Manoel S. D’Agrella Filho

P= mg

N

Fat

F

Corpo de massa mVamos pensar em um objeto que esteja sob a

ação de uma força F, como mostrado na

figura ao lado. Para que o objeto se mova, é

necessário que:

F > Fat,max

Fat,max = sN

s – coeficiente de atrito estáticoOnde, Fat,max é a força de atrito máxima que

age no objeto.

Se o objeto se mover, a força de atrito cai

rapidamente e a nova força de atrito será:

Fk = kN

k – coeficiente de atrito cinético

Se o corpo não se

move, então a força

de atrito e a força

aplicada paralela à

superfície se

equivalem.

Um bloco repousa sobre um piso. (a) Qual a intensidade da Força de atrito que o piso exerce sobre ele? (b) Se agora aplicarmos ao bloco uma força horizontal de 5 N, sem que ele se mova, qual será a intensidade da força de atrito que age sobre ele? (c) Se o valor máximo da força de atrito estático que age sobre o bloco for de 10 N, o bloco se moverá quando o módulo da força aplicada horizontalmente for de 8N? (d) E se a intensidade for de 12N? (e) Qual a intensidade da força de atrito no item (c)?

Podemos ter uma situação em que várias forças estão

sendo aplicadas no material. Neste sentido, dizemos

que um corpo está em equilíbrio estático se:

1- A soma vetorial de todas as forças externas que agem

sobre o corpo for nula:

Fi = 0

2- A soma vetorial de todos os torques externos que agem

sobre o corpo, medidos em relação a qualquer ponto

possível, também for nula

i = 0

x

Y

Z

Equilíbrio das forças

Fres,x = 0

Fres,y = 0

Fres,z = 0

Equilíbrio dos torques

res,x = 0

res,y = 0

res,z = 0

Barra sujeita a ação de duas forças F1 e F2 de sentidos opostos e de mesma magnitude, como mostrado na figura ao lado. P representa o ponto de apoio:

1- A condição de equilíbrio das forças é atendida;

2- A condição de equilíbrio dos torques não é atendida e a barra irá girar.

P

Ponto de apoioF1

F2

A figura fornece seis vistas superiores de uma haste uniforme

sobre a qual duas ou mais forças atuam perpendicularmente.

Se as intensidades das forças forem ajustadas adequadamente

(mas mantendo valores não nulos), em que situações a haste

pode estar em equilíbrio estático?

Na Figura ao lado, uma viga uniforme, de comprimento L e massa m = 1,8 kg, está em repouso com suas extremidades sobre duas balanças. Um bloco uniforme, com massa M = 2,7 kg, está em repouso sobre a viga, com seu centro a uma distância L/4 da extremidade esquerda da viga. Quais são as leituras das balanças?

A figura acima nos fornece uma vista superior de uma haste

uniforme em equilíbrio estático. (a) É possível encontrar a

intensidade das forças desconhecidas F1 e F2 equilibrando as

forças? (b) Se você quiser encontrar a intensidade da força F2usando uma única equação, onde você deveria posicionar um eixo de

rotação? Qual é o valor de sua intensidade? (c) Qual é a intensidade

da força F1?

Na figura ao lado, uma haste AC de 5 kg é mantida em repouso contra uma parede e a haste. A haste uniforme tem 1 m de comprimento e o ângulo = 30. (a) se você tivesse que encontrar a intensidade da força T que a corda exerce sobre a haste usando uma única equação, em qual dos pontos indicados deveria ser posicionado o eixo de rotação? Com essa escolha de eixo e torques positivos no sentido anti-

horário, qual o sinal (b) do torque pdevido ao peso da haste e (c) do torque

c devido à força com que a corda

traciona a haste? (d) A intensidade c é maior, menor ou igual à intensidade de

p?

Observem que para resolvermos este tipo de problema, o

número de incógnitas tem que igual ao número de equações.

• De modo geral, os sólidos (ex.: um sólido metálico) formam estruturas cristalinas e os átomos são mantidos unidos por forças inter-atômicas: o reticulado formado é extremamente rígido.

• Entretanto, mesmo os corpos rígidos, quando submetidos a uma tensão grande, eles podem se comportar de maneira elástica.

• Ex.: uma mesa com um dos pés mais curto que os outros, acaba ficando do mesmo comprimento que os outros se um peso suficientemente grande for colocado sobre ela.

Um cilindro sujeito a uma tensão

de tração se alonga de um

comprimento L.

Tensão = Força por

unidade de área:

= F / A

Quando aplicamos uma força F a um corpo, dizemos que aplicamos uma tensão , definida por:

= F / A

- Força por área – unidade de pressão: SI: 1 pascal – 1 N/m2

cgs: 1 Bar – 1x10-6 dina/cm2

Entretanto, podemos ter tração ou compressão.

A tensão produz uma deformação específica, ou deformação por unidade de comprimento original :

Deformação específica = L/L =

A experiência nos diz que a tensão é proporcional à deformação específica:

= F/A L/L

A constante de proporcionalidade é chamada de módulo

de elasticidade.

A variação linear entre a deformação específica e a

tensão é chamada de Lei de Hooke:

= F/A = módulo de elasticidade x L / L

Nós vimos um exemplo de tensão de tração, entretanto, a lei de Hooke é válida também quando o material está sujeito a uma tensão de cisalhamento ou, então, quando uma esfera sólida está sob tensão hidrostática uniforme.

x / L = Deformação

específicaV / V = Deformação

específica

Vamos tentar compreender melhor o que acontece na tensão de tração (ou compressão):

Vale a lei de Hooke

Tensão de escoamento é a

tensão na qual deixa de ser

válida a lei de Hooke da

linearidade entre tensão e

deformação específica:

F/A L/L

Quando a lei de Hooke prevalece:

= F/A = E L/L,

onde E é o módulo de elasticidade, também chamado de módulo de Young

Cada material vai se comportar de um modo particular sob tensão e terá o seu próprio módulo de Young (E), uma resistência máxima à ruptura (Su) e uma tensão de escoamento (Sy).

A força atua no plano da área e não

mais perpendicular a ela.

A deformação específica é x / L e o

módulo de elasticidade é chamado de:

Módulo de Cisalhamento ou

Módulo de Rigidez

- Ciências da Terra

G – Engenharia

= F / A = x / L

As rochas estão com freqüência sob o efeito de cisalhamento.

No caso de um corpo sob tensão hidrostática, a tensão é a pressão (P) que o corpo sofre:

P = Força por unidade de área.

Deformação específica = V / V =

Módulo de Incompressibilidade: K – Física da Terra

P = -K

Pressão hidrostática – P é

igual em todos os sentidos e

é negativa

Define-se também o Módulo de Compressibilidade (B):

B = 1/K

Módulo de compressibilidade do aço é de 16 x 10 10

N/m2

Módulo de compressibilidade da água é de 2,2 x 10 9

N/m2

Um terremoto acontece na Crosta e no Manto Superior quando as tensões tectônicas excedem a resistência das rochas e uma falha (colapso) ocorre.

Uma vez acontecido o terremoto, ondas sísmicas se propagam por deformação elástica das rochas por onde elas viajam.

Velocidade das ondas longitudinais:

= {[K + (4/3)] / } 1/2

K é o módulo de incompressibilidade;

é o módulo de rigidez (ou cisalhamento);

é a densidade.

Velocidade das ondas transversais:

= ( / ) ½

é o módulo de rigidez ou cisalhamento.

Como o módulo de rigidez nos líquidos é zero, as ondas

transversais não se propagam em meio líquido.

Uma haste de aço estrutural possui um raio R de 9,5 mm e um comprimento L de 81 cm. Uma força F de 62 kN a estica ao longo de seu comprimento. Quais os valores da tensão sobre a haste, do alongamento e da deformação específica da haste?

Eaço = 200x109 N/m2

A figura acima mostra a curva de tensão x deformação específica para o quartzito. Quais são o módulo de Young (E) e a resistência de escoamento aproximada para este material?

Pretende-se construir um túnel de 150 m de comprimento, 7,2 m de altura e 5,8 m de largura (com um teto horizontal), 60 m abaixo do nível do solo (veja figura abaixo). O teto do túnel deve ser suportado inteiramente por colunas de aço de seção quadrada, cada uma com uma área de seção transversal de 960 cm2. A massa específica do material do solo é de 2,8 g/cm3. (a) Qual a massa total do material que as colunas devem suportar? (b) Quantas colunas são necessárias para manter a tensão de compressão em cada coluna com um valor igual à metade da sua resistência máxima à ruptura? g= 9,8 m/s2; resistência máxima (Su) à ruptura do aço = 400x106

N/m2.

Quando ocorre uma ruptura na litosfera,são geradas vibrações sísmicas que sepropagam em todas as direções na formade ondas. O mesmo ocorre, por exemplo,quando explosivos são detonados. Sãoestas ondas sísmicas que causam danosperto do epicentro e que podem serregistradas em sismógrafos no mundotodo.

Geração de um sismo por acúmulo e

liberação de esforços em uma ruptura. A

crosta terrestre está sujeita a tensões (a)

compressivas neste exemplo, que se

acumulam lentamente, deformando as

rochas (b); quando o limite de resistência

é atingido, ocorre uma ruptura com um

deslocamento abrupto, gerando vibrações

que se propagam em todas as direções (c).

Geralmente, o deslocamento (ruptura) se

dá em apenas uma parte de uma fratura

maior pré-existente (falha geológica). O

ponto inicial da ruptura é chamado

hipocentro ou foco do tremor, e sua

projeção na superfície é o epicentro. Nem

todas as rupturas atingem a superfície.

Deslocamento de 1,70 m na horizontal e 1,30 m na vertical

Argentina abala São Paulo. (a) Registro na estação sismográfica de

Valinhos, SP, de um sismo ocorrido na fronteira Argentina/Bolívia (23-

01-1997) com magnitude 6.4. (b) O movimento do chão é descrito

pelos três componentes: Z (vertical, positivo para cima), NS (positivo

para Norte) e EW (positivo para Leste). As ondas P e S chegam 230 s e

410 s, respectivamente, após a ocorrência do terremoto.

A ruptura que causou o terremoto foi

muito rápida e durou cerca de 5

segundos. Entretanto, foram geradas

ondas sísmicas que passaram pela

estação, a 1930 km, durante mais de 20

minutos. Isto ocorre porque há vários

tipos de ondas sísmicas com

velocidades de propagação diferentes e

que percorreram trajetórias distintas.

A primeira movimentação do chão(chegando a 230 s após a ocorrência doterremoto) é um deslocamento de 0,03mm para cima e para Leste. Nestaprimeira onda não há vibração nadireção NS. Como as ondas estavam sepropagando de Oeste para Leste (doepicentro para a estação) e chegaram naestação vindo de baixo para cima,vemos que as vibrações nesta primeiraonda são paralelas à direção depropagação.

Esta primeira onda é, portanto,longitudinal e chama-se onda P(primária).

Quase 200 s após a chegada da onda P, o chão sofre um deslocamento

0,07 mm no sentido Norte. Esta segunda onda tem vibração

perpendicular à direção de propagação e é chamada onda

transversal ou onda S (secundária).

Os dois tipos principais de ondas sísmica são:

- Ondas P - movimentam as partículas do solo comprimindo-as e dilatando-as. O movimento das partículas é paralelo à direção de propagação da onda. O som é uma onda P.

- Ondas S - movimentam as partículas do solo perpendicularmente à direção de propagação da onda.

As velocidades das ondas P e S dependem essencialmente do meio onde elas passam. Elas podem ser expressas pelas constantes elásticas e a densidade do meio em que elas se propagam:

= [(K + 4/3 ) / ] ½,

onde é a velocidade da onda P, K é o módulo volumétrico (de incompressibilidade), é o módulo de rigidez (de cisalhamento) e é a densidade.

O som que se propaga no ar é uma onda P, da mesma forma que as vibrações em um meio líquido. Nestes meios o módulo de rigidez é zero ( = 0) e a velocidade da onda P se torna igual a:

= [K/ ] ½

Na propagação das ondas transversais, como o movimento das partículas é perpendicular ao deslocamento da onda, o meio sofre cisalhamento vertical. Assim, a velocidade da onda S () depende intrinsecamente do módulo de rigidez e da densidade do meio em que se propaga:

= ( / )½

As ondas transversais precisam de um meio sólido para se propagar (tensões de cisalhamento). Portanto, as ondas S não se propagam em meios líquidos e gasosos (onde = 0), mas só em sólidos.

Uma comparação das fórmulas que fornecem as velocidades das ondas P e S, mostram que a velocidade da onda P é maior do que a da onda S e, portanto, chega primeiro.

= [(K + 4/3 ) / ] ½,

= ( / )½

As ondas superficiais Rayleigh é

uma combinação de vibrações P e

SV contidas no plano vertical.

Isto produz um movimento das

partículas no sentido retrógrado

em torno de uma elipse.

As ondas superficiais Love

correspondem a superposições de

ondas SH e SV, com vibrações

horizontais e perpendiculares a

propagação da onda. As ondas

Love, em geral, apresentam

velocidades maiores do que as

ondas Rayleigh.

Lei de Snell que rege a reflexão e a refração das ondas. Quando a onda passa de um meio de menor velocidade para outro meio de maior velocidade, o raio de onda se afasta da normal à interface (a). Quando a onda passa para um meio com velocidade menor, ela se aproxima da normal à interface (b). No caso das ondas sísmicas, parte da energia da onda incidente P (ou S) pode se transformar em ondas S (ou P), sempre obedecendo à lei de Snell (c).

Lei de Snell em uma sucessão de camadas horizontais.

Quando a velocidade aumenta linearmente com a profundidade (a),

os tempos de percurso formam uma curva (b) e as trajetórias dos

raios sísmicos são arcos de circunferência (c).

A sismologia de reflexão e a de refração são amplamente usadas na investigação de estruturas de sub-superfícies das camadas de rocha no interior da Terra. O método consiste na emissão de ondas sísmicas geradas artificialmente através do impacto de explosões, tiros de ar comprimido, impactos mecânicos ou vibradores. Essas ondas penetram a certas profundidades no interior da Terra, que serão maiores à medida que a energia liberada no impacto for maior. Durante esse trajeto, as ondas irão atravessar diferentes camadas geológicas que apresentam características físicas diferentes e, por essa razão, vão sofrer reflexão e refração. Parte da energia contida numa onda será refletida na interface entre duas camadas geológicas. O restante seguirá seu caminho, mas segundo um ângulo diferente, pois sofreu refração.

As ondas sísmicas são detectadas por instrumentos capazes de

perceber os movimentos do solo por ocasião de sua passagem. Esses

instrumentos são chamados geofones (sismômetros), ou hidrofones

quando são usados nos oceanos ou lagos. O registro das ondas é feito

pelos sismógrafos. Os sismógrafos, como indicado pelo próprio

nome, “escrevem” o registro em papel (sismograma). Entretanto, as

versões modernas fornecem registros digitais, cujos dados estão

prontos para serem analisados ou produzir os sismogramas.

Dependendo dos objetivos da pesquisa, pode-se optar por analisar as

ondas refletidas (método sísmico de reflexão) ou as ondas refratadas

(método sísmico de refração). No primeiro caso as sucessivas

reflexões irão fornecer mais detalhes das camadas geológicas, sendo,

portanto, o método mais empregado na prospecção de

hidrocarbonetos (petróleo e gás). No método de refração, as ondas

viajam grandes distâncias antes de serem detectadas pelos geofones,

por isso contêm informações de grandes áreas, mas com menos

detalhes

FIM