A FORMA E O CAMPO

DE GRAVIDADE DA

TERRA

Manoel S. D’Agrella Filho

A FORMA DA TERRA

Os filósofos e sábios antigos só conseguiam especular sobre a natureza e forma da Terra em que viviam.

Viagens limitadas

Instrumentos simples

A FORMA DA TERRA

As observações mostravam que a superfície era

convexa:

Os raios solares continuam a iluminar o céu e as

montanhas, mesmo após o desaparecimento do

Sol

Os navios pareciam afundar devagar no horizonte

Durante um eclipse parcial da Lua, a sombra da

Terra aparecia curvada

A FORMA DA TERRA

Mitologia Grega - a Terra era uma região em

forma de disco.

No século 6 A.C.

o filósofo grego Anaximander visualizava o

céu como uma esfera celestial que circundava

uma Terra plana no seu centro.

A FORMA DA TERRA

Pitágoras (582-507 A.C.) e seus seguidores

foram os primeiros a especularem que a Terra

era uma esfera.

Esta idéia foi também proposta pelo influente

filósofo Aristóteles (384-322 A.C.).

A FORMA DA TERRA

Eratóstenes (275-195 A.C.)

Primeira estimativa do tamanho da Terra

Uma estadia Grega representava

o percurso (~185 m) de corrida

em forma de U, onde corridas e

outros eventos de atletismo

ocorriam.

A estimativa de Eratóstenes -

46.250 km

Estimativa atual - 40.030 km

A FORMA DA TERRA

Estimativas de um grau de meridiano

Século 8 durante a dinastia Tang na China.

Astrônomos árabes no século 9, na Mesopotâmia.

Pouco progresso foi feito na Europa até o início do

século 17.

A FORMA DA TERRA

Invenção do telescópio neste século possibilitou pesquisas

geodéticas mais precisas:

Em 1671

Jean Picard (1620-1682), astrônomo Francês

levantamento geodético - um grau de arco do meridiano.

Raio da Terra como sendo de 6.372 km,

impressionantemente próximo do valor atualmente

conhecido de 6.371 km.

A FORMA DA TERRA

Em 1672

Jean Richer, outro astrônomo Francês

Enviado por Louis XIV para realizar algumas

observações astronômicas na Ilha

Equatorial de Cayene.

Ele observou que um relógio de pêndulo ajustado

para bater em Paris a cada segundo, atrasava

cerca de dois minutos e meio por dia. Isto é, seu

período era mais longo.

A FORMA DA TERRA

Esta observação gerou muito interesse e

especulação, mas foi somente explicada cerca de

15 anos mais tarde, por Newton, através das leis

de gravitação universal e de movimento.

Newton sugeriu que a forma de uma Terra em

rotação deveria ser a de um elipsóide oblato: ela

deveria ser achatada nos pólos, formando um

bojo no equador.

A FORMA DA TERRA

Newton assumiu uma densidade constante ao longo da Terra e chegou a conclusão que o achatamento seria de 1:230 (f=(a-c)/a, a é o eixo maior do elipsóide).

Argumento de Newton para a

Terra em rotação.

Terra - esfera hidrostática

Este valor é maior do que o que se conhece hoje, que é de 1/298

(~0,3%).

A FORMA DA TERRAO aumento no período do pêndulo de Richer pode ser agora explicado:

Cayenne fica próximo do equador, onde:

1- o raio é maior e a atração gravitacional é menor.

2- A força centrífuga oposta é maior (próximo do equador).

Estes dois efeitos juntos resultam em um valor menor da gravidade em

Cayenne do que em Paris.

O período de um pêndulo (T) é dado por:

T = 2 (L / g)1/2

L – comprimento do pêndulo; g - gravidade

A FORMA DA TERRA

Duas expedições (entre 1735 e 1743) organizadas

pela Académie Royale des Sciences, uma para

Lapônia, próximo do Círculo Ártico e outra para

o Peru, próximo ao equador, com o intuito de se

medir o comprimento de um grau de arco de

meridiano, confirmaram a predição de Newton

de que a forma da Terra é a mesma de um

elipsóide oblato.

GRAVITAÇÃOUm corpo de massa m em movimento (velocidade v)

possui uma inércia. Para mudarmos este movimento é

necessário aplicar uma força F a este corpo.

A segunda lei de movimento de Newton estabelece que

a razão de mudança no tempo do momento (quantidade

de movimento - p) de uma massa m é igual à força

resultante que atua sobre ela e acontece na direção da

força.

p = m v

Fres = dp/dt

Fres = d(mv)/dt = m dv/dt = ma

GRAVITAÇÃO

Se aplicarmos uma força F a uma massa m, ela

adquire uma aceleração a, dada por:

F = ma

A unidade de força no sistema SI é o Newton (N).

Ela é definida como sendo a força que dá a uma

massa de um quilograma, uma aceleração de 1 m/s2.

A lei da gravitação universal

Nós conhecemos a célebre observação de

Newton da maçã em queda, a qual ele relacionou

com a atração gravitacional que a Terra exercia

sobre a maçã. Entretanto, a genialidade de

Newton foi reconhecer que o campo gravitacional

que faz com que a maçã caia é o mesmo que

mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que

mantém os planetas girando em redor do Sol.

A lei da gravitação universal Newton deduziu que a força de atração gravitacional (F)

exercida por uma massa M sobre outra massa m, separadas pela distância r, é proporcional ao produto destas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:

F = - G mM/r2 r,

Onde r é o vetor unitário na direção da coordenada r, direcionada para fora do centro de referência da massa M. O sinal negativo indica que a força F age na direção oposta, em direção da massa M.

A constante G é denominada de Constante da Gravitação Universal.

A lei da gravitação universal

Na época de Newton não havia como determinar a

constante G.

O método a ser seguido, seria determinar a força

exercida entre duas massas no laboratório. A

determinação experimental de G, extremamente difícil, foi

conseguida somente depois de mais de um século após

a formulação de Newton, por Lord Charles Cavendish,

em 1798.

Depois de uma série de medidas apuradas da força de

atração entre duas esferas de chumbo, Cavendish

determinou o valor de G = 6,754 x 10-11 m3 kg-1 s-2.

Um valor atual é 6,6725985 x 10-11 m3 kg-1 s-2.

ACELERAÇÃO GRAVITACIONALNa física, o campo de uma força é mais importante do que a

magnitude da força.

O campo é definido como sendo a força exercida em uma unidade

de material.

O campo gravitacional na vizinhança de uma massa é a força que ela

exerce em uma massa unitária. Como:

F = ma,

Podemos dizer que o campo gravitacional é equivalente ao vetor

aceleração (ag).

ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL

Tendo em vista que:

F = -GMm/r2 r,

e

F = ma

Decorre que:

ag = -GM / r2 r.

No sistema SI, aceleração é dado em m/s2. No sistema c.g.s., a

aceleração é em cm/s2, o qual é chamado de gal em

reconhecimento às contribuições de Galileo.

Teorema da casca

Uma casca esférica uniforme de matéria atrai

uma partícula que está fora da casca como se

toda a massa da esfera estivesse concentrada

em seu centro.

Teorema da casca

A terra pode ser considerada como um conjunto

de cascas esféricas, uma dentro da outra e cada

casca atraindo uma partícula fora da superfície

terrestre como se a massa de cada casca estivesse

no centro da casca. Portanto, a Terra pode ser

considerada como uma partícula localizada no

centro da Terra com massa igual a da Terra.

Teorema da casca

Suponhamos o caso da maçã e da Terra. A Terra atrai

a maçã com uma força de 0,8 N. A maçã deve atrair a

Terra com a mesma intensidade de 0,8 N.

Aceleração produzida na maçã pela atração

gravitacional da Terra é de 9,8 m/s2,

Aceleração produzida na Terra pela atração

gravitacional da maçã é de 1x10-25 m/s2.

Exercício 1.

Uma partícula deve ser colocada, de cada vez,do lado de fora de quatro objetos, cada um commassa m: (1) uma grande esfera sólida uniforme,(2) uma grande casca esférica uniforme, (3) umapequena esfera sólida uniforme e (4) umapequena casca esférica uniforme. Em cadasituação, a distância entre a partícula e o centrodo objeto é d. Classifique os objetos de acordocom a intensidade da força gravitacional queeles exercem sobre a partícula, da maior para amenor.

Princípio da superposição

Dado um grupo de partículas, a força gravitacional

resultante sobre qualquer uma delas, exercida

pelas demais, é a soma dos efeitos individuais.

F1,res = F1,2 + F1,3 +F1,4 + .... + F1,n

Onde, F1,res é a força resultante sobre a partícula 1 e,

por exemplo, F1,3 é a força que a partícula 3 exerce

sobre a partícula 1.

Exercício 2.A figura abaixo mostra quatro arranjos de três partículas de

massas iguais. (a) Classifique em ordem decrescente os arranjos de acordo com a intensidade da força gravitacional resultante sobre a partícula identificada por m. (b) No arranjo 2, a direção da força resultante está mais próxima da linha de comprimento d ou da linha de comprimento D?

Exercício 3.

Na figura abaixo, qual a direção da força gravitacional resultante sobre a partícula de massa m1 devida às outras partículas, cada uma com massa m, que se encontram dispostas simetricamente em relação ao eixo y?

Gravitação Próxima à superfície da Terra

A força gravitacional da Terra sobre uma partícula de

massa m, localizada fora da Terra, a uma distância r do

centro da Terra, é dada por:

F = -G M m / r2,

onde M é a massa da Terra.

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Se uma partícula for solta, ela cairá em direção ao centro da

Terra, em conseqüência da força de atração gravitacional,

com uma aceleração (chamada aceleração gravitacional) ag.

Da segunda lei de Newton:

F = m ag ,

F = -G M m / r2,

e

ag = -G M / r2

Exercício 4.

Supondo que a aceleração gravitacional da Terra é

de aproximadamente 9,8 m/s2, o raio da Terra (R) é

de 6371 km, a constante gravitacional vale

6,673x10-11 m3kg-1s-2 e o volume (V) da Terra é dado

por (4/3) R3, calcule a densidade média ( = M/V)

aproximada da Terra. Comparando com os valores

de densidade das rochas encontradas na superfície

da Terra (2.800 a 3.000 kg/m-3), o que você poderia

deduzir sobre a distribuição de densidade no interior

da Terra?

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Em vários exercícios, é comum considerarmos a

aceleração que um corpo em queda livre apresenta

(denominado g), como sendo a aceleração

gravitacional que agora chamamos de ag.

Normalmente, também consideramos que g possui

um valor constante sobre a superfície da Terra.

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Entretanto, o valor de g que mediríamos, difere de ag

que calcularíamos pela equação acima.

Por exemplo, medidas recentes de g no pólo (gp) e no

equador (ge) forneceram valores de:

gp = 9,832177 m/s2 e ge = 9,780318 m/s2 , o que nos

fornece uma diferença de:

5,186x10-2 m/s2 = 5,186 cm/s2

= 5,186 gal = 5.186 mgal.

Existem três razões para que isto ocorra:

1 - A Terra não é uniforme;

2 - Ela não é uma esfera perfeita (elipsóide com raio equatorial

~21 km maior que o raio polar). A distância ao centro de

massa da Terra é menor nos pólos do que no equador, o que

produz um aumento da gravidade em direção aos pólos.

Cálculos mostram que este efeito seria responsável por uma

diferença de 6.600 mgal, entre a gravidade no pólo e a

gravidade no equador;

3 - Ela está em rotação. A aceleração centrífuga se opõe à

aceleração da gravidade que é zero nos pólos e tem seu valor

máximo no equador. Portanto, este efeito produz um

aumento de g em direção ao pólo. Cálculos mostram que este

aumento é de 3.375 mgal.

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Gravitação Próxima à superfície da Terra

A aceleração da gravidade (g)

varia de ponto para ponto na

superfície da Terra. A aceleração

da gravidade em um determinado

local resulta da soma vetorial das

acelerações gravitacional (ag) e da

centrífuga (ac). A Aceleração da

gravidade g não é radial e sua

intensidade atinge valores

máximos nos pólos e mínimos na

região equatorial.

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga é igual a:

ac = 2 R,

onde é a velocidade angular da Terra e R é a distância ao

eixo de rotação. = 2 / T (T é o período de rotação, 24

horas).

A soma vetorial da aceleração gravitacional e da aceleração

centrífuga é denominada aceleração da gravidade, ou

simplesmente gravidade.

g = ag + ac

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Os efeitos dois e três descritos acima se somam, produzindo uma diferença entre os valores de g no pólo e no equador de:

6.600 mgal + 3.375 mgal = 9.975 mgal

Entretanto, como mostrado acima, medidas de g nos pólos e no equador indicam uma diferença menor, de 5.186 mgal.

Porque isto ocorre?

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Isto decorre do fato que a Terra, tendo um raio

equatorial maior do que o raio polar contém

também uma massa maior no equador, o que faz

aumentar a atração gravitacional nesta região.

Entretanto, este efeito não supera os efeitos

produzidos pelo achatamento da Terra e pela

aceleração centrífuga.

Gravitação Próxima à superfície da Terra

Observação 1. Até recentemente, os instrumentos de campo

apresentavam uma precisão de dezenas de miligal. Instrumentos

mais modernos são capazes de medir diferenças de gravidade de

até um milionésimo de gal (1 gal, o qual tem se tornado uma

unidade prática nas investigações gravimétricas). Para se ter uma

idéia, o valor da gravidade na superfície da Terra é de cerca de 9.8

m/s2, e a sensibilidade dos aparelhos atuais chega a ser de 1 parte

em 109.

Observação 2. Vale a pena salientar que as diferenças de g sobre a

superfície da Terra são muito pequenas e são usadas, como

veremos mais adiante, para investigar estruturas de sub-superfície.

Entretanto, para uma primeira aproximação, podemos usar um

valor constante de g (9,8 m/s2) nos exercícios de física.

Gravitação no interior da Terra

Newton também mostrou que:

Uma casca uniforme de matéria não exerce nenhuma força

gravitacional sobre uma partícula localizada dentro dela.

Portanto, temos dois fatores que influenciam a aceleração da

gravidade no interior da Terra:

(1) a diminuição da distância ao centro da Terra (r), o que tenderia

a aumentar o valor de g em direção ao centro e;

(2) as camadas mais externas, de acordo com a afirmação acima,

teriam influência nula, o que acarretaria em uma diminuição no

valor de g.

Gravitação no interior da Terra

Como a densidade do núcleo é muito mais alta que a do Manto, a

gravidade se mantém aproximadamente constante (em torno de 10

m/s2) até a profundidade de 2.900 km (interface Manto-Núcleo),

decaindo, então, progressivamente até zero, no centro da Terra.

Exercício 5.

A figura acima mostra um arranjo de cinco partículas, com

massas m1 = 8,0 kg, m2 = m3 = m4 = m5 = 2,0 kg e com a =

2,0 cm e = 30 . Qual a força gravitacional resultante

F1,res sobre a partícula 1 devida às outras partículas?

FIM