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MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 26: Equacoes do calor, da onda e de Laplace
Equacao do calor
Vamos estudar o problema da conducao de calor numa barra
metalica. Suponha que a barra esta isolada, ou seja, seus extremos
nao fazem trocas de calor.
Suponha que a barra esta localizada no eixo x , entre x = 0 e
x = L.
Suponha tambem que a barra tem uma constante de difusao
termica α2 (esta constante depende do material da barra).
Seja u(x , t) a funcao que da a temperatura num ponto x ∈ (0, L) e
num instante t > 0 apos o inıcio da variacao de temperatura.
Equacao do calor
Figura do Boyce.
Neste caso, a funcao u(x , t) satisfaz a equacao diferencial
α2uxx = ut , 0 < x < L, t > 0.
Vamos supor que inicialmente a temperatura na barra seja dada
por uma funcao f (x), x ∈ [0, L], ou seja, u(x , 0) = f (x).
Vamos assumir que nos extremos a temperatura e constante e
igual a zero: u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0.
Equacao do calor
Ou seja, temos a equacao diferencial parcialα2uxx = ut ,
u(x , 0) = f (x),
u(0, t) = 0,
u(L, t) = 0.
Figura do Boyce.
Como resolver a equacao do calor?
O ano era 1822 e o jovem Joseph Fourier (nem tao jovem, ele
tinha 54 anos na epoca) tentava resolver uma EDP que descrevia o
fluxo de calor numa barra.
Apos varias tentativas, Fourier decide que iria procurar solucoes de
uma maneira especial: supos que a solucao seria da forma
u(x , t) = X (x)T (t),
ou seja, que as variaveis estivessem, de certa forma, separadas.
Este metodo e conhecido como metodo de separacao de variaveis.
O que acontece quando colocamos isto na equacao?
Como resolver a equacao do calor?
Se u(x , t) = X (x)T (t), entao uxx = X ′′(x)T (t) e
ut = X (x)T ′(t). Substituindo em
α2uxx = ut
obtemos
α2X ′′(x)T (t) = X (x)T ′(t),
ouX ′′(x)
X (x)=
1
α2
T ′(t)
T (t). (1)
O lado esquerdo de (??) so depende de x , e o lado direito de (??)
so depende de t. A unica forma disto ser possıvel e se cada lado
for constante! Seja −λ esta constante.
Como resolver a equacao do calor?
AssimX ′′(x)
X (x)=
1
α2
T ′(t)
T (t)= −λ,
ou seja, temos duas equacoes diferenciais ordinarias:
X ′′ + λX = 0,
T ′ + α2λT = 0.
Quais as condicoes iniciais? Comecando pela 1a equacao:
u(0, t) = X (0)T (t) = 0⇒ X (0) = 0
u(L, t) = X (L)T (t) = 0⇒ X (L) = 0
Como resolver a equacao do calor?
Ou seja, teremos o problema de valor de contorno
X ′′ + λX = 0, X (0) = 0, X (L) = 0.
Reconhece?
Como resolver a equacao do calor?
As solucoes de
X ′′ + λX = 0, X (0) = 0, X (L) = 0
sao as autofuncoes
Xn(x) = sen(nπx/L), n = 1, 2, 3, . . .
associadas aos autovalores
λn = n2π2/L2, n = 1, 2, . . . ,
ou seja, estes sao os unicos valores possıveis de λ.
Substituindo estes valores de λ na equacao que envolve T , teremos
T ′ + (n2π2α2/L2)T = 0.
Como resolver a equacao do calor?
As solucoes de
T ′ + (n2π2α2/L2)T = 0
sao faceis de obter:
T (t) = ke−n2π2α2t/L2 .
Juntando isto com as solucoes da outra equacao, e ignorando a
constante multiplicativa, teremos
un(x , t) = e−n2π2α2t/L2 sen(nπx/L), n = 1, 2, . . .
Note que TODAS as funcoes un satisfazem a EDP, bem como
combinacoes lineares delas.
Como resolver a equacao do calor?
Portanto, a solucao geral da EDP tem a forma
u(x , t) =∞∑n=1
cnun(x , t) =∞∑n=1
cne−n2π2α2t/L2 sen(nπx/L)
Ainda temos que verificar a condicao inicial, u(x , 0) = f (x), isto e,
u(x , 0) =∞∑n=1
cn sen(nπx/L) = f (x).
Ou seja: a serie∑∞
n=1 cn sen(nπx/L) e a serie de Fourier de f (x),
o que nos permite calcular os coeficientes cn:
cn =2
L
∫ L
0f (x) sen(nπx/L) dx .
Como resolver a equacao do calor?
A solucao
Portanto, a solucao deα2uxx = ut ,
u(x , 0) = f (x),
u(0, t) = 0,
u(L, t) = 0
e
u(x , t) =∞∑n=1
cne−n2π2α2t/L2 sen(nπx/L)
com
cn =2
L
∫ L
0f (x) sen(nπx/L) dx .
Como resolver a equacao do calor?
Observacoes
# A hipotese de que os extremos estao fixados com temperatura
0 e desnecessaria, podemos colocar temperatura T1 em um
extremo e T2 em outro que obteremos um desenvolvimento
parecido.
# Os extremos da barra podem estar isolados, sem fluxo de
calor, por exemplo com uma condicao ux(L, t) = 0. Neste
caso tambem e possıvel obter a solucao.
# A versao n-dimensional deste problema tem solucao bem
parecida. Por exemplo, no caso bidimensional, teremos uma
”placa” sendo aquecida.
A equacao da onda
Considere uma corda elastica de comprimento L, fixada em
suportes localizados em x = 0 e x = L. Se esta corda for colocada
em movimento, como ela evolui?
Figura do Boyce.
Seja u(x , t) a posicao do ponto x ∈ [0, L] apos t unidades de
tempo do inıcio do movimento. Entao u satisfaz uma equacao do
tipo
a2uxx = utt ,
onde a depende de propriedades do material da corda.
A equacao da onda
Como a corda esta fixada nos extremos, temos que
u(0, t) = u(L, t) = 0, para todo t > 0. Vamos supor que a posicao
inicial e dada por uma funcao f (x), ou seja, u(x , 0) = f (x),
x ∈ [0, L].
Alem disto, considere que existe uma velocidade inicial (a corda
por ser ”jogada”) ut(x , 0) = g(x), x ∈ [0, L]. Vamos precisar que
f (0) = f (L) = 0 e g(0) = g(L) = 0.
Figura do Boyce.
A equacao da onda
A funcao u(x , t) que descreve o movimento da corda satisfaza2uxx = utt ,
u(0, t) = u(L, t) = 0,
u(x , 0) = f (x),
ut(x , 0) = g(x).
Como procurar solucoes? Faremos primeiro o caso em que g ≡ 0.
Vamos repetir o processo de antes, supor u(x , t) = X (x)T (t).
No entanto, agora sera muito mais difıcil.
A equacao da onda
Substituindo u(x , t) = X (x)T (t) na equacao
a2uxx = utt
nos leva, quase como antes, em
X ′′(x)
X (x)=
1
α2
T ′′(t)
T (t).
O lado esquerdo so depende de x , o direito so de t, entao precisam
ser cosntantes,X ′′(x)
X (x)=
1
α2
T ′′(t)
T (t)= −λ.
Isto nos da duas equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem.
A equacao da onda
{X ′′ + λX = 0
T ′′ + a2λT = 0,
com as condicoes X (0) = 0, X (L) = 0 e T ′(0) = 0. A equacao
para x tem exatamente as mesmas solucoes que antes, as
autofuncoes
Xn(x) = sen(nπx/L), n = 1, 2, 3, . . .
associadas aos autovalores
λn = n2π2/L2, n = 1, 2, . . . .
Substituindo estes valores de λ na equacao que envolve T , teremos
T ′′ + (n2π2a2/L2)T = 0.
A equacao da onda
Esta e uma EDO de 2a ordem bem simples de resolver, e daı
obtemos
T (t) = k1 cos(nπat/L) + k2 sen(nπat/L).
Da condicao inicial T ′(0) = 0 teremos que k2 = 0, portanto
T (t) = k1 cos(nπat/L). Logo
un(x , t) = sen(nπx/L) cos(nπat/L), n = 1, 2, . . .
satisfaz a EDP, e daı a solucao geral e
u(x , t) =∞∑n=1
cn sen(nπx/L) cos(nπat/L).
A equacao da onda
Da condicao u(x , 0) = f (x) temos
f (x) = u(x , 0) =∞∑n=1
cn sen(nπx/L),
portanto esta serie e a serie de Fourier de f (x), ou seja,
cn =2
L
∫ L
0f (x) sen(nπx/L) dx , n = 1, 2, 3, . . . .
A equacao da onda
O que acontece se g(x) nao for nula?
Ate obtermos a solucao geral
u(x , t) =∞∑n=1
kn sen(nπx/L) cos(nπat/L)
tudo continua igual. Vamos supor que f (x) ≡ 0. Assim
ut(x , 0) =∞∑n=1
nπa
Lkn sen(nπx/L) = g(x)
e daı
kn =L
nπa
2
L
∫ L
0g(x) sen(nπx/L) dx , n = 1, 2, . . .
A equacao da onda: caso geral
Solucao geral
A solucao de{a2uxx = utt ,
u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x , 0) = f (x), ut(x , 0) = g(x)
e dada por u(x , t) =∞∑n=1
(kn + cn
)sen(nπx/L) cos(nπat/L) com
cn =2
L
∫ L
0f (x) sen(nπx/L) dx , n = 1, 2, 3, . . . ,
kn =L
nπa
2
L
∫ L
0g(x) sen(nπx/L) dx , n = 1, 2, . . . .
A equacao de Laplace
Exercıcio
Dada uma funcao f (x), utilize o metodo da separacao de variaveis
para obter a solucao do problema de Dirichlet no retangulo:uxx + uyy = 0 (equacao de Laplace)
u(x , 0) = 0, u(x , b) = 0, 0 < x < a,
u(0, y) = 0, u(a, y) = f (y), 0 ≤ y ≤ b.
Figura do Boyce.