mat caa 6a vol1 af.indd 2 11/19/09 6:31:25 pm · observe a tabela abaixo com os algarismos...

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Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar os conhecimentos matemáticos de forma contextuali- zada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas exercícios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com técnicas transforma- das em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situações podem ser vistas como pon- to de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática. Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e cria- tividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas, não tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e dê sua opinião. Se precisar, peça ajuda ao professor. Ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos; assim você evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e peça ajuda aos colegas. A troca de ideias é fundamental para a construção do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que você vai descobrir isso. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Equipe Técnica de Matemática MAT_CAA_6a_vol1_AF.indd 1 11/19/09 6:31:25 PM

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Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros.

Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro.

Este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar os conhecimentos matemáticos de forma contextuali-zada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas exercícios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com técnicas transforma-das em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situações podem ser vistas como pon-to de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e cria-tividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas, não tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e dê sua opinião.

Se precisar, peça ajuda ao professor. Ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos; assim você evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e peça ajuda aos colegas. A troca de ideias é fundamental para a construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que você vai descobrir isso.

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Equipe Técnica de Matemática

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: DO EGITO AO COMPUTADOR

!?

Observe a tabela abaixo com os algarismos hieroglífi cos utilizados pelos egípcios antigos.

100 101 102 103 104 105 106

O hieróglifo que representa 1 000 é uma fl or de lótus, muito presente às margens do Rio Nilo. É curioso notar que o símbolo de 100 000 (um número grande) é um girino, que normalmente é visto em grandes quantidades nas margens dos rios.

A formação de números nesse sistema é muito simples, usando-se apenas o princípio aditivo, como se pode observar por meio dos exemplos a seguir:

4 17 253 1 100

Leitura e Análise de Texto

Sistema egípcio antigo de numeração

Por volta de 3000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a represen-tação dos algarismos utilizando símbolos, muitos dos quais fazendo alguma referência à fauna e à fl ora das proximidades do Rio Nilo, local que habitavam. A base do sistema egípcio de numeração, assim como a do nosso sistema, é decimal, o que signifi ca que os agrupamentos são feitos em potências de 10.

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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VOCÊ APRENDEU?

1. Explique em palavras as representações dos números 4, 17, 253 e 1 100 no sistema egípcio de numeração, conforme apresentado nos exemplos da seção anterior.

2. No sistema egípcio, a posição em que os algarismos são colocados interfere na formação do número? Utilize os exemplos apresentados no texto da seção Leitura e Análise de Texto para justificar sua resposta.

3. Qual é o maior número que pode ser formado com os símbolos do sistema egípcio indicados na tabela do texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto?

4. Com apenas 10 algarismos, podemos representar qualquer número no nosso sistema de nu-meração. Quantos hieróglifos seriam necessários no sistema egípcio para representar todos os números naturais?

PESQUISA INDIVIDUAL

Como você percebeu fazendo a atividade anterior, os símbolos usados na escrita dos números do sistema egípcio não dão conta da representação de números muito grandes. Se quiséssemos escrever números maiores que 9 999 999, teríamos que ter novos símbolos para representar 10 000 000, 100 000 000, 1 000 000 000, etc. Faça uma pesquisa sobre ele-mentos da fauna e da flora da região do Rio Nilo e crie “novos hieróglifos” para representar 10 milhões e 100 milhões.

Em seguida, represente a distância média entre a Terra e o Sol (150 000 000 km) com os símbolos do sistema egípcio, acrescidos aos símbolos que você criou.

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

5

Observe com atenção as cunhagens a seguir, usadas para representar alguns números no sistema de numeração da Mesopotâmia:

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

12

15

2021

48

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

123

4

5

1011

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

84

119

120

559

600

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

59

60

61

63

72

Analisando com atenção a tabela, percebe-se que só existem dois tipos de cunhagens, que são: , para o 1, e , para o 10. Essas marcas eram feitas com o mesmo bastonete, mudando-se apenas sua inclinação de vertical para horizontal. Do 1 ao 59, os números são

Leitura e Análise de Texto

Sistema mesopotâmico antigo de numeração

O sistema de numeração dos povos que viveram na Mesopotâmia por volta de 2000 a.C. é um dos mais antigos sistemas posicionais que conhecemos. Dizemos que um sistema de numeração é posicional quando as posições dos símbolos marcam os agrupamentos. Em nosso sistema, por exemplo, o símbolo colocado mais à direita de um número inteiro indica as unidades, em seguida vêm o símbolo das dezenas, o das centenas e assim sucessivamente. Se por um lado o sistema mesopotâmico antigo de numeração era posicional, como o nosso, por outro ele não utilizava agrupamentos em potências de 10, como no caso do nosso sistema decimal de numeração. Os agrupamentos no sistema mesopotâmico eram feitos em potên-cias de 60, por isso dizemos que é um sistema de numeração sexagesimal, ou de base 60.

A escrita mesopotâmica era feita em placas de argila com o uso de bastonetes, cunhando-se o barro, daí o nome de escrita cuneiforme.

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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formados usando-se apenas o princípio aditivo, e cada grupo de 10 marcas da unidade () é substituído pela marca de uma dezena (), o que nos dá a falsa impressão de que se trata de um sistema decimal. Veja que o número 60 passa a ser representado novamen-te pela marca da unidade, sugerindo que os agrupamentos são feitos em potências de 60. De fato, como dissemos, o sistema mesopotâmico de numeração era posicional e sexage-simal (base 60). No nosso sistema de numeração, as casas, ou posições, são marcadas por potências de 10 (unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar, etc.), o que significa dizer, por exemplo, que um algarismo colocado na terceira casa da direita para a esquerda de um número inteiro representa o total de centenas do número. Comparativamente, no sistema mesopotâmico, as casas, ou posições, da direita para a esquerda representam as se-guintes potências de 60: 600, 601, 602, 603, ...

Seguem exemplos dos números 952, 25 704 e 43 203 escritos no sistema mesopo-tâmico, com potências de 60, e no indo-arábico, com potências de 10:

602 601 600

601 600 102 101 100

9 5 2

104 103 102 101 100

2 5 7 0 4

602 601 600 104 103 102 101 100

4 3 2 0 3

VOCÊ APRENDEU?

1. Leia com atenção o texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, sobre o sistema mesopotâmico de numeração e busque compreender os exemplos apresentados. Em seguida, escreva os números 758 e 226 no sistema mesopotâmico de numeração.

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2. No sistema mesopotâmico, o símbolo pode corresponder a diferentes números do nosso sistema. Explique essa afirmação.

3. Assim como o nosso sistema de numeração, o mesopotâmico também era posicional, porém com certa ambiguidade na escrita dos números, como você observou e concluiu na atividade anterior. Essa ambiguidade poderia ser eliminada com a utilização de um algarismo que era desconhecido dos mesopotâmicos. Que algarismo é esse?

LIÇÃO DE CASA

1. Invente um símbolo para o zero e escreva os números 11, 660 e 36 001 no sistema mesopo-tâmico de numeração utilizando seu símbolo.

2. Reescreva no sistema mesopotâmico os números 758 e 226 e, em seguida, faça as contas armadas de soma e subtração entre esses números.

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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3. Registre uma situação prática do nosso dia a dia em que utilizamos a base 60 para fazer contas.

Leitura e Análise de Texto

Sistema maia antigo de numeração

Vamos agora analisar o sistema de numeração do povo maia, que viveu por volta do ano 500 d.C. na região onde hoje se localiza o México e a América Central.

Da mesma forma que o sistema de numeração mesopotâmico e o nosso, o maia também era posicional, porém de base 20. Para um sistema assim, espera-se que os alga -rismos multipliquem potências de 20, que são 1, 20, 400, 8 000, ... porém, o sistema maia operava com uma irregularidade nesse padrão: na posição de 20² = 400, em que o algarismo deveria ser multiplicado por 400, ele era multiplicado por 360. Em vir-tude dessa anomalia, o sistema maia, que tinha tudo para ser tão operacional quanto o nosso por ser posicional e ter um símbolo para representar o zero, ficou priva-do desse benefício. No nosso sistema, colocar zero à direita de um número natu-ral corresponde a multiplicá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estritamente vigesimal(base 20), colocar zero à direita de um número natural corresponderia a multipli -cá-lo por 20, o que não ocorre na prática devido ao uso do 360 na casa que deverá ser ocupada pelo 400.

Observe atentamente alguns exemplos de números na escrita maia

1234

19

20

8

9

10

5

6

7

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9

Observação!

As anotações das potências em vermelho não fazem parte da escrita maia. Elas foram indicadas apenas para facilitar sua leitura e compreensão dos exemplos.

Um aspecto importante que diferencia o sistema mesopotâmico do maia é o fato de que o povo pré-colombiano concebeu um símbolo para o zero. Observe atentamente mais alguns exemplos de números na escrita maia:

21 24 27 30

22 25 28 79

23 26 29 258

VOCÊ APRENDEU?

1. Preservada a lógica apresentada na tabela da seção anterior, porém utilizando 360 no lugar do 400 (que seria a próxima potência de 20), descubra qual é o número maia indicado a seguir:

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Leitura e Análise de Texto

Sistema romano antigo de numeração

O sistema romano antigo de numeração, cujas marcas ainda são presentes em nosso tempo, não foi concebido para fazer contas, mas sim para o registro e a escrita dos núme-ros. Como você verá mais adiante, o sistema romano não era operacional para a realização de contas, o que de forma alguma quer dizer que os romanos antigos não faziam contas. Os calculistas romanos utilizavam o ábaco de fichas para a prática do cálculo, que é um instrumento semelhante ao soroban que você construiu na 5a série.

Tal qual o sistema egípcio, o romano também era regido pela adição dos algarismos que compõem o número, com uma dificuldade adicional que os romanos também usavam o princípio subtrativo na composição dos números.

Veja a seguir uma tabela com os algarismos do sistema romano de numeração.

1510501005001 000

IVXLCDM

(I na origem do sistema romano)(CI na origem do sistema romano)

Observe agora alguns números escritos no sistema romano com o uso apenas do princípio aditivo:

237 ⇒ CCXXXVII

1 865 ⇒ MDCCCLXV

O uso do princípio subtrativo na composição de números do sistema romano é regido pela seguinte regra: a subtração na composição de um número só pode ser utilizada entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos romanos, e nunca podemos utilizar os algarismos V, L e D para retiradas. Dessa forma, 499 não pode ser escrito como ID porque do algarismo D só podemos retirar o algarismo C, que é o símbolo imediatamente anterior a ele na tabela; 45 não pode ser escrito com VL porque o algarismo V não pode ser utilizado para fazer retiradas, etc. Veja a escrita cor-reta dos números 499 e 45:

499 ⇒ CDXCIX

45 ⇒ XLV

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VOCÊ APRENDEU?

1. A regra de uso do princípio subtrativo na composição de números no sistema romano exige que:

a) o princípio subtrativo seja usado apenas entre algarismos consecutivos da tabela ordenada de algarismos;

b) os algarismos correspondentes aos nossos números 5, 50 e 500 (V, L e D) não podem ser usados para fazer retiradas na composição de um número (podemos retirar deles o 1, o 10 e o 100, respectivamente, mas eles não podem ser retirados do 10, do 100 e do 1 000, respectivamente).

Os números registrados na tabela a seguir foram escritos de forma incorreta. Justifique os erros de escrita por uma das duas regras e escreva corretamente os números no sistema romano de numeração.

1549

1 500999

escrita incorretaVXIL

DMMIM

2. Utilize corretamente o princípio subtrativo e escreva os números 99, 490 e 995 no sistema romano de numeração.

3. Escreva os números 498 e 279 nesse sistema. Em seguida, tente efetuar a conta armada de sub-tração desses números usando a escrita romana e responda: por que é difícil fazer essa conta?

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4. Podemos dizer que o sistema romano é decimal? O sistema romano é posicional? Em geral, a escri ta dos números no sistema romano de numeração é mais extensa ou curta em comparação à escrita em nosso sistema de numeração?

Leitura e Análise de Texto

Sistema chinês antigo de numeração

A história dos sistemas antigos de numeração da China é repleta de detalhes, o que pode ser encontrado na maioria dos livros de história da Matemática, ou de história dos sistemas de numeração. Resumidamente, existem dois tipos de sistema de numeração na China antiga, ambos posicionais como o nosso, porém com algumas diferenças particulares.

Analisaremos brevemente os dois sistemas com o objetivo central de compará-los com o nosso.

Os algarismos do sistema tradicional chinês de numeração são:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1 000

O interesse do sistema chinês na comparação com o nosso reside no fato de que, como o nosso, ele também utiliza o princípio multiplicativo na composição dos números, além de também ser um sistema decimal. Veremos seu funcionamento por meio dos exemplos de es-crita dos números 26 e 5 400:

2 . 10 + 6

26

5 . 1 000 + 4 . 100

5 400

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O segundo sistema de numeração chinês que comentaremos é o de barras, que foi concebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse sistema é posicional, como o nosso, sendo que cada posição é marcada por um único símbolo. A tabela abaixo indica os 10 primeiros algarismos do sistema chinês de barras:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A partir dos números maiores que 9, a escrita passa a ser feita como veremos nos exemplos abaixo:

8 326 934

Observe, na escrita dos números anteriores, que o espaçamento entre as posições de unidade, dezena, centena, etc. deve ser dado de forma clara, caso contrário pode haver ambiguidade na leitura e compreensão do número. Atentos a isso, ao longo dos anos os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais intercaladas. As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, milhões, etc.) eram expressas por meio do sistema de barras verticais, e as unidades de casas pares (dezenas, milhares, centenas de milhar, dezenas de milhões, etc.), com barras horizon-tais. Segue abaixo a tabela de barras horizontais e alguns exemplos de números nessa nova forma de escrita:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemplos:

536

98 432

É interessante observar que o sistema chinês resolve bem a questão da ambiguidade de significado dos símbolos, o que o sistema mesopotâmico não conseguiu resolver, porém, também lidava com a dificuldade em não ter um símbolo para o zero. Por causa da ausência de símbolo para o zero, era difícil distinguir as notações de números como 5 444, 54 440, 50 444, 544 000, etc. Além disso, uma única barra vertical podia corres-ponder tanto ao 1, quanto ao 100, ao 10 000, ao 100 000, etc.

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A solução encontrada por alguns foi deixar um espaço vazio na posição que corres-ponderia ao zero, sendo que outros escribas optavam por uma notação mista entre o sistema de barras e o sistema tradicional, descrito no início desta apresentação.

LIÇÃO DE CASA

1. Usando apenas 3 barras verticais, escreva todos os números possíveis no sistema posicional chinês de numeração. (Resolva essa atividade utilizando a escrita apenas com barras verticais.)

2. Escreva os números 238 e 4 575 no sistema chinês de numeração com barras verticais e hori-zontais para as casas ímpares e pares, respectivamente.

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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Leitura e Análise de Texto

Sistema binário de numeração e os computadores

Agora que você já conhece sistemas de numeração posicionais de bases 10, 20 e 60, cabe fazer a seguinte pergunta: será que existe alguma aplicação moderna para sistemas de outras bases?

A resposta a essa pergunta é sim, e a aplicação está muito mais perto de nós do que se possa imaginar: os computadores. Veja em que contexto isso ocorre.

Os elementos radioeletrônicos (válvulas, semicondutores) empregados nos computa-dores são dispositivos construídos para responder a sinais elétricos. Podemos dar dois tipos diferentes de comandos para um dispositivo com essa característica, que são: “deixe passar a corrente elétrica” (ligue) ou “não deixe passar a corrente elétrica” (desligue). Nesse caso, a linguagem mais adequada para programar uma máquina como essa é a binária (sistema de base 2), utilizando o algarismo 1 para o comando “liga” e 0 para “desliga”. Em um siste-ma binário, os algarismos 0 ou 1 multiplicam as potências de 2 para formar os números.

Veja alguns exemplos em que transformamos números do sistema decimal para o binário:

1 = 1 . 20 ⇒ 1 2 = 1 . 21 + 0 . 20 ⇒ 10 3 = 1 . 21 + 1 . 20 ⇒ 11

4 = 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 ⇒ 100

19 = 1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = 10011 1 024 = ... ⇒ 10000000000

Na computação, os algarismos 0 e 1 do sistema binário são usados para representar quantidades mínimas de informação, chamadas de bits. O termo bit que deriva do inglês binary digit (dígito binário). Em geral, quando escrevemos os números no sistema biná-rio, gastamos mais bits do que o número de dígitos que gastaríamos no sistema decimal (exemplo: 1 024, que é escrito com 4 dígitos no sistema decimal, tem 11 bits no binário). Esse fato, que constituiria um imenso problema para a capacidade limitada de memória do homem, não é um problema para o computador, que possui enorme capacidade para armazenar dados.

VOCÊ APRENDEU?

1. Se um número binário termina em 0, o que podemos dizer sobre seu correspondente no sistema decimal?

Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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2. Se um número binário termina em 00, o que podemos afirmar sobre seu correspondente no sistema decimal?

3. Converta o número 11001101, escrito no sistema binário de numeração, para o sistema decimal.

4. Na informática, diz-se que um byte corresponde a 8 bits. Sabendo que cada bit pode assumir valor 0 ou 1, calcule quantas são as possibilidades de combinações diferentes de 0 e 1 em um byte.

5. Escreva o ano da Olimpíada de Pequim (2008) no sistema binário de numeração.

6. (Atividade com uso de calculadora) – Para quantificar a “capacidade de memória” dos com-putadores e dos periféricos que armazenam dados (disquetes, CDs e pen drives), costumam-se usar múltiplos do byte (B), como indica a tabela a seguir:

Nome Símbolo Valor atribuído

Kilobyte KB 210 B

Megabyte MB 210 KB

Gigabyte GB 210 MB

Quantos • bytes cabem em um disquete com capacidade de 1,44 MB? E em um CD de 700 MB?

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

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7. Admita a seguinte associação entre os 26 primeiros números naturais positivos e as letras do alfabeto:

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J 10

K 11

L 12

M 13

N 14

O 15

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26

Determine uma sequência, em código binário, para escrever a palavra • PERIGO.

24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1

16

5

18

9

7

15

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

18

Desafio!

Utilizando para 0, para 1, para 2, escreva os números 15, 19, 22, 27 e 95 em um sistema de numeração posicional de base 3.

34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1

15

19

22

27

95

PARA SABER MAIS

• FOMIN,I.Sistemas de numeração. São Paulo: Atual, 1995.

• IFRAH,Georges.Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1998.

• IMENES,L.M.Vivendo a Matemática: os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1989.

• IMENES,L.M.Vivendo a Matemática: a numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 1989.

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

19

VOCÊ APRENDEU?

1. Um professor propôs para seus alunos o seguinte problema:

Cláudia tem 18 metros de arame. Ela corta 15

do arame para fazer uma tela que será usada

na nova casa de seu cachorro. Qual é o comprimento de arame que ela vai utilizar na cons-trução dessa tela? Justifique sua resposta.

Veja a resposta dada por três estudantes:João: 3,6 metros porque 18 ÷ 5 é igual a 3,6.

Ana: 15

de 15 é igual a 3. Como eu quero 15

de 18, e 18 = 15 + 3, então o comprimento

usado de arame será “3 mais 15

de 3”.

Léo: 15

em decimal é 0,2, então, eu multipliquei 0,2 por 18 e obtive 3,6.

Qual(is) dos estudantes está(ão) certo(s)?

2. Mostre, por meio de desenhos, que 25

é equivalente a 2 ÷ 5.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 FRAÇÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO

!?

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Matemática - 6a série/7o ano - Volume 1

20

3. Pinte nas três malhas a seguir o correspondente às frações 2

1020

10015

, e , respectivamente. Em

seguida, responda: o que se pode concluir sobre essas frações?

4. Em relação ao número 2,48, podemos fazer sua leitura de inúmeras maneiras diferentes, como:

a) 2 inteiros, 4 décimos e 8 centésimos;

b) 2 inteiros e 48 centésimos;

c) 248 centésimos.

Utilizando as sequências horizontais de quadrados a seguir, pinte-as corretamente para a repre-sentação do número 2,48 de acordo com cada uma das três leituras, mostrando em seguida a equivalência entre elas.

a)

b)

c)

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21

LIÇÃO DE CASA

1. Encontre números inteiros cuja divisão dê o mesmo quociente que o das seguintes divisões:

a) 4,3 ÷ 1,25

b) 0,005 ÷ 0,2

c) 12,28 ÷ 3,2

2. Transforme as divisões a seguir em divisões de frações de mesmo denominador e, em seguida, calcule o resultado da divisão (apresente sua resposta em fração).

a) 3,4 ÷ 0,17 b) 24,06 ÷ 0,6015

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22

VOCÊ APRENDEU?

1. Escreva operações com frações que representem o que se pede:

a) 35

da metade c) 38

de 56

b) a “terça parte” de 27

d) total de “terças partes da unidade” em 45

2. Um pintor utiliza 13

de uma lata de tinta e, em seguida, 14

do que restou de tinta na lata.

a) Escreva uma operação com frações que represente corretamente a fração da lata que foi utilizada da última vez.

b) Realize a operação indicada no item anterior utilizando “barrinhas”.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO COM FRAÇÕES

!?

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23

Desafio!

Se 23

de uma lata de tinta dá para pintar 34

de uma parede, que fração da parede

conseguirei pintar com 1 lata de tinta?

VOCÊ APRENDEU?

1. Escreva a divisão de 34

por 23

na forma de uma fração. Em seguida, multiplique o numerador

e o denominador dessa fração de forma que resulte em uma fração com numerador e denomi-nador inteiros.

2. Em relação à atividade acima, resolva-a novamente multiplicando o numerador e o denomi-nador da fração inicial por outro número que não o escolhido na resolução anterior.

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24

3. Registre quais são as regras práticas para fazer a multiplicação e a divisão de frações.

LIÇÃO DE CASA

1. João colocou em uma jarra 34

de uma garrafa de refrigerante. O conteúdo da jarra foi re-

partido igualmente entre 6 pessoas. Calcule a fração do refrigerante que havia inicialmente na garrafa que coube a cada uma das 6 pessoas.

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2. Laura tem 314

de hora para terminar suas 3 tarefas de casa. Se ela dividir igualmente o tempo

entre as tarefas, quantas horas ela terá que dedicar a cada uma?

3. Rita comprou chocolate a granel e pagou R$ 7,20 por 34

de quilo. Qual é o preço do quilo do chocolate que Rita comprou?

4. Podemos encher 78

do tanque A usando 23

da água contida no tanque B. Supondo-se o tan -

que A completamente vazio, que fração do tanque B seria necessária para encher o tanque A?

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26

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Leitura e Análise de Texto

Números negativos e as operações bancárias

Pensar em extratos bancários pode ajudar bastante no estudo das operações com núme-ros negativos; por isso, definiremos a seguir o significado de algumas palavras muito usadas nas operações bancárias:

Saldo: quanto a pessoa tem na conta, ou quanto ela deve ao banco (se o valor for negativo).

Saque: valor que a pessoa retira da sua conta, geralmente mediante operação junto ao caixa do banco ou no caixa eletrônico.

Cheque: expressão do valor que será debitado (retirado) da conta do cliente em virtude de um pagamento a terceiros.

Depósito: valor que será acrescido à conta do cliente.

Outro tipo de operação que pode ser contextualizada por meio de extratos bancários é a de “retirada de uma retirada”. Imagine que um banco tenha retirado indevidamente de um clien te a quantia de R$ 100,00. Esse valor deve aparecer no extrato do cliente como “–100,00”. Uma vez identificado que a retirada foi um equívoco, o banco deve devolver ao cliente os R$ 100,00, que do ponto de vista contábil deve ser registrado como uma correção equivalente a “retirar a retirada” (indevida) que foi feita. Admitindo a conta de um cliente com R$ 500,00 de saldo, os registros da retirada indevida e da correção seriam assim:

Operação Saldo (em R$)

Saldo 500,00

Retirada – 100,00

Saldo 400,00

Correção – (–100,00)

Saldo 500,00

Com essa operação você deve ter percebido que retirar uma retirada, indicado por (–100,00), é equivalente a devolver R$ 100,00, ou seja, – (–100) = 100.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE SINAIS

!?

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VOCÊ APRENDEU?

1. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Ana-lise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores que saí-ram borrados.

Operação Saldo (em R$)

Saldo 528,00

Cheque 345 – 145,00

Cheque 346

Saldo 310,00

Depósito 295,00

Saque

Saldo – 420,00

2. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados.

Operação Saldo (em R$)

Saldo

Cheque 165 – 380,00

Depósito 560,00

Saldo – 250,00

Correção – (– 400,00)

Cheque 166 – 320,00

Depósito

Saldo – 80,00

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LIÇÃO DE CASA

1. O gráfico abaixo indica o lucro mensal da sorveteria Ki-Fria ao longo dos 8 primeiros meses de um certo ano. Considere que um “lucro negativo” significa o mesmo que um prejuízo. Analise o gráfico e responda as perguntas a seguir.

15000

10000

5000

0

–5000

–10000

–15000

–20000

Lucro da sorveteria Ki-Fria

12 0007 500

4 000

2 400

–7 000

13 400

–18 000

Janeiro Fevereiro Março Abril MaioJunho Julho Agosto

–16 500

a) Qual foi o lucro total da sorveteria Ki-Fria nos 8 meses?

© C

onex

ão E

dito

rial

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30

b) Qual foi o lucro médio mensal da sorveteria no período analisado?

c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi publicado incorretamente e que com a correção o lucro nos 8 meses analisados passa a ser de R$ 1 500,00. Determine qual seria o lucro correto de janeiro após a correção.

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31

2. O gráfico indica o número de gols que um time fez e sofreu em 10 partidas do Campeonato Brasileiro de Futebol. Calcule o saldo de gols desse time por partida e o saldo geral de gols nas 10 partidas.

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gols Pró Gols Contra

Gol

s

© C

onex

ão E

dito

rial

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VOCÊ APRENDEU?

1. Observe a regularidade na sequência a seguir e responda às perguntas:

4 . ( –3) = –12

3 . ( –3) = –9

2 . ( –3) = – 6

1 . ( –3) = –3

0 . ( –3) = 0

a) O que está ocorrendo com o fator da direita da multiplicação?

b) O que ocorre com o fator da esquerda?

c) O que está ocorrendo com o resultado da multiplicação quando comparado ao da multipli-cação da linha anterior?

d) Qual é a multiplicação esperada para a próxima linha da sequência?

2. Admita que os segmentos indicados em vermelho sejam paralelos. Determine a localização do ponto marcado em verde e, em seguida, repita o procedimento mostrando que –3 . ( –2) = 6.

y

P

x– a 0

– b

1

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3. Imagine um tanque que possa ser esvaziado por uma torneira de vazão –1 litro por minuto (o sinal de menos indica que o líquido é retirado do tanque), e enchido por torneiras de vazão de 1 litro por minuto. Se podemos livremente colocar nesse tanque qualquer quantidade dessas torneiras, fica evidente que, para efeito de manutenção do fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de vazão –1 L/min” é equivalente a “acrescentar uma torneira de vazão 1 L/min”. Utilize o texto dessa questão para justificar que – (–1) = 1.

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34

4. Calcule o valor numérico das expressões indicadas:

a) – 1,25 . 0,2 + 0,52 ÷ 0,4

b) –32 – (–6 –10) – (–2)2

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35

c) 32 . – 89 + 3

d) 25 . – 14

2

– 18

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LIÇÃO DE CASA

1. Calcule o valor numérico das expressões indicadas:

a) 7 – (4 – 6) – 15

b) –5² – (–3)²

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c) 2,4 . (–3) – 1,5 . 0,2

d) 1 + 1,92 ÷ (– 0,32)

e) 15 . – 23

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38

f ) – 25 . – 254

g) – –23

132

+

h) 23

÷56

– 5 ÷ 23

÷56

– 5

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PARA SABER MAIS

• COSTA,E.M.Matemática e origami. Trabalhando com frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.

• GUELLI,O.Contando a história da Matemática: números com sinais – uma grande invenção, n. 7. São Paulo: Ática, 1995.

• IMENES,L.M.;JAKUBOVIC,J.;LELLIS,M.Números negativos. São Paulo: Atual, 1996. (Para que Serve a Matemática?)

• SMOOTHEY,M.Números. São Paulo: Scipione, 1995. (Investigação Matemática.)

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