + + .E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqidistante dos pontosA(1,-3,7) e B(5,7,-5).E7) Determine o ponto do plano eqidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2).3.4. VERSOR DE UM VETORVersor de um vetorno nulo v o vetor unitrio de mesma direo e mesmo sentido dev . versor de v =| v |vE8) Determinar os versores dos vetoresu = (0,-3,4) e v = (-1,1).PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR a)u . v = v . u

b)u .( v + w ) =u . v + u . w

c) ( u . v ) = ( u ). v = u .( v ),com 3.5. NGULO DE DOIS VETORES Seu 0 , v 0 e o ngulo dos vetoresu e v , com 180 0 . v v u Da lei dos co-senos: |u v|2 = |u|2 + |v|2 2|u|.|v| cos (1) uMas |u v|2 = (u v).(u v) = u.u 2u.v + v.v = |u|2 2 u.v + |v|2 (2)Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cos ou cos =| v | . | u |v . u.E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se < < 90 0 .E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se < < 180 90 .12E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se 90 .E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se 0 .E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se 180 .E14) Calcular os ngulos entre os vetoresue v , sendo:a)u =(1,2) e v =(-1,2)b)u =(2,-1) e v =(1,2)c)u =(0,2) e v =(0,1)d)u =(1,1,4) e v =(-1,2,2)e)u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2) f)u =(0,2,4) e v =(0,1,2) E15) Sabendo que o ngulo entre os vetoresu =(2,1,-1) e v =(1,-1,m+2) 3, calcular m.3.6. VETORES ORTOGONAISSeu ortogonal av , o ngulo entre os vetores u e v 90o e cos= 0, logo de 4.4.u .v = 0.uvu . v = 0E16) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,m,-5), calcular m para queu ev sejam ortogonais.E17) O tringulo de vrticesA(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) retngulo ?E18) Determinar um vetor ortogonal ao vetor) 2 , 1 , 3 ( w .E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:a) as componentes de + CA 5 BC 2 AB 3b) o mdulo de BC c) o versor de CAE20) Dados os vetores j 3 i 3 u + ,k 2 j i 2 v + ek 5 j 4 i 3 w + , determinar: a)w . u b) ) w v .( u +c)o ngulo entreu e v d) o versor deu e) o valor de m para que o vetor k 4 j 5 mi p + + seja ortogonal au - v3.7. PROJEO DE UM VETORw a projeo deusobrev . Como ( u - w ). v = 0(1)ew = . v(2), uu - wsubstituindo a (2) em (1)e isolando ,vem: =v . vv . u

v w Substituindo oencontrado em (2), conclui-seque w =v .v . vv . uu projv

,_

13E21) Encontre a projeo do vetor u sobre o vetor v, sendo:a) u = (1,1) e v = (2,0)b)u = (1,1,1) e v = (3,3,0)3.8. RESPOSTAS

E1) 0 E2) -1

E3) 3 e 5 E4) m = -3 ou m = 9 E5) n =53t E6) (0,2,0) E7) (1,-2) E8))54,53, 0 ( ; )21,21( E9) u.v > 0 E10) u.v < 0 E11) u.v = 0 E12) Paralelos de mesma direo e mesmo sentido. E13) Paralelos de mesma direo e sentidos contrrios. E14)a)= arc sen(3/5)b) 90oc) 0o d) 45oe) 90of) 0o E15) m = -4 E16) m = -3 E17) SIM E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a 2c E19) a) (-9,1,3) b) 3 c))31,32,32( E20) a) 21 b) 30 c) 45o d)) 0 ,22,22(e) m = -18 E21) a) (1,0)b) (1,1,0)144.PRODUTO VETORIAL Dados os vetoresu = (x1, y1 , z1) e v= ( x2, y2 , z2), chama-se produto vetorial deu por v , nesta ordem,ao vetor representado poru x v e calculado por: u x v =2 2 21 1 1z y xz y xk j i O produto vetorial no est definido no 2 .E1) Determinar u x v ,sabendo que u =(1,-2,4) e v =(4,2,-5).E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular BC x ABPROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIALa)u x u=0

b)u x v= - v x u c)u x( v + w ) =u x v + u x w d) ( u x v ) = ( u )x v = u x( v ),com e)u x v=0 se e somente se, um dos vetores nulo ou os dois so colineares. f)u x v simultaneamente ortogonal aos vetoresu e v e o sentido deu x v dado pela regra da mo direita ou pela regra do saca rolhas.g)| u x v| = | u |.| v|.sen u x v vu15 Observao: Da propriedade e, u // vu x v=0 E3)Dados os vetores k 2 j 4 i 3 u + + ek j i 2 v + + , determinar:a)u x v b)v x uc) um vetor unitrio simultaneamente ortogonal au - vev + ud) o valor de m para que o vetor k ) 5 m ( j 2 i ) m 9 ( w + + + seja paralelo au x v 4.1. INTERPRETAO GEOMTRICA DO MDULO DOPRODUTOVETORIAL O mdulo do produto vetorial de dois vetoresu e v igual a rea do paralelogramo cujos lados so determinado pelos vetoresu e v . C DAABCD = | u |. h = | u |. | v |. sen vda propriedade g,| u |. | v |. sen= | u x v|h AB Logo AABCD = | u x v| u Importante:AABC = 2| v x u | E4) Dados os pontosA(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determinar: a) a rea do paralelogramo determinado pelos vetores ABe AC; b) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores ABe AC relativa ao lado AB; c) a rea do tringulo de vrtices A, B e C.4.2. RESPOSTASE1) (2,21,10)E2) (9,-7,1)E3) a) (2,1,-5) b) (-2,-1,5) c) )630,3030,1530( t t t d) m = -516E4) a) 13b) 2929 13 c) 213175.PRODUTO MISTO Dados os vetoresu = (x1, y1 , z1), v= ( x2, y2 , z2)ew =(x3, y3 ,z3) , chama-se produto misto dos vetores u , vew , nesta ordem, ao nmero real representado por ( u , v , w ) e calculado poru .( v x w ) ou(u,v,w)=3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y x O produto misto no est definido no 2 . E1) Dados os vetoresu =(-2,1,2) ,v =(1,-1,1) e w = (1,1,1) , calcular:a) ( u,v,w) b) (v,u,w) c) (v,w,u)PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO a)(u,v,w) = 0 se um dos vetores nulo, se dois deles so colineares, ou se os trs so coplanares. b) Na permutao de dois dos trs vetores , o produto misto( u,v,w) muda de sinal. c) (u,v,w) = ( u,v,w) = (u, v,w) = (u,v, w),com . Importante: Vetores coplanares so vetores que possuem representantes num mesmo plano. a) Dois vetores so sempre coplanares. b) Trs vetores u, v e w do 3 so coplanares se (u,v,w) = 0. c) Trs vetores u, v e w do 3 so coplanares se u = av + bw. d) Quatro pontos do 3 so coplanares se trs vetores formados por eles so coplanares.E2)Verificar se so coplanares os vetores:a)u =(1,-1,0) ,v =(2,1,3) e w = (3,2,1)b)u =(1,-1,-2) ,v =(3,-2,5) e w = (5,-4,1)18E3)Qual deve ser o valor de n para que os vetoresu =(3,n,2) ,v =(4,0,1) e w = (2,-1,-2) para que os vetores sejam coplanares ? E4)Verificar se os pontosA(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) esto num mesmo plano.5.1. INTERPRETAO GEOMTRICA DO MDULO DO PRODUTO MISTO O mdulo do produto misto (u,v,w) igual ao volume do paraleleppedo cujas arestas so determinadas pelos vetoresu, v e w. V = Sb.h ,Sb = |vxw| e h = | u |.|cos| v x wV = | vx w|. | u |.|cos| V = | | vx w|. | u |.cos |u h V = | u.( vx w )|| wV = | ( u , v , w ) | v E5) Dados os pontosA(1,1,-1), B(2,2,-1) , C(3,1,-1) e D(2,3,1), determinar:a) o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores AB,ACe AD.b) a altura do paraleleppedo determinado pelos vetores AB,ACe AD relativa a face determinada por ABe AC.c) o volume do tetraedro cujos vrtices so: A, B, C e D(o volume do tetraedro de vrtices A, B e C asexta parte do volume doparaleleppedo determinado pelos vetores AB,ACe AD). E6) Dados os vetoresu =(x,5,0) ,v =(3,-2,1) e w = (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do paraleleppedo determinado poru , ve w seja 24 u.v. E7) Determinar o valor depara que:a) ( ,3,-7)x(11,1,10) =(37,-87,-32)b)(10, ,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36E8) Dados os vetores k 2 j 4 i 3 u + + ek j i 2 v + + , determinar( u x v).(u - v ). 19E9) Dados os pontosA(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determinar: a) o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores AB,ACe AD. b) a rea do paralelogramo determinado pelos vetores AB eAC.E10)Determine o valor de p e q para que: a)(p,5,q).(2,4,6) = 30b)(p,q,-7)x(11,1,10) = (37,-87,-32) c)(10,q,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36 5.2. RESPOSTASE2) a) NO b) SIME3) n =21E4) SIME5) a) 4b) 2c) 32E6) x = 4 ou x = -44 E7) a) = 1 b) = 16E8) 0 E9) a) 2b) 1 E10) a) p = 5 3qb) p = 1 e q = 3 c) q = 166.BIBLIOGRAFIABOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Introduo geometria analtica no espao. So Paulo: Makron Books do Brasil, 1997.STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria analtica. So Paulo: McGraw- Hill, 1987. WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analtica. So Paulo : Makron, 2000.20