1. Teorema de Jacobi1. Teorema de JacobiAdicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que:

det M´ = det M

Ex.:

614

724

531

-3

6114

7104

501

Resumindo: o que estamos dizendo é que é possível facilitar o cálculo de um determinante, provocando o surgimento de provocando o surgimento de ZEROS no meio da expressãoZEROS no meio da expressão por meio da utilização do Teorema de Jacobi.

Exemplo:

1211

1121

1112

1111

det

Explicando melhor:

1211

1121

1112

1111

det

2 1 1

0320

2210

1130

1111

det

Mesmo com essas transformações o valor do determinante o valor do determinante não mudanão muda, porém com o surgimento dos zeros o processo do cálculo se torna mais simples, conforme veremos mais adiante.

0320

2210

1130

1111

det

2. O Teorema de Laplace: Menor Complementar2. O Teorema de Laplace: Menor Complementar

• Chama-se menor complementarmenor complementar (ij)(ij) de uma matriz A o determinante da matriz que se obtém de A retirando-seretirando-se a linha i e a coluna j. Representa-se por Dij.

• Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule D11, D21, D22.

302

223

132

A

1) coluna a e 1 linha as (eliminamo 630

2211

D

1) coluna a e2 linha as (eliminamo 930

1321

D

2) coluna a e2 linha as (eliminamo 42632

1222

D

3. O Teorema de Laplace: Cofator3. O Teorema de Laplace: Cofator

• O cofator Acofator Aijij de um elemento ade um elemento aijij de uma matriz quadrada, é o número que se obtém ao multiplicar a potência (– 1)i+j pelo menor complementar de aij .

• Exemplo:

Sendo calcule A11, A21, A22.

ijji

ij DA 1

302

223

132

A

.A que Veja . 630

2211 111111

1111 DDA

.A que Veja .9 9130

1311 212121

1221 DDA

.A que Veja.426132

1211 222222

2222 DDA

Exemplo: Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule: DSendo dada a matriz A, calcule: D1212, A, A1212, ,

DD3131 e A e A3131..

722

281

532

A

372

21det12

D

3428

53det31

D

31 1221

12 DA

341 3113

31 DA

• Para cada linha k:

• Para cada coluna j:

knknkkkk AaAaAaA 2211)det(

njnjjjjj AaAaAaA 2211)det(

Observações:Observações:• O Teorema de Laplace permite o cálculo do determinante de

uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n - 1;

• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;

4. Teorema de Laplace4. Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos CofatoresCofatores..

• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

linha) 1ª (pela det 131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111 111det

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

Exemplo: Exemplo: Calcule o determinante abaixo.Calcule o determinante abaixo.

1211

1121

1112

1111

det

Sugestão: Sugestão: use o teorema de Jacobi para simplificar o use o teorema de Jacobi para simplificar o cálculo do determimante.cálculo do determimante.

1211

1121

1112

1111

det

0320

2210

1130

1111

det

Entendendo melhor a aplicação do Teorema de Jacobi:

1211

1121

1112

1111

det

2 1 1

0320

2210

1130

1111

det

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det

032

221

113

det11 11

032

221

113

det11

3

2

1

2

1

3

018434011 21

5. Regra de Chió5. Regra de ChióA regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento.

2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.

3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas.

Ex.:

512

302

131

)1.(253.21

)1.(233.20

75

56

2542 -17

Obs: no caso da linha 1 e da coluna 1, não é necessário multiplicar o determinante por (-1)i + j, pois (-1)1 + 1 vai resultar em 1, que é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplo:Calcular, usando a regra de Chió, o determinante abaixo:

31652

820103

630144

2731

2.237.2163.25

2.387.3203.310

2.467.4303.414

121

211

222

21

11

22

+ ++

= 2 - 4 - 4

- - -

+ 2 - 8 + 2 = - 10

Exemplo:

Calcular o Determinante abaixo, usando a Regra de Chió.

32516

831020

641430

2137

2.232.352.716

2.383.3103.720

2.464.3144.730

121

211

222

21

11

22

+ ++

= (2 - 4 - 4

- - -

+ 2 - 8 + 2) = (- 10) = -10

Observe primeiro que o número 1 ocupa a 1ª linha e 3ª coluna, mas como a soma i + j - = 1 + 3 = 4 é par, teremos (-1)i + j positivo.

Exemplo:Se o determinante não tiver nenhum elemento unitário podemos dividir uma das filas (linha ou coluna) para obtermos um elemento unitário, mas devemos multiplicar o determinante obtido por este valor para não haver alteração do resultado

31656

820109

6301412

2733

31652

820103

630144

2731

.3

121

211

222

.3

= 3 . (-10) = -30

6. Matriz de Vandermonde6. Matriz de VandermondeChamamos matriz de Vandermonde, ou das potênciasmatriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n 2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os os elementos de cada coluna formam uma progressão elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1geométrica de primeiro termo igual a 1).

Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.

O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.

Ex.:

343125278

492594

7532

1111

7 5 3 2(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5) 1 . 3 . 2 . 5 .

4 . 2240

7.O cálculo da Matriz Inversa Usando Determinantes7.O cálculo da Matriz Inversa Usando Determinantes

7.2 - MATRIZ ADJUNTA (Adj A)Chama-se matriz adjuntamatriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo a matriz dos cofatores.

7.1 - MATRIZ DOS COFATORES (Cof A)Chama-se matriz dos cofatoresmatriz dos cofatores de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem substituindo em A cada elemento pelo seu Cofator.

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

ACofA

21

22221

11211

'

nnnn

n

n

t

AAA

AAA

AAA

ACofA

21

22212

12111

7.3 - CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA (A-1)Agora que já encontramos a matriz dos cofatoresmatriz dos cofatores e sua transposta, a matriz adjuntamatriz adjunta, para determinar a matriz inversa de A basta multiplicar o inverso do determinante de A por essa matriz adjunta:

AA

A

det

11

Exemplo:Calcular a matriz inversa da matriz

43

21A

Solução:Primeiro vamos calcular o cofator de cada um dos elementos da matriz A:

11det1

22det1

33det1

44det1

2222

1221

2112

1111

A

A

A

A

Agora vamos escrever a matriz dos cofatores:

12

34' ACofA

Agora vamos escrever a matriz adjunta:

13

24tACofAAdjA

Agora vamos calcular o determinante de A:

26443

21det A

13

24

2

1

det

11 AA

A

E por fim:

2123

121A

OBSERVAÇÕES:OBSERVAÇÕES:

1) Uma matriz quadrada A diz-se REGULARREGULAR ou NÃO-SINGULARNÃO-SINGULAR se det A ≠ 0.

2) Uma matriz quadrada somente é INVERTÍVELINVERTÍVEL se for regular.

3) Uma matriz quadrada invertível diz-se ORTOGONALORTOGONAL somente se sua transposta dor igual à sua inversa.

tn

t AAIAAAAortogonaléA 11