cálculo iii - aula 6 método da redução de ordem, raízes ......

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  • Cálculo III Aula 6 – Método da Redução de Ordem,

    Raízes Repetidas da Equação Característica, Equação de Euler e Equações de Ordem Superior.

    Marcos Eduardo Valle Depart. Matemática Aplicada

    IMECC – Unicamp

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 1 / 19

  • Introdução

    Na aula anterior, estudamos equações lineares de segunda ordem homogênea

    y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (1)

    em que p e q são ambas funções contínuas em um intervalo I.

    Vimos que, se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de (1), então qualquer outra solução da EDO pode ser escrita como

    y(x) = c1y1(x) + c2y2(x),

    para c1 e c2 reais.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 2 / 19

  • Equações Lineares com Coeficientes Constantes

    Em particular, a solução geral de uma EDO homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes

    a2y′′ + a1y′ + a0y = 0, (2)

    é dada por y(x) = c1er1x + c2er2x , (3)

    em que r1 e r2 são duas raízes distintas da equação característica

    a2r2 + a1r + a0 = 0. (4)

    Quando r1 = λ+ iµ e r2 = λ − iµ são raízes complexas de (4), a solução geral de (2) pode ser escrita como

    y(x) = eλx (c1cos(µx) + c2 sen(µx)) .

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 3 / 19

  • Contudo, quando r é uma raiz repetida da equação característica, temos apenas

    y1(x) = erx ,

    como solução da EDO linear homogênea com coeficientes constantes e devemos recorrer ao método da redução de ordem para encontrar outra solução linearmente independente.

    O método da redução de ordem também pode ser aplicado num caso mais geral em que conhecemos uma solução de uma EDO linear homogênea (não necessariamente com coeficientes constantes) e desejamos encontrar uma segunda solução linearmente independente.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 4 / 19

  • Método da Redução de Ordem

    Suponha que conhecemos uma solução y1 de uma equação linear homogênea de segunda ordem

    y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (5)

    No método da redução de ordem, determinamos uma função u(x) tal que

    y2(x) = u(x)y1(x),

    seja uma nova (e linearmente independente) solução de (5).

    Substituindo y2 em (5) e lembrando que y1 é uma solução, obtemos

    u(x) = ∫

    e−P(x)[ y1(x)

    ]2 dx, em que P(x) = ∫ p(x)dx, (6) é uma primitiva de p.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 5 / 19

  • Exemplo 1

    Sabendo que y1(x) = e−2x é uma solução da EDO

    y′′ + 4y′ + 4y = 0,

    aplique o método da redução de ordem para determinar uma segunda solução y2(x). Verifique se y1 e y2 são linearmente independentes.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 6 / 19

  • Exemplo 1

    Sabendo que y1(x) = e−2x é uma solução da EDO

    y′′ + 4y′ + 4y = 0,

    aplique o método da redução de ordem para determinar uma segunda solução y2(x). Verifique se y1 e y2 são linearmente independentes.

    Resposta: Pelo método da redução de ordem, encontramos u(x) = x e, portanto,

    y2(x) = xe−2x .

    O wronskiano é W = e−4x , 0,

    e, portanto, y1 e y2 são linearmente independentes.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 6 / 19

  • Raízes Repetidas da Equação Característica

    Considere a EDO com coeficientes constantes

    ay′′ + by′ + cy = 0,

    em que b2 − 4ac = 0. Nesse caso, a única solução da equação característica é

    r = − b 2a .

    Aplicando o método da redução de ordem com y1(x) = erx , obtemos

    u(x) = x.

    Concluindo, uma segunda solução da EDO é

    y2(x) = xerx .

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 19

  • Exemplo 2

    Determine a solução do PVI

    y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 5 e y′(0) = −3.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 8 / 19

  • Exemplo 2

    Determine a solução do PVI

    y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 5 e y′(0) = −3.

    Resposta: A solução do PVI é

    y(x) = 5e−x + 2xe−x .

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 8 / 19

  • Equação de Euler

    Uma EDO da forma

    ax2y′′ + bxy′ + cy = 0, x > 0,

    em que a, b e c são constantes é chamada equação de Euler.

    Uma equação de Euler pode ser transformada na EDO com coeficientes constantes

    a d2y dv2

    + (b − a)dy dv

    + cy = 0.

    considerando v = ln x.

    Alternativamente, podemos buscar soluções da forma

    y(x) = x r , x > 0,

    e proceder de forma similar às EDOs com coeficientes constantes. Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 9 / 19

  • Exemplo 3

    Determine a solução geral da equação de Euler

    2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 10 / 19

  • Exemplo 3

    Determine a solução geral da equação de Euler

    2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0.

    Resposta: A solução geral da EDO é

    y(x) = c1 √

    x + c2 x .

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 10 / 19

  • Equações Lineares de Ordem Superior

    De um modo geral, uma EDO linear de ordem n ≥ 2 pode ser escrita como

    P0(x)y(n) + P1(x)y(n−1) + . . .+ Pn−1(x)y′ + Pn(x)y = F(x), (7)

    ou, equivalentemente,

    y(n) + p1(x)y(n−1) + . . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = f(x). (8)

    Teorema 4 (Existência e Unicidade)

    Se p1, p2, . . . , pn e f são funções contínuas em um intervalo aberto I contendo um ponto x0 então, dados y0, y′0, . . . , y

    (n−1) 0 , a EDO (8) admite

    uma única solução no intervalo I que satisfaz as condições iniciais

    y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . y (n−1)(x0) = y

    (n−1) 0 .

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 11 / 19

  • Definição 5 (Equação Homogênea)

    Uma EDO linear de ordem n ≥ 2 é dita homogênea se pode ser escrita como

    P0(x)y(n) + P1(x)y(n−1) + . . .+ Pn−1(x)y′ + Pn(x)y = 0,

    ou y(n) + p1(x)y(n−1) + . . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = 0.

    Teorema 6 (Princípio da Superposição)

    Se y1, y2, . . . , yn são n soluções de uma EDO linear homogênea de ordem n ≥ 2, então

    y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn,

    é também uma solução da EDO.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 12 / 19

  • Definição 7 (Wronskiano)

    O wronskiando de funções y1, y2, . . . , yn, todas n − 1 vezes diferenciáveis, é o determinante

    W =

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2 . . . yn y′1 y

    ′ 2 . . . y

    ′ n

    ... ...

    . . . ...

    y(n−1)1 y (n−1) 2 . . . y

    (n−1) n

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Observação:

    As funções y1, y2, . . . , yn são linearmente independentes em um intervalo I se o wronskiano não se anula nesse intervalo.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 13 / 19

  • Teorema 8 (Solução Geral)

    Se y1, y2, . . . , yn são soluções linearmente independentes da EDO linear homogênea

    y(n) + p1(x)y(n−1) + . . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = 0,

    em que p1, p2, . . . , pn são funções contínuas em um intervalo I, então qualquer outra solução da EDO pode ser escrita como

    Y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cny2(x),

    para c1, c2, . . . , cn reais.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 14 / 19

  • Equações com Coeficientes Constantes

    Considere uma EDO linear homogênea de ordem n ≥ 2 com coeficientes constantes:

    any(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = 0.

    Admitindo uma solução não-trivial na forma

    y(x) = erx ,

    obtemos a chamada equação característica para a EDO:

    anrn + an−1rn−1 + . . .+ a1r + a0 = 0.

    Se as n raízes r1, r2, . . . , rn da equação característica forem todas distintas, podemos expressar a solução geral da EDO como

    Y(x) = c1er1x + c2er2x + . . .+ cnernx .

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 19

  • Raízes Repetidas da Equação Característica

    De um modo geral, se a equação característica

    anrn + an−1rn−1 + . . .+ a2r2 + a1r + a0 = 0,

    associada à EDO homogênea com coeficientes constantes

    any(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a2y′′ + a1y′ + a0y = 0,

    tem uma raiz α com multiplicidade k , então

    y1(x) = eαx , y2(x) = xeαx , . . . yk (x) = xk−1eαx ,

    são soluções linearmente independentes da EDO.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 16 / 19

  • Exemplo 9

    Determine a solução geral da EDO

    y(4) + 4y = 0.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 17 / 19

  • Exemplo 9

    Determine a solução geral da EDO

    y(4) + 4y = 0.

    Resposta: A solução geral é

    y(x) = ex(c1 cos x + c2 sen x) + e−x(c3 cos x + c4 sen x).

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 17 / 19

  • Exemplo 10

    Encontre a solução geral da EDO

    9y(5) − 6y(4) + y(3) = 0.

    Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 18 / 19

  • Exemplo 10

    Encontre a soluçã