PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP

MARI EMILIA DOS SANTOS CALHAU

INVESTIGAO EM SALA DE AULA:

UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE EM SALAS DE

AULA DO ENSINO FUNDAMENTAL

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

So Paulo

2007

ii

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP

MARI EMILIA DOS SANTOS CALHAU

INVESTIGAO EM SALA DE AULA:

UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE EM SALAS DE

AULA DO ENSINO FUNDAMENTAL

Dissertao apresentada Banca Examinadora da Pontifcia

Universidade Catlica de So Paulo, como exigncia parcial

para obteno do ttulo de MESTRE PROFISSIONAL EM

ENSINO DE MATEMTICA, sob a orientao da Prof. Dr.

Clia Maria Carolino Pires.

So Paulo

2007

iii

Banca Examinadora

________________________________________

________________________________________

________________________________________

iv

Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total

ou parcial desta Dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

Assinatura: __________________________ Local e Data: ______________

v

O propsito do aprendizado

crescer, e nossas mentes,

diferentes de nossos corpos,

podem continuar crescendo

enquanto continuamos a viver.

Mortimer Adler

vi

DEDICATRIA

Ao meu marido, Leandro.

Aos meus pais, Doroti e Jos.

vii

AGRADECIMENTOS

Pretendo neste espao, agradecer a todos

aqueles que, direta ou indiretamente, contriburam

para a realizao deste trabalho.

A Deus, que incomparvel e inconfundvel em

sua infinita bondade, compreendeu meus anseios e

me deu a necessria fora para atingir meu objetivo.

De forma especial Professora Doutora Clia

Maria Carolino Pires, pela dedicao, carinho e

sabedoria com que orientou este trabalho.

s Professoras Doutoras Snia Barbosa

Camargo Igliori e Carmem Lcia Brancaglion

Passos pelas valiosas contribuies.

A todos os Professores do Programa de Estudos

Ps Graduados em Educao Matemtica que

tornaram este sonho realidade.

viii

Aos Colegas do Mestrado Profissional, por

serem sempre um incentivo nesta caminhada.

Secretaria do Estado da Educao, pela

concesso da bolsa de estudos, sem a qual a

realizao deste trabalho no seria possvel.

Aos meus pais pelo apoio e solidariedade.

Ao meu marido Leandro, que soube me

compreender e me apoiar nos momentos mais

difceis.

ix

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo estudar o tema Investigaes

em sala de aula: uma proposta de atividade em salas de aula do ensino

fundamental, com o propsito de trazer contribuies pesquisa referente

aprendizagem dos alunos, atravs da utilizao de tarefas de investigao em

matemtica e construir critrios para a elaborao e aplicao de atividades

que viabilizem o tema em sala de aula. Procurando analisar o que podem ser

projetos educativos neste domnio e de que modo contribuem para uma efetiva

renovao das prticas pedaggicas escolares, buscamos examinar trs

questes: que atitudes manifestam os alunos perante tarefas de investigao;

qual o papel do professor em atividades de investigao e que dificuldades de

ensino e/ou aprendizagem podemos encontrar em uma metodologia centrada

na investigao. Para isso foram elaboradas cinco tarefas centradas na

investigao e aplicadas a alunos de 8 srie do Ensino Fundamental, o grupo

era constitudo de 34 alunos dos quais 19 eram meninos e 15 meninas na

faixa etria de 13 a 16 anos, de uma escola pblica municipal da cidade de

So Paulo. Os dados foram coletados atravs de um instrumento escrito e

entrevistas com alguns sujeitos.

Esses resultados foram analisados segundo os pressupostos referentes

investigao defendidos por Ponte. Conclumos, que apesar de inicialmente

grande parte da turma demonstrar insegurana nas suas capacidades para

explorar as tarefas de investigao, do desafio que a elaborao e aplicao

dessas tarefas representam para ns professores, os resultados foram muito

satisfatrios, pois constatamos o entusiasmo, o empenho e progresso dos

alunos durante a resoluo das tarefas nas aulas que deram suporte a essa

pesquisa.

Palavras Chave: Investigaes na aula de Matemtica; currculos.

x

ABSTRACT

The main objective of this assignment is to study the subject "Inquiries in

classroom: a proposal of activity in classrooms of elementary education ", with the

purpose of giving contributions to the research about how much students can learn

if teachers use inquiry tasks in mathematics classes and to think about some

criteria to elaborate and apply this kind of activities in order that make possible for

teachers using them in a math classroom. We are trying to find out what can be

educative projects in this area and how they can contribute for an effective

renewal of pedagogical practice at school, so, we think it is important to answer to

three questions: what kind of attitudes we can note about the students when they

are doing inquiry tasks; what kind of difficulties related to teaching/learning we

can find in a methodology which the main aim is inquiry e what about the teachers

role when they ask students to do inquiry tasks. To answer these questions we

made five inquiry activities for students that are at the eight grade of Elementary

School try to solve them. The group have thirty-four students and nineteen of them

was boys and fifteen girls and they are between thirteen and sixteen years old, all

of them study in a municipal public school in So Paulo. The data had been

collected through a written instrument and interviews with some students. These

results had been analyzed according to Pontes point of view about the inquiry

activities. At the end of our research we can say that although initially the most

part of the group was shown unreliability on their own capacities about exploring

the inquiry tasks and the great challenge that these kind of activities represent to

us teachers, we think the results had been very satisfactory, because we can note

the students well-known, their enthusiasm, persistence and the progress when

they are solving tasks in classes where the methodology was centered in the

inquiry.

Keywords: Inquiries in Mathematics classes; curriculum.

xi

SUMRIO

APRESENTAO DA PESQUISA

I. Introduo ............................................................................................... 01

II Objetivos e questes norteadoras da pesquisa ..................................... 11

III O cenrio e os procedimentos metodolgicos ...................................... 12

IV Estrutura do texto .................................................................................. 15

CAPTULO 1

REVISO BIBLIOGRFICA

1.1 Introduo ............................................................................................ 17

1.2 Reflexo terica ................................................................................... 17

1.3 O que investigar? ............................................................................. 22

1.4 Processos de uma investigao matemtica ...................................... 24

1.5 O que seria uma aula com investigaes? .......................................... 26

1.5.1 Introduo da tarefa ................................................................... 27

1.5.2 Realizao da Investigao ........................................................ 28

1.5.3 Discusso dos resultados ........................................................... 30

1.6 Aspectos gerais da tarefa .................................................................... 31

1.7 Os papis do professor numa aula de investigao ............................ 33

xii

CAPTULO 2

CONCEPO E DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE CAMPO

2.1 O desenvolvimento da pesquisa de campo ......................................... 35

2.2 As atividades planejadas ..................................................................... 36

2.2.1 Primeira Tarefa....................................................................... 38

2.2.2 Segunda Tarefa ..................................................................... 39

2.2.3 Terceira Tarefa ...................................................................... 40

2.2.4 Quarta Tarefa.......................................................................... 40

2.2.5 Quinta Tarefa.......................................................................... 42

2.3 Apresentao dos dados coletados .................................................... 44

2.3.1 Tarefa 1 ................................................................................. 44

2.3.2 Tarefa 2 .................................................................................. 47

2.3.3 Tarefa 3 .................................................................................. 49

2.3.4 Tarefa 4 .................................................................................. 52

2.3.5 Tarefa 5 .................................................................................. 54

2.4 Relatrios ............................................................................................ 57

2.5 Categorizao dos dados coletados ................................................... 62

2.5.1 Tarefa 1 .................................................................................. 62

2.5.2 Tarefa 2 .................................................................................. 64

2.5.3 Tarefa 3 .................................................................................. 66

2.5.4 Tarefa 4 .................................................................................. 67

2.5.5 Tarefa 5 .................................................................................. 69

xiii

CAPTULO 3

AS ENTREVISTAS .............................................................................................. 72

4.1 Entrevista com o aluno A1, integrante do grupo G2 ............................ 72

4.2 Entrevista com a aluna A2, integrante do grupo G1 ............................ 76

4.3 Entrevista com a aluna A3, integrante do grupo G3 ............................ 79

CAPTULO 4

CONCLUSES E CONSIDERAES FINAIS ................................................... 84

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................... 91

ANEXOS .............................................................................................................. 95

Lista de Figuras:

Figura 1 Relatrio do grupo G1 ......................................................................... 58

Figura 2 Relatrio do grupo G3 ......................................................................... 59

Figura 3 Relatrio do grupo G8 ......................................................................... 59

Figura 4 Relatrio do grupo G1 ......................................................................... 60

Figura 5 Relatrio do grupo G3 ......................................................................... 60

Figura 6 Relatrio do grupo G11 ....................................................................... 60

Figura 7 Relatrio do grupo G3 ......................................................................... 61

Figura 8 Relatrio do grupo G2 ......................................................................... 61

Figura 9 Resoluo do grupo G2 ...................................................................... 63

xiv

Figura 10 Resoluo do grupo G9 .................................................................... 64

Figura 11 Resoluo do grupo G2 .................................................................... 65

Figura 12 Resoluo do grupo G10 .................................................................. 65

Figura 13 Resoluo do grupo G6 .................................................................... 66

Figura 14 Resoluo do grupo G4 .................................................................... 67

Figura 15 Relatrio do grupo G3 ....................................................................... 68

Figura 16 Resoluo do grupo G2 .................................................................... 69

Figura 17 Resoluo do grupo G7 .................................................................... 70

1

APRESENTAO DA PESQUISA

I. Introduo

O presente trabalho insere-se no Projeto de pesquisa Inovaes

Curriculares nos Ensinos Fundamental e Mdio, do Programa de Estudos Ps

Graduados em Educao Matemtica da PUC/SP. Trata-se de um conjunto de

pesquisas que tem a organizao curricular dos Ensinos Fundamental e Mdio

como eixo temtico. Inclui anlises sobre a trajetria da Matemtica na

organizao curricular brasileira para essas etapas da escolaridade e as atuais

propostas de ensino de Matemtica. Focaliza o processo de desenvolvimento

curricular, as variveis que intervm em sua formulao, as mudanas que

ocorrem nos currculos. Discute como as diretrizes veiculadas por documentos

oficiais so apresentadas nos livros didticos e investiga o currculo como

prxis, identificando como as orientaes dos currculos oficiais so postas em

prtica pelo professor na sala de aula.

Pires (2006), numa anlise sobre os Parmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Fundamental e sua implementao, destaca que esse

documento enfatiza a necessidade de incluir no trabalho da sala de aula o que

podemos denominar componentes social e cultural do currculo, alm da

componente simblica, conceitual. Nesse contexto, segundo essa autora,

emergem propostas de trabalho com projetos que estimulem a interpretao e

a explicao da realidade, permitindo aos alunos um processo de anlise

2

crtica de valores e idias, mediante atividades apresentadas em contextos

significativos para eles, centradas em problemas ou tarefas estimulantes

referentes ao entorno fsico e social mais amplo. Surgem tambm propostas de

trabalho de investigao em sala de aula, com o objetivo de aproximar o fazer

do aluno do fazer matemtico, ou seja, de atividades inerentes ao processo de

construo histrica do conhecimento, como a experimentao, a validao, a

comunicao por escrito da experincia, entre outros.

Pires avalia que, tais propostas, embora muito fecundas, pressupem

conhecimentos do professor muito mais amplos e profundos do que aqueles

que os atuais modelos de formao inicial e continuada propiciam aos

professores que ensinam Matemtica. Conhecimentos que contemplem no

apenas uma diversidade significativa de contedos, temas, mas tambm de

mtodos de investigao, de aplicaes, de relaes com outras reas etc.,

mostrando a Matemtica como fenmeno cultural e rica fonte de explicaes.

Sem tais conhecimentos, idias como as de interdisciplinaridade ou propostas

de trabalhar os contedos de forma contextualizada acabam sendo distorcidas

em sua implementao.

A ttulo de exemplo, a autora destaca o caso do entendimento do que

vem a ser contextualizao: observa-se uma relao muito forte entre

contextualizao e cotidiano/realidade e no se percebe outras

possibilidades de contextualizao, inclusive as internas prpria Matemtica,

o que pode conduzir a um empobrecimento de outros aspectos do

conhecimento que deixariam de ser tratados nos currculos porque no so

3

automaticamente usados no dia-a-dia dos alunos.

Pires destaca tambm que, dentre as crenas que prevalecem na

sociedade e na escola, uma das mais arraigadas, embora nem sempre

explicitada, a de que Matemtica algo para quem tem dom, para quem

geneticamente dotado de certas qualidades, e outra a de que preciso ter

um certo capital cultural para atingir o universo matemtico.

E complementa: essas crenas batem de frente com as propostas de

que todos os alunos podem fazer matemtica em sala de aula, o que significa

construir, produzir seus conhecimentos matemticos. Isso no significa fazer os

alunos reinventarem a Matemtica que j existe, mas sim engaj-los no

processo de produo matemtica no qual sua atividade tenha o sentido similar

quele dos matemticos, que efetivamente forjaram conceitos matemticos

novos.

Pires cita Charlot (1986), para quem a rea de plantio dessa idia est,

h longo tempo, minada por outras convices. Uma delas a de que a

Matemtica no passvel de ser produzida, mas sim descoberta, os seres

matemticos existem em alguma parte, no cu das idias. Assim sendo, o

papel do matemtico no criar, inventar, mas descobrir, desvelar as verdades

matemticas que j existem, porm no so ainda conhecidas. As verdades

matemticas so enunciadas por meio do trabalho do matemtico, mas elas

so o que so, eternas, independentemente de seu trabalho. Nessa

perspectiva, evidentemente, se criar no papel do matemtico, qual seria

ento, a funo (o papel/ a tarefa) dos professores e alunos na sala de aula de

4

Matemtica?

A autora ressalta ainda que h uma idia muito freqente de que os

alunos s podem resolver problemas que j conhecem, que j viram resolvidos

e que podem tomar como modelo. Essa convico dificulta a aceitao de que

o ponto de partida da atividade matemtica no deve ser a definio, mas o

problema.

Se a perspectiva de um ensino por meio da resoluo de problemas

um eixo metodolgico cuja importncia vem sendo desenvolvida desde os anos

80 e ainda no foi incorporado de modo abrangente s prticas docentes, a

perspectiva das investigaes em sala de aula por parte dos alunos de

diversos nveis de ensino, ainda pouco conhecida dos professores.

No entanto, ao tomar conhecimento dessa possibilidade de estratgia

metodolgica, nos despertou interesse pelo tema e decidimos investig-lo, com

o propsito de verificar qual seria a reao dos alunos da escola pblica em

que lecionamos, em situaes de investigao. Trabalhando como professora

de Matemtica h um pouco mais de 10 anos, observamos em nossa prtica

que os alunos apresentam melhor desempenho nessa disciplina quando so

estimulados a realizarem atividades que contm desafios.

Alm do interesse em aperfeioar nossa prtica, tambm nos sentimos

desafiadas a buscar alternativas para o ensino de Matemtica, face ao quadro

preocupante que as macro-avaliaes tm revelado nos ltimos anos, como a

Prova Brasil, por exemplo, que foi criada com o propsito de refinar a avaliao

da Educao Bsica, e tem sido aplicada pelo Ministrio da Educao desde a

5

dcada de 1990. Com essa mudana, o Sistema de Avaliao do Ensino

Bsico (Saeb), existente tambm desde 1990, passou a ser composto de duas

provas nacionais: a Avaliao Nacional de Educao Bsica (Anaeb) e a

Avaliao Nacional do Rendimento Escolar (Anresc). A primeira o prprio

Saeb, um teste realizado por amostragem nas redes de ensino, com foco na

gesto dos sistemas educacionais. A segunda a Prova Brasil, uma avaliao

de carter universal que pretende atingir todas as escolas. O teste fez sua

estria em 2005 em instituies de ensino de reas urbanas com no mnimo 30

alunos nas classes de 4 e 8 sries. Cerca de 3,3 milhes de estudantes

matriculados em 40 mil escolas de 5.398 municpios responderam a questes

de mltipla escolha de Lngua Portuguesa e Matemtica (segundo dados da

Revista Escola 2007).

Os resultados apontaram um cenrio muito longe do ideal alis, como

j tinha ocorrido com o Pisa (Programme for International Student

Assessment), aplicado a cada trs anos em estudantes de 15 anos de mais de

40 pases. Estes rgos divulgaram dados pouco animadores referente ao

desempenho dos alunos em Matemtica, o que nos confirmam que nossos

alunos apresentam srias dificuldades nesta rea do conhecimento. Para esta

situao contribuem diversos fatores, mas a Matemtica apresentada sem

vnculos com os problemas que fazem sentido na vida das crianas e dos

adolescentes. Os aspectos mais interessantes da disciplina, como resolver

problemas, discutir idias, checar informaes e ser desafiado, so pouco

explorados na escola.

6

Em Geometria, a situao tambm preocupante, pois sua relevncia

na formao integral do indivduo um tema que tem sido ressaltado em vrios

documentos oficiais do MEC (Parmetros Curriculares Nacionais) e, inclusive,

em documentos internacionais (NTCM, 1989). Assim, a necessidade de

pesquisas brasileiras que analisem os processos de ensino e aprendizagem

em geometria incontestvel no mbito da Educao.

Os resultados ratificam a posio de autores como Sadovsky (2007)

para quem falta nfase no ensino da disciplina para estabelecer relaes

matemticas e o que realmente importante ver o aluno como algum capaz

de aprender e contribuir na construo do conhecimento. A Matemtica deve

ser encarada como base na participao ativa, direta e objetiva da criana na

elaborao do conhecimento que se quer que ela aprenda. Estudar s faz

sentido se for para ter uma profunda compreenso das relaes matemticas,

para ser capaz de entender uma situao problema e pr em jogo as

ferramentas adquiridas para resolver uma questo.

A Matemtica freqentemente encarada como uma cincia pura,

constituindo um corpo de conhecimentos construdo dedutiva e

cumulativamente, com rigor absoluto. Porm, diversos educadores defendem

que necessrio levar em conta a prtica dos matemticos e olhar para a

Matemtica principalmente como atividade humana. Ou seja, para

compreender a verdadeira natureza da Matemtica importante analis-la

numa perspectiva dinmica, procurando compreender a forma como ela

construda e como evolui. Como considerava Polya a Matemtica tem duas

7

faces; a cincia rigorosa de Euclides, mas tambm algo mais... a

Matemtica em construo aparece como uma cincia experimental, indutiva

(1957, p. vii).

Andrew Wiles, o famoso matemtico que chegou demonstrao do

ltimo Teorema de Fermat, afirmou bom trabalhar em qualquer problema

contanto que ele gere Matemtica interessante durante o caminho mesmo se

no o resolvermos no final (Singh apud Braumann, 2002, p. 04).

Aprender Matemtica no simplesmente compreender a Matemtica

j feita, mas ser capaz de fazer investigao de natureza Matemtica, acentua

Braumann (2002, p.04). S assim se pode verdadeiramente perceber o que

Matemtica, a sua utilidade na compreenso do mundo e na interveno sobre

o mundo. Braumann ainda destaca que

Aprender Matemtica sem forte interveno da sua faceta investigativa como querer aprender a conduzir um automvel com um instrutor que apenas nos explica como se conduz e nos deixa olhar para ele enquanto conduz. Isso no chega. Para verdadeiramente aprender a conduzir, preciso pegar o volante e conduzir, fazendo erros e aprendendo com eles, de preferncia com um instrutor ao lado para nos ajudar. (BRAUMANN, p. 04, 2002).

Este trecho do texto de Braumann nos leva a concluir que a nica

maneira de aprender a fazer investigao matemtica vendo fazer e fazendo.

S mesmo a prtica nos auxiliar numa investigao matemtica efetiva.

Os problemas, mesmo simples, principalmente quando ligados vida

cotidiana, permitem a transposio para uma linguagem matemtica adequada

seguida em seu estudo por mtodos matemticos e pela interpretao dos

resultados em termos da realidade modelada. Este componente essencial,

8

no apenas para perceber a funo da Matemtica e nos fazer apreciar a sua

utilidade, mas tambm para que ela nos possa servir no futuro como um

poderoso instrumento de anlise e interveno, desenvolvendo

simultaneamente o esprito cientfico.

Estamos vivendo numa poca em que os computadores e as

calculadoras efetuam clculos de maneira eficaz e rpida e so de fcil acesso

a quem os deseja utilizar; desse modo perde sentido a oferta de um ensino de

Matemtica focado nas tcnicas para a realizao desses clculos. A resoluo

de tarefas rotineiras tambm no combina com as necessidades colocadas por

uma sociedade que evolui rapidamente. Portanto, podemos sim, utilizar os

clculos, mas como um meio que nos auxilie a alcanar outros objetivos.

Ao longo das ltimas dcadas, novas perspectivas relativas s

finalidades do ensino de Matemtica vm sendo apontadas em diferentes

documentos oficiais, no mbito do Ministrio da Educao e das Secretarias

municipais e estaduais. Num documento da Secretaria de Educao do Estado

de So Paulo, intitulado Prticas Pedaggicas (1997), encontramos a seguinte

afirmao:

... aprender Matemtica no significa receber coisas dadas, mas refere-se a um trabalho do pensamento de cada indivduo que constri conceitos para resolver problemas, que coloca novos problemas a partir de conceitos j construdos, que generaliza, que estrutura (desestrutura) o universo matemtico. Ou seja: a atividade intelectual do aluno deve tanto quanto possvel aproximar-se aquela dos matemticos: partindo de um problema, ele coloca suas hipteses, testa-as, corrige-as, faz transferncias, generalizaes. Ou seja: no mais se aceita a atividade intelectual baseada exclusivamente sobre a memorizao e a aplicao de saberes, de cujo verdadeiro sentido o aluno no se apropriou.(p.07)

9

Os Parmetros Curriculares Nacionais para o terceiro e quarto ciclos do

Ensino Fundamental de Matemtica ao fazerem referncia s principais

caractersticas do conhecimento matemtico, destacam:

O exerccio da induo e da deduo em Matemtica reveste-se de importncia no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, de formular e testar hipteses, de induzir, de generalizar e de inferir dentro de determinada lgica, o que assegura um papel de relevo ao aprendizado dessa cincia em todos os nveis de ensino.(PCNEF, 1998, p.26).

Num quadro geral de entendimento amplo do conceito de currculo, se

destaca a participao ativa do professor no desenvolvimento curricular e se

ressalta que a aprendizagem da Matemtica deve consistir em fazer

Matemtica, que no que se baseia o presente estudo. De fato, ele concentra-

se sobre aspectos relativos ao desenvolvimento de um currculo, conduzido por

um (a) professor (a)/investigador (a), em que dada nfase explorao de

investigaes matemticas.

Ainda nos Parmetros Curriculares Nacionais podemos destacar que

para resolver um problema pressupe que o aluno:

elabore um ou vrios procedimentos de resoluo (como realizar simulaes, fazer tentativas, formular hipteses);compare seus resultados com os de outros alunos; valide seus procedimentos.(PCNEF, 1999, p.41).

Neste sentido necessrio desenvolver habilidades que permitam

provar resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos para obter

uma soluo. Nessa forma de trabalho, a importncia da resposta correta cede

lugar a importncia da resoluo.

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua prpria resposta, a

questionar o problema proposto, a transformar um dado problema numa fonte

10

de novos problemas, a formular hipteses a partir de determinadas

informaes, a analisar problemas abertos, evidencia uma concepo de

ensino e aprendizagem que no se d pela mera reproduo de

conhecimentos, mas pela via da ao refletida que constri conhecimentos.

Pode-se dizer que a comunidade de Educao Matemtica rene um

razovel consenso no sentido de que aprender Matemtica essencialmente

fazer Matemtica, com destaque para a necessidade de que os alunos tenham

oportunidades de explorar tarefas de natureza exploratria e investigativa

vivendo, ao seu nvel de maturidade, o trabalho dos matemticos profissionais.

Quando se trata dos objetivos gerais para o ensino fundamental, os

PCNEF, entre outros, destacam:

... levar o aluno a identificar os conhecimentos matemticos como meios para compreender e transformar o mundo sua volta e perceber o carter de jogo intelectual, caracterstico da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas.(PCNEF, 1998, p.47).

As propostas curriculares, de modo geral, indicam a resoluo de

problemas como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem da

Matemtica. No que diz respeito resoluo de problemas, temos uma

situao que demanda a realizao de uma seqncia de aes ou operaes

para obter um resultado. Ou seja, a soluo no est disponvel de incio, mas

possvel constru-la. Nesse processo de construo de uma soluo que o

educando tem a oportunidade de fazer conjecturas, test-las e validar ou

refutar o que foi pensado anteriormente. A grande questo que, em muitos

11

casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos no constituem

verdadeiros problemas porque no representam um real desafio nem a

necessidade de verificao para validar o processo de soluo.

Em nossa trajetria profissional como professoras de Matemtica no

Ensino Fundamental, temos percebido a necessidade de explorar atividades

investigativas e, em funo disso, escolhemos o tema Investigaes em sala

de aula: uma proposta de atividade em salas de aula do Ensino Fundamental,

para o desenvolvimento da presente dissertao.

Assim sendo, o presente estudo focaliza um projeto de desenvolvimento

curricular que realizamos com turmas de 8 sries do Ensino Fundamental

durante os anos de 2006/07 com explorao de tarefas de investigao.

Ao considerar como essenciais prticas que envolvam a construo de

conhecimentos atravs da investigao matemtica e apoiar sua presena j

na educao bsica, surge a necessidade de possibilitar uma criao de

propostas e abordagens de ensino coerentes com a realidade brasileira.

II. Objetivos e questes norteadoras da pesquisa

Ao estudar o tema Investigaes em sala de aula: uma proposta de

atividade em salas de aula do Ensino Fundamental, nosso propsito trazer

contribuies pesquisa referente concepo dos alunos sobre investigao

em matemtica e construir critrios para a elaborao e aplicao de atividades

que viabilizem o tema em sala de aula. Procurando assim, analisar o que

12

podem ser projetos educativos neste domnio e de que modo podem contribuir

para uma efetiva renovao das prticas pedaggicas escolares. So questes

norteadoras do nosso trabalho:

Que atitudes manifestam os alunos perante tarefas de investigao?

Qual o papel do professor em atividades de investigao?

Que dificuldades de ensino e/ou aprendizagem podemos encontrar em

uma metodologia centrada na investigao?

III. O cenrio da pesquisa e os procedimentos metodolgicos

O desenvolvimento das atividades e das observaes, objeto deste

trabalho, aconteceu em uma escola pblica municipal, localizada na Zona Sul

da cidade de So Paulo. A escola oferece o Ciclo I do Ensino fundamental,

com 12 classes de 1 a 4 sries, 12 classes de 5 a 8 sries e 09 classes de

EJA (Educao de Jovens e Adultos), a escola conta com 13 Professores do

Ensino Fundamental I (professores polivalentes), 44 Professores do Ensino

Fundamental II, 02 Professores Coordenadores Pedaggico, 01 Assistente de

Direo, 03 Auxiliares de Direo, 01 Diretor e 04 funcionrios administrativos.

Os sujeitos da nossa pesquisa so os alunos de 8 srie e a escolha

dessa escola e do grupo para o desenvolvimento do trabalho deveu-se ao fato

desta pesquisadora trabalhar como professora do Ensino Fundamental II nesta

Unidade Educacional desde fevereiro de 2004.

13

Todo o percurso deste estudo est embasado numa abordagem

qualitativa, compreendendo essa abordagem como a mais congruente e

compatvel com a proposio a ser investigada.

Um dos aspectos bsicos na abordagem qualitativa, segundo Ludke e

Andr (1986), reconhecer no ambiente natural a fonte direta dos dados e no

pesquisador o principal instrumento para a investigao; desta forma

possibilitando um contato direto com a situao problematizadora na qual os

fenmenos ocorrem e so influenciados pelo prprio contexto.

Outra caracterstica deste tipo de estudo o fato de os dados coletados

serem predominantemente descritivos. Levando em considerao esta

caracterstica podemos privilegiar muito mais o processo (atores em interao)

do que o produto (com resultado estanque).

Houve um interesse em captar a perspectiva dos participantes, ou seja,

extrair dos alunos suas opinies pessoais sobre modificaes que pudessem

ser implementadas a partir das atividades realizadas, e por ltimo, a anlise

dos dados seguindo um processo indutivo: no foram procuradas evidncias

que comprovassem hipteses definidas antes do incio dos estudos.

Nas aulas investigativas propusemos tarefas que consideramos

problemas cuja busca de soluo envolvesse o pensamento lgico, a

criatividade, a intuio, a capacidade de anlise crtica, selecionando

procedimentos e verificando sua adequao.

As aulas investigativas foram coordenadas por esta pesquisadora. No

ms de novembro de 2006 foi realizado uma prvia com alunos de 5 e 7

14

sries que serviu como uma preparao com a inteno de buscar mais

elementos para o enriquecimento da pesquisa. J em fevereiro e maro de

2007, foi efetivamente realizada a coleta de dados em uma turma de 8 srie

que no era composta pelos mesmos alunos que participaram da prvia

realizada no ano anterior. Esta coleta aconteceu em aulas duplas com durao

de 45 minutos cada uma num total de doze aulas, sendo que as duas primeiras

tarefas levaram trs aulas cada e as demais tarefas duas aulas cada. Nessas

aulas eram propostas tarefas investigativas para anlise e discusso,

objetivando seu desenvolvimento.

As aulas foram gravadas em udio. As gravaes eram coletivas e em

alguns momentos essas gravaes se direcionavam a um determinado grupo.

Alm das gravaes pudemos contar com as anotaes que foram possveis

de serem realizadas pela professora no momento da realizao da tarefa e

tambm com os protocolos dos alunos. Terminada a realizao de cada tarefa

era solicitado aos alunos que elaborassem um relatrio que apresentasse com

o maior nmero de detalhes o que ocorreu em cada grupo; esses relatrios

poderiam ser entregues na aula seguinte.

Posteriormente, foram realizadas entrevistas semi-estruturadas com

alguns alunos que participaram da tarefa, tendo como base questes

previamente elaboradas para servirem de eixos orientadores para a nossa

pesquisa. A aplicao de entrevistas semi-estruturadas nos possibilitou a

abordagem de temas, considerados a partir de um esquema prvio, mas no

totalmente rgido. Foram gravadas em udio, com o consentimento prvio dos

15

participantes (foram escolhidos trs alunos entre todos os participantes) e

buscamos verificar como os discentes analisaram as aulas e o processo de

reflexo sobre elas.

Na entrevista a relao que se cria de interao, havendo uma atmosfera de influncias recprocas entre quem pergunta e quem responde. Especialmente nas entrevistas no totalmente estruturadas, onde no h a imposio de uma ordem rgida de questes, o entrevistado discorre sobre o tema proposto com base nas informaes que ele detm e que no fundo so a verdadeira razo da entrevista. Na medida em que houver um clima de estmulo e de aceitao mtua, as informaes fluiro de maneira notvel e autntica (LDKE & ANDR, 1986, p. 33-34).

Nesta etapa, as gravaes tiveram o objetivo de facilitar a transcrio e

permitir a ocorrncia de dilogos que no sofressem interferncia ou

necessidade de interrupes para anotaes.

Para assim podermos descrever e analisar situaes que decorreram da

aplicao desta proposta com a inteno de compreender a aprendizagem dos

alunos relativamente ao modo de explorar as tarefas de investigao e de ver a

Matemtica.

IV. Estrutura do Texto

Organizamos nosso trabalho em quatro captulos. No primeiro captulo,

apresentamos a reviso bibliogrfica, buscando a sustentao terica em

Ponte et al. (2003), no sentido de compreender o que investigar, quais so os

processos de uma investigao matemtica, o que seria uma aula com

investigaes e, em particular, quais os papis do professor numa aula de

investigao. No segundo captulo, detalhamos a concepo e

16

desenvolvimento do trabalho de campo, as atividades planejadas, a

apresentao e a categorizao dos dados coletados. No terceiro captulo,

apresentamos as entrevistas realizadas. No quarto captulo apresentamos as

concluses e consideraes finais.

17

CAPITULO 1

REVISO BIBLIOGRFICA

1.1 Introduo

Nesta pesquisa apoiamo-nos nos pressupostos referentes a

investigao em sala de aula defendidos por Ponte et al (2003) , as idias

trazidas nos PCN(s), assim como as contribuies de alguns pensadores como

Pires (2000), Braumann (2002), Polya (1957), Ernest (1996), Pirie (1897),

Oliveira (1998), Varandas et al. (2000) e Bishop e Goffree (1986).

Organizamos essa sntese da seguinte forma: iniciamos com a

concepo de investigao apresentadas por Ponte et al. e as referncias

histricas que eles trazem; na seqncia, analisaremos os processos de uma

investigao matemtica, o que seria uma aula com investigaes e ainda

quais os papis do professor numa aula de investigao.

1.2 Reflexo Terica

O National Council of Teacher of Matematics (NCTM) dos Estados

Unidos, em 1980, apresentou a Chamada Agenda para ao, com um

conjunto de recomendaes para o ensino da Matemtica da nova dcada

tendo em foco a resoluo de problemas, momento em que comeou a ser

discutida a primeira abordagem de investigaes nos currculos (PIRES, 2000).

18

Reformas curriculares aconteceram no ensino da Matemtica com a

divulgao dos princpios do NTCM, em vrios pases, acompanhando os

objetivos gerais por eles preconizados, dentre os quais o Brasil com os PCN e

PCNEM como podemos verificar nos documentos abaixo.

Os PCN trazem a resoluo de problemas, como eixo organizador do

processo de ensino aprendizagem de Matemtica, com todos princpios dentre

os quais podemos citar alguns:

A situao problema o ponto de partida da atividade matemtica e no a definio. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idias e mtodos matemticos devem ser abordados mediante a explorao de problemas, ou seja, de situaes em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratgia para resolv-las;

Um conceito matemtico se constri articulado com outros conceitos, por meio de uma srie de retificaes e generalizaes. Assim, pode-se afirmar que o aluno constri um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e no um conceito isolado num campo particular;

A resoluo de problemas no uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicao da aprendizagem, mas uma orientao para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se aprende conceitos, procedimentos e atitudes matemticas (PCNEF, 1998, p. 40 e 41) .

importante ressaltar que o fato de que h currculos brasileiros que

privilegiam as atividades de investigao matemtica no garante a plena

efetivao dos mesmos. O que possibilita ou no a execuo das tarefas de

natureza mais aberta a interpretao que os professores fazem do currculo e

as suas prticas pedaggicas.

No h como falar em investigaes sem falar em resoluo de

problemas. Braumann (2002) diz que uma investigao pode ser

desencadeada a partir de uma simples resoluo de exerccios. Mas, ento

19

como distinguir investigaes dos problemas e dos exerccios?

Segundo Polya (1957), um problema uma questo para a qual o aluno

no dispe de um mtodo que permita a sua resoluo imediata, enquanto um

exerccio uma questo que pode ser resolvida usando um mtodo j

conhecido. Os exerccios e os problemas tm uma coisa em comum. Em

ambos os casos, o seu enunciado indica claramente o que dado e o que

pedido.

Ainda segundo Polya, do ponto de vista do contexto de produo,

podemos dizer que problemas so formulaes em geral de estilo narrativo,

com informaes e dados que precisam ser analisados e selecionados e com

uma ou algumas perguntas a serem respondidas pela utilizao de algum tipo

de conhecimento.

Nos problemas, a resoluo envolve um caminho no direto para a

soluo, contm certos tipos de relaes. Nos exerccios, a resoluo pode ser

feita de forma direta, por exemplo, com o uso de algoritmos/frmulas ou uma

informao direta (que pode incluir memorizao de conceitos/contedos).

J numa investigao as coisas so um pouco diferentes, diz Ponte.

Trata-se de situaes mais abertas em que a questo no est bem definida no

incio, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definio.

Tarefas de investigao so as tarefas que exigem um elevado grau de

experimentao, explorao, reflexo e comunicao e que serve fortemente

para melhorar a aprendizagem e o desenvolvimento para alm dos limites da

disciplina (PONTE et al apud LIMA, 2007, p.3). Ou seja, segundo Lima, a tarefa

20

de investigao deve ser uma questo aberta, de cunho problemtico, cuja

realizao pode requerer um conjunto de aulas. O aluno tem que formular

objetivos mais precisos para investigar, formular conjecturas, test-las e,

eventualmente demonstr-las. E acrescenta, ainda, que esse tipo de trabalho

favorece o desenvolvimento do esprito de observao e do sentido crtico, a

capacidade de sistematizao e de demonstrao.

John Dewey, no incio do sculo XX, j destacava a importncia de se

possuir uma atitude questionadora e reflexiva. Campos e Pessoa (apud LIMA,

2007, p. 3), ao analisarem o pensamento deste educador, assim o destacam:

Dewey argumenta que o processo de reflexo de professores e professoras se inicia no enfrentamento de dificuldades que, normalmente, o comportamento rotineiro da aula no d conta de superar. A instabilidade gerada perante essas situaes leva-os a analisar as experincias anteriores. Sendo uma anlise reflexiva, envolver a ponderao cuidadosa, persistente e ativa das suas crenas e prticas luz da lgica da razo que a apia. Nessa reflexo estaro envolvidas, com a mesma intensidade, a intuio, a emoo e a paixo.

Esta postura de John Dewey nos leva a indagar, questionar e refletir

sobre uma nova abordagem, e traz em pauta a insegurana de realizar pela

primeira vez uma tarefa de natureza investigativa.

Ainda pensando nos exerccios, problemas e investigaes, podemos

citar Aline Robert (1997), uma pensadora francesa que desenvolveu um

trabalho que permite analisar enunciados de acordo com o nvel de

conhecimento que o aluno precisa colocar em ao. A autora distingue trs

nveis: tcnico, mobilizvel e disponvel.

A formulao de algumas atividades solicita que os alunos coloquem em

funcionamento um conhecimento de nvel tcnico, pois enunciam questes

21

simples, correspondendo a uma aplicao imediata de uma propriedade, de

uma definio ou de uma frmula. Como por exemplo, resolver uma equao,

calcular o resultado de uma operao, ou calcular a rea de um quadrado

sendo dado o seu lado. Esse tipo de aplicao imediata tem muita semelhana

com a resoluo de um exerccio.

Em outras formulaes, os conhecimentos utilizados, embora possam

ser identificados, necessitam de alguma adaptao ou de alguma reflexo

antes de serem colocados em funcionamento. Estas caractersticas so

associadas ao nvel mobilizvel e podemos tambm estabelecer uma grande

semelhana com a resoluo de problemas.

H ainda as formulaes em que os alunos no encontram no texto

alguma indicao ou sugesto do(s) conhecimento(s) que convm utilizar.

Essas so as que apresentam maior dificuldade para eles, seria o nvel

disponvel, que muito se assemelha s atividades de investigaes.

Buscaremos salientar que as caractersticas da abordagem investigativa

no se resumem utilizao de diferentes processos matemticos, mas

caracterizam-se tambm por uma mudana no poder do professor que deixa de

ter o controle sobre as respostas, sobre os mtodos aplicados pelos alunos, e

sobre a escolha dos contedos de cada aula, e por uma maior autonomia e

auto-regulao do aluno.

Segundo Ernest (1996) a abordagem investigativa altera as relaes de

poder ao nvel da turma. No entanto para que ela possa se tornar de fato

emancipadora necessrio que se retire a nfase dada unicidade da

22

correo de respostas e mtodos, e em vez disso centre-se no indivduo como

criador ativo do conhecimento e na natureza temporria das suas criaes.

1.3 O que investigar

Segundo Ponte et al. (2003), investigar procurar conhecer o que no

se sabe. Para os matemticos profissionais, investigar descobrir relaes

entre objetos matemticos conhecidos ou no, procurando identificar as

respectivas propriedades. Realizamos uma investigao quando formulamos

as nossas prprias questes e procuramos respond-las com fundamentao e

rigor, tanto quanto for possvel. Para se fazer uma investigao no

necessrio que trabalhemos com questes de extrema dificuldade, mas sim,

que trabalhemos questes que sejam de nosso interesse (que se apresentem

inicialmente confusas, mas que posteriormente possamos esclarec-las).

As investigaes matemticas so parte do que designado por

atividade matemtica, o que corresponde a identificar a aprendizagem da

Matemtica com o fazer matemtica, afirmam Oliveira, Segurado e Ponte

(1997). Love define implicitamente este tipo de atividade, ao afirmar que os

alunos devem ter oportunidade de:

identificar os seus prprios problemas; expressar as suas prprias idias e desenvolv-las ao

resolver os problemas; testar as suas idias e hipteses de acordo com experincias

relevantes; defender racionalmente as suas idias e concluses e

submeter s idias dos outros a critica ponderada. (LOVE, 1988, p.260)

23

Este tipo de atividades pode ter como ponto de partida uma questo ou

uma situao proposta quer pelo professor, quer pelos alunos.

Podemos dizer que o processo de criao matemtica rico em dvidas

e hesitaes, o que contrasta com a idia de que esta cincia seja um corpo de

conhecimento organizado, de forma lgica e dedutiva.

Os alunos podem envolver-se na realizao de investigaes

matemticas e este um poderoso processo de construo do conhecimento.

Este pensamento defendido por vrios matemticos:

[Os alunos podem ter] um sabor da Matemtica em construo e do trabalho criativo e independente [Eles podem] generalizar a partir da observao de casos, [usar] argumentos indutivos, argumentos por analogia, reconhecer ou extrair um conceito matemtico de uma situao concreta. (POLYA, 1980, p. 157 e 101).

Entre o trabalho do aluno que tenta resolver um problema de Geometria ou de lgebra e o trabalho de criao, pode dizer-se que existe apenas uma diferena de grau, uma diferena de nvel, tendo ambos os trabalhos uma natureza semelhante.(HADAMARD, 1945, p. 104).

Um matemtico, como um pintor, um poeta ou um msico um construtor de idias, formas, cores, palavras e sons. O critrio fundamental a beleza. A capacidade mais determinante a sensibilidade e a capacidade de observao. Todo o processo criativo passa por uma atitude inicial de observao e experimentao. No ser verdade tambm na aprendizagem?" (RAMOS, 1997, p. 7).

Aprender Matemtica no somente compreender a Matemtica j feita,

mas tambm ser capaz de fazer investigao de natureza matemtica,

afirmam Ponte et al (2003).

24

1.4 Processos de uma investigao matemtica

Para caracterizar o que uma investigao, a considerao dos

processos a ela associados to importante, que no se pode omiti-los.

Pirie salienta que a investigao constitui uma situao aberta, cuja

explorao da situao no tem como objetivo chegar resposta certa, pelo

contrrio, o objetivo a viagem, no o destino(Pirie apud, Brocardo, 2001).

Como indicam Ponte, Ferreira, Varandas, Brunheira e Oliveira (1999), a

realizao de uma investigao matemtica envolve quatro momentos

principais:

Reconhecimento da situao;

Formulao de conjecturas;

Realizao de testes;

Argumentao, demonstrao e avaliao do trabalho realizado.

Numa investigao matemtica em sala de aula, parte-se de uma

questo muito geral ou de um conjunto de informaes no muito bem

estruturadas que esto presentes no reconhecimento da situao, a partir

destas, se formula uma questo especfica e se produzem conjecturas. Em

seguida, estas conjecturas so testadas, podendo ser confirmadas ou

refutadas, sendo possvel nesse momento, produzirem-se novas questes,

com o abandono parcial ou at total das questes levantadas anteriormente.

Quando as conjecturas forem confirmadas passa-se para a etapa seguinte, que

a validao das mesmas.

25

No esquema da figura A, proposto por Oliveira (1998), alm de

indicarem sumariamente os processos matemticos envolvidos numa atividade

de investigao, salienta-se aquilo que chamado de no linearidade. Este

aspecto constitui uma caracterstica da atividade de investigao. Por exemplo,

ao perceber-se que os testes realizados no confirmam determinada conjectura

necessrio voltar atrs de forma a formular outra conjectura. No entanto para

isso necessrio perceber o que falhou para que a conjectura no resistisse

aos sucessivos testes e procurar ter em conta esse aspecto na formulao de

uma nova conjectura. Deste modo, uma atividade de investigao no

caracterizada apenas pelos processos matemticos nela envolvidos, mas

tambm pela interao entre eles; ou seja, pelas relaes que devem

necessariamente estabelecer entre eles.

Figura A A Atividade de investigao

(Oliveira, 1998, p.15)

Resumindo, na explorao de uma investigao o aluno desenvolve uma

atividade prxima da dos matemticos profissionais. Assim, investigar significa

formular boas questes e usar processos e conhecimentos matemticos que

permitam tomar decises sobre essas questes. Esta atividade envolve

26

diversos processos matemticos formulao de questes, formulao de

conjecturas, prova das conjecturas que resistiram a sucessivos testes que

interagem entre si.

1.5 Uma aula com investigaes

A aula tradicional normalmente contm uma seqncia: explicao da

matria, resoluo de exerccios e correo dos mesmos. Uma aula dita

investigativa tem uma dinmica bem diferente, influenciada por vrios fatores.

A dinmica de uma aula com investigaes influenciada por uma

grande diversidade de fatores. Alguns deles so anteriores ao prprio

desenvolvimento da aula, ou seja, a forma como planejada. No se pode

nem se pretende planejar os caminhos que os alunos vo seguir, mas pode

planejar-se o tipo de trabalho a desenvolver, afirma Varandas (2000).

Esperamos assim que os alunos discutam com os colegas, se envolvam nas

tarefas de descoberta e encontrem os seus prprios caminhos experimentando

e/ou conjecturando. No entanto, fundamental que o professor desenvolva ele

prprio uma atitude investigativa, sem que isso venha a comprometer uma

dinmica centrada no trabalho dos alunos.

Uma aula investigativa desenvolve-se habitualmente em trs fases:

introduo da tarefa: em que o professor faz a proposta turma, oralmente ou

por escrito; realizao da investigao: individualmente, aos pares, em

pequenos grupos ou com toda a turma; discusso dos resultados: em que os

27

alunos relatam aos colegas o trabalho realizado, se promove um debate e se

faz o fechamento ou institucionalizao do conhecimento (Ponte, Brocardo e

Oliveira, 2003).

As decises que o professor tem de tomar relativamente a cada uma

delas, devem ser orientadas pelos seguintes propsitos gerais descritos por

Ponte et al (2003):

a introduo deve clarificar aspectos da tarefa e sobre o tipo de

atividade que se pretende que os alunos desenvolvam;

no desenvolvimento da tarefa deve-se procurar centrar o trabalho na

atividade do aluno, nas suas idias e pesquisas;

a discusso final deve constituir uma oportunidade de refletir sobre a

atividade.

Passamos agora a expor cada uma dessas fases.

1.5.1 Introduo da tarefa

A fase de introduo da tarefa tem uma dinmica e exigncias prprias

que podero influenciar decisivamente o sucesso do trabalho. A apresentao

da proposta aos alunos poder ser feita de diversos modos. Um deles o

misto. Ele constitudo por uma distribuio do enunciado escrito

complementado por uma apresentao oral para toda a turma. Esta

apresentao tem como objetivos esclarecer possveis dvidas e criar um

ambiente favorvel ao desenvolvimento do trabalho, ressaltam Varandas et al.

28

(2000).

Portanto, na fase inicial de uma investigao, o professor deve procurar

criar esse tipo de ambiente e informar aos alunos do papel que se prope a

desempenhar, ou seja, estabelecer com eles um tipo de contrato didtico, para

que as aulas se desenvolvam de modo a atingir seus objetivos inicialmente

pretendidos.

Varandas et al (2000) consideram que nesta fase o professor ter que

decidir quais as questes ele pode dar respostas e quais deve remeter ao

trabalho dos grupos. Neste momento o professor no pode dar todas as dicas,

e sim direcionar suas atitudes pelas intenes pretendidas.

Esta fase deve ser relativamente breve para que o aluno no perca o

interesse pela tarefa e o tempo disponvel da aula seja bem aproveitado para a

realizao da investigao.

1.5.2 Realizao da investigao

Durante a realizao da tarefa pretende-se desenvolver em todos os

alunos uma atitude investigativa, devendo por isso ter cuidado para que a aula

se centre realmente na atividade dos alunos, nas suas idias e na sua

pesquisa. O professor deve fazer as intervenes que julgar necessrias.

Um fato importante que o aluno deve sentir que as suas idias so

valorizadas, que se espera que as discuta com os colegas, no sendo

necessria a validao constante por parte do professor. O aluno deve se

29

sentir capaz de validar suas conjecturas sem a dependncia da opinio do

professor.

Cabe ao professor procurar compreender como o trabalho dos alunos

vai processando e dar o apoio que for necessrio.

habitual, aps o surgimento das primeiras questes e do

esclarecimento das primeiras conjecturas, que os alunos formulem outras

questes e conjecturas por analogia com as primeiras. Esse um

procedimento desejvel em todo o tipo de tarefa, o professor poder fazer uma

sugesto aos alunos quando estiverem num impasse, ou simplesmente, para

enriquecer a sua investigao.

As conjecturas podem surgir do aluno de diversas formas, por exemplo,

por observao direta dos dados, por manipulao dos dados ou por analogia

com outras conjecturas.

de extrema importncia a realizao de um registro escrito do trabalho

de investigao. somente quando se dispem a registrar as suas

conjecturas, que os alunos se confrontam com a necessidade de explicitarem

as suas idias, de estabelecerem consensos e um entendimento comum

quanto s suas realizaes. Pode ser que o registro escrito constitua um

desafio adicional para os alunos, porque exige um tipo de representao que

talvez, eles nunca tenham utilizado, mas se for, esta dificuldade deve ser

superada.

30

1.5.3 Discusso dos resultados

A reflexo um elemento indispensvel numa aula de investigao.

Realizar uma atividade de investigao e no refletir sobre ela perder uma

das suas grandes potencialidades. Como referem Bishop e Goffree (1986) a

aprendizagem no resulta simplesmente da atividade, mas sim da reflexo

sobre a mesma por parte dos alunos. Deste modo, fundamental proporcionar

aos alunos momentos onde possam pensar e, sobretudo refletir sobre a

atividade realizada.

A justificao ou prova das conjecturas uma vertente do trabalho

investigativo que tende a ser relegada para segundo plano ou at mesmo a ser

esquecida, em especial, nos nveis de escolaridade mais elementares, ressalta

Ponte (2003). No entanto, existe alguma tendncia dos alunos para aceitarem

as conjecturas depois de terem verificado apenas um nmero reduzido de

casos, por isso, fundamental, para que o processo investigativo no saia

empobrecido, que o professor procure levar os alunos a compreender o carter

provisrio das conjecturas.

O professor deve garantir que sejam comunicados os resultados e os

processos mais significativos da investigao realizada e estimular os alunos a

questionarem-se mutuamente. Esta fase deve permitir tambm uma

sistematizao das principais idias e uma reflexo sobre o trabalho realizado.

A fase de discusso fundamental para que os alunos ganhem um

entendimento mais rico do que significa investigar e tambm desenvolvam a

31

capacidade de se comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu

trabalho e o seu poder de argumentao.

Sem a discusso final sobre a atividade dos alunos pode-se perder o

sentido da investigao afirma Ponte (2003). usualmente nesta fase que

sero postas em confronto as estratgias, as hipteses e as justificaes que

os diferentes alunos ou grupos de alunos construram, e que o professor

assume as funes de modelador.

Muitas vezes, o professor estabelece de incio o tempo que quer

conceder para a realizao da tarefa e para a discusso final, e faz com que

este plano seja cumprido, com maior ou menor flexibilidade.

1.6 Aspectos Gerais da tarefa

Segundo Varandas (2000), as tarefas de investigao a propor podem

surgir das atividades dos alunos ou mesmo serem sugeridas por estes, mas,

normalmente, surgem por proposta do professor. Ao propor uma investigao,

o professor ter de levar em conta as especificidades do grupo de alunos que

constitui a turma, o currculo que tem a seguir e algumas limitaes de espao

e tempo. A elaborao, seleo ou reformulao das propostas para os alunos

dever ser feita cuidadosamente, pois influencia o desenrolar da sua atividade

matemtica. necessrio lembrar freqentemente que a tarefa dever

proporcionar uma atividade de investigao para todos os alunos e tambm

considerar a sua realidade cognitiva e cultural, de modo a despertar-lhe a

32

curiosidade e o entusiasmo, proporcionando-lhes experincias diversificadas e

desafiantes, fazendo apelo aos seus conhecimentos prvios e intuies.

No devemos esquecer que a interpretao da tarefa deve ser, ela

prpria, um dos objetivos dessa aula, e gradualmente, deve esperar-se que o

aluno realize autonomamente ou com os colegas. No convm que o professor

se adiante nas respostas das atividades, o conveniente que ele se coloque

no papel de observador e mediador do processo de ensino e aprendizagem,

favorecendo assim o desenvolvimento do educando.

O ambiente de aprendizagem que se cria numa aula de investigaes

depende, em parte, do modo como os alunos esto organizados para trabalhar,

afirma ainda Varandas et al (2000). De um modo geral, na fase de

desenvolvimento da tarefa, a organizao mais propcia seria em pequenos

grupos, porque neste ambiente se favorece a troca de idias, confronto de

opinies e argumentos, para que o medo de arriscar conjecturas se torna

reduzido. Porm, no vetada a realizao de atividades envolvendo toda a

turma. Neste caso, o professor tem um papel mais ativo quer na coordenao

das diferentes interaes quer no desenrolar da prpria investigao, mas esta

opo poder ser til para introduzir os alunos neste tipo de trabalho. Uma

organizao que envolva estes dois modos de trabalho muito defendida por

Ponte; pois o trabalho em pequeno e grande grupo pode revelar-se tambm

interessante: um incio de aula em grande grupo com carter problematizador

ajuda a levantar as questes e fomentar o esprito de pesquisa e em seguida o

trabalho em pequenos grupos.

33

O tempo para a realizao das investigaes depender muito da tarefa

escolhida, mas, tambm, dos objetivos estabelecidos. Contudo, se a tarefa

necessitar de duas aulas para ser explorada, poder ser vantajoso que essas

aulas se realizem no mesmo dia, de forma que os alunos no percam a sua

linha de pensamento e envolvimento. No entanto, nem sempre as condies

reais em uma escola favorecem que se siga essa recomendao.

1.7 Os papis do professor numa aula de investigao

Numa aula de investigao, a interao que o professor tem de

estabelecer com os alunos bem diferente da que ocorre em outros tipos de

aula, levando-o a confrontar-se com algumas dificuldades e dilemas.

Ponte et al (2003) consideram que no acompanhamento que o professor

faz do trabalho dos alunos, ele deve procurar atingir um equilbrio entre dois

plos. Por um lado, dar-lhes a autonomia que necessria para no

comprometer sua autoria de investigao e, por outro lado, garantir que o

trabalho dos alunos v fluindo e seja significativo.

Desse modo, segundo Ponte et al. (1998), o professor desempenha um

conjunto de papis bem diversos no decorrer de uma investigao:

Estimular os alunos: escolhendo questes ou situaes iniciais que,

potencialmente, constitua um verdadeiro desafio para os alunos;

Avaliar o progresso dos alunos: recolher informaes sobre o modo

como se vai desenrolando o trabalho dos alunos, desde o primeiro

34

momento da investigao;

Apoiar o trabalho dos alunos: conceder aos alunos apoio de forma a

garantir que sejam atingidos os objetivos estabelecidos para a atividade.

Na perspectiva acima numa aula de investigao matemtica, tal como

em qualquer outra, tudo o que acontece, depende de uma boa medida do

professor e dos alunos. O professor precisa conhecer bem os seus alunos e

estabelecer com eles um bom ambiente de aprendizagem para que as

investigaes possam ser realizadas com sucesso. Essas aulas caracterizam-

se por uma grande margem de imprevisibilidade, exigindo do professor uma

flexibilidade para lidar com as situaes novas que, provavelmente iro

aparecer.

35

CAPTULO 2

CONCEPO E DESENVOLVIMENTO

DO TRABALHO DE CAMPO

2.1 O desenvolvimento da pesquisa de campo

Nessa pesquisa, como mencionamos anteriormente, contamos com a

colaborao de alunos de 8 srie do Ensino Fundamental de uma escola

pblica da rede municipal de So Paulo. O grupo era constitudo de 34 alunos

dos quais 19 eram meninos e 15 meninas na faixa etria de 13 a 16 anos, de

uma escola municipal da cidade de So Paulo. A classe foi informada de que a

atividade fazia parte de uma pesquisa por ns realizada e que no valeria nota.

Todos os alunos se dispuseram a participar.

As atividades foram realizadas em grupos de dois ou trs alunos, sendo

estes grupos formados a escolha dos prprios alunos sem sofrer qualquer

influncia. O motivo do trabalho em grupo se baseia no proposto por Mason

(1996), que requer um trabalho que promova a interao entre os alunos,

favorecendo o desenvolvimento oral e escrito, explorando as habilidades de

observao, descrio, explicao e questionamento, evidenciando formas

diferentes de ver as coisas: o que um aluno percebe pode ser visto de forma

diferente pelo outro ou at nem ser observado, o que serve como alavanca

para despertar discusses entre os grupos.

36

2.2 As atividades planejadas

Na rea de Educao Matemtica tem se discutido muito sobre a

necessidade do professor utilizar novas abordagens metodolgicas, que no

estejam s atrelados exposio do contedo, exemplos e exerccios de

fixao.

Dentro dessa perspectiva, o docente deve procurar promover situaes

que permitam uma maior reflexo dos alunos sobre o contedo que deseja

ensinar. Ou seja, o professor deve elaborar atividades desafiadoras e

geradoras de conflitos cognitivos.

possvel conceber tarefas adequadas a diferentes nveis de

desenvolvimento e que exijam um nmero reduzido de pr-requisitos. No

entanto, a sua explorao pode contribuir para uma compreenso de fatos e

relaes que vai muito alm da simples memorizao e utilizao de tcnicas

para resolver exerccios.

As investigaes geomtricas contribuem para que os estudantes

percebam aspectos essenciais da atividade matemtica, tais como formulaes

e teste de conjecturas e a procura de demonstraes e generalizaes, afirma

Ponte (2003). A explorao de diferentes tipos de investigao geomtrica

pode tambm contribuir para concretizar a relao entre situaes da realidade

e situaes matemticas, desenvolver capacidades como a visualizao

espacial e o uso de diferentes formas de representao, evidenciar conexes

matemticas e ilustrar aspectos interessantes da histria e da evoluo da

37

Matemtica.

Tendo por base as referncias indicadas anteriormente, selecionamos

tarefas de investigao matemtica envolvendo alguns contedos geomtricos

e outros que auxiliariam a explorao dos mesmos. Alm disso, houve a

preocupao de criar propostas e abordagens de ensino de acordo com a

realidade brasileira. No momento da seleo das tarefas que utilizaramos

escolhemos algumas tarefas tradicionais de investigao matemtica e

tambm fizemos uma adaptao de exerccios de livros didticos.

As tarefas selecionadas tm como objetivo que os alunos compreendam

como se faz uma generalizao a partir de alguns casos particulares, utilizando

os processos de investigao. Nas tarefas trabalhamos com alguns contedos

que envolvem os conceitos de rea e permetro de figuras planas e soma dos

ngulos internos de polgonos, entre outros. E tambm esperamos que eles

entendam que as investigaes contribuem para o desenvolvimento da

compreenso global de conceitos matemticos, bem como as capacidades

matemticas importantes como a formulao e teste de conjecturas e a procura

de generalizaes.

Apresentaremos a seguir as atividades selecionadas para serem

desenvolvidas em sala de aula e algumas consideraes a respeito dos

objetivos que pretendemos atingir com o desenvolvimento de cada tarefa.

38

2.2.1 Primeira Tarefa

Figuras de forma quadrada foram construdas com palitos de fsforo

todos do mesmo tamanho, como mostra a ilustrao abaixo.

1

2

3

a) Quantos fsforos foram utilizados na construo dessas figuras?

b) Investigue quantos fsforos so necessrios para construir qualquer

figura desse tipo.

O propsito desta tarefa era o de verificar os procedimentos de

contagem da quantidade de palitos utilizada na primeira parte da atividade e

em seguida fazer outros desenhos de quadrados do mesmo tipo no qual ele

tambm realize a contagem, e espera-se que de posse desses elementos

estejam em condies de levantar hipteses, a partir de discusses em grupo,

sobre o que acontecer em quaisquer outros casos semelhantes aos j

analisados. E assim poder chegar a uma generalizao.

39

2.2.2 Segunda Tarefa

Pretende-se construir portas com palitos. possvel construir uma

porta com 5 palitos. Veja s:

possvel construir duas portas com 9 palitos. Observe:

possvel construir trs portas com 13 palitos:

a) Quantos palitos so necessrios para construir dez portas.

b) E em geral?

Esta segunda tarefa teve o objetivo da observao das regularidades.

Espera-se que o aluno realize as contagens solicitadas na primeira parte da

atividade, e atravs de conjecturas consiga realizar uma generalizao para os

demais casos.

40

2.2.3 Terceira Tarefa

Com 20 palitos podemos construir um retngulo de lados 6 e 4, como

mostra a figura:

a) Que outros retngulos podem ser construdos com 20 palitos no

contorno?

b) Qual a rea de cada um deles?

c) O que voc pode concluir com essas informaes?

Nesta tarefa temos o objetivo, mais uma vez de desenvolver nos alunos

a capacidade de observar regularidades e fazer generalizaes.

2.2.4 Quarta Tarefa

Considere o quadrado feito com 4 palitos.

Cada palito corresponde a um lado do quadrado. Para as atividades que

41

faremos a seguir, a unidade ser a rea desse quadrado, que vamos indicar

por 1qp (quadrado de palito).

Agora usando palitos, vamos construir o contorno de diferentes

polgonos.

Retngulo do tipo 1 x 2 Retngulo do tipo 2 x2

A rea desse retngulo 2qp A rea desse retngulo 4qp

Retngulo do tipo 1 x 3 Hexgono com 8 palitos

A rea desse retngulo 3qp A rea desse polgono 3qp

Observe que as trs ltimas figuras foram feitas com o mesmo nmero

de palitos (8 palitos). Portanto, elas tm o mesmo permetro. Mas as reas so

diferentes.

a) Com 14 palitos de fsforo construa e desenhe polgonos com as

seguintes reas:

2qp

11qp

10qp

9qp

42

b) Considere a seguinte figura:

Qual a rea dessa figura?

E o permetro?

Movimente s 2 palitos para que a figura amplie de 1qp de rea.

Com esse nmero de palitos, qual o polgono de maior rea que se

pode construir?

Na quarta atividade o objetivo a explorao de permetros e reas de

superfcies delimitadas por palitos, utilizando uma unidade de medida como

padro de comparao, fazendo estimativas e realizando previses. Espera-se

que os alunos atravs da utilizao de palitos faam diversos experimentos at

chegarem s suas generalizaes.

2.2.5 Quinta Tarefa

A soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo 180.

Sabendo disso d para determinar a soma das medidas dos ngulos internos

de um polgono qualquer. Basta decompor o polgono em tringulos. Veja s:

43

Polgono Nmero mnimo de

tringulos

Desenho

Soma da medida

dos ngulos

internos

tringulo 1

180

quadriltero 2

360

Pentgono 3

540

hexgono 4

720

heptgono 5

900

octgono 6

1080

a) Quanto a soma das medidas dos ngulos internos de um

dodecgono?

b) E de um pentadecgono?

c) E em geral?

44

Esta tarefa tem o objetivo de trabalhar a soma dos ngulos internos de

polgonos a partir de sua decomposio em tringulos. Pretende-se que o

aluno analise a tabela apresentada com alguns exemplos de polgonos e suas

respectivas somas dos ngulos internos, para que assim possam levantar

conjecturas a partir de algumas perguntas formuladas.

2.3 Apresentao dos dados coletados

2.3.1 Tarefa 1

As atividades foram realizadas de fevereiro a maro do ano de 2007.

Primeiramente foi solicitado que os alunos se organizassem em grupos

de trs, alguns realizaram a atividade em dupla. Em seguida foi distribuda a

tarefa 1 por escrito; optamos por fazer uma leitura em voz alta para que assim

pudssemos esclarecer o procedimento da atividade, porm, sem informaes

adicionais.

Durante a execuo da atividade percorremos a sala, observando como

os alunos se comportavam em relao atividade apresentada, reforando que

escrevessem como tinham chegado s suas respostas, adotando assim uma

postura de retaguarda. Neste momento, os alunos solicitavam muito a nossa

presena para esclarecer dvidas e confirmar suas respostas. E foi

constantemente reforado que ns queramos saber como pensavam sobre a

questo e que discutissem com os colegas.

45

Inicialmente, muitos alunos reclamaram que no estavam entendendo o

que era para fazer, ento, pedimos que lessem novamente e discutissem com

o grupo para esclarecer as dvidas. Percebemos que eles tinham muita

dificuldade para entender o conceito de generalizao, o que j era esperado.

Os alunos iniciaram a tarefa com muito entusiasmo. Depois de lerem o

enunciado comearam uma discusso sobre os aspectos que iam observando

e as informaes que iam recolhendo, neste momento os alunos estavam se

embrenhando na situao, familiarizando-se com os dados e se apropriando

um pouco mais do sentido da tarefa. Mas, mesmo assim sempre recorriam a

uma aprovao da professora, pois o foco da investigao ainda no tinha sido

completamente identificado pelos alunos.

Passados os primeiros 20 minutos de aula, pudemos perceber que a

ansiedade dos alunos havia diminudo e eles j podiam pensar com mais

clareza sobre a tarefa. Foi a partir desse momento que comearam a surgir as

primeiras conjeturas por parte dos alunos.

Nos dilogos seguintes, eles faziam espontaneamente esse tipo de

procedimento, e trabalhavam por um bom tempo identificando algumas

relaes.

A2: Ah eu j sei, a base para fazer qualquer quadrado 1, ou seja, 4

palitos.

A4: Eu no entendi nada.

A2: Para fazer o 1 quadrado so 4 palitos, o 2 so 3 e o 3 so 2.

A5: Um nmero vezes outro que d par d para fazer um quadrado.

46

A6: Percebi que para qualquer quadrado so nmeros pares.

A aluna A2 continuava entusiasmada com a investigao e no desistia

de descobrir uma relao que pudesse ser vlida em qualquer tipo de

quadrado, embora ainda no entendesse muito bem o que era generalizao.

Neste episdio verifica-se o empenho dos alunos em busca de uma

regularidade na disposio dos palitos na construo de quadrados.

Os grupos faziam vrios desenhos de quadrados diferentes, contavam

quantos palitos eram utilizados em cada um deles, mas no conseguiam tirar

uma concluso aceitvel.

Um dos grupos nos chamou e disse:

A1: Professora, neste quadrado (5 de lado) eu usei 60 palitos, neste (4

de lado) 40 e neste (2 de lado) 12.

Professora: Muito bem, mas e se eu quiser saber quantos palitos vou

usar em um quadrado de 20 de lado?

A1: Ah professora, a fica muito difcil.

Professora: Por isso vocs tm que achar uma soluo sem precisar

ficar desenhando todos os quadrados.

A1: Se o quadrado de lado 5 60 ento, o de lado 20 240.

Professora: Verifique com o seu grupo se isso verdade.

Neste momento pudemos constatar uma postura interrogativa por parte

da professora, com a inteno de clarificar as idias dos integrantes do grupo,

para assim proporcionar um estabelecimento de conjecturas com maior

segurana.

47

Depois da explorao da tarefa, fizemos uma institucionalizao do

conhecimento, coordenando uma discusso das descobertas dos alunos de

modo a que todos tivessem a oportunidade de intervir. Paralelamente,

insistimos na procura de argumentos que pudessem justificar as relaes

encontradas. Todo este procedimento durou trs aulas de 45 minutos.

Ao final da aula pode ser feito um balano positivo da participao dos

alunos, pois grande parte demonstrou bastante interesse e empenho em

concluir a atividade com xito, participando ativamente.

2.3.2 Tarefa 2

Aps uma semana foi aplicada a segunda tarefa a esta mesma turma de

8 srie. Foi distribuda a atividade e junto com esta uma caixa de palitos para

que os alunos pudessem desenvolver a atividade. No incio eles ficaram

empolgados em mexer com os palitos, logo em seguida representaram a

quantidade de portas pedida no item (a) da atividade, chegando quase todos a

resposta correta. Alguns alunos optaram por fazer s os desenhos, porque no

queriam usar os palitos.

Feito isso, os alunos comeam a solicitar a presena da professora para

confirmar suas respostas; nesse momento propusemos que investigassem

quantos palitos utilizariam na construo de outras quantidades de portas.

Ento, os alunos comearam a fazer os desenhos representando estas

situaes em suas atividades. Mais uma vez, verificamos que o aluno precisa

48

ter suas idias valorizadas para que com o tempo possa se desprender da

constante validao de seus pensamentos por parte do professor.

Aps os alunos terem se apropriado dos dados, trabalhado um pouco

com eles e compreenderem o intuito da tarefa, comearam a aparecer as

primeiras conjecturas, do tipo:

A2: So sempre nmeros mpares.

Professora: Muito bem, e o que voc pode concluir com essa

informao?

A5: Se para 1 porta so 5, ento para 10 portas so 5x10 = 50, mas

utilizando os palitos deu 41.

Professora: Ento, discuta com o seu grupo o que no est dando

certo.

A aluna A5 levantou uma hiptese, porm, logo em seguida a refutou.

Percebendo que aquela hiptese no se validou, ela e os colegas de grupo

partiram em busca de uma nova hiptese.

Nessas hipteses iniciais, os alunos j comearam a ter uma melhor

noo do que estavam procurando, comportamento diferente do observado na

tarefa 1 em que se encontravam um pouco perdidos.

Passados uns 30 minutos da aula as conjecturas comearam a se

solidificar, vejamos algumas.

A7: Deu 41 ento vou procurar na tabuada onde tem 41.

A1: No tem. S tem 40.

A7: Ento usa o 40 e soma 1.

49

Professora: Verifiquem se isso funciona para as outras quantidades de

portas.

Em um outro grupo:

A8: J sei, professora, s multiplicar por 4 e somar 1.

Professora: Multiplicar o qu?

A8: As portas, n.

No final da aula houve uma discusso com todos os alunos, quando foi

solicitado que se manifestassem sobre as hipteses que haviam sido

levantadas em seus grupos, e ento, fizemos uma formalizao da tarefa.

Neste momento, pedimos aos alunos que escolhessem um componente do

grupo para ser o redator de um relatrio que deveria ser entregue na aula

seguinte, onde deveria constar quais as discusses e dificuldades que

apareceram no grupo durante a execuo da atividade.

2.3.3 Tarefa 3

Esta tarefa foi aplica sete dias aps a tarefa anterior e os alunos tambm

receberam palitos para auxili-los na resoluo do problema proposto. As

instrues foram lidas em voz alta para os alunos, mas sem esclarecimentos e

logo em seguida, eles pegaram os palitos e comearam a construir um

retngulo, alguns deles reproduziram o mesmo retngulo utilizado como

exemplo e ento dissemos a eles que deveriam encontrar outros diferentes

com a mesma quantidade de palitos.

50

Alguns alunos comearam a medir com a rgua o comprimento dos

lados do retngulo, e ns tivemos que intervir esclarecendo que a nossa

unidade de medida era o palito.

J decorridos alguns minutos da aula comearam a surgir as primeiras

construes de retngulos respeitando as exigncias do enunciado. Um aluno

perguntou se o retngulo tinha que fechar, e ento, pudemos constatar que

alguns alunos no tinham construdo o conceito de retngulo. Ainda com

relao a este conceito surgiram alguns questionamentos, como:

A9: Professora pode ser 5 por 5?

Professora: O que seu grupo acha?

A8: Mas a vira um quadrado.

Em um outro grupo surgiu a mesma dvida:

A1: Poder ser 5 por 5?

Professora: O que voc e seu grupo pensam a respeito?

A1: Eu acho que pode.

A10: Eu acho que no, assim vira um quadrado.

Esta tarefa apresentava todas as condies para que se gerasse esse

tipo de discusso, como j era previsto. E isso foi bastante oportuno para que

fizssemos um trabalho mais aprofundado com os alunos sobre os conceitos

de quadrado e retngulo. Fizemos algumas consideraes com os grupos nos

quais a discusso apareceu mais consistente com a inteno de aprofundar

mais o assunto num momento posterior.

Quando passaram para a parte (b) da atividade, surgiram muitas dvidas

51

sobre o clculo de rea. Na verdade, eles no sabiam ou no lembravam como

se realizava o clculo da rea de um retngulo, neste momento tivemos que

intervir, pois de incio, nenhum dos alunos conseguiu resolver este item. Ento,

foi necessrio esclarecer como se efetuava o clculo da rea de um retngulo,

para que os alunos prosseguissem no desenvolvimento da atividade.

Em um grupo, uma aluna (A7) disse que a rea de um dos retngulos

era 7 vezes 3 e ento o resultado era 21, mas como tinham 20 palitos deveriam

tirar 1. Neste momento, percebi que estavam confundindo rea com permetro

porque acreditavam que os dois deveriam ter o mesmo valor. Por isso, tivemos

que provoc-los com perguntas do tipo: o que te leva a pensar que os dois

devem ter valores iguais? Ser que voc tem mesmo que subtrair 1? Em

quanto os alunos se organizavam para responder as tais perguntas, a

investigao pode tomar outros rumos.

A maioria dos alunos tentava encontrar uma relao entre a rea e o

nmero de palitos de qualquer forma, subtraindo, multiplicando ou dividindo os

nmeros encontrados, fazendo relaes com nmeros pares ou mpares, mas

poucos chegaram a concluso que no havia relao alguma entre a rea e o

nmero de palitos (permetro) utilizado na construo da figura.

Os alunos se confundiram muito tentando encontrar solues para esta

tarefa, principalmente quando as respostas surgiam em duplicidade, ou seja,

eles acreditavam que o simples fato de trocar a base pela altura resultaria em

um retngulo diferente. Portanto, a principal dvida era se uma figura de

mesma base e altura poderia ou no ser considerada retngulo.

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No final da aula houve um momento de interao, no qual cada grupo

pde apresentar suas hipteses e confront-las com a de outros grupos

facilitando assim o esclarecimento das dvidas que surgiram durante o

desenvolvimento da tarefa para que pudssemos finalmente conclu-la com

sucesso.

2.3.4 Tarefa 4

A tarefa 4 foi aplicada na semana seguinte a realizao da tarefa 3. Os

grupos receberam as instrues e uma caixa de palitos. Foi feita uma leitura

em voz alta dos procedimentos, e logo os alunos comearam a trabalhar na

tarefa. No incio sugiram dvidas do tipo O que para fazer?, pergunta esta

que sempre era feita por algum aluno em todas as tarefas. A resposta foi que

lessem novamente as instrues e discutissem com seus colegas para

esclarecer o que deveria ser feito.

Outra dvida que surgiu foi a respeito do que seria um polgono, neste

momento foi necessrio fazer uma interveno sobre polgonos para que a

tarefa pudesse ter seqncia. Um dos grupos perguntou se a figura tinha que

fechar. Ento, utilizamos um recurso sugerido por Ponte, que para garantir o

progresso do trabalho dos alunos necessrio fornecer ou recordar

informaes, por meio de perguntas esquadrinhadoras (Ponte, 2003, p. 53).

Na primeira parte da tarefa a grande maioria dos grupos confundiu a

quantidade de palitos que deveriam utilizar com as reas que eram pedidas em

53

cada caso. Mas logo que foi esclarecido que o nmero de palitos que deveria

ser usado na construo dos polgonos deveria ser o mesmo para todos os

itens, eles comearam a fazer as construes. Entusiasmados, assim que

conseguiam construir um dos polgonos nos chamavam para mostrar e saber

se estava certo (ainda nesta fase das investigaes alguns alunos recorriam a

aprovao da professora).

Foi possvel perceber a empolgao dos alunos que mexiam os palitos

constantemente, enquanto tentavam solucionar as questes. Essa era a

segunda tarefa que envolvia o conceito de rea, mas mesmo assim, os alunos

ainda tinham dvida quanto ao que seria a rea dos polgonos e fizeram a

seguinte pergunta:

A11: Professora, rea o que tem fora ou dentro?

Com esta pergunta ficou clara a confuso entre os nomes rea e

permetro.

O ltimo item desta atividade pedia para que os alunos encontrassem o

polgono de maior rea que se podia construir usando 16 palitos. O problema

que alguns grupos encontravam um polgono e j consideravam como

resposta.

A2: Professora, o maior o de 15.

Professora: Vocs tm certeza? J tentaram encontrar outro?

A12: Na verdade este foi o primeiro que achamos.

Professora: Ento vocs tm que confirmar esta resposta antes de

consider-la correta.

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Este episdio mostra bem um ponto ressaltado por Ponte (2003), que os

alunos tendem a transformar as suas conjecturas em concluses sem

passarem por um processo de justificao.

Neste momento foi necessrio desafi-los a procurar outros polgonos

para comparar com o que haviam encontrado e assim pudessem confirmar sua

conjectura. Na maioria dos grupos a resposta encontrada era o polgono de

rea 15 com lados 3 e 5 palitos.

No final da aula os alunos foram chamados a expressarem suas

conjecturas para que pudssemos, juntos, compar-las e institucionalizar os

conhecimentos trabalhados nessa tarefa.

2.3.5 Tarefa 5

A quinta e ltima atividade aplicada seguiu os mesmos procedimentos

das anteriores; formou-se os grupos por escolhas dos prprios alunos, mas

mesmo assim observamos que esses grupos apresentavam uma pequena

alterao no decorrer das aulas. As tarefas foram distribudas e lidas para toda

a sala. O primeiro questionamento que surgiu por parte dos alunos foi

professora, e os palitos?, e ento dissemos a eles que nesta tarefa no